二次型
线性代数补充讲义：二次型
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二次型可以看成线性代数里研究“一个向量经过某种二次作用后，得到一个数”的问题。它和矩阵、特征值、正定性、极值、多元函数、几何曲面都有非常深的联系。
一、什么是二次型
先看一元二次式：
二元二次式：
三元时：
这种“每一项总次数都是 2 的齐次多项式”，就叫二次型。
一般地， 个变量的二次型写成
更重要的是，它可以统一写成矩阵形式：
其中
而 是一个对称矩阵。
例如
可以写为
因为展开后：
所以注意一个常见细节：
如果多项式中有
那么矩阵里的两个非对角元应该是
而不是 6。
二、为什么专门研究二次型
一个非常自然的问题是：
给定一个向量 ，二次型
到底是正、负，还是零？
例如：
除原点外总有
而
有时正，有时负。
这两者虽然都只是“二次多项式”，但性质完全不一样。
所以二次型最核心研究的是：
一个二次函数在不同方向上到底是向上弯、向下弯，还是退化？
这最终会变成：
- 有几个“正方向”
- 有几个“负方向”
- 有几个“零方向”
这正是惯性定理研究的东西。
三、二次型的几何意义
先看最简单的：
它是圆。
再看：
它是椭圆。
再看：
它是双曲线。
再看：
这是双曲面。
所以二次型实际上决定了许多二次曲线、二次曲面的基本形状。
问题在于，真实的二次型经常长这样：
多了一个交叉项 ，很难直接看出几何形状。
这时我们希望通过“换坐标”，把它变成
也就是去掉交叉项。
这就是二次型理论的一大目标：
找一套更合适的坐标系，使复杂二次型变成若干平方项之和。
四、为什么二次型一定与对称矩阵有关
任何二次型都可以写成
而且我们总可以要求 是对称矩阵。
原因是，如果原矩阵 不是对称的，那么
实际上只和它的对称部分有关。
因为
其中
是对称矩阵，而
是反对称矩阵。
对反对称矩阵 ，有
所以
因此研究二次型，本质上就是研究：
这也是为什么线性代数中“实对称矩阵”特别重要。
五、为什么要把二次型化为标准形
假设
我们做一个可逆线性变换：
其中 可逆。
代入：
得到
所以新的二次型矩阵是
这叫做合同变换。
如果能够选到合适的 ，就能使
那么二次型就变成
这叫二次型的标准形。
比如
原来看起来有交叉项。
配方：
令
就得到
这时性质就一眼看出来了：
一个正平方，一个负平方。
六、进一步化成规范形
如果标准形为
对于非零 ，还可以继续缩放变量。
例如
令
就得到
于是一般可以化成：
剩余的变量系数为 0。
这叫规范形。
也就是说，最后具体的 等系数其实已经不重要了。
真正重要的是：
这就进入了惯性定理。
七、什么是惯性定理
惯性定理，也叫 Sylvester 惯性定律。
它说：
一个实二次型，在任何可逆线性变换下化成规范形时，正平方项的个数和负平方项的个数都是唯一不变的。
假设一个二次型最终化成
那么：
正平方项数：
负平方项数：
这两个数不管你用什么方法换坐标，都不会改变。
称
为正惯性指数，
为负惯性指数。
而
就是二次型矩阵的秩。
零平方项个数为
八、为什么叫“惯性”
这里的“惯性”可以理解成：
无论你怎么换坐标，有些本质性质就是顽固地不变。
你可能：
- 旋转坐标轴；
- 拉伸坐标轴；
- 剪切坐标轴；
- 换一组完全不同的基。
二次型的表达式会发生很大的变化：
可能变成
再缩放成
但始终：
不会变。
这就是“惯性”。
九、惯性定理的深层意义
这是二次型理论里最重要的观点之一：
坐标表达式可以变，但空间本身的性质不能被换坐标改变。
例如：
有两个正方向，没有负方向。
无论怎么做可逆变换，都不可能把它变成
因为后者有一个正方向、一个负方向。
也就是说：
和
本质上就是两类完全不同的二次型。
惯性定理给出了分类标准。
十、它和特征值是什么关系
这是最值得掌握的一层关系。
实对称矩阵一定能够正交对角化：
其中
而
令
那么
因此
所以：
零平方项数就是零特征值的个数。
于是实对称矩阵的整个“符号结构”可以写成：
其中分别表示：
- 正特征值个数；
- 负特征值个数；
- 零特征值个数。
十一、为什么特征值能告诉我们二次型的形状
因为对于对称矩阵，
这其实告诉你存在一组互相正交的“特殊方向”：
也就是特征向量方向。
沿着第 个方向运动时，
利用
得到
于是：
如果
这个方向是“向上”的。
如果
这个方向是“向下”的。
如果
这个方向是“平的”。
所以二次型实际上是在问：
这个空间中有多少个独立的向上方向、多少个向下方向、多少个平坦方向？
这就是惯性指数的几何本质。
十二、正定、负定、不定是什么意思
这是二次型最重要的应用之一。
1. 正定二次型
如果任意
都有
则叫正定。
例如：
显然正定。
它的所有特征值满足
也就是说：
惯性指数为：
2. 负定二次型
若
则叫负定。
所有特征值：
3. 不定二次型
既存在 使
又存在 使
则称不定。
例如：
惯性指数是
4. 半正定
如果
但存在非零 满足
则称半正定。
例如：
作为二元二次型
就是半正定。
十三、二次型到底在研究什么
可以把整个二次型这一章概括成一句话：
通过换坐标，研究对称矩阵所描述的空间“弯曲方向”和正负性质。
更具体地说，主要研究四个问题。
第一：怎么去掉交叉项？
例如：
变成
方法包括：
- 配方法；
- 初等变换；
- 正交变换。
第二：一个二次型的本质结构是什么？
最终只需要知道
也就是：
第三：它是正定还是不定？
例如判断：
是否对所有 成立。
第四：不同二次型能不能通过换坐标变成彼此？
答案由惯性指数决定。
两个实对称矩阵 合同：
当且仅当它们拥有相同的正、负、零惯性指数。
所以惯性指数本质上是：
十四、合同和相似一定要区分
这一点考研里非常重要。
你之前学的相似变换是
相似研究的是：
同一个线性变换，在不同基下的矩阵表示。
它保持：
- 特征值；
- 行列式；
- 迹；
- 秩。
而二次型使用的是合同变换：
合同研究的是：
同一个二次型，在不同变量/坐标下如何表示。
它保持的是：
- 秩；
- 正惯性指数；
- 负惯性指数；
- 正定性等。
所以：
只是对于实对称矩阵，由于可以正交对角化：
所以正交变换时
两种形式恰好长得一样。
这也是很多人容易混淆的原因。
十五、一个完整例子
研究：
对应矩阵：
求特征值：
即
所以
即
因此
于是经过正交变换，二次型变成
再缩放变量，就得到规范形：
因此：
所以它是不定二次型。
而且不管以后换什么可逆坐标，它都永远不可能变成
因为后者惯性指数为
而前者是
这就是惯性定理的实际用途。
十六、二次型为什么在微积分里也特别重要
这是二次型很重要的实际来源。
多元函数在驻点附近，可以做泰勒展开：
其中 是 Hessian 矩阵。
如果 是驻点：
那么局部变化主要由
决定。
这恰好就是二次型。
于是：
如果 正定：
是局部极小值点。
如果 负定：
是局部极大值点。
如果 不定：
是鞍点。
所以你在高数里学到的二元函数极值判定：
之类的公式，本质上就是在判断 Hessian 二次型的正定性。
十七、从最深层理解二次型
可以把线性代数中的几个对象串起来：
向量
描述空间中的：
矩阵
描述：
特征向量
找出在线性变换下“方向不变”的特殊方向：
二次型
研究：
即
特征值
正好告诉我们每个主方向的“二次性质”：
惯性定理
最后告诉你：
这就是整个二次型理论最核心的逻辑。
十八、一张知识关系图
你可以把这一章记成：
做可逆变量变换
合同变换
化标准形
化规范形
得到
惯性定理保证
而对于实对称矩阵：
最终进一步判断：
如果只记住一句话，可以记成：
这其实就是“去掉坐标表象，找到二次型真正不变的本质结构”。