线性代数模块 3：秩

下面按本站中**线性代数真题「模块三：秩」**来系统讲。本站把该模块分成“秩的基本概念及基本运算”“秩的常用公式”两部分；李正元第三章和张宇第 3 章又把秩与向量组、线性表示、方程组放在一起训练。真题本身也说明：秩几乎从来不是孤立考点，而是连接矩阵、向量、方程组、伴随矩阵、特征值和二次型的核心枢纽。 (docs.any1.tech)

本模块最终可压缩成下面这张“题型地图”：

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一、先建立整个“秩”的底层体系

1. 秩到底是什么？

矩阵 $A$ 的秩有四个完全等价的理解。

定义 1：非零子式

矩阵中最高阶非零子式的阶数。

若

$$r(A)=r$$

那么必有：

$$\text{至少存在一个 }r\text{ 阶子式}\ne 0$$

同时

$$\text{所有 }(r+1)\text{ 阶子式}=0.$$

这是参数矩阵求秩最重要的判定工具。

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定义 2：行空间维数

$$r(A)=\text{行向量组的秩}.$$

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定义 3：列空间维数

$$r(A)=\text{列向量组的秩}.$$

因此永远有

$$\boxed{\text{行秩}=\text{列秩}=r(A)}$$

这条结论非常重要。

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定义 4：初等变换后非零行数

把矩阵用初等行变换化成阶梯形：

$$A⟶\left(\begin{array}{ccc}\ast & \ast & \ast \\ 0& \ast & \ast \\ 0& 0& 0\end{array}\right),$$

非零行的数量就是秩。

因此，数值矩阵求秩，默认第一选择通常是：

$$\boxed{\text{初等行变换}}$$

而不是疯狂算子式。

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二、必须背熟的秩公式总表

这部分可以说是整个模块的“武器库”。

1. 基本界

若 $A$ 是 $m\times n$ 矩阵，

$$0\le r(A)\le \min \{m,n\}.$$

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2. 转置不变

$$\boxed{r(A^T)=r(A)}$$

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3. 可逆矩阵不改变秩

若 $P,Q$ 可逆：

$$\boxed{r(PA)=r(A)}$$ $$\boxed{r(AQ)=r(A)}$$

进一步，

$$\boxed{r(PAQ)=r(A)}.$$

这实际上就是：

初等行、列变换均不改变秩。

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4. 矩阵乘积

若 $A_{m\times n}$，$B_{n\times p}$：

$$\boxed{r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}}$$

一定要形成条件反射：

乘一次矩阵，秩只能不变或下降，不可能上升。

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5. Sylvester 秩不等式

若中间维数为 $n$：

$$\boxed{r(AB)\ge r(A)+r(B)-n}$$

所以合起来：

$$\boxed{r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}}$$

这是近年越来越重要的公式。

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6. 和矩阵

$$\boxed{r(A+B)\le r(A)+r(B)}$$

推广：

$$r(A_1+\cdots +A_k)\le r(A_1)+\cdots +r(A_k).$$

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7. 横向拼接

$$r(A)\le r(AB)$$ $$r(B)\le r(AB)$$

因此

$$\boxed{\max \{r(A),r(B)\}\le r(AB)\le r(A)+r(B)}$$

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8. 分块对角矩阵

$$\boxed{r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B)}$$

极其重要。

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三、题型一：直接由定义、子式判断秩

考频：★★★

这是秩最基础的一类，但容易在概念题上丢分。

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真题 1：1987 年——加边子式判断秩

站内题目：

已知矩阵中某个 $r$ 阶子式 $D\ne 0$，且所有“包含 $D$”的 $r+1$ 阶加边子式均为零，判断是否可推出矩阵全部 $r+1$ 阶子式均为零。

答案：可以。

站内用的是加边子式定理。(Any Docs)

为什么？

由

$$D\ne 0$$

已经知道

$$r(A)\ge r.$$

而全部加边子式为零意味着不存在进一步把这一非零 $r$ 阶子式扩展成非零 $r+1$ 阶子式，从而

$$r(A)\le r.$$

因此

$$\boxed{r(A)=r}.$$

那么当然所有 $r+1$ 阶子式都是零。

这一题真正要学什么？

不是“记住答案”，而是学会：

判定秩恰等于 $r$，永远需要一上一下两个方向。

即

$$\boxed{r(A)\ge r+r(A)\le r}$$

最典型的方法：

$$\boxed{\exists r\text{ 阶子式}\ne 0}$$

和

$$\boxed{\text{所有 }(r+1)\text{ 阶子式}=0.}$$

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四、题型二：已知秩，判断行列向量性质

考频：★★★☆

真题 2：1987 年

$A$ 是 $n$ 阶矩阵，

$$r(A)=r<n.$$

问其 $n$ 个行向量一定有什么性质？

正确结论是：

一定能够找到 $r$ 个线性无关的行向量。

站内真题中特别强调：不能把“存在”偷换成“任意”。(Any Docs)

这类选择题最爱设置：

• “存在”
• “任意”
• “至少”
• “恰有”

之间的陷阱。

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必须形成的逻辑

若

$$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)=r,$$

那么：

一定成立

存在 $r$ 个向量线性无关。

也一定成立

任意 $r+1$ 个向量线性相关。

不一定成立

任意 $r$ 个向量线性无关。

例如：

$${\alpha }_1=(1,0),{\alpha }_2=(0,0),{\alpha }_3=(0,1).$$

整个向量组秩为 2。

但

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

明显相关。

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五、题型三：具体向量组求秩——先看结构，不要直接消元

考频：★★★★

真题 3：1990 年

向量组：

$${\alpha }_1=(1,2,3,4),$$ $${\alpha }_2=(2,3,4,5),$$ $${\alpha }_3=(3,4,5,6),$$ $${\alpha }_4=(4,5,6,7).$$

求秩。

站内答案：

$$\boxed{2}.$$

因为设

$$\beta =(1,1,1,1),$$

则

$${\alpha }_2={\alpha }_1+\beta ,$$ $${\alpha }_3={\alpha }_1+2\beta ,$$ $${\alpha }_4={\alpha }_1+3\beta .$$

于是所有向量均属于

$$\mathrm{span}\{{\alpha }_1,\beta \},$$

所以

$$r\le 2.$$

而

$${\alpha }_1,\beta$$

不成比例，因此

$$r\ge 2.$$

故

$$\boxed{r=2}.$$

(Any Docs)

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通法总结

看到这种“等差结构”：

$${\alpha }_i=u+c_{i}v$$

立即想到：

$$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)\le 2.$$

推广：

若

$${\alpha }_i=c_{1i}{u}_1+\cdots +c_{ki}{u}_k,$$

则

$$\boxed{r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)\le k}$$

这比机械消元快很多。

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六、题型四：低秩结构识别——外积矩阵

考频：★★★☆，但很重要

真题 4：1992 年

矩阵元素具有形式

$$a_i{b}_j.$$

于是整个矩阵可以写成

$$A=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_n\end{array}\right).$$

这是典型外积：

$$A=u{v}^T.$$

若 $u,v\ne 0$，则

$$\boxed{r(u{v}^T)=1}.$$

所以该真题答案：

$$\boxed{r(A)=1}.$$

(Any Docs)

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这一结构必须背下来

对于列向量 $u,v$：

$$u{v}^T$$

每一列都只是 $u$ 的倍数。

因此

$$r(u{v}^T)\le 1.$$

若矩阵不为零：

$$r(u{v}^T)=1.$$

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七、题型五：若干个外积之和

这是上一题的升级版，也是很好的大题模型。

真题 5：2008 年大题

设 $\alpha ,\beta$ 为三维列向量，

$$A=\alpha {\alpha }^T+\beta {\beta }^T.$$

证明：

$$r(A)\le 2.$$

若 $\alpha ,\beta$ 线性相关，再证明：

$$r(A)<2.$$

这是网站模块三唯一非常典型的秩证明大题之一。(Any Docs)

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方法一：秩的不等式

因为

$$r(\alpha {\alpha }^T)\le 1,$$ $$r(\beta {\beta }^T)\le 1.$$

所以

$$r(A)\le r(\alpha {\alpha }^T)+r(\beta {\beta }^T)\le 2.$$

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方法二：列空间，推荐理解

任取向量 $x$，

$$Ax=\alpha ({\alpha }^{T}x)+\beta ({\beta }^{T}x).$$

因此

$$Ax\in \mathrm{span}\{\alpha ,\beta \}.$$

也就是说

$$\mathrm{Im}(A)\subseteq \mathrm{span}\{\alpha ,\beta \}.$$

所以

$$r(A)\le 2.$$

这是更本质的方法。

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如果 $\alpha ,\beta$ 线性相关

例如

$$\beta =k\alpha ,$$

那么

$$A=\alpha {\alpha }^T+k^2\alpha {\alpha }^T$$ $$=(1+k^2)\alpha {\alpha }^T.$$

于是

$$r(A)\le 1.$$

故

$$\boxed{r(A)<2}.$$

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强化结论

实际上对于实矩阵，如果

$$U=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s),$$

则

$$U{U}^T=\sum _{i=1}^s{\alpha }_i{\alpha }_i^T.$$

而

$$\boxed{r(U{U}^T)=r(U)}$$

所以外积和的秩本质就是这些向量张成空间的维数。

这是未来非常容易继续变式的地方。

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八、题型六：含参数矩阵，已知秩求参数

考频：★★★★★

这是模块三最基本、最重要的计算题。

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真题 6：1997 年

三个四维向量的秩为 2，其中一个分量含参数 $t$，求 $t$。

站内答案：

$$\boxed{t=3}.$$

站内观察到其中前两个向量显然线性无关，因此秩已经至少为 2。

题设又说

$$r=2,$$

所以第三个向量必能表示为前两个的线性组合：

$${\alpha }_3=p{\alpha }_1+q{\alpha }_2.$$

比较分量即可解出参数。(Any Docs)

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这类题的标准框架

题目说：

$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=2.$$

最好先找两个明显线性无关的向量。

假设

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

线性无关。

那么直接得到：

$$\boxed{{\alpha }_3=k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2}$$

常常比算所有三阶子式快得多。

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九、参数秩问题最通用的方法：上下界夹击

李正元第三章有一道非常典型的练习：

三个四维向量构成矩阵 $A$，要求

$$r(A)=2.$$

取一个三阶子式得到

$$-2(a+2)=0,$$

于是

$$a=-2.$$

然后代回后，再找一个二阶子式：

$$\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ -2& 1\end{array}\right|=-1\ne 0.$$

因此

$$r(A)\ge 2.$$

而所有三阶子式为零，所以

$$r(A)\le 2.$$

最终

$$\boxed{r(A)=2}.$$

(Any Docs)

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参数秩的万能模板

如果要求

$$r(A)=r,$$

必须同时做：

第一步：让更高阶子式消失

$$\text{所有 }(r+1)\text{ 阶子式}=0.$$

一般利用一两个精心挑选的子式先筛参数。

第二步：保证至少有一个 $r$ 阶子式非零

$$\exists D_r\ne 0.$$

缺第二步是考研非常典型的失分点。

例如求

$$r(A)=2$$

时，仅仅算出

$$|A|=0$$

只能证明

$$r(A)\le 2,$$

还可能出现

$$r(A)=1.$$

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十、一个非常重要的特殊矩阵

1998、2001、2016 等真题反复出现同一结构：

对角线相同、非对角线相同。

例如：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}a& b& \cdots & b\\ b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ b& b& \cdots & a\end{array}\right).$$

可以写成

$$\boxed{A=(a-b)E+bJ}$$

其中 $J$ 是全 1 矩阵。

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这一矩阵的秩直接背结论

它有两个特殊方向：

全 1 向量方向：

$$(1,1,\dots ,1{)}^T$$

对应因子

$$a+(n-1)b.$$

而其余 $n-1$ 个独立方向对应

$$a-b.$$

所以：

若

$$a-b\ne 0$$

且

$$a+(n-1)b\ne 0,$$

则

$$r(A)=n.$$

若

$$a-b\ne 0$$

而

$$a+(n-1)b=0,$$

则

$$\boxed{r(A)=n-1}.$$

若

$$a=b\ne 0,$$

则矩阵为全常数矩阵：

$$r(A)=1.$$

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真题 7：1998 年

矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& a& \cdots & a\\ a& 1& \cdots & a\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ a& a& \cdots & 1\end{array}\right)$$

要求

$$r(A)=n-1.$$

代入

$$a_{\text{diag}}=1,b=a.$$

因此必须

$$1+(n-1)a=0.$$

所以

$$\boxed{a=-\frac{1}{n-1}}$$

即

$$\boxed{a=\frac{1}{1-n}.}$$

(Any Docs)

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真题 8：2001 年

四阶矩阵对角为 $k$，其他元素为 1。

要

$$r(A)=3.$$

因此

$$k+3=0.$$

所以

$$\boxed{k=-3}.$$

(Any Docs)

这两个本质上完全是同一道题。

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十一、题型七：可逆矩阵乘法与秩

考频：★★★★★

真题 9：1994 年

若

$$B=AC$$

且 $C$ 可逆，问

$$r(B)$$

和

$$r(A)$$

关系。

直接：

$$\boxed{r(AC)=r(A)}.$$

证明非常值得掌握：

一方面

$$r(AC)\le r(A).$$

另一方面

$$A=(AC)C^{-1},$$

因此

$$r(A)\le r(AC).$$

两边夹住：

$$\boxed{r(AC)=r(A)}.$$

(Any Docs)

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真题 10：1996 年

$$r(A)=2,$$

右乘一个可逆的 $3\times 3$ 矩阵 $B$。

那么：

$$\boxed{r(AB)=2}.$$

站内先算

$$|B|\ne 0,$$

确认 $B$ 可逆，再直接套结论。(Any Docs)

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十二、这个结论必须扩展到“等价矩阵”

两个同型矩阵 $A,B$ 等价，意味着存在可逆矩阵 $P,Q$，使

$$B=PAQ.$$

于是

$$\boxed{r(B)=r(A)}.$$

反过来，对于同型矩阵：

$$\boxed{A,B\text{ 等价}⟺r(A)=r(B)}$$

这是考研非常重要的一条。

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真题 11：2016 年

两个三阶矩阵等价，第二个矩阵秩为 2，求第一个矩阵中的参数 $a$。

第二个矩阵可验证：

$$r(B)=2.$$

所以第一矩阵必须：

$$r(A)=2.$$

站内最终得到：

$$\boxed{a=2}.$$

(Any Docs)

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十三、题型八：乘积矩阵秩——第一原则就是“中间维数”

考频：★★★★★

真题 12：1999 年

设

$$A_{m\times n},B_{n\times m}.$$

那么

$$AB$$

是 $m$ 阶矩阵。

若

$$m>n,$$

则

$$r(AB)\le r(A)\le n<m.$$

所以 $AB$ 不满秩：

$$\boxed{|AB|=0}.$$

(Any Docs)

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极其重要的秒杀技巧

只要矩阵经过一个较低维空间：

$${\mathbb{R}}^m\stackrel{B}{\to }{\mathbb{R}}^n\stackrel{A}{\to }{\mathbb{R}}^m$$

其中

$$n<m,$$

那么复合变换不可能满秩。

所以

$$\boxed{AB\text{ 一定奇异}}.$$

不要去乘矩阵。

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十四、题型九：$AB=E$

考频：★★★★☆

真题 13：2010 年

设

$$A_{m\times n},B_{n\times m},$$

并且

$$AB=E_m.$$

那么：

$$m=r(E_m)=r(AB).$$

而

$$r(AB)\le r(A)\le m,$$

所以

$$\boxed{r(A)=m}.$$

同理：

$$\boxed{r(B)=m}.$$

因此

$$\boxed{m\le n}.$$

(Any Docs)

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结论升级

如果

$$AB=E_m,$$

那么：

• $A$ 满行秩；
• $B$ 满列秩；
• 必有 $m\le n$。

但注意：

如果 $m<n$，并不能说 $A,B$ 都可逆，因为它们甚至不是方阵。

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十五、题型十：$AB=O$——模块三的超级高频结构

考频：★★★★★

必须背：

如果

$$A_{m\times n}{B}_{n\times p}=O,$$

那么

$$\mathrm{Im}(B)\subseteq \ker (A).$$

所以

$$r(B)\le n-r(A).$$

即

$$\boxed{r(A)+r(B)\le n}$$

注意这里的 $n$：

$$\boxed{\text{是中间维数}}$$

不是随便哪个阶数。

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十六、为什么 $AB=O$ 会推出这个式子？

取任意 $x$：

$$A(Bx)=0.$$

所以 $Bx$ 一定属于 $A$ 的零空间：

$$\mathrm{Im}(B)\subseteq \ker (A).$$

因此

$$r(B)=\dim \mathrm{Im}(B)\le \dim \ker (A).$$

根据秩—零度定理：

$$\dim \ker (A)=n-r(A).$$

所以

$$r(B)\le n-r(A).$$

即

$$\boxed{r(A)+r(B)\le n.}$$

这个证明要理解，后面很多题可以不用死记。

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十七、真题 14：1993 年——$PQ=O$ 加参数

题中

$$PQ=O,$$

其中 $P\ne O$。

矩阵 $Q$ 含参数 $t$。

当

$$t\ne 6$$

时，站内算得：

$$r(Q)=2.$$

于是

$$r(P)+r(Q)\le 3$$

得到

$$r(P)\le 1.$$

又因为

$$P\ne O,$$

故

$$r(P)\ge 1.$$

因此

$$\boxed{r(P)=1}.$$

(Any Docs)

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这类题的核心套路

看到

$$AB=O$$

马上写：

$$\boxed{r(A)+r(B)\le n}$$

再与：

$$A\ne O⟹r(A)\ge 1$$

之类条件夹击。

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十八、真题 15：1997 年——$AB=O$ 判断参数

有三阶非零矩阵 $B$，满足

$$AB=O.$$

因为

$$B\ne O,$$

如果 $A$ 可逆，那么

$$AB=O$$

左乘

$$A^{-1}$$

立即得到

$$B=O,$$

矛盾。

因此：

$$A\text{ 必不可逆}.$$

即

$$|A|=0.$$

计算得到：

$$7(t+3)=0.$$

所以

$$\boxed{t=-3}.$$

(Any Docs)

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秒杀结论

若 $A,B$ 都是 $n$ 阶非零矩阵，且

$$AB=O,$$

则：

$$\boxed{r(A)<n,r(B)<n}.$$

因为其中任何一个可逆都会迫使另一个为零。

1988、1994 真题都直接考过这一性质。(Any Docs)

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十九、一个非常值得预测的升级结论

若

$$A^2=O,$$

相当于令

$$B=A.$$

于是

$$2r(A)\le n.$$

所以

$$\boxed{r(A)\le \frac{n}{2}}$$

严格说：

$$\boxed{r(A)\le \lfloor \frac{n}{2}\rfloor }$$

这是非常适合未来选择题的变式。

例如 $A$ 是五阶矩阵，满足

$$A^2=O,$$

则最多：

$$\boxed{r(A)=2}.$$

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二十、题型十一：矩阵幂的秩

考频：★★★☆

真题 16：2007 年

给定移位型矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right).$$

计算

$$r(A^3).$$

直接得到

$$A^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right),$$

所以

$$\boxed{r(A^3)=1}.$$

(Any Docs)

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必须掌握的一般关系

因为

$$A^{k+1}=A^{k}A,$$

所以

$$r(A^{k+1})\le r(A^k).$$

因此：

$$\boxed{r(A)\ge r(A^2)\ge r(A^3)\ge \cdots }$$

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Sylvester 再给下界

对于 $n$ 阶矩阵：

$$r(A^2)\ge 2r(A)-n.$$

于是

$$\boxed{2r(A)-n\le r(A^2)\le r(A)}$$

这条在 2024 真题里直接派上了用场。

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二十一、题型十二：伴随矩阵的秩

考频：★★★★★

这是必背结论。

对 $n$ 阶矩阵 $A$，伴随矩阵记作 $A^{\ast }$。

$$\boxed{r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n,\\ 1,& r(A)=n-1,\\ 0,& r(A)\le n-2.\end{array}}$$

必须完整背下来。

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二十二、为什么会有三个情况？

情形一

$$r(A)=n.$$

则 $A$ 可逆，

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}.$$

其中

$$|A|\ne 0,$$

所以

$$r(A^{\ast })=n.$$

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情形二

$$r(A)=n-1.$$

所有 $n$ 阶子式为 0：

$$|A|=0.$$

但至少存在某个 $n-1$ 阶子式不为 0。

因此 $A^{\ast }\ne O$。

又有

$$A{A}^{\ast }=|A|E=O.$$

因此

$$r(A)+r(A^{\ast })\le n.$$

即

$$n-1+r(A^{\ast })\le n,$$

所以

$$r(A^{\ast })\le 1.$$

再结合

$$A^{\ast }\ne O,$$

得到：

$$\boxed{r(A^{\ast })=1}.$$

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情形三

$$r(A)\le n-2.$$

所有 $n-1$ 阶子式都为 0。

而伴随矩阵元素全是 $n-1$ 阶代数余子式。

因此

$$A^{\ast }=O.$$

所以

$$\boxed{r(A^{\ast })=0}.$$

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二十三、真题 17：1993 年

四阶矩阵：

$$r(A)=2.$$

因为

$$2=4-2,$$

属于

$$r(A)\le n-2.$$

所以

$$A^{\ast }=O.$$

于是

$$\boxed{r(A^{\ast })=0}.$$

(Any Docs)

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二十四、真题 18：2019 年

四阶矩阵 $A$。

齐次方程

$$Ax=0$$

的基础解系中有 2 个向量。

基础解系向量数：

$$n-r(A).$$

所以

$$4-r(A)=2.$$

于是

$$r(A)=2.$$

因此：

$$r(A)\le 4-2.$$

故：

$$A^{\ast }=O.$$

所以：

$$\boxed{r(A^{\ast })=0}.$$

(Any Docs)

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二十五、这一题实际上串了三章知识

2019 真题的逻辑链一定要背熟：

$$\boxed{\text{基础解系个数}\to n-r(A)\to r(A)\to r(A^{\ast })}$$

这就是考研线代的特点：

一道小题表面只问伴随矩阵，实际连接“方程组 + 秩 + 伴随矩阵”。

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二十六、真题 19：2003 年——反向利用伴随矩阵

三阶矩阵 $A$ 满足：

$$r(A^{\ast })=1.$$

立刻反推：

$$\boxed{r(A)=2}.$$

题中的矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& b\\ b& a& b\\ b& b& a\end{array}\right).$$

属于前面讲过的特殊结构。

要秩为 2：

必须一个方向退化而另外两个保持独立。

最终条件：

$$\boxed{a+2b=0,a-b\ne 0}$$

即站内选择 C。(Any Docs)

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二十七、题型十三：秩与向量组之间相互转化

考频：★★★★★

这一部分严格说本站把“向量”单独列成模块四，但在实际考试中不能分开。

一定要牢记：

若

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s),$$

则：

$$\boxed{r(A)=r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)}$$

于是：

向量组线性无关

$$\boxed{r(A)=s}$$

向量组线性相关

$$\boxed{r(A)<s}$$

$\beta$ 可由向量组表示

$$\boxed{r(A)=r(A,\beta )}$$

$\beta$ 不可由向量组表示

$$\boxed{r(A)<r(A,\beta )}$$

这些几乎就是后面“线性方程组”的入口。

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二十八、真题 20：2017 年——线性变换后的向量组秩

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

是三维线性无关向量。

令

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3).$$

则

$$P$$

可逆。

题目要求：

$$r(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3).$$

把这些向量拼成矩阵：

$$(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=AP.$$

因为 $P$ 可逆：

$$r(AP)=r(A).$$

题中算得：

$$r(A)=2.$$

所以：

$$\boxed{r(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=2}$$

(Any Docs)

---

这个模型非常重要

若

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$$

是 $n$ 维空间一组基，

则

$$P=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$$

可逆。

因此

$$\boxed{r(A{\alpha }_1,\dots ,A{\alpha }_n)=r(A)}$$

这句话可以直接背。

---

二十九、练习题中的重要逆否关系

张宇强化题有一道很值得做：

给定向量组

$$(I):{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

以及

$$(II):A{\alpha }_1,\dots ,A{\alpha }_s.$$

若原向量组相关：

$$c_1{\alpha }_1+\cdots +c_s{\alpha }_s=0,$$

左乘 $A$：

$$c_{1}A{\alpha }_1+\cdots +c_{s}A{\alpha }_s=0.$$

所以：

$$\boxed{(I)\text{ 相关}⟹(II)\text{ 相关}}$$

取逆否：

$$\boxed{(II)\text{ 无关}⟹(I)\text{ 无关}}$$

但反过来不一定。

因为矩阵 $A$ 可能把不同向量“压扁”。(Any Docs)

---

三十、题型十四：秩与线性表示——参数分类

这是非常值得强化的大题。

李正元高质量练习

给出四个含参数 $a$ 的向量：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$$

以及

$$\beta =(1,0,2,b{)}^T,$$

要求讨论：

1. $\beta$ 不能由这些向量表示；
2. 可以表示且表示唯一；
3. 可以表示但表示不唯一。

站内首先把四个向量组成方阵 $A$，得到：

$$|A|=2(a-1)(a-10).$$

(Any Docs)

---

这一题就是“线性表示分类总模板”

情形一

若

$$|A|\ne 0,$$

即

$$a\ne 1,10,$$

则

$$r(A)=4.$$

所以对任意 $\beta$，

$$Ax=\beta$$

都有唯一解。

因此：

$$\boxed{\beta \text{ 表示唯一}}$$

---

情形二

参数使矩阵降秩。

例如：

$$a=1$$

时，

$$r(A)=3.$$

接下来必须比较：

$$r(A,\beta ).$$

若

$$r(A)=r(A,\beta )=3<4,$$

则：

$$\boxed{\text{无穷多表示}}$$

若

$$r(A)<r(A,\beta ),$$

则：

$$\boxed{\text{不能表示}}$$

站内最终得到：

$$a=1,b=2$$

时可表示且不唯一；

而

$$a=1,b\ne 2$$

时不可表示。

另一个特殊值

$$a=10$$

同理分类。(Any Docs)

---

三十一、以后遇到所有“表示”问题都用这一张表

对于

$$Ax=b$$

其中 $A$ 有 $n$ 列：

换成向量语言：

这其实就是模块三→模块四→模块五之间最重要的桥梁。

---

三十二、题型十五：由“任意向量都能表示”反推满秩

李正元练习：

若任意三维向量都能由

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

线性表出。

那么这三个向量张成整个：

$${\mathbb{R}}^3.$$

因此：

$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=3.$$

由于恰有三个三维向量，所以等价于：

$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|\ne 0.$$

站内最终得到参数条件：

$$\boxed{a\ne 3}.$$

(Any Docs)

---

以后看到以下措辞要立即翻译

“任意 $n$ 维向量均可由 ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$ 表示”

等价于

$$\boxed{r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)=n}$$

也就是说：

$$\boxed{\mathrm{span}\{{\alpha }_i\}={\mathbb{R}}^n}$$

---

三十三、题型十六：分块矩阵求秩

考频：★★★★★，近几年尤其重要

先掌握最基础：

$$\boxed{r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B)}$$

---

三十四、带单位块的超级公式

若 $D$ 可逆：

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right).$$

通过分块初等变换可以得到：

$$\boxed{r(M)=r(D)+r(A-B{D}^{-1}C)}$$

特别是

$$D=E_n,$$

则：

$$\boxed{r\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& E\end{array}\right)=n+r(A-BC)}$$

这条公式近年价值极高。

---

三十五、为什么？

对

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& E\end{array}\right)$$

作分块行变换：

第一块行减去 $B$ 倍第二块行：

$$\left(\begin{array}{cc}A-BC& O\\ C& E\end{array}\right).$$

再消去左下块：

$$\left(\begin{array}{cc}A-BC& O\\ O& E\end{array}\right).$$

所以：

$$r=r(A-BC)+r(E)$$

即

$$\boxed{n+r(A-BC)}.$$

这就是分块秩题真正的核心。

---

三十六、真题 21：2021 年

站内给出了多个 $2\times 2$ 分块矩阵，判断哪个秩恒等式不成立。

其中可以利用分块初等行、列变换将若干选项化成：

$$\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& A^T\end{array}\right).$$

因此秩为：

$$r(A)+r(A^T)=2r(A).$$

而错误选项站内通过反例否定。(Any Docs)

---

这类选择题怎么做最快？

不要试图“直接算分块矩阵的秩”。

第一反应：

能不能把某个块消掉？

最喜欢出现：

$$R_2\leftarrow R_2-B{R}_1$$

或者

$$C_2\leftarrow C_2-C_{1}B.$$

目的永远是：

$$\text{复杂分块矩阵}⟶\text{分块对角矩阵}.$$

---

三十七、真题 22：2023 年——近年最值得研究的秩题之一

条件：

$$ABC=O.$$

题目给出三个含 $A,B,C,E$ 的分块矩阵，秩分别记作

$$r_1,r_2,r_3.$$

站内利用“单位块消元”得到：

$$r_1=n,$$ $$r_2=n+r(AB),$$ $$r_3=n+r((AB{)}^2).$$

而：

$$r((AB{)}^2)\le r(AB).$$

所以：

$$\boxed{r_1\le r_3\le r_2}$$

正确答案为 B。(Any Docs)

---

这一题的命题价值非常高

它组合了三件事：

第一层

$$ABC=O$$

第二层

分块矩阵降阶。

第三层

$$r((AB{)}^2)\le r(AB).$$

这就是现在考研线代越来越典型的风格：

不再直接问“求一个矩阵秩”，而是把几个基本性质串起来。

---

三十八、题型十七：Sylvester 秩不等式

近年重要度：★★★★★+

对于

$$A_{m\times n},B_{n\times p}$$

有：

$$\boxed{r(AB)\ge r(A)+r(B)-n}$$

尤其 $A,B$ 都是 $n$ 阶时：

$$\boxed{r(AB)\ge r(A)+r(B)-n}$$

---

三个矩阵

继续：

$$r(ABC)\ge r(AB)+r(C)-n.$$

又：

$$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n.$$

所以：

$$\boxed{r(ABC)\ge r(A)+r(B)+r(C)-2n}$$

---

三十九、真题 23：2025 年——Sylvester 取等问题

这是目前本站模块三里最值得重视的最新真题之一。

题设：

$$r(A)+r(B)+r(C)=r(ABC)+2n.$$

移项：

$$r(ABC)=r(A)+r(B)+r(C)-2n.$$

另一方面，连续使用 Sylvester：

$$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n,$$

以及

$$r(ABC)\ge r(AB)+r(C)-n.$$

因此：

$$r(ABC)\ge r(A)+r(B)+r(C)-2n.$$

而题设恰好取得下界。

这意味着前面的两步都必须取等：

$$\boxed{r(AB)=r(A)+r(B)-n}$$

且

$$\boxed{r(ABC)=r(AB)+r(C)-n}$$

所以站内答案是：

$$\boxed{(1)(2)}$$

即 A。(Any Docs)

---

四十、这一题必须提炼出的“取等原则”

假设：

$$x\ge y\ge z$$

而题目最后给出：

$$x=z,$$

那么必然：

$$x=y=z.$$

2025 真题本质上就是：

$$r(ABC)\ge r(AB)+r(C)-n$$ $$\ge r(A)+r(B)+r(C)-2n.$$

现在题目给出最左边等于最右边。

所以中间全部只能取等。

---

四十一、值得注意的是这个方向会继续考

很容易改成：

给定

$$r(A)+r(B)+r(C)+r(D)=r(ABCD)+3n,$$

则可以推出：

$$r(AB)=r(A)+r(B)-n,$$ $$r(ABC)=r(AB)+r(C)-n,$$ $$r(ABCD)=r(ABC)+r(D)-n.$$

本质完全相同。

---

四十二、题型十八：$A^2=O$ 与秩不等式综合

真题 24：2024 年

四阶矩阵 $A$，伴随矩阵 $A^{\ast }$，满足：

$$A(A-A^{\ast })=O$$

且

$$A\ne A^{\ast }.$$

求

$$r(A).$$

站内答案：

$$\boxed{1\text{ 或 }2}.$$

这是非常高质量的一道综合题。(Any Docs)

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分情况讨论

假设

$$r(A)=4.$$

则 $A$ 可逆。

由

$$A(A-A^{\ast })=O$$

左乘 $A^{-1}$：

$$A-A^{\ast }=O.$$

于是：

$$A=A^{\ast },$$

与题设矛盾。

所以：

$$r(A)\ne 4.$$

---

假设

$$r(A)=3.$$

由于

$$r(A)=n-1,$$

所以

$$|A|=0.$$

并且：

$$A{A}^{\ast }=|A|E=O.$$

原式：

$$A(A-A^{\ast })=0$$

化成：

$$A^2=0.$$

但是 Sylvester：

$$r(A^2)\ge 2r(A)-4$$ $$=6-4=2.$$

所以：

$$r(A^2)\ge 2,$$

不可能

$$A^2=O.$$

故：

$$r(A)\ne 3.$$

---

只剩

$$r(A)\le 2.$$

此时：

$$r(A)\le n-2.$$

所以：

$$A^{\ast }=O.$$

原式再次成为：

$$A^2=O.$$

而题设

$$A\ne A^{\ast }=O,$$

所以

$$A\ne O.$$

因此：

$$r(A)\ge 1.$$

结合

$$r(A)\le 2$$

得到：

$$\boxed{r(A)=1\text{ 或 }2}.$$

---

四十三、这道题代表未来综合题趋势

它一共串了：

$$\boxed{\text{可逆性}+A{A}^{\ast }=|A|E+r(A^{\ast })+r(A^2)+\text{Sylvester}}$$

所以秩模块不能只背：

$$r(AB)\le r(A).$$

要建立完整公式网。

---

四十四、题型十九：由若干 $r(\lambda E-A)$ 推矩阵结构

真题 25：2024 年另一题

三阶矩阵 $A$ 满足：

$$r(2E-A)=1,$$ $$r(E+A)=2.$$

求：

$$|A^{\ast }|.$$

站内答案：

$$\boxed{16}.$$

(Any Docs)

---

第一步

$$r(2E-A)=1.$$

所以：

$$\dim \ker (2E-A)=3-1=2.$$

也就是说：

$$Ax=2x$$

至少有两个线性无关解。

所以特征值 $2$ 至少对应两个独立方向。

---

第二步

$$r(E+A)=2.$$

所以：

$$\dim \ker (E+A)=1.$$

即：

$$Ax=-x$$

存在非零解。

于是三维空间中可以找到三个线性无关特征向量，对应：

$$2,2,-1.$$

因此：

$$|A|=2\cdot 2\cdot (-1)=-4.$$

---

第三步

对三阶矩阵：

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{3-1}=|A{|}^2.$$

于是：

$$|A^{\ast }|=(-4{)}^2=\boxed{16}.$$

---

四十五、这题虽然涉及特征值，但“入口”还是秩

非常值得记住这种语言转换：

$$r(\lambda E-A)=r$$

那么：

$$\boxed{\dim \ker (\lambda E-A)=n-r}$$

即特征值 $\lambda$ 的几何重数至少能直接读出来。

这属于模块三和模块六的重要交叉。

---

四十六、题型二十：初等变换与“列空间”要分清

张宇强化部分有一个非常好的概念题：

一个矩阵 $A$ 能通过初等列变换变成 $B$，问参数条件。

初等列变换等价于：

$$B=AP$$

其中 $P$ 可逆。

所以：

$$r(B)=r(A).$$

更强地说：

$$\mathrm{Col}(B)=\mathrm{Col}(A).$$

张宇题利用两个三阶矩阵的奇异参数分类，最终得到：

$$\boxed{a\ne -1,-2}.$$

(Any Docs)

---

一个容易混淆的问题

初等行变换

保持：

$$r(A)$$

但通常不保持列向量本身的线性组合空间作为原坐标中的子空间。

初等列变换

保持列空间：

$$\boxed{\mathrm{Col}(AP)=\mathrm{Col}(A)}$$

因为 $P$ 可逆。

这在“向量组等价”问题中很有用。

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四十七、极大线性无关组与秩

虽然本站模块四会更详细讲，但这里必须提前掌握。

设：

$$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)=r.$$

那么任何含 $r$ 个向量的极大无关组就是一个最大线性无关子组。

例如：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

如果

$${\alpha }_3=2{\alpha }_1-{\alpha }_2$$

且

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

无关，则：

$$r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=2.$$

一个极大无关组：

$$\{{\alpha }_1,{\alpha }_2\}.$$

---

四十八、加入一个向量时，秩只能变化 0 或 1

这是非常实用的结论：

$$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s,\beta )$$

相对于

$$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)$$

最多增加 1。

所以：

$$\boxed{r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s,\beta )=r\text{ 或 }r+1}$$

其中：

若

$$\beta \in \mathrm{span}\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\},$$

则

$$r^{\prime }=r.$$

若

$$\beta \notin \mathrm{span}\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\},$$

则

$$r^{\prime }=r+1.$$

---

李正元练习

若：

$$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)=r,$$ $$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s,\beta )=r,$$ $$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s,\gamma )=r+1,$$

那么：

$$\beta$$

没有扩大空间，而

$$\gamma$$

扩大了一维。

因此：

$$\boxed{r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s,\beta ,\gamma )=r+1}$$

(Any Docs)

---

四十九、特殊结构：范德蒙德向量组

李正元有一道很值得保留的证明题：

$${\alpha }_i=(1,a_i,a_i^2,\dots ,a_i^{n-1}{)}^T,$$

其中

$$a_1,\dots ,a_s$$

互不相同。

求这些向量的秩。

最终：

$$\boxed{r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)=\min \{n,s\}}$$

原因就是取相应方阵子式，得到范德蒙德行列式：

$$\prod _{1\le i<j\le k}(a_j-a_i)\ne 0.$$

(Any Docs)

---

这一题的价值

它体现出：

遇到结构化向量组，不要只会消元。

如果看到：

$$1,a_i,a_i^2,\dots$$

立刻想到：

$$\boxed{\text{Vandermonde}}$$

从而找非零子式确定秩。

---

五十、模块三最容易犯的 10 个错误

错误 1

$$|A|=0$$

就直接说：

$$r(A)=n-1.$$

错。

只能得到：

$$r(A)<n.$$

可能：

$$n-1,n-2,\dots$$

都有可能。

---

错误 2

找到一个 $r$ 阶子式非零，就说：

$$r(A)=r.$$

错。

只能得到：

$$r(A)\ge r.$$

---

错误 3

$$r(AB)=\min \{r(A),r(B)\}.$$

一般错。

正确：

$$r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}.$$

---

错误 4

$$AB=O$$

就认为：

$$A=O$$

或

$$B=O.$$

错。

矩阵有零因子。

---

错误 5

$$r(A+B)=r(A)+r(B).$$

一般错。

只有：

$$r(A+B)\le r(A)+r(B).$$

---

错误 6

$$r(A)=r$$

就认为任意 $r$ 个行向量都无关。

错。

只能保证存在 $r$ 个。

---

错误 7

矩阵等价就要求元素相同。

错。

同型矩阵：

$$\boxed{A\sim B⟺r(A)=r(B)}$$

---

错误 8

$$r(A^{\ast })=n-r(A).$$

完全错误。

伴随矩阵秩是三段式：

$$n,1,0.$$

---

错误 9

$$A^2=O$$

说明

$$A=O.$$

矩阵不成立。

实际上只推出：

$$r(A)\le \frac{n}{2}.$$

---

错误 10

分块矩阵把每个块的秩直接相加。

只有分块对角结构才可直接：

$$r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B).$$

一般：

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)$$

绝不能直接相加。

---

五十一、总结成 7 个“看到什么就想到什么”

看到参数 + “秩等于 $r$”

想到：

$$\boxed{(r+1)\text{ 阶子式全零}+r\text{ 阶子式至少一个非零}}$$

---

看到

$$AB=O$$

想到：

$$\boxed{r(A)+r(B)\le n}$$

---

看到

$$AB=E$$

想到：

$$\boxed{r(A),r(B)\text{ 被强制满秩}}$$

---

看到

$$PAQ$$

且 $P,Q$ 可逆：

$$\boxed{r(PAQ)=r(A)}$$

---

看到 $A^{\ast }$

想到：

$$\boxed{r(A)=n,n-1,\le n-2}$$

三种情况。

---

看到分块单位阵

例如：

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& E\end{array}\right)$$

想到：

$$\boxed{r=n+r(A-BC)}$$

---

看到多个矩阵乘积

想到：

$$\boxed{r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}}$$

以及：

$$\boxed{r(AB)\ge r(A)+r(B)-n}$$

上下夹击。

---

五十二、值得注意的是最值得精做的真题顺序

如果不是机械刷所有题，而是希望“一题学一类”，建议按这个顺序：

1. 1997：参数向量组给定秩——学参数秩。
2. 1998 / 2001：等对角结构——学特殊矩阵。
3. 1994 / 1996：可逆矩阵不改变秩。
4. 1999：矩阵尺寸 + 乘积秩。
5. 2010：$AB=E$。
6. 1993 / 1997：$AB=O$。
7. 1993 / 2003 / 2019：伴随矩阵秩三段论。
8. 2008 大题：外积与低秩矩阵。
9. 2017：$A{\alpha }_i$ 的秩。
10. 2021：复杂分块矩阵。
11. 2023：单位块降阶 + 矩阵幂的秩。
12. 2024-2：伴随矩阵 + $A^2$ + 秩不等式。
13. 2024-3：$r(\lambda E-A)$ 跨特征值综合。
14. 2025：Sylvester 不等式取等。

从命题演变来看，后面 2021—2025 这几道尤其值得反复做。(Any Docs)

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五十三、预测题 1：$A^2=O$ 的进一步考法

设 $A$ 为 $6$ 阶矩阵：

$$A^2=O,$$

且

$$r(A)=3.$$

那么有什么特殊关系？

由：

$$\mathrm{Im}(A)\subseteq \ker (A).$$

而：

$$\dim \mathrm{Im}(A)=3.$$

又：

$$\dim \ker (A)=6-r(A)=3.$$

一个三维子空间包含于另一个三维子空间，所以两者相等：

$$\boxed{\mathrm{Im}(A)=\ker (A)}$$

这个变式非常漂亮，而且完全在考研范围之内。

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五十四、预测题 2：$AB=O$ + 极限秩

设 $A,B$ 均为 $n$ 阶矩阵，

$$AB=O,$$

并且：

$$r(A)=n-1,B\ne O.$$

求 $r(B)$。

由：

$$r(A)+r(B)\le n,$$

得到：

$$n-1+r(B)\le n.$$

所以：

$$r(B)\le 1.$$

又：

$$B\ne O$$

所以：

$$r(B)\ge 1.$$

因此：

$$\boxed{r(B)=1}.$$

这是非常典型的“上下界夹死”。

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五十五、预测题 3：分块 Schur 补

设 $A,B$ 为 $n$ 阶矩阵，求

$$r\left(\begin{array}{cc}E& A\\ B& E\end{array}\right).$$

因为左上角 $E$ 可逆：

$$r\left(\begin{array}{cc}E& A\\ B& E\end{array}\right)=n+r(E-BA).$$

所以：

$$\boxed{r\left(\begin{array}{cc}E& A\\ B& E\end{array}\right)=n+r(E-BA)}$$

同样也可以用右下角得到：

$$n+r(E-AB).$$

因此还顺便得到：

$$\boxed{r(E-AB)=r(E-BA)}$$

这是一个很漂亮、也很容易命制选择题的结论。

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五十六、预测题 4：Sylvester 连锁取等

若 $A,B,C,D$ 均为 $n$ 阶矩阵，并满足：

$$r(ABCD)=r(A)+r(B)+r(C)+r(D)-3n.$$

连续利用：

$$r(ABCD)\ge r(ABC)+r(D)-n$$ $$\ge r(AB)+r(C)+r(D)-2n$$ $$\ge r(A)+r(B)+r(C)+r(D)-3n.$$

首尾相等，因此中间所有不等式均取等。

于是：

$$\boxed{r(AB)=r(A)+r(B)-n}$$ $$\boxed{r(ABC)=r(AB)+r(C)-n}$$ $$\boxed{r(ABCD)=r(ABC)+r(D)-n}$$

这几乎就是 2025 真题最自然的升级。

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五十七、最终：模块三真正应该记住的“核心骨架”

如果考试前只剩 3 分钟，建议只看下面这些。

第一组：定义

$$\boxed{r(A)=\text{最高阶非零子式阶数}}$$ $$\boxed{r(A)=\text{行秩}=\text{列秩}}$$

---

第二组：可逆变换

$$\boxed{r(PAQ)=r(A)(P,Q\text{ 可逆})}$$

---

第三组：乘积

$$\boxed{r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}}$$ $$\boxed{r(AB)\ge r(A)+r(B)-n}$$

---

第四组：和

$$\boxed{r(A+B)\le r(A)+r(B)}$$

---

第五组：零乘积

$$\boxed{AB=O⟹r(A)+r(B)\le n}$$

---

第六组：伴随

$$\boxed{r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n,\\ 1,& r(A)=n-1,\\ 0,& r(A)\le n-2.\end{array}}$$

---

第七组：矩阵幂

$$\boxed{r(A)\ge r(A^2)\ge r(A^3)\ge \cdots }$$ $$\boxed{r(A^2)\ge 2r(A)-n}$$

---

第八组：分块

$$\boxed{r\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=r(A)+r(B)}$$

以及：

$$\boxed{r\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& E_n\end{array}\right)=n+r(A-BC)}$$

---

第九组：线性表示

$$\boxed{\beta \text{ 可由 }{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\text{ 表示}}$$

当且仅当：

$$\boxed{r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)=r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s,\beta )}$$

---

第十组：解的个数

$$\boxed{r(A)<r(A,b)\Rightarrow \text{无解}}$$ $$\boxed{r(A)=r(A,b)=n\Rightarrow \text{唯一解}}$$ $$\boxed{r(A)=r(A,b)<n\Rightarrow \text{无穷多解}}$$

---

五十八、把模块三真正理解成一句话

“秩”其实是在问：这个矩阵或向量组究竟能提供多少个独立方向。

所以：

$$AB$$

是在问经过两次线性映射后还剩多少方向；

$$AB=O$$

是在说 $B$ 产生的所有方向都被 $A$ 压到了零空间；

$$A^{\ast }$$

的秩是在利用 $n-1$ 阶子式反映 $A$ 离满秩究竟有多远；

$$r(A,b)$$

是在判断右端 $b$ 是否已经落在 $A$ 的列空间中；

分块矩阵则是在利用初等变换，把复杂的“方向关系”拆成几个独立部分。

一旦把“秩 = 独立方向数”真正建立起来，这一章就不会再变成几十条毫无联系的公式。

就考研价值而言，模块三最需要吃透的是：参数秩、可逆乘法、$AB=0$、伴随矩阵、分块秩、Sylvester 不等式，以及秩和线性表示/方程组之间的转换。尤其 2023、2024、2025 三年的真题，已经很清楚地体现出命题正在从单公式记忆转向“多个秩性质连续推理”。 (Any Docs)