线性代数模块 7：相似与相似对角化

系统梳理矩阵相似、相似对角化、实对称矩阵与正交对角化。

本文将当前文档站对应源码中的模块 7 真题、张宇 1000 题、李正元练习题重新梳理了一遍。本站的模块 7 确实分成三大部分：

相似关系的判断与计算
相似对角化
实对称矩阵

也就是说，模块 6“特征值与特征向量”解决的是“特征值、特征向量怎么算”，而模块 7 真正要解决的是：

如何利用特征值、特征向量把一个复杂矩阵换到一个简单基下，并进一步处理矩阵相似、参数、矩阵高次幂、递推、实对称矩阵等综合问题。

这正是线性代数后半部分的核心枢纽。

一、先建立模块 7 的总框架

从当前站内真题的分布来看，建议这样确定复习优先级：

优先级	题型	考研重要性
S	判断矩阵能否相似对角化	极高
S	含参数的可对角化问题	极高
S	求相似变换矩阵 $P$ 与对角阵	极高
S	实对称矩阵、正交相似对角化	极高
S	已知特征结构求 $A^{n}$ 、递推数列	极高
A	判断两个矩阵是否相似	高
A	相似矩阵的不变量与矩阵函数	高
A	根据部分特征向量反求实对称矩阵	高
A	秩一矩阵、投影矩阵	高
B	可交换矩阵与同时对角化	中高，近年值得注意
B	循环向量基 $x, A x, A^{2} x$	中高，区分度很强
B	Jordan 型结构的“非 Jordan 解法”	中高

其中最应该形成条件反射的只有一句：

A 可相似对角化 ⟺ A 有 n 个线性无关的特征向量

整个模块 7，几乎都是这句话的变形。

二、相似到底是什么？

设 $A, B$ 是同阶矩阵，如果存在可逆矩阵 $P$ ，使

B = P^{- 1} A P,

则称 $A, B$ 相似。

从线性变换角度理解：

$A, B$ 并不是两个不同的线性变换，而是同一个线性变换在两组不同基下的矩阵。

所以相似矩阵的“坐标长相”可以完全不同，但其本质结构相同。

这也是为什么相似一定保持：

det (λ E - A),

从而保持：

全部特征值以及代数重数

还保持：

tr (A), ∣ A ∣, r (A),

以及对任意数 $λ$ ：

r (A - λ E) .

更进一步：

r [(A - λ E)^{k}]

也是相似不变量。

三、题型 1：相似矩阵的性质判断

这是模块 7 最基础的一类，但非常容易在选择题中设置陷阱。

真题 1：1999 年数学三，3 分

已知 $A \sim B$ ，判断下列哪项必成立，其中正确项为：

对任意常数 $t$ ， $tE - A$ 与 $tE - B$ 相似。

因为

B = P^{- 1} A P,

于是

tE - B = tE - P^{- 1} A P = P^{- 1} (tE - A) P .

所以

tE - A \sim tE - B .

这道题真正需要掌握的不是这一项，而是下面这个更广泛的结论。

如果

B = P^{- 1} A P,

那么对于任意多项式

f (x) = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{m} x^{m},

都有

f (B) = P^{- 1} f (A) P

因此

f (A) \sim f (B) .

必须会直接推出的结论

若 $A \sim B$ ，则：

A^{k} \sim B^{k},

若可逆：

A^{- 1} \sim B^{- 1},

以及

A^{2} + A^{- 1} \sim B^{2} + B^{- 1} .

甚至一般地：

f (A) \sim f (B) .

四、真题 2：2016 年——“转置”是高频陷阱

站内 2016 年真题：

若 $A, B$ 可逆且

A \sim B,

判断错误的结论。

其中错误的是：

A + A^{T} \sim B + B^{T} .

而以下都成立：

A^{T} \sim B^{T},

A^{- 1} \sim B^{- 1},

A + A^{- 1} \sim B + B^{- 1} .

很多人会误以为：

“既然 $A \sim B$ ，又有 $A^{T} \sim B^{T}$ ，那么加起来也应该相似。”

错误。

因为二者使用的相似变换矩阵通常不同。

若

B = P^{- 1} A P,

则

B^{T} = P^{T} A^{T} (P^{T})^{- 1} .

注意：

$A \to B$ 使用的是 $P$
$A^{T} \to B^{T}$ 使用的是另一个矩阵

因此一般不能合并。

母题结论

两个“各自相似”的关系：

A \sim B, C \sim D

不能推出

A + C \sim B + D .

只有它们恰好可以由同一个相似变换矩阵完成时，才能相加。

五、题型 2：判断两个矩阵是否相似

这是非常重要的一类。

首先必须记住：

A \sim B ⟹ A, B 特征值相同

但逆命题一般不成立：

特征值相同 \neq ⟹ A \sim B

真题 3：2017 年

题中三个矩阵都有特征值

2, 2, 1.

但最后结果是：

$A \sim C$
$B \neq \sim C$

原因就是重根 $λ = 2$ 对应的特征空间维数不同。

对于矩阵 $A$ ：

dim ker (A - 2 E) = 2.

因此二重特征值 $2$ 有两个线性无关特征向量。

而另一个特征值 $1$ 又提供一个特征向量。

总共：

2 + 1 = 3

个线性无关特征向量，因此

A \sim 200020001 .

但矩阵 $B$ 满足：

dim ker (B - 2 E) = 1.

所以它缺一个特征向量，不能对角化。

六、以后看到“特征值相同，问是否相似”怎么做？

这是非常重要的统一算法。

第一步：比较特征值

若特征值不同：

立即不相似

若相同，继续。

第二步：只检查重特征值

假设三阶矩阵特征值为

1, 2, 2.

根本没必要检查 $λ = 1$ 。

只检查：

A - 2 E .

如果两个矩阵对应的

r (A - 2 E)

不同，那么立即不相似。

因为

dim E_{2} = 3 - r (A - 2 E) .

七、升级版：特征空间维数还不够怎么办？

考研大纲一般不要求系统学习 Jordan 标准形，但真题实际上会以“秩”的方式考 Jordan 结构。

典型就是 2018 年真题。

真题 4：2018 年

给出

J = 100110011,

问哪个矩阵与其相似。

三个特征值都是：

1, 1, 1.

仅看特征值完全没用。

令

N = J - E .

于是

N = 000100010 .

计算：

r (N) = 2,

而

N^{2} = 000000100,

所以

r (N^{2}) = 1.

同时

N^{3} = O .

因此这个矩阵的结构指纹就是：

r (J - E) = 2, r [(J - E)^{2}] = 1, (J - E)^{3} = O .

候选矩阵也做完全相同的检查即可。

高质量通法

若所有特征值都相同为 $λ$ ，重点比较：

r (A - λ E),

再比较：

r [(A - λ E)^{2}],

必要时继续：

r [(A - λ E)^{3}] .

这实际上就是在“不正式写 Jordan 标准形”的情况下识别 Jordan 结构。

八、题型 3：相似对角化判定——模块 7 第一核心

这是整个模块最重要的题型。

核心定理：

A 可相似对角化 ⟺ A 有 n 个线性无关的特征向量

另一个更适合做题的版本是：

设不同特征值为

λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{s},

则

A 可对角化 ⟺ i = 1 \sum s dim ker (A - λ_{i} E) = n .

九、最重要的“重根秩判据”

如果 $λ$ 是 $m$ 重特征值，那么：

dim ker (A - λ E) = m

才有足够多的特征向量。

利用秩零度定理：

dim ker (A - λ E) = n - r (A - λ E) .

因此条件等价于：

r (A - λ E) = n - m .

这个式子是含参数可对角化题的第一公式。

十、真题 5：2023 年——最快判断可对角化

2023 年真题给出四个三阶矩阵，问哪个不能相似于对角矩阵。

其中：

A：特征值互异

上三角矩阵，对角线：

1, 2, 3.

三个不同特征值。

所以直接：

可对角化

不需要求一个特征向量。

B：实对称矩阵

立即：

必可正交相似对角化

也不用计算特征空间。

C：特征值

1, 2, 2.

只需要检查二重特征值 $2$ 。

有：

r (C - 2 E) = 1.

故

dim ker (C - 2 E) = 3 - 1 = 2.

正好两个。

所以可对角化。

D：还是

1, 2, 2,

但：

r (D - 2 E) = 2.

因此

dim ker (D - 2 E) = 1.

不足两个。

所以：

不能对角化

十一、这类选择题的最短决策树

以后看到“哪个能/不能相似对角化”，不要机械算特征值和全部特征向量。

按这个顺序：

实对称？ \Rightarrow 一定可以

否则看：

n 个不同特征值？ \Rightarrow 一定可以

否则说明存在重根。

只检查重根：

r (A - λ E) = n - m ?

成立：够 $m$ 个特征向量。

不成立：不能对角化。

十二、真题 6：1993 / 2022——充分、必要条件题

1993 年和 2022 年都考过类似思想：

一个 $n$ 阶矩阵有 $n$ 个互不相同的特征值。

这是可对角化的：

充分而非必要条件

因为不同特征值的特征向量必然线性无关。

但是：

E

只有一个不同特征值：

1,

却显然已经是对角矩阵。

必须把下面几个逻辑关系分清楚：

A 有 n 个不同特征值

是

A 可对角化

的充分条件。

而：

A 有 n 个线性无关特征向量

才是：

A 可对角化

的充要条件。

十三、“两两线性无关”也是著名坑

2022 年真题特别考了：

三个特征向量两两线性无关。

这并不意味着三个向量整体线性无关。

例如：

α_{1} = (10), α_{2} = (01), α_{3} = (11) .

任意两个都线性无关，但是三个整体满足：

α_{3} = α_{1} + α_{2} .

所以“有 $n$ 个两两线性无关的特征向量”不能替代：

有 n 个线性无关特征向量 .

十四、题型 4：含参数的可相似对角化——大题超级母题

这是模块 7 最应该重点练的一类。

真题 7：2003 年，10 分

题目给出

A = 280220 0 a 6,

已知 $A$ 可以相似对角化，求参数 $a$ ，并求 $P$ 。

特征多项式：

∣ λ E - A ∣ = (λ - 6)^{2} (λ + 2) .

所以特征值为：

6, 6, - 2.

关键只有二重根：

λ = 6.

为了可对角化，必须有两个线性无关的属于 $6$ 的特征向量：

dim ker (A - 6 E) = 2.

三阶矩阵，因此：

r (A - 6 E) = 1.

而

A - 6 E = - 4 80 2 - 4 0 0 a 0 .

要使秩为 1，前两行必须成比例。

第一行的 $- 2$ 倍为：

(8, - 4, 0) .

因此必须：

a = 0.

这就是整道题最核心的一步。

含参数题的固定模板

若特征多项式得到：

(λ - λ_{1})^{2} (λ - λ_{2}),

那么不要继续乱算。

直接写：

A 可对角化 ⟺ dim ker (A - λ_{1} E) = 2.

三阶矩阵：

⟺ r (A - λ_{1} E) = 1.

然后根据秩求参数。

这就是“参数可对角化题”的万能法。

十五、张宇 1000 题中非常值得做的一道同类题

张宇基础部分第 10 题：

A = 3 - a 4 1 - 1 1 - 2 a - 3,

已知 $1, - 1$ 是特征值，并要求矩阵可相似对角化，求 $a$ 。

这里真正要查的是二重特征值 $- 1$ 。

于是要求：

r (A + E) = 1.

而：

A + E = 4 - a 4 101 - 2 a - 2 .

第 1、3 行已经相同。

若秩为 1，第 2 行还必须是第 1 行的倍数。

但第 1 行第二项为 $1$ ，第 2 行第二项为 $0$ ，所以只能是零倍：

(- a, 0, a) = (0, 0, 0) .

因此：

a = 0 .

这和 2003 真题本质完全一样。

需要学的是母题，不是两道不同的题。

十六、题型 5：求相似变换矩阵 $P$

如果：

P^{- 1} A P = Λ

其中：

Λ = diag (λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{n}),

那么等价于：

A P = P Λ.

写：

P = (α_{1}, α_{2}, \dots, α_{n}),

则：

A P = (A α_{1}, A α_{2}, \dots, A α_{n}),

而：

P Λ = (λ_{1} α_{1}, λ_{2} α_{2}, \dots, λ_{n} α_{n}) .

于是：

A α_{i} = λ_{i} α_{i}

所以：

$P$ 的第 $i$ 列必须是属于 $Λ$ 第 $i$ 个对角元的特征向量。

十七、真题 8：2020 年——专门考 $P$ 的列顺序

已知：

$α_{1}, α_{2}$ 都属于特征值 $1$
$α_{3}$ 属于特征值 $- 1$

要求：

P^{- 1} A P = 100 0 - 1 0 001 .

那么 $P$ 三列必须依次属于：

1, - 1, 1.

正确构造为：

P = (α_{1} + α_{2}, - α_{3}, α_{2}) .

为什么第一列可以：

α_{1} + α_{2} ?

因为同一个特征值对应的特征空间是线性空间：

A α_{1} = α_{1}, A α_{2} = α_{2},

所以：

A (α_{1} + α_{2}) = α_{1} + α_{2} .

这里最容易犯的错

假如：

A α_{1} = λ_{1} α_{1}, A α_{2} = λ_{2} α_{2},

且：

λ_{1} \neq = λ_{2},

那么一般：

α_{1} + α_{2} 不是特征向量

同一特征空间内部可以随便做非零线性组合。

不同特征空间不能混。

十八、标准的大题求 $P$ 流程

以后大题：

求可逆矩阵 $P$ ，使 $P^{- 1} A P$ 为对角矩阵。

固定写四步。

第一步：特征多项式

∣ λ E - A ∣ = 0.

求：

λ_{1}, \dots, λ_{s} .

第二步：求各特征空间

分别解：

(A - λ_{i} E) x = 0.

第三步：凑齐 $n$ 个线性无关特征向量

设为：

α_{1}, \dots, α_{n} .

第四步：

P = (α_{1}, \dots, α_{n}) .

对应：

Λ = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n}) .

于是：

P^{- 1} A P = Λ

实际考试中，只要列已经明确是线性无关特征向量，通常没必要真去算 $P^{- 1}$ 。

验证可直接用：

A P = P Λ .

比算逆矩阵快很多。

十九、真题 9：2002 年——“ $a E + C$ ”型矩阵

题目：

A = a 11 1 a - 1 1 - 1 a .

要求对角化，并求：

∣ A - E ∣.

不要直接展开三阶特征行列式。

先拆成：

A = a E + C,

其中：

C = 011 10 - 1 1 - 1 0 .

若：

C α = μα,

那么：

A α = (a E + C) α = (a + μ) α .

所以：

A = a E + C

与 $C$ 的：

特征向量完全相同
特征值全部加 $a$

本题 $C$ 的特征值是：

1, 1, - 2.

因此 $A$ 的特征值：

a + 1, a + 1, a - 2.

于是 $A - E$ 的特征值是：

a, a, a - 3.

直接：

∣ A - E ∣ = a^{2} (a - 3)

这比重新算行列式漂亮得多。

二十、以后看到 $a E + B$ 必须条件反射

若已知 $B$ 的特征值：

λ_{i},

那么：

a E + B

的特征值：

a + λ_{i} .

而且特征向量不变。

更一般：

f (A)

在 $A$ 的特征向量 $α$ 上：

A α = λ α

则：

f (A) α = f (λ) α

二十一、题型 6：矩阵多项式与“可对角化”的逻辑判断

2025 年真题特别值得重视，因为这种题很有未来命题价值。

题目问：

“ $A^{3} - A^{2}$ 可对角化”是“ $A$ 可对角化”的什么条件？

答案：

必要不充分

为什么必要？

若：

A = P Λ P^{- 1},

则：

A^{3} - A^{2} = P (Λ^{3} - Λ^{2}) P^{- 1} .

而：

Λ^{3} - Λ^{2}

仍然是对角矩阵。

所以：

A 可对角化 ⟹ A^{3} - A^{2} 可对角化 .

为什么不能反过来？

取：

A = 000100001 .

这个 $A$ 不可对角化。

但：

A^{3} - A^{2} = O .

而零矩阵显然可以对角化。

因此逆命题错误。

二十二、这一题可以预测出一整个新题型

以后如果考：

$f (A)$ 可对角化，能否推出 $A$ 可对角化？

一般不能。

最简单反例就是：

A = (0010) .

显然：

A \neq = O, A^{2} = O .

所以：

A

不能对角化，但：

A^{2} = O

当然可以对角化。

因此：

A 可对角化 \Rightarrow f (A) 可对角化

通常成立；

而反方向：

f (A) 可对角化 \neq \Rightarrow A 可对角化

一般不成立。

二十三、题型 7：实对称矩阵——模块 7 第二核心

只要题目出现：

A^{T} = A,

解题模式就应该立刻发生变化。

实对称矩阵有四个极重要性质：

全部特征值均为实数

不同特征值对应的特征向量相互正交

一定可以相似对角化

而且可以用正交矩阵：

Q^{T} A Q = Λ

因为：

Q^{- 1} = Q^{T} .

二十四、普通可对角化 vs 正交可对角化

普通矩阵：

P^{- 1} A P = Λ.

只要求：

P 可逆 .

实对称矩阵：

Q^{T} A Q = Λ.

还可以要求：

Q^{T} Q = E .

因此 $Q$ 的列不是普通特征向量，而是：

标准正交特征向量

二十五、实对称矩阵最强公式：谱分解

若：

q_{1}, \dots, q_{n}

是一组标准正交特征向量，相应特征值：

λ_{1}, \dots, λ_{n},

那么：

Q = (q_{1}, \dots, q_{n}),

于是：

A = Q Λ Q^{T} .

进一步展开：

A = i = 1 \sum n λ_{i} q_{i} q_{i}^{T}

这是模块 7 后半部分非常强的工具。

二十六、真题 10：2010 年——多项式方程 + 实对称 + 秩

题目：

$A$ 为 4 阶实对称矩阵：

A^{2} + A = O,

且：

r (A) = 3.

求 $A$ 相似于哪个对角矩阵。

如果：

A α = λ α,

那么：

(A^{2} + A) α = 0.

即：

(λ^{2} + λ) α = 0.

所以：

λ^{2} + λ = 0.

得到：

λ = 0 或 - 1.

又因为：

r (A) = 3,

四阶矩阵只有一个零特征值。

因此特征值为：

- 1, - 1, - 1, 0.

又由于实对称矩阵必可对角化：

A \sim diag (- 1, - 1, - 1, 0)

二十七、“矩阵满足多项式方程”统一怎么做？

如果：

f (A) = O,

那么任意特征值 $λ$ 必满足：

f (λ) = 0 .

例如：

A^{3} - 4 A = O,

则：

λ^{3} - 4 λ = 0,

所以：

λ (λ - 2) (λ + 2) = 0.

因此：

λ \in {0, 2, - 2} .

之后再结合：

秩
迹
行列式
对称性
特征值重数

确定各重数。

这一组合极适合出选择题。

二十八、张宇 1000 题：实对称 + 幂零的极好练习

张宇相似理论部分有题：

四阶实对称矩阵满足 $A^{4} = O$ ，求 $r (A)$ 。

由：

A^{4} = O

得所有特征值满足：

λ^{4} = 0.

所以：

λ = 0.

但一般矩阵“全部特征值为 0”不一定就是零矩阵，例如：

(0010) .

可是题目还有：

A^{T} = A .

实对称矩阵一定能对角化。

于是：

A \sim diag (0, 0, 0, 0) = O .

从而实际上：

A = O

所以：

r (A) = 0 .

这是很重要的一条：

A 实对称且幂零 ⟹ A = O

二十九、题型 8：已知特征值与部分特征向量，反求实对称矩阵

这是大题经典。

真题 11：1995 年

三阶实对称矩阵 $A$ ：

特征值：

- 1, 1, 1,

并知道 $- 1$ 的特征向量：

ξ = 011 .

求 $A$ 。

首先单位化：

q = \frac{1}{2} 011 .

在 $q$ 方向上，特征值为：

- 1.

在整个正交补：

q^{⊥}

上，特征值全部为：

1.

所以：

A = 1 \cdot E + (- 1 - 1) q q^{T} .

即：

A = E - 2 q q^{T}

算出：

q q^{T} = \frac{1}{2} 000011011 .

所以：

A = 100 00 - 1 0 - 1 0

这比重新设 6 个未知数高效得多。

三十、这个题背后的超级公式

若 $q$ 是单位向量，矩阵在 $q$ 方向特征值为 $λ$ ，而在 $q^{⊥}$ 上统一为 $μ$ ，那么：

A = μ E + (λ - μ) q q^{T}

这是一整个母题。

以后看到：

实对称矩阵只有一个“特殊特征方向”，其他特征值都相同

直接用这个公式。

三十一、真题 12：1997 年——利用正交性补出缺失特征向量

已知三阶实对称矩阵特征值：

1, 2, 3.

对应 $1, 2$ 的特征向量分别：

α_{1} = (- 1, - 1, 1)^{T},

α_{2} = (1, - 2, - 1)^{T} .

要求 $3$ 的特征向量和矩阵 $A$ 。

因为不同特征值特征向量正交。

设：

α_{3} = (x, y, z)^{T} .

必须：

α_{3}^{T} α_{1} = 0,

α_{3}^{T} α_{2} = 0.

得到：

{- x - y + z = 0, x - 2 y - z = 0.

解得：

y = 0, z = x .

可取：

α_{3} = (1, 0, 1)^{T}

然后三个都单位化得到：

q_{1}, q_{2}, q_{3} .

直接：

A = q_{1} q_{1}^{T} + 2 q_{2} q_{2}^{T} + 3 q_{3} q_{3}^{T}

三十二、实对称矩阵“反求 $A$ ”的两个方法

方法一：矩阵乘法法

构造：

Q = (q_{1}, q_{2}, q_{3}),

然后：

A = Q Λ Q^{T} .

方法二：谱分解法

直接：

A = λ_{1} q_{1} q_{1}^{T} + λ_{2} q_{2} q_{2}^{T} + λ_{3} q_{3} q_{3}^{T} .

第二种通常更适合手算。

三十三、真题 13：2004 年——秩 + 二重特征值 + 正交性

三阶实对称矩阵：

r (A) = 2,

且：

λ_{1} = λ_{2} = 6.

因此第三个特征值必为：

λ_{3} = 0 .

已知属于 $6$ 的特征空间有两个线性无关方向，那么 $0$ 特征值的特征向量就必须同时正交于整个 $λ = 6$ 特征空间。

最终可取：

β = (1, - 1, - 1)^{T} .

再用谱分解求出：

A = 422 24 - 2 2 - 2 4 .

母题规律

实对称矩阵中：

E_{λ_{i}} ⊥ E_{λ_{j}} (λ_{i} \neq = λ_{j})

这里是两个特征子空间整体正交，不仅是一两个特征向量。

所以如果一个二重特征值已经给出二维特征子空间，那么另一个特征向量往往直接由“同时正交”求出。

三十四、题型 9：正交相似对角化完整算法

题目要求：

求正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^{T} A Q$ 为对角矩阵。

标准流程：

1. 求特征值

∣ λ E - A ∣ = 0.

2. 求各特征空间

(A - λ_{i} E) x = 0.

3. 不同特征值之间不用施密特

因为实对称矩阵自动满足正交。

4. 同一重特征值内部若有多个特征向量，则施密特正交化

例如得到：

α_{1}, α_{2} .

若它们不正交，可改成：

β_{1} = α_{1},

β_{2} = α_{2} - \frac{α _{2}^{T} β _{1}}{β _{1}^{T} β _{1}} β_{1} .

5. 全部单位化

q_{i} = \frac{β _{i}}{∥ β _{i} ∥} .

6. 构造

Q = (q_{1}, \dots, q_{n}) .

于是：

Q^{T} A Q = Λ

三十五、题型 10：特殊结构矩阵——常数对角元、常数非对角元

这是考研非常经典的高质量大题。

真题 14：2004 年，13 分

A = 1 b ⋮ b b 1 ⋮ b \dots \dots \dots b b ⋮ 1 .

求全部特征值、特征向量，并对角化。

不要展开 $n$ 阶行列式。

记：

e = 11 ⋮ 1,

以及全 1 矩阵：

J = e e^{T} .

矩阵可以写成：

A = (1 - b) E + b J

而：

J e = n e .

所以：

A e = [1 + (n - 1) b] e .

得到第一个特征值：

λ_{1} = 1 + (n - 1) b

对应：

e .

剩下的 $n - 1$ 个特征向量

若：

e^{T} x = 0,

也就是：

x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 0,

则：

J x = e (e^{T} x) = 0.

因此：

A x = (1 - b) x .

所以：

λ_{2} = 1 - b

对应整个：

x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 0

的 $n - 1$ 维子空间。

所以特征值为：

1 + (n - 1) b, n - 1 个 1 - b, \dots, 1 - b

三十六、这道题必须进一步学会求高次幂

令：

P_{0} = \frac{1}{n} J .

注意：

P_{0}^{2} = P_{0} .

它是投影到：

span {e}

上的正交投影。

于是：

A = [1 + (n - 1) b] P_{0} + (1 - b) (E - P_{0}) .

因此根本不用构造 $P$ ，直接有：

A^{m} = [1 + (n - 1) b]^{m} P_{0} + (1 - b)^{m} (E - P_{0})

即：

A^{m} = \frac{[ 1 + ( n - 1 ) b ] ^{m}}{n} J + (1 - b)^{m} (E - \frac{1}{n} J)

这种“投影分解法”是以后做矩阵幂的高级通法。

三十七、题型 11：秩一矩阵 $α β^{T}$

这个结构在模块 7 真题中出现得非常典型。

真题 15：2009 年

α = 111, β = 10 k,

且：

α β^{T} \sim diag (3, 0, 0) .

求 $k$ 。

核心公式：

tr (α β^{T}) = β^{T} α

而相似矩阵迹相同。

因此：

β^{T} α = 3.

即：

1 + k = 3.

所以：

k = 2 .

三十八、秩一矩阵的全部母公式

设：

R = α β^{T} .

那么：

R^{2} = α β^{T} α β^{T} .

中间：

β^{T} α

是一个数，所以：

R^{2} = (β^{T} α) R

于是：

R

满足多项式：

R^{2} - c R = O,

其中：

c = β^{T} α .

即：

R (R - c E) = O .

因此特征值只能是：

0

或：

c .

若：

R \neq = O,

且：

c \neq = 0,

则：

R 的特征值为 c, 0, \dots, 0

三十九、值得记住的预测结论

若：

R = α β^{T} \neq = O,

但：

β^{T} α = 0,

那么：

R^{2} = O .

但：

R \neq = O .

所以 $R$ 是非零幂零矩阵。

如果它能够对角化，那么由于全部特征值都是零：

R \sim O .

从而应该有：

R = O,

矛盾。

因此：

α β^{T} \neq = O, β^{T} α = 0 ⟹ α β^{T} 不可对角化

这特别适合作为未来选择题的新考法。

四十、题型 12：投影矩阵 $E - α α^{T}$

2012 年真题：

$α$ 是三维单位向量，求：

r (E - α α^{T}) .

因为：

α^{T} α = 1.

作用于 $α$ ：

(E - α α^{T}) α = α - α = 0.

所以 $α$ 对应特征值：

0.

若：

x ⊥ α,

则：

α^{T} x = 0.

所以：

(E - α α^{T}) x = x .

在二维空间 $α^{⊥}$ 上，特征值都是：

1.

因此：

0, 1, 1

是其三个特征值。

所以：

r (E - α α^{T}) = 2

四十一、把它推广成必会模型

令：

P = \frac{α α ^{T}}{α ^{T} α} .

那么：

P^{2} = P

它是投影矩阵。

在：

span {α}

上：

P = 1.

在：

α^{⊥}

上：

P = 0.

所以如果：

A = a E + b P,

那么：

在 $α$ 方向，特征值：

a + b .

在 $α^{⊥}$ 上：

a .

于是：

A^{n} = (a + b)^{n} P + a^{n} (E - P)

这条公式能秒掉大量练习题。

四十二、张宇 1000 题的高价值投影题

张宇基础部分有：

A = E - \frac{3}{α ^{T} α} α α^{T} .

令：

P = \frac{α α ^{T}}{α ^{T} α} .

那么：

A = E - 3 P .

由于：

P^{2} = P,

得到：

A^{2} = (E - 3 P)^{2} .

所以：

A^{2} = E - 6 P + 9 P = E + 3 P .

在 $P$ 的像空间中， $A$ 的特征值：

1 - 3 = - 2.

在正交补中：

1.

因此逆矩阵直接：

A^{- 1} = - \frac{1}{2} P + (E - P) .

化简：

A^{- 1} = E - \frac{3}{2} P

也就是：

A^{- 1} = E - \frac{3}{2} \frac{α α ^{T}}{α ^{T} α}

比增广矩阵求逆快得多。

四十三、题型 13：矩阵高次幂 $A^{n}$

只要看到：

A^{10}, A^{100}, A^{n},

第一反应绝对不能是直接乘。

若 $A$ 可对角化：

A = P Λ P^{- 1},

则：

A^{n} = P Λ^{n} P^{- 1}

而：

Λ^{n} = diag (λ_{1}^{n}, \dots, λ_{n}^{n}) .

于是高次幂就被降成了标量的高次幂。

四十四、如果只求 $A^{n} x_{0}$ ，甚至不要算 $P^{- 1}$

假设：

x_{0} = c_{1} α_{1} + \dots + c_{n} α_{n},

其中：

A α_{i} = λ_{i} α_{i} .

那么：

A^{n} x_{0} = c_{1} λ_{1}^{n} α_{1} + \dots + c_{n} λ_{n}^{n} α_{n} .

即：

A^{n} x_{0} = i \sum c_{i} λ_{i}^{n} α_{i}

这是递推题最好用的形式。

四十五、张宇强化题：二维递推的标准范例

张宇题：

(x_{n} y_{n}) = (1423) (x_{n - 1} y_{n - 1}) .

矩阵：

A = (1423)

特征值：

5, - 1.

属于 $5$ 的特征向量可取：

α_{1} = (12) .

属于 $- 1$ 的可取：

α_{2} = (1 - 1) .

如果：

(x_{0} y_{0}) = (12),

一开始恰好就在特征方向上。

所以：

(x_{n} y_{n}) = 5^{n} (12)

根本不必算矩阵幂。

若：

x_{0} = (11),

先分解：

(11) = \frac{2}{3} (12) + \frac{1}{3} (1 - 1) .

于是：

A^{n} (11) = \frac{2}{3} 5^{n} (12) + \frac{1}{3} (- 1)^{n} (1 - 1) .

例如 $n = 100$ 时：

x_{100} = \frac{2 \cdot 5 ^{100} + 1}{3}

这就是递推题的标准路线。

四十六、题型 14：行和相等

这是模块 6、7 经常交叉使用的技巧。

如果矩阵每一行元素之和都是 $s$ ，那么：

e = 11 ⋮ 1

一定满足：

A e = se .

因此：

s 是一个特征值， e 是相应特征向量

张宇基础题 12 的高质量应用

三阶实对称矩阵 $A$ ，每行和为 $3$ ，并且另有二重特征值：

1, 1.

于是：

e = 111

属于特征值：

3.

所以全部特征值：

3, 1, 1.

令：

P_{0} = \frac{1}{3} e e^{T} = \frac{1}{3} J .

则：

A = 3 P_{0} + 1 (E - P_{0}) .

即：

A = E + 2 P_{0} = E + \frac{2}{3} J

于是：

A^{n} = 3^{n} P_{0} + (E - P_{0}) .

即：

A^{n} = E + \frac{3 ^{n} - 1}{3} J

这就是“行和 + 实对称 + 重特征值 + 高次幂”的一整类题。

四十七、注意“行和”和“列和”的区别

若每行元素和为 $s$ ，则：

A 1 ⋮ 1 = s 1 ⋮ 1 .

所以直接得到右特征向量。

但如果只是每列和为 $s$ ，则首先得到的是：

e^{T} A = s e^{T},

也就是左特征向量。

除非 $A$ 是对称矩阵，不能随便当作：

A e = se .

这是一个很容易被改造成选择题的坑。

四十八、题型 15：可交换矩阵 $A B = B A$

这是近几年值得重点注意的方向。

真题 16：2024 年

设 $A, B$ 为二阶矩阵：

A B = B A .

问：

“ $A$ 有两个不同特征值”对于“ $B$ 可对角化”是什么条件？

答案：

充分不必要

为什么充分？

若 $A$ 有两个不同特征值：

λ_{1} \neq = λ_{2},

对应特征向量：

α_{1}, α_{2} .

因为是二阶，所以每个特征空间都是一维。

现在：

A α_{i} = λ_{i} α_{i} .

利用：

A B = B A,

有：

A (B α_{i}) = B (A α_{i}) = λ_{i} B α_{i} .

因此：

B α_{i}

仍然属于 $A$ 的 $λ_{i}$ 特征空间。

但这个空间只有一维：

E_{λ_{i}} = span {α_{i}} .

所以：

B α_{i} = μ_{i} α_{i} .

因此 $α_{i}$ 同时也是 $B$ 的特征向量。

于是：

B

有两个线性无关特征向量：

α_{1}, α_{2} .

所以：

B 可对角化 .

四十九、推广：同时对角化

如果 $A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值，而且：

A B = B A,

那么 $A$ 每个特征空间都是一维。

上述证明原样推广：

A, B 有同一组特征向量

因此存在同一个 $P$ ，使：

P^{- 1} A P = Λ_{A},

同时：

P^{- 1} B P = Λ_{B} .

也就是：

同时相似对角化 .

五十、张宇“相似理论”中的一道高价值提高题

张宇给出四对二阶实对称矩阵，问：

哪一对可以用同一个可逆矩阵 $P$ 相似对角化？

因为它们本身都是实对称矩阵，所以每个单独都可以正交对角化。

关键不再是：

“各自能否对角化？”

而是：

“能否同时对角化？”

对实对称矩阵有非常好用的结论：

A, B 实对称

且：

A B = B A

时，它们可以同时正交对角化。

所以这种选择题最快的做法通常直接检查：

A B = ? B A .

张宇该题中符合的是 C 组。

五十一、题型 16：相似、等价、合同一定要区分

2022 年真题实际上非常适合把这三种关系一次彻底分清。

1. 等价

B = P A Q

其中 $P, Q$ 都可逆。

本质是：

行变换 + 列变换

核心不变量：

r (A)

同阶矩阵：

A \sim_{等价} B ⟺ r (A) = r (B) .

一般不保持特征值。

2. 相似

B = P^{- 1} A P .

本质：

同一线性变换换基

保持：

特征值
特征多项式
行列式
迹
特征空间结构
可对角化性质

3. 合同

B = P^{T} A P .

主要对应二次型。

它保持的是：

正、负惯性指数

并不一般保持特征值。

这是下一模块“二次型”的核心。

4. 正交相似

若：

Q^{T} Q = E,

则：

Q^{- 1} = Q^{T} .

于是：

Q^{T} A Q

既可以看作正交相似，也可以看作一种特殊合同。

实对称矩阵在模块 7 和模块 8 之间就是靠这里连接起来的。

五十二、题型 17：循环向量基——高区分度大题

2001 年真题非常值得专门学，因为表面上不像“相似”，本质却完全是相似变换。

已知：

x, A x, A^{2} x

线性无关，并且：

A^{3} x = 3 A x - 2 A^{2} x .

取：

P = (x, A x, A^{2} x) .

因为三列线性无关，所以：

P

可逆。

然后：

A P = (A x, A^{2} x, A^{3} x) .

代入：

A^{3} x = 3 A x - 2 A^{2} x .

得到：

A P = (x, A x, A^{2} x) 010001 03 - 2 .

所以：

A P = P B .

其中：

B = 010001 03 - 2 .

因此：

P^{- 1} A P = B

五十三、这种题的真正母模型

如果：

α, A α, \dots, A^{n - 1} α

线性无关，并且：

A^{n} α = c_{0} α + c_{1} A α + \dots + c_{n - 1} A^{n - 1} α,

那么令：

P = (α, A α, \dots, A^{n - 1} α) .

立即：

P^{- 1} A P = 010 ⋮ 0 001 ⋮ 0 \dots \dots \dots ⋱ \dots 000 ⋮ 1 c_{0} c_{1} c_{2} ⋮ c_{n - 1} .

这类矩阵有“移位”结构。

张宇提高题中也再次出现了：

α, A α, A^{2} α

线性无关，并给出：

A^{3} α = 3 A α - 2 A^{2} α .

说明这不是孤立真题，而是非常值得掌握的一类高区分度题。

五十四、2001 真题还能继续秒特征值

由：

A^{3} x = 3 A x - 2 A^{2} x

整理：

A^{3} x + 2 A^{2} x - 3 A x = 0.

于是对应特征多项式为：

λ^{3} + 2 λ^{2} - 3 λ .

分解：

λ (λ - 1) (λ + 3) .

所以特征值直接：

0, 1, - 3 .

这三个不同，因此：

A 必可对角化 .

同时：

∣ A + E ∣ = (0 + 1) (1 + 1) (- 3 + 1) .

所以：

∣ A + E ∣ = - 4 .

同一道题把：

换基
相似
特征值
行列式

全部串起来了。

五十五、题型 18：实对称矩阵 + 一次特殊方向 = 投影法

这实际上是模块 7 非常值得进一步总结的一种统一结构。

若 $q$ 为单位向量，令：

P = q q^{T} .

那么：

P^{2} = P .

设：

A = a E + b P .

那么：

在 $q$ 方向

A q = (a + b) q .

在 $q^{⊥}$

A x = a x .

因此：

spec (A) = {a + b, a, \dots, a}

而且：

A^{n} = (a + b)^{n} P + a^{n} (E - P)

只要：

a \neq = 0, a + b \neq = 0,

还有：

A^{- 1} = \frac{1}{a + b} P + \frac{1}{a} (E - P)

这个模型能统一：

1995 实对称矩阵真题
2012 投影矩阵真题
张宇 $E - \frac{3}{α ^{T} α} α α^{T}$
一大批未来可能的秩一扰动题

五十六、题型 19：零特征值与秩

必须熟练：

dim ker A = n - r (A) .

因此：

0

作为特征值的几何重数为：

n - r (A)

但注意：

这不是说它的代数重数一定等于 $n - r (A)$ 。

只有矩阵可对角化时，每个特征值：

几何重数 = 代数重数

尤其对实对称矩阵一定成立。

五十七、常见高频坑，建议逐条形成条件反射

坑 1：特征值相同就相似

错：

同谱 \neq \Rightarrow 相似

重特征值时比较：

r (A - λ E)

以及必要时：

r [(A - λ E)^{2}] .

坑 2：有重特征值就不能对角化

错。

例如：

E

全部特征值都相同，却已经是对角矩阵。

关键是：

特征向量够不够

坑 3：有 $n$ 个特征值就有 $n$ 个线性无关特征向量

错误。

“按重数计有 $n$ 个特征值”任何 $n$ 阶矩阵都有。

只有：

n 个互不相同特征值

才自动保证 $n$ 个线性无关特征向量。

坑 4：同一特征值只能有一个特征向量

错误。

一个 $m$ 重特征值可能有：

1, 2, \dots, m

个线性无关特征向量。

坑 5：同一特征空间内做线性组合会改变特征值

错误。

如果：

A α_{1} = λ α_{1},

A α_{2} = λ α_{2},

则任意非零：

k_{1} α_{1} + k_{2} α_{2}

仍然属于：

λ .

坑 6：不同特征值特征向量线性组合也是特征向量

一般错误。

坑 7：构造 $P$ 时列顺序无所谓

如果只要求“得到某个对角矩阵”，顺序可以换。

但如果已经指定：

Λ = diag (λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}),

那么：

P = (α_{1}, α_{2}, α_{3})

必须逐列对应：

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3} .

坑 8：实对称矩阵也要判断能不能对角化

不用。

直接：

一定能

问题只在于：

怎么求特征值
怎么构造标准正交特征向量
怎么利用正交性

坑 9：实对称矩阵所有特征向量都互相正交

不准确。

严格地说：

属于不同特征值的特征向量必正交

同一个重特征值内部任取两个特征向量不一定正交。

可以施密特正交化。

坑 10： $A$ 可对角化，所以 $A^{T} = A$

错。

可对角化远弱于实对称。

坑 11： $A^{k} = O$ 就有 $A = O$

一般错。

但若又知道：

A = A^{T},

则正确。

坑 12：高次幂直接乘

模块 7 里看到：

A^{100}

通常意味着：

“应利用特征值或对角化，而不是直接乘 99 次。”

五十八、基于真题趋势，建议重点预测的 5 种新考法

下面这些不是站内原真题，是结合现有真题结构做的预测拓展。

预测 1：秩一幂零矩阵

设：

A = α β^{T} \neq = O,

且：

β^{T} α = 0.

判断 $A$ 是否可对角化。

由于：

A^{2} = (β^{T} α) A = O .

全部特征值均为 0。

若可对角化，则：

A \sim O .

只能有：

A = O .

与条件矛盾。

所以：

A 不可对角化

这把 2009 秩一真题与幂零矩阵知识结合起来。

五十九、预测 2：实对称秩一扰动

设 $A$ 为实对称矩阵：

A = 2 E + 3 u u^{T},

其中：

u^{T} u = 1.

求特征值、 $A^{100}$ 。

在 $u$ 方向：

A u = 5 u .

在 $u^{⊥}$ ：

A x = 2 x .

所以：

5, 2, \dots, 2

为全部特征值。

并且：

A^{100} = 5^{100} u u^{T} + 2^{100} (E - u u^{T})

这种题很可能作为“投影 + 对称 + 高次幂”综合出现。

六十、预测 3：多项式把不可对角化性“抹掉”

设：

A = (1011) .

判断：

(A - E)^{2}

是否可对角化，并判断 $A$ 是否可对角化。

由于：

A - E = (0010),

所以：

(A - E)^{2} = O .

因此：

(A - E)^{2}

可对角化。

但：

A

只有一个线性无关的属于 $1$ 的特征向量，所以不可对角化。

这是 2025 真题最自然的继续命题方向。

六十一、预测 4：同时对角化

设 $A$ 为三阶矩阵，有三个不同特征值，并且：

A B = B A .

证明存在同一可逆矩阵 $P$ ，使：

P^{- 1} A P

和：

P^{- 1} B P

均为对角矩阵。

解题核心只有：

A (B α_{i}) = B (A α_{i}) = λ_{i} B α_{i} .

因此：

B α_{i} \in E_{λ_{i}} (A) .

由于：

dim E_{λ_{i}} = 1,

所以：

B α_{i} = μ_{i} α_{i} .

因此 $A, B$ 有共同特征向量基。

这是 2024 真题很自然的升级。

六十二、预测 5：参数 + 重根 + 秩

假设四阶矩阵的特征值：

1, 2, 2, 2.

要求矩阵可对角化。

那么真正条件不是：

r (A - 2 E) = 2

而是：

dim ker (A - 2 E) = 3.

所以：

4 - r (A - 2 E) = 3.

即：

r (A - 2 E) = 1

一般地：

若 $λ$ 为 $m$ 重特征值：

r (A - λ E) = n - m

这个公式必须熟到不用思考。

六十三、模块 7 最终“母题地图”

可以把整个模块压缩成下面这张解题地图。

看到“ $A \sim B$ ”

想：

B = P^{- 1} A P .

然后用：

f (B) = P^{- 1} f (A) P .

比较：

特征值
迹
行列式
$r (A - λ E)$

看到“是否相似”

先：

特征值 .

若有重根，再：

r (A - λ E) .

还分不出来再：

r [(A - λ E)^{2}] .

看到“是否可对角化”

先看：

实对称？

是：

必可

否则看：

特征值全不同？

是：

必可

否则只检查重根：

r (A - λ E) = n - m

看到“参数 + 可对角化”

第一目标就是：

找重特征值

然后把参数条件转化成：

r (A - λ E) = n - m .

看到

P^{- 1} A P = Λ

立刻想到：

P 的列就是按 Λ 顺序排列的特征向量

看到“实对称”

立刻想到：

Q^{T} A Q = Λ

以及：

A = i \sum λ_{i} q_{i} q_{i}^{T}

再利用：

不同特征值特征向量正交 .

看到“每行和相同”

想到：

(1, 1, \dots, 1)^{T}

是特征向量。

看到

α β^{T}

想到：

(α β^{T})^{2} = (β^{T} α) α β^{T}

和：

tr (α β^{T}) = β^{T} α

看到

\frac{α α ^{T}}{α ^{T} α}

想到：

P^{2} = P

这是投影矩阵。

看到

A^{n}

想到：

A = P Λ P^{- 1}

或者更进一步：

谱投影分解

绝对不要硬乘。

看到

A B = B A

想到：

$B$ 会保持 $A$ 的各个特征子空间。

如果 $A$ 特征值互异，那么每个特征空间都是 1 维，于是马上得到共同特征向量。

看到

α, A α, A^{2} α, \dots

想到：

P = (α, A α, A^{2} α, \dots)

这是天然的新基。

六十四、最后一个模块 7 的复习优先顺序

如果准备考研，建议不要按照教材章节机械刷，而按照下面的题型顺序刷：

第一层必须完全掌握：

2023 真题——判断可对角化
2003 真题——参数 + 二重特征值 + 秩
2020 真题——根据对角阵构造 $P$
2002 真题—— $a E + C$ 型对角化
1995、1997、2004 真题——实对称矩阵反求
2004 年 $n$ 阶常数矩阵——特殊结构对角化
高次幂、递推

这些题掌握以后，模块主体基本就通了。相关真题在当前模块 7 文档里集中分布于上述“相似对角化”和“实对称矩阵”两部分。

第二层用来拉开区分度：

2017：同特征值不一定相似
2018：比较 $r (A - λ E)$ 、 $r [(A - λ E)^{2}]$
2025： $f (A)$ 可对角化与 $A$ 可对角化
2024： $A B = B A$ 与同时对角化
2001：循环向量基
秩一矩阵、投影矩阵

张宇 1000 题中“不能相似对角化”“参数 + 重根”“实对称矩阵 $A^{n}$ ”“投影矩阵”“同时对角化”“递推矩阵”等题，和真题高度同源，比较值得做；李正元练习题中的非零幂零矩阵、实对称矩阵判定等也适合用于补反例意识。

最核心的 6 个公式

如果最后只保留 6 个结论，可选：

B = P^{- 1} A P

A 可对角化 ⟺ A 有 n 个线性无关特征向量

λ 为 m 重根时，可对角化要求 r (A - λ E) = n - m

P = (α_{1}, \dots, α_{n}) ⟹ P^{- 1} A P = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})

A = A^{T} ⟹ A = Q Λ Q^{T} = i \sum λ_{i} q_{i} q_{i}^{T}

以及：

A = P Λ P^{- 1} ⟹ A^{n} = P Λ^{n} P^{- 1}

真正把这六条及上面的几种特殊结构练熟后，模块 7 看似题型很多，实际会收敛到“特征空间维数 + 换基 + 谱分解”这三件事上。这也是这一模块最值得建立的统一认识。

线性代数模块 7：相似与相似对角化

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