导数、微分与高阶导数

可以把这一整套概念看成一条主线：

极限描述“靠近时发生什么” → 连续描述“函数值接得上” → 导数描述“瞬时变化率” → 微分描述“最主要的线性变化” → 二阶导数描述“变化率本身怎么变化”。

其中最重要的区别是：

• 一元函数：可导 ⇔ 可微，并且一定连续。
• 二元/多元函数：偏导数存在，不等于可微；可微比“偏导存在”强得多。
• “导数存在”和“导数连续”又不是一回事。
• “二阶导数存在”和“二阶导数连续”也不是一回事。

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一、先从最根本的“极限”开始

假设有一元函数

$$y=f(x)$$

我们研究某个点

$$x=a$$

附近的行为。

所谓

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L$$

意思不是“令 $x=a$”，而是：

当 $x$ 可以无限接近 $a$ 时，$f(x)$ 可以无限接近一个确定的数 $L$。

这里特别重要：

极限研究的是附近，不是那个点本身。

例如定义

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x\ne 2\\ 100,& x=2\end{array}$$

虽然

$$f(2)=100$$

但是

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=3$$

因为只看 $2$ 附近，而不是看 $x=2$ 那一点。

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二、什么叫连续？

函数在

$$x=a$$

处连续，需要同时满足三个条件：

$$f(a)\text{存在}$$ $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)\text{存在}$$

并且

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$$

也就是说：

附近趋近到的结果，恰好就是这个点真正的函数值。

直觉上就是：

函数图像到了这里没有断掉、跳起来或者出现一个洞。

例如

$$f(x)=x^2$$

在任意点都连续，因为

$$\underset{x\to a}{\lim }{x}^2=a^2=f(a)$$

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三、什么是导数？

导数本质上就是：

函数在某个点的瞬时变化率。

假设函数

$$y=f(x)$$

在

$$x=a$$

处，我们让自变量发生一个小变化

$$\Delta x$$

于是函数值变化为

$$\Delta y=f(a+\Delta x)-f(a)$$

那么平均变化率是

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$

这是连接两个点的割线斜率。

现在让第二个点无限靠近第一个点，也就是

$$\Delta x\to 0$$

如果极限存在：

$$f^{\prime }(a)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}$$

这个极限就是导数。

所以：

导数 = 无限小尺度下的平均变化率。

也等价于：

导数 = 函数图像在该点的切线斜率。

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一个最简单的例子

设

$$f(x)=x^2$$

求

$$x=a$$

处导数。

根据定义：

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(a+h{)}^2-a^2}{h}$$

展开：

$$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2ah+h^2}{h}$$

约去 $h$：

$$=\underset{h\to 0}{\lim }(2a+h)$$

所以

$$f^{\prime }(a)=2a$$

于是整个导函数就是

$$f^{\prime }(x)=2x$$

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四、“导数”和“导函数”其实稍有区别

严格来说：

导数

是某一个点的数，例如：

$$f^{\prime }(2)=4$$

它表示函数在

$$x=2$$

处的瞬时变化率。

导函数

是把每一点的导数放在一起形成的新函数：

$$f^{\prime }(x)$$

例如

$$f(x)=x^2$$

对应

$$f^{\prime }(x)=2x$$

不过平常大家经常统称为“导数”。

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五、什么叫可导？

所谓函数在

$$x=a$$

处可导，就是说导数极限存在，而且是有限数：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

存在。

例如

$$f(x)=x^2$$

在所有点可导。

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绝对值为什么在 0 不可导？

考虑

$$f(x)=|x|$$

右导数：

$$\underset{h\to 0^{+}}{\lim }\frac{|h|-0}{h}=1$$

左导数：

$$\underset{h\to 0^{-}}{\lim }\frac{|h|-0}{h}=-1$$

左右不相等，所以

$$f^{\prime }(0)$$

不存在。

但是注意：

$$\underset{x\to 0}{\lim }|x|=0=f(0)$$

所以它在 $0$ 点是连续的。

因此得到非常重要的关系：

$$\boxed{\text{可导}\Rightarrow \text{连续}}$$

但是

$$\boxed{\text{连续}\nRightarrow \text{可导}}$$

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六、什么是微分？

这是很多人最容易觉得抽象的地方。

还是设

$$y=f(x)$$

自变量发生变化

$$\Delta x$$

函数变化

$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$$

如果函数可导，那么当

$$\Delta x$$

很小时，有

$$\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+o(\Delta x)$$

其中

$$o(\Delta x)$$

表示比

$$\Delta x$$

更高阶、更小的量。

于是变化量中最主要的部分就是

$$f^{\prime }(x)\Delta x$$

我们把它叫做微分：

$$dy=f^{\prime }(x)dx$$

通常取

$$dx=\Delta x$$

所以：

$$dy=f^{\prime }(x)\Delta x$$

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七、导数和微分到底有什么区别？

一句话：

导数是比例，微分是变化量的线性主部。

导数：

$$f^{\prime }(x)$$

表示：

$x$ 每变化一个单位，$y$ 大约变化多少。

微分：

$$dy=f^{\prime }(x)dx$$

表示：

当 $x$ 真正变化一个小量 $dx$ 时，$y$ 最主要的变化是多少。

例如

$$y=x^2$$

在

$$x=3$$

处：

$$f^{\prime }(3)=6$$

现在让

$$dx=0.01$$

那么微分：

$$dy=6\times 0.01=0.06$$

真实变化量为

$$\Delta y=(3.01{)}^2-3^2$$

即

$$\Delta y=0.0601$$

微分是

$$dy=0.06$$

两者很接近。

因为：

$$\Delta y=dy+o(dx)$$

所以微分就是函数变化量的一阶近似。

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八、为什么一元函数里“可导”和“可微”等价？

一元函数在一点可微的定义，就是存在常数 $A$，使得

$$\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)$$

两边除以

$$\Delta x$$

得到

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=A+\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}$$

令

$$\Delta x\to 0$$

得到

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=A$$

所以导数存在，并且

$$A=f^{\prime }(x)$$

因此一元函数：

$$\boxed{\text{可导}⟺\text{可微}}$$

同时：

$$\boxed{\text{可导}\Rightarrow \text{连续}}$$

所以：

$$\boxed{\text{可微}\Rightarrow \text{连续}}$$

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九、一元函数的完整关系

最基本的逻辑链是：

$$\boxed{\text{可导}⟺\text{可微}\Rightarrow \text{连续}\Rightarrow \text{函数极限存在}}$$

不过最后一步需要注意：

在点 $a$ 连续，当然意味着

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$$

存在。

但反过来：

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$$

存在，并不代表连续。

因为还可能有

$$f(a)\ne \underset{x\to a}{\lim }f(x)$$

甚至 $f(a)$ 根本没定义。

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十、“一阶导数存在”是什么意思？

就是：

$$f^{\prime }(x)$$

存在。

如果说：

函数在 $x=a$ 一阶导数存在

就是：

$$f^{\prime }(a)$$

存在。

如果说：

在某一区间一阶导数存在

就是区间内每一点都可导。

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十一、“一阶导数连续”又是什么意思？

这比“一阶导数存在”更强。

不仅要求

$$f^{\prime }(x)$$

存在，而且要求 $f^{\prime }$ 本身作为一个函数是连续函数。

即：

$$\underset{x\to a}{\lim }{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(a)$$

这叫：

一阶连续可导。

通常记作

$$f\in C^1$$

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导数存在但不连续完全可能

例如定义

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin \frac{1}{x},& x\ne 0\\ 0,& x=0\end{array}$$

在 $x=0$：

$$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{h^2\sin (1/h)}{h}$$

所以

$$f^{\prime }(0)=\underset{h\to 0}{\lim }h\sin \frac{1}{h}=0$$

而对于

$$x\ne 0$$

有

$$f^{\prime }(x)=2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$$

当

$$x\to 0$$

时，

$$\cos \frac{1}{x}$$

不断振荡。

所以

$$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)$$

不存在。

因此：

$$\boxed{\text{导数存在}\nRightarrow \text{导数连续}}$$

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十二、什么叫二阶导数？

一阶导函数是

$$f^{\prime }(x)$$

如果再对它求一次导数：

$$f^{\prime \prime }(x)=\frac{d}{dx}{f}^{\prime }(x)$$

就是二阶导数。

所以：

一阶导数研究函数怎么变化。

二阶导数研究“变化率本身怎么变化”。

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例如：

$$f(x)=x^2$$

一阶导数：

$$f^{\prime }(x)=2x$$

二阶导数：

$$f^{\prime \prime }(x)=2$$

解释：

函数的斜率一直在增加，而且每单位 $x$，斜率增加 $2$。

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在物理中尤其直观

位置：

$$s(t)$$

速度：

$$v(t)=s^{\prime }(t)$$

加速度：

$$a(t)=s^{\prime \prime }(t)$$

所以：

一阶导数 = 位置变化多快。

二阶导数 = 速度变化多快。

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十三、“二阶导存在”和“二阶导连续”差很多

如果

$$f^{\prime \prime }(x)$$

存在，只说明：

$$f^{\prime }(x)$$

可以继续求导。

但不代表

$$f^{\prime \prime }(x)$$

连续。

如果

$$f^{\prime \prime }(x)$$

存在并且连续，就称为二阶连续可导：

$$f\in C^2$$

所以：

$$\boxed{C^2\Rightarrow f^{\prime \prime }\text{存在}}$$

但反过来不成立：

$$\boxed{f^{\prime \prime }\text{存在}\nRightarrow f^{\prime \prime }\text{连续}}$$

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十四、一元函数可以分成哪些“光滑程度”？

可以把函数理解成一层层越来越“光滑”。

第 0 层：连续

$$f\in C^0$$

函数不断。

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第 1 层：可导

$$f^{\prime }(x)\text{存在}$$

函数有切线。

但是导数本身可能很乱。

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第 2 层：一阶连续可导

$$f\in C^1$$

要求

$$f^{\prime }(x)$$

还连续。

比单纯可导更光滑。

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第 3 层：二阶导数存在

$$f^{\prime \prime }(x)\text{存在}$$

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第 4 层：二阶连续可导

$$f\in C^2$$

即

$$f^{\prime \prime }$$

连续。

类似地：

$$C^3,C^4,\cdots ,C^{\infty }$$

其中

$$C^{\infty }$$

表示任意阶导数都存在且连续。

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十五、这里有一个很重要的关系陷阱

如果

$$f^{\prime \prime }(a)$$

存在，那么

$$f^{\prime }$$

在 $a$ 点一定连续。

为什么？

因为 $f^{\prime \prime }(a)$ 就是 $f^{\prime }$ 在 $a$ 处的导数，而：

$$\text{可导}\Rightarrow \text{连续}$$

所以：

$$f^{\prime \prime }(a)\text{存在}\Rightarrow f^{\prime }\text{在 }a\text{ 连续}$$

但是并不能推出：

$$f^{\prime \prime }\text{在 }a\text{ 连续}$$

这是两码事。

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十六、一元函数关系总图

可以记成：

$$\boxed{C^2\Rightarrow f^{\prime \prime }\text{存在}\Rightarrow f^{\prime }\text{连续}\Rightarrow f^{\prime }\text{存在}\Rightarrow f\text{连续}}$$

其中：

$$f^{\prime }\text{存在}⟺f\text{可导}⟺f\text{可微}$$

但大多数反向箭头都不成立。

例如：

$$\text{连续}\nRightarrow \text{可导}$$ $$f^{\prime }\text{存在}\nRightarrow f^{\prime }\text{连续}$$ $$f^{\prime \prime }\text{存在}\nRightarrow f^{\prime \prime }\text{连续}$$

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十七、接下来进入二元函数：为什么突然复杂了？

现在不是

$$y=f(x)$$

而是：

$$z=f(x,y)$$

这表示一个二维平面上的点

$$(x,y)$$

对应一个高度

$$z$$

所以图像通常是一个曲面。

例如：

$$z=x^2+y^2$$

就是一个抛物面。

一元函数只有一个方向：

左右。

但是二维中，你可以从无数方向靠近一个点。

这就是二元函数比一元函数复杂的根本原因。

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十八、二元函数的极限

研究

$$(x,y)\to (x_0,y_0)$$

时：

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=L$$

要求：

无论你从哪个方向、沿哪条路径靠近这个点，函数都必须趋向同一个 $L$。

例如可以：

• 沿水平线过来；
• 沿竖直线过来；
• 沿直线过来；
• 沿抛物线过来；
• 沿曲线过来。

只要有两条路径极限不同，二重极限就不存在。

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十九、二元函数连续

与一元非常类似：

函数

$$f(x,y)$$

在

$$(x_0,y_0)$$

连续，要求：

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

所以依然可以理解为：

曲面在这个位置没有裂缝、孔洞或跳跃。

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二十、二元函数的“导数”是什么？

这里就发生了一个本质变化。

一元函数只有一个自变量，所以导数自然只有一个：

$$f^{\prime }(x)$$

但是二元函数有两个方向：

$$x$$

和

$$y$$

所以首先会产生偏导数。

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二十一、什么是偏导数？

对

$$z=f(x,y)$$

如果暂时固定 $y$，只让 $x$ 变化，就得到关于 $x$ 的偏导数：

$$f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}$$

定义是：

$$f_x(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$

同理，固定 $x$，只改变 $y$：

$$f_y(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0,y_0+h)-f(x_0,y_0)}{h}$$

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例如

$$f(x,y)=x^2+xy+y^2$$

对 $x$ 求偏导：

$$f_x=2x+y$$

对 $y$ 求偏导：

$$f_y=x+2y$$

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二十二、偏导数的几何意义

假设

$$z=f(x,y)$$

是一个山坡。

那么：

$$f_x$$

表示：

固定南北方向，只沿东西方向走时的坡度。

而：

$$f_y$$

表示：

固定东西方向，只沿南北方向走时的坡度。

所以偏导只测试了两个特殊方向。

这就产生了非常重要的问题：

两个方向表现很好，能不能保证整个二维曲面都表现很好？

答案：

不能。

这正是多元函数中“偏导存在”和“可微”不等价的原因。

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二十三、二元函数真正的“可微”是什么？

一元情况下：

$$\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+o(\Delta x)$$

而二元情况下有两个变化：

$$\Delta x,\Delta y$$

于是函数变化：

$$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$$

如果能够写成：

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o\left(\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}\right)$$

那么函数在该点可微。

并且：

$$A=f_x$$ $$B=f_y$$

因此：

$$\boxed{\Delta z=f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\rho )}$$

其中

$$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$$

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二十四、二元函数的微分

于是二元函数的全微分就是：

$$dz=f_{x}dx+f_{y}dy$$

这和一元函数

$$dy=f^{\prime }(x)dx$$

是完全统一的。

一元函数：最好的线性近似是“一条直线”。

二元函数：最好的线性近似是“一个平面”。

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二十五、所以“可微”的本质到底是什么？

这是非常值得记住的一句话：

可微不是说“有偏导数”，而是说函数在这个点附近可以被一个线性函数很好地逼近。

一元：

$$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f^{\prime }(x)\Delta x$$

二元：

$$f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+f_x\Delta x+f_y\Delta y$$

所以：

导数/微分的最深层含义其实不是“求斜率”，而是局部线性化。

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二十六、二元函数：偏导存在为什么不能推出可微？

因为偏导数只检查两个方向。

例如函数

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},& (x,y)\ne (0,0)\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

先看两个偏导。

沿 $x$ 轴：

$$f(x,0)=0$$

所以

$$f_x(0,0)=0$$

沿 $y$ 轴：

$$f(0,y)=0$$

所以

$$f_y(0,0)=0$$

两个偏导都存在。

如果它可微，因为两个偏导都是 $0$，应该满足：

$$f(x,y)=o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$$

也就是

$$\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\to 0$$

可是沿

$$y=x$$

走：

$$\frac{f(x,x)}{\sqrt{x^2+x^2}}=\frac{x^2}{2x^2}$$

在非零情形下等于

$$\frac{1}{2}$$

并不趋于 $0$。

因此不可微。

所以：

$$\boxed{\text{偏导存在}\nRightarrow \text{可微}}$$

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二十七、但是二元函数可微一定能推出偏导存在

如果一个函数真的可以在线性意义上被一个平面逼近：

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$$

令

$$\Delta y=0$$

就得到：

$$\Delta z=A\Delta x+o(|\Delta x|)$$

于是：

$$f_x=A$$

同理：

$$f_y=B$$

所以：

$$\boxed{\text{可微}\Rightarrow \text{偏导数存在}}$$

而且：

$$\boxed{\text{可微}\Rightarrow \text{连续}}$$

这一点和一元函数一样。

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二十八、二元函数一个特别重要的充分条件

考研里极其重要：

如果在某点附近，

$$f_x$$

和

$$f_y$$

都存在，而且在该点连续，那么函数在该点可微。

也就是说：

$$\boxed{f_x,f_y\text{连续}\Rightarrow f\text{可微}}$$

注意是充分条件，不是必要条件。

也就是说：

$$f\text{可微}$$

并不要求偏导函数必须连续。

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二十九、二元函数最重要的关系链

于是可以总结为：

$$\boxed{f_x,f_y\text{连续}\Rightarrow f\text{可微}\Rightarrow f\text{连续}}$$

以及：

$$\boxed{f\text{可微}\Rightarrow f_x,f_y\text{存在}}$$

但是：

$$\boxed{f_x,f_y\text{存在}\nRightarrow f\text{可微}}$$

甚至：

$$\boxed{f_x,f_y\text{存在}\nRightarrow f\text{连续}}$$

这就是一元与多元最大的区别之一。

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三十、一元“可导”和二元“可微”应该怎么对应？

从现代数学角度，真正统一的概念应该是：

可微，也就是存在一个最好的线性近似。

一元函数：

线性近似只有一个系数：

$$A=f^{\prime }(x)$$

所以：

$$df=Adx$$

也就是：

$$df=f^{\prime }(x)dx$$

二元函数：

线性近似有两个系数：

$$df=f_{x}dx+f_{y}dy$$

多元函数则是：

$$df=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}d{x}_i$$

所以微分实际上比“斜率”更加本质。

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三十一、梯度是什么？

二元函数的一阶偏导数通常组合成：

$$\nabla f=\left(\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\end{array}\right)$$

叫做梯度。

于是微分可以写成：

$$df=\nabla f^{\mathrm{T}}\left(\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right)$$

或者展开：

$$df=f_{x}dx+f_{y}dy$$

梯度告诉你：

函数增长最快的方向。

而梯度的大小告诉你：

最大增长率是多少。

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三十二、二元函数的一阶偏导数存在是什么意思？

就是：

$$f_x(x,y)$$

和

$$f_y(x,y)$$

存在。

但是“存在”只代表可以分别沿坐标轴求变化率。

不能自动推出：

• 连续；
• 可微；
• 偏导连续。

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三十三、一阶偏导连续是什么意思？

要求：

$$f_x(x,y)$$

本身连续，而且

$$f_y(x,y)$$

也连续。

如果在区域内所有一阶偏导连续，通常称：

$$f\in C^1$$

于是：

$$\boxed{f\in C^1\Rightarrow f\text{可微}}$$

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三十四、二阶偏导数又是什么？

对于

$$f(x,y)$$

首先有：

$$f_x,f_y$$

再继续求导。

一共有：

$$f_{xx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$$ $$f_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$$ $$f_{yx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$$ $$f_{yy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$$

所以二元函数一般有四个二阶偏导。

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三十五、为什么会有两个混合偏导？

例如：

$$f_{xy}$$

可以理解成：

先求

$$f_x$$

再对 $y$ 求偏导。

而

$$f_{yx}$$

则是先求

$$f_y$$

再对 $x$ 求偏导。

严格来说两者不一定天然相等。

但一个非常重要的结论是：

如果混合二阶偏导数在该点附近连续，那么：

$$\boxed{f_{xy}=f_{yx}}$$

这就是混合偏导交换次序的重要条件。

考研里一般题目给出的函数非常光滑，因此通常可以直接交换。

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三十六、二阶连续可微是什么意思？

如果所有一阶、二阶偏导数都存在，而且二阶偏导数连续，就称函数属于：

$$C^2$$

也就是二阶连续可微。

对于二元函数：

$$f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}$$

都连续。

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三十七、Hessian 矩阵是什么？

二阶偏导数可以组成：

$$H_f=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{yx}& f_{yy}\end{array}\right)$$

这叫 Hessian 矩阵。

如果函数足够光滑，使得

$$f_{xy}=f_{yx}$$

那么 Hessian 就是对称矩阵：

$$H_f=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{xy}& f_{yy}\end{array}\right)$$

它描述：

曲面在一个点附近“怎么弯”。

所以一阶导数描述斜率，

二阶导数描述弯曲程度。

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三十八、一元和二元的对应关系

可以这样对比：

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三十九、把一元函数所有关系压缩成一张图

在某一点附近，可以理解为：

$$\boxed{f^{\prime \prime }\text{连续}\Rightarrow f^{\prime \prime }\text{存在}\Rightarrow f^{\prime }\text{连续}\Rightarrow f^{\prime }\text{存在}⟺f\text{可导}⟺f\text{可微}\Rightarrow f\text{连续}\Rightarrow \lim f\text{存在}}$$

不过“$f^{\prime \prime }$ 存在推出 $f^{\prime }$ 连续”这里指对应点处。

而反方向一般不能推。

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四十、二元函数最重要的关系图

二元函数应当记成：

$$\boxed{\text{一阶偏导连续}\Rightarrow \text{可微}\Rightarrow \text{连续}\Rightarrow \text{极限存在}}$$

同时：

$$\boxed{\text{可微}\Rightarrow \text{偏导存在}}$$

因此整体上：

$$\boxed{\text{一阶偏导连续}\Rightarrow \text{可微}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\text{连续}\\ \text{偏导存在}\end{array}}$$

但千万不要写：

$$\text{偏导存在}\Rightarrow \text{可微}$$

这是错的。

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四十一、最容易考的几个“不能推出”

这些最好直接背熟逻辑。

一元函数

连续不能推出可导：

$$\boxed{\text{连续}\nRightarrow \text{可导}}$$

例子：

$$|x|$$

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导数存在不能推出导数连续：

$$\boxed{f^{\prime }\text{存在}\nRightarrow f^{\prime }\text{连续}}$$

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二阶导存在不能推出二阶导连续：

$$\boxed{f^{\prime \prime }\text{存在}\nRightarrow f^{\prime \prime }\text{连续}}$$

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二元函数

偏导存在不能推出连续：

$$\boxed{f_x,f_y\text{存在}\nRightarrow f\text{连续}}$$

偏导存在也不能推出可微：

$$\boxed{f_x,f_y\text{存在}\nRightarrow f\text{可微}}$$

连续也不能推出可微：

$$\boxed{f\text{连续}\nRightarrow f\text{可微}}$$

可微不一定推出偏导连续：

$$\boxed{f\text{可微}\nRightarrow f_x,f_y\text{连续}}$$

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四十二、为什么考研中特别喜欢说“连续偏导数”？

因为“偏导存在”太弱了。

单独验证一个二元函数可微，按照定义要检查：

$$\frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}\to 0$$

比较麻烦。

所以通常利用一个很好用的充分条件：

$$\boxed{f_x,f_y\text{在某邻域连续}\Rightarrow f\text{在该点可微}}$$

因此考研题目看到：

一阶偏导数连续

你应该马上想到：

$$\boxed{\text{可微}}$$

进而想到：

$$\boxed{\text{连续}}$$

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四十三、从“线性近似”角度统一所有概念

这是最值得真正理解的部分。

一元函数

如果函数可微：

$$f(x+\Delta x)=f(x)+f^{\prime }(x)\Delta x+o(\Delta x)$$

所以：

$$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f^{\prime }(x)\Delta x$$

右边是一条切线。

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二元函数

如果函数可微：

$$f(x+\Delta x,y+\Delta y)=f(x,y)+f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\rho )$$

所以：

$$f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+f_x\Delta x+f_y\Delta y$$

右边是一个切平面。

因此可以这样理解：

可微 = 局部看起来像线性的。

一元函数局部像直线。

二元函数局部像平面。

多元函数局部像线性映射。

这才是“微分”最本质的数学意义。

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四十四、从“变化层次”理解一阶导和二阶导

拿汽车运动来理解：

位置：

$$s(t)$$

第一次研究它怎么变化：

$$s^{\prime }(t)=v(t)$$

得到速度。

第二次研究变化率怎么变化：

$$s^{\prime \prime }(t)=v^{\prime }(t)=a(t)$$

得到加速度。

因此：

$$\boxed{\text{函数}\stackrel{\text{求导}}{\to }\text{变化率}\stackrel{\text{再求导}}{\to }\text{变化率的变化率}}$$

几何上：

$$f^{\prime }$$

主要反映“斜率”。

$$f^{\prime \prime }$$

主要反映“弯曲”。

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四十五、最后给你一套最推荐的记忆框架

不要把“极限、连续、可导、可微”当成四个孤立定义。

把它们理解成四个问题。

极限

靠近这里时，函数去哪？

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)$$

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连续

靠近这里时去的地方，是不是正好等于这里的函数值？

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)$$

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导数

在无限小尺度上，函数变化有多快？

$$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

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微分

函数的小变化中，最主要的线性部分是什么？

一元：

$$dy=f^{\prime }(x)dx$$

二元：

$$dz=f_{x}dx+f_{y}dy$$

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二阶导数

一阶变化率本身又是怎么变化的？

$$f^{\prime \prime }(x)$$

或者二元中的：

$$H_f=\left(\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{yx}& f_{yy}\end{array}\right)$$

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最核心的两条关系，考试一定要熟

一元函数：

$$\boxed{\text{可导}⟺\text{可微}\Rightarrow \text{连续}\Rightarrow \text{极限存在}}$$

二元函数：

$$\boxed{\text{一阶偏导连续}\Rightarrow \text{可微}\Rightarrow \text{连续}}$$

以及：

$$\boxed{\text{可微}\Rightarrow \text{偏导存在}}$$

但：

$$\boxed{\text{偏导存在}\nRightarrow \text{可微}}$$

如果你把这几条真正理解透，后面学多元函数极值、方向导数、梯度、隐函数、条件极值、Taylor 公式、二重积分时，很多概念都会自然串起来。