线性变换

线性代数里的“变换”，本质上是在研究：

一个向量经过某种规则之后，变成另一个向量。

而矩阵，就是描述这种变换的工具。

如果把整个线性代数串起来看，可以形成一条非常清晰的主线：

$$\boxed{\text{向量}\to \text{线性变换}\to \text{矩阵}\to \text{可逆变换}\to \text{坐标变换}\to \text{相似变换}\to \text{正交变换}\to \text{特征值与对角化}}$$

下面从这个视角完整讲。

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一、什么叫“变换”？

先不说线性。

一个“变换”就是一个映射：

$$T:V\to W$$

意思是：

输入一个向量 $\mathbf{x}$，输出另一个向量

$$T(\mathbf{x})$$

例如在二维平面中，

$$T\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2x\\ 3y\end{array}\right)$$

这就是一个变换。

它把

$$(1,1)$$

变成

$$(2,3)$$

从几何上看，相当于：

• 水平方向拉伸 2 倍；
• 竖直方向拉伸 3 倍。

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二、为什么线性代数特别研究“线性变换”？

因为一般变换太复杂。

例如

$$T(x,y)=(x^2+\sin y,e^x+y^3)$$

这样的变换几乎可以随便弯曲、拉伸、扭曲空间。

但有一类特别简单而且结构极好：

$$\boxed{\text{线性变换}}$$

它只允许空间发生一种“规整的变化”。

例如：

• 旋转；
• 镜像；
• 拉伸；
• 压缩；
• 剪切；
• 投影；
• 改变坐标系。

这些都可以用矩阵统一描述。

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三、线性变换到底“线性”在哪里？

一个变换 $T$ 是线性变换，当且仅当满足：

$$T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T(\mathbf{x})+T(\mathbf{y})$$

以及

$$T(k\mathbf{x})=kT(\mathbf{x})$$

合起来可以写成：

$$\boxed{T(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=aT(\mathbf{x})+bT(\mathbf{y})}$$

这句话非常重要。

它真正意味着：

变换不会破坏向量之间原本的线性组合关系。

比如如果

$$\mathbf{z}=2\mathbf{x}-3\mathbf{y}$$

那么经过线性变换之后一定仍然有

$$T(\mathbf{z})=2T(\mathbf{x})-3T(\mathbf{y})$$

所以“线性”最深刻的含义并不是“图像是一条直线”，而是：

$$\boxed{\text{保持线性组合}}$$

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四、线性变换为什么一定可以用矩阵表示？

这是理解矩阵的核心。

设二维空间的一组标准基为

$${\mathbf{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$

任意向量都能写成

$$\mathbf{x}=x_1{\mathbf{e}}_1+x_2{\mathbf{e}}_2$$

因为 $T$ 是线性的，

$$T(\mathbf{x})=x_{1}T({\mathbf{e}}_1)+x_{2}T({\mathbf{e}}_2)$$

也就是说：

只要知道基向量经过变换后去了哪里，就知道所有向量去了哪里。

假设

$$T({\mathbf{e}}_1)=\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right),T({\mathbf{e}}_2)=\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$$

那么

$$T(\mathbf{x})=x_1\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)+x_2\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$$

即

$$T(\mathbf{x})=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$$

于是令

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

就得到

$$\boxed{T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}}$$

所以：

$$\boxed{\text{矩阵本质上就是线性变换的坐标表示}}$$

这句话非常重要。

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五、矩阵的每一列到底意味着什么？

设

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$$

那么

$$A{\mathbf{e}}_1=\left(\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right)$$

就是第一列。

而

$$A{\mathbf{e}}_2=\left(\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right)$$

就是第二列。

因此：

$$\boxed{A=\left(\begin{array}{cc}|& |\\ T({\mathbf{e}}_1)& T({\mathbf{e}}_2)\\ |& |\end{array}\right)}$$

矩阵的列，就是原基向量变换后的结果。

这是理解矩阵最重要的几何视角之一。

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六、几种最基本的线性变换

1. 缩放变换

例如

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$$

则

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}2x\\ 3y\end{array}\right)$$

表示：

• $x$ 方向拉伸 2 倍；
• $y$ 方向拉伸 3 倍。

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七、旋转变换

二维平面绕原点逆时针旋转 $\theta$，矩阵为

$$\boxed{R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)}$$

为什么？

因为

$${\mathbf{e}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$

旋转后变成

$$\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)$$

而

$${\mathbf{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$$

旋转后变成

$$\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)$$

把这两个向量作为矩阵的列，就得到旋转矩阵。

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八、反射变换

例如关于 $x$ 轴对称：

$$(x,y)\mapsto (x,-y)$$

矩阵是

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

关于直线 $y=x$ 对称：

$$(x,y)\mapsto (y,x)$$

矩阵是

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$$

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九、剪切变换

例如

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right)$$

则

$$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}x+ky\\ y\end{array}\right)$$

直观上就是：

每一个水平层根据高度 $y$ 向右移动不同距离。

正方形会变成平行四边形。

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十、投影变换

例如把二维向量投影到 $x$ 轴：

$$(x,y)\mapsto (x,0)$$

矩阵为

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$$

注意：

$$P^2=P$$

为什么？

因为一个向量投影一次之后已经落在目标子空间中，再投影一次不会变化。

因此投影矩阵的重要特征是：

$$\boxed{P^2=P}$$

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十一、什么是可逆变换？

设线性变换

$$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$$

如果存在另一个变换 $T^{-1}$，使得

$$T^{-1}(T(\mathbf{x}))=\mathbf{x}$$

那么 $T$ 就叫做可逆变换。

对应矩阵满足：

$$\boxed{A^{-1}A=A{A}^{-1}=I}$$

因此：

$$\boxed{\text{可逆变换}⟺\text{可逆矩阵}}$$

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十二、怎样直观理解“可逆”？

可逆最直观的意思：

变换没有丢失信息。

例如

$$(x,y)\mapsto (2x,3y)$$

是可逆的。

因为看到

$$(u,v)$$

以后，可以还原：

$$x=\frac{u}{2},y=\frac{v}{3}$$

但是投影

$$(x,y)\mapsto (x,0)$$

不可逆。

为什么？

因为

$$(1,1),(1,2),(1,100)$$

全部会变成

$$(1,0)$$

原来的 $y$ 信息全部丢失。

所以：

$$\boxed{\text{可逆}\approx \text{没有压扁维数，没有丢失信息}}$$

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十三、可逆变换的各种等价条件

对于 $n$ 阶方阵 $A$，下面这些条件全部等价：

$$A\text{ 可逆}$$ $$⟺\det A\ne 0$$ $$⟺r(A)=n$$ $$⟺A\mathbf{x}=0\text{ 只有零解}$$ $$⟺A\text{ 的列向量线性无关}$$ $$⟺A\text{ 的行向量线性无关}$$ $$⟺0\text{ 不是 }A\text{ 的特征值}$$ $$⟺A\text{ 的线性变换是一一对应}$$

这些其实都在说同一件事：

空间没有被压扁。

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十四、行列式怎样理解变换？

行列式可以理解为：

$$\boxed{\text{线性变换对面积或体积的缩放倍数}}$$

二维情况下：

$$|\det A|$$

就是面积缩放比例。

三维情况下：

$$|\det A|$$

就是体积缩放比例。

例如

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$$

则

$$\det A=6$$

因此面积扩大 6 倍。

如果

$$\det A=0$$

意味着面积被压成 0。

例如二维平面可能被压成一条线。

所以不可逆。

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十五、什么是正交变换？

正交变换是一类极其特殊的线性变换。

设

$$T(\mathbf{x})=Q\mathbf{x}$$

如果 $Q$ 满足

$$\boxed{Q^{T}Q=I}$$

那么 $Q$ 称为正交矩阵，相应变换称为正交变换。

因为

$$Q^{T}Q=I$$

所以

$$\boxed{Q^{-1}=Q^T}$$

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十六、正交变换有什么几何意义？

正交变换最重要的性质是：

$$\boxed{\text{保持长度和夹角}}$$

先看长度。

原向量长度平方：

$$\Vert \mathbf{x}{\Vert }^2={\mathbf{x}}^T\mathbf{x}$$

变换后：

$$\Vert Q\mathbf{x}{\Vert }^2=(Q\mathbf{x}{)}^T(Q\mathbf{x})$$

所以

$$={\mathbf{x}}^T{Q}^{T}Q\mathbf{x}$$

因为

$$Q^{T}Q=I$$

因此

$$\Vert Q\mathbf{x}{\Vert }^2={\mathbf{x}}^T\mathbf{x}$$

即

$$\boxed{\Vert Q\mathbf{x}\Vert =\Vert \mathbf{x}\Vert }$$

所以正交变换不会拉伸或压缩。

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十七、正交变换保持内积

有

$$(Q\mathbf{x}{)}^T(Q\mathbf{y})={\mathbf{x}}^T{Q}^{T}Q\mathbf{y}$$

因此

$$\boxed{(Q\mathbf{x}{)}^T(Q\mathbf{y})={\mathbf{x}}^T\mathbf{y}}$$

所以内积保持。

而

$${\mathbf{x}}^T\mathbf{y}=\Vert \mathbf{x}\Vert \Vert \mathbf{y}\Vert \cos \theta$$

因为长度保持、内积保持，所以夹角也保持。

因此正交变换不会改变：

• 长度；
• 距离；
• 夹角；
• 垂直关系；
• 图形形状。

它只可能发生：

$$\boxed{\text{旋转、反射，或者它们的组合}}$$

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十八、为什么叫“正交矩阵”？

因为 $Q^{T}Q=I$。

假设

$$Q=({\mathbf{q}}_1,{\mathbf{q}}_2,\dots ,{\mathbf{q}}_n)$$

那么

$$Q^{T}Q=\left(\begin{array}{ccc}{\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{q}}_1& \cdots & {\mathbf{q}}_1^T{\mathbf{q}}_n\\ ⋮& & ⋮\\ {\mathbf{q}}_n^T{\mathbf{q}}_1& \cdots & {\mathbf{q}}_n^T{\mathbf{q}}_n\end{array}\right)$$

如果等于 $I$，说明

$${\mathbf{q}}_i^T{\mathbf{q}}_j=\{\begin{array}{ll}1,& i=j\\ 0,& i\ne j\end{array}$$

也就是说：

$$\boxed{Q\text{ 的列向量是一组标准正交基}}$$

同样，行向量也是标准正交基。

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十九、正交变换一定可逆

由于

$$Q^{T}Q=I$$

所以直接得到：

$$Q^{-1}=Q^T$$

因此：

$$\boxed{\text{正交变换一定是可逆变换}}$$

但反过来不成立。

例如

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$$

显然可逆，但是它改变长度，因此不是正交变换。

所以关系是：

$$\boxed{\text{正交变换}\subset \text{可逆线性变换}\subset \text{线性变换}}$$

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二十、旋转为什么是正交变换？

考虑

$$Q=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

那么

$$Q^T=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$$

计算得

$$Q^{T}Q=I$$

所以旋转矩阵是正交矩阵。

几何上也很容易理解：

旋转当然不改变长度和夹角。

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二十一、反射也是正交变换

例如关于 $x$ 轴：

$$Q=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$

满足

$$Q^{T}Q=I$$

因此它也是正交变换。

所以正交变换包含两大类：

$$\boxed{\text{旋转}+\text{反射}}$$

更准确地说：

$$\det Q=1$$

通常对应纯旋转；

而

$$\det Q=-1$$

通常包含一次反射。

由于

$$\det (Q^{T}Q)=1$$

所以

$$(\det Q{)}^2=1$$

因此正交矩阵必有

$$\boxed{\det Q=\pm 1}$$

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二十二、什么是坐标变换？

这里非常容易和“真正改变向量”混淆。

假设空间中有一个向量

$$\mathbf{v}$$

我们选两套基：

$$B=({\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n)$$

和

$$B^{\prime }=({\mathbf{f}}_1,\dots ,{\mathbf{f}}_n)$$

同一个向量在两套基下的坐标可能不同。

例如

$$[\mathbf{v}{]}_B$$

和

$$[\mathbf{v}{]}_{B^{\prime }}$$

并不一样。

但真实向量 $\mathbf{v}$ 没有改变。

所以：

$$\boxed{\text{坐标变换不是改变对象，而是改变描述方式}}$$

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二十三、线性变换和坐标变换最容易混淆在哪里？

有两件不同的事情。

第一种

真实向量发生变化：

$$\mathbf{x}\to A\mathbf{x}$$

这是线性变换。

第二种

真实向量不变，只换一套基：

$$[\mathbf{x}{]}_B\to [\mathbf{x}{]}_{B^{\prime }}$$

这是坐标变换。

可以类比：

一个人在房间里从 A 点走到 B 点。

这是对象真的移动了。

但如果人站着不动，你把地图的经纬度坐标系换成另一套坐标系，则只是坐标表示变化了。

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二十四、什么是基变换矩阵？

设

$$P=({\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\dots ,{\mathbf{p}}_n)$$

其列向量组成一组新基。

如果

$${\mathbf{x}}_{\text{new}}$$

表示新基下坐标，那么旧坐标为

$$\boxed{{\mathbf{x}}_{\text{old}}=P{\mathbf{x}}_{\text{new}}}$$

因此

$$\boxed{{\mathbf{x}}_{\text{new}}=P^{-1}{\mathbf{x}}_{\text{old}}}$$

这就是基变换。

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二十五、什么是相似变换？

这正是“线性变换 + 换坐标”的结合。

假设同一个线性变换 $T$，在旧基下矩阵为 $A$。

我们换一套新基。

变换矩阵为 $P$。

那么同一个 $T$ 在新基下的矩阵是：

$$\boxed{B=P^{-1}AP}$$

称 $A$ 和 $B$ 相似。

记作

$$A\sim B$$

这件事的本质是：

$$\boxed{A,B\text{ 是同一个线性变换在不同坐标系中的表示}}$$

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二十六、为什么相似变换是 $P^{-1}AP$？

假设现在你拿到的是新坐标

$${\mathbf{x}}_{\text{new}}$$

第一步，把新坐标变成旧坐标：

$${\mathbf{x}}_{\text{old}}=P{\mathbf{x}}_{\text{new}}$$

第二步，在旧坐标里应用 $A$：

$$A(P{\mathbf{x}}_{\text{new}})$$

第三步，把结果重新写成新坐标：

$$P^{-1}AP{\mathbf{x}}_{\text{new}}$$

因此新矩阵就是

$$\boxed{P^{-1}AP}$$

可以把它记成：

$$\boxed{\text{新坐标}\stackrel{P}{\to }\text{旧坐标}\stackrel{A}{\to }\text{变换}\stackrel{P^{-1}}{\to }\text{新坐标}}$$

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二十七、为什么要做相似变换？

因为有些矩阵看起来很复杂，但实际上只是：

你选的坐标系不好。

例如

$$A$$

在普通坐标系下非常复杂。

但如果改用它的特征向量作为基，可能变成：

$$\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & {\lambda }_2& \\ & & {\lambda }_3\end{array}\right)$$

于是

$$A=P\Lambda P^{-1}$$

这就是相似对角化。

因此：

$$\boxed{\text{相似变换的目的之一，就是寻找更合适的坐标系}}$$

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二十八、特征向量和变换有什么关系？

考虑

$$A\mathbf{x}$$

一般情况下，向量的：

• 长度改变；
• 方向也改变。

但是有些特殊方向，变换后方向不变：

$$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$

其中

$$\mathbf{v}$$

叫特征向量，

$$\lambda$$

叫特征值。

所以：

$$\boxed{\text{特征向量 = 线性变换中方向保持不变的特殊方向}}$$

而特征值表示：

$$\boxed{\text{这个方向上的拉伸、压缩或反转比例}}$$

例如：

$$\lambda =2$$

表示该方向拉伸 2 倍。

$$\lambda =\frac{1}{2}$$

表示压缩一半。

$$\lambda =-2$$

表示反向，同时伸长 2 倍。

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二十九、对角化的真正几何意义

如果有一组线性无关特征向量

$${\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n$$

组成

$$P=({\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n)$$

那么

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right)$$

这意味着：

在以特征向量为坐标轴的新坐标系里，这个复杂变换其实只是沿各个坐标轴分别缩放。

所以对角化可以理解成：

$$\boxed{\text{找到线性变换最自然的坐标系}}$$

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三十、正交变换和正交相似变换有什么区别？

这是考试中非常重要的区别。

正交变换

指

$$\mathbf{y}=Q\mathbf{x}$$

其中

$$Q^{T}Q=I$$

这是一个具体的线性变换。

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正交相似变换

指矩阵变化：

$$\boxed{B=Q^{T}AQ}$$

因为

$$Q^{-1}=Q^T$$

所以它其实就是相似变换

$$B=Q^{-1}AQ$$

的一种特殊情况。

区别在于：

$$\boxed{Q\text{ 必须是正交矩阵}}$$

它对应：

用一组标准正交基重新表示同一个线性变换。

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三十一、为什么实对称矩阵特别重要？

如果

$$A^T=A$$

那么根据实对称矩阵的谱定理，存在正交矩阵 $Q$，使得

$$\boxed{Q^{T}AQ=\Lambda }$$

其中 $\Lambda$ 是对角矩阵。

于是

$$A=Q\Lambda Q^T$$

这叫做：

$$\boxed{\text{正交对角化}}$$

它比一般相似对角化更漂亮，因为

$$Q^{-1}=Q^T$$

而且其特征向量可以选择成一组标准正交基。

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三十二、二次型里的正交变换

例如二次型

$$f(x,y)=a{x}^2+2bxy+c{y}^2$$

可以写成

$$f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$$

其中

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)$$

注意 $A$ 是实对称矩阵。

通过正交变换

$$\mathbf{x}=Q\mathbf{y}$$

得到

$$f={\mathbf{y}}^T{Q}^{T}AQ\mathbf{y}$$

选择合适 $Q$，使得

$$Q^{T}AQ=\Lambda$$

那么

$$f={\lambda }_1{y}_1^2+{\lambda }_2{y}_2^2$$

交叉项就消失了。

几何上就是：

原来的坐标轴没选对，把坐标轴旋转到图形的主轴方向。

例如椭圆

$$5x^2+4xy+2y^2=1$$

存在 $xy$ 项，通常说明椭圆的主轴不是 $x,y$ 轴。

做正交变换相当于旋转坐标轴，让它重新对齐椭圆主轴。

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三十三、什么叫等价变换？

在线性代数里还经常看到“等价”。

矩阵 $A,B$ 如果存在可逆矩阵 $P,Q$，满足

$$\boxed{B=PAQ}$$

那么称 $A,B$ 等价。

矩阵等价本质上对应：

同时改变定义域和陪域的基。

它和相似不同。

相似要求：

$$B=P^{-1}AP$$

两边的变换互相匹配。

因为相似是在描述“同一个从空间到自身的线性变换”。

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三十四、合同变换又是什么？

如果

$$\boxed{B=P^{T}AP}$$

称为合同变换。

它主要用于：

$$\boxed{\text{二次型}}$$

例如

$$f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}$$

令

$$\mathbf{x}=P\mathbf{y}$$

则

$$f=(P\mathbf{y}{)}^{T}A(P\mathbf{y})$$

于是

$$f={\mathbf{y}}^T{P}^{T}AP\mathbf{y}$$

因此二次型变换自然产生：

$$P^{T}AP$$

这就是合同。

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三十五、相似、合同、等价为什么长得很像？

因为它们都来源于：

$$\boxed{\text{换坐标}}$$

但换的对象不同。

可以这样区分：

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三十六、初等变换又是什么？

考研线代中还有：

• 初等行变换；
• 初等列变换。

它们其实也可以理解为乘矩阵。

例如对 $A$ 做一次初等行变换，相当于：

$$A\to EA$$

其中 $E$ 是某个初等矩阵。

做初等列变换，相当于：

$$A\to AE$$

所以：

$$\boxed{\text{行变换 = 左乘初等矩阵}}$$ $$\boxed{\text{列变换 = 右乘初等矩阵}}$$

每一个初等矩阵都是可逆的。

因此初等变换不会改变矩阵的秩。

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三十七、核空间和像空间怎样理解线性变换？

设

$$T:V\to W$$

定义两个特别重要的空间。

核空间

$$\ker T=\{\mathbf{x}:T(\mathbf{x})=0\}$$

矩阵形式就是

$$A\mathbf{x}=0$$

的所有解。

它回答：

哪些方向经过变换后被完全压没了？

例如二维投影到 $x$ 轴：

$$T(x,y)=(x,0)$$

则

$$T(0,y)=0$$

所以 $y$ 轴就是核空间。

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三十八、像空间

像空间是：

$$\mathrm{Im}T=\{T(\mathbf{x}):\mathbf{x}\in V\}$$

也就是所有可能的输出。

矩阵情况下就是：

$$\boxed{\mathrm{Im}T=\mathrm{Col}(A)}$$

即 $A$ 的列空间。

因此矩阵的秩：

$$r(A)$$

就是像空间的维数。

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三十九、秩—零化度定理

如果

$$T:V\to W$$

那么

$$\boxed{\dim (\ker T)+\dim (\mathrm{Im}T)=\dim V}$$

矩阵形式：

$$\boxed{\text{零空间维数}+r(A)=n}$$

它实际上描述：

输入空间的维数，一部分保留下来形成输出，另一部分被压没。

比如三维空间投影到二维平面：

$$r(A)=2$$

核空间维数为

$$1$$

所以

$$2+1=3$$

非常直观。

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四十、可逆变换在核空间角度怎么理解？

如果 $A$ 可逆，那么

$$A\mathbf{x}=0$$

只有

$$\mathbf{x}=0$$

所以：

$$\ker A=\{0\}$$

即没有任何非零方向被压没。

因此：

$$\boxed{A\text{ 可逆}⟺\ker A=\{0\}}$$

这又解释了为什么可逆代表“没有信息损失”。

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四十一、线性变换怎样理解矩阵乘法？

这是非常重要的一点。

设

$$T_A(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$$ $$T_B(\mathbf{x})=B\mathbf{x}$$

先执行 $B$，再执行 $A$：

$$\mathbf{x}\stackrel{B}{\to }B\mathbf{x}\stackrel{A}{\to }A(B\mathbf{x})$$

于是

$$T_A\circ T_B$$

对应的矩阵就是

$$\boxed{AB}$$

所以：

$$\boxed{\text{矩阵乘法 = 线性变换的复合}}$$

这也是为什么通常

$$AB\ne BA$$

因为：

先旋转再拉伸，和先拉伸再旋转，一般结果不同。

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四十二、逆矩阵为什么是“逆变换”？

如果

$$\mathbf{y}=A\mathbf{x}$$

想恢复原向量，就需要：

$$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{y}$$

所以：

$$\boxed{A^{-1}\text{ 就是撤销 }A\text{ 所代表的变换}}$$

例如：

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$$

表示横向放大 2 倍，纵向放大 3 倍。

那么

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 1/3\end{array}\right)$$

就是把它恢复。

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四十三、为什么正交矩阵的逆特别简单？

因为正交变换只是旋转和反射，并没有进行非均匀拉伸。

对于旋转矩阵，

$$Q(\theta {)}^{-1}=Q(-\theta )$$

而正好

$$Q(-\theta )=Q(\theta {)}^T$$

因此

$$Q^{-1}=Q^T$$

从几何上看：

旋转 $\theta$ 后想恢复，只要旋转 $-\theta$。

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四十四、线性变换不一定必须是方阵

例如：

$$A\in {\mathbb{R}}^{2\times 3}$$

代表

$$T:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^2$$

即三维向量变成二维向量。

例如：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$$

对应：

$$(x,y,z)\mapsto (x,y)$$

就是把三维空间投影到 $xy$ 平面。

因为输入和输出维数不同，所以这种变换谈不上普通意义上的逆矩阵。

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四十五、“仿射变换”和线性变换什么区别？

虽然考研线代主要研究线性变换，但你还经常会看到“仿射变换”。

线性变换：

$$\boxed{T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}}$$

仿射变换：

$$\boxed{T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}+\mathbf{b}}$$

区别就在于多了一个平移：

$$\mathbf{b}$$

线性变换一定满足：

$$T(0)=0$$

所以线性变换一定把原点映射到原点。

而平移：

$$T(\mathbf{x})=\mathbf{x}+\mathbf{b}$$

若 $\mathbf{b}\ne 0$，则

$$T(0)=\mathbf{b}$$

所以它不是线性变换。

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四十六、常见变换可以怎样分类？

第一层：任意变换

$$T:V\to W$$

几乎没有限制。

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第二层：线性变换

满足

$$T(a\mathbf{x}+b\mathbf{y})=aT(\mathbf{x})+bT(\mathbf{y})$$

矩阵形式：

$$T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$$

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第三层：可逆线性变换

满足：

$$A^{-1}\text{ 存在}$$

不丢失信息。

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第四层：正交变换

满足：

$$Q^{T}Q=I$$

除了可逆以外，还保持长度和夹角。

所以：

$$\boxed{\text{正交变换}\subset \text{可逆线性变换}\subset \text{线性变换}\subset \text{一般变换}}$$

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四十七、再把常见几何变换分类

有个例外：

$$A=-I$$

可以看成各方向乘 $-1$，它仍然是正交变换。

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四十八、从“空间是否被改变”来区分几个最容易混淆的概念

这是我非常建议你建立的思维模型。

1. 线性变换

对象真的变化：

$$\mathbf{x}\to A\mathbf{x}$$

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2. 坐标变换

对象不变，只改变描述：

$$[\mathbf{x}{]}_B\to [\mathbf{x}{]}_{B^{\prime }}$$

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3. 相似变换

同一个线性变换，换坐标表示：

$$A\to P^{-1}AP$$

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4. 正交变换

一种特殊线性变换：

$$\mathbf{x}\to Q\mathbf{x}$$

保持长度和夹角。

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5. 正交相似变换

同一个线性变换，换成一套标准正交坐标系表示：

$$A\to Q^{T}AQ$$

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6. 合同变换

二次型换变量：

$$A\to P^{T}AP$$

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四十九、为什么线性代数本质上可以叫“线性变换的理论”？

因为很多看似独立的知识，其实都能从线性变换解释。

例如：

矩阵

线性变换的坐标表示。

矩阵乘法

线性变换复合。

逆矩阵

逆变换。

秩

输出空间的维数。

齐次方程

哪些向量被变成 $0$。

非齐次方程

哪些输入会被变成某个给定输出。

行列式

空间体积被放大多少倍。

特征向量

方向不发生改变的向量。

特征值

该方向上的缩放比例。

相似矩阵

同一变换在不同坐标系下的表示。

对角化

寻找最自然的坐标系。

正交矩阵

保持欧氏几何结构的变换。

二次型

研究一种几何量在坐标变换下怎样变化。

因此可以说：

$$\boxed{\text{线性代数的真正主角不是矩阵，而是线性变换}}$$

矩阵只是它的表示形式。

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五十、一个统一例子把这些概念串起来

假设有变换

$$A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$$

它把向量

$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$

变成：

$$A\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}2x+y\\ x+2y\end{array}\right)$$

第一步：它可逆吗？

$$\det A=4-1=3\ne 0$$

所以可逆。

即这个变换不会压掉任何方向。

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第二步：它是正交变换吗？

计算

$$A^{T}A=A^2$$

显然不等于 $I$。

所以它不是正交变换。

它会改变长度。

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第三步：寻找特征方向

特征值：

$$\det (A-\lambda I)=0$$

得到

$${\lambda }_1=3,{\lambda }_2=1$$

对应特征向量可以取

$${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$

和

$${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$

注意它们互相正交。

所以这个变换的真实几何意义其实非常简单：

• 沿 $y=x$ 方向拉伸 3 倍；
• 沿 $y=-x$ 方向保持不变。

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第四步：换到特征向量坐标系

标准化后：

$${\mathbf{q}}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$$ $${\mathbf{q}}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$$

令

$$Q=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

由于两列标准正交，

$$Q^{T}Q=I$$

所以 $Q$ 是正交矩阵。

于是：

$$Q^{T}AQ=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

现在整个复杂变换变得非常简单：

$$\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}3u\\ v\end{array}\right)$$

所以：

$$\boxed{\text{很多“复杂矩阵”，只是因为你的坐标轴没选好}}$$

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五十一、最终建立一张“变换知识地图”

建议你最后把这部分记成：

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{线性变换}\\ T(\mathbf{x})=A\mathbf{x}\end{array}}$$

往下分：

$$\begin{array}{ccc}\text{核空间}& \text{像空间}& \text{矩阵}\\ \ker A& \mathrm{Col}(A)& A\end{array}$$

进一步：

$$\boxed{A\text{ 可逆}⟺\ker A=\{0\}⟺r(A)=n⟺\det A\ne 0}$$

特殊的可逆变换：

$$\boxed{Q^{T}Q=I}$$

即正交变换。

同时换坐标：

$$\boxed{B=P^{-1}AP}$$

即相似变换。

如果 $A$ 有足够多特征向量：

$$\boxed{P^{-1}AP=\Lambda }$$

即对角化。

如果 $A$ 是实对称矩阵：

$$\boxed{Q^{T}AQ=\Lambda }$$

即可正交对角化。

而二次型：

$$\boxed{{\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}}$$

换变量后：

$$\boxed{A\to P^{T}AP}$$

即合同变换。

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最值得记住的 8 句话

1. 向量是空间中的对象。
2. 线性变换是保持线性组合的空间变换。
3. 矩阵是线性变换在某组基下的表示。
4. 矩阵乘法就是线性变换的复合。
5. 可逆意味着没有任何信息或维数被压掉。
6. 正交变换意味着长度、角度、距离都保持。
7. 相似矩阵是同一个线性变换在不同坐标系中的样子。
8. 特征向量与对角化是在寻找这个变换最自然的方向和最自然的坐标系。

如果真正把这套“空间 → 变换 → 基 → 矩阵 → 换基 → 特征方向”的逻辑建立起来，逆矩阵、正交矩阵、相似矩阵、特征值、对角化、二次型这些原本很零散的知识，会一下子连成一个整体。