函数总框架

一、先建立“考研函数总框架”

高等数学里，函数几乎贯穿所有章节：极限、连续、导数、积分、级数、微分方程、多元函数，本质上都在研究函数。

考研中拿到一个函数，建议条件反射地检查下面这些东西：

1. 定义域
2. 值域
3. 奇偶性
4. 周期性
5. 单调性
6. 有界性
7. 连续性与间断点
8. 可导性
9. 极值与最值
10. 凹凸性与拐点
11. 渐近线
12. 零点
13. 反函数
14. 复合函数
15. 在特殊点附近的等价无穷小和泰勒展开
16. 无穷远处的增长速度

以后学任何函数，都可以套这套模板。

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二、函数到底是什么

函数可以理解成一个“输入—输出规则”。

设有两个数集，函数

$$y=f(x)$$

表示：对于定义域中的每个输入 $x$，按照确定规则，唯一得到一个输出 $y$。

这里最重要的不是公式长什么样，而是：

一个函数由“定义域 + 对应规则”共同决定。

例如

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

必须同时说明

$$x\ne 0$$

否则函数本身就没有完整定义。

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三、定义域——所有题第一步都应该想到

考研尤其喜欢把多个限制叠加。

1. 分母不能为零

例如

$$f(x)=\frac{1}{x-1}$$

要求

$$x\ne 1$$

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2. 偶次根号内部非负

例如

$$f(x)=\sqrt{1-x^2}$$

要求

$$1-x^2\ge 0$$

所以

$$-1\le x\le 1$$

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3. 对数真数必须大于零

例如

$$f(x)=\ln (x^2-1)$$

要求

$$x^2-1>0$$

所以

$$x<-1$$

或

$$x>1$$

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4. 反正弦、反余弦的自变量有限制

$$\arcsin x$$

和

$$\arccos x$$

要求

$$-1\le x\le 1$$

而

$$\arctan x$$

的定义域则是整个实数集。

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四、函数图像变换必须熟练

这是非常基础但非常重要的一部分。

假设知道

$$y=f(x)$$

的图像。

1. 上下平移

$$y=f(x)+a$$

表示整体向上平移 $a$。

而

$$y=f(x)-a$$

表示向下平移 $a$。

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2. 左右平移

$$y=f(x-a)$$

是向右平移 $a$。

注意这里非常容易记反。

而

$$y=f(x+a)$$

是向左平移 $a$。

口诀可以理解成：

横坐标里面“反着走”。

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3. 对称

$$y=-f(x)$$

关于 $x$ 轴对称。

$$y=f(-x)$$

关于 $y$ 轴对称。

$$y=-f(-x)$$

关于原点对称。

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4. 绝对值变换

$$y=|f(x)|$$

意味着原图像在 $x$ 轴下方的部分翻到上方。

而

$$y=f(|x|)$$

意味着保留右半部分，然后关于 $y$ 轴复制到左边。

这两个在考研图像题中很常见。

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五、奇函数和偶函数

1. 偶函数

若定义域关于原点对称，并且

$$f(-x)=f(x)$$

则称为偶函数。

图像关于 $y$ 轴对称。

典型：

$$x^2,x^4,\cos x$$

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2. 奇函数

若

$$f(-x)=-f(x)$$

则称为奇函数。

图像关于原点中心对称。

典型：

$$x,x^3,\sin x,\tan x$$

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3. 一个特别重要的积分结论

如果 $f(x)$ 为奇函数，则

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$$

如果 $f(x)$ 为偶函数，则

$${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$$

这在定积分计算中非常常用。

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六、幂函数

最基本形式是

$$y=x^{\alpha }$$

这里 $\alpha$ 是常数。

幂函数看起来简单，但实际上不同 $\alpha$ 的性质差别非常大。

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七、先理解指数 $\alpha$ 的分类

情况一：正整数

例如

$$x,x^2,x^3,x^4$$

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情况二：负整数

例如

$$x^{-1}=\frac{1}{x}$$ $$x^{-2}=\frac{1}{x^2}$$

此时必须注意

$$x\ne 0$$

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情况三：分数指数

例如

$$x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$$ $$x^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{x}$$

注意偶次根和奇次根的定义域不同。

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情况四：任意实数指数

在高等数学中，为了统一处理，通常在

$$x>0$$

条件下定义

$$x^{\alpha }=e^{\alpha \ln x}$$

这一定义非常重要，因为以后大量求导、极限都靠它。

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八、幂函数的导数

最核心公式：

$$\frac{d}{dx}{x}^{\alpha }=\alpha x^{\alpha -1}$$

例如

$$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

因为

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

又例如

$$\frac{d}{dx}\frac{1}{x^2}=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$$

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九、幂函数在 $0$ 和无穷远处的行为

这是极限的基础。

当

$$\alpha >0$$

时，

$$x^{\alpha }\to +\infty (x\to +\infty )$$

而当

$$\alpha <0$$

时，

$$x^{\alpha }\to 0(x\to +\infty )$$

因为

$$x^{-\alpha }=\frac{1}{x^{\alpha }}$$

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十、不同幂函数的增长速度

例如

$$x,x^2,x^3,x^{100}$$

当

$$x\to +\infty$$

时，指数越大，最终增长越快。

例如

$$\frac{x^3}{x^2}=x\to +\infty$$

所以可以说

$$x^3$$

比

$$x^2$$

增长更快。

这个思想以后会发展成“无穷大量阶的比较”。

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十一、多项式函数

一般形式为

$$P(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$$

其中

$$a_n\ne 0$$

称为 $n$ 次多项式。

例如

$$x^3-2x+1$$

就是三次多项式。

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十二、多项式最重要的性质

1. 定义域

所有实数。

2. 处处连续

多项式函数在整个实数轴上连续。

3. 处处可导

而且可以无限次求导。

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十三、多项式在无穷远处看最高次项

这是一个极其重要的思想。

例如

$$P(x)=3x^5-100x^3+20000x+1$$

当

$$x\to \infty$$

时，真正控制函数增长的是

$$3x^5$$

所以

$$P(x)\sim 3x^5$$

进一步，

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x^5-100x^3+20000x+1}{x^5}=3$$

考研的无穷远极限中经常这样处理。

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十四、多项式零点与因式

如果

$$P(a)=0$$

那么 $a$ 是多项式的一个零点，并且

$$x-a$$

一定是 $P(x)$ 的因式。

例如

$$P(x)=x^2-3x+2$$

因为

$$P(1)=0$$

以及

$$P(2)=0$$

所以

$$P(x)=(x-1)(x-2)$$

这与零点问题、方程根问题联系非常紧密。

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十五、二次函数——考研必须非常熟练

二次函数为

$$f(x)=a{x}^2+bx+c$$

其中

$$a\ne 0$$

它虽然是高中内容，但在高数中到处出现。

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十六、二次函数的配方法

非常重要：

$$a{x}^2+bx+c=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+c-\frac{b^2}{4a}$$

因此顶点横坐标为

$$x=-\frac{b}{2a}$$

顶点纵坐标为

$$\frac{4ac-b^2}{4a}$$

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十七、二次函数的极值

求导：

$$f^{\prime }(x)=2ax+b$$

令

$$2ax+b=0$$

得到

$$x=-\frac{b}{2a}$$

如果

$$a>0$$

开口向上，是最小值。

如果

$$a<0$$

开口向下，是最大值。

这里其实就是后面“导数求极值”的最简单模型。

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十八、判别式

方程

$$a{x}^2+bx+c=0$$

的判别式：

$$\Delta =b^2-4ac$$

当

$$\Delta >0$$

有两个不同实根。

当

$$\Delta =0$$

有一个二重实根。

当

$$\Delta <0$$

没有实根。

在考研里，判别式经常不是直接问“求根”，而是用于：

• 判断函数是否恒正；
• 判断零点个数；
• 判断方程根的数量；
• 判断参数范围。

例如对于

$$a{x}^2+bx+c>0$$

若要求它对所有实数都成立，经典条件是

$$a>0$$

并且

$$\Delta <0$$

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十九、有理函数

两个多项式相除：

$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$$

称为有理函数。

必须满足

$$Q(x)\ne 0$$

有理函数非常重要，因为它直接联系：

• 定义域；
• 间断点；
• 渐近线；
• 极限；
• 积分中的部分分式。

例如

$$f(x)=\frac{1}{x-1}$$

在

$$x=1$$

处没有定义，并且有垂直渐近线

$$x=1$$

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二十、三角函数

考研最重要的是六个：

$$\sin x,\cos x,\tan x,\cot x,\sec x,\csc x$$

其中最核心的实际上还是

$$\sin x,\cos x,\tan x$$

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二十一、三角函数一定使用弧度制

高数中的公式，例如

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

成立的前提是 $x$ 使用弧度制。

导数公式

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$

也是基于弧度制。

所以进入高数以后，基本应该暂时忘掉角度制。

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二十二、正弦和余弦

基本关系：

$${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$$

奇偶性：

$$\sin (-x)=-\sin x$$

所以正弦是奇函数。

而

$$\cos (-x)=\cos x$$

所以余弦是偶函数。

周期：

$$2\pi$$

值域都是

$$[-1,1]$$

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二十三、正切函数

定义：

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

所以当

$$\cos x=0$$

时没有定义。

即

$$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$$

周期为

$$\pi$$

并且

$$\tan (-x)=-\tan x$$

因此是奇函数。

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二十四、三角函数基本恒等式

必须掌握。

和角公式

$$\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$$ $$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$$

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差角公式

$$\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$$ $$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$$

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二倍角

$$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ $$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$$

还可以写成

$$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$$

以及

$$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1$$

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降幂公式

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$ $${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$

积分中特别常见。

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二十五、三角函数导数

必须直接记住：

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$ $$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$ $$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$$ $$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x$$

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二十六、三角函数最重要的极限

必须达到条件反射：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

因此

$$\sin x\sim x(x\to 0)$$

进一步，

$$\tan x\sim x$$

以及

$$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$$

这些是无穷小等价替换的核心。

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二十七、三角函数的泰勒展开

在

$$x\to 0$$

时：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+O(x^7)$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+O(x^6)$$ $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+O(x^5)$$

考研极限中非常重要。

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二十八、反三角函数到底是什么

很多人第一次学会误以为：

$${\sin }^{-1}x=\frac{1}{\sin x}$$

这是错误的。

这里

$${\sin }^{-1}x$$

通常表示反函数，即

$$\arcsin x$$

而正弦的倒数是

$$\csc x$$

这两个完全不是一回事。

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二十九、为什么需要限制三角函数定义域才能取反函数

正弦函数在整个实数轴上不是一一对应的。

例如：

$$\sin 0=0$$

又有

$$\sin \pi =0$$

因此没办法直接建立唯一反函数。

于是人为选择区间

$$\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$

在这个区间内，正弦严格单调递增，可以定义反函数

$$y=\arcsin x$$

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三十、反正弦函数

$$y=\arcsin x$$

定义域：

$$[-1,1]$$

值域：

$$\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$$

导数：

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

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三十一、反余弦函数

$$y=\arccos x$$

定义域：

$$[-1,1]$$

值域：

$$[0,\pi ]$$

导数：

$$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

非常重要的关系：

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$$

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三十二、反正切函数

$$y=\arctan x$$

定义域：

$$(-\infty ,+\infty )$$

值域：

$$\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$$

导数：

$$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

因此一个必须记住的不定积分是

$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$

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三十三、反三角函数附近的等价无穷小

当

$$x\to 0$$

时，

$$\arcsin x\sim x$$

以及

$$\arctan x\sim x$$

进一步：

$$\arcsin x=x+\frac{x^3}{6}+O(x^5)$$ $$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+O(x^5)$$

这些经常用于极限。

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三十四、指数函数

指数函数为

$$y=a^x$$

其中必须满足

$$a>0$$

并且

$$a\ne 1$$

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三十五、指数函数的基本性质

如果

$$a>1$$

那么指数函数严格递增。

如果

$$0<a<1$$

那么严格递减。

并且无论如何都有

$$a^x>0$$

所以指数函数永远不会等于零，也不会变成负数。

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三十六、为什么 $e^x$ 最重要

所有指数函数里，最重要的是

$$e^x$$

因为它的导数还是自己：

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$

这是一个极其特殊的性质。

一般地，

$$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$$

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三十七、指数函数的泰勒展开

考研超级重要：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

因此当

$$x\to 0$$

时，

$$e^x-1\sim x$$

更精确地，

$$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+O(x^4)$$

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三十八、对数函数

指数函数的反函数就是对数函数。

如果

$$y=a^x$$

那么

$$x={\log }_{a}y$$

所以

$$y={\log }_{a}x$$

要求

$$x>0$$

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三十九、自然对数

最重要的是

$$\ln x={\log }_{e}x$$

导数：

$$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$

因此：

$$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$$

注意积分里为什么有绝对值，是高频基础问题。

因为

$$\frac{d}{dx}\ln |x|=\frac{1}{x}$$

在

$$x\ne 0$$

处成立。

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四十、对数运算性质

必须熟练：

$$\ln (ab)=\ln a+\ln b$$ $$\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$$ $$\ln a^b=b\ln a$$

但这里一定注意定义域。

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四十一、对数的基本极限

当

$$x\to 0$$

时：

$$\ln (1+x)\sim x$$

泰勒展开：

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+O(x^5)$$

所以考研中见到

$$\ln (1+x)$$

要立刻想到它在零附近与 $x$ 同阶。

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四十二、指数、对数和幂函数的增长速度

这是一个非常重要的整体认识。

当

$$x\to +\infty$$

时，一般有：

$$\ln x$$

增长最慢，

然后是

$$x^{\alpha }$$

再然后是

$$a^x$$

其中

$$a>1$$

也就是说：

$$\ln x\ll x^{\alpha }\ll a^x$$

其中

$$\alpha >0$$

因此有经典结论：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^{\alpha }}=0$$

以及

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^{\alpha }}{a^x}=0$$

可以理解为：

对数打不过幂函数，幂函数打不过指数函数。

这对无穷远极限特别重要。

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四十三、幂指函数——考研高频函数

所谓幂指函数，就是类似

$$y=u(x{)}^{v(x)}$$

的函数。

它同时满足：

• 底数在变化；
• 指数也在变化。

例如：

$$x^x$$ $$x^{1/x}$$ $$(1+x{)}^{1/x}$$ $${\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$$

都是典型幂指函数。

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四十四、幂指函数为什么特殊

如果只有底数变：

$$x^3$$

使用幂函数求导。

如果只有指数变：

$$2^x$$

使用指数函数求导。

但

$$x^x$$

是两者同时变化，不能直接套其中任意一个。

这时候就要使用：

对数求导法。

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四十五、对数求导法

设

$$y=u(x{)}^{v(x)}$$

通常先假设

$$u(x)>0$$

两边取自然对数：

$$\ln y=v(x)\ln u(x)$$

求导：

$$\frac{y^{\prime }}{y}=v^{\prime }(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}$$

所以

$$y^{\prime }=u(x{)}^{v(x)}\left[v^{\prime }(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}\right]$$

这是幂指函数的通用公式。

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四十六、例：求 $x^x$ 的导数

设

$$y=x^x$$

取对数：

$$\ln y=x\ln x$$

求导：

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln x+1$$

于是

$$y^{\prime }=x^x(\ln x+1)$$

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四十七、幂指函数极限

这是考研极限的重要题型。

例如

$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}$$

结果为

$$e$$

为什么？

设

$$y=(1+x{)}^{1/x}$$

取对数：

$$\ln y=\frac{\ln (1+x)}{x}$$

由于

$$\ln (1+x)\sim x$$

所以

$$\underset{x\to 0}{\lim }\ln y=1$$

因此

$$\underset{x\to 0}{\lim }y=e$$

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四十八、最重要的一类未定式

形如

$$1^{\infty }$$

的极限，几乎都应该想到取对数。

一般设

$$y=f(x{)}^{g(x)}$$

则

$$\ln y=g(x)\ln f(x)$$

把“指数型未定式”转换成乘法或除法极限。

此外常见的幂指型未定式还有：

$$0^0$$

和

$${\infty }^0$$

处理思想相同。

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四十九、复合函数

例如

$$y=\sin (x^2)$$

它实际上由两个函数组成：

$$u=x^2$$

以及

$$y=\sin u$$

因此求导使用链式法则：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$

于是

$$\frac{d}{dx}\sin (x^2)=2x\cos (x^2)$$

整个高数的求导，本质上大量依赖链式法则。

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五十、反函数

如果

$$y=f(x)$$

能够一一对应，那么交换输入输出：

$$x=f(y)$$

再解出 $y$，就得到反函数。

记作

$$y=f^{-1}(x)$$

注意：

$$f^{-1}(x)$$

不是

$$\frac{1}{f(x)}$$

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五十一、反函数导数

设

$$y=f^{-1}(x)$$

如果

$$x=f(y)$$

那么

$$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f^{\prime }(y)}$$

因此可以写成

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(x))}$$

反三角函数的导数实际上就是这样推出来的。

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五十二、绝对值函数

基础模型：

$$y=|x|$$

可以写成分段函数：

$$|x|=\{\begin{array}{ll}x,& x\ge 0\\ -x,& x<0\end{array}$$

它在

$$x=0$$

连续，但不可导。

因为左导数：

$$f_{-}^{\prime }(0)=-1$$

右导数：

$$f_{+}^{\prime }(0)=1$$

二者不相等。

这就是一个非常经典的：

连续但不可导。

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五十三、分段函数

例如

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x\le 1\\ ax+b,& x>1\end{array}$$

考研经常要求：

• 求连续条件；
• 求可导条件；
• 求参数 $a,b$。

判断在分界点连续，要检查：

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)$$ $$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)$$

以及

$$f(1)$$

三者是否相等。

如果还要求可导，则进一步检查：

$$f_{-}^{\prime }(1)=f_{+}^{\prime }(1)$$

这是高数非常重要的一类基础题。

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五十四、变限积分函数——考研核心函数

这是很多学生第一次遇到时觉得非常陌生的一种函数。

例如：

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

注意这里积分结果不是一个固定数字。

因为上限 $x$ 在变化，所以积分结果也随 $x$ 变化。

因此它本身是一个函数。

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五十五、怎么直观理解变限积分函数

把

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

理解成：

从固定位置 $a$ 出发，一直累计到 $x$ 的“带符号面积”。

当 $x$ 改变，累计面积改变，因此 $F(x)$ 也改变。

它是把“局部的函数值”积累成“整体的面积”。

而导数恰好反过来把它恢复出来。

这就是微积分基本定理最核心的含义。

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五十六、最重要公式——变上限积分求导

如果

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

那么

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

这个公式必须达到条件反射。

例如：

$$F(x)={\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$$

虽然

$$e^{-t^2}$$

没有初等原函数，但完全不影响求导：

$$F^{\prime }(x)=e^{-x^2}$$

这点特别重要。

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五十七、上限不是 $x$ 怎么办

例如：

$$F(x)={\int }_0^{x^2}\sin tdt$$

先把

$$u=x^2$$

看成积分上限。

根据链式法则：

$$F^{\prime }(x)=\sin (x^2)\cdot 2x$$

一般公式：

$$F(x)={\int }_a^{g(x)}f(t)dt$$

则

$$F^{\prime }(x)=f(g(x))g^{\prime }(x)$$

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五十八、下限变化怎么办

如果

$$F(x)={\int }_{g(x)}^{a}f(t)dt$$

那么

$$F^{\prime }(x)=-f(g(x))g^{\prime }(x)$$

负号来源于积分上下限交换：

$${\int }_{g(x)}^{a}f(t)dt=-{\int }_a^{g(x)}f(t)dt$$

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五十九、上下限同时变化

如果

$$F(x)={\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(t)dt$$

那么

$$F^{\prime }(x)=f(\beta (x)){\beta }^{\prime }(x)-f(\alpha (x)){\alpha }^{\prime }(x)$$

一定牢记：

上限是正，下限是负。

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六十、更加一般的含参积分

如果被积函数本身也含有 $x$：

$$F(x)={\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,t)dt$$

则使用 Leibniz 公式：

$$F^{\prime }(x)=f(x,\beta (x)){\beta }^{\prime }(x)-f(x,\alpha (x)){\alpha }^{\prime }(x)+{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dt$$

考研中基础阶段先把前面的普通变限积分掌握牢固，这个属于进一步推广。

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六十一、变限积分函数为什么是考研重点

因为它可以同时考：

• 连续；
• 求导；
• 单调性；
• 极值；
• 奇偶性；
• 零点；
• 极限；
• 中值定理；
• 泰勒公式；
• 定积分性质。

它实际上把微积分前后很多章节连接起来了。

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六十二、利用变限积分判断单调性

例如：

$$F(x)={\int }_0^x(t^2-1)dt$$

则

$$F^{\prime }(x)=x^2-1$$

于是：

当

$$x<-1$$

或者

$$x>1$$

时，

$$F^{\prime }(x)>0$$

所以递增。

而当

$$-1<x<1$$

时，

$$F^{\prime }(x)<0$$

所以递减。

注意：

根本没有必要先把积分算出来。

这就是变限积分题非常重要的思维。

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六十三、变限积分函数的奇偶性

设

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt$$

一个很漂亮的结论：

如果 $f$ 是偶函数，则 $F$ 是奇函数。

如果 $f$ 是奇函数，则 $F$ 是偶函数。

例如 $f$ 为偶函数：

$$F(-x)={\int }_0^{-x}f(t)dt$$

经过变量代换可以得到

$$F(-x)=-F(x)$$

所以 $F$ 为奇函数。

这类题考研很喜欢。

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六十四、导数与积分其实是一对逆运算

如果

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

那么

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

反过来，如果

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

那么

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

这就是 Newton-Leibniz 公式。

微积分最核心的桥梁实际上就是这两个结论。

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六十五、考研必须熟练的初等函数体系

所谓基本初等函数，通常包括：

常数函数

$$y=C$$

幂函数

$$y=x^{\alpha }$$

指数函数

$$y=a^x$$

对数函数

$$y={\log }_{a}x$$

三角函数

$$\sin x,\cos x,\tan x,\cot x$$

反三角函数

$$\arcsin x,\arccos x,\arctan x$$

这些经过有限次：

• 四则运算；
• 复合；

得到的函数统称为初等函数。

例如：

$$e^{\sin x}$$ $$\ln (1+x^2)$$ $$\sqrt{1+{\tan }^{2}x}$$

都属于初等函数。

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六十六、几个考研特别喜欢的复合结构

必须做到一眼拆解。

类型一

$$e^{f(x)}$$

导数：

$$\frac{d}{dx}{e}^{f(x)}=e^{f(x)}{f}^{\prime }(x)$$

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类型二

$$\ln f(x)$$

导数：

$$\frac{d}{dx}\ln f(x)=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}$$

前提是相关区间内满足定义要求。

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类型三

$$\sin f(x)$$

导数：

$$\frac{d}{dx}\sin f(x)=\cos f(x)f^{\prime }(x)$$

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类型四

$$[f(x){]}^{\alpha }$$

导数：

$$\frac{d}{dx}[f(x){]}^{\alpha }=\alpha [f(x){]}^{\alpha -1}{f}^{\prime }(x)$$

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类型五

$$[f(x){]}^{g(x)}$$

使用对数求导：

$$y^{\prime }=[f(x){]}^{g(x)}\left[g^{\prime }(x)\ln f(x)+g(x)\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right]$$

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六十七、考研极限最核心的“函数词典”

这一部分建议最终背到非常熟。

当

$$x\to 0$$

时：

$$\sin x\sim x$$ $$\tan x\sim x$$ $$\arcsin x\sim x$$ $$\arctan x\sim x$$ $$e^x-1\sim x$$ $$\ln (1+x)\sim x$$

以及

$$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$$

还有一般化公式：

$$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x$$

这些几乎贯穿整个极限章节。

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六十八、进一步统一理解这些等价无穷小

为什么上面大量函数都和 $x$ 等价？

因为如果函数满足

$$f(0)=0$$

而且

$$f^{\prime }(0)=1$$

那么在很多常见光滑情形下，Taylor 展开给出

$$f(x)=x+o(x)$$

于是

$$f(x)\sim x$$

例如

$$\sin 0=0$$

且

$$(\sin x{)}_{x=0}^{\prime }=1$$

于是

$$\sin x\sim x$$

这比死记公式更深一层。

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六十九、Taylor 展开是各种基础函数之间的大统一

很多看似不同的函数，在某一点附近都可以变成多项式。

例如：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots$$ $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots$$

所以你会发现：

多项式其实是分析各种复杂函数的“局部语言”。

这也是为什么多项式函数虽然看起来简单，却特别重要。

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七十、必须掌握的增长速度总排序

当

$$x\to +\infty$$

时，一个非常重要的整体顺序是：

$$(\ln x{)}^m\ll x^{\alpha }\ll a^x\ll x!$$

其中

$$m>0,\alpha >0,a>1$$

如果以后学习数列，还会经常遇到这个关系。

简单记：

对数 < 幂 < 指数 < 阶乘。

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七十一、函数的单调性

定义上，若

$$x_1<x_2$$

总能推出

$$f(x_1)<f(x_2)$$

则严格递增。

高数中最重要的方法是看导数。

如果在某区间

$$f^{\prime }(x)>0$$

则函数在该区间递增。

如果

$$f^{\prime }(x)<0$$

则递减。

因此几乎任何函数都可以按：

$$f(x)\to f^{\prime }(x)\to \text{导数符号}\to \text{单调区间}$$

来分析。

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七十二、函数的极值

极值通常出现在：

$$f^{\prime }(x)=0$$

或者导数不存在的点。

但必须注意：

$$f^{\prime }(x_0)=0$$

只是极值的可能条件，并不一定有极值。

例如

$$f(x)=x^3$$

有

$$f^{\prime }(0)=0$$

但 $x=0$ 并不是极值点。

所以最终要检查导数是否变号。

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七十三、二阶导数与凹凸性

如果

$$f^{\prime \prime }(x)>0$$

函数图像倾向于“向上弯”。

如果

$$f^{\prime \prime }(x)<0$$

函数图像倾向于“向下弯”。

拐点关注的是二阶导数两侧符号发生变化。

注意：

$$f^{\prime \prime }(x_0)=0$$

不能直接推出 $x_0$ 是拐点。

与极值点类似，需要检查两侧凹凸性是否真正改变。

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七十四、渐近线

考研函数图像问题常见三类。

水平渐近线

如果

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A$$

那么

$$y=A$$

是水平渐近线。

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垂直渐近线

如果

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=\infty$$

则

$$x=x_0$$

通常为垂直渐近线。

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斜渐近线

如果

$$f(x)-(ax+b)\to 0$$

则

$$y=ax+b$$

为斜渐近线。

一般可以计算

$$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$$

再计算

$$b=\underset{x\to \infty }{\lim }[f(x)-ax]$$

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七十五、这些函数在考研中分别主要出现在哪里

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七十六、考研最重要的“函数处理流程”

以后拿到一个陌生函数，例如

$$F(x)=e^{-x}{\int }_0^{x^2}\frac{\ln (1+t)}{1+t^2}dt$$

不要害怕。

应该从外到内拆：

第一层是乘积：

$$e^{-x}$$

乘

$${\int }_0^{x^2}\frac{\ln (1+t)}{1+t^2}dt$$

第二层，第一个因子是指数复合函数。

第二个因子是变上限积分函数。

第三层，上限又是

$$x^2$$

所以需要链式法则。

于是你会发现，高数复杂函数其实只是：

一小批基础函数 + 四则运算 + 复合 + 求导积分规则。

掌握“拆函数结构”的能力比机械记大量题型更重要。

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七十七、建议你现在优先背熟的公式

第一组，导数：

$$(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}$$ $$(e^x{)}^{\prime }=e^x$$ $$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$$ $$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$ $$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$ $$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$$ $$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$ $$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

第二组，零点附近：

$$\sin x\sim x$$ $$\tan x\sim x$$ $$\arcsin x\sim x$$ $$\arctan x\sim x$$ $$e^x-1\sim x$$ $$\ln (1+x)\sim x$$ $$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$$

第三组，变限积分：

$$\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)$$ $$\frac{d}{dx}{\int }_a^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))g^{\prime }(x)$$

第四组，幂指函数：

$$u(x{)}^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}$$

它几乎是所有幂指极限和求导的核心转换。

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七十八、最后把这些函数串成一张知识地图

可以这样理解整个体系：

第一层：最基础的代数函数

$$C,x,x^{\alpha },P(x),\frac{P(x)}{Q(x)}$$

↓

第二层：超越函数

$$e^x,\ln x,\sin x,\cos x,\tan x$$

↓

第三层：反函数

$$\arcsin x,\arccos x,\arctan x$$

↓

第四层：函数组合

$$e^{x^2},\ln (1+x^2),\sin (e^x),[f(x){]}^{g(x)}$$

↓

第五层：微积分产生的新函数

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

↓

然后统一用：

• 极限；
• 连续；
• 导数；
• Taylor；
• 积分；

来研究它们。

所以你现在学习的这些“基础函数”，并不是高数里一个孤立的小章节，而是整个考研数学分析体系的词汇表。

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对考研来说最应该形成的三个底层认识

第一，复杂函数并不是真的复杂，它通常只是基础函数经过复合、乘除和积分构成。

第二，看到函数不能只想到“求导公式”，而应该想到：

$$\boxed{\text{定义域}\to \text{极限}\to \text{连续}\to \text{导数}\to \text{单调极值}\to \text{凹凸}\to \text{积分}}$$

第三，极限里不同函数最终大量依靠两套语言统一：

$$\boxed{\text{等价无穷小}}$$

和

$$\boxed{\text{Taylor 展开}}$$

而求导和积分则通过变限积分连接起来：

$$\boxed{\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)}$$

这几个思想真正吃透以后，后面的极限、导数、积分、中值定理、级数甚至微分方程都会容易很多。