微积分是什么？

微积分是什么？

如果只用一句话概括：

微积分是研究“连续变化”以及“无数个微小变化如何累积成整体”的数学。

它实际上由两大部分组成：

所以理解微积分最重要的三个词就是：

极限 → 导数 → 积分。

而整个微积分最深刻的地方在于：

“局部的变化”与“整体的累积”，竟然是同一个问题的两个方向。

---

一、为什么人类需要微积分？

在初等数学里，我们很擅长研究“静止”的量。

比如一个长方形：

$$S=ab$$

速度恒定：

$$s=vt$$

圆的面积：

$$S=\pi r^2$$

这些问题中的量比较规整。

但真实世界经常不是这样。

汽车的速度不断变化：

$$v=v(t)$$

人口增长速度不断变化：

$$P=P(t)$$

物体受到的力可能随位置变化：

$$F=F(x)$$

温度随时间和空间变化。

这时候就产生两个非常基本的问题。

---

1. 瞬时变化有多快？

比如汽车从第 $2$ 秒到第 $3$ 秒走了 $20$ 米，那么平均速度是

$$\frac{20}{1}=20\text{ m/s}$$

但问题是：

恰好在 $t=2.5$ 秒这一瞬间，速度是多少？

一个“瞬间”的时间长度是 $0$，所以不能直接写成

$$\frac{\text{路程}}{0}$$

这就必须引入一个非常重要的思想：

极限。

设位置为

$$s=f(t)$$

从 $t$ 到 $t+\Delta t$ 的平均速度是

$$\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}$$

然后让时间间隔越来越小：

$$\Delta t\to 0$$

如果这个比值趋向一个确定的数，我们就定义瞬时速度：

$$v(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t}$$

这就是导数：

$$v(t)=f^{\prime }(t)$$

所以：

导数研究的是一个量在某一点附近的局部变化率。

---

二、导数究竟是什么？

例如

$$y=x^2$$

在 $x$ 附近增加一个很小的量 $\Delta x$。

那么

$$\Delta y=(x+\Delta x{)}^2-x^2$$

展开得到

$$\Delta y=2x\Delta x+(\Delta x{)}^2$$

两边除以 $\Delta x$：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x$$

让

$$\Delta x\to 0$$

得到

$$\frac{dy}{dx}=2x$$

所以

$$(x^2{)}^{\prime }=2x$$

这句话意味着什么？

意味着函数

$$y=x^2$$

在 $x$ 这一点附近，每当 $x$ 增加很小的一点，$y$ 大约增加

$$2xdx$$

也就是

$$dy\approx 2xdx$$

因此微分实际上是在说：

当变化足够小时，一个弯曲的问题可以近似看成一个线性问题。

这其实是微积分背后一个非常重要的思想：

局部线性化

一个光滑函数放大到足够小的尺度，看起来越来越像一条直线。

因此

$$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f^{\prime }(x)\Delta x$$

这就是以后高等数学、数值计算、物理学、机器学习里到处出现的一阶近似。

---

三、积分又是什么？

现在反过来考虑。

假设一辆车的速度不断变化：

$$v=v(t)$$

你知道每一瞬间的速度，怎么求 $0$ 到 $T$ 时间内走了多远？

如果速度恒定，那么

$$s=vT$$

但是速度不断变化，就把时间切成很多小段。

每一小段长度是

$$\Delta t$$

如果足够短，这一小段里速度几乎不变，所以这一段路程大约是

$$\Delta s\approx v(t)\Delta t$$

把所有小段加起来：

$$s\approx \sum _{i=1}^{n}v(t_i)\Delta t$$

不断把时间切得更细：

$$\Delta t\to 0$$

最终得到

$$s={\int }_0^{T}v(t)dt$$

这就是积分。

所以积分的本质不是单纯“求面积”。

而是：

把无数个无限小的局部量累加起来，得到一个整体量。

---

四、为什么积分经常被说成“求面积”？

因为面积问题恰好非常直观。

假设函数

$$y=f(x)$$

我们想求从 $a$ 到 $b$ 曲线下面的面积。

把区间分成很多小段：

$$\Delta x$$

每一个小长方形面积大约为

$$f(x_i)\Delta x$$

全部加起来：

$$S_n=\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$$

让小长方形越来越窄：

$$\Delta x\to 0$$

如果极限存在：

$$S=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$$

我们就写成

$$S={\int }_a^{b}f(x)dx$$

所以定积分可以理解成：

$$\boxed{\text{整体}=\lim \left(\text{无数个微小部分之和}\right)}$$

---

五、微分和积分为什么是一对？

这是整个微积分最伟大的发现。

假设

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

意思是：从 $a$ 到 $x$ 为止，不断把 $f(t)$ 累积起来。

现在把 $x$ 增加一点点：

$$x\to x+\Delta x$$

新增的面积大约就是

$$\Delta F\approx f(x)\Delta x$$

所以

$$\frac{\Delta F}{\Delta x}\approx f(x)$$

令

$$\Delta x\to 0$$

得到

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

也就是说：

$$\boxed{\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)}$$

反过来，如果

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

那么

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$$

这就是微积分基本定理。

17 世纪牛顿和莱布尼茨最重要的成就之一，就是把原来看起来完全不同的“切线/变化率问题”和“面积/累积问题”联系起来。(Maths History)

它告诉我们：

$$\boxed{\text{微分研究拆解变化，积分研究累积变化}}$$

并且：

$$\boxed{\text{微分与积分在一定条件下互为逆运算}}$$

这才是“微积分”成为一个统一理论的真正原因。

---

六、微积分真正的灵魂：极限

你以后学高数时会发现：

导数的定义是极限：

$$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

定积分也是极限：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

无穷级数也是极限：

$$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{n=1}^N{a}_n$$

因此整个高等数学背后的共同语言，其实就是：

$$\boxed{\text{极限}}$$

可以把三者的关系记成：

$$\boxed{\text{极限}⟶\{\begin{array}{l}\text{导数：研究局部变化}\\ \text{积分：研究整体累积}\end{array}}$$

---

七、微积分并不是牛顿突然“凭空发明”的

微积分真正形成于 17 世纪，但它背后的思想积累了两千多年。

从左到右可以把这条历史主线理解为：

阿基米德式的穷竭思想 → 牛顿和莱布尼茨建立微积分 → 19 世纪以后完成严格化。

---

八、第一阶段：古代——无限、面积和体积问题

早在古希腊，数学家就已经碰到了微积分最核心的问题：

无限过程。

大约公元前 5 世纪，芝诺提出了著名的运动悖论。

比如阿基里斯追乌龟：

阿基里斯首先要走到乌龟原来的位置。

但这时候乌龟又前进了一段。

阿基里斯再走到那里，乌龟又前进一点。

于是看起来：

$${\text{距离}}_1+{\text{距离}}_2+{\text{距离}}_3+\cdots$$

永远有下一段。

这实际已经涉及：

$$\boxed{\text{无限多项的和能不能是一个有限值？}}$$

这正是后来极限和无穷级数解决的问题。(Maths History)

---

九、欧多克索斯与“穷竭法”

大约公元前 4 世纪，欧多克索斯系统发展了穷竭法。

核心思想非常接近现在的极限。

比如想求一个圆的面积。

先在圆里面放一个多边形：

$$6\text{边形}$$

再增加边数：

$$12\text{边形}$$

然后：

$$24,48,96,\dots$$

边数越来越多，多边形越来越接近圆。

也就是

$$S_n\to S_{\text{圆}}$$

虽然当时还没有现代意义上的“极限”符号，但思想已经出现了。(Maths History)

---

十、阿基米德：最接近古代微积分的人

阿基米德大约生活在公元前 287—212 年。

他利用穷竭法研究：

圆面积、球体积、球表面积、抛物线面积等问题，其方法已经明显具有积分思想。(Maths History)

例如他研究抛物线弓形面积时，得到一个类似无穷级数：

$$A+\frac{1}{4}A+\frac{1}{16}A+\frac{1}{64}A+\cdots$$

这是一个等比级数。

今天我们会直接计算：

$$A\left(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\cdots \right)$$

利用

$$1+r+r^2+\cdots =\frac{1}{1-r}$$

得到

$$S=A\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}A$$

阿基米德在两千多年前已经通过几何方法得到了这个结果。(Maths History)

---

十一、中国古代也出现了非常强的极限思想

中国数学里也独立出现了类似思想。

魏晋时期数学家刘徽在公元 263 年左右给《九章算术》作注。

他著名的“割圆术”就是不断增加圆内接正多边形的边数：

$$6\to 12\to 24\to 48\to \cdots$$

使多边形不断逼近圆。

MacTutor 的数学史资料指出，刘徽已经清楚地运用了迭代过程和类似极限的思想，并用正多边形计算出很精确的圆周率近似值。(Maths History)

因此：

古希腊的穷竭法和中国的割圆思想，本质上都已经接近

$$\boxed{\text{用一个无限逼近的过程得到精确结果}}$$

这正是后来微积分的基础精神。

---

十二、为什么古代仍然没有真正形成微积分？

因为还缺少几个非常关键的东西。

首先缺少成熟的代数符号系统。

其次缺少成熟的函数概念。

还缺少系统的坐标几何。

最关键的是，没有认识到：

$$\boxed{\text{求切线}\text{和}\text{求面积}}$$

其实存在深刻联系。

所以古人拥有很多“积分思想”，但没有形成完整的“微积分体系”。

---

十三、16—17 世纪：真正的突破开始了

文艺复兴和近代科学兴起以后，物理学、天文学、工程学提出了大量新问题。

例如：

行星如何运动？

炮弹轨迹是什么？

自由落体速度怎样变化？

某条曲线的切线怎么求？

任意曲线围成的面积怎么求？

这些问题迫使数学家不断发展新的方法。

伽利略、开普勒、卡瓦列里、费马、笛卡尔、巴罗等人都作出了重要准备工作；17 世纪时，面积问题和切线问题已经发展到只差最后一步统一的程度。(Maths History)

---

十四、牛顿：从“运动”理解微积分

Isaac Newton，1642—1727。

牛顿主要从物理学、运动学角度研究变化。

例如位置：

$$x=x(t)$$

那么速度：

$$v=\frac{dx}{dt}$$

加速度：

$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$$

牛顿把随时间变化的量称为“流量”，把它们的变化率称为“流数”（fluxion）。

所以牛顿式的微积分非常自然地和：

$$\text{运动}\to \text{速度}\to \text{加速度}$$

联系在一起。

这也是为什么后来牛顿能够用微积分构建经典力学。

---

十五、莱布尼茨：把微积分变成一套漂亮的符号系统

Gottfried Wilhelm Leibniz，1646—1716。

莱布尼茨则更强调：

无限小变化量之间的关系。

我们今天非常熟悉的

$$dx$$ $$dy$$

以及

$$\frac{dy}{dx}$$

这种符号体系都来自莱布尼茨传统。

积分符号

$$\int$$

也是莱布尼茨引入的符号传统。

它来自拉长的字母 $S$，代表拉丁语 summa，也就是“求和”。

因此：

$$\int f(x)dx$$

直观上就是：

把无数个

$$f(x)dx$$

加起来。

莱布尼茨建立的符号体系极其成功，现代微积分很大程度上仍使用这种记号。(Maths History)

---

十六、到底是谁发明了微积分？

今天比较公认的说法是：

$$\boxed{\text{牛顿和莱布尼茨独立建立了微积分}}$$

他们的研究风格不同。

牛顿更偏：

$$\text{运动、变化率、物理}$$

莱布尼茨更偏：

$$\text{符号、算法、无限小量}$$

后来英国与欧洲大陆之间发生了著名的“微积分优先权之争”。

但从现代数学史角度，通常不会简单地说“一人发明、另一人抄袭”，而是认为两人分别独立完成了关键突破。

他们共同最重要的发现，就是把：

$$\boxed{\text{微分}}$$

和

$$\boxed{\text{积分}}$$

统一起来。(Maths History)

---

十七、但牛顿和莱布尼茨的微积分有一个大问题

那就是：

“无限小量到底是什么？”

例如写

$$dx$$

说它“无限小”。

那么问题来了：

它到底是不是 $0$？

如果

$$dx=0$$

那么

$$\frac{dy}{dx}$$

显然不能除。

如果

$$dx\ne 0$$

那么它到底有多小？

早期数学家并没有严密回答。

但微积分算出来的结果却极其正确，而且在力学、天文学中非常成功。

于是出现了一种很有意思的局面：

会算，而且算得对，但是基础还不够严格。

---

十八、18 世纪：先疯狂使用，再慢慢补基础

18 世纪欧拉、伯努利家族、拉格朗日等人极大扩展了微积分。

微分方程、无穷级数、变分法、力学等领域迅速发展。

数学家发现：

$$e^x,\sin x,\cos x$$

都可以写成无穷级数。

例如

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$

微积分成为整个近代数学和物理的核心工具。

但是：

它的逻辑基础仍然不够牢固。

---

十九、19 世纪：柯西开始重新建设微积分

到了 19 世纪，数学家开始问：

“趋近”到底是什么意思？

“连续”到底是什么意思？

“级数收敛”到底是什么意思？

1821 年，柯西在《分析教程》中系统地试图把微积分建立在更严格的极限理论上。(Maths History)

例如我们今天不再模糊地说：

$x$ 无限接近 $a$。

而是讨论

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$

然后用精确的不等式表达“有多接近”。

柯西在 1820 年代已经使用了 $\epsilon$、$\delta$ 一类方法；此后魏尔斯特拉斯等人在 19 世纪进一步把这种思想系统化。(Maths History)

最终形成现代经典定义：

$$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$$

使得当

$$0<|x-a|<\delta$$

时都有

$$|f(x)-L|<\epsilon$$

这下“不停靠近”终于被转化成了严格的数学语言。

---

二十、这一步意味着什么？

早期微积分大致是：

$$\text{无限小量}\to \text{导数与积分}$$

19 世纪以后，经典分析体系变成：

$$\boxed{\text{实数}\to \text{极限}\to \text{连续}\to \text{导数}\to \text{积分}}$$

你现在考研高数学到的体系，本质上主要属于这条 19 世纪以后严格化的路线。

所以考研高数第一章为什么要先讲极限？

不是老师故意为难你。

而是因为：

$$\boxed{\text{没有极限，就没有现代严格意义上的微积分。}}$$

---

二十一、黎曼：把“面积累加”严格化

19 世纪，黎曼进一步系统化了积分。

把

$$[a,b]$$

划分成很多小区间。

每段宽度

$$\Delta x_i$$

选一个点

$${\xi }_i$$

构造和：

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$

然后让分割越来越细。

如果这些和趋向唯一的数，就定义为积分：

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

这就是今天本科微积分里主要学习的黎曼积分思想。(Maths History)

---

二十二、20 世纪：勒贝格再次扩展积分

后来数学家发现：

有些非常复杂的函数用黎曼积分很难处理，甚至不能积分。

20 世纪初，法国数学家勒贝格从“测度”出发重新定义积分。

他在 1901 年建立测度理论的重要部分，并在 1902 年的博士论文中系统给出勒贝格积分，从而推广了黎曼积分。(Maths History)

于是积分理论从

$$\text{黎曼积分}$$

进一步发展为

$$\text{勒贝格积分}$$

再发展出测度论、泛函分析、概率论等现代数学理论。

这也是为什么现代概率论里会写：

$$\mathbb{E}[X]={\int }_{\Omega }XdP$$

本质上，数学期望就是一种积分。

---

二十三、微积分后来发展成了什么？

你本科所学的“高等数学”只是微积分最基础的一层。

它继续向前扩展，就形成：

$$\text{微积分}\to \text{数学分析}\to \text{实分析、复分析}$$

同时产生：

$$\text{常微分方程}$$ $$\text{偏微分方程}$$ $$\text{微分几何}$$ $$\text{泛函分析}$$ $$\text{测度论}$$ $$\text{概率论}$$

等等。

现代物理中的力学、电磁学、量子力学、相对论，现代工程中的控制、信号处理，经济学中的边际分析，机器学习中的梯度下降，本质上都大量依赖微积分。

---

二十四、从考研角度怎样理解整门高数？

你可以把以后学习的高数看成下面这一棵树：

$$\boxed{\text{极限}}$$

往下产生

$$\boxed{\text{连续}}$$

以及

$$\boxed{\text{导数}}$$

导数进一步产生

$$\text{微分}$$ $$\text{中值定理}$$ $$\text{单调性}$$ $$\text{极值}$$ $$\text{最值}$$ $$\text{曲率}$$

另一边通过“无穷累加”得到

$$\boxed{\text{积分}}$$

继续产生

$$\text{定积分}$$ $$\text{变限积分}$$ $$\text{反常积分}$$ $$\text{二重积分}$$ $$\text{三重积分}$$ $$\text{曲线积分}$$ $$\text{曲面积分}$$

而研究“一个函数和自己的导数之间的关系”，就形成

$$\boxed{\text{微分方程}}$$

研究“无限次累加”，就进入

$$\boxed{\text{无穷级数}}$$

所以你看似在学习很多章节，其实始终围绕三个核心：

$$\boxed{\text{极限}\text{变化}\text{累积}}$$

---

二十五、最后用一个思想把整门微积分串起来

可以把真实世界想象成一条不断变化的曲线。

如果你问：

这一瞬间发生了什么？

数学给你的工具是

$$\boxed{\text{导数}}$$

如果你问：

从开始到现在一共发生了多少？

数学给你的工具是

$$\boxed{\text{积分}}$$

而如果你问：

怎样才能真正讨论“无限接近”和“无限细分”？

答案就是

$$\boxed{\text{极限}}$$

因此整个微积分最浓缩的理解就是：

$$\boxed{\text{极限提供语言}\text{导数描述变化}\text{积分描述累积}}$$

而微积分基本定理告诉我们：

$$\boxed{\text{变化}⟷\text{累积}}$$

这就是为什么微积分被认为是近代数学最重要的突破之一：在它出现以前，人类主要擅长描述“是什么”；微积分成熟之后，我们获得了一套系统描述“世界怎样变化”的数学语言。