矩阵 | 考研学习

矩阵可以先理解成“一个按行、按列排列的数表”，但如果只把它看成数表，会错过矩阵最重要的意义。在线性代数里，矩阵真正重要，是因为它可以同时表示：

一组数据；
一组线性方程；
一组向量；
一个线性变换；
从一个坐标系到另一个坐标系的规则；
多个线性变换的复合。

而“矩阵乘法为什么要那样定义”，最深刻的理解恰恰来自你问的两个视角：行视角和列视角。

一、矩阵到底是什么？

例如

A = [142536]

这是一个 $2 \times 3$ 矩阵。

它有 2 行、3 列。

一般写成

A = (a_{ij})_{m \times n}

其中 $a_{ij}$ 表示：

第 i 行，第 j 列的元素

例如上面

a_{23} = 6

因为 6 位于第 2 行、第 3 列。

但这只是矩阵的“外观”。

更重要的问题是：

这一堆数为什么值得专门研究？

答案是：

因为大量复杂问题，本质上都可以归结为“多个量之间的线性关系”，而矩阵正是描述这些线性关系最自然的工具。

二、为什么要研究矩阵？

先从一个非常普通的问题开始。

假设有三个未知量

x_{1}, x_{2}, x_{3}

满足

{x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} = 7 4 x_{1} + 5 x_{2} + 6 x_{3} = 8

我们可以把系数单独提出来：

[142536]

这就是矩阵。

于是整个方程组可以压缩成

A x = b

其中

A = [142536], x = x_{1} x_{2} x_{3}, b = [78]

这时矩阵已经不只是“数表”，而是在表示：

输入 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ ，经过某种线性规则以后，得到两个输出。

也就是说，

R^{3} ⟶ R^{2}

矩阵 $A$ 就代表这个变换。

三、矩阵最核心的理解：一个线性变换

假设

A = [1324]

输入向量

x = [x y]

那么

A x = [1324] [x y] = [x + 2 y 3 x + 4 y]

也就是说矩阵定义了一个函数：

T (x, y) = (x + 2 y, 3 x + 4 y)

所以你可以把矩阵理解成：

一种特殊函数的编码方式。

这个函数满足线性性质：

T (x + y) = T (x) + T (y)

以及

T (λ x) = λ T (x)

这就是“线性变换”。

所以线性代数里研究矩阵，本质上是在研究：

线性变换如何表示、如何组合、如何求逆、如何改变坐标、如何分析其结构。

四、为什么矩阵有“行”和“列”？

这是理解矩阵最关键的地方之一。

对于

A = [142536]

你既可以按行看：

A = [- - r_{1} r_{2} - -]

其中

r_{1} = [123]

r_{2} = [456]

也可以按列看：

A = [c_{1} c_{2} c_{3}]

其中

c_{1} = [14], c_{2} = [25], c_{3} = [36]

这两种视角对应着两种完全不同但等价的理解。

五、列视角：矩阵的列表示“基向量被送到哪里”

这是理解矩阵最重要的观点之一。

假设

A = [1324]

它的两列是

c_{1} = [13], c_{2} = [24]

对于

x = [x y]

有

A x = x [13] + y [24]

也就是

A x = x c_{1} + y c_{2}

所以：

矩阵乘向量，本质上就是用向量中的坐标，对矩阵的列做线性组合。

这是列视角最核心的一句话。

六、为什么矩阵的列特别重要？

因为标准基向量是

e_{1} = [10], e_{2} = [01]

任意向量都可以写成

x = x e_{1} + y e_{2}

因为线性变换满足线性性，所以

A x = A (x e_{1} + y e_{2})

= x A e_{1} + y A e_{2}

而

A e_{1}

恰好就是矩阵 $A$ 的第一列，

A e_{2}

恰好就是第二列。

所以

A = [A e_{1} A e_{2}]

这意味着：

矩阵的第 $j$ 列，就是第 $j$ 个标准基向量经过这个线性变换以后到达的位置。

这是矩阵的几何本质。

七、举一个特别直观的例子

考虑

A = [2003]

第一列是

[20]

第二列是

[03]

因此

e_{1} = [10]

被变成

[20]

而

e_{2} = [01]

被变成

[03]

所以这个矩阵代表：

$x$ 方向放大 2 倍；
$y$ 方向放大 3 倍。

即

(x, y) \mapsto (2 x, 3 y)

从这个角度，你甚至可以说：

一个 $2 \times 2$ 矩阵，就是告诉你原来的两个坐标轴基向量应该变到哪里去。

知道基向量去哪了，所有向量去哪也就知道了。

八、行视角：矩阵的每一行表示“一个测量规则”

现在换一个视角。

仍然考虑

A = [1324]

以及

x = [x y]

那么

A x = [x + 2 y 3 x + 4 y]

第一项

x + 2 y

实际上是第一行

[12]

和向量

[x y]

的点积。

第二项

3 x + 4 y

是第二行和输入向量的点积。

所以

A x = [r_{1} \cdot x r_{2} \cdot x]

因此行视角是：

矩阵的每一行，都定义了一个对输入向量的“线性测量”。

比如

r = [12]

作用在

x = [x y]

上，得到

rx = x + 2 y

相当于：

“我要按照 $1 : 2$ 的权重，把 $x, y$ 混合成一个数。”

九、行视角和列视角其实是在描述同一件事

对于

A = [1324]

x = [x y]

从列看

A x = x [13] + y [24]

也就是：

输入坐标决定如何组合矩阵的列。

从行看

A x = [1 x + 2 y 3 x + 4 y]

也就是：

每一行和输入做点积，得到一个输出坐标。

所以一个矩阵乘向量，可以同时看成：

列的线性组合

也可以看成

行与向量逐个做点积

二者完全等价。

十、矩阵乘法为什么定义成“行乘列”？

现在来到核心。

假设

A_{m \times n}

和

B_{n \times p}

那么

A B

是一个

m \times p

矩阵。

大家最开始学的是：

左矩阵的行乘右矩阵的列。

即

(A B)_{ij} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{k j}

但如果只是背这个公式，会觉得非常奇怪。

为什么不能逐元素乘？

为什么一定“行乘列”？

真正原因是：

矩阵乘法必须表示线性变换的复合。

十一、矩阵乘法本质上是“变换的复合”

假设

B : R^{p} \to R^{n}

然后

A : R^{n} \to R^{m}

一个向量 $x$ 先经过 $B$ ：

x ⟼ B B x

再经过 $A$ ：

B x ⟼ A A (B x)

我们希望存在一个矩阵直接完成整个过程：

x ⟼ (A B) x

于是必须要求

(A B) x = A (B x)

所以

A B

表示：

先做 $B$ ，再做 $A$ 。

注意顺序是从右到左。

十二、用列视角理解矩阵乘法

这是最重要的矩阵乘法视角之一。

设

B = [b_{1} b_{2} \dots b_{p}]

那么

A B = A [b_{1} b_{2} \dots b_{p}]

等于

A B = [A b_{1} A b_{2} \dots A b_{p}]

也就是说：

$A B$ 的每一列，就是 $A$ 作用在 $B$ 的对应列上。

公式是

col_{j} (A B) = A col_{j} (B)

所以你可以把 $A B$ 想成：

把 $B$ 的每一列都送进变换 $A$ 。

十三、列视角还能得到另一个重要结论

假设

A = [a_{1} a_{2} \dots a_{n}]

而 $B$ 的第 $j$ 列为

b_{j} = b_{1 j} b_{2 j} ⋮ b_{nj}

那么

A b_{j} = b_{1 j} a_{1} + b_{2 j} a_{2} + \dots + b_{nj} a_{n}

因此

A B

的每一列，都是 $A$ 的列向量的线性组合。

所以：

A B 的列空间一定包含在 A 的列空间中

更准确地说：

Col (A B) \subseteq Col (A)

这个性质以后学秩的时候极其重要。

十四、从行视角理解矩阵乘法

同样有

A B

我们也可以从 $A$ 的行出发。

设 $A$ 的第 $i$ 行是

a_{i}^{T}

那么

A B

的第 $i$ 行等于

a_{i}^{T} B

也就是说：

$A B$ 的每一行，是 $B$ 的各行的线性组合。

例如如果

a_{i}^{T} = [a_{i 1} a_{i 2} \dots a_{in}]

那么

row_{i} (A B) = a_{i 1} row_{1} (B) + \dots + a_{in} row_{n} (B)

因此

Row (A B) \subseteq Row (B)

这和刚才的列结论是对称的：

Col (A B) \subseteq Col (A)

Row (A B) \subseteq Row (B)

十五、“行乘列”究竟是什么意思？

取

A = [1324], B = [5768]

那么

A B = [1324] [5768]

例如左上角元素：

(A B)_{11} = [12] [57]

因此

(A B)_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19

右上角：

(A B)_{12} = [12] [68]

所以

(A B)_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22

最终

A B = [19432250]

但这里不要把“行乘列”理解成一种人为规定的技巧。

它实际上来自：

(A B)_{ij} = 第 i 个输出测量

作用在

第 j 个变换后基向量

之上。

十六、一个特别适合深刻理解的三层图景

以后看到

A x

你可以同时从三个层面理解。

第一层：计算层面

就是

A x

按行乘列计算。

第二层：列空间层面

如果

A = [a_{1} \dots a_{n}]

那么

A x = x_{1} a_{1} + \dots + x_{n} a_{n}

所以：

输入 $x$ 提供权重，矩阵的列提供“材料”。

第三层：几何变换层面

矩阵规定标准基

e_{1}, \dots, e_{n}

分别被送到

a_{1}, \dots, a_{n}

因为任意向量都是基向量的线性组合，所以整个空间如何变化也就完全确定了。

这其实是最深层的理解。

十七、为什么 $m \times n$ 矩阵对应 $R^{n} \to R^{m}$ ？

如果

A_{m \times n}

那么它有 $n$ 列。

输入向量必须有 $n$ 个分量：

x \in R^{n}

因为要用这 $n$ 个数字作为权重去组合 $n$ 个列向量。

而每个列向量都有 $m$ 个分量，因此输出有 $m$ 个分量：

A x \in R^{m}

所以

A_{m \times n} : R^{n} \to R^{m}

可以记成一句口诀：

列数决定输入维度，行数决定输出维度。

十八、为什么矩阵乘法要求“内维相等”？

例如

A_{m \times n} B_{n \times p}

为什么中间两个 $n$ 必须一样？

因为

B : R^{p} \to R^{n}

而

A : R^{n} \to R^{m}

$B$ 输出一个 $n$ 维向量，而 $A$ 恰好接受一个 $n$ 维向量。

所以可以接起来：

R^{p} ⟶ B R^{n} ⟶ A R^{m}

于是

A B : R^{p} \to R^{m}

因此

(m \times n) (n \times p) = m \times p

这并不是一个需要死背的尺寸规则，它来自“函数复合的输入输出必须匹配”。

十九、为什么一般 $A B \neq = B A$ ？

这也是矩阵乘法最容易困惑的地方。

如果矩阵表示变换，那么

A B

表示：

先 $B$ ，再 $A$ 。

而

B A

表示：

先 $A$ ，再 $B$ 。

很多变换顺序不同，结果当然不同。

例如：

先旋转；
再沿 $x$ 轴拉伸。

和

先沿 $x$ 轴拉伸；
再旋转。

一般结果完全不同。

所以

A B \neq = B A

其实非常自然。

二十、行和列还对应“方程”和“变量”

对于线性方程组

A x = b

假设

A = [a_{11} a_{21} a_{12} a_{22} a_{13} a_{23}]

那么：

从行看

每一行对应一个方程：

a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + a_{13} x_{3} = b_{1}

a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + a_{23} x_{3} = b_{2}

所以：

行 = 约束。

从列看

设

A = [a_{1} a_{2} a_{3}]

那么方程可以写成

x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} + x_{3} a_{3} = b

于是问题变成：

能不能用矩阵的列向量，通过某种线性组合得到 $b$ ？

所以：

列 = 生成空间的方向。

这就是为什么线性方程组、列空间、秩，本质上都是同一件事的不同表达。

二十一、一个非常重要的“行列双重视角”

对于

A x = b

可以同时问两个问题。

行视角

⎩ ⎨ ⎧ r_{1} \cdot x = b_{1} r_{2} \cdot x = b_{2} ⋮

相当于：

找一个 $x$ ，同时满足所有线性约束。

列视角

x_{1} a_{1} + \dots + x_{n} a_{n} = b

相当于：

找一组系数，使矩阵的列向量线性组合成 $b$ 。

这两个问题看起来不同，实际上完全是同一个方程。

二十二、矩阵还可以看成“坐标系统之间的翻译器”

假设有一组新基

v_{1}, v_{2}

把它们放进矩阵：

P = [v_{1} v_{2}]

如果一个向量在新基下坐标是

[c_{1} c_{2}]

那么标准坐标就是

P [c_{1} c_{2}] = c_{1} v_{1} + c_{2} v_{2}

所以矩阵可以负责：

把一套坐标表示转换成另一套坐标表示。

以后学相似矩阵

B = P^{- 1} A P

其实本质就是：

同一个线性变换，在不同坐标系下的不同矩阵表达。

所以矩阵不是变换本身，严格来说：

矩阵是线性变换在某组基下的坐标表示。

这个观点到了特征值、相似对角化时非常重要。

二十三、为什么矩阵在数学和现实里这么普遍？

因为很多关系在局部、近似或者本质上都是线性的。

例如：

1. 图像

一张灰度图可以表示为矩阵：

A = 0100 ⋮ 12820025550

每个元素表示像素。

2. 神经网络

一层神经网络经常有

y = W x + b

其中 $W$ 就是权重矩阵。

3. 计算机图形学

旋转、缩放、投影都可以由矩阵表示。

比如二维旋转：

R (θ) = [cos θ sin θ - sin θ cos θ]

4. 数据科学

假设有 $m$ 个样本，每个样本有 $n$ 个特征：

X_{m \times n}

那么通常：

一行 = 一个样本；
一列 = 一个特征。

5. 微分方程

很多系统最终可以写成

x^{'} (t) = A x (t)

于是矩阵 $A$ 决定系统怎样演化。

6. 马尔可夫链

状态转移可以写成

p_{n + 1} = P p_{n}

矩阵 $P$ 描述状态之间如何转移。

二十四、再给你一个非常漂亮的矩阵乘法分解

设

A_{m \times n}

和

B_{n \times p}

把 $A$ 按列写：

A = [a_{1} \dots a_{n}]

把 $B$ 按行写：

B = b_{1}^{T} ⋮ b_{n}^{T}

那么

A B = a_{1} b_{1}^{T} + a_{2} b_{2}^{T} + \dots + a_{n} b_{n}^{T}

这里每一个

a_{k} b_{k}^{T}

都是一个秩 1 矩阵。

比如

[12] [34] = [3648]

所以矩阵乘法还可以理解成：

若干个“列向量 × 行向量”的外积叠加。

这个视角以后在：

秩；
奇异值分解；
低秩近似；
机器学习；

里极其重要。

二十五、把矩阵的四种理解统一起来

你以后看到矩阵

A

最好脑子里同时存在下面四层理解。

第一层：数表

A = (a_{ij})

这是最表面的。

第二层：方程系数

A x = b

每一行代表一个方程。

第三层：向量集合

A = [a_{1} \dots a_{n}]

每一列是一个向量。

第四层：线性变换

x \mapsto A x

这是最深刻、最统一的理解。

二十六、最值得记住的“行列哲学”

可以把整个矩阵思想压缩成几句话。

行是什么？

行是在“读取输入”。

对于

A x

每一行都和 $x$ 做点积。

所以：

行 = 测量 / 约束 / 输出规则

列是什么？

列是在“构造输出”。

A x = x_{1} a_{1} + \dots + x_{n} a_{n}

所以：

列 = 方向 / 基向量的像 / 输出材料

矩阵乘向量是什么？

输入坐标加权矩阵的列，生成新的向量

同时也是

矩阵各行分别测量输入，得到各个输出坐标

矩阵乘矩阵是什么？

A B = 先进行 B 变换，再进行 A 变换

同时：

A B 的第 j 列 = A \times B 的第 j 列

以及

A B 的第 i 行 = A 的第 i 行 \times B

二十七、最后给你一个整体心智模型

我建议以后不要把矩阵想成一张死板的数字表，而想成一个“机器”。

假设

A_{m \times n}

那么：

          输入 n 个坐标
               │
               ▼
         ┌───────────┐
         │   矩阵 A   │
         │ 线性变换器 │
         └───────────┘
               │
               ▼
          输出 m 个坐标

从列视角看：

输入坐标
x₁, x₂, ..., xₙ
     │
     ▼
给矩阵各列分配权重
     │
     ▼
x₁a₁ + x₂a₂ + ... + xₙaₙ
     │
     ▼
输出向量

从行视角看：

输入向量 x
   │
   ├── 第1行与 x 点积 ──→ y₁
   │
   ├── 第2行与 x 点积 ──→ y₂
   │
   ├── ...
   │
   └── 第m行与 x 点积 ──→ yₘ

所以真正掌握矩阵以后，你看到

A x

脑子里不应该只出现“行乘列”。

而应该同时看到：

A x = 列向量的线性组合 = 各行对输入的线性测量 = 一个线性变换作用于向量

而看到

A B

则应该想到：

A B = 线性变换的复合

这基本就是理解整个线性代数的入口。

矩阵

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