泰勒展开与傅里叶展开

可以把泰勒展开和傅里叶展开理解成两种非常重要的“函数拆解方法”：

泰勒展开：用一堆越来越高次的多项式，在某个点附近描述函数。
傅里叶展开：用一堆不同频率的正弦波、余弦波，在一个区间甚至整个周期上描述函数。

它们背后其实是同一个思想：

一个复杂函数，能不能选一组足够简单的“基础函数”，然后把复杂函数表示成这些基础函数的叠加？

泰勒选择的基础函数是

1, x, x^{2}, x^{3}, \dots

傅里叶选择的是

1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, \dots

但二者的思想、适用范围和“展开的原因”很不一样。

一、先从最根本的问题开始：什么叫“展开”？

比如有一个很复杂的函数

f (x) = e^{x}

如果你直接研究它，可能比较麻烦。

但如果发现

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \dots

那就很方便，因为右边只有加减乘除和幂。

所以所谓“函数展开”，本质就是：

用一系列简单函数的线性组合来表示一个复杂函数。

类似在线性代数里，一个向量可以拆成基向量：

v = a_{1} e_{1} + a_{2} e_{2} + \dots

函数也可以看成一种“无限维向量”。

于是我们也会想：

f = a_{0} ϕ_{0} + a_{1} ϕ_{1} + a_{2} ϕ_{2} + \dots

其中

ϕ_{0}, ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots

就是函数空间里的“基”。

这个视角非常重要。

二、泰勒展开是什么？

假设我们想研究函数

f (x)

在某一点

x = x_{0}

附近的行为。

最简单的办法是什么？

先拿一个常数近似它：

f (x) \approx f (x_{0})

这叫零阶近似。

但显然太粗糙。

于是加上一条斜率信息：

f (x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0})

这就是函数在该点的切线。

这已经很熟悉了：

Δ y \approx f^{'} (x_{0}) Δ x

所以泰勒展开其实是“微分的无限升级版”。

三、一阶近似为什么不够？

假设两个函数经过同一个点，而且斜率也一样。

例如在

x = 0

附近：

f (x) = x

和

g (x) = x + x^{2}

都有

f (0) = g (0) = 0

而且

f^{'} (0) = g^{'} (0) = 1

所以如果只看函数值和一阶导数，你区分不了它们。

于是我们再看二阶导数。

二阶导数反映的是：

函数的弯曲程度。

所以继续补偿：

f (x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + A (x - x_{0})^{2}

现在问题来了：

A

应该是多少？

四、泰勒公式是怎么一步步推出来的？

我们希望构造一个多项式

P_{n} (x) = a_{0} + a_{1} (x - x_{0}) + a_{2} (x - x_{0})^{2} + \dots + a_{n} (x - x_{0})^{n}

让它在

x_{0}

处尽可能像

f (x)

。

要求：

P_{n} (x_{0}) = f (x_{0})

所以

a_{0} = f (x_{0})

再要求一阶导数相同：

P_{n}^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0})

因为

P_{n}^{'} (x) = a_{1} + 2 a_{2} (x - x_{0}) + \dots

代入

x = x_{0}

得到

a_{1} = f^{'} (x_{0})

再求二阶导数：

P_{n}^{''} (x_{0}) = 2! a_{2}

所以

a_{2} = \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !}

继续：

P_{n}^{(3)} (x_{0}) = 3! a_{3}

所以

a_{3} = \frac{f ^{(3)} ( x _{0} )}{3 !}

一般来说：

a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !}

于是得到：

f (x) \approx f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !} (x - x_{0})^{2} + \dots + \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}

这就是泰勒多项式。

如果无限继续：

f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}

这就叫泰勒级数。

五、为什么会出现阶乘？

很多人第一次看会觉得

2!, 3!, 4!

很奇怪。

其实非常自然。

因为：

(x - x_{0})^{n}

连续求

n

次导以后，会变成：

n!

例如：

x^{3}

求一次：

3 x^{2}

两次：

6 x

三次：

6 = 3!

因此为了让第

n

阶导数正好等于

f^{(n)} (x_{0})

就必须除以

n!

。

六、泰勒展开最直观的理解

可以这样理解。

我们站在

x_{0}

这个点上观察一个函数。

首先问：

第 0 层：你在哪里？

由

f (x_{0})

决定。

第 1 层：你朝什么方向走？

由

f^{'} (x_{0})

决定。

第 2 层：你的方向变化多快？

由

f^{''} (x_{0})

决定。

第 3 层：你的弯曲程度怎么变化？

由

f^{'''} (x_{0})

决定。

一直下去。

因此：

所有阶导数就是函数在某一点的“无限详细局部信息”。

泰勒展开就是把这些局部信息全部装进一个无穷多项式。

七、经典例子： $e^{x}$

因为：

f (x) = e^{x}

所有阶导数仍然都是

e^{x}

在

x = 0

处：

f^{(n)} (0) = 1

于是：

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots

例如

e^{0.1}

可以近似：

e^{0.1} \approx 1 + 0.1 + \frac{0. 1 ^{2}}{2} + \frac{0. 1 ^{3}}{6}

所以泰勒展开非常适合计算机进行数值计算。

八、 $sin x$ 为什么可以展开？

令

f (x) = sin x

各阶导数循环：

sin x \to cos x \to - sin x \to - cos x \to sin x

在

x = 0

处：

sin 0 = 0

cos 0 = 1

所以：

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \frac{x ^{7}}{7 !} + \dots

类似：

cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \frac{x ^{6}}{6 !} + \dots

九、为什么泰勒展开特别适合“某一点附近”？

因为所有信息都是从

x_{0}

处的导数拿到的。

所以离

x_{0}

越近，一般近似越好。

例如：

sin x \approx x

是因为：

sin x = x - \frac{x ^{3}}{6} + \dots

当

x \to 0

时，

x^{3}

比

x

小得多。

所以：

sin x \sim x

本质上就是泰勒展开的一阶结果。

同样：

e^{x} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2} + \dots

所以：

e^{x} - 1 \sim x

还有：

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots

因此：

ln (1 + x) \sim x

所以你考研高数里大量的等价无穷小、极限、洛必达、泰勒公式，实际上是连在一起的。

十、是不是所有函数都可以泰勒展开？

这是一个非常重要的问题。

答案是：

不是。

甚至：

无限阶可导，也不一定等于自己的泰勒级数。

这个区别非常重要。

1. 能写出泰勒级数

如果一个函数有任意阶导数，我们可以形式上写：

n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}

但这不代表这个级数一定等于原函数。

2. 一个经典反例

定义：

f (x) = {e^{- 1/ x^{2}}, 0, x \neq = 0 x = 0

这个函数非常神奇。

它在

x = 0

处所有阶导数都是：

f^{(n)} (0) = 0

于是它的泰勒级数是：

0 + 0 x + 0 x^{2} + \dots = 0

可是只要

x \neq = 0

就有：

e^{- 1/ x^{2}} > 0

所以：

f (x) \neq = 0

也就是说：

无限阶可导 \neq \Rightarrow 等于自己的泰勒级数

真正能够在某邻域中等于自己的泰勒级数的函数，称为：

解析函数

十一、所以“函数为什么能展开”应该更严谨地理解

泰勒公式严格来说并不是简单地说：

所有函数都等于无穷多项式。

而是先有有限阶泰勒公式：

f (x) = P_{n} (x) + R_{n} (x)

其中

P_{n} (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( x _{0} )}{k !} (x - x_{0})^{k}

而

R_{n} (x)

就是余项。

例如拉格朗日余项：

R_{n} (x) = \frac{f ^{(n + 1)} ( ξ )}{( n + 1 )!} (x - x_{0})^{n + 1}

其中

ξ

位于

x_{0}

和

x

之间。

只有当：

n \to \infty lim R_{n} (x) = 0

时，才有：

f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}

所以本质关键是：

R_{n} (x) \to 0

十二、泰勒展开可以理解成“函数的局部DNA”

这是一个很好的直觉。

在某一点

x_{0}

我们记录：

f (x_{0})

f^{'} (x_{0})

f^{''} (x_{0})

f^{'''} (x_{0})

⋮

如果函数足够“规矩”，这些数据就可以恢复附近整个函数。

类似于：

知道物体的位置、速度、加速度、加加速度……所有变化信息以后，就越来越精确地预测它接下来怎么走。

所以泰勒展开是一种：

局部描述

十三、那么傅里叶展开是什么？

泰勒展开使用：

1, x, x^{2}, x^{3}, \dots

傅里叶展开则使用：

1, sin x, cos x, sin 2 x, cos 2 x, sin 3 x, cos 3 x, \dots

对于周期为

2 π

的函数，傅里叶级数写成：

f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)

其中：

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x

b_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) sin n x d x

以及：

a_{0} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) d x

十四、傅里叶最神奇的地方是什么？

它说：

很多看起来完全不像正弦波的周期函数，都可以由无数个正弦波叠加出来。

例如方波：

────      ────
    │    │
    │    │
    ─────

它有明显的尖角甚至跳跃。

但居然可以写成：

f (x) = \frac{4}{π} (sin x + \frac{1}{3} sin 3 x + \frac{1}{5} sin 5 x + \dots)

越来越多正弦波叠加之后，最终越来越接近方波。

这就是傅里叶展开。

十五、为什么一堆正弦波能够组成这么复杂的东西？

核心原因之一叫：

正交性

这和线性代数非常像。

在二维空间里：

e_{1} = (1, 0)

e_{2} = (0, 1)

它们正交。

所以任意二维向量：

v = (a, b)

都可以写成：

v = a e_{1} + b e_{2}

十六、函数也有“正交”

函数之间定义一种类似点积的东西：

⟨ f, g ⟩ = \int_{- π}^{π} f (x) g (x) d x

如果：

⟨ f, g ⟩ = 0

就说两个函数正交。

例如：

\int_{- π}^{π} sin (m x) sin (n x) d x = 0

只要：

m \neq = n

类似：

\int_{- π}^{π} cos (m x) cos (n x) d x = 0

以及：

\int_{- π}^{π} sin (m x) cos (n x) d x = 0

所以不同频率的正弦、余弦，就像互相垂直的坐标轴。

十七、傅里叶系数其实就是“投影”

在线性代数中，如果：

v = a e_{1} + b e_{2}

求

a

，可以把

v

投影到

e_{1}

上。

傅里叶完全一样。

为了求：

a_{n}

我们把函数

f (x)

投影到：

cos n x

方向上。

所以：

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos (n x) d x

它本质上是在问：

原函数里到底含有多少“频率为 $n$ ”的余弦成分？

类似：

b_{n}

在问：

原函数里含有多少“频率为 $n$ ”的正弦成分？

十八、傅里叶展开真正改变了什么？

傅里叶最伟大的思想之一，是让我们从：

时域 / 空间域

转换到：

频域

例如一个声音信号：

f (t)

你直接看它随时间的变化，非常复杂。

但是傅里叶分析告诉你：

f (t) = 50Hz + 100Hz + 500Hz + \dots

于是复杂声音就变成了：

它由哪些频率组成，每个频率有多强。

这就是“频谱”。

十九、一个很直观的音乐例子

假设钢琴按下一个键。

你听到的声音实际上不是单纯一个频率，而可能是：

f (t) = A_{1} sin (ω t) + A_{2} sin (2 ω t) + A_{3} sin (3 ω t) + \dots

其中：

ω

是基频。

而：

2 ω, 3 ω, 4 ω

叫谐波。

不同乐器之所以音色不同，很大程度就在于：

A_{1}, A_{2}, A_{3}, \dots

不同。

所以：

钢琴弹一个 A
小提琴拉一个 A

虽然基频一样，但是傅里叶频谱不一样，因此听起来不同。

二十、傅里叶展开为什么比泰勒展开“更全局”？

看两个公式。

泰勒：

f (x) = \sum \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}

系数全部来源于：

x_{0}

这一个点。

所以它特别关注：

某一点附近

傅里叶：

a_{n} = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} f (x) cos n x d x

它的系数要对整个区间积分。

所以它利用了：

[- π, π]

上的全部信息。

因此傅里叶是一种：

全局描述

二十一、泰勒和傅里叶最核心的区别

可以记住这张表：

	泰勒展开	傅里叶展开
基函数	$1, x, x^{2}, \dots$	$sin n x, cos n x$
系数来源	某一点的各阶导数	整个区间上的积分
主要描述	局部性质	全局/周期性质
擅长	光滑解析函数	周期、波动、信号
是否需要很多导数	通常需要	不一定
能处理跳跃	很差	可以
重要领域	微积分、微分方程、近似	信号、通信、物理、PDE

二十二、一个特别重要的区别： $∣ x ∣$

考虑：

f (x) = ∣ x ∣

在

x = 0

处连一阶导数都不存在。

因此不可能在

x = 0

做普通泰勒展开。

但它却可以做傅里叶展开。

例如在

[- π, π]

周期延拓，可以写成：

∣ x ∣ = \frac{π}{2} - \frac{4}{π} k = 0 \sum \infty \frac{cos (( 2 k + 1 ) x )}{( 2 k + 1 ) ^{2}}

所以：

傅里叶展开并不要求函数处处光滑

甚至函数有跳跃，也可以做傅里叶展开。

这是傅里叶分析非常强大的原因。

二十三、为什么傅里叶能够处理不连续函数？

因为傅里叶不是试图用“一个点的导数”恢复函数。

它使用整个区间的积分：

\int f (x) cos (n x) d x

局部一个尖角、一个跳跃，并不会让整个积分失效。

所以傅里叶分析对于现实世界的信号非常适合。

真实信号通常有：

突变
噪声
尖峰
不连续

但仍然可以分解成各种频率。

二十四、傅里叶展开与傅里叶变换是什么关系？

傅里叶级数主要处理周期函数。

周期函数的频率是离散的：

ω, 2 ω, 3 ω, \dots

所以：

f (t) = n \sum c_{n} e^{inω t}

如果函数不周期，或者周期越来越大，那么离散频率会越来越密。

最终变成连续频率：

F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- iω t} d t

这就是傅里叶变换。

反变换：

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (ω) e^{iω t} d ω

直观上：

傅里叶级数

周期函数 \to 一根一根离散频率

傅里叶变换

一般信号 \to 连续频谱

二十五、为什么会出现复数 $e^{i x}$ ？

欧拉公式：

e^{i x} = cos x + i sin x

所以：

cos x = \frac{e ^{i x} + e ^{- i x}}{2}

sin x = \frac{e ^{i x} - e ^{- i x}}{2 i}

因此用：

e^{in x}

比同时写：

sin n x, cos n x

方便很多。

所以傅里叶级数也经常写成：

f (x) = n = - \infty \sum \infty c_{n} e^{in x}

其中：

c_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- in x} d x

这其实与正弦余弦形式完全等价。

二十六、泰勒展开和傅里叶展开其实都可以用“坐标”理解

这是我认为最值得建立的统一认识。

在线性代数里：

v = v_{1} e_{1} + v_{2} e_{2} + v_{3} e_{3}

这里：

v_{1}, v_{2}, v_{3}

就是坐标。

函数空间也是如此。

泰勒坐标系

选：

1, (x - x_{0}), (x - x_{0})^{2}, (x - x_{0})^{3}, \dots

函数的“坐标”是：

f (x_{0}), \frac{f ^{'} ( x _{0} )}{1 !}, \frac{f ^{''} ( x _{0} )}{2 !}, \frac{f ^{'''} ( x _{0} )}{3 !}, \dots

于是：

f (x) = \sum \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}

傅里叶坐标系

选：

1, cos x, sin x, cos 2 x, sin 2 x, \dots

坐标是：

a_{0}, a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \dots

于是：

f (x) = \frac{a _{0}}{2} + a_{1} cos x + b_{1} sin x + a_{2} cos 2 x + b_{2} sin 2 x + \dots

所以你以后学泛函分析时会发现：

泰勒级数、傅里叶级数、线性代数其实有非常深的统一性。

二十七、还有一个非常漂亮的对比

泰勒展开问的是：

这个函数在某一点附近“长什么样”？

傅里叶展开问：

这个函数里面“包含哪些频率”？

因此可以简单记成：

泰勒：形状的局部拆解

傅里叶：频率的全局拆解

二十八、为什么它们都使用“无穷级数”？

因为有限个简单函数通常无法精确描述任意复杂函数。

例如只用：

1, x, x^{2}

最多得到二次函数。

加入：

x^{3}

可以得到三次函数。

不停增加：

1, x, x^{2}, x^{3}, \dots

表达能力越来越强。

类似傅里叶：

sin x

只有一种波。

加入：

sin 2 x, sin 3 x, sin 4 x, \dots

越来越多细节可以被表达。

所以：

项越多 \to 自由度越多 \to 描述能力越强

这也是为什么现代机器学习中常常会出现类似思想。

二十九、泰勒展开还能从“无限小”角度理解

设：

h = x - x_{0}

那么：

h \to 0

泰勒公式：

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h + \frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) h^{2} + \dots

注意：

h ≫ h^{2} ≫ h^{3} ≫ h^{4}

当

h \to 0

时，高阶项越来越小。

所以：

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h + o (h)

就是可微。

再精确一点：

f (x_{0} + h) = f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) h + \frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) h^{2} + o (h^{2})

所以你可以看到：

微分 \subset 泰勒展开

微分只是泰勒展开保留到一次项。

三十、这和你最近学的极限、导数、微分其实是一条线

可以把整个高数最核心的一条逻辑链理解为：

极限 \to 导数 \to 微分 \to 泰勒展开

极限：

研究无限接近。

导数：

研究一阶局部变化率。

微分：

用线性函数逼近原函数。

泰勒：

用高次多项式进行越来越精确的局部逼近。

所以：

f (x_{0} + Δ x)

先近似成：

f (x_{0})

再升级到：

f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x

再升级到：

f (x_{0}) + f^{'} (x_{0}) Δ x + \frac{1}{2} f^{''} (x_{0}) (Δ x)^{2}

再升级……

这就是泰勒展开产生的自然逻辑。

三十一、而傅里叶背后的主线是另外一条

傅里叶的主线更接近：

向量 \to 正交 \to 投影 \to 函数空间 \to 傅里叶级数

因此你以后学完线性代数以后，再回来看傅里叶，会觉得非常自然。

因为：

cos n x, sin n x

其实就是“无限维空间中的正交基”。

三十二、最后用一个统一视角总结

假设一个函数非常复杂：

f (x)

我们想认识它。

方法一：站在一点附近观察

问：

函数值是多少？
斜率是多少？
曲率是多少？
更高阶变化是多少？

得到：

f (x_{0}), f^{'} (x_{0}), f^{''} (x_{0}), \dots

然后重建：

f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( x _{0} )}{n !} (x - x_{0})^{n}

这就是泰勒展开。

方法二：把整个函数当成一个信号

问：

有多少低频？
有多少高频？
有多少正弦成分？
有多少余弦成分？

得到：

a_{0}, a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}, \dots

然后重建：

f (x) = \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x)

这就是傅里叶展开。

最值得记住的四句话

第一句：

泰勒展开 = 用多项式描述函数的局部形状

第二句：

傅里叶展开 = 用正弦波描述函数的频率组成

第三句：

函数展开，本质上类似于在线性代数中把向量分解到一组基上

第四句：

不是所有函数都等于自己的泰勒级数，但很多不光滑函数仍然可以做傅里叶展开

如果把这两种展开和你前面问的极限、连续、导数、微分、积分连起来看，实际上已经开始触碰到整个数学分析的核心思想了：复杂对象通过局部近似、基函数分解和极限过程，转化成我们能够计算和理解的简单对象。

泰勒展开与傅里叶展开

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