线性代数模块 5：线性方程组

本文按本站的组织方式，把数学真题中的模块 5 全部主线重新梳理了一遍，并交叉看了李正元第四章、张宇 1000 题第四章中有考研价值的题目。本站真题模块 5 明确分为“线性方程组的解的判定”和“齐次线性方程组的通解”两部分；但从练习题和综合真题看，真正考试时还会自然延伸到非齐次通解、同解方程组、伴随矩阵、矩阵乘积、空间几何等组合。(Any Docs)

这一模块有一个非常重要的特点：

看起来题型很多，其实核心几乎全部可以压缩成“秩 + 零空间 + 特解”三个东西。

如果这一章真正学通，以后线代很多综合题都不应该再靠“现场灵感”。

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一、先建立模块 5 的总框架

考虑非齐次线性方程组

$$Ax=b,$$

其中矩阵有 $m$ 行、$n$ 列，即有 $m$ 个方程、$n$ 个未知量。

对应的齐次方程组为

$$Ax=0.$$

整个模块最核心的结论只有下面几组。

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1. 齐次方程组

$$Ax=0$$

永远至少有零解。

如果

$$r(A)=n,$$

则只有零解。

如果

$$r(A)<n,$$

则有非零解，并且基础解系所含向量个数为

$$n-r(A).$$

也就是

$$\dim N(A)=n-r(A).$$

这里的 $N(A)$ 就是矩阵 $A$ 的零空间。

这是整章的第一核心公式。

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二、非齐次方程组三种解的判定

设增广矩阵为

$$\tilde{A}=(A\mid b).$$

那么：

无解

$$r(A)<r(\tilde{A}).$$

唯一解

$$r(A)=r(\tilde{A})=n.$$

无穷多解

$$r(A)=r(\tilde{A})<n.$$

建议直接记成：

$$\boxed{\text{先判断是否相容，再看自由变量}}$$

其中：

$$r(A)=r(\tilde{A})$$

解决的是“有没有解”；

而

$$n-r(A)$$

决定的是“有几个自由变量”。

这是模块 5 最重要的逻辑链。

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三、题型一：含参数方程组解的判定

考频：★★★★★

这是本模块最稳定、最值得熟练的题型之一。

真题从早期到近年一直出现，例如：

• 1989：齐次方程组只有零解，求参数；
• 2000：非齐次方程组无解，求参数；
• 2001：非齐次方程组有无穷多解；
• 2015：两个参数同时决定无穷多解；
• 2019：参数方程组有无穷多解。(Any Docs)

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母题 1：齐次方程组只有零解

真题：1989-4

题目给出齐次方程组

$$\{\begin{array}{l}\lambda x_1+x_2+x_3=0,\\ x_1+\lambda x_2+x_3=0,\\ x_1+x_2+x_3=0.\end{array}$$

问只有零解时参数条件。

来源：考研数学真题，线代模块 5。(Any Docs)

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解法

三元齐次方程组只有零解：

$$r(A)=3.$$

因为恰好是三阶方阵，所以等价于

$$|A|\ne 0.$$

系数矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$$

计算：

$$|A|=(\lambda -1{)}^2.$$

于是

$$|A|\ne 0$$

等价于

$$\boxed{\lambda \ne 1}.$$

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这一类题的统一方法

看到：

“齐次方程组只有零解”

第一反应不是消元，而是

$$\boxed{r(A)=n}.$$

如果是 $n$ 阶方阵，继续变成

$$\boxed{|A|\ne 0}.$$

如果题目问“存在非零解”，则正好反过来：

$$r(A)<n,$$

方阵情况下：

$$|A|=0.$$

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四、题型二：无解 / 无穷多解的参数筛选

考频：★★★★★

这种题最容易出现一个典型错误：

只令行列式等于零，就直接宣布“无穷多解”。

这是错的。

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母题 2：2000 年真题

方程组为

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 3& a\\ 1& a+2& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\end{array}\right).$$

已知无解，求 $a$。

来源：2000 年考研真题。网站给出的结果为 $a=-1$。(Any Docs)

首先计算：

$$|A|=-(a-3)(a+1).$$

如果

$$a\ne 3,-1,$$

那么

$$|A|\ne 0,$$

因此一定唯一解，不可能无解。

所以只需要检查两个临界值

$$a=3,a=-1.$$

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当 $a=3$

结果是

$$r(A)=r(\tilde{A})=2<3,$$

所以：

$$\text{无穷多解}.$$

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当 $a=-1$

出现矛盾行：

$$(0,0,0\mid 1),$$

于是

$$r(A)<r(\tilde{A}),$$

所以无解。

最终

$$\boxed{a=-1}.$$

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五、参数题最重要的“二阶段法”

这是以后做所有参数方程组题都应该形成的固定动作。

第一阶段：找临界参数

优先计算：

$$|A|.$$

因为只要

$$|A|\ne 0,$$

方阵立即有唯一解。

于是“无解/无穷多解”只可能出现在

$$|A|=0$$

的有限几个参数值。

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第二阶段：逐个检查相容性

对每一个临界参数判断

$$r(A)$$

和

$$r(\tilde{A}).$$

因此统一模板：

$$\boxed{|A|=0⟹\text{筛候选参数}}$$

然后

$$\boxed{\{\begin{array}{ll}r(A)<r(\tilde{A})& \text{无解},\\ r(A)=r(\tilde{A})<n& \text{无穷多解}.\end{array}}$$

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六、母题 3：2001 年无穷多解

真题给出

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right),$$

要求

$$Ax=b$$

有无穷多个解。

来源：2001 年考研真题。(Any Docs)

首先：

$$|A|=(a+2)(a-1{)}^2.$$

所以候选：

$$a=1,a=-2.$$

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$a=1$

此时

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right).$$

所有列向量生成的空间只有

$$\mathrm{span}\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)\right\}.$$

但是

$$b=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -2\end{array}\right)$$

不属于这个空间。

因此无解。

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$a=-2$

这时

$$r(A)=2,$$

并且右端满足相容性条件，所以

$$r(A)=r(\tilde{A})=2<3.$$

于是

$$\boxed{a=-2}.$$

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七、这里隐藏着一个更高级的方法：左零空间

上面的题还可以换一个更本质的角度。

如果存在非零向量 $y$ 满足

$$A^{T}y=0,$$

那么 $Ax=b$ 有解必须满足

$$y^{T}b=0.$$

因为

$$y^{T}b=y^{T}Ax=(A^{T}y{)}^{T}x=0.$$

所以：

$$\boxed{b\text{ 必须与 }N(A^T)\text{ 正交}}$$

这实际上就是“增广矩阵秩不增加”的另一种表达。

预测价值很高

以后完全可能出现：

• 不要求直接求秩；
• 直接 $A^{T}y=0$ 的解；
• 要求判断哪个 $b$ 能使 $Ax=b$ 相容。

这个时候马上用

$$\boxed{y^{T}b=0}.$$

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八、题型三：“对任意 $b$ 都有解”

考频：★★★★

这是很多同学容易混淆“满行秩”和“满列秩”的地方。

李正元题库有一道很典型的题：

给一个三元方程组，问什么参数下对任意

$$b_1,b_2,b_3$$

都存在解。

网站解析把条件化成了系数矩阵可逆。(Any Docs)

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一般结论

如果

$$A_{m\times n}x=b$$

要求对任意

$$b\in {\mathbb{R}}^m$$

都有解，那么必须有

$$\mathrm{Col}(A)={\mathbb{R}}^m.$$

因此

$$\boxed{r(A)=m}.$$

注意：

是满行秩。

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真题：1997 抽象选择题

网站真题中问：若

$$r(A)=m,$$

能推出什么？

因为列空间是 ${\mathbb{R}}^m$ 的一个 $m$ 维子空间，所以

$$\mathrm{Col}(A)={\mathbb{R}}^m.$$

因此

$$Ax=b$$

对任意 $b$ 均有解。(Any Docs)

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九、把满行秩和满列秩彻底分清

对于

$$A_{m\times n},$$

满列秩

$$r(A)=n.$$

意味着

$$Ax=0$$

只有零解。

所以非齐次方程组

$$Ax=b$$

若有解，则唯一。

但不保证一定有解。

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满行秩

$$r(A)=m.$$

意味着

$$Ax=b$$

对任意

$$b\in {\mathbb{R}}^m$$

都有解。

但如果

$$n>m,$$

一般不是唯一，而是无穷多个。

所以可以记：

$$\boxed{\text{满列秩管唯一性，满行秩管相容性}}$$

这是非常有用的一句话。

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十、题型四：利用矩阵乘积判断方程组

考频：★★★★

真题：2002

已知

$$A_{m\times n},B_{n\times m},$$

考察

$$ABx=0.$$

若

$$m>n,$$

则

$$r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}\le n<m.$$

所以

$$r(AB)<m.$$

而 $AB$ 是 $m$ 阶方阵，因此

$$ABx=0$$

一定存在非零解。(Any Docs)

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统一模型

看到

$$ABx=0$$

不一定要乘开。

首先用：

$$r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}.$$

然后与未知数个数比较。

这类题真正考的不是计算，而是：

$$\boxed{\dim N(M)=\text{列数}-r(M)}.$$

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十一、题型五：给出 $AB=0$，反推零空间

考频：★★★★

这是“矩阵乘法”和“方程组”最重要的结合之一。

如果

$$AB=0,$$

设

$$B=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s),$$

则

$$AB=(A{\beta }_1,A{\beta }_2,\dots ,A{\beta }_s)=0.$$

所以

$$A{\beta }_i=0.$$

换句话说：

$$\boxed{B\text{ 的所有列向量都是 }Ax=0\text{ 的解}}$$

因此：

$$\mathrm{Col}(B)\subseteq N(A).$$

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真题：1998

网站真题中给出：

$$AB=0,B\ne O.$$

因为 $B$ 至少存在一个非零列 $\beta$，于是

$$A\beta =0$$

存在非零解。

所以

$$|A|=0.$$

再结合具体系数矩阵求参数。(Any Docs)

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十二、这类题还可以升级成秩不等式

由

$$\mathrm{Col}(B)\subseteq N(A),$$

得到

$$r(B)\le \dim N(A).$$

即

$$r(B)\le n-r(A).$$

所以

$$\boxed{r(A)+r(B)\le n}.$$

这是著名关系：

$$AB=0⟹r(A)+r(B)\le n.$$

很多综合选择题可以直接秒杀。

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十三、题型六：基础解系

考频：★★★★★

这不仅是大题重点，也是后面所有抽象题的基础。

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真题：1996

求齐次方程组

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4+x_5=0,\\ x_1+x_2-x_3+x_4=0,\\ x_3+x_4+x_5=0\end{array}$$

的基础解系。

来源：1996 年考研真题。(Any Docs)

整理可得

$$x_1=-x_2,$$ $$x_4=x_3,$$ $$x_5=-2x_3.$$

取

$$x_2=k_1,x_3=k_2,$$

得到

$$x=k_1\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\\ -2\end{array}\right).$$

因此一个基础解系为

$$\boxed{\left\{\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\\ -2\end{array}\right)\right\}}.$$

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十四、基础解系的标准做题流程

假设有 $n$ 个未知量。

第一步

对系数矩阵做初等行变换。

第二步

得到

$$r(A)=r.$$

立即知道基础解系必须含

$$\boxed{n-r}$$

个向量。

第三步

选取

$$n-r$$

个自由变量。

第四步

分别令自由变量取标准单位组合。

比如有两个自由变量 $s,t$：

第一组：

$$s=1,t=0.$$

第二组：

$$s=0,t=1.$$

由此得到两个基础解向量。

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一个非常重要的自检

如果算出

$$r(A)=3$$

而未知量有 5 个，那么基础解系必须有

$$5-3=2$$

个向量。

最后写了 1 个或 3 个：

必错。

这个自检非常有用。

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十五、自由变量并不一定非得是“非主元变量”

李正元练习中专门考过这种细节：一个阶梯形方程组有两个自由参数，但问“哪些变量可以作为自由变量”。网站例题指出，有些不是标准自由变量的变量，如果与自由参数之间存在可逆线性对应，同样可以作为参数；但一个恒为 0 的变量肯定不能作为自由变量。(Any Docs)

所以更准确地说：

自由变量本质上是能独立参数化整个解空间的一组变量，而不只是机械地看阶梯形矩阵。

考研基础解答时还是建议用标准非主元变量，最稳。

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十六、题型七：利用列向量之间的关系直接求 $Ax=0$

考频：★★★★★

这是近年非常喜欢的一种轻计算题。

真题：2019

已知

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),$$

其中

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

线性无关，而且

$${\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2.$$

求

$$Ax=0$$

的通解。(Any Docs)

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因为

$$Ax=x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3{\alpha }_3.$$

代入：

$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+x_3(-{\alpha }_1+2{\alpha }_2)=0.$$

整理：

$$(x_1-x_3){\alpha }_1+(x_2+2x_3){\alpha }_2=0.$$

由于

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

线性无关，所以

$$x_1-x_3=0,$$ $$x_2+2x_3=0.$$

令

$$x_3=k,$$

得到

$$\boxed{x=k\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)}.$$

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十七、这一题真正应该掌握什么？

以后看到

$$A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$$

千万不要忘记：

$$Ax=0$$

就是

$$x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n=0.$$

所以：

求方程组的解，本质就是找矩阵列向量之间的线性关系系数。

反过来：

已知列向量关系，几乎就直接知道零空间里的向量。

例如：

$$2{\alpha }_1-{\alpha }_2+5{\alpha }_4=0$$

立即得到

$$\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 0\\ 5\end{array}\right)\in N(A).$$

这是“向量模块”和“方程组模块”的核心桥梁。

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十八、题型八：参数 + 基础解系

考频：★★★★★，大题尤其重要

真题：1999

题目给出

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0,\\ a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3=0,\\ a^2{x}_1+b^2{x}_2+c^2{x}_3=0.\end{array}$$

讨论什么时候只有零解，什么时候有无穷多解，并求基础解系。

网站真题页把它作为大题收录。(Any Docs)

系数矩阵实际上是范德蒙德型：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right).$$

其行列式：

$$|A|=(b-a)(c-a)(c-b).$$

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情形一：两两不等

如果

$$a,b,c$$

两两不同，

$$|A|\ne 0.$$

因此只有零解。

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情形二：恰有两个相等

比如

$$a=b\ne c.$$

此时前两列相同，所以

$$x_1+x_2=0,x_3=0.$$

基础解系为

$$\boxed{\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right)\right\}.}$$

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情形三：全部相等

若

$$a=b=c,$$

三个方程实际上只剩一个独立条件：

$$x_1+x_2+x_3=0.$$

所以

$$r(A)=1.$$

基础解系含

$$3-1=2$$

个向量，例如：

$$\boxed{\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)\right\}.}$$

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十九、参数大题的关键不是“算”，而是“分类不能漏”

这类题最容易丢分的位置是：

只写

$$|A|=0$$

就结束。

实际上

$$|A|=0$$

只能说明

$$r(A)<n.$$

但是秩可能进一步降低。

例如上一题：

• 两个相等时：

$$r(A)=2;$$

• 三个全相等时：

$$r(A)=1.$$

所以基础解系个数分别不同。

因此参数大题必须形成：

$$\boxed{\text{先找临界值，再检查秩是否继续下降}}$$

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二十、题型九：特殊结构的 $n$ 元方程组

考频：★★★★，大题区分度高

真题：2002

网站收录了一个很经典的 $n$ 元系统：

对角线上是 $a$，非对角线上都是 $b$：

$$\{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2+\cdots +b{x}_n=0,\\ b{x}_1+a{x}_2+\cdots +b{x}_n=0,\\ ⋮\\ b{x}_1+\cdots +a{x}_n=0.\end{array}$$

要求讨论何时仅有零解，何时有无穷多解，并求基础解系。(Any Docs)

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最好的方法：不要硬算 $n$ 阶行列式

令

$$S=x_1+x_2+\cdots +x_n.$$

第 $i$ 个方程都可写成

$$(a-b)x_i+bS=0.$$

两个方程相减：

$$(a-b)(x_i-x_j)=0.$$

马上分类。

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情形一

$$a\ne b.$$

则

$$x_1=x_2=\cdots =x_n=t.$$

代回：

$$[a+(n-1)b]t=0.$$

因此如果

$$a+(n-1)b\ne 0,$$

则

$$t=0,$$

只有零解。

如果

$$a+(n-1)b=0,$$

则

$$x=t\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right).$$

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情形二

$$a=b.$$

所有方程都变成

$$b(x_1+\cdots +x_n)=0.$$

于是

$$x_1+\cdots +x_n=0.$$

一个标准基础解系为

$$e_1-e_n,e_2-e_n,\dots ,e_{n-1}-e_n.$$

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二十一、这种矩阵必须认识

其矩阵为

$$A=(a-b)I+bJ,$$

其中 $J$ 是全 1 矩阵。

它的行列式实际上为

$$\boxed{|A|=(a-b{)}^{n-1}[a+(n-1)b]}.$$

这个结论到模块 6“特征值”以后还会再次出现。

因此这是一类贯穿：

行列式 → 方程组 → 特征值

的经典母题。

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二十二、真题 2003：更一般的结构化方程组

网站还收录了：

$$T=a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n.$$

整个方程组可以统一改写成

$$T+b{x}_i=0,i=1,\dots ,n.$$

然后根据

$$b=0$$

和

$$b\ne 0$$

分类。(Any Docs)

这种题最重要的技巧是：

观察所有方程中重复出现的公共部分，先设整体变量。

常见替换包括：

$$S=x_1+\cdots +x_n,$$

或者

$$T=a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n.$$

这比高斯消元快很多。

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二十三、题型十：非齐次方程组的通解

本站的真题目录没有把它单独作为第三节，但这是模块 5 必须完整掌握的内容。

核心定理

如果

$$x_p$$

是

$$Ax=b$$

的一个特解，而

$$Ax=0$$

的通解为

$$x_h,$$

那么非齐次方程组的所有解是

$$\boxed{x=x_p+x_h}.$$

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为什么？

任意解 $x$ 满足

$$Ax=b.$$

又有

$$A{x}_p=b.$$

相减：

$$A(x-x_p)=0.$$

所以

$$x-x_p\in N(A).$$

因此

$$x=x_p+x_h.$$

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二十四、给出多个非齐次解，如何反推齐次解？

这是极其重要的综合规律。

如果

$$\alpha ,\beta$$

都是

$$Ax=b$$

的解，那么

$$A\alpha =b,A\beta =b.$$

相减：

$$A(\alpha -\beta )=0.$$

所以

$$\boxed{\alpha -\beta \text{ 是 }Ax=0\text{ 的解}}.$$

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二十五、李正元高质量练习：三个已知解反推通解

题库中给出四元方程组

$$Ax=b$$

的三个解

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,$$

并给出

$$r(A)=3.$$

其中知道

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right),$$

以及

$${\alpha }_2+{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\\ 5\end{array}\right).$$

求通解。(Any Docs)

因为三个向量都是非齐次解：

$$A{\alpha }_1=A{\alpha }_2=A{\alpha }_3=b.$$

于是

$$A({\alpha }_2+{\alpha }_3-2{\alpha }_1)=0.$$

而

$${\alpha }_2+{\alpha }_3-2{\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right).$$

又因为未知量个数是 4，

$$r(A)=3,$$

所以零空间维数：

$$4-3=1.$$

因此上面这个非零向量直接就是一个基础解向量。

所以：

$$\boxed{x=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right)+k\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 2\\ 3\end{array}\right)}.$$

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二十六、多个非齐次解的线性组合：一个非常实用的规律

设

$$x_1,x_2,\dots ,x_s$$

都是

$$Ax=b$$

的解。

那么

$$A(c_1{x}_1+\cdots +c_s{x}_s)=(c_1+\cdots +c_s)b.$$

因此这个线性组合仍是原非齐次方程组的解，当且仅当

$$\boxed{c_1+c_2+\cdots +c_s=1}.$$

例如：

$$2x_1-x_2$$

仍然是一个解，因为系数之和

$$2-1=1.$$

但是

$$x_1+x_2$$

通常不是原方程组的解，因为系数之和为 2。

这是高频选择题陷阱。

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二十七、几何上怎样理解非齐次解？

齐次方程组

$$Ax=0$$

的解集是一个过原点的线性子空间。

非齐次方程组

$$Ax=b$$

如果有解，则解集是

$$x_p+N(A).$$

所以它是零空间整体平移得到的集合，叫做仿射空间。

这直接解释了为什么：

• 两个非齐次解之差属于零空间；
• 若零空间维数为 1，非齐次解集是一条直线；
• 若零空间维数为 2，则解集是一个平面。

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二十八、题型十一：由若干非齐次解判断基础解系个数

真题：2004

网站收录：

$$A^{\ast }\ne O,$$

同时非齐次方程组

$$Ax=b$$

有多个互不相同的解。

问对应齐次方程组的基础解系有几个向量。(Any Docs)

首先：

$$A^{\ast }\ne O$$

意味着

$$r(A)\ge n-1.$$

而非齐次方程组有两个不同解，就说明

$$Ax=0$$

存在非零解。

所以

$$r(A)<n.$$

两者合起来：

$$r(A)=n-1.$$

因此

$$\dim N(A)=n-(n-1)=1.$$

所以基础解系只有一个非零向量。

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二十九、注意一个很经典的陷阱

题目给出：

有 4 个互不相同的非齐次解。

不能得出：

$$\dim N(A)\ge 3.$$

为什么？

因为 4 个点完全可能都位于同一条直线上。

例如：

$$x_0,x_0+v,x_0+2v,x_0+3v.$$

虽然有四个不同解，但零空间仍然只是

$$\mathrm{span}\{v\}.$$

网站解析也特别强调了这个点。(Any Docs)

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三十、题型十二：伴随矩阵与方程组

考频：★★★★

综合性：★★★★★

必须掌握：

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|I.$$

同时：

$$r(A)=n\Rightarrow r(A^{\ast })=n,$$ $$r(A)=n-1\Rightarrow r(A^{\ast })=1,$$ $$r(A)\le n-2\Rightarrow A^{\ast }=O.$$

---

三十一、真题：2020

已知四阶矩阵 $A$ 不可逆，并且某个三阶代数余子式非零。

那么：

$$|A|=0,$$

但存在三阶子式非零，所以

$$r(A)=3.$$

因此

$$r(A^{\ast })=1.$$

于是

$$A^{\ast }x=0$$

的基础解系含

$$4-1=3$$

个向量。

又因为

$$A^{\ast }A=|A|I=O,$$

如果

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4),$$

则

$$A^{\ast }{\alpha }_i=0.$$

所以 $A$ 的各列都是

$$A^{\ast }x=0$$

的解。

最后再利用题设某个三阶子式非零，选出 3 个线性无关的列向量作为基础解系。(Any Docs)

---

三十二、伴随矩阵题统一“四步法”

以后遇到

$$A^{\ast }x=0$$

直接：

1. 先求

$$r(A).$$

2. 转成

$$r(A^{\ast }).$$

3. 得零空间维数

$$n-r(A^{\ast }).$$

4. 用

$$A^{\ast }A=|A|I$$

找现成的解向量。

这比真的算 $A^{\ast }$ 快得多。

---

三十三、题型十三：基础解系经过线性组合后还是不是基础解系？

考频：★★★★

抽象大题重要

真题：1994

设

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

是

$$Ax=0$$

的一个基础解系。

证明：

$${\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2+{\alpha }_3,{\alpha }_3+{\alpha }_1$$

仍是一个基础解系。(Any Docs)

---

基础解系的两个判定条件

若原解空间维数是 $s$，那么 $s$ 个向量想成为新的基础解系，只需证明：

条件 1：都是解

$$A{\beta }_i=0.$$

条件 2：线性无关。

这就够了。

不需要重新证明它们“生成所有解”。

因为：

一个 $s$ 维空间里，$s$ 个线性无关向量自动构成一组基。

---

三十四、更强的统一方法：坐标变换矩阵

设

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

是旧基础解系，新向量满足

$$({\beta }_1,\dots ,{\beta }_s)=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)C.$$

那么：

$$\boxed{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_s\text{ 是基础解系}⟺|C|\ne 0}$$

原因非常简单：

旧向量已经线性无关，所以新向量线性无关只取决于系数矩阵 $C$ 是否可逆。

---

三十五、真题：2001 循环线性组合

网站收录的真题：

$${\beta }_1=t_1{\alpha }_1+t_2{\alpha }_2,$$ $${\beta }_2=t_1{\alpha }_2+t_2{\alpha }_3,$$

一直循环到

$${\beta }_s=t_1{\alpha }_s+t_2{\alpha }_1.$$

要求什么条件下仍为基础解系。(Any Docs)

核心完全不在方程组，而在新旧基之间的系数矩阵：

$$C=\left(\begin{array}{ccccc}{t}_1& 0& \cdots & 0& t_2\\ t_2& t_1& \cdots & 0& 0\\ 0& t_2& \ddots & 0& 0\\ ⋮& & \ddots & t_1& 0\\ 0& 0& \cdots & t_2& t_1\end{array}\right).$$

要求：

$$|C|\ne 0.$$

所以这种题以后都可以压缩成一句：

$$\boxed{\text{换基础解系}=\text{判断坐标变换矩阵是否可逆}}$$

---

三十六、题型十四：同解方程组

考频：★★★

强化价值：★★★★★

张宇 1000 题有一道非常好的题：

在一个齐次方程组基础上新增

$$a{x}_1+b{x}_2+c{x}_3+d{x}_4=0,$$

问什么时候新旧两个方程组同解。网站最后得到某个参数关系，并指出新增方程不能缩小原解集。(Any Docs)

---

三十七、同解问题的两个统一视角

方法一：行空间

对于齐次方程组：

$$Ax=0,Bx=0.$$

两者同解等价于

$$N(A)=N(B).$$

在有限维欧氏空间中，又等价于它们的行空间相同：

$$R(A^T)=R(B^T).$$

所以：

新增一个方程而不改变解集，意味着新方程的系数行向量能够由原方程线性表示。

---

方法二：用基础解系检测

如果已知原方程组基础解系：

$${\xi }_1,\dots ,{\xi }_s,$$

那么新增方程

$$cx=0$$

不改变解集，当且仅当

$$c{\xi }_i=0,i=1,\dots ,s.$$

这个方法做具体题通常更快。

---

三十八、预测考法：删除方程

如果题目反过来：

删除一个方程后是否仍与原方程组同解？

本质上判断被删除的那一行是否由剩余行线性表示。

如果

$$r(A)$$

删除该行后不变，那么这个方程是冗余方程。

所以：

$$\boxed{\text{增删方程同解问题，本质都是行空间是否改变}}$$

---

三十九、题型十五：空间解析几何与方程组

数一重点

考频：★★★★

近年活跃度很高

本站的真题这一部分非常值得重视，包括：

• 1997 三条直线交于一点；
• 2002 三张平面共交线；
• 2019 三平面两两相交但没有公共点；
• 2020 空间直线相交与向量线性表示；
• 2024 三平面公共交线；
• 2025 解集是一条不过原点的直线。(Any Docs)

这说明这个包装方式一直有生命力。

---

四十、三元一次方程组的几何意义

考虑

$$Ax=b$$

有 3 个未知量。

如果相容：

$r(A)=3$

自由变量：

$$3-3=0.$$

解集是：

$$\boxed{\text{一个点}}.$$

---

$r(A)=2$

自由变量：

$$3-2=1.$$

解集是：

$$\boxed{\text{一条直线}}.$$

---

$r(A)=1$

自由变量：

$$3-1=2.$$

解集是：

$$\boxed{\text{一个平面}}.$$

所以只需要记：

$$\boxed{\text{解集维数}=3-r(A)}.$$

---

四十一、真题：2002 三个平面

题目告诉：

$$r(A)=r(\tilde{A})=2.$$

有 3 个未知量。

所以方程组相容，并且

$$\dim (\text{解集})=3-2=1.$$

因此解集是一条直线。

也就是说：

$$\boxed{\text{三张平面具有一条公共交线}}.$$

来源：2002 年真题。(Any Docs)

---

四十二、真题：2019 三张平面

题图表示：

• 三张平面两两相交；
• 三条交线彼此平行；
• 但三平面没有公共点。

所以方程组无解：

$$r(A)<r(\tilde{A}).$$

另一方面，两两相交说明至少有两个独立法向量：

$$r(A)\ge 2.$$

题目的几何结构进一步得到：

$$r(A)=2.$$

于是增广矩阵：

$$r(\tilde{A})=3.$$

因此：

$$\boxed{r(A)=2,r(\tilde{A})=3}.$$

网站收录答案也是这一组合。(Any Docs)

---

四十三、真题：2024

三张不同平面具有一条公共交线。

因此方程组有解，并且解集是一维：

$$3-r(A)=1.$$

所以

$$r(A)=2.$$

相容意味着

$$r(A)=r(\tilde{A}).$$

所以：

$$\boxed{r(A)=r(\tilde{A})=2}.$$

这是 2024 真题非常直接地用几何图判断秩。(Any Docs)

---

四十四、真题：2025——一个很值得注意的新包装

网站收录的 2025 真题给出：

$$x{\alpha }_1+y{\alpha }_2+z{\alpha }_3={\alpha }_4,$$

其中

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

线性无关，

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

线性相关，同时

$${\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_4=0.$$

问关于

$$x,y,z$$

的解集是什么几何图形。(Any Docs)

---

因为

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

线性无关，而再加入

$${\alpha }_3$$

后相关，所以

$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=2.$$

右端：

$${\alpha }_4=-{\alpha }_1-{\alpha }_2$$

属于它们的列空间。

因此相容。

所以解集维数：

$$3-2=1.$$

即是一条直线。

---

为什么不过原点？

如果经过原点，那么

$$x=y=z=0$$

必须是解。

于是：

$${\alpha }_4=0.$$

但

$${\alpha }_4=-{\alpha }_1-{\alpha }_2.$$

则

$${\alpha }_1+{\alpha }_2=0,$$

与

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

线性无关矛盾。

所以是：

$$\boxed{\text{一条不过原点的直线}}.$$

---

四十五、这道 2025 真题非常值得总结

它把：

• 向量线性相关；
• 方程组相容性；
• 秩；
• 解集维数；
• 仿射空间；
• 几何图形

六个知识点压成一道选择题。

这很可能代表这种模块综合题的典型方向。

---

四十六、题型十六：三条直线共点

真题：1997

平面上三条直线组成三个关于

$$x,y$$

的方程。

三条直线交于唯一一点，等价于方程组有唯一解。

未知量只有 2 个，因此需要：

$$\boxed{r(A)=r(\tilde{A})=2}.$$

网站真题进一步把这个条件翻译成几个向量的线性相关/无关关系。(Any Docs)

---

四十七、几何题统一翻译表

建议直接记住：

---

四十八、题型十七：正交空间的综合题

真题 1998 出现了一个很漂亮的结构：

一个方程组的基础解系组成另一个矩阵，再要求第二个方程组的通解。

网站解析使用了

$$A{B}^T=0$$

以及行空间、零空间之间的正交关系。(Any Docs)

这里需要掌握：

$$N(A)=R(A^T{)}^{\perp },$$

以及

$$N(A^T)=R(A{)}^{\perp }.$$

也就是说：

零空间与行空间互为正交补；

左零空间与列空间互为正交补。

这是模块 5 和“向量空间”结合时最深的一条主线。

---

四十九、张宇 1000 题中非常值得掌握的一道拓展：法方程

题库中有一道：

原方程组

$$Ax=b$$

无解，而

$$A^{T}Ax=A^{T}b$$

有解。

网站解析指出第二个方程——即法方程——实际上总有解。(Any Docs)

这非常值得记住。

---

为什么？

关键性质：

$$N(A^{T}A)=N(A).$$

证明：

如果

$$A^{T}Ax=0,$$

左乘 $x^T$：

$$x^T{A}^{T}Ax=0.$$

即

$$\Vert Ax{\Vert }^2=0.$$

所以

$$Ax=0.$$

因此

$$N(A^{T}A)=N(A).$$

再由正交补关系可以得到

$$R(A^{T}A)=R(A^T).$$

而

$$A^{T}b$$

显然属于

$$R(A^T).$$

所以法方程总相容。

---

五十、这个知识点有很强的预测价值

完全可能设计成：

已知 $Ax=b$ 无解，讨论

$$A^{T}Ax=A^{T}b$$

的解。

进一步结合：

$$N(A^{T}A)=N(A),$$

可以得到：

$$r(A^{T}A)=r(A).$$

因此法方程解集自由变量个数与原齐次方程组一样：

$$n-r(A).$$

这已经接近最小二乘理论。

---

五十一、题型十八：带附加非线性条件的方程组

李正元题库中有一道很好的强化题：

先求

$$Ax=b$$

通解，然后要求满足

$$x_1^2=x_2^2.$$

网站先得到二参数通解，再利用

$$x_1^2=x_2^2$$

分成

$$x_1=x_2$$

和

$$x_1=-x_2$$

两种情况，最终得到两族解。(Any Docs)

---

这种题的统一方法

绝对不要把非线性条件提前混入高斯消元。

应该：

第一步

单独求线性方程组通解：

$$x=x_p+k_1{\xi }_1+\cdots +k_s{\xi }_s.$$

第二步

把附加条件代入参数。

第三步

只对参数方程分类。

所以：

$$\boxed{\text{先降维，再处理附加条件}}$$

是最优策略。

---

五十二、一个非常容易忽略的结论：基础解系本身不是唯一的

如果

$$\{{\xi }_1,\dots ,{\xi }_s\}$$

是基础解系，

那么只要

$$C$$

是任意可逆 $s$ 阶矩阵，

$$({\eta }_1,\dots ,{\eta }_s)=({\xi }_1,\dots ,{\xi }_s)C$$

就得到另一个基础解系。

所以考试问：

“下面哪一组也可以作为基础解系？”

不要逐个解方程。

直接看新旧向量之间的变换矩阵是否可逆。

---

五十三、本模块最容易错的 10 个地方

1. 把

$$|A|=0$$

误认为“无穷多解”

只能推出齐次方程组有非零解。

非齐次还要看相容性。

---

2. 忘记增广矩阵

非齐次题永远不能只看

$$r(A).$$

必须比较

$$r(A),r(\tilde{A}).$$

---

3. 认为

$$r(A)=n$$

就保证非齐次唯一解

错误。

正确是：

$$r(A)=n$$

保证至多一个解。

还需要相容。

---

4. 认为

$$m<n$$

就必有无穷多解

错误。

可能无解。

正确说法：

如果有解，并且

$$r(A)<n,$$

才是无穷多解。

---

5. 把“方程多”理解成“解更少”

方程可能线性相关。

真正决定自由度的是：

$$r(A).$$

---

6. 基础解系向量个数写错

一定是

$$n-r(A).$$

---

7. 多个非齐次解直接当作基础解系

错。

基础解系属于

$$Ax=0.$$

非齐次解之间必须先作差。

---

8. 认为多个不同非齐次解意味着零空间维数很大

错误。

可能全部落在同一条仿射直线上。

---

9. 伴随矩阵题真的去算 $A^{\ast }$

一般不需要。

优先用

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|I.$$

---

10. 几何题只靠想象

最好统一翻译成：

$$r(A),r(\tilde{A}),n-r(A).$$

---

五十四、一套考试时真正可以机械执行的“方程组决策树”

以后看到任何线性方程组题，第一步先问：

问题 1：齐次还是非齐次？

---

如果是

$$Ax=0$$

立即想：

$$\dim N(A)=n-r(A).$$

题目问：

• 只有零解：

$$r(A)=n;$$

• 有非零解：

$$r(A)<n;$$

• 基础解系个数：

$$n-r(A).$$

---

如果是

$$Ax=b$$

立即想：

$$r(A)\text{vs}r(\tilde{A}).$$

然后：

$$r(A)<r(\tilde{A})\Rightarrow \text{无解}.$$ $$r(A)=r(\tilde{A})=n\Rightarrow \text{唯一解}.$$ $$r(A)=r(\tilde{A})<n\Rightarrow \text{无穷多解}.$$

---

五十五、如果题目给的是“若干解”，怎么办？

马上使用：

$$\alpha ,\beta \text{ 为非齐次解}$$

则

$$\alpha -\beta \in N(A).$$

如果有：

$$c_1+\cdots +c_s=0,$$

则

$$c_1{\alpha }_1+\cdots +c_s{\alpha }_s$$

是对应齐次方程组的解。

如果：

$$c_1+\cdots +c_s=1,$$

则该线性组合仍是非齐次方程组的解。

---

五十六、如果题目给列向量关系

例如

$$A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n),$$

立即把

$$Ax=0$$

改写为

$$x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n=0.$$

然后直接读取线性关系。

---

五十七、如果题目给 $AB=0$

立即使用：

$$\mathrm{Col}(B)\subseteq N(A),$$

以及

$$r(A)+r(B)\le n.$$

---

五十八、如果题目给 $A^{\ast }$

立即判断

$$r(A)$$

属于：

$$n,n-1,\le n-2$$

哪一档。

再转换成：

$$r(A^{\ast }).$$

---

五十九、如果题目说“对任意 $b$ 都有解”

立即：

$$\boxed{r(A)=m}.$$

---

六十、如果题目说“若有解则唯一”

立即：

$$\boxed{r(A)=n}.$$

---

六十一、如果题目说两个齐次方程组同解

立即想：

$$N(A)=N(B).$$

进一步想：

$$R(A^T)=R(B^T).$$

也就是行空间一致。

---

六十二、如果题目是空间几何

立即翻译成：

$$\boxed{\text{几何维数}=n-r(A)}$$

前提是方程组相容。

对于三个未知量：

$$r=3\Rightarrow \text{点},$$ $$r=2\Rightarrow \text{直线},$$ $$r=1\Rightarrow \text{平面}.$$

---

六十三、值得注意的是最值得重点吃透的真题清单

如果时间有限，模块 5 建议至少精做下面这些。

第一梯队：必须彻底掌握

1. 2000-1：参数 + 无解判定
2. 2001-2：参数 + 无穷多解
3. 2015-123：双参数 + 相容性
4. 2019-3：参数无穷解
5. 1996-2：直接求基础解系
6. 1999-4：参数分类 + 基础解系
7. 2002-3 大题：$n$ 阶特殊结构
8. 2019-1：列向量关系求通解
9. 2020-23：伴随矩阵 + 基础解系
10. 2025-1：秩 + 解集维数 + 几何。(Any Docs)

---

第二梯队：提高抽象能力

11. 1997-4：满行秩与任意 $b$
12. 2002-3 小题：矩阵乘积的秩
13. 2004-3：伴随矩阵 + 多个非齐次解
14. 1994-5：基础解系变换证明
15. 2001-1：循环变换基础解系。(Any Docs)

---

数一重点

16. 1997-1：三直线共点
17. 2002-1：三平面公共交线
18. 2019-1：三平面几何关系
19. 2024-1：图形判断两个秩
20. 2025-1：向量方程的仿射几何。(Any Docs)

---

六十四、练习题中值得注意的是最有补充价值的几类

不是所有练习题都值得和真题同等投入。结合网站内容，值得注意的是下面几类最值得做。

1. 李正元：自由变量选择

强化“自由变量本质是参数化坐标”。(Any Docs)

2. 李正元：多个非齐次解反推通解

非常贴近综合选择题与大题。(Any Docs)

3. 李正元：参数导致秩进一步降低

很适合训练分类讨论。(Any Docs)

4. 张宇：增一个方程后的同解条件

很好地补充真题中没有集中出现的“同解方程组”。(Any Docs)

5. 张宇：法方程

把方程组和零空间、转置矩阵连接起来，预测价值较高。(Any Docs)

6. 张宇：$AB=0$、矩阵乘积与零空间

与真题 1998、2002 属于同一母题体系。(Any Docs)

---

六十五、基于真题趋势，值得注意的是值得防的几个新组合考法

预测 1：给左零空间判断相容性

例如给

$$N(A^T)=\mathrm{span}\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\end{array}\right)\right\},$$

问什么 $b$ 能使

$$Ax=b$$

有解。

直接：

$$\left(\begin{array}{ccc}1& -2& 1\end{array}\right)b=0.$$

即

$$\boxed{b_1-2b_2+b_3=0}.$$

---

六十六、预测 2：给出解集几何图，反推秩

例如：

三元非齐次方程组的解集是一条不过原点的直线。

立即得到：

$$r(A)=2,$$

且

$$r(A)=r(\tilde{A})=2.$$

同时：

$$b\ne 0.$$

这与 2025 年真题思路高度一致，但可以反向命题。

---

六十七、预测 3：多个非齐次解 + 伴随矩阵

例如：

已知

$$A^{\ast }\ne O,$$

并且

$$Ax=b$$

存在两个不同解。

立即：

$$r(A)\ge n-1$$

且

$$r(A)<n.$$

所以

$$r(A)=n-1.$$

因此：

$$r(A^{\ast })=1,$$

同时

$$\dim N(A)=1.$$

一道题可以同时问：

• 基础解系向量个数；
• $A^{\ast }$ 的秩；
• 非齐次解集维数。

这是非常自然的综合方式。

---

六十八、预测 4：同解方程组 + 行空间

例如：

$$Ax=0$$

与

$$\left(\begin{array}{c}A\\ c^T\end{array}\right)x=0$$

同解。

等价于：

$$c^T\in R(A^T).$$

进一步等价于：

$$r\left(\begin{array}{c}A\\ c^T\end{array}\right)=r(A).$$

这种题能把：

• 同解；
• 行空间；
• 秩；
• 线性表示

统一起来。

---

六十九、预测 5：法方程 + 基础解系

如果：

$$Ax=b$$

无解，但给出

$$A^{T}Ax=A^{T}b.$$

可能问它有几个自由参数。

因为

$$r(A^{T}A)=r(A),$$

所以如果 $A$ 有 $n$ 列，则

$$\boxed{\dim N(A^{T}A)=n-r(A)}.$$

和原齐次方程组

$$Ax=0$$

基础解系向量个数完全相同。

---

七十、自拟一道综合预测题

设 $A$ 是 $4\times 4$ 实矩阵，

$$r(A)=3,$$

且

$$\alpha ,\beta$$

是

$$Ax=b$$

的两个不同解。

已知

$$\alpha -\beta =\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\\ 0\end{array}\right).$$

求：

1. $Ax=0$ 的基础解系；
2. $Ax=b$ 的通解；
3. $A^{\ast }x=0$ 解空间维数。

---

解

因为

$$A(\alpha -\beta )=0.$$

又

$$\dim N(A)=4-3=1.$$

所以一个基础解系为

$$\boxed{\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\\ 0\end{array}\right)\right\}}.$$

因此：

$$\boxed{x=\alpha +k\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\\ 0\end{array}\right)}.$$

因为

$$r(A)=3=4-1,$$

所以

$$r(A^{\ast })=1.$$

于是

$$\dim N(A^{\ast })=4-1=3.$$

所以：

$$\boxed{3}.$$

---

七十一、再自拟一道更像近年选择题的题

设

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$$

满足

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

线性无关，

$${\alpha }_3=2{\alpha }_1-{\alpha }_2.$$

且

$$b={\alpha }_1+3{\alpha }_2.$$

问

$$Ax=b$$

的解集几何图形。

因为：

$$r(A)=2.$$

同时

$$b\in \mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}=\mathrm{Col}(A).$$

所以方程组相容。

未知数有 3 个：

$$3-r(A)=1.$$

因此解集为：

$$\boxed{\text{一条直线}}.$$

而因为

$$b\ne 0,$$

零向量不可能是解，所以：

$$\boxed{\text{不过原点}}.$$

这就是 2025 真题母题的自然变式。

---

七十二、模块 5 最终应该形成的“十条肌肉记忆”

如果复习结束后只能记十条，建议记下面这些：

$$\boxed{\dim N(A)=n-r(A)}$$ $$\boxed{Ax=0\text{ 有非零解}⟺r(A)<n}$$ $$\boxed{Ax=b\text{ 有解}⟺r(A)=r(\tilde{A})}$$ $$\boxed{Ax=b\text{ 唯一解}⟺r(A)=r(\tilde{A})=n}$$ $$\boxed{Ax=b\text{ 无穷多解}⟺r(A)=r(\tilde{A})<n}$$ $$\boxed{x_{\text{非齐次}}=x_p+x_{\text{齐次}}}$$ $$\boxed{\alpha ,\beta \text{ 为非齐次解}\Rightarrow \alpha -\beta \in N(A)}$$ $$\boxed{AB=0\Rightarrow \mathrm{Col}(B)\subseteq N(A)}$$ $$\boxed{r(A)+r(B)\le n(AB=0)}$$ $$\boxed{A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|I}$$

再额外记一条几何公式：

$$\boxed{\text{相容方程组解集维数}=n-r(A)}$$

---

七十三、最后把整个模块压成一张知识网络

线性方程组并不是孤立的一章，而是前后几个模块真正汇合的位置：

$$\text{行列式}$$

决定方阵是否满秩，

$$\Downarrow$$ $$\text{秩}$$

决定相容性与自由度，

$$\Downarrow$$ $$\text{向量线性相关}$$

就是齐次方程组的解，

$$\Downarrow$$ $$\text{零空间}$$

给出基础解系，

$$\Downarrow$$ $$x=x_p+N(A)$$

描述非齐次全部解，

$$\Downarrow$$ $$\text{解空间维数}$$

又可以解释点、直线、平面，

而

$$AB=0,A^{\ast }A=0$$

又把矩阵乘法、伴随矩阵重新接回零空间。

所以模块 5 真正应该建立的观念不是“学会高斯消元”，而是：

$$\boxed{\text{线性方程组}=\text{秩}+\text{零空间}+\text{列空间}+\text{仿射平移}}$$

从本站这批真题来看，参数判定、基础解系、非齐次与齐次解关系是最核心的三条主线；伴随矩阵、矩阵乘积、几何解释是最重要的综合包装。尤其 2024、2025 真题继续出现“秩—解集维数—几何图形”的组合，数一复习时这一块不宜只当作空间解析几何的小题来看。(Any Docs)