微分方程
高等数学补充讲义：微分方程
Last updated on
你可以先抓住一句最核心的话：
函数是在描述“对应关系”；方程是在提出“约束条件”；解方程，就是寻找所有满足这些条件的对象。
而微分方程比较特殊：它约束的不是一个未知数字，而通常是一个未知函数，所以它解出来当然就是函数。
一、先搞清楚：什么叫“方程”？
比如：
这叫方程。
为什么？
因为里面有一个未知量 ，而等号规定了它必须满足一个条件：
我们的问题是：
到底哪个 ，能让等号两边真的相等？
显然：
所以 就是这个方程的解。
1. 方程的本质：筛选条件
可以把方程想象成一个“筛子”。
例如：
它的意思并不是在定义一个东西，而是在问：
哪些 满足“平方以后等于 4”？
答案是：
因此解集为：
所以：
方程 = 条件。
解 = 满足条件的东西。
而这个“东西”不一定非得是数字。
它可以是：
- 一个数；
- 一组数；
- 一个向量；
- 一个矩阵；
- 一个函数；
- 甚至一个曲面。
这点非常重要。
二、那函数是什么？
函数不是在“求什么东西”，而是在描述一种输入和输出之间的对应关系。
例如：
它表示一个函数：
意思是：
给我一个 ，我就按照“平方”这个规则，给你一个结果。
例如：
所以函数的核心是：
输入一个值，按照确定规则，得到唯一的输出值。
可以写成：
三、函数和方程最大的区别是什么？
这是特别容易混的地方。
看起来：
既可以被称为函数关系，又可以被看成一个方程。
区别主要在于你怎么看它。
1. 当作函数看
关注的是：
变化时， 怎么跟着变化？
这是函数。
比如：
关注的是变量之间的对应关系。
2. 当作方程看
也可以理解成：
找所有满足这个等式的 。
于是它的“解”不是一个数字，而是一大堆有序数对：
这些点在平面上连起来，就是抛物线。
所以从这个角度来说：
是一个关于 的方程，它的解集是一条曲线。
四、因此不同方程，“解”长得完全不一样
这一点一旦明白，微分方程就非常自然了。
第一类：一个未知数的方程
比如：
解出来：
所以解是数字。
第二类：两个未知数的方程
例如：
你不能得到唯一的一个 。
因为：
可以。
也可以。
也可以。
一般写成：
所以它的解是无数个数对：
在几何上，这些解组成一条直线。
第三类：三个未知数的方程
比如：
它的解是无数个三元组：
在三维空间中，它们组成一个平面。
因此你已经可以看到：
方程的解，并不一定只是“一个数字”。
未知对象是什么，解就可能是什么。
五、微分方程终于来了：它是什么？
现在考虑：
这里的
是什么意思？
就是：
也就是函数 的导数。
于是这个方程完整意思是：
找一个函数 ，使得它的导数等于 。
注意，这时候我们的未知量已经不是一个数字 了。
而是：
也就是说：
微分方程中的未知对象通常是函数。
所以它解出来当然是函数。
六、为什么 解出来是函数？
因为题目其实是在问：
什么函数求导之后等于 ？
你已经知道：
但是不仅 可以。
例如：
全部都可以。
因为常数的导数为零。
所以所有答案应该写成：
其中 是任意常数。
这就是这个微分方程的通解。
七、所以普通方程和微分方程到底有什么不同？
对比一下就很清楚。
普通方程：
未知对象：
我们找的是数字：
微分方程：
未知对象：
我们找的是函数：
所以可以概括成：
| 类型 | 方程 | 未知对象 | 解 |
|---|---|---|---|
| 代数方程 | 数 | ||
| 二元方程 | 数对 | ||
| 矩阵方程 | 矩阵/向量 | ||
| 微分方程 | 函数 |
所以最本质的区别并不是“有没有等号”。
而是：
未知对象是什么。
八、“微分方程”这四个字是什么意思？
拆开看：
- 微分：导数、微分；
- 方程：一个等式约束。
因此，微分方程就是：
包含未知函数及其导数的方程。
例如：
都是微分方程。
九、最简单的微分方程：
这个非常经典。
要求：
什么意思？
找一个函数，使得：
它的导数恰好等于自己。
你想想什么函数有这个神奇性质？
就是指数函数：
因为：
不过：
也可以，因为：
同理：
也可以。
所以通解为：
十、验证微分方程的解，其实特别简单
假设有人告诉你：
是
的解。
你怎么办？
求导：
而原函数：
于是：
成立。
所以它确实是解。
这和验证普通方程完全一样。
比如普通方程：
有人说 。
代进去：
成立。
因此：
解方程的本质一直没变：把答案代回去，看是否满足原方程。
只不过普通方程代进去的是一个数；
微分方程代进去的是一个函数以及它的导数。
十一、再看一个二阶微分方程
例如：
这是什么意思？
找一个函数，使得：
对它求两次导数以后，变成它自己的相反数。
想想三角函数：
因为：
再求一次：
正好：
所以 是一个解。
同理：
也满足：
而且它们可以组合：
这就是通解。
十二、为什么微分方程特别容易出现任意常数？
这和导数本身有关。
因为求导会“丢失信息”。
例如：
和
求导以后都是：
所以仅仅告诉你：
你没办法知道原来的常数是多少。
因此反过来恢复函数的时候：
必须保留任意常数 。
二阶导数会丢失两次信息。
例如：
积分一次：
再积分一次：
所以：
有两个任意常数。
这也是为什么一般来说：
阶微分方程的通解往往包含 个独立的任意常数。
当然这是常见情形，更严格地说还需要一定条件。
十三、那什么叫“一阶、二阶微分方程”？
看里面出现的最高阶导数。
例如：
最高只有 。
所以叫：
一阶微分方程。
例如：
最高是：
所以叫：
二阶微分方程。
再比如：
最高是四阶导数，因此叫四阶微分方程。
十四、什么叫通解？什么叫特解？
这是微分方程中特别重要的一组概念。
例如：
通解为：
因为 可以随便取。
这表示的实际上不是一条曲线，而是一族曲线。
例如：
……
全部满足微分方程。
这叫：
如果再告诉你：
那么：
所以：
于是得到：
这就叫特解。
因此：
通常给你一个“曲线族”。
而：
从曲线族中选出其中的一条。
十五、为什么物理学特别喜欢微分方程？
因为现实中的很多规律，并不是直接告诉你：
一个东西最终是多少。
而是告诉你：
它现在“怎么变化”。
例如运动。
设位置：
那么速度：
加速度：
牛顿第二定律：
代进去：
如果力与位置有关，就会得到类似：
也就是：
这是一个微分方程。
解出来：
这描述的就是物体整个运动过程。
所以微分方程不是只问：
物体现在在哪？
而是在问：
物体的位置函数 到底是什么？
一旦知道了这个函数，任何时刻的位置、速度、加速度都知道了。
十六、从几何上理解微分方程，会更深刻
来看：
普通函数：
是各种向上开口的抛物线。
而微分方程：
其实是在告诉你：
平面上每一个 位置，曲线应该具有多大的斜率。
比如：
当
有：
所以曲线在 的位置应该是水平的。
当：
有：
斜率是 2。
当：
有：
斜率是 -2。
所以微分方程实际上规定的是一种：
局部变化规律。
然后我们把这些局部变化规律“拼起来”，得到完整函数。
这是理解微分方程最重要的思想之一：
十七、普通方程和微分方程可以这样类比
普通方程：
可以理解为：
我要找一个数字，满足这个条件。
答案：
微分方程：
可以理解为：
我要找一条曲线/函数，让它每一点的斜率都满足这个条件。
答案：
所以从更高的角度看：
一点都不神秘。
十八、偏微分方程又是什么？
前面的 只有一个自变量，所以：
叫普通导数。
这种方程叫：
常微分方程 ODE。
例如：
如果一个函数有多个自变量，比如温度：
表示：
位置 、时刻 对应的温度。
那么可以分别对不同变量求偏导：
和
例如著名的热方程：
这叫：
偏微分方程 PDE。
它的未知对象依然是函数：
只不过这个函数有多个自变量。
十九、“解”到底可以长什么样？
现在把整个数学里的“解”统一起来看。
一个未知数的方程
解：
是数。
二元方程
解：
满足条件的所有点构成一个圆。
方程组
解：
是一组数。
微分方程
解：
是一族函数。
带初值的微分方程
因为：
代入：
所以：
这时答案是一个具体函数。
二十、最后把“函数—方程—微分方程”串成一条线
你可以形成这样一套理解：
例如：
意思是 给定以后， 如何确定。
例如：
问哪些 满足。
例如：
问哪些函数 满足。
答案：
所以最核心的逻辑其实是：
如果未知对象是数：
如果未知对象是 ：
如果未知对象是函数：
而微分方程恰好属于最后一种。
因此“微分方程为什么解出来是函数”最简单的回答就是：因为它从一开始要求你求的未知量，就不是一个数，而是一个未知函数。