线性代数模块 6：特征值与特征向量

本文按本站的实际目录，把 数学真题 → 线性代数 → 模块六：特征值与特征向量 的三部分，以及李正元第五章、张宇 1000 题第五章相关题目结合起来看了。本站本身也明确建议：研究命题规律时应当按照 真题 > 高质量练习题 > 模拟/强化题 > 自拟拓展题 的顺序，所以下文也按这个权重组织，而不是被练习册里的题量带偏。(Any Docs)

这一模块真正要学会的，不是机械展开

$$|\lambda E-A|=0$$

而是建立一个完整的“谱信息转换系统”：

$$\boxed{\text{矩阵结构}⟶\text{特征值}⟶\text{特征子空间}⟶\text{秩、迹、行列式}⟶A^n,f(A),A^{-1},A^{\ast }}$$

近年的趋势尤其明显：直接要求算三阶特征多项式的题越来越不是重点，给子空间、作用关系、矩阵方程、重根、秩等间接条件反推特征值的题更值得重视。

本站模块 6 的真题一共可以归入三大类：

1. 数值型矩阵特征值、特征向量计算；
2. 抽象型矩阵特征值、特征向量转换；
3. 特征值与秩、子空间、矩阵幂、线性变换的综合讨论。(docs.any1.tech)

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一、整个模块必须先彻底打通的知识骨架

1. 特征值最原始的定义

非零向量 $\alpha$ 满足

$$A\alpha =\lambda \alpha$$

则：

$$\lambda$$

叫作 $A$ 的特征值，

$$\alpha \ne 0$$

叫属于 $\lambda$ 的特征向量。

所以所有特征值问题的本质只有一句话：

$$\boxed{A\alpha =\lambda \alpha }$$

很多抽象题根本不应该先算行列式，而应该直接对这句话做运算。

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2. 判定一个数是不是特征值

存在非零解

$$(A-\lambda E)x=0$$

当且仅当

$$|A-\lambda E|=0.$$

等价地：

$$r(A-\lambda E)<n.$$

所以记住三种完全等价的语言：

$$\boxed{\lambda \text{ 是特征值}⟺|A-\lambda E|=0⟺r(A-\lambda E)<n}$$

张宇 1000 题就专门出了：

$\lambda =-1$ 是 $A$ 的特征值的充要条件是什么？

答案就是

$$r(A+E)<n.$$

这个题看似简单，其实是在训练把“特征值语言”转成“齐次方程组语言”。(Any Docs)

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二、两个“重数”是整个模块最容易失分的地方

设

$$f(\lambda )=|\lambda E-A|$$

中

$$(\lambda -{\lambda }_0{)}^k$$

是因子，那么 $k$ 是 ${\lambda }_0$ 的代数重数。

而

$$(A-{\lambda }_{0}E)x=0$$

的基础解系中线性无关向量的个数，即

$$\dim N(A-{\lambda }_{0}E)$$

叫几何重数。

根据秩—零度定理：

$$\dim N(A-{\lambda }_{0}E)=n-r(A-{\lambda }_{0}E).$$

永远满足

$$\boxed{1\le \text{几何重数}\le \text{代数重数}}$$

这个公式后面会反复出现。

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三、特征值最重要的四个整体不变量

若 $n$ 阶矩阵 $A$ 的全部特征值为

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$$

按代数重数计，则：

$$\boxed{\mathrm{tr}(A)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i}$$

以及

$$\boxed{|A|=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i}$$

因此：

$$|A|=0⟺0\text{ 是 }A\text{ 的特征值}.$$

但必须注意：

$$|A|=0$$

只说明 至少有一个零特征值，不能直接说明零特征值的重数。

另一方面，

$$r(A)=r$$

意味着

$$\dim N(A)=n-r.$$

因此 $0$ 特征值至少有

$$n-r$$

个线性无关特征向量，所以它的代数重数至少为

$$n-r.$$

李正元练习题专门考了这一结论。(Any Docs)

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四、第一大高频题型：直接求数值矩阵的特征值、特征向量

考频：★★★★★

这是基础中的基础，但考研真正要求的是：看到结构先利用结构，最后才暴力展开。

标准流程是：

$$|\lambda E-A|=0$$

求出特征值 ${\lambda }_i$，再分别解

$$(A-{\lambda }_{i}E)x=0.$$

但三阶矩阵绝不能一上来就硬展开。

优先观察：

$$\boxed{\text{三角结构}\to \text{分块结构}\to \text{行列和}\to \text{全 1 型}\to \text{明显特征向量}\to \text{再展开}}$$

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真题 1：1989-45

网站真题给出

$$A=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 2\\ 2& -1& -2\\ 2& -2& -1\end{array}\right),$$

先求 $A$ 的特征值，再求

$$E+A^{-1}$$

的特征值。

计算得到

$$|\lambda E-A|=(\lambda -1{)}^2(\lambda +5),$$

所以

$${\lambda }_1=-5,{\lambda }_2={\lambda }_3=1.$$

但第二问千万不要重新算矩阵。

因为

$$A\alpha =\lambda \alpha$$

推出

$$A^{-1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha .$$

于是

$$(E+A^{-1})\alpha =\left(1+\frac{1}{\lambda }\right)\alpha .$$

因此新特征值直接变成

$$1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5},$$

以及

$$1+1=2.$$

最终：

$$\boxed{\frac{4}{5},2,2}$$

这道题其实同时代表了两类题：

$$\boxed{\text{直接求谱}}$$

和

$$\boxed{\text{已知 }A\text{ 的谱，求矩阵函数的谱}}$$

后者比前者重要得多。(Any Docs)

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五、第二大高频题型：矩阵多项式的特征值

考频：★★★★★

这是模块 6 必须形成条件反射的公式。

如果

$$A\alpha =\lambda \alpha ,$$

那么

$$A^2\alpha ={\lambda }^2\alpha ,$$

进一步：

$$A^k\alpha ={\lambda }^k\alpha .$$

所以对于多项式

$$p(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_m{x}^m,$$

有

$$p(A)\alpha =p(\lambda )\alpha .$$

因此：

$$\boxed{A\text{ 的特征值 }\lambda ⟹p(A)\text{ 的特征值 }p(\lambda )}$$

并且原来的特征向量仍然可用。

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必须背熟的谱映射表

若

$$A\alpha =\lambda \alpha ,$$

则

$$(A+cE)\alpha =(\lambda +c)\alpha .$$

所以：

$$A+cE\Rightarrow \lambda +c.$$

又有：

$$cA\Rightarrow c\lambda ,$$ $$A^m\Rightarrow {\lambda }^m.$$

如果 $A$ 可逆：

$$A^{-1}\Rightarrow \frac{1}{\lambda }.$$

于是例如

$$(2E-A{)}^3$$

的对应特征值就是

$$(2-\lambda {)}^3.$$

张宇 1000 题第一题正是在训练这一反射：

若 ${\alpha }_i$ 是 $A$ 的特征向量，则它仍是

$$2E-A$$

的特征向量，对应特征值从 ${\lambda }_i$ 变成

$$2-{\lambda }_i.$$

(Any Docs)

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六、矩阵方程一出现，优先把它作用在特征向量上

考频：★★★★☆

这是非常重要的万能技巧。

假如：

$$A^2+5A=O.$$

设

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

两边作用于 $\alpha$：

$$(A^2+5A)\alpha =0.$$

得到

$$({\lambda }^2+5\lambda )\alpha =0.$$

由于

$$\alpha \ne 0,$$

所以

$${\lambda }^2+5\lambda =0.$$

即

$$\boxed{\lambda =0\text{ 或 }-5}$$

这类题千万不要去“解矩阵”。

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李正元练习题代表题

题设：

$A$ 是秩为 2 的三阶实对称矩阵，而且

$$A^2+5A=O.$$

由上面得到所有特征值只能是

$$0,-5.$$

又因为

$$r(A)=2,$$

所以

$$\dim N(A)=1.$$

因此 $0$ 的几何重数为 1。

而 $A$ 是实对称矩阵，一定可正交相似对角化，因此几何重数等于代数重数。

于是零特征值只能出现一次，另外两个只能是 $-5$：

$$\boxed{0,-5,-5}$$

这道练习题质量很高，因为它把

$$\boxed{\text{矩阵方程}+\text{秩}+\text{实对称}}$$

三部分一次串起来了。(Any Docs)

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七、第三大高频题型：逆矩阵与伴随矩阵的特征值

考频：★★★★★

这是考研线代最经典的抽象题型之一。

若

$$A\alpha =\lambda \alpha$$

且 $A$ 可逆，则

$$\lambda \ne 0.$$

左乘 $A^{-1}$：

$$A^{-1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha .$$

所以：

$$\boxed{A^{-1}\text{ 的对应特征值}=\frac{1}{\lambda }}$$

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伴随矩阵

可逆时：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}.$$

因此

$$A^{\ast }\alpha =|A|A^{-1}\alpha =\frac{|A|}{\lambda }\alpha .$$

所以：

$$\boxed{A^{\ast }\text{ 的对应特征值}=\frac{|A|}{\lambda }}$$

而且特征向量仍然是 $\alpha$。

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真题 2：1991-4

已知 $\lambda$ 是可逆矩阵 $A$ 的一个特征值，问 $A^{\ast }$ 的一个特征值。

直接：

$$\boxed{\frac{|A|}{\lambda }}$$

这题后来被各种练习题反复变形。(Any Docs)

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真题 3：1998-1

如果 $A$ 可逆，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，问

$$(A^{\ast }{)}^2+E$$

的一个特征值。

一步一步映射：

$$\lambda \to \frac{|A|}{\lambda }\to \frac{|A{|}^2}{{\lambda }^2}\to 1+\frac{|A{|}^2}{{\lambda }^2}.$$

所以答案：

$$\boxed{1+\frac{|A{|}^2}{{\lambda }^2}}$$

(Any Docs)

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八、伴随矩阵综合大题：核心不是算 $A^{\ast }$

考频：★★★★☆

真题 4：1999-13

网站中这题给了：

$$|A|=-1,$$

同时给出 $A^{\ast }$ 的一个特征向量

$$\alpha =\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 1\end{array}\right).$$

关键操作不是计算伴随矩阵。

因为：

$$A^{\ast }\alpha ={\lambda }_0\alpha .$$

左乘 $A$：

$$A{A}^{\ast }\alpha ={\lambda }_{0}A\alpha .$$

利用

$$A{A}^{\ast }=|A|E=-E,$$

得到

$$-\alpha ={\lambda }_{0}A\alpha .$$

即：

$$A\alpha =-\frac{1}{{\lambda }_0}\alpha .$$

于是立刻发现：

$$\boxed{A^{\ast }\text{ 的特征向量也是 }A\text{ 的特征向量}}$$

然后再用向量分量列方程求参数。

网站最终得到：

$$a=2,b=-3,c=2,{\lambda }_0=1.$$

(Any Docs)

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这一类题的固定路线

以后看到：

$A^{\ast }$ 的特征向量……

优先写：

$$A^{\ast }\alpha =\mu \alpha .$$

再乘 $A$：

$$A{A}^{\ast }\alpha =|A|\alpha =\mu A\alpha .$$

因此：

$$A\alpha =\frac{|A|}{\mu }\alpha .$$

不要真的去求整个伴随矩阵。

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九、第四大题型：给特征向量反求参数

考频：★★★★☆

基本型：

已知

$$\alpha$$

是矩阵 $A$ 的特征向量。

立刻写：

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

然后看各分量成比例。

这通常比：

$$|A-\lambda E|=0$$

快得多。

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1991-5 真题

题目给

$$\alpha =(1,k,1{)}^T$$

是 $A^{-1}$ 的特征向量。

关键首先想到：

$$A^{-1}$$

与 $A$ 对应同一个特征向量。

因此只需要代入：

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

网站最后得到：

$$\boxed{k=1\text{ 或 }-2}$$

(Any Docs)

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十、第五大题型：全 1 矩阵、常行和矩阵、特殊结构矩阵

考频：★★★★☆

这些题绝对不要展开特征行列式。

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1. 全 1 矩阵

设

$$J_n=\left(\begin{array}{ccc}1& \cdots & 1\\ ⋮& & ⋮\\ 1& \cdots & 1\end{array}\right).$$

取

$$e=\left(\begin{array}{c}1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right).$$

显然：

$$J_{n}e=ne.$$

所以：

$$n$$

是特征值。

又因为：

$$r(J_n)=1,$$

因此：

$$\dim N(J_n)=n-1.$$

于是另外 $n-1$ 个特征值全为零。

所以：

$$\boxed{J_n:n,0,\dots ,0}$$

这正是 1992 和 1999 真题连续考察过的结构。(Any Docs)

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十一、一个非常重要的推广

若：

$$A=aE+b{J}_n,$$

那么在

$$e=(1,\dots ,1{)}^T$$

方向：

$$Ae=(a+nb)e.$$

而对所有满足

$$x_1+\cdots +x_n=0$$

的向量：

$$J_{n}x=0,$$

于是：

$$Ax=ax.$$

因此：

$$\boxed{A=aE+b{J}_n}$$

的特征值为

$$\boxed{a+nb}$$

一次，以及

$$\boxed{a}$$

共 $n-1$ 次。

这是非常值得直接记住的结构。

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李正元代表题

矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 2\\ 2& 1& 2\\ 2& 2& 1\end{array}\right)$$

可以写成

$$A=2J_3-E.$$

所以：

$$5$$

是

$$(1,1,1{)}^T$$

对应的特征值。

在平面

$$x_1+x_2+x_3=0$$

上：

$$Ax=-x.$$

因此：

$$A$$

的特征值立即得到：

$$5,-1,-1.$$

再求 $A^{\ast }$，直接用

$$\frac{|A|}{\lambda }$$

变换即可。

练习题最后得到 $A^{\ast }$ 的特征值：

$$\boxed{1,-5,-5}$$

完全不需要暴力算伴随矩阵。(Any Docs)

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十二、第六大高频题型：秩一矩阵

考频：★★★★☆

这是非常值得专门建立模板的一类。

设：

$$A=u{v}^T.$$

首先：

$$r(A)\le 1.$$

再看 $u$：

$$Au=u{v}^{T}u=(v^{T}u)u.$$

因此，只要

$$v^{T}u\ne 0,$$

则：

$$u$$

就是特征向量，对应特征值：

$$\boxed{v^{T}u}.$$

由于秩只有 1，其余特征值全部为 0。

所以：

$$\boxed{u{v}^T\text{ 的唯一可能非零特征值是 }{v}^{T}u}$$

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真题 5：2009-1

已知：

$${\alpha }^T\beta =2.$$

求：

$$\beta {\alpha }^T$$

的非零特征值。

直接作用在 $\beta$ 上：

$$(\beta {\alpha }^T)\beta =\beta ({\alpha }^T\beta )=2\beta .$$

所以：

$$2$$

是特征值。

又因为：

$$r(\beta {\alpha }^T)=1,$$

所以它就是唯一非零特征值：

$$\boxed{2}$$

这类题根本不需要行列式。(Any Docs)

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十三、秩一矩阵最重要的特殊情形：内积为 0

真题 6：1998-34

给出：

$$A=\alpha {\beta }^T,{\alpha }^T\beta =0.$$

先算：

$$A^2=\alpha {\beta }^T\alpha {\beta }^T.$$

由于：

$${\beta }^T\alpha ={\alpha }^T\beta =0,$$

所以：

$$\boxed{A^2=O}$$

于是若

$$Ax=\lambda x,$$

则：

$$A^{2}x={\lambda }^{2}x=0.$$

因为 $x\ne 0$，所以：

$$\lambda =0.$$

因此：

$$\boxed{\text{全部特征值均为 }0}$$

但注意：

$$A\ne O.$$

所以这是一个典型的：

$$\boxed{\text{非零矩阵却全部特征值为零}}$$

的例子。

而 $\lambda =0$ 的特征向量满足：

$$Ax=0.$$

即：

$$\alpha ({\beta }^{T}x)=0.$$

因为

$$\alpha \ne 0,$$

所以：

$$\boxed{{\beta }^{T}x=0}$$

即全部非零解都是特征向量。(Any Docs)

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十四、这道题背后必须掌握：幂零矩阵

如果：

$$A^m=O,$$

那么对任意特征值：

$${\lambda }^m=0.$$

于是：

$$\boxed{\lambda =0}$$

所以：

$$\boxed{A^m=O\Rightarrow A\text{ 的全部特征值都是 }0}$$

如果进一步：

$$A\ne O,$$

则 $A$ 不可能相似对角化。

因为如果能对角化：

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}(0,\dots ,0)=O,$$

那么必然：

$$A=O,$$

矛盾。

张宇和李正元题库都对这一点进行了强化。(Any Docs)

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十五、第七大题型：不同特征值对应的特征向量线性无关

考频：★★★★☆

最基础结论：

如果：

$${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_k$$

互不相同，那么对应的特征向量：

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_k$$

必线性无关。

因此：

$$\boxed{n\text{ 阶矩阵有 }n\text{ 个互异特征值}\Rightarrow n\text{ 个线性无关特征向量}}$$

也就是说它一定可以相似对角化。

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十六、为什么不同特征值的特征向量之和一般不是特征向量？

这是早年真题反复考过的证明题。

设：

$$A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1,$$ $$A{\alpha }_2={\lambda }_2{\alpha }_2,$$

且

$${\lambda }_1\ne {\lambda }_2.$$

假如：

$${\alpha }_1+{\alpha }_2$$

也是特征向量，对应 $\mu$，则：

$$A({\alpha }_1+{\alpha }_2)=\mu ({\alpha }_1+{\alpha }_2).$$

另一方面：

$$A({\alpha }_1+{\alpha }_2)={\lambda }_1{\alpha }_1+{\lambda }_2{\alpha }_2.$$

因此：

$$({\lambda }_1-\mu ){\alpha }_1+({\lambda }_2-\mu ){\alpha }_2=0.$$

由于二者线性无关：

$${\lambda }_1=\mu ,{\lambda }_2=\mu .$$

得到：

$${\lambda }_1={\lambda }_2,$$

矛盾。

所以：

$$\boxed{{\alpha }_1+{\alpha }_2\text{ 一般不是特征向量}}$$

1987、1990 真题都直接考过这一证明。(Any Docs)

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十七、但同一特征值的特征向量可以相加

如果：

$$A{\alpha }_1=\lambda {\alpha }_1,$$ $$A{\alpha }_2=\lambda {\alpha }_2,$$

那么：

$$A(c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2)=\lambda (c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2).$$

只要：

$$c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2\ne 0,$$

它仍然是 $\lambda$ 的特征向量。

因此属于同一个 $\lambda$ 的全部特征向量连同零向量组成一个向量空间：

$$\boxed{V_{\lambda }=N(A-\lambda E)}$$

这就是特征子空间。

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十八、第八大核心题型：重特征值 + 线性无关特征向量个数

考频：★★★★★

这实际上是模块 6 和模块 7 之间最重要的桥梁。

如果 ${\lambda }_0$ 是 $k$ 重特征值，那么最多能够贡献 $k$ 个线性无关特征向量。

真正需要计算：

$$\dim N(A-{\lambda }_{0}E)=n-r(A-{\lambda }_{0}E).$$

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真题 7：1994-45

网站题目给一个三阶含参数矩阵，其特征多项式为：

$$(\lambda -1{)}^2(\lambda +1).$$

因此：

$$\lambda =1$$

是二重特征值，

$$\lambda =-1$$

是单特征值。

题目要求：

$A$ 有三个线性无关的特征向量，求参数条件。

单根 $-1$ 自动贡献一个。

因此关键只有：

$$\lambda =1$$

必须贡献两个线性无关特征向量。

也就是：

$$\dim N(A-E)=2.$$

因为是三阶矩阵：

$$3-r(A-E)=2.$$

所以：

$$\boxed{r(A-E)=1}$$

再通过参数使矩阵秩降为 1。

网站最后得到：

$$\boxed{x+y=0}$$

(Any Docs)

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十九、这类含参数题的万能模板

假设特征多项式已经得到：

$$(\lambda -{\lambda }_1{)}^2(\lambda -{\lambda }_2).$$

题目说：

有三个线性无关特征向量。

立即转成：

$$\dim N(A-{\lambda }_{1}E)=2.$$

进一步：

$$\boxed{r(A-{\lambda }_{1}E)=1}$$

然后再去求参数。

而不是重新找三组特征向量。

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张宇、李正元对此大量强化

例如张宇题库中某三重特征值 $-1$，要求“对应两个线性无关特征向量”，直接转化成：

$$\dim N(A+E)=2$$

所以：

$$r(A+E)=1.$$

最终反推出参数。

李正元也有几乎同构的题：

矩阵只有三重特征值

$$-1,$$

要求有两个线性无关特征向量，同样通过

$$r(A+E)=1$$

求参数。(Any Docs)

因此这不是某一道题的方法，而是整个题型的统一入口。

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二十、第九大题型：给 $A$ 对一组基的作用，反求特征值

考频：★★★★★，尤其值得重视近年命题

这一类题很多同学第一眼会觉得“没有矩阵怎么求特征值？”

其实题目已经把矩阵给出了，只不过是在另一组基下。

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真题 8：2018-2

给：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

线性无关，而且知道：

$$A{\alpha }_1=2{\alpha }_1+{\alpha }_2+{\alpha }_3,$$ $$A{\alpha }_2={\alpha }_2+2{\alpha }_3,$$ $$A{\alpha }_3=-{\alpha }_2+{\alpha }_3.$$

因为三个向量线性无关，所以：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$$

构成一组基。

按列读取坐标：

$$B=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 1& -1\\ 1& 2& 1\end{array}\right)$$

（网站页面因公式布局展示形式略有差异，但本质就是把三个像的坐标作为三列）。

这个 $B$ 就是线性变换 $A$ 在这组基下的矩阵。

因此：

$$B=P^{-1}AP.$$

所以：

$$A\sim B.$$

两者特征值相同。

网站计算最后只有一个实特征值：

$$\boxed{2}$$

其余两个为共轭复根。(Any Docs)

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二十一、这类题最重要的“按列原则”

如果：

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n),$$

且

$$A{\alpha }_j=b_{1j}{\alpha }_1+\cdots +b_{nj}{\alpha }_n,$$

那么：

$$P^{-1}AP=B,$$

其中 $B$ 第 $j$ 列就是：

$$\left(\begin{array}{c}{b}_{1j}\\ ⋮\\ b_{nj}\end{array}\right).$$

所以记：

$$\boxed{A{\alpha }_j\text{ 的坐标放第 }j\text{ 列}}$$

这是线代非常高频的“按列规则”。

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二十二、为什么普通行变换不能求特征值？

这是超级常见的坑。

一般：

$$A\stackrel{\text{行变换}}{\to }B$$

不能推出 $A,B$ 有相同特征值。

因为行变换是：

$$B=PA,$$

这不是相似变换。

只有：

$$\boxed{B=P^{-1}AP}$$

才能保证相同特征值。

张宇 1000 题特意出了一个很好的强化题：

先进行一次列变换，相当于右乘 $P$；

再做匹配的逆行变换，相当于左乘

$$P^{-1}.$$

最终得到：

$$P^{-1}AP.$$

所以整个操作实际上构成了相似变换，此时才保持特征值。(Any Docs)

这题很有考研价值。

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二十三、第十大题型：特征值与秩

考频：★★★★☆

真题 9：2008-4

三阶矩阵 $A$ 的三个特征值互不相同，并且：

$$|A|=0.$$

因为：

$$|A|={\lambda }_1{\lambda }_2{\lambda }_3=0,$$

所以其中一个特征值为 0。

又由于三者互不相同，所以 0 只出现一次。

另外两个均非零。

于是 $A$ 有三个互异特征值，一定可对角化：

$$A\sim \mathrm{diag}(0,{\lambda }_2,{\lambda }_3).$$

因此：

$$\boxed{r(A)=2}$$

(Any Docs)

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二十四、一个必须避免的错误结论

不要随便写：

$$r(A)=\text{非零特征值个数}.$$

这对一般矩阵是不成立的。

例如非零幂零矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$$

只有特征值：

$$0,0,$$

但：

$$r(A)=1.$$

只有在 $A$ 可对角化时，才能把秩理解为其对角矩阵中非零特征值的数量。

这个区分极其重要。

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二十五、第十一大题型：子空间直接给出整个特征空间

考频：★★★★★，近年特别重要

真题 10：2024-1

题意：

三阶矩阵 $A$ 秩为 2，

有非零向量 $\alpha$ 满足：

$$A\alpha =0.$$

又对所有满足：

$${\beta }^T\alpha =0$$

的向量 $\beta$，都有：

$$A\beta =\beta .$$

第一条立即说明：

$$\alpha$$

是属于特征值 $0$ 的特征向量。

第二条更重要。

集合：

$${\alpha }^{\perp }=\{\beta :{\beta }^T\alpha =0\}$$

在三维空间中是二维子空间。

而其中每个非零向量都满足：

$$A\beta =1\cdot \beta .$$

所以整个二维平面都是：

$$\lambda =1$$

的特征子空间。

因此特征值已经全部确定：

$$\boxed{0,1,1}$$

所以：

$$A^3$$

的特征值为：

$$0,1,1.$$

于是：

$$\mathrm{tr}(A^3)=0+1+1=\boxed{2}.$$

这道 2024 真题非常典型地体现了新趋势：

$$\boxed{\text{不要算矩阵}\to \text{识别子空间}\to \text{读出特征值}}$$

(Any Docs)

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二十六、第十二大题型：用特征值符号判断参数

考频：★★★★☆，2025 真题值得高度关注

真题 11：2025-2

矩阵为分块形式：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 0\\ 2& a& 0\\ 0& 0& b\end{array}\right).$$

要求它恰有一个正特征值和两个负特征值。

把左上块记为：

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& a\end{array}\right).$$

因为 $B$ 是实对称矩阵，所以两个特征值都为实数。

它们的积：

$${\lambda }_1{\lambda }_2=|B|=a-4.$$

如果：

$$a<4,$$

则

$${\lambda }_1{\lambda }_2<0.$$

所以两个特征值必异号：

$$\text{一正一负}.$$

第三个特征值就是：

$$b.$$

题目要总共“一正两负”，所以必须：

$$b<0.$$

最终：

$$\boxed{a<4,b<0}$$

(Any Docs)

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二十七、这道 2025 真题背后真正应该学的东西

对于二阶实矩阵，如果已知两个特征值是实数：

$${\lambda }_1+{\lambda }_2=\mathrm{tr}(A),$$ $${\lambda }_1{\lambda }_2=|A|.$$

因此：

如果

$$|A|<0,$$

则：

$$\boxed{{\lambda }_1,{\lambda }_2\text{ 异号}}$$

如果

$$|A|>0$$

且

$$\mathrm{tr}(A)>0,$$

则二者同号且和为正，因此：

$$\boxed{\text{全正}}$$

如果：

$$|A|>0,\mathrm{tr}(A)<0,$$

则：

$$\boxed{\text{全负}}$$

在实对称二阶块中，这是非常快的符号判定法。

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二十八、第十三大题型：实对称矩阵

考频：★★★★★

模块 6 后半部分与模块 8 二次型都会反复用到。

实对称矩阵：

$$A^T=A$$

有三件必须秒反应的性质：

$$\boxed{\text{全部特征值都是实数}}$$ $$\boxed{\text{不同特征值的特征向量正交}}$$ $$\boxed{\text{一定可以正交相似对角化}}$$

也就是说存在正交矩阵 $Q$：

$$Q^{T}AQ=\Lambda .$$

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二十九、利用正交性直接补特征向量

李正元练习题给：

三阶实对称矩阵特征值为

$$0,1,2,$$

又给出了属于 $0$、$1$ 的两个特征向量。

要求属于 $2$ 的特征向量。

根本不用知道矩阵 $A$。

设未知向量：

$$x=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right).$$

只需要让它同时与前两个特征向量正交即可。

最后网站得到可取：

$$\boxed{(1,0,-1{)}^T}$$

(Any Docs)

这类题一旦看到：

实对称 + 已知不同特征值的特征向量

优先想到的不是：

$$(A-\lambda E)x=0,$$

而是：

$$\boxed{\text{正交}}$$

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三十、第十四大题型：正交矩阵的实特征值

1990-5 真题

如果：

$$A^{T}A=E,$$

那么 $A$ 是正交矩阵。

假设：

$$A\alpha =\lambda \alpha$$

且 $\lambda ,\alpha$ 都是实的。

正交变换保持长度：

$$\Vert A\alpha \Vert =\Vert \alpha \Vert .$$

但另一方面：

$$\Vert A\alpha \Vert =\Vert \lambda \alpha \Vert =|\lambda |\Vert \alpha \Vert .$$

因为：

$$\alpha \ne 0,$$

所以：

$$\boxed{|\lambda |=1}$$

实特征值只能为：

$$\boxed{\lambda =\pm 1}$$

这是典型的“矩阵性质 → 特征值性质”证明题。(Any Docs)

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三十一、第十五大题型：利用特征向量分解求 $A^n$

考频：★★★★☆

这是综合题里非常实用的技术。

如果：

$$\beta =c_1{\xi }_1+\cdots +c_k{\xi }_k,$$

且：

$$A{\xi }_i={\lambda }_i{\xi }_i,$$

则：

$$A^n\beta =c_1{\lambda }_1^n{\xi }_1+\cdots +c_k{\lambda }_k^n{\xi }_k.$$

所以：

$$\boxed{\text{先把向量按特征方向分解，再逐项乘 }{\lambda }_i^n}$$

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真题 12：1992-12

给：

$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=3$$

及对应特征向量 ${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$，还有向量 $\beta$。

网站先解出：

$$\beta =2{\xi }_1-2{\xi }_2+{\xi }_3.$$

于是：

$$A^n\beta =2A^n{\xi }_1-2A^n{\xi }_2+A^n{\xi }_3.$$

即：

$$\boxed{A^n\beta =2{\xi }_1-2^{n+1}{\xi }_2+3^n{\xi }_3}$$

(Any Docs)

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三十二、递推数列实际上也可以转化成这一题型

张宇 1000 题有一个很好的拓展：

$$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=M\left(\begin{array}{c}{x}_{n-1}\\ y_{n-1}\end{array}\right).$$

于是：

$$\left(\begin{array}{c}{x}_n\\ y_n\end{array}\right)=M^n\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right).$$

然后把初始向量分解到 $M$ 的特征向量方向上。

本质仍然是：

$$\boxed{\text{特征分解求矩阵高次幂}}$$

网站中例题甚至直接要求 $x_{100},y_{100}$。(Any Docs)

这种“线性递推 + 特征值”非常适合成为未来综合小题。

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三十三、第十六大题型：迹与矩阵幂

如果：

$$A$$

的特征值为：

$${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n,$$

那么：

$$A^m$$

的特征值就是：

$${\lambda }_1^m,\dots ,{\lambda }_n^m.$$

因此：

$$\boxed{\mathrm{tr}(A^m)=\sum _{i=1}^n{\lambda }_i^m}$$

这正是 2024 真题快速算：

$$\mathrm{tr}(A^3)$$

的理论依据。

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三十四、第十七大题型：重根条件

考频：★★★☆☆，但 2025 真题后应提高重视程度

如果题目说：

${\lambda }_0$ 是特征多项式的重根。

设：

$$f(\lambda )=|\lambda E-A|.$$

那么：

$$\boxed{f({\lambda }_0)=0}$$

而且：

$$\boxed{f^{\prime }({\lambda }_0)=0}$$

如果是至少三重根，还进一步有：

$$f^{\prime \prime }({\lambda }_0)=0.$$

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真题 13：2025-1

2025 真题给一个含参数三阶矩阵，给出：

$$1$$

是其特征多项式的重根。

网站整理出的特征多项式包含因子：

$$(\lambda -1).$$

因为 $1$ 本来已经是根，所以“重根”增加的条件就是：

$$f^{\prime }(1)=0.$$

最终得到：

$$\boxed{a=3}$$

此时特征多项式变成：

$$\boxed{f(\lambda )=(\lambda -1{)}^3}$$

第二问又进一步出现：

$$A\alpha =\alpha +\beta ,$$ $$A^2\alpha =\alpha +2\beta .$$

网站采用：

$$N=A-E$$

后研究 $N$ 的作用关系，并发现其幂零结构，从而大幅简化。(Any Docs)

这道题非常重要，因为它已经不再是传统的：

算特征值、特征向量

而是在考：

$$\boxed{\text{重根}+\text{矩阵多项式}+\text{线性变换作用关系}}$$

这很可能代表今后综合化方向。

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三十五、第十八大题型：矩阵 $A^T$ 的特征值与特征向量

一个极容易混淆的知识点。

因为：

$$|\lambda E-A^T|=|(\lambda E-A{)}^T|=|\lambda E-A|,$$

所以：

$$\boxed{A^T\text{ 与 }A\text{ 有相同特征值}}$$

但是：

$$\boxed{A\text{ 与 }{A}^T\text{ 一般没有相同特征向量}}$$

李正元专门出了一个选择题问：

已知 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量，哪个矩阵不一定仍以 $\alpha$ 为特征向量？

答案：

$$\boxed{A^T}$$

而：

$$A+cE,p(A)$$

等都仍保留这个特征方向。(Any Docs)

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三十六、一个很值得拓展的高级结论：$\beta ,A\beta ,A^2\beta$ 的线性无关

张宇 1000 题有一道质量很高的证明题。

已知三阶 $A$ 有三个互不相同特征值：

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,$$

对应：

$${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3.$$

令：

$$\beta ={\xi }_1+{\xi }_2+{\xi }_3.$$

证明：

$$\beta ,A\beta ,A^2\beta$$

线性无关。

假设：

$$c_0\beta +c_{1}A\beta +c_2{A}^2\beta =0.$$

展开：

$$\sum _{i=1}^3(c_0+c_1{\lambda }_i+c_2{\lambda }_i^2){\xi }_i=0.$$

由于三个 ${\xi }_i$ 线性无关：

$$c_0+c_1{\lambda }_i+c_2{\lambda }_i^2=0,i=1,2,3.$$

令：

$$p(x)=c_0+c_{1}x+c_2{x}^2.$$

这个二次多项式居然有三个互异根：

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3.$$

只能说明：

$$p(x)\equiv 0.$$

于是：

$$c_0=c_1=c_2=0.$$

所以：

$$\boxed{\beta ,A\beta ,A^2\beta \text{ 线性无关}}$$

(Any Docs)

这背后其实是非常重要的“特征值 + 多项式”思想，可以预测以后继续与向量组线性无关结合命题。

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三十七、模块 6 最值得建立的“万能解题入口”

以后碰到特征值题，建议不要机械算，先按下面的顺序检查。

第一层：有没有现成特征向量？

例如：

$$A(1,1,\dots ,1{)}^T$$

是否特别简单？

有没有：

$$A\alpha =\lambda \alpha$$

直接给出来？

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第二层：有没有矩阵方程？

例如：

$$A^3-4A=O.$$

马上得到：

$${\lambda }^3-4\lambda =0.$$

即：

$$\lambda \in \{-2,0,2\}.$$

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第三层：有没有秩？

看到：

$$r(A)=r$$

马上想到：

$$\dim N(A)=n-r.$$

也就是 $0$ 特征值至少有：

$$n-r$$

个线性无关特征向量。

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第四层：有没有迹和行列式？

马上想到：

$$\sum {\lambda }_i=\mathrm{tr}(A),$$ $$\prod {\lambda }_i=|A|.$$

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第五层：有没有实对称？

立刻开启三个工具：

$$\text{特征值全实}$$ $$\text{不同特征值特征向量正交}$$ $$\text{必可对角化}$$

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第六层：有没有 $A^{-1},A^{\ast },A^m,p(A)$？

不要重新计算。

直接映射：

$$\lambda \to \frac{1}{\lambda },$$ $$\lambda \to \frac{|A|}{\lambda },$$ $$\lambda \to {\lambda }^m,$$ $$\lambda \to p(\lambda ).$$

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第七层：有没有“几个线性无关特征向量”？

马上想到：

$$\dim N(A-\lambda E)=n-r(A-\lambda E).$$

然后用重数卡维数。

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第八层：有没有“给出 $A{\alpha }_i$”？

把：

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$$

当作一组新基。

根据作用关系按列写出矩阵。

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三十八、易错点总清单

这一模块真正丢分，通常不是算不出来，而是概念混淆。

第一，零向量永远不是特征向量。

$$\boxed{\alpha \ne 0}$$

不能漏。

第二：

$$|A|=0$$

只能推出 $0$ 是特征值，不能直接确定它的重数。

第三，不同特征值对应的特征向量线性无关，但同一特征值对应的多个特征向量未必线性无关。

第四：

$$\text{代数重数}\ne \text{几何重数}$$

一般只能写：

$$\text{几何重数}\le \text{代数重数}.$$

第五，普通行变换不保持特征值。

只有：

$$P^{-1}AP$$

这种相似变换保持。

第六：

$$A$$

与

$$A^T$$

有相同特征值，但特征向量一般不同。

第七：

$$f(A)$$

的特征值来自 $f(\lambda )$，但不同的 $\lambda$ 可能被映射成同一个值。

例如：

$$f(x)=x^2,$$

则：

$$1,-1$$

都会变成：

$$1.$$

所以新矩阵中某个特征值的重数可能合并。

第八，全部特征值为零，并不能推出：

$$A=O.$$

非零幂零矩阵就是反例。

第九：

$$r(A)$$

一般不能简单等于“非零特征值数量”。

只有在可对角化等额外条件下才可以这么读。

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三十九、根据真题，建议这样划分考频

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四十、值得注意的是最值得做透的真题组合

如果的目标是“少做但做透”，模块 6 最建议反复复盘下面这些：

1989-45：直接求谱 + $A^{-1}$ 的谱变换。(Any Docs)

1994-45：重特征值 + 几何重数 + 秩。(Any Docs)

1998-34：秩一矩阵 + 幂零。(Any Docs)

1999-13：伴随矩阵特征向量反推原矩阵。(Any Docs)

2009-1：秩一矩阵唯一非零特征值。(Any Docs)

2018-2：给线性变换作用关系，在新基下构造矩阵。(Any Docs)

2024-1：子空间整体成为特征空间。(Any Docs)

2025-2：用行列式、迹判断特征值符号。(Any Docs)

1992-12：特征向量分解求 $A^n\beta$。(Any Docs)

2025-1：特征多项式重根 + $A-E$ 的结构。(Any Docs)

把这十类真正学会，模块 6 的主要真题变化基本都能覆盖。

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四十一、结合练习题预测的新考法 1：多项式 + 秩 + 实对称

这是值得注意的是很值得防的一种组合。

自拟预测题

设三阶实对称矩阵 $A$ 满足

$$(A-E)(A-2E)=O,$$

并且：

$$r(A-E)=1.$$

求 $A$ 的三个特征值，并求：

$$\mathrm{tr}(A^5).$$

解

设：

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

则：

$$(\lambda -1)(\lambda -2)=0.$$

所以：

$$\lambda \in \{1,2\}.$$

又：

$$r(A-E)=1,$$

所以：

$$\dim N(A-E)=3-1=2.$$

于是 $\lambda =1$ 至少有两个线性无关特征向量。

因为 $A$ 为实对称矩阵，可对角化，所以它的三个特征值只能是：

$$\boxed{1,1,2}$$

于是：

$$A^5$$

的特征值：

$$1,1,32.$$

因此：

$$\boxed{\mathrm{tr}(A^5)=34}$$

这就是典型的：

$$\boxed{\text{矩阵多项式}+\text{秩}+\text{实对称}+\text{迹}}$$

四知识点综合。

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四十二、预测的新考法 2：秩一扰动

设：

$$u\ne 0,$$

定义：

$$A=E-\frac{3}{u^{T}u}u{u}^T.$$

求 $A$ 的全部特征值。

沿 $u$ 方向：

$$Au=u-\frac{3}{u^{T}u}u(u^{T}u)=-2u.$$

所以：

$$-2$$

是特征值。

如果：

$$x^{T}u=0,$$

则：

$$u{u}^{T}x=u(u^{T}x)=0.$$

于是：

$$Ax=x.$$

所以整个 $u^{\perp }$ 都是特征值 $1$ 的特征空间。

对于 $n$ 阶情形：

$$\boxed{-2,\underset{n-1}{\underbrace{1,\dots ,1}}}$$

这种题本质上就是网站张宇题库“秩一矩阵 + 投影矩阵”题型的自然升级。(Any Docs)

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四十三、预测的新考法 3：矩阵多项式让不同特征值“合并”

设三阶矩阵 $A$ 有三个互异特征值：

$$-1,0,2.$$

令：

$$B=A^2-A.$$

求 $B$ 的特征值。

定义：

$$p(x)=x^2-x.$$

于是：

$$p(-1)=2,$$ $$p(0)=0,$$ $$p(2)=2.$$

所以：

$$\boxed{B\text{ 的特征值为 }2,0,2}$$

注意：

原来三个互不相同的特征值，经过 $p$ 后两个合并了。

这是很好的陷阱题。

李正元题库已有非常接近的：

$$B=A^2-A-2E$$

型题目，并利用 $A$ 的三个互异特征向量判断 $B$ 仍有足够多的线性无关特征向量。(Any Docs)

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四十四、最后压缩成真正做题时的“一页算法”

遇到模块 6 的题，建议自动执行以下流程：

$$\boxed{A\alpha =\lambda \alpha }$$

如果有矩阵方程：

$$p(A)=O$$

就写：

$$p(\lambda )=0.$$

如果有：

$$A^{-1}$$

就写：

$$\lambda \to \frac{1}{\lambda }.$$

如果有：

$$A^{\ast }$$

且 $A$ 可逆：

$$\lambda \to \frac{|A|}{\lambda }.$$

如果有：

$$A^n$$

就写：

$$\lambda \to {\lambda }^n.$$

如果有：

$$f(A)$$

就写：

$$\lambda \to f(\lambda ).$$

如果有：

$$r(A)$$

就写：

$$\dim N(A)=n-r(A).$$

如果有重特征值 ${\lambda }_0$：

$$\dim V_{{\lambda }_0}=n-r(A-{\lambda }_{0}E).$$

如果说有足够多线性无关特征向量：

$$\boxed{\text{几何重数}=\text{代数重数}}$$

如果是实对称：

$$\boxed{\text{全实}+\text{正交}+\text{可对角化}}$$

如果是：

$$u{v}^T,$$

就试：

$$(u{v}^T)u=(v^{T}u)u.$$

如果是全 1 或等行和：

$$\boxed{(1,\dots ,1{)}^T}$$

优先试。

如果给：

$$A{\alpha }_i$$

的线性组合关系：

$$\boxed{\text{把 }{\alpha }_i\text{ 当基，按列写矩阵}}$$

如果要求：

$$A^n\beta ,$$

先做：

$$\beta =\sum c_i{\xi }_i,$$

再：

$$A^n\beta =\sum c_i{\lambda }_i^n{\xi }_i.$$

如果说 ${\lambda }_0$ 是特征多项式重根：

$$\boxed{f({\lambda }_0)=0,f^{\prime }({\lambda }_0)=0}$$

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模块 6 最核心的一句话

真正应该把这个模块理解为：

$$\boxed{\text{特征向量是在寻找矩阵作用下“不改变方向”的方向}}$$

一旦找到了这样的方向，矩阵在这个方向上的复杂作用就退化成一个数：

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

因此原本复杂的：

$$A^2,A^{100},A^{-1},A^{\ast },p(A)$$

都会变成普通数的：

$${\lambda }^2,{\lambda }^{100},\frac{1}{\lambda },\frac{|A|}{\lambda },p(\lambda ).$$

这才是模块 6 所有题型能够统一起来的根本原因。

而从本站里的真题时间线看，尤其是 2018、2024、2025 这些较新的题，命题已经明显不满足于“会不会算特征多项式”，而是在考能否从 作用关系、子空间、秩、特征值符号、重根、矩阵多项式 中迅速抽取谱信息。(Any Docs)

所以这个模块复习到最后，应做到的不是“看到特征值就展开行列式”，而恰恰是：

$$\boxed{\text{能不算 }|\lambda E-A|\text{，就尽量不算}}$$

这也是从大量真题和本站两套练习题里能总结出的最重要的方法论。