线性代数模块 4：向量

本文按本站的资料结构阅读了数学真题 → 线性代数 → 模块四：向量，并交叉参考了李正元练习题第三章“向量组的线性关系与秩”以及张宇 1000 题线性代数第 3 章“向量组”。本站本身也明确建议按“真题确定重点 → 练习题补充变式”的顺序研究，这里就按这个原则来。(Any Docs)

模块 4 真题实际分为三大部分：

1. 线性表出的判定与证明
2. 线性相关、线性无关的判定与证明
3. 向量空间、基、坐标、过渡矩阵、正交化（数一）

从本站收录的历年真题看，前两部分明显是主战场，而且经常与秩、线性方程组、矩阵、特征值交叉；“向量空间”部分题量少一些，但数一考生必须掌握。(Any Docs)

---

一、先建立整个模块的“总地图”

以后看到一道向量题，第一反应不要是“应该如何处理”，而是先把题目翻译成下面几种标准语言。

其中最核心的一条公式是：

设

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_m).$$

那么

$$\beta =x_1{\alpha }_1+\cdots +x_m{\alpha }_m$$

就是

$$Ax=\beta .$$

因此：

$$\boxed{\begin{array}{rl}\beta \text{可表出}& ⟺r(A)=r(A,\beta ),\\ \beta \text{唯一表出}& ⟺r(A)=r(A,\beta )=m,\\ \beta \text{有无穷多种表出}& ⟺r(A)=r(A,\beta )<m,\\ \beta \text{不能表出}& ⟺r(A)<r(A,\beta ).\end{array}}$$

模块 4 的大量题，本质都只是在这四句话上换皮。

---

二、第一大高频题型：给参数，判断“能否表示、唯一表示、不唯一表示”

考频：★★★★★

这是模块 4 最应该形成条件反射的题型。

典型真题包括：

• 1991 数学四/五：参数 $\lambda$，讨论 $\beta$ 唯一表示、不唯一表示、不能表示；
• 1991 数一/二：参数 $a,b$，讨论能否由四个向量表示；
• 1998 数二：同时含 $a,b$，讨论是否可表示以及唯一性；
• 2000 数三/四：完整考察三种状态；
• 2004 数三：再次完整讨论三种状态。(Any Docs)

---

真题 1：1991-45-7 分——最标准的模板题

题目给出

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1+\lambda \\ 1\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1+\lambda \\ 1\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1+\lambda \end{array}\right),$$

以及一个参数向量 $\beta$，问什么时候：

• 可以唯一表示；
• 可以表示但不唯一；
• 不能表示。

这是以后所有同类题的母题。网站给出的关键结果是

$$|A|={\lambda }^2(\lambda +3).$$

所以第一步根本不要直接解方程。

第一步：先找“分界点”

$$|A|\ne 0$$

意味着

$$r(A)=3.$$

三个三维向量构成一组基，所以任何三维向量都能唯一表示。

于是：

$$\lambda \ne 0,-3$$

直接属于唯一表示。

第二步：只讨论奇异点

真正需要分类讨论的只有

$$\lambda =0,\lambda =-3.$$

这就是参数题最重要的做题思想：

先用行列式找临界参数，只在奇异参数处算秩。

当 $\lambda =0$ 时，三个列向量相同，而 $\beta =0$，所以方程有无穷多解，属于能表示但不唯一。

当 $\lambda =-3$ 时，

$$r(A)=2,$$

但 $\beta$ 不在列空间中，因此

$$r(A,\beta )=3,$$

不能表示。网站收录的结论正是：

$$\boxed{\lambda \ne 0,-3:\text{唯一};\lambda =0:\text{不唯一};\lambda =-3:\text{不能表示}.}$$

(Any Docs)

---

这一类的统一解法

遇到

$$\beta \stackrel{?}{=}{x}_1{\alpha }_1+\cdots +x_m{\alpha }_m,$$

立刻构造

$$A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m).$$

若是方阵

先算

$$|A|.$$

如果

$$|A|\ne 0,$$

不要再浪费时间：

$$\boxed{\text{一定唯一表示。}}$$

只有

$$|A|=0$$

的参数值需要继续求秩。

---

真题 2：2000-34-8 分——“奇异以后，找列空间方程”

真题中

$${\alpha }_1=(a,2,10{)}^T,{\alpha }_2=(-2,1,5{)}^T,{\alpha }_3=(-1,1,4{)}^T,$$ $$\beta =(1,b,c{)}^T.$$

网站给出

$$|A|=-(a+4).$$

所以：

当

$$a\ne -4$$

时，

$$|A|\ne 0,$$

故任意 $b,c$ 都唯一表示。

最有价值的是

$$a=-4.$$

此时

$$r(A)=2.$$

网站进一步发现这三个向量张成的二维平面满足

$$x-3y+z=0.$$

所以 $\beta =(1,b,c{)}^T$ 可表示，当且仅当

$$1-3b+c=0,$$

即

$$\boxed{c=3b-1}.$$

于是：

$$\boxed{\{\begin{array}{ll}a=-4,c=3b-1& \Rightarrow \text{能表示但不唯一},\\ a=-4,c\ne 3b-1& \Rightarrow \text{不能表示}.\end{array}}$$

(Any Docs)

---

一个非常值得掌握的升级技巧：列空间方程

如果奇异后

$$r(A)=n-1,$$

它的列空间就是一个超平面。

三维情形尤其常见：

$$\mathrm{span}\{{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots \}=\{x\mid u^{T}x=0\}.$$

那么判断 $\beta$ 能否表示，不需要重新解整个方程组，只要检查

$$u^T\beta =0.$$

这在 2000 年真题、张宇 1000 题很多题里都非常好用。

---

三、第二大高频题型：线性相关、线性无关 + 参数

考频：★★★★★

核心：

$$\boxed{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\text{线性无关}⟺r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)=m.}$$

反之

$$\boxed{\text{线性相关}⟺r<m.}$$

如果恰好有 $n$ 个 $n$ 维向量：

$$\boxed{\text{线性无关}⟺|{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n|\ne 0.}$$

---

四、真题：1989 年——参数 + 相关性 + 线性表出

给出

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),{\alpha }_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ t\end{array}\right).$$

问什么时候相关、无关；相关时再表示 ${\alpha }_3$。

构成矩阵后：

$$|A|=t-5.$$

因此

$$\boxed{t\ne 5\Rightarrow \text{线性无关}},$$ $$\boxed{t=5\Rightarrow \text{线性相关}}.$$

再代入 $t=5$，求得

$$\boxed{{\alpha }_3=-{\alpha }_1+2{\alpha }_2}.$$

这题充分说明真题非常喜欢：

先问相关性，再要求求秩 / 极大无关组 / 表示关系。

(Any Docs)

---

五、重要陷阱：向量数少于维数时，不能只算一个子式为零

这是练习题里非常值得补充的一类。

张宇 1000 题第 3 章有一道：

三个四维向量 $x_1,x_2,x_3$，含参数 $k$。

取一个三阶子式得到

$$D_1=3(k-3),$$

另一个得到

$$D_2=-3(k+2).$$

假如三个向量线性相关，就必须满足：

$$D_1=D_2=0.$$

也就是同时要求

$$k=3,k=-2,$$

不可能。

所以实际上：

$$\boxed{\text{对任意 }k,x_1,x_2,x_3\text{ 都线性无关}.}$$

(Any Docs)

---

为什么这题非常重要？

例如三个四维向量构成

$$4\times 3$$

矩阵。

要线性相关，需要

$$r(A)<3,$$

即全部三阶子式都为零。

所以：

证明无关

只需找到一个非零三阶子式：

$$\exists D\ne 0⟹r(A)=3.$$

证明相关

不能说：

“找到一个三阶子式等于 0，所以相关。”

这是错误的。

必须证明：

$$\boxed{\text{所有三阶子式均为0}.}$$

这是很典型的考研陷阱。

---

六、2024 真题：整体相关，但任意两个都无关

这是最近非常典型的一种升级考法。

2024 数一、数二都考到了同结构题：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

整体线性相关，同时要求其中任意两个向量线性无关。

网站中最终得到

$$a=-2,b=2,$$

数二填空进一步问

$$ab=-4.$$

(Any Docs)

---

这类题为什么比普通“相关”难？

因为需要同时满足两层条件。

条件一：三个向量相关

$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)<3.$$

条件二：任意两个无关

$$r({\alpha }_i,{\alpha }_j)=2(i\ne j).$$

于是实际上

$$\boxed{r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=2}.$$

所以以后只要看到：

“整体相关，但任意 $r$ 个都线性无关”

立即翻译为：

$$\boxed{\text{整体秩恰好等于 }r.}$$

这是很可能继续出现的命题形式。

---

七、第三大高频题型：抽象向量的线性相关性

考频：★★★★★

这一类往往没有具体坐标，所以不能暴力行变换。

核心只靠四件武器：

1. 定义；
2. 子组性质；
3. 线性表出；
4. 张成空间。

---

必须背熟的基本命题

定理 1

线性相关等价于：

$$\boxed{\text{至少有一个向量可以由其余向量线性表示}.}$$

注意是：

至少有一个

不是：

任意一个。

1989 真题就直接考过这个区别：四阶矩阵行列式为零，只能保证至少一列可由其余列表示，不能保证每一列都可以。(Any Docs)

---

定理 2

线性无关等价于：

$$\boxed{\text{任意一个向量都不能由其余向量表示}.}$$

1988 真题直接考过。(Any Docs)

---

定理 3

无关组的任意子组无关。

反过来：

某个子组相关

则整个向量组一定相关。

---

定理 4

在一个线性无关组后加入 $\beta$：

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r,\beta$$

仍然线性无关，当且仅当

$$\boxed{\beta \notin \mathrm{span}\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\}.}$$

这个结论极其高频。

---

八、真题：2002 年——“空间内 + 空间外”

已知

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

线性无关，

$${\beta }_1\in L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),$$

但

$${\beta }_2\notin L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3).$$

问对任意 $k$，哪组一定线性无关。

因为

$$k{\beta }_1\in L,$$

如果

$$k{\beta }_1+{\beta }_2\in L,$$

那么

$${\beta }_2=(k{\beta }_1+{\beta }_2)-k{\beta }_1\in L,$$

矛盾。

所以

$$k{\beta }_1+{\beta }_2\notin L.$$

于是：

$$\boxed{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,k{\beta }_1+{\beta }_2\text{线性无关}.}$$

(Any Docs)

---

这类题的万能模型

记原空间

$$U=\mathrm{span}\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r\}.$$

那么只需要判断新向量：

$$\gamma \in U\text{还是}\gamma \notin U.$$

一旦

$$\gamma \notin U,$$

就有

$$r(U,\gamma )=r(U)+1.$$

这是比一直写线性组合更高一级的思维。

---

九、第四大高频题型：旧向量无关，新向量是否无关

考频：★★★★★

例如已知

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

线性无关，定义

$${\beta }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2,$$ $${\beta }_2=2{\alpha }_2+3{\alpha }_3,$$

等等。

此时不要把 ${\alpha }_i$ 当具体向量算。

把它们视为一组基。

---

核心方法：系数矩阵法

若

$$({\beta }_1,\dots ,{\beta }_m)=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)C,$$

且原向量组线性无关，那么：

$$\boxed{r({\beta }_1,\dots ,{\beta }_m)=r(C).}$$

特别地，如果 $C$ 是 $m$ 阶方阵：

$$\boxed{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_m\text{线性无关}⟺|C|\ne 0.}$$

---

十、1997 真题：系数矩阵法的标准题

已知

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

线性无关，要求判断若干组新向量哪组无关。

网站直接把每组选项写成相对于

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

的系数矩阵，然后计算行列式。

四个选项行列式依次为

$$0,0,12,0.$$

所以只有第三组线性无关。(Any Docs)

---

一个典型秒杀

若新向量为

$${\beta }_1={\alpha }_1-{\alpha }_2,$$ $${\beta }_2={\alpha }_2-{\alpha }_3,$$ $${\beta }_3={\alpha }_3-{\alpha }_1,$$

根本不用算行列式，因为

$${\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3=0.$$

于是直接得到

$$\boxed{{\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3\text{线性相关}.}$$

2007 真题就是这个思想。(Any Docs)

---

十一、张宇 1000 题的一个非常好的变式

已知

$$\alpha ,\beta ,\gamma$$

线性无关，判断

$$\alpha +k\beta ,\beta +k\gamma ,\alpha -\gamma$$

何时线性无关。

构造系数矩阵 $P$，网站算得

$$|P|=(k-1)(k+1).$$

因此真正的充要条件是

$$\boxed{k\ne 1,k\ne -1}.$$

所以题目若问：

“$k\ne 1$”是什么条件？

答案是：

$$\boxed{\text{必要但不充分}.}$$

这类题非常适合练充分条件、必要条件、充要条件。(Any Docs)

---

十二、循环型新向量——一个值得预测的考法

1988 真题给：

$${\beta }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2,$$ $${\beta }_2={\alpha }_2+{\alpha }_3,$$

一直到

$${\beta }_s={\alpha }_s+{\alpha }_1,$$

已知

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

线性无关，讨论新向量组相关性。

设

$$k_1{\beta }_1+\cdots +k_s{\beta }_s=0.$$

整理后：

$$(k_1+k_s){\alpha }_1+(k_1+k_2){\alpha }_2+\cdots +(k_{s-1}+k_s){\alpha }_s=0.$$

原组无关，所以

$$k_1+k_s=0,$$ $$k_1+k_2=0,$$ $$\cdots$$

最终得到：

$$\boxed{s\text{为奇数}\Rightarrow {\beta }_1,\dots ,{\beta }_s\text{无关},}$$ $$\boxed{s\text{为偶数}\Rightarrow {\beta }_1,\dots ,{\beta }_s\text{相关}.}$$

(Any Docs)

预测变式

很容易改成

$${\beta }_i={\alpha }_i+\lambda {\alpha }_{i+1}.$$

最后得到一个循环系数矩阵。

核心就会变成：

$$\boxed{|C(\lambda )|=0}$$

的参数讨论。

所以考场上只要看到：

“旧向量组无关 + 新向量是旧向量的组合”

优先想：

$$\boxed{\text{系数矩阵}.}$$

---

十三、第五大高频题型：向量组之间的线性表出、等价、秩

考频：★★★★☆

必须区分三个概念：

甲可由乙表示

若

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r$$

均可由

$${\beta }_1,\dots ,{\beta }_s$$

表示，那么

$$\mathrm{span}\{{\alpha }_i\}\subseteq \mathrm{span}\{{\beta }_j\}.$$

所以

$$\boxed{r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_r)\le r({\beta }_1,\dots ,{\beta }_s).}$$

---

两向量组等价

含义是能够相互线性表示：

$$\boxed{\mathrm{span}\{{\alpha }_i\}=\mathrm{span}\{{\beta }_j\}.}$$

一个非常实用的判定：

$$\boxed{r(A)=r(B)=r(A,B).}$$

---

重要陷阱

两个向量组秩相等，并不必然等价。

例如两个不同的二维平面都维数为 2，但显然可能不是同一个平面。

所以：

$$r(A)=r(B)$$

只能说明两个生成空间的维数相同，不能说明生成空间相同。

---

十四、2022 真题：参数型向量组等价

网站收录：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

与

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4$$

等价，求 $\lambda$。

分别组成两个三阶矩阵：

$$A_1=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),$$ $$A_2=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4).$$

网站计算：

$$|A_1|=(\lambda -1{)}^2(\lambda +2),$$ $$|A_2|=(\lambda -1{)}^2(\lambda +1{)}^2.$$

一般参数下两边都满秩，都张成

$${\mathbb{R}}^3,$$

自然等价。

但是不能只看行列式的一般情形。

必须单独检验：

$$\lambda =1,-1,-2.$$

最后发现：

$$\lambda =1$$

虽然两个行列式都为零，但四个向量实际上全部相同，所以仍然等价。

真正需要排除的只有：

$$\boxed{\lambda =-1,-2}.$$

所以答案：

$$\boxed{\lambda \in \mathbb{R}\setminus \{-1,-2\}.}$$

(Any Docs)

---

参数型等价题的标准流程

不要写成：

$$|A|\ne 0,|B|\ne 0$$

然后就结束。

正确流程：

第 1 步

找出所有导致秩可能变化的特殊参数。

第 2 步

普通参数直接处理。

第 3 步

特殊参数逐个代回去。

这和特征值、二次型参数题完全是同一种考试思维。

---

十五、2005 真题：单向表出但不能反向表出

题意：

• $\alpha$ 组能由 $\beta$ 组表示；
• $\beta$ 组不能由 $\alpha$ 组表示。

令

$$U=\mathrm{span}\{{\alpha }_i\},V=\mathrm{span}\{{\beta }_i\}.$$

第一句话：

$$U\subseteq V.$$

第二句话：

$$V⊈U.$$

合起来就是：

$$\boxed{U⊊V}.$$

因此：

$$\boxed{r(U)<r(V)}.$$

网站最终通过特殊参数比较秩，得到

$$\boxed{a=1}.$$

(Any Docs)

---

这题的重要规律

如果

$$U\subseteq V$$

且

$$\dim U=\dim V,$$

那么一定：

$$\boxed{U=V}.$$

因此：

“能单向表示但不能反向表示”

必然意味着：

$$\boxed{\dim U<\dim V}.$$

这个结论非常好用。

---

十六、第六类：两个生成空间的公共向量

考频：★★★☆，但近年非常值得关注

2023 真题：

给两个二维生成空间

$$U=L({\alpha }_1,{\alpha }_2),$$ $$V=L({\beta }_1,{\beta }_2),$$

若 $\gamma$ 同时可由两组向量线性表示，求所有 $\gamma$。

这其实就是：

$$\boxed{\gamma \in U\cap V}.$$

设

$$\gamma =x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2=y_1{\beta }_1+y_2{\beta }_2.$$

移项：

$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2-y_1{\beta }_1-y_2{\beta }_2=0.$$

于是解齐次方程：

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,-{\beta }_1,-{\beta }_2)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ y_1\\ y_2\end{array}\right)=0.$$

真题最终得到：

$$\boxed{\gamma =k\left(\begin{array}{c}1\\ 5\\ 8\end{array}\right),k\in \mathbb{R}.}$$

也就是说：

$$\dim (U\cap V)=1.$$

(Any Docs)

---

这类题还可以用维数公式预测

$$\boxed{\dim (U+V)=\dim U+\dim V-\dim (U\cap V).}$$

例如在

$${\mathbb{R}}^3$$

中，两个不同二维平面都经过原点，则：

$$\dim U=2,\dim V=2,$$

而

$$\dim (U+V)\le 3,$$

所以

$$\dim (U\cap V)\ge 1.$$

因此至少存在一条公共直线。

张宇 1000 题中就有一道证明：

两组三维线性无关二元向量组所张成的两个二维子空间一定存在非零公共向量。

本质就是这个维数思想。(Any Docs)

---

十七、第七类：极大线性无关组

考频：★★★★

核心定义：

若

$$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)=r,$$

那么极大线性无关组：

• 含有 $r$ 个向量；
• 自身无关；
• 原组其余向量都能由它表示。

---

1994 真题

网站中给了五个四维向量。

把它们作为列：

$$A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_5).$$

对 $A$ 做初等行变换。

最后主元列对应原矩阵的

$$1,2,4$$

列，所以：

$$\boxed{{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4}$$

构成一个极大线性无关组。(Any Docs)

---

极其重要的操作细节

若向量按列排列：

$$A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s),$$

找原向量组的极大无关组时：

可以对 $A$ 做行变换，然后根据主元位置回到原矩阵的对应列。

不要把行最简后的列直接当作原向量。

---

十八、1999 大题：相关性 + 秩 + 极大无关组 + 表出

这是典型综合题。

网站题目给四个含参数 $p$ 的四维向量。

算得

$$|A|=14(p-2).$$

因此：

$$p\ne 2$$

时满秩，四向量无关。

而

$$p=2$$

时：

$$r(A)=3,$$

可以取

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

为极大线性无关组，而且

$$\boxed{{\alpha }_4=2{\alpha }_2}.$$

(Any Docs)

这正是以后大题的标准模板：

$$\boxed{\text{参数}\to \text{相关性}\to \text{秩}\to \text{极大无关组}\to \text{其余向量表出}.}$$

---

十九、第八类：矩阵作用下的相关性

考频：★★★★

一个必须背的结论：

若

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

线性相关，则对任意合适矩阵 $A$：

$$\boxed{A{\alpha }_1,\dots ,A{\alpha }_s\text{必线性相关}.}$$

因为原来存在：

$$k_1{\alpha }_1+\cdots +k_s{\alpha }_s=0,$$

其中系数不全为零。

左乘 $A$：

$$k_{1}A{\alpha }_1+\cdots +k_{s}A{\alpha }_s=0.$$

还是同一组非零系数。

2006 真题直接考过。(Any Docs)

---

但是反过来不成立

原向量无关：

$$\nRightarrow A{\alpha }_1,\dots ,A{\alpha }_s\text{无关}.$$

因为 $A$ 可能压缩维数。

极端地：

$$A=O$$

则所有向量都被变成零向量。

---

什么条件下能保持无关？

若 $A$ 是可逆矩阵，则：

$$\boxed{{\alpha }_i\text{无关}⟺A{\alpha }_i\text{无关}.}$$

更一般地，只需 $A$ 在这些向量张成的子空间上是单射。

这是可以用于预测新考法的结论。

---

二十、第九类：抽象证明线性无关

考频：★★★☆

这类大题很考线性代数“结构感”。

---

真题：1993 年——由

$$AB=E$$

证明 $B$ 的列向量线性无关

设

$$Bx=0.$$

两边左乘 $A$：

$$ABx=0.$$

由于

$$AB=E,$$

所以：

$$x=0.$$

因此齐次方程

$$Bx=0$$

只有零解：

$$\boxed{B\text{的列向量线性无关}.}$$

也可以用秩：

$$n=r(E)=r(AB)\le r(B)\le n,$$

于是

$$r(B)=n.$$

(Any Docs)

---

二十一、1996 真题：基础解系 + 非解向量

若

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_t$$

是

$$Ax=0$$

的基础解系，而

$$A\beta \ne 0.$$

证明

$$\beta ,\beta +{\alpha }_1,\dots ,\beta +{\alpha }_t$$

线性无关。

最漂亮的方法不是算秩，而是：

假设

$$k_0\beta +\sum _{i=1}^t{k}_i(\beta +{\alpha }_i)=0.$$

整理：

$$\left(k_0+\sum k_i\right)\beta +\sum k_i{\alpha }_i=0.$$

左乘 $A$。

因为

$$A{\alpha }_i=0,$$

只剩：

$$\left(k_0+\sum k_i\right)A\beta =0.$$

又因为

$$A\beta \ne 0,$$

所以

$$k_0+\sum k_i=0.$$

再代回：

$$\sum k_i{\alpha }_i=0.$$

基础解系线性无关，因此

$$k_1=\cdots =k_t=0,$$

最终

$$k_0=0.$$

于是原向量组线性无关。(Any Docs)

---

抽象证明题的通用原则

题目给了某个矩阵 $A$：

优先尝试对假设的线性组合左乘 $A$。

题目给了正交条件：

优先左右乘某个向量的转置。

题目给了

$$A^k\alpha =0$$

一类条件：

尝试继续左乘适当次方的 $A$。

这是三类非常稳定的“消项手段”。

---

二十二、第十类：正交、Gram–Schmidt

考频：★★★☆，近年值得高度重视

2021 真题直接考过 Gram–Schmidt。

设已有

$${\beta }_1={\alpha }_1,$$

然后

$${\beta }_2={\alpha }_2-k{\beta }_1.$$

要求

$${\beta }_2\perp {\beta }_1.$$

立即：

$$\boxed{k=\frac{{\alpha }_2^T{\beta }_1}{{\beta }_1^T{\beta }_1}.}$$

继续：

$${\beta }_3={\alpha }_3-l_1{\beta }_1-l_2{\beta }_2,$$

则

$$\boxed{l_1=\frac{{\alpha }_3^T{\beta }_1}{{\beta }_1^T{\beta }_1},l_2=\frac{{\alpha }_3^T{\beta }_2}{{\beta }_2^T{\beta }_2}.}$$

2021 真题最后得到：

$$\boxed{l_1=\frac{5}{2},l_2=\frac{1}{2}.}$$

(Any Docs)

---

二十三、2023 数一：正交向量组与投影系数

网站另一道很值得注意：

$$\gamma =k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+k_3{\alpha }_3,$$

并给

$${\gamma }^T{\alpha }_i={\beta }^T{\alpha }_i.$$

而三条 ${\alpha }_i$ 两两正交，且

$${\alpha }_i^T{\alpha }_i=3.$$

于是：

$${\gamma }^T{\alpha }_i=k_i{\alpha }_i^T{\alpha }_i.$$

因此直接：

$$\boxed{k_i=\frac{{\beta }^T{\alpha }_i}{{\alpha }_i^T{\alpha }_i}.}$$

网站最终算得

$$k_1=\frac{1}{3},k_2=-1,k_3=-\frac{1}{3},$$

所以

$$\boxed{k_1^2+k_2^2+k_3^2=\frac{11}{9}.}$$

(Any Docs)

---

这一类真正要理解的是“正交展开”

若

$$u_1,\dots ,u_r$$

两两正交，则

$$x=\sum k_i{u}_i$$

时：

$$\boxed{k_i=\frac{(x,u_i)}{(u_i,u_i)}.}$$

如果还是标准正交组：

$$(u_i,u_i)=1,$$

那么更简单：

$$\boxed{k_i=(x,u_i).}$$

---

二十四、数一专项：向量空间、基、坐标

考频：★★★☆

先牢牢记住：

若

$$V=L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s),$$

则：

$$\boxed{\dim V=r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s).}$$

2010 真题给三个四维向量，要求其生成空间维数为 2。

因为前两个已经无关，所以必须：

$${\alpha }_3=x{\alpha }_1+y{\alpha }_2.$$

网站求得：

$$x=-1,y=3,$$

再由第四分量得到：

$$\boxed{a=6}.$$

(Any Docs)

---

二十五、基下坐标

如果

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$$

是一组基，

$$\beta =x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n,$$

那么：

$$\boxed{[\beta {]}_{\alpha }=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right).}$$

1987 真题：

$${\alpha }_1=(1,1,0{)}^T,$$ $${\alpha }_2=(1,0,1{)}^T,$$ $${\alpha }_3=(0,1,1{)}^T,$$

求

$$\beta =(2,0,0{)}^T$$

在该基下坐标。

解：

$$\beta ={\alpha }_1+{\alpha }_2-{\alpha }_3.$$

因此：

$$\boxed{[\beta {]}_{\alpha }=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right).}$$

(Any Docs)

---

二十六、过渡矩阵——这里特别容易方向写反

考频：★★★☆

设旧基：

$$A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n),$$

新基：

$$B=({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n).$$

按照本站采用的定义，若从基 $\alpha$ 到基 $\beta$ 的过渡矩阵为 $P$，则：

$$\boxed{B=AP.}$$

也就是说：

$P$ 的第 $j$ 列，就是 ${\beta }_j$ 在旧基 $\alpha$ 下的坐标。

所以：

$$\boxed{P=A^{-1}B.}$$

---

1993 真题

逐个把

$${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$$

用

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

表示。

网站得到：

$${\beta }_1=2{\alpha }_1-{\alpha }_3,$$ $${\beta }_2=3{\alpha }_1-{\alpha }_2,$$ $${\beta }_3=4{\alpha }_1-{\alpha }_3.$$

所以把系数按列放：

$$\boxed{P=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 0& -1& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right).}$$

(Any Docs)

---

最容易丢分的两个错误

错误一：把坐标写成行

每个新基向量的坐标必须作为：

$$\boxed{\text{一列}}$$

放进去。

错误二：方向反了

若

$$B=AP,$$

则：

$$P=A^{-1}B.$$

反方向则是：

$$P^{-1}=B^{-1}A.$$

---

二十七、2015 数一：两组基下“坐标相同”

这是一道非常漂亮的综合题，也是值得注意的是非常值得预测类似变式的真题。

若

$$B=AC$$

且同一个非零向量 $\xi$ 在两组基下坐标相同：

$$[\xi {]}_{\alpha }=[\xi {]}_{\beta }=X\ne 0.$$

由坐标变换：

$$[\xi {]}_{\alpha }=C[\xi {]}_{\beta }.$$

所以：

$$CX=X.$$

因此：

$$\boxed{(C-E)X=0}.$$

要存在非零 $X$，必须：

$$\boxed{|C-E|=0}.$$

网站 2015 真题最终得到：

$$\boxed{k=0},$$

以及

$$\boxed{\xi =t({\alpha }_1-{\alpha }_3),t\ne 0.}$$

(Any Docs)

---

这题隐藏了一个重要思想

“两个坐标相同”其实在寻找 $C$ 的特征值：

$$\boxed{\lambda =1}.$$

即：

$$CX=X.$$

所以模块 4 已经和模块 6 特征值、特征向量连接起来了。

很可能的预测变式

如果题目改成：

在两组基下坐标满足

$$[\xi {]}_{\alpha }=\lambda [\xi {]}_{\beta },$$

那么直接变成：

$$CX=\lambda X.$$

也就是：

$$\boxed{\lambda \text{是过渡矩阵 }C\text{的特征值}.}$$

这是非常自然的模块 4 + 模块 6 综合题。

---

二十八、标准正交基

1997 数一真题：

$B$ 是 $5\times 4$ 矩阵，

$$r(B)=2.$$

因此齐次方程

$$Bx=0$$

解空间维数为：

$$\boxed{4-2=2}.$$

题目给三个解向量，但其中

$${\alpha }_3=2{\alpha }_1-3{\alpha }_2.$$

所以可以取

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

为解空间的一组基。

然后：

正交化

$$u_1={\alpha }_1,$$ $$u_2={\alpha }_2-\frac{{\alpha }_2^T{u}_1}{u_1^T{u}_1}{u}_1.$$

单位化

$$e_i=\frac{u_i}{\Vert u_i\Vert }.$$

最终得到标准正交基。(Any Docs)

---

二十九、李正元练习题中值得做的变式

真题之后，建议重点做下面几类，而不是无差别刷。

1. 原向量无关，新向量相关

李正元第三章填空题：

已知

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

无关，但

$${\alpha }_1+{\alpha }_2,a{\alpha }_2-{\alpha }_3,{\alpha }_1-{\alpha }_2+{\alpha }_3$$

相关。

直接构造系数矩阵：

$$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& a& -1\\ 0& -1& 1\end{array}\right).$$

令

$$|C|=0,$$

网站得到：

$$\boxed{a=2}.$$

这道练习非常贴近 1997、2007 真题。(Any Docs)

---

2. “不能表出”不是只令行列式为零

李正元一道填空：

$$\beta =(1,3,0{)}^T$$

不能由三个参数向量表示。

第一步由

$$\beta \text{不能表示}$$

推出系数矩阵必须奇异，所以先得到两个候选参数。

但是还必须分别比较：

$$r(A)$$

和

$$r(A,\beta ).$$

网站最终排除一个候选，得到：

$$\boxed{a=-1}.$$

这道题非常重要，因为它专门纠正：

“$|A|=0$ 就一定不能表示”

这个错误。

事实上：

$$|A|=0$$

只能说明：

$$\boxed{\text{不可能唯一表示所有向量}}.$$

至于某个具体 $\beta$：

• 可能不能表示；
• 也可能有无穷多表示。

(Any Docs)

---

三十、张宇 1000 题中值得保留的提高题

题 1：替换向量

若

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

线性无关，而

$$\beta =k_1{\alpha }_1+\cdots +k_s{\alpha }_s,$$

且每个

$$k_i\ne 0,$$

那么用 $\beta$ 替换任意一个 ${\alpha }_i$，新向量组仍然线性无关。

因为从

$$\beta =\sum k_j{\alpha }_j$$

可以反解：

$${\alpha }_i=\frac{1}{k_i}\left(\beta -\sum _{j\ne i}{k}_j{\alpha }_j\right).$$

于是新旧两组等价且都含 $s$ 个向量，所以秩保持为 $s$。(Any Docs)

这是一个很漂亮的抽象结论。

---

题 2：加入一个向量后，向量组不再等价

张宇一道参数题比较：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

和

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4.$$

如果后者与前者不等价，那么本质就是：

$$\boxed{{\alpha }_4\notin L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3).}$$

所以：

$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)+1.$$

网站相应练习最后得到参数

$$\boxed{a=3}.$$

(Any Docs)

---

三十一、整个模块最容易混淆的 10 个结论

这些建议直接形成肌肉记忆。

1. 相关

$$\boxed{\exists \text{一组不全为0的系数，使线性组合为0}}$$

而不是“任意”。

---

2. 无关

$$\boxed{\text{只有全零系数才能使线性组合为0}}$$

---

3. 相关组

只能保证：

$$\boxed{\text{至少一个向量能由其余向量表示}}$$

不能保证每一个。

---

4. 无关组的子组

一定无关。

---

5. 相关组的扩充组

一定相关。

---

6. 少于 $n$ 个 $n$ 维向量

可能相关，也可能无关。

---

7. 多于 $n$ 个 $n$ 维向量

必然：

$$\boxed{\text{线性相关}}.$$

---

8. 两个向量组等价

必然同秩，但：

$$\boxed{\text{同秩}\nRightarrow \text{等价}.}$$

---

9. 可由另一组表示

若 $I$ 可由 $II$ 表示：

$$\boxed{r(I)\le r(II)}.$$

如果 $I$ 又含 $r$ 个线性无关向量，则：

$$r\le s.$$

2003、2010 真题反复考过这一思想。(Any Docs)

---

10. “能表示”和“唯一表示”不是一回事

$$\boxed{r(A)=r(A,\beta )}$$

只说明有解。

还需要：

$$r(A)=m$$

才能说明系数唯一。

---

三十二、看到题目后的最快判型法

以后考试时可以按下面顺序反应。

出现：

能否表示、唯一表示、不唯一表示

立即：

$$\boxed{Ax=\beta }$$

然后比较：

$$r(A),r(A,\beta ),m.$$

---

出现：

相关、无关 + 数值向量

立即：

$$\boxed{r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m)}$$

方阵优先：

$$\boxed{|A|}.$$

---

出现：

原向量组无关，新向量由原向量组合

立即：

$$\boxed{\text{系数矩阵 }C}.$$

---

出现：

一组能由另一组表示

立即：

$$\boxed{\mathrm{span}\text{包含关系}}$$

和

$$\boxed{\text{秩不等式}}.$$

---

出现：

两向量组等价

立即：

$$\boxed{\text{生成空间相同}}.$$

---

出现：

既可由甲表示，又可由乙表示

立即：

$$\boxed{U\cap V}.$$

---

出现：

极大线性无关组

立即：

$$\boxed{\text{行变换找主元列}}.$$

---

出现：

两两正交

立即：

$$\boxed{{\alpha }_i^T{\alpha }_j=0}.$$

---

出现：

标准正交基

立即：

$$\boxed{\text{先 Gram-Schmidt，再单位化}}.$$

---

出现：

基、坐标、过渡矩阵

立即写：

$$\boxed{B=AP}.$$

---

三十三、值得注意的是 2027 考研值得防的几种变式

根据真题和本站练习题呈现的演化方式，更建议防“已有考法重新组合”，而不是追求怪题。

预测 1：2024 型相关性 + 极大无关组

例如：

给四个五维参数向量，已知

• 整组秩为 3；
• 任意两个无关；

求参数及一个极大线性无关组。

核心：

$$\boxed{\text{全部4阶子式为0，同时至少一个3阶子式非0}.}$$

---

预测 2：2023 子空间交集 + 参数

设：

$$U=L({\alpha }_1,{\alpha }_2),V=L({\beta }_1,{\beta }_2),$$

其中带参数 $\lambda$。

问：

$$\dim (U\cap V)$$

何时等于 1 或 2。

核心：

$$\dim (U\cap V)=\dim U+\dim V-\dim (U+V).$$

而：

$$U+V=L({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2).$$

所以：

$$\boxed{\dim (U\cap V)=r(A)+r(B)-r(A,B).}$$

这个公式非常值得掌握。

---

预测 3：基坐标 + 特征值

前面 2015 已经考：

$$CX=X.$$

完全可能进一步变成：

$$[\xi {]}_{\alpha }=k[\xi {]}_{\beta }.$$

于是：

$$CX=kX.$$

所以要求非零向量存在：

$$\boxed{|C-kE|=0}.$$

向量模块直接接特征值模块。

---

预测 4：正交投影 + 子空间

已知一组两两正交向量

$$u_1,\dots ,u_r,$$

求 $\beta$ 在其生成空间上的投影：

$$\boxed{{\mathrm{proj}}_U\beta =\sum _{i=1}^r\frac{{\beta }^T{u}_i}{u_i^T{u}_i}{u}_i.}$$

2021、2023 真题已经为这种题铺好了路。(Any Docs)

---

预测 5：线性映射前后的秩

可能给：

$${\beta }_i=A{\alpha }_i$$

以及

$$r(A)=r,$$

询问两向量组相关性的关系。

这里需要用：

$$r(A{\alpha }_1,\dots ,A{\alpha }_s)\le r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s),$$

以及

$$r(A{\alpha }_1,\dots ,A{\alpha }_s)\le r(A).$$

综合得到：

$$\boxed{r(A{\alpha }_1,\dots ,A{\alpha }_s)\le \min \{r(A),r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)\}.}$$

---

三十四、一道自拟综合预测题

设三维向量

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

线性无关，并令

$${\beta }_1={\alpha }_1+\lambda {\alpha }_2,$$ $${\beta }_2={\alpha }_2+\lambda {\alpha }_3,$$ $${\beta }_3={\alpha }_3+\lambda {\alpha }_1.$$

问：

1. $\lambda$ 为何值时 ${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3$ 线性相关？
2. 相关时求一个线性关系。

---

解

有

$$({\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)C,$$

其中

$$C=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \lambda \\ \lambda & 1& 0\\ 0& \lambda & 1\end{array}\right).$$

因为原向量组无关：

$${\beta }_1,{\beta }_2,{\beta }_3\text{相关}⟺|C|=0.$$

计算：

$$|C|=1+{\lambda }^3.$$

在实数范围内：

$$1+{\lambda }^3=0$$

得到

$$\boxed{\lambda =-1}.$$

此时

$${\beta }_1={\alpha }_1-{\alpha }_2,$$ $${\beta }_2={\alpha }_2-{\alpha }_3,$$ $${\beta }_3={\alpha }_3-{\alpha }_1.$$

显然：

$$\boxed{{\beta }_1+{\beta }_2+{\beta }_3=0.}$$

这道题其实把：

• 1988 循环型真题；
• 1997 系数矩阵题；
• 2007 差分型真题；
• 参数判定；

四种思路揉成了一题。

---

三十五、模块 4 最终应该练成的“六大母方法”

如果若不想记几十种小技巧，其实把下面六件事练熟，就基本能覆盖这个模块绝大多数考研题。

母方法 A：表出问题统一化方程

$$\boxed{\beta \text{由}{\alpha }_i\text{表出}⟺Ax=\beta .}$$

随后只看秩。

---

母方法 B：相关性统一化秩

$$\boxed{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_m\text{无关}⟺r(A)=m.}$$

方阵进一步化为：

$$\boxed{|A|\ne 0}.$$

---

母方法 C：抽象新向量统一化系数矩阵

$$\boxed{B=AC.}$$

原组无关时，新组的相关性看 $C$。

---

母方法 D：向量组关系统一化子空间

把：

• 可表出；
• 等价；
• 加入向量；
• 公共向量；

全部翻译成：

$$\boxed{\mathrm{span},U\subset V,U=V,U\cap V.}$$

---

母方法 E：证明题寻找“消项算子”

看到：

$$Ax=0$$

就想左乘 $A$。

看到正交，就想：

$${\beta }^T(\cdot ).$$

看到：

$$A^k\alpha =0$$

就想继续乘 $A$ 的幂。

---

母方法 F：基与坐标统一化矩阵关系

$$\boxed{B=AP,}$$

以及：

$$\boxed{[\xi {]}_{\alpha }=P[\xi {]}_{\beta }.}$$

这样以后坐标、过渡矩阵甚至和特征值综合，都可以一套处理。

---

三十六、模块 4 的复习优先级

如果按考研得分价值排序，建议这样掌握：

---

最后压成一句话

向量这一章表面上知识很多，实际上只有三个核心对象：

$$\boxed{\text{秩}}$$

控制“有多少个独立方向”；

$$\boxed{\mathrm{span}}$$

控制“一个向量在哪里”；

$$\boxed{\text{系数矩阵}}$$

控制“换了一组向量以后独立性怎么变”。

所以模块 4 真正的总纲可以写成：

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{能否表出}\to \text{增广矩阵秩}\\ \text{是否相关}\to \text{向量组秩}\\ \text{新向量是否相关}\to \text{系数矩阵}\\ \text{向量组等价}\to \text{张成空间相同}\\ \text{公共向量}\to U\cap V\\ \text{基与坐标}\to B=AP\end{array}}$$

把这套框架真正掌握以后，**1991 的参数表出题、1999 的极大无关组、2002 的抽象空间题、2005 的单向表出、2007 的新向量组、2015 的坐标相同、2021 的正交化、2022 的向量组等价、2023 的子空间交集、2024 的“整体相关但任意两个无关”实际上都属于同一套体系的不同外壳。**这正是模块 4 最值得达到的“学一道，会一类”的程度。(Any Docs)