计算机组成原理第 2 章：数据的表示和运算

408 计算机组成原理「数据的表示和运算」复习：核心知识点、真题题型、通用解法与易错点。

本章依据本站的 408 真题和 408 模拟选择题整理。站内的真题将本章划为 5 大部分：数制与编码、整数表示和运算、浮点数表示和运算、C 语言类型转换、运算方法和运算电路；模拟题又重点补充了移位、补码加减器、Booth 乘法、浮点精度等细节。(Any Docs)

从站内收录的真题分布来看，本章真正需要重点攻克的是：

层级	题型	重要性
S	IEEE 754 浮点数	★★★★★
S	补码、溢出、移位	★★★★★
S	C 语言整数/浮点类型转换	★★★★★
A	CF、OF、SF、ZF 与加减器	★★★★☆
A	浮点加减、舍入、精度	★★★★☆
A	乘除法及硬件实现	★★★★☆
B	海明码、数制编码	★★★☆☆

尤其值得注意的是，2011、2017、2020 年都出现了能够串起多块知识的综合题，因此第 2 章绝不是“背几个补码公式”就行，而是要真正建立 机器位模式 → 数值解释 → 运算 → 标志位 → C 类型这一整套思维。(Any Docs)

一、本章最核心的统一思想

先记住一句话：

计算机里存的永远只是 0/1 位串；所谓 int、unsigned、float，只是对同一串比特采用不同解释规则。

例如 8 位机器数

11111111

如果按 unsigned 解释：

255

如果按 8 位补码解释：

- 1

这就是第 2 章几乎所有综合题的根。

所以遇到题目时，建议固定采用：

先确定位宽 \to 确定解释类型 \to 写机器数 \to 运算 \to 判断截断 / 溢出

二、题型 1：补码机器数与真值互求

这是本章所有整数题的基础。

1. 无符号数

一个 $n$ 位无符号整数范围：

0 \leq x \leq 2^{n} - 1

例如：

FFH = 255

2. $n$ 位补码范围

必须死记：

- 2^{n - 1} \leq x \leq 2^{n - 1} - 1

所以：

8 位补码： - 128 \sim 127

16 位补码： - 32768 \sim 32767

32 位补码： - 2^{31} \sim 2^{31} - 1

这就是为什么补码存在一个著名的不对称：

∣ - 2^{n - 1} ∣ > 2^{n - 1} - 1

也因此会产生一个后面极重要的特殊溢出：

MIN / (- 1)

3. 已知补码求真值

正数最高位为 0，直接按无符号数算。

负数最高位为 1，最快公式是：

设机器数按无符号解释为 $U$ ，则

x = U - 2^{n}

例如：

F2H = 242

8 位补码：

242 - 256 = - 14

所以：

F2H ⟷ - 14

这种方法比每次“取反加 1”还快。

三、代表真题：2010 年补码乘法溢出

站内的 2010 真题给出四个 8 位补码：

r_{1} = FEH, r_{2} = F2H, r_{3} = 90H, r_{4} = F8H

问若乘积仍放入 8 位寄存器，哪种乘法会溢出。(Any Docs)

先全部翻译：

r_{1} = 254 - 256 = - 2

r_{2} = 242 - 256 = - 14

r_{3} = 144 - 256 = - 112

r_{4} = 248 - 256 = - 8

8 位补码要求：

- 128 \leq r \leq 127

于是检查数学乘积：

(- 14) (- 112) = 1568

远超 127，因此溢出。

这类题的通法

千万不要直接二进制硬乘。

直接：

机器数 \to 真值 \to 数学运算 \to 检查范围

对于选择题，这是最快方法。

四、题型 2：给定 0/1 数量，求补码最大值或最小值

2015 真题

题意：一个 8 位补码由 3 个 1 和 5 个 0 组成，问它能表示的最小整数。(Any Docs)

补码各位真正的权值是：

- 2^{7}, 2^{6}, 2^{5}, \dots, 2^{0}

要最小：

第一位一定放 1：

- 128

还剩两个 1。

注意这里极容易反着想。

现已得到：

- 128

剩下两个正权值会让数字“变大”。

所以应当让增加量尽可能小，即放最低位：

10000011

真值：

- 128 + 2 + 1 = - 125

因此答案：

- 125

一般规律

如果题目问补码“最负”，千万不要简单地“把 1 往高位摆”。

补码符号位权值特殊：

- 2^{n - 1}

而其他位均是正权。

五、题型 3：算术移位与逻辑移位

这是极高频基础题。

1. 逻辑右移

不管原数正负：

最高位补 0

例如：

11011000

逻辑右移：

01101100

2. 算术右移

用于带符号补码数：

最高位补原符号位

所以：

11011000

算术右移：

11101100

这正是站内 2018 真题考查的内容。(Any Docs)

六、算术左移什么时候溢出？

模拟题里有一道非常值得掌握：

一个 4 位补码 $x_{1} x_{2} x_{3} x_{4}$ 算术左移一位，什么时候发生溢出？(Any Docs)

左移：

x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \to x_{2} x_{3} x_{4} 0

原符号位：

x_{1}

新符号位：

x_{2}

因此：

x_{1} \neq = x_{2} ⟹ 溢出

因为算术左移相当于乘 2。

例如：

0101 = 5

左移：

1010

如果还按 4 位补码解释：

1010 = - 6

显然：

5 \times 2 \neq = - 6

发生溢出。

所以以后见到：

左移一位是否溢出

优先检查：

原符号位和次高位是否不同

七、一个非常容易混的细节：右移与除以 2

补码算术右移确实通常对应除以 2，但负奇数要特别注意舍入方向。

例如：

- 3 = 11111101

算术右移：

11111110 = - 2

所以硬件算术右移得到：

- 3 ≫ 1 = - 2

而现代 C 的整数除法：

- 3/2 = - 1

因为 C 整数除法向 0 截断。

因此：

“算术右移就是带符号整数除以 2”

对偶数没问题，对负奇数不能无脑等同。

八、题型 4：补码加减法与溢出 OF

这是 408 最爱考的地方之一。

对于 $n$ 位补码：

A + B

加法器根本不知道它们“有符号还是无符号”。

硬件只负责：

n 位二进制加法

然后 CPU 根据标志位做不同解释。

九、带符号加法 OF 判断

最简单的中文口诀：

同号相加，结果异号，则溢出。

例如 8 位：

100 + 50 = 150

两个正数：

+ +

结果机器数却会变成负数。

溢出。

形式化：

设操作数符号位为 $A_{s}, B_{s}$ ，结果符号位 $S_{s}$ ：

O F = \overline{A_{s} \oplus B_{s}} \cdot (A_{s} \oplus S_{s})

十、带符号减法 OF 判断

对于：

A - B

口诀：

异号相减，结果符号和被减数不同，则溢出。

公式：

O F = (A_{s} \oplus B_{s}) (A_{s} \oplus S_{s})

十一、代表真题：2014 年溢出

真题给：

x = 103, y = - 25

用 8 位补码计算几个表达式，问哪个溢出。(Any Docs)

范围：

- 128 \leq x \leq 127

检查：

x + y = 78

正常。

- x + y = - 103 - 25 = - 128

注意：

- 128 是可以表示的

正常。

而：

x - y = 103 - (- 25) = 128

超出：

127

所以溢出。

这个题专门利用：

- 128 可以表示，但 + 128 不可以

干扰判断。

十二、CF 和 OF 到底有什么区别？

这是第二章最重要区别之一。

OF

回答：

如果把这一位串解释为“有符号补码”，数学结果是否越界？

CF

回答：

如果把这一位串解释为“无符号数”，加减运算有没有进位/借位？

因此：

O F 服务于 signed

C F 服务于 unsigned

同一条 ALU 运算可以：

O F = 0, C F = 1

也完全可以：

O F = 1, C F = 0

它们没有必然关系。

十三、2023 真题：OF 和 CF 一起考

真题给：

x = 10, y = - 20

执行：

x - y

问 OF 和 CF。(Any Docs)

先算 signed：

10 - (- 20) = 30

不溢出：

O F = 0

再单独按 unsigned 看。

$- 20$ 的 32 位补码如果解释成 unsigned：

2^{32} - 20

显然：

10 < 2^{32} - 20

执行无符号减法需要借位：

C F = 1

所以：

O F = 0, C F = 1

以后这种题必须分两条线

不要企图一次算完：

s i g n e d \to O F u n s i g n e d \to C F

十四、CF 有一个必须注意的坑

不同 CPU/教材对“减法 CF”定义可能不同。

有的体系：

C F = 1

表示产生借位。

而有的体系结构通过加法器最高进位定义 carry，减法时语义可能反过来。

所以考研遇到 CF，一定看题目怎样规定。

本站里的相关真题明确按照“进位/借位标志”的语义处理。(Any Docs)

十五、题型 5：同一个加法器为什么能做四种运算？

2011 年大题直接问过：

带符号加、带符号减、无符号加、无符号减能否共用一个加法器？(Any Docs)

答案：

完全可以

原因：

无论 signed 还是 unsigned，低 $n$ 位的二进制运算规则完全一样。

减法：

A - B

转成：

A + \overline{B} + 1

因此可以使用：

一个 n 位加法器

实现所有整数加减。

差别只在于：

signed \to O F

unsigned \to C F

这就是“机器级位运算”和“高级语言数值意义”的典型分离。

十六、减法器输入怎么接？

本站模拟题里有一道很典型：

已知 $x = - 69, y = 38$ ，要求用 8 位加减器算 $x - y$ ，问两个数据输入和最低位进位分别是什么。(Any Docs)

因为：

x - y = x + \overline{y} + 1

所以加法器输入：

第一路：

[x]_{补}

第二路：

\overline{[y]_{补}}

最低位进位：

C_{in} = 1

即：

A = x, B = \overline{y}, C_{in} = 1

这是典型硬件题。

十七、ZF、SF 怎么判断？

这两个反而最简单。

ZF

结果是不是全 0：

S = 0 ⟹ Z F = 1

SF

结果的最高位：

S F = S_{n - 1}

但：

SF 只是机器结果的符号位，不代表数学结果一定正确。

发生 OF 时：

S F

甚至可能恰好是错误符号。

十八、题型 6：海明码

站内 2013 真题：

8 位数据使用海明码，并要求能够纠正 1 位错误，至少需要几个校验位？(Any Docs)

若数据位：

k

校验位：

r

单错纠正要求：

2^{r} \geq k + r + 1

为什么？

总共有：

k + r

个可能出错的位置。

加上：

1

种“无错误”。

需要编码至少：

k + r + 1

种状态。

本题：

k = 8

试：

r = 3

有：

2^{3} = 8 < 8 + 3 + 1 = 12

不行。

试：

r = 4

有：

2^{4} = 16 \geq 8 + 4 + 1 = 13

所以：

r = 4

十九、海明码进一步怎么出题？

408 还可能把题目升级成：

给出若干数据位，要求：

确定校验位数；
校验位放在哪里；
计算各校验位；
找错误位置；
判断能否检测双错。

校验位通常放在：

1, 2, 4, 8, \dots, 2^{i}

位置。

因此：

P_{1}, P_{2}, P_{4}, P_{8}, \dots

记住：

位置编号的二进制哪一位为 1，就归对应校验位管理。

这是海明码真正的核心。

二十、题型 7：IEEE 754——本章第一大题型

这部分必须熟到看到十六进制能直接拆字段。

单精度 float

共 32 位：

字段	位数
符号 $S$	1
阶码 $E$	8
尾数 $F$	23

规格化数：

(- 1)^{S} (1. F)_{2} 2^{E - 127}

单精度偏置：

B ia s = 127

实际指数：

e = E - 127

有效精度不是 23 位，而是：

24 位

因为最高位：

1

是隐藏位。

二十一、双精度 double

字段	位数
符号	1
阶码	11
尾数	52

偏置：

1023

有效精度：

53 位

二十二、IEEE 754 四种特殊情况

这个表建议直接背。

阶码	尾数	含义
全 0	全 0	$\pm 0$
全 0	非 0	非规格化数
非全 0/1	任意	规格化数
全 1	全 0	$\pm \infty$
全 1	非 0	NaN

二十三、IEEE 真题第一类：十进制 → float

2011 真题

题目给：

x = - 8.25

要求 IEEE 754 单精度机器数。(Any Docs)

第一步：

8.25 = (1000.01)_{2}

规格化：

1000.01 = 1.00001 \times 2^{3}

符号：

S = 1

实际指数：

e = 3

阶码：

E = 3 + 127 = 130

二进制：

130 = (10000010)_{2}

尾数：

F = 00001000000000000000000

所以：

11000001000001000000000000000000

整理为十六进制：

C1040000H

固定模板

看到：

十进制 → IEEE 754

永远：

转二进制 \to 规格化 \to S \to E = e + B ia s \to F \to 拼接

二十四、IEEE 真题第二类：机器码 → 真值

2013 真题

给：

C6400000H

求真值。(Any Docs)

拆成：

110001100100000 \dots

所以：

S = 1

阶码字段：

E = 140

实际指数：

e = 140 - 127 = 13

尾数：

1. 1_{2} = 1.5

于是：

- 1.5 \times 2^{13}

做这种题最快技巧

十六进制不要全部转十进制。

只需要转换：

1 + 8 + 23

三个字段。

二十五、IEEE 真题第三类：规格化与非规格化

这已经连续成为考点。

2023 真题

机器数：

80200000H

阶码全 0、尾数非 0。(Any Docs)

所以它不是普通规格化数，而是：

非规格化数

非规格化单精度公式不是：

1. F

而是：

(- 1)^{S} (0. F)_{2} 2^{- 126}

这里最容易错的就是：

阶码全 0 时，实际指数不是简单算 $0 - 127 = - 127$ 。

非规格化数规定：

e = - 126

二十六、必须背下来的 4 个 float 边界

最小正规格化正数

2^{- 126}

最小正非规格化数

23 位尾数只有最低位为 1：

2^{- 23} \times 2^{- 126}

所以：

2^{- 149}

本站模拟题专门考了：

“最小正数”若没说“规格化”，答案应该考虑非规格化数，因此是 $2^{- 149}$ 。(Any Docs)

最大有限正数

最大有限阶码：

E = 254

所以：

e = 127

最大有效数：

1.111 \dots 11 1_{2} = 2 - 2^{- 23}

所以：

(2 - 2^{- 23}) 2^{127}

即：

2^{128} - 2^{104}

这正是 2012 真题。(Any Docs)

二十七、题型 8：哪些十进制小数可以精确表示？

2021 真题用：

1.2, 1.25, 2.0, 2.5

考过。(Any Docs)

核心规律：

如果一个有限十进制数化成最简分数：

\frac{p}{q}

它能用有限二进制小数表示，当且仅当：

q = 2^{k}

例如：

1.25 = \frac{5}{4}

分母：

4 = 2^{2}

所以可以精确。

而：

1.2 = \frac{6}{5}

分母含：

5

所以二进制会无限循环。

因此：

1.2 无法精确表示

这和十进制中的：

\frac{1}{3} = 0.3333 \dots

完全是同一个原理。

二十八、题型 9：float 到底能精确表示多大的整数？

单精度有效位：

24

因此所有绝对值不超过：

2^{24}

的整数都可以精确表示。

但是千万不要理解为：

超过 $2^{24}$ 的整数一个也不能精确表示。

错。

例如：

2^{30}

本身当然能精确表示。

真正含义是：

∣ x ∣ \leq 2^{24} 时，每一个整数都保证精确

超过以后，整数之间开始产生“空档”。

二十九、2024 真题：为什么 $β$ 要用 double？

站内的 2024 真题给：

α \in [- 2^{20}, 2^{20}]

β \in [- 2^{40}, 2^{40}]

要求既保证整数精度，又尽量高效。(Any Docs)

对 $α$

32 位 int 范围：

- 2^{31} \sim 2^{31} - 1

完全够。

所以：

α \to in t

对 $β$

32 位 int 放不下：

2^{40} > 2^{31} - 1

float 虽然“范围”很大，但只有 24 位有效精度。

不能保证：

[- 2^{40}, 2^{40}]

中的每个整数都精确。

double 有：

53

位有效精度，可以保证：

∣ x ∣ \leq 2^{53}

范围内整数精确。

所以：

α : 32 位整数, β : double

这题非常重要

它考的是：

表示范围 \neq = 表示精度

float 能表示：

1 0^{38}

量级，并不意味着这个范围内的整数一个不差全能存。

三十、题型 10：浮点加减运算全过程

标准过程：

对阶 \to 尾数加减 \to 规格化 \to 舍入 \to 判溢出

这是必须背顺序的。

三十一、为什么对阶一定“小阶向大阶看齐”？

假设：

X = M_{x} 2^{E_{x}}

Y = M_{y} 2^{E_{y}}

且：

E_{x} > E_{y}

应该把 $Y$ 改成：

Y = (M_{y} 2^{E_{y} - E_{x}}) 2^{E_{x}}

也就是：

小阶尾数右移

而不是把大阶数变小。

原因是尾数右移损失低位，虽然损失精度，但不会导致高位整数部分放不下。

三十二、2009 真题：浮点运算为什么最后才可能真正溢出？

站内 2009 年真题考查：

对阶、尾数相加、规格化之后，阶码加 1 最终越界。(Any Docs)

核心点：

尾数暂时出现：

10. xxxx

本身不等于“浮点数溢出”。

可以右规：

10. xxxx \times 2^{e} = 1.0 xxxx \times 2^{e + 1}

所以：

尾数溢出 \neq = 最终浮点溢出

只有：

e + 1

也无法表示时，才真正上溢。

三十三、2015 真题：哪些步骤可能导致阶码越界？

真题考了四个判断。(Any Docs)

总结成表：

操作	对阶码影响
对阶	小阶增大到大阶，一般不会产生新越界
左规	阶码减小
右规	阶码增加
舍入进位	可能再次右规
连续左规	可能下溢
右规/舍入	可能上溢

所以：

左规防下溢，右规防上溢

更准确地说，是检查它们造成的阶码变化。

三十四、题型 11：为什么“大数 + 小数 = 大数”？

这是真题和模拟题非常喜欢出的“浮点违反数学直觉”。

假设 float 附近的数是：

2^{33}

单精度有效精度 24 位。

在数量级：

[2^{33}, 2^{34})

相邻 float 的间距为：

2^{33 - 23}

所以：

U L P = 2^{10} = 1024

这意味着：

2^{33}

附近的 float 不是：

2^{33}, 2^{33} + 1, 2^{33} + 2

而类似：

2^{33}, 2^{33} + 1024, 2^{33} + 2048, \dots

因此加：

2.5

根本不足以跨越半个 ULP。

结果舍入回：

2^{33}

本站中王道模拟题用

float f = 2.5 + pow(2,33);
f = f - pow(2,33);

考的就是这个现象，最终得到 0，而不是 2.5。(Any Docs)

三十五、必须掌握 ULP

对于规格化单精度 float，在：

[2^{e}, 2^{e + 1})

范围内，有效尾数 23 位，因此相邻数间隔：

U L P = 2^{e - 23}

double：

U L P = 2^{e - 52}

这个公式可以秒杀大量“某整数能不能精确表示”“加多少会被吞掉”的题。

三十六、题型 12：舍入到最近、偶数优先

2017 年大题是这一点的经典应用。

定义：

f (n) = 2^{n + 1} - 1

当：

n = 24

数学结果：

f (24) = 2^{25} - 1 = 33554431

二进制就是：

1111111111111111111111111

共有：

25

个有效位。

但 float 只能保留：

24

位。

这时附近恰好两个可表示数：

33554430

和：

33554432

33554431 在正中央。

IEEE 754 默认：

round to nearest, ties to even

于是选最低有效位为“偶”的那个：

33554432

这正是站内 2017 综合题解释的重点。(Any Docs)

三十七、题型 13：C 语言整数扩大——符号扩展与零扩展

这个极高频。

signed 扩大

例如：

short → int

负数必须保持数值不变。

所以：

符号扩展

即高位复制原符号位。

例如：

FFF7H

16 位补码：

- 9

扩展到 32 位：

FFFFFFF7H

仍是：

- 9

这正是 2009 真题。(Any Docs)

unsigned 扩大

高位补 0：

零扩展

例如 2012 真题：

FFFAH

是 unsigned short：

65530

转 unsigned int：

0000FFFAH

而绝不能写成：

FFFFFFFAH

因为那会改变数值。(Any Docs)

三十八、题型 14：宽整数 → 窄整数

408 常采用机器级规则：

直接保留低 n 位

例如 2024 真题：

int i = 32777;
short si = i;
int j = si;

(Any Docs)

有：

32777 = 00008009H

转 16 位 short：

8009H

最高位为 1。

按 16 位补码：

32777 - 65536 = - 32759

再扩回 int：

j = - 32759

所以答案：

- 32759

三十九、这类题万能算法

遇到：

大位宽 → 小位宽 → 大位宽

一定：

第一步：截断

保留低位

第二步：按目标类型重新解释

signed：

补码

unsigned：

无符号

第三步：再扩展

signed：

符号扩展

unsigned：

零扩展

这一套路非常稳定。

四十、题型 15：signed ↔ unsigned 同位宽转换

这是非常容易被骗的地方。

例如 2016 真题：

short si = -32767;
unsigned short usi = si;

位宽相同。

$- 32767$ 的 16 位补码：

8001H

位串没变：

8001H

只是重新按 unsigned 解释：

2^{15} + 1 = 32769

所以：

u s i = 32769

也可直接用模：

- 32767 mod 2^{16}

得到：

32769

(Any Docs)

四十一、无符号整数的本质就是模运算

$n$ 位 unsigned：

mod 2^{n}

因此：

0 - 1

不是：

- 1

而是：

2^{n} - 1

对于 32 位：

0 U - 1 = 2^{32} - 1

这会直接引出 2017 年那个非常经典的 unsigned 死循环。

四十二、2017 综合题：为什么 unsigned 会死循环？

程序条件中含：

i <= n - 1

而：

n = 0

且 $n$ 为 unsigned。(Any Docs)

于是：

n - 1

不是：

- 1

而是：

2^{32} - 1

所以条件相当于：

i <= 0xFFFFFFFFU

而 $i$ 本身也是 unsigned。

当：

i = 2^{32} - 1

再加 1：

i \to 0

于是：

0 \to 1 \to \dots \to 2^{32} - 1 \to 0

永远满足条件。

形成死循环。

核心知识

unsigned 永远按模 2^{n} 运算

这也是 C + 计组最典型的交叉题。

四十三、题型 16：int、float、double 互转

这个表必须彻底理解。

转换	典型后果
int → float	范围一般够，但可能丢精度
int → double	32 位 int 可精确
float → double	精确扩展
double → float	可能舍入，也可能溢出
float/double → int	去掉小数部分，还需检查范围

为什么：

32 位 int 只有大约：

32

个二进制数量级。

float 最大指数非常大，所以：

int → float 通常不是“范围不够”，而是“有效位不足”。

模拟题也专门考了这个区别。(Any Docs)

四十四、2010 真题：类型转换是否可逆

真题考过类似：

i == (int)(float)i
f == (float)(int)f
f == (float)(double)f
d + f - d == f

(Any Docs)

逐个理解。

int → float → int

如果整数可被 float 精确表示：

i \to f l o a t \to i

仍一样。

float → int → float

例如：

1567.8

转 int：

1567

小数没了。

再转回：

1567.0

显然：

1567.0 \neq = 1567.8

float → double → float

double 精度更高。

原 float 的所有有效位都能完整保存。

所以：

f l o a t \to d o u b l e \to f l o a t

通常能够精确恢复原 float。

$d + f - d$

数学：

d + f - d = f

计算机未必。

如果：

∣ d ∣ ≫ ∣ f ∣

则对阶后 $f$ 被完全舍掉：

d + f = d

随后：

d - d = 0

所以：

d + f - d \neq = f

这说明：

浮点运算不满足数学上的结合律

四十五、浮点数为什么不满足结合律？

例如：

(a + b) + c

和：

a + (b + c)

每一步都可能：

舍入

因此两个计算路径产生的误差不同。

所以一般：

(a + b) + c \neq = a + (b + c)

类似地：

(a + b) - a

也未必等于：

b

这不是 CPU 算错，而是：

有限精度表示的必然结果

四十六、题型 17：乘法算法与硬件实现

2024 真题直接考整数乘法实现。(Any Docs)

例如：

10 x

编译器完全可以转为：

10 x = (8 + 2) x

即：

(x ≪ 3) + (x ≪ 1)

同理：

15 x = (16 - 1) x

可以：

(x ≪ 4) - x

所以常数乘法经常可以优化成：

移位 + 加减

四十七、没有乘法器能不能乘？

当然可以。

若：

y = i = 0 \sum n - 1 y_{i} 2^{i}

其中：

y_{i} \in {0, 1}

则：

x y = i = 0 \sum n - 1 y_{i} (x ≪ i)

所以只要有：

移位器 + 加法器

就能乘。

这也是 2020 综合题明确考查的核心。(Any Docs)

四十八、三种乘法实现速度

2020 真题比较过三种情况：

软件实现

很多条：

判断
移位
加法
循环
分支

需要反复取指、译码。

通常最慢。

一条乘法指令，但内部复用 ALU

CPU 内部进行很多轮：

判断 \to 加减 \to 移位

比软件快。

阵列乘法器

大量组合逻辑并行产生部分积。

通常最快。

因此：

软件循环 < ALU 多周期乘法 < 阵列乘法器

这里的 $<$ 表示速度。

四十九、Booth 补码乘法

模拟题还专门考了 Booth 一位乘法。(Any Docs)

检查：

(Q_{0}, Q_{- 1})

规则：

两位	操作
00	不加不减
01	加被乘数
10	减被乘数
11	不加不减

然后：

算术右移

为什么 Booth 很重要？

因为类似：

01111110

这种大量连续 1，不需要真的加几十次，可以利用：

2^{k} - 2^{m}

转化为少量加减。

五十、乘法溢出怎么判断？

unsigned

若两个 $n$ 位数得到完整 $2 n$ 位乘积：

P = P_{H} : P_{L}

只保留低 $n$ 位。

无符号不溢出的条件：

P_{H} = 0

高半部分只要有一个 1：

溢出

2020 大题明确考过这一点。(Any Docs)

signed

对于补码乘积，低 $n$ 位若能正确表示真实结果，高 $n$ 位必须恰好是低 $n$ 位符号位的扩展。

若低位符号为 0：

P_{H} = 00 \dots 0

若低位符号为 1：

P_{H} = 11 \dots 1

因此：

高 n 位必须是低 n 位符号位的符号扩展

否则 signed 乘法溢出。

五十一、2020 真题最漂亮的现象

给：

x = 2^{31} - 1, y = 2

完整数学乘积：

2^{32} - 2

64 位：

00000000 FFFFFFFEH

如果当 unsigned：

2^{32} - 2

在 32 位 unsigned 范围：

0 \sim 2^{32} - 1

内。

所以不溢出。

如果当 signed int：

低 32 位：

FFFFFFFEH

按补码解释：

- 2

但真实乘积是：

2^{32} - 2

显然 int 放不下。

所以：

同样低 32 位， unsigned 不溢出， signed 溢出

这再次说明：

机器比特相同，解释规则不同。

五十二、题型 18：补码除法的超级特殊情况

必须记：

- 2^{n - 1} \div (- 1)

数学结果：

2^{n - 1}

但是 $n$ 位补码最大正数只有：

2^{n - 1} - 1

因此：

必然溢出

例如 32 位：

- 2^{31} \div (- 1) = 2^{31}

而最大 int：

2^{31} - 1

模拟题正是这样考的。(Any Docs)

这是整数除法中最著名的特殊溢出。

五十三、题型 19：2011 年整数综合大题——本章必会

站内这道题非常值得反复做。

题目设 8 位机器：

unsigned int x = 134;
unsigned int y = 246;

int m = x;
int n = y;

unsigned int z1 = x - y;
unsigned int z2 = x + y;

int k1 = m - n;
int k2 = m + n;

然后问寄存器位模式、变量真值、加减器能否共用以及哪些运算溢出。(Any Docs)

这题实际上就是第 2 章整数部分的“总复习”。

第一步：unsigned 位模式

8 位：

x = 134 = 86H

y = 246 = F6H

第二步：unsigned 运算按模 $256$

z_{1} = 134 - 246 = - 112

模：

- 112 mod 256 = 144

即：

z_{1} = 90H

而：

z_{2} = 134 + 246 = 380

模：

380 mod 256 = 124

所以：

z_{2} = 7CH

第三步：相同位串重新解释成 signed

x = 86H

作为 8 位补码：

134 - 256 = - 122

所以：

m = - 122

同理：

F6H = 246 - 256 = - 10

所以：

n = - 10

第四步：signed 运算

k_{1} = - 122 - (- 10) = - 112

可表示：

O F = 0

但是：

k_{2} = - 122 + (- 10) = - 132

小于：

- 128

所以：

O F = 1

机器低 8 位变成：

124

也就是两个负数加出了正机器结果。

这道题至少串起来了六个知识点

位模式 + 补码 + unsigned 模运算 + signed/unsigned + 加减器 + O F

如果这道题真正吃透，整数部分已经掌握大半。

五十四、题型 20：2017 综合大题——整数和 float 的精度边界

这道题是本章另一道非常值得反复练的大题。

定义：

f (n) = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{n}

即：

f (n) = 2^{n + 1} - 1

分别使用 int 和 float 计算。(Any Docs)

它连续考：

u n s i g n e d 回绕

in t 溢出

f l o a t 有效位

I E E E 754 舍入

+ \infty

int 最多精确到哪里？

要求：

2^{n + 1} - 1 \leq 2^{31} - 1

所以：

n + 1 \leq 31

得到：

n \leq 30

float 最多保证精确到哪里？

因为：

2^{n + 1} - 1

二进制有：

n + 1

个连续有效位。

float 只有：

24

位有效精度。

所以：

n + 1 \leq 24

即：

n \leq 23

这是非常漂亮的：

题目有效位数 \leq 浮点有效精度

判断法。

五十五、题型 21：浮点什么时候变成正无穷？

单精度：

E = 11111111

且：

F = 0

代表：

+ \infty

所以：

7F800000H

就是：

+ \infty

而：

FF800000H

就是：

- \infty

如果阶码全 1 且尾数非 0：

N a N

这几种机器数应该做到秒认。

五十六、题型 22：数制、ASCII、BCD 还要不要学？

要，但从站内真题分布看，并不像 IEEE 754、补码和类型转换那么密集。

建议掌握：

二进制 ↔ 八进制

每：

3

位一组。

二进制 ↔ 十六进制

每：

4

位一组。

因此看到：

FFFFFFDFH

最好直接按十六进制处理，不要展开成 32 个二进制位。

BCD

每 4 位编码一个十进制数字：

0000 \sim 1001

而：

1010 \sim 1111

不属于标准 8421 BCD 的十进制数字编码。

ASCII

本质是字符编码，不是数值的二进制表示。

例如字符：

'1'

和整数：

1

机器表示完全不同。

这类知识更适合选择题查概念。

五十七、建议把整章压缩成 8 条解题算法

算法 A：补码真值

若最高位为 0：

x = U

若最高位为 1：

x = U - 2^{n}

算法 B：整数溢出

先计算数学结果，再查：

- 2^{n - 1} \leq x \leq 2^{n - 1} - 1

选择题通常最快。

算法 C：OF

加法：

同号输入、异号输出

减法：

异号输入、输出符号不同于被减数

算法 D：类型转换

先问：

位宽变了吗？

变宽：

signed → 符号扩展；

unsigned → 保持数值所需的零扩展。

变窄：

保留低位

然后重新解释。

算法 E：IEEE 编码

二进制 \to 规格化 \to S \to E = e + B ia s \to F

算法 F：IEEE 解码

先看：

E

是否全 0 或全 1。

然后再决定使用：

1. F

还是：

0. F

绝对不要上来就直接算：

E - 127

算法 G：float 精度

单精度：

p = 24

double：

p = 53

判断某整数是否“保证精确”时先数有效二进制位。

算法 H：浮点加减

小阶向大阶对齐 \to 尾数运算 \to 规格化 \to 舍入 \to 判溢出

五十八、几个最容易丢分的陷阱

错误认识	正确结论
补码最高位只是符号，不参与运算	符号位统一参与补码运算
CF=OF	两者分别用于 unsigned 与 signed
尾数溢出就是浮点溢出	尾数可能右规后恢复
float 尾数只有 23 位精度	有隐藏位，总精度 24 位
float 能表示很大的数，因此大整数都精确	范围大 ≠ 精度高
最小 float 是 $2^{- 126}$	最小规格化才是，最小正数是 $2^{- 149}$
$E = 0$ 时指数就是 $- 127$	非规格化实际按 $- 126$
int→float 一定精确	可能舍入
float→double 会丢精度	可以精确扩展
unsigned 减法能得到负数	实际按模 $2^{n}$ 回绕
算术右移永远等于 C 的除以 2	对负奇数舍入可能不同
左移就是乘 2	不溢出时才成立
signed 和 unsigned 用不同加法器	完全可以共用

五十九、根据现有真题，后续最值得防的变式

结合站内的真题和模拟题，下面几种组合尤其有 408 风格。

预测 1：IEEE 754 + 小端存储

先给一个浮点数：

- 6.25

要求算出 IEEE 机器数，然后问：

若从地址 $A$ 开始按小端存储，地址 $A + 2$ 中是什么？

本站模拟题已经出现了类似“浮点机器数 + 小端字节存放”的组合，因此很值得练。(Any Docs)

核心：

先得到 32 位机器数，再按字节倒序存

注意：

小端只改变字节在内存中的顺序，不改变一个字节内部位的顺序。

预测 2：signed/unsigned + 比较指令

例如：

int x = -1;
unsigned y = 1;

if (x < y)

先发生通常算术转换。

$- 1$ 可能被转成 unsigned：

2^{32} - 1

于是比较变成：

2^{32} - 1 < 1

为假。

这一类能把：

C 类型转换 + u n s i g n e d + A LU 比较

串起来。

预测 3：float 精度 + 循环累计

例如连续：

x = x + 1

问什么时候：

x + 1 = x

对于单精度 float，一旦数足够大：

U L P > 1

再加 1 就可能被舍掉。

这是 2017 真题思想非常自然的升级。

预测 4：乘法低位一致性

给两个 $n$ 位位串 $x, y$ ，分别：

按 signed 相乘；
按 unsigned 相乘；

问低 $n$ 位是否相同。

核心：

整数机器运算本质：

mod 2^{n}

所以低 $n$ 位乘积具有很强的一致性。

但是：

完整 2 n 位 signed / unsigned 乘积不能一概认为相同

这是很容易出的辨析点。

六十、最后给出一张“第 2 章考场决策图”

遇到机器数，第一件事问：

它是什么类型？多少位？

如果是整数：

s i g n e d \to 补码 u n s i g n e d \to 普通二进制

如果发生加减：

s i g n e d \to O F u n s i g n e d \to C F

如果发生类型转换：

变宽 \to 符号 / 零扩展 变窄 \to 保留低位 s i g n e d \leftrightarrow u n s i g n e d \to 重新解释 / 模运算

如果是 float：

S ∣ E ∣ F

然后第一眼检查：

E = 0 ?

E = 255 ?

都不是才按：

(- 1)^{S} (1. F) 2^{E - 127}

如果发生浮点运算：

对阶 \to 运算 \to 规格化 \to 舍入 \to 溢出

如果题目问：

为什么数学上相等，程序里不相等？

优先想到：

有限精度 + 对阶丢位 + 舍入 + 类型转换

本章复习优先级

若以 408 提分为目标，建议第 2 章按以下顺序复习：

补码与溢出 \to signed/unsigned \to IEEE754 \to C 类型转换 \to 浮点舍入 \to CF/OF \to 乘除法硬件 \to 海明码

其中最值得反复重做的几道真题是 2011 整数综合题、2017 int/float 综合题、2020 乘法综合题、2010 类型转换题、2015 浮点运算判断题、2023 非规格化浮点数题、2024 数据类型选择题。这些题基本能把第 2 章最核心的命题链全部覆盖。(Any Docs)

本站的「408真题·计算机组成原理第 2 章」

本站的「408模拟题·计算机组成原理第 2 章」

计算机组成原理第 2 章：数据的表示和运算

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