线性代数模块 2：矩阵

本文按本站的结构，把**线性代数·模块2「矩阵」**重新整理成一套“学会一题，掌握一类”的考研体系。本站模块2实际分为 矩阵运算、逆矩阵、伴随矩阵、矩阵方程、矩阵可逆性、初等变换与初等矩阵六部分；下文以真题为骨架，再用李正元和张宇1000题补充变式。(Any Docs)

一、模块2到底在考什么

这章表面上叫“矩阵”，实际上考研真正反复考的不是机械乘法，而是下面这条逻辑链：

$$\boxed{\text{矩阵运算法则}\to \text{特殊矩阵结构}\to \text{可逆}\to \text{逆矩阵}\to \text{矩阵方程}\to \text{伴随矩阵}\to \text{初等变换}}$$

再往后，它会继续与秩、方程组、特征值、相似、二次型融合。

从本站整理出的真题看，建议这样分优先级：

这一章最重要的一句话是：

$$\boxed{\text{矩阵不是数，乘法一般不可交换。}}$$

大量错误都来自把

$$AB$$

偷偷改成

$$BA.$$

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二、必须形成条件反射的基本公式

在开始题型之前，先把这组公式练到看到就能用。

若 $A,B$ 可逆：

$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$

更一般地，

$$(ABC{)}^{-1}=C^{-1}{B}^{-1}{A}^{-1}.$$

转置：

$$(AB{)}^T=B^T{A}^T.$$

伴随矩阵：

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E.$$

若 $A$ 可逆：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}.$$

因此

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}.$$

以及

$$(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{|A|}A.$$

这里最后一个公式很容易记错，推导是

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}$$

所以

$$(A^{\ast }{)}^{-1}=\frac{1}{|A|}A.$$

矩阵多项式是本章另一条主线。若

$$A^2=cA,$$

那么

$$A^n=c^{n-1}A,n\ge 1.$$

若

$$A^2=A,$$

则

$$A^n=A.$$

若

$$A^m=O,$$

那么

$$(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2+\cdots +A^{m-1}.$$

因为

$$(E-A)(E+A+\cdots +A^{m-1})=E-A^m=E.$$

这几条几乎贯穿整个模块。

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三、题型1：秩一矩阵、外积矩阵的运算

这是矩阵运算中极其典型的一类。

代表真题：1995年

本站真题给出行向量 $\alpha$，令

$$A=E-{\alpha }^T\alpha ,B=E+2{\alpha }^T\alpha ,$$

求 $AB$。关键条件为

$$\alpha {\alpha }^T=\frac{1}{2}.$$

最终得到

$$AB=E.$$

(Any Docs)

这题根本不能把 ${\alpha }^T\alpha$ 暴力展开成一个 $n\times n$ 矩阵。

令

$$P={\alpha }^T\alpha .$$

那么

$$P^2={\alpha }^T\alpha {\alpha }^T\alpha .$$

重新结合：

$$P^2={\alpha }^T(\alpha {\alpha }^T)\alpha .$$

注意：

$$\alpha {\alpha }^T$$

是一个 $1\times 1$ 的数。

因此

$$P^2=\frac{1}{2}P.$$

于是

$$\begin{array}{rl}AB& =(E-P)(E+2P)\\ & =E+P-2P^2\\ & =E.\end{array}$$

这一类的统一模型

若

$$A=u{v}^T,$$

其中 $u,v$ 为列向量，则

$$A^2=u{v}^{T}u{v}^T=u(v^{T}u)v^T.$$

令

$$\lambda =v^{T}u,$$

则

$$A^2=\lambda A.$$

因此

$$\boxed{A^n={\lambda }^{n-1}A}.$$

这是一个非常重要的万能结论。

本站1994年的真题就是直接令

$$A={\alpha }^T\beta$$

并利用

$$\beta {\alpha }^T=3,$$

从而得到

$$A^n=3^{n-1}A.$$

(Any Docs)

以后看到什么条件就想到它？

只要出现

$$\alpha {\alpha }^T,{\alpha }^T\alpha ,u{v}^T$$

立刻检查其中一个乘积是不是标量。

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四、题型2：高次幂不要硬算——先找最低次多项式关系

这是本章最高价值的方法之一。

代表真题：1999年

本站真题给矩阵 $A$，直接计算发现

$$A^2=2A.$$

于是

$$A^n=2A^{n-1}.$$

原题涉及 $A^n-2A^{n-1}$，立即得到

$$O.$$

(Any Docs)

真正值得记的是：

遇到 $A^{100}$、$A^{2026}$、$A^n$，第一反应不是连乘，而是算 $A^2,A^3$，寻找规律。

常见结构有：

$$A^2=cA,$$ $$A^2=A,$$ $$A^2=O,$$ $$A^3=O,$$ $$A^2+aA+bE=O.$$

这些都意味着所有高次幂可以“降次”。

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五、题型3：矩阵满足多项式方程——既能求幂，又能求逆

这是考研矩阵的核心思想。

真题：2001年

已知

$$A^2+A-4E=O,$$

求

$$(A-E{)}^{-1}.$$

本站真题解法正是构造乘积。(Any Docs)

由

$$A^2+A=4E$$

观察

$$(A-E)(A+2E).$$

展开：

$$\begin{array}{rl}(A-E)(A+2E)& =A^2+A-2E\\ & =2E.\end{array}$$

因此

$$(A-E)\frac{1}{2}(A+2E)=E.$$

于是

$$\boxed{(A-E{)}^{-1}=\frac{1}{2}(A+2E)}.$$

统一解法

如果题目给出

$$f(A)=O,$$

要求求

$$(A-\lambda E{)}^{-1},$$

就想办法把多项式写成

$$f(x)=(x-\lambda )q(x)+c$$

其中

$$c\ne 0.$$

代入 $A$：

$$(A-\lambda E)q(A)+cE=O.$$

因此

$$(A-\lambda E)q(A)=-cE.$$

所以

$$\boxed{(A-\lambda E{)}^{-1}=-\frac{1}{c}q(A)}.$$

这其实就是“多项式除法版求逆矩阵”。

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六、题型4：幂零矩阵——有限等比公式

真题：1990年

若

$$A^k=O,$$

证明

$$E-A$$

可逆。

本站给出的标准结论是

$$\boxed{(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2+\cdots +A^{k-1}}.$$

(Any Docs)

因为

$$(E-A)(E+A+\cdots +A^{k-1})=E-A^k=E.$$

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真题进一步变式：2008年

若

$$A^3=O,$$

判断

$$E-A,E+A$$

是否可逆。

本站真题答案是二者都可逆。(Any Docs)

因为

$$(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2,$$

而

$$(E+A)(E-A+A^2)=E+A^3=E.$$

所以

$$(E+A{)}^{-1}=E-A+A^2.$$

更一般结论

若

$$A^m=O,$$

则对任意

$$\lambda \ne 0,$$

矩阵

$$\lambda E-A$$

必可逆。

因为

$$\lambda E-A=\lambda \left(E-\frac{1}{\lambda }A\right),$$

而

$${\left(\frac{A}{\lambda }\right)}^m=O.$$

因此

$$(\lambda E-A{)}^{-1}=\frac{1}{\lambda }\left[E+\frac{A}{\lambda }+\frac{A^2}{{\lambda }^2}+\cdots +\frac{A^{m-1}}{{\lambda }^{m-1}}\right].$$

这是非常值得预测的新考法。

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七、题型5：特殊结构矩阵求逆

逆矩阵绝不能只会

$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }.$$

考研更喜欢要求认结构。

类型A：置换矩阵

1988年真题中的反序置换矩阵满足

$$P^2=E,$$

所以

$$\boxed{P^{-1}=P}.$$

(Any Docs)

以后看到“交换行”“交换列”“反序”的矩阵，先查：

$$P^2=E.$$

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类型B：分块对角矩阵

1991年真题中

$$A=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& O\\ O& A_2\end{array}\right).$$

那么

$$\boxed{A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}_1^{-1}& O\\ O& A_2^{-1}\end{array}\right)}.$$

(Any Docs)

不要把一个四阶矩阵整体做高斯消元。

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类型C：反对角分块矩阵

真题给出

$$X=\left(\begin{array}{cc}O& B\\ A& O\end{array}\right),$$

其中 $A,B$ 均可逆。

则

$$\boxed{X^{-1}=\left(\begin{array}{cc}O& A^{-1}\\ B^{-1}& O\end{array}\right)}.$$

(Any Docs)

注意位置发生“交叉”。

直接验证即可：

$$\left(\begin{array}{cc}O& B\\ A& O\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}O& A^{-1}\\ B^{-1}& O\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}E& O\\ O& E\end{array}\right).$$

李正元练习题也有同类型分块逆矩阵，用来强化这一结构非常合适。(Any Docs)

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八、题型6：抽象逆矩阵——不要真去“求矩阵”

这一类极重要。

真题：1992年

求

$$(A^{-1}+B^{-1}{)}^{-1}.$$

不能写成

$$A+B.$$

应先因式分解：

$$A^{-1}+B^{-1}=B^{-1}(A+B)A^{-1}.$$

因此

$$\begin{array}{rl}(A^{-1}+B^{-1}{)}^{-1}& ={\left[B^{-1}(A+B)A^{-1}\right]}^{-1}\\ & =A(A+B{)}^{-1}B.\end{array}$$

所以

$$\boxed{(A^{-1}+B^{-1}{)}^{-1}=A(A+B{)}^{-1}B}.$$

本站真题也给出了这一标准结构。(Any Docs)

同样也可写成

$$B(A+B{)}^{-1}A.$$

这两个式子在题设条件下确实相等。

核心套路

看到复杂逆矩阵：

$$(XYZ{)}^{-1},$$

先整体分解，最后逆序：

$$Z^{-1}{Y}^{-1}{X}^{-1}.$$

千万不要把矩阵当分式约掉。

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九、题型7：伴随矩阵——第一核心公式只有一个

伴随矩阵题不要背几十个孤立公式，只需要抓住

$$\boxed{A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E}$$

和可逆时

$$\boxed{A^{\ast }=|A|A^{-1}}.$$

几乎所有公式都能由此推出。

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真题：1987、1990——求 $|A^{\ast }|$

若 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}.$$

取行列式：

$$|A^{\ast }|=\left||A|A^{-1}\right|.$$

因为是 $n$ 阶矩阵，

$$|cA|=c^n|A|.$$

所以

$$|A^{\ast }|=|A{|}^n|A^{-1}|.$$

而

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}.$$

因此

$$\boxed{|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}}.$$

本站1987、1990真题都直接考过这一点。(Any Docs)

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十、伴随矩阵最容易混淆的“秩公式”

这一条后面模块3也会继续用。

对于 $n$ 阶矩阵 $A$：

$$r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n,\\ 1,& r(A)=n-1,\\ 0,& r(A)\le n-2.\end{array}$$

为什么？

因为 $A^{\ast }$ 的元素是 $A$ 的 $n-1$ 阶子式。

若

$$r(A)\le n-2,$$

所有 $n-1$ 阶子式都为零，因此

$$A^{\ast }=O.$$

张宇1000题里有一个很好的练习：四阶矩阵满足

$$A^2=O.$$

由秩不等式可得

$$2r(A)\le 4,$$

故

$$r(A)\le 2=n-2,$$

于是

$$A^{\ast }=O$$

从而

$$r(A^{\ast })=0.$$

(Any Docs)

这是“幂零 + 秩 + 伴随”的优秀组合题。

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十一、伴随矩阵的分块题——近年值得特别重视

2023年真题已经出现明显的分块伴随矩阵结构：

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& O\\ E& B\end{array}\right),$$

要求判断 $M^{\ast }$ 的形式。(Any Docs)

这一类最稳的方法不是逐个算代数余子式，而是：

先假定相关矩阵可逆，使用

$$M^{\ast }=|M|M^{-1},$$

算出公式，再利用多项式恒等性质扩展到一般情况。

同样，2009年也考过

$$\left(\begin{array}{cc}O& B\\ A& O\end{array}\right)$$

的伴随矩阵。(Any Docs)

所以这里透露出的命题方向很明确：

$$\boxed{\text{伴随矩阵}+\text{分块矩阵}+\text{逆矩阵}}$$

是比“直接求某个代数余子式”更值得准备的方向。

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十二、题型8：矩阵方程——最重要的是未知矩阵的位置

这是大量同学最容易因为“移项”出错的地方。

三个最基本模型：

若

$$AX=B,$$

则

$$\boxed{X=A^{-1}B}.$$

若

$$XA=B,$$

则

$$\boxed{X=B{A}^{-1}}.$$

若

$$AXB=C,$$

则

$$\boxed{X=A^{-1}C{B}^{-1}}.$$

左右不能反。

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十三、矩阵方程典型真题：先提取未知矩阵

1999年真题

条件

$$AB-B=A.$$

求 $A$。

本站处理为

$$A(B-E)=B.$$

所以

$$\boxed{A=B(B-E{)}^{-1}}.$$

(Any Docs)

绝不能写成

$$(B-E{)}^{-1}B.$$

因为未知矩阵 $A$ 左边没有东西，右边的 $B-E$ 必须在等式右侧乘逆矩阵消掉。

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李正元练习：$XA=A^T+X$

这是很典型的真题式变式。

整理：

$$XA-X=A^T.$$

提取 $X$：

$$X(A-E)=A^T.$$

于是

$$\boxed{X=A^T(A-E{)}^{-1}}.$$

本站中的该练习随后代入具体矩阵算出了 $X$。(Any Docs)

这一类非常值得掌握，因为考场可能把 $A^T$、$A^{\ast }$、$A^{-1}$ 混进去。

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十四、题型9：未知矩阵夹在两侧——识别 $PXQ$

这是大题很喜欢的形状。

2015年相关真题中出现

$$X-X{A}^2-AX+AX{A}^2.$$

表面上有四项。

真正应识别为

$$\boxed{(E-A)X(E-A^2)}.$$

因为展开：

$$(E-A)X(E-A^2)$$

得到

$$X-X{A}^2-AX+AX{A}^2.$$

于是若原方程为

$$X-X{A}^2-AX+AX{A}^2=E,$$

就变成

$$(E-A)X(E-A^2)=E.$$

如果又知道

$$A^3=O,$$

则

$$(E-A{)}^{-1}=E+A+A^2,$$

以及

$$(E-A^2{)}^{-1}=E+A^2.$$

故

$$X=(E-A{)}^{-1}(E-A^2{)}^{-1}.$$

从而

$$X=(E+A+A^2)(E+A^2)=E+A+2A^2.$$

这道真题是模块2非常优秀的一道综合题。(Any Docs)

这一题必须学会的能力

不是记答案，而是看到

$$X-XB-AX+AXB$$

就要想到

$$\boxed{(E-A)X(E-B)}.$$

这个模板以后可以直接迁移。

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十五、题型10：如何证明矩阵可逆

“证明可逆”绝不能只想到算行列式。

考研有五条常见道路。

方法A：直接构造逆

证明存在 $B$，使

$$AB=E.$$

对于同阶方阵，这已经足够推出

$$A^{-1}=B.$$

方法B：乘积等于非零数乘单位矩阵

若得到

$$AB=cE,c\ne 0,$$

则

$$A\left(\frac{1}{c}B\right)=E.$$

故 $A$ 可逆。

方法C：乘积可逆

如果

$$AB$$

可逆，则

$$A,B$$

都可逆。

方法D：行列式

$$|A|\ne 0⟺A\text{可逆}.$$

方法E：多项式关系

如果

$$A^2+aA+bE=O,b\ne 0,$$

则

$$A(A+aE)=-bE.$$

所以

$$A$$

可逆。

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十六、经典真题：从“右逆”直接推出可逆

2005年真题：

$$B=E+AB.$$

整理：

$$(E-A)B=E.$$

于是

$$E-A$$

存在右逆。

由于它是方阵，因此

$$E-A$$

可逆，并且

$$B=(E-A{)}^{-1}.$$

题中还有

$$C=A+CA.$$

整理为

$$C(E-A)=A.$$

最后得到

$$B-C=E.$$

(Any Docs)

这题代表了一类极重要的考法：

题目没有说某矩阵可逆，但自行从方程中把它证明出来。

考试中千万不要看到逆矩阵没给可逆条件就停止运算。

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十七、2017真题：秩一扰动矩阵的可逆性

设 $\alpha$ 为单位列向量。

研究

$$E-c\alpha {\alpha }^T.$$

因为

$${\alpha }^T\alpha =1.$$

作用在 $\alpha$ 上：

$$(E-c\alpha {\alpha }^T)\alpha =(1-c)\alpha .$$

于是当

$$c=1$$

时，

$$(E-\alpha {\alpha }^T)\alpha =0.$$

而

$$\alpha \ne 0,$$

故存在非零零空间向量，所以矩阵不可逆。

2017年真题正考了这一结构。(Any Docs)

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十八、把它推广成一个非常值得预测的公式

对于

$$E+cu{v}^T,$$

可以猜一个逆矩阵：

$$E-\lambda u{v}^T.$$

乘开：

$$(E+cu{v}^T)(E-\lambda u{v}^T)$$

得到

$$E+\left(c-\lambda -c\lambda v^{T}u\right)u{v}^T.$$

要求系数为零：

$$c-\lambda -c\lambda v^{T}u=0.$$

所以

$$\lambda =\frac{c}{1+c{v}^{T}u}.$$

因此只要

$$1+c{v}^{T}u\ne 0,$$

就有

$$\boxed{(E+cu{v}^T{)}^{-1}=E-\frac{c}{1+c{v}^{T}u}u{v}^T}.$$

特别地，

$$E-c\alpha {\alpha }^T$$

可逆的条件是

$$1-c{\alpha }^T\alpha \ne 0.$$

这就是本站1995、1996、2017一系列外积矩阵题背后的统一规律。(Any Docs)

这个方向值得注意的是非常适合以后出新题。

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十九、题型11：初等矩阵——只记一句口诀

$$\boxed{\text{左乘做行变换，右乘做列变换}}$$

这是整节的灵魂。

若初等矩阵 $P$ 表示某次行变换，那么

$$PA$$

就是对 $A$ 做该行变换。

而

$$AP$$

表示对应的列变换。

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二十、1995真题：判断初等矩阵乘法顺序

本站真题给 $A,B,P_1,P_2$，要求判断如何从 $A$ 得到 $B$。

最终是

$$\boxed{P_1{P}_{2}A=B}.$$

因为两步都是行变换，所以都是左乘。并且：

$$P_1{P}_{2}A$$

实际执行顺序是

$$A\stackrel{P_2}{\to }{P}_{2}A\stackrel{P_1}{\to }{P}_1{P}_{2}A.$$

也就是说：

$$\boxed{\text{越靠近 }A\text{ 的变换越先执行}}$$

(Any Docs)

这是选择题的高频陷阱。

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二十一、2004真题：列变换就右乘

题目把 $A$：

先交换第1、2列，再把新第2列加到第3列，得到 $C$。

要求

$$AQ=C$$

中的 $Q$。

本站真题通过逐列表示得到对应 $Q$。(Any Docs)

最稳的方法不是死记某个初等矩阵，而是写

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3).$$

变换后：

$$C=({\alpha }_2,{\alpha }_1,{\alpha }_3+{\alpha }_1).$$

由于

$$AQ$$

的第 $j$ 列就是 $A$ 的各列按 $Q$ 第 $j$ 列系数组合，因此直接写系数即可。

这个办法比死背安全得多。

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二十二、初等矩阵和逆矩阵的组合

2001年真题给

$$B=P_{1}A{P}_2.$$

则

$$B^{-1}=(P_{1}A{P}_2{)}^{-1}.$$

必须逆序：

$$B^{-1}=P_2^{-1}{A}^{-1}{P}_1^{-1}.$$

如果 $P_1,P_2$ 都是交换型初等矩阵，

$$P_i^{-1}=P_i.$$

所以

$$\boxed{B^{-1}=P_2{A}^{-1}{P}_1}.$$

(Any Docs)

这里同时考了三个知识点：

$$\text{初等矩阵}+\text{求逆逆序}+\text{交换矩阵自逆}.$$

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二十三、题型12：相似关系在模块2里的“提前出现”

虽然相似正式属于后面的模块，但矩阵题已经频繁使用。

若

$$AP=PB,P\text{可逆},$$

则

$$A=PB{P}^{-1}.$$

所以

$$A^n=P{B}^n{P}^{-1}.$$

1988年真题就是：

已知

$$AP=PB,$$

要求 $A$ 与 $A^5$。

因为 $B$ 很简单，所以先算

$$B^5,$$

再得到

$$A^5=P{B}^5{P}^{-1}.$$

本站该题最后发现

$$B^5=B,$$

故

$$A^5=A.$$

(Any Docs)

这里的高层思想

如果 $A$ 难算，但

$$A=PB{P}^{-1}$$

中的 $B$ 很简单，那么永远优先算 $B$。

这也是以后特征值与相似对角化的基本思想。

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二十四、矩阵乘法“可交换”的判断题

这是一类很常见的小题。

一般：

$$AB\ne BA.$$

但有一些必然可交换：

$$A^m{A}^n=A^{m+n}=A^n{A}^m.$$

以及 $A$ 的两个多项式：

$$f(A)g(A)=g(A)f(A).$$

例如

$$(A+E)(A-E)=A^2-E=(A-E)(A+E).$$

李正元练习中专门比较了

$$A^{\ast }A,A^m{A}^p,A^{T}A,(A+E)(A-E),$$

指出一般并不能保证

$$A^{T}A=A{A}^T.$$

(Any Docs)

张宇强化题则进一步考：

$$(A+E{)}^{-1},(A+E{)}^{\ast },(A+E{)}^T$$

谁能与 $A-E$ 交换。

其中 $A+E$ 的逆和伴随仍然本质上是 $A$ 的函数，所以可以交换；但

$$A^T+E$$

一般不是 $A$ 的多项式，因此不保证交换。(Any Docs)

这是非常有区分度的一类判断题。

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二十五、对称矩阵、反对称矩阵的乘积

李正元中有一道非常值得保留的证明题：

若

$$A^T=A,B^T=-B,$$

证明

$$AB\text{ 为反对称矩阵}$$

的充要条件是

$$AB=BA.$$

(Any Docs)

因为

$$(AB{)}^T=B^T{A}^T=-BA.$$

若 $AB$ 反对称，则

$$(AB{)}^T=-AB.$$

所以

$$-BA=-AB$$

即

$$AB=BA.$$

反过来也完全成立。

这道题其实是在训练：

$$\boxed{(AB{)}^T=B^T{A}^T}$$

而不是在训练复杂计算。

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二十六、综合题：分块矩阵可逆性

李正元/张宇中都出现了一道很有价值的题：

$$Q=\left(\begin{array}{cc}A& \alpha \\ {\alpha }^T& b\end{array}\right),$$

其中 $A$ 可逆，证明 $Q$ 可逆的条件与

$$b-{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha$$

有关。(Any Docs)

通过构造分块矩阵 $P$，将 $PQ$ 化成分块三角矩阵，最后得到

$$|PQ|=|A{|}^2\left(b-{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha \right).$$

因为 $P$ 可逆，因此

$$Q\text{可逆}⟺PQ\text{可逆}.$$

于是

$$\boxed{Q\text{可逆}⟺b-{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha \ne 0}.$$

也就是

$$\boxed{{\alpha }^T{A}^{-1}\alpha \ne b}.$$

这其实已经触及以后更高级的 Schur 补思想。

对于考研来说不需要记“Schur补”这个名字，但应掌握：

分块矩阵难算时，想办法左乘或右乘一个简单可逆分块矩阵，把它消成分块三角矩阵。

这是非常好的综合能力。

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二十七、一道练习题透露出的重要新方向

张宇1000题里有：

$$(A-E{)}^5=O,$$

求 $A^{-1}$。(Any Docs)

令

$$N=A-E.$$

则

$$N^5=O,A=E+N.$$

于是

$$A^{-1}=(E+N{)}^{-1}.$$

利用有限等比：

$$(E+N)(E-N+N^2-N^3+N^4)=E+N^5=E.$$

所以

$$\boxed{A^{-1}=E-(A-E)+(A-E{)}^2-(A-E{)}^3+(A-E{)}^4}.$$

这比直接给

$$A^5=O$$

更有区分度。

值得注意的是这是非常值得预测的考法，因为它考能否主动做代换。

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二十八、再拓展一个很可能出现的命题模型

若

$$(A-\lambda E{)}^m=O,\lambda \ne 0,$$

令

$$N=A-\lambda E.$$

则

$$A=\lambda E+N.$$

所以

$$A^{-1}=(\lambda E+N{)}^{-1}.$$

提取 $\lambda$：

$$A^{-1}=\frac{1}{\lambda }{\left(E+\frac{N}{\lambda }\right)}^{-1}.$$

由于

$$N^m=O,$$

因此

$$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{\lambda }\sum _{k=0}^{m-1}(-1{)}^k\frac{N^k}{{\lambda }^k}}.$$

即

$$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{\lambda }\sum _{k=0}^{m-1}(-1{)}^k\frac{(A-\lambda E{)}^k}{{\lambda }^k}}.$$

这就把张宇那道题推广成了一整类题。

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二十九、模块2最容易犯的错误

建议把下面这些当成考前检查表：

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三十、考场决策树

以后拿到模块2题目，可以几乎机械地这样判断。

第一步，看有没有

$$A^n,A^{2026}.$$

有的话先算

$$A^2,A^3$$

找多项式关系。

第二步，看有没有

$$\alpha {\alpha }^T,u{v}^T.$$

有的话算

$$v^{T}u$$

把矩阵平方压回一次。

第三步，看有没有逆矩阵。

不要马上求具体逆，先检查能不能通过

$$XY=cE$$

直接构造。

第四步，看未知矩阵 $X$ 在哪里。

$$AX,XA,AXB$$

必须分别处理。

第五步，看见 $A^{\ast }$。

立即写：

$$A{A}^{\ast }=|A|E.$$

若可逆，再写：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}.$$

第六步，看见“行变换/列变换”。

立刻：

$$\boxed{\text{左行右列}}$$

第七步，看见“证明可逆”。

依次找：

$$AB=E,$$ $$AB=cE,$$ $$AB\text{可逆},$$ $$|A|\ne 0,$$

或者矩阵多项式关系。

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三十一、建议重点吃透的真题

如果时间有限，建议优先反复做这些，而不是平均刷题：

如果这十二类真正掌握，模块2绝大多数题已经不再是“新题”。

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三十二、值得注意的是最值得预测的4种新考法

结合本站真题和强化题的走向，尤其建议准备下面四种。

预测1：秩一扰动 + 求逆

给

$$A=E+\lambda u{v}^T,$$

问何时可逆并求逆。

统一答案：

$$1+\lambda v^{T}u\ne 0,$$

且

$$A^{-1}=E-\frac{\lambda }{1+\lambda v^{T}u}u{v}^T.$$

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预测2：平移幂零

给

$$(A-\lambda E{)}^m=O,$$

求

$$A^n$$

或

$$A^{-1}.$$

设

$$N=A-\lambda E$$

后使用二项式，而且因为 $N^m=O$，展开自动截断。

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预测3：伴随矩阵 + 秩

给

$$A^2=O$$

或者

$$A^3=O,$$

再问

$$A^{\ast },r(A^{\ast }),(A^{\ast }{)}^{\ast }.$$

需要先由

$$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$$

或

$$r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}$$

确定 $r(A)$，再套伴随矩阵的秩规律。

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预测4：分块矩阵 + 可逆性 + 矩阵方程

例如

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& C\end{array}\right)X=E,$$

或者

$$Q=\left(\begin{array}{cc}A& u\\ v^T& c\end{array}\right),$$

要求判断可逆、求行列式或求逆的某个分块。

这正是目前“单知识点→综合结构题”的自然升级方向，而本站中2023年伴随矩阵真题和练习中的分块可逆题已经表现出这种趋势。(Any Docs)

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三十三、最后压缩成真正该背的“模块2总纲”

模块2其实只需要建立六个条件反射：

$$\boxed{u{v}^T\Rightarrow (u{v}^T{)}^2=(v^{T}u)u{v}^T}$$ $$\boxed{f(A)=O\Rightarrow \text{降幂、构造逆矩阵}}$$ $$\boxed{A^m=O\Rightarrow (E-A{)}^{-1}=E+A+\cdots +A^{m-1}}$$ $$\boxed{A{A}^{\ast }=|A|E}$$ $$\boxed{AXB=C\Rightarrow X=A^{-1}C{B}^{-1}}$$ $$\boxed{\text{左乘行变换，右乘列变换}}$$

再加一句贯穿全章：

$$\boxed{\text{矩阵乘法不可随意交换，求逆和转置都要逆序。}}$$

真正把这些方法吃透以后，矩阵模块就不应该再按“逆矩阵题、伴随题、初等矩阵题”孤立记忆，而应该看成同一个核心问题：

$$\boxed{\text{利用矩阵的代数结构，把复杂矩阵转化为简单矩阵。}}$$

这也是模块2向后面秩、线性方程组、特征值、相似对角化过渡的核心思想。本站本身也把线性代数安排成“矩阵→秩→向量→方程组→特征值→相似→二次型”的连续结构，这样理解比单章背公式有效得多。(Any Docs)