第 1 章 行列式

本章以行列式的定义、性质与计算为主线，重点训练行列变换、化零降阶、三角化和典型高阶行列式结构。

一、第1章到底在学什么？

先建立整个章节的框架。

行列式这一章可以压缩成下面一条主线：

定义 → 性质 → 展开定理 → 行列式计算 → 克拉默法则 → 与后续各章联系

真正做题时，又可以进一步压缩为：

观察结构 → 做行列变换 → 制造零 → 降阶或化三角 → 计算结果

这其实就是这一章最重要的“算法思想”。

例如一个四阶行列式直接按照定义展开，要出现

$$4!=24$$

项。

五阶就是

$$5!=120$$

项。

显然考研几乎不可能要求老老实实展开。因此，完全展开式主要负责理解，行列式性质才真正负责计算。

---

二、行列式究竟是什么？

1. 行列式与矩阵不是一回事

这是第一章最先必须建立的概念。

例如矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$

是一个“数表”。

而它的行列式

$$|A|=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|$$

是一个数：

$$|A|=1\cdot 4-2\cdot 3=-2.$$

所以：

• 矩阵是一个对象；
• 行列式是由方阵计算出来的一个数。

只有方阵才谈行列式。

---

2. 二阶行列式

最简单：

$$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc.$$

例如

$$\left|\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 4\end{array}\right|=2\cdot 4-3\cdot 1=5.$$

---

三、三阶与一般 n 阶行列式

1. 三阶行列式

三阶行列式共有

$$3!=6$$

项：

$$\begin{array}{rl}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|=& a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}\\ & -a_{13}{a}_{22}{a}_{31}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}.\end{array}$$

三阶可以用“对角线法则”，但是要特别注意：

对角线法只适用于三阶，四阶以上不能这么算。

---

四、为什么 n 阶行列式有 n! 项？

一般行列式完全展开式为

$$|a_{ij}|=\sum (-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}.$$

看起来很复杂，其实抓住三个核心即可。

第一条：每项每一行取一个

例如一个四阶行列式的一项可能是

$$a_{12}{a}_{24}{a}_{31}{a}_{43}.$$

分别来自第1、2、3、4行。

---

第二条：每列也只能取一个

上面的列号分别是

$$2,4,1,3.$$

恰好是

$$1,2,3,4$$

的一个排列。

所以一个合法项必须满足：

每行一个元素，每列一个元素。

---

第三条：符号由逆序数决定

例如排列

$$2413.$$

计算逆序：

• 2 后面有 1，形成一个；
• 4 后面有 1、3，形成两个。

所以逆序数

$$\tau (2413)=3.$$

于是该项符号是

$$(-1{)}^3=-1.$$

因此

$$a_{12}{a}_{24}{a}_{31}{a}_{43}$$

前面应该带负号。

考研中什么时候真正用完全展开式？

通常不是拿它算数值，而是解决：

1. 某一乘积项有没有；
2. 某一项符号是什么；
3. 含参数行列式某次幂的系数；
4. 特征多项式最高几次项。

这也是典型例题、例 1.2 的典型考法。

---

五、一个极其重要的结果：三角行列式

如果一个行列式化成上三角：

$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& \ast & \ast & \ast \\ 0& a_{22}& \ast & \ast \\ 0& 0& a_{33}& \ast \\ 0& 0& 0& a_{44}\end{array}\right|,$$

那么

$$D=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}{a}_{44}.$$

下三角也一样。

所以大量行列式题的最终目标其实就是一句话：

想办法把它化成三角形。

---

六、行列式最重要的性质

这是整章真正的核心。

讲义中的计算题基本全部围绕这些性质展开。

---

性质1：转置不改变行列式

$$|A^{\mathrm{T}}|=|A|.$$

这个性质最大的意义并不是要求计算转置，而是表明：

对行成立的所有性质，对列也成立。

所以做题时哪边方便做哪边，不必只盯着行。

---

七、三类初等变换：必须背到条件反射

这是第一章最重要的表。

---

1. 交换两行

例如

$$D=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|.$$

交换两行：

$$\left|\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right|=-D.$$

所以考试中只要换过一次行或列，就必须记一个负号。

换两次又回正。

---

2. 某行乘 k

若第1行整体乘以 k：

$$\left|\begin{array}{cc}ka& kb\\ c& d\end{array}\right|=k\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|.$$

因此如果一行有公因子，可以提出来。

---

3. 整个矩阵乘 k

这是非常容易错的地方。

如果 A 是 n 阶矩阵，那么

$$|kA|=k^n|A|.$$

为什么？

因为不是“行列式整体乘一次 k”，而是 n 行全部都乘了 k。

例如三阶：

$$|2A|=2^3|A|=8|A|.$$

不是

$$2|A|.$$

---

八、最重要的性质：某行倍数加到另一行，值不变

例如：

$$R_2\to R_2-2R_1.$$

行列式不变。

这就是为什么“化零降阶法”这么强。

因为：

我们可以任意用一行去消另一行，而不用改变行列式。

这和高斯消元非常相似。

实际上，行列式计算和以后线性方程组的消元有很深的联系。

---

九、由性质立即得到的零行列式

下面几种看到就可以秒判。

情况1：某行全零

$$D=0.$$

情况2：两行相同

$$D=0.$$

情况3：两行成比例

$$D=0.$$

为什么？

假设

$$R_2=k{R}_1.$$

作变换：

$$R_2\to R_2-k{R}_1,$$

得到零行，所以行列式为0。

---

十、行列式的“线性性”

讲义中特别强调这个性质，因为这是很多技巧题的来源。

如果只有一列拆成两部分：

$$|\alpha ,{\beta }_1+{\beta }_2,\gamma |$$

则可以拆成

$$|\alpha ,{\beta }_1,\gamma |+|\alpha ,{\beta }_2,\gamma |.$$

同样：

$$|\alpha ,k\beta ,\gamma |=k|\alpha ,\beta ,\gamma |.$$

注意关键字：

只能针对某一行或某一列使用线性性。

不能认为

$$|A+B|=|A|+|B|.$$

一般情况下这个公式是错的。

---

十一、余子式与代数余子式

这是第一章第二个大核心。

考虑

$$D=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|.$$

例如考虑元素

$$a_{23}.$$

把它所在的第2行和第3列删除，剩下

$$\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|.$$

称为它的余子式：

$$M_{23}.$$

即

$$M_{23}=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{31}& a_{32}\end{array}\right|.$$

---

十二、代数余子式为什么多一个符号？

定义：

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}.$$

所以符号呈棋盘状：

$$\left(\begin{array}{cccc}+& -& +& -\cdots \\ -& +& -& +\cdots \\ +& -& +& -\cdots \\ -& +& -& +\cdots \\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\end{array}\right).$$

例如

$$A_{23}=(-1{)}^{2+3}{M}_{23}=-M_{23}.$$

而

$$A_{22}=M_{22}.$$

最容易错的地方

一定要区分：

$$M_{ij}$$

是余子式，

而

$$A_{ij}$$

才是代数余子式。

两者可能差一个负号。

---

十三、按行、按列展开

这是计算行列式的基本降阶手段。

沿第 i 行展开：

$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}.$$

沿第 j 列：

$$D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}.$$

例如：

$$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 3& 4\\ 5& 6& 7\end{array}\right|.$$

按第一行展开最好：

$$D=1\left|\begin{array}{cc}3& 4\\ 6& 7\end{array}\right|.$$

于是

$$D=21-24=-3.$$

所以展开时最重要的原则是：

找零最多的一行或列。

---

十四、如果没有零怎么办？

答案就是第一章最核心的计算思路：

自己制造零。

例如

$$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 4\\ 3& 4& 6\end{array}\right|.$$

作

$$R_2\to R_2-2R_1,$$ $$R_3\to R_3-3R_1.$$

得到

$$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -1& -2\\ 0& -2& -3\end{array}\right|.$$

按第一列展开：

$$D=\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ -2& -3\end{array}\right|.$$

所以

$$D=3-4=-1.$$

这就是讲义强调的化零降阶法。

---

十五、化零降阶法——考试标准套路

对于普通三阶、四阶行列式，优先按照下面流程。

第一步：找“基准行/列”

优先选择：

• 数字小；
• 有 1；
• 本身已经有零；
• 与其他行差异简单。

第二步：利用第三类初等变换造零

例如：

$$R_i\to R_i-k{R}_j.$$

第三类变换不会改变行列式。

第三步：选择零最多的一行或列展开

把 n 阶降成

$$n-1$$

阶。

第四步：重复

最终化成二阶，或者直接化成三角形。

这实际上是行列式计算最通用的方法。

---

十六、代数余子式线性组合：非常重要的技巧题

这是考研很喜欢考的结构。

假设题目给：

$$c_1{A}_{1j}+c_2{A}_{2j}+\cdots +c_n{A}_{nj}.$$

不要真的一个个求代数余子式。

应该想到：

直接把原行列式第 j 列替换为系数列。

即换成

$$\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right).$$

然后按这一列展开即可。

原因是：

代数余子式和它本身所在那个位置的元素无关。

典型例题 就是这种经典题型。

---

十七、为什么“异行对应代数余子式之和”是0？

有一个非常重要的公式。

同一行：

$$a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}=D.$$

但如果用第 i 行的元素乘第 k 行的代数余子式，且

$$i\ne k,$$

那么：

$$a_{i1}{A}_{k1}+a_{i2}{A}_{k2}+\cdots +a_{in}{A}_{kn}=0.$$

为什么？

因为这相当于把第 k 行替换成第 i 行，然后按第 k 行展开。

此时出现两行相同，所以行列式为0。

这个理解比死背公式重要得多。

---

十八、规律型行列式：考研第二类重点

普通低阶行列式主要“造零”。

而规律型高阶行列式的第一步不是算，而是：

观察规律。

讲义把这类题分为：

• 可以直接变换成三角形的；
• 分块型；
• 三斜线型；
• 爪形；
• 需要递推的 n 阶行列式。

---

十九、最重要的标准模板：主对角线为 a，其余为 b

这是必须掌握的模板。

$$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}a& b& b& \cdots & b\\ b& a& b& \cdots & b\\ b& b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ b& b& b& \cdots & a\end{array}\right|.$$

结论：

$$\boxed{D_n=[a+(n-1)b](a-b{)}^{n-1}}$$

这是非常重要的公式。

---

为什么会得到这个公式？

关键不是背，而是理解“先求和，再作差”。

先把所有列加到第一列：

$$C_1\to C_1+C_2+\cdots +C_n.$$

第一列所有元素都变为

$$a+(n-1)b.$$

于是可以提出：

$$a+(n-1)b.$$

然后利用行之间相减，把其余部分制造成

$$a-b.$$

最终化成三角形式，得到

$$[a+(n-1)b](a-b{)}^{n-1}.$$

讲义中的四阶例子：

$$\left|\begin{array}{cccc}x& 1& 1& 1\\ 1& x& 1& 1\\ 1& 1& x& 1\\ 1& 1& 1& x\end{array}\right|$$

就是

$$a=x,b=1.$$

因此

$$D=(x+3)(x-1{)}^3.$$

这也是讲义明确要求掌握并推广到 n 阶的典型结构。

---

二十、这一模板可以秒杀很多题

例如主对角线是0，其余全1：

$$a=0,b=1.$$

于是

$$D_n=(n-1)(-1{)}^{n-1}.$$

即

$$\boxed{D_n=(-1{)}^{n-1}(n-1)}$$

这是讲义中的直接结论之一。

---

二十一、分块三角行列式

如果行列式结构为

$$\left|\begin{array}{cc}A& \ast \\ 0& B\end{array}\right|,$$

或者

$$\left|\begin{array}{cc}A& 0\\ \ast & B\end{array}\right|,$$

其中 A、B 都是方阵，那么

$$D=|A||B|.$$

这相当于普通三角行列式的推广。

例如

$$\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 0& 0\\ 3& 4& 0& 0\\ \ast & \ast & 5& 6\\ \ast & \ast & 7& 8\end{array}\right|.$$

可直接写：

$$D=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|\left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right|.$$

---

二十二、块交换为什么会出现负号？

讲义里还有一种经典形式：

$$\left|\begin{array}{cc}\ast & A\\ B& 0\end{array}\right|.$$

设 A 是 m 阶、B 是 n 阶。

通过交换整块列，可以变成分块三角形。

最终：

$$\boxed{\left|\begin{array}{cc}\ast & A\\ B& 0\end{array}\right|=(-1{)}^{mn}|A||B|}$$

为什么指数是

$$mn?$$

因为一个包含 m 列的块跨过一个包含 n 列的块，相当于进行了

$$mn$$

次单列交换。

所以符号是

$$(-1{)}^{mn}.$$

这类题关键在于理解“块交换其实就是很多次普通交换”。

---

二十三、范德蒙德行列式

这是非常值得直接记住的特殊结构。

$$D=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ a_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\\ a_1^2& a_2^2& a_3^2& \cdots & a_n^2\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_1^{n-1}& a_2^{n-1}& a_3^{n-1}& \cdots & a_n^{n-1}\end{array}\right|.$$

结论：

$$\boxed{D=\prod _{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)}$$

例如三阶：

$$D=(a_2-a_1)(a_3-a_1)(a_3-a_2).$$

所以：

$$D\ne 0$$

当且仅当

$$a_1,a_2,\dots ,a_n$$

两两不同。

范德蒙德结构和公式都是讲义明确列出的重要特殊行列式。

---

二十四、三对角行列式：什么时候想到递推？

看到这种结构：

$$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}p& q& 0& \cdots & 0\\ r& p& q& \cdots & 0\\ 0& r& p& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & q\\ 0& \cdots & 0& r& p\end{array}\right|$$

就应该想到：

按第一行或最后一行展开，建立 $D_n$ 与 $D_{n-1}$、$D_{n-2}$ 的关系。

一般得到：

$$\boxed{D_n=p{D}_{n-1}-qr{D}_{n-2}}$$

这就是三斜线/三对角行列式最重要的递推模板。

---

二十五、为什么会是 Dₙ₋₁ 和 Dₙ₋₂？

沿第一行展开：

第一项是

$$p{D}_{n-1}.$$

第二项来自 q。

删除对应行列之后，再继续展开，会得到

$$r{D}_{n-2}.$$

同时代数余子式带负号，于是：

$$D_n=p{D}_{n-1}-qr{D}_{n-2}.$$

所以这种递推其实不是凭空来的，而是展开定理自然产生的。

讲义后半部分的“三斜线行列式”就是这一路线，有些最终还要结合数列递推或数学归纳法。

---

二十六、递推题应该怎么处理？

得到

$$D_n=p{D}_{n-1}-qr{D}_{n-2}$$

之后有三种常见路线。

方法1：观察并猜公式

计算：

$$D_1,D_2,D_3$$

猜测结果，再用数学归纳法证明。

方法2：改写递推

讲义中有典型例子：

$$D_n=(a+b)D_{n-1}-ab{D}_{n-2}.$$

改写成

$$D_n-b{D}_{n-1}=a(D_{n-1}-b{D}_{n-2}).$$

于是

$$D_n-b{D}_{n-1}$$

形成等比数列。

最后可得到，当

$$a\ne b$$

时：

$$D_n=\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}.$$

而当

$$a=b$$

时：

$$D_n=(n+1)a^n.$$

这正是讲义中规律型三对角行列式的重要示范。

---

二十七、爪形行列式

讲义还列出了“爪形行列式”，典型结构为：

$$\left|\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& \cdots & a_n\\ b_1& c_2& 0& \cdots & 0\\ 0& b_2& c_3& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & b_{n-1}& c_n\end{array}\right|.$$

结果具有结构：

$$\boxed{\sum _{i=1}^n(-1{)}^{i-1}{b}_1\cdots b_{i-1}{a}_i{c}_{i+1}\cdots c_n}$$

这类题看起来复杂，但特点很明显：

第一行很密，下面各行很稀疏。

做题通常是：

• 对第一行展开；
• 或从最后一列逐步递推；
• 或用数学归纳法。

讲义明确把“三斜线行列式”和“爪形行列式”列为规律型 n 阶行列式的两种典型结构，但同时也提醒：复杂 n 阶行列式不是复习投入的最高优先级。

---

二十八、行列式与线性相关的联系

这一点虽然正式知识在向量章节，但第一章已经会用到。

如果有 n 个 n 维向量

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,$$

把它们作为列构成方阵：

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n).$$

那么：

$$\boxed{|{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n|=0⟺{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\text{线性相关}}$$

因此看到题目：

已知4个4维向量线性相关，求参数 a。

第一反应应该是：

$$D(a)=0.$$

---

讲义中的典型例子

向量：

$$(2,1,1,1),$$ $$(2,1,a,a),$$ $$(3,2,1,a),$$ $$(4,3,2,1)$$

线性相关。

于是：

$$\left|\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 1\\ 2& 1& a& a\\ 3& 2& 1& a\\ 4& 3& 2& 1\end{array}\right|=0.$$

经过行列变换得到：

$$(a-1)(2a-1)=0.$$

题目又给

$$a\ne 1.$$

所以：

$$\boxed{a=\frac{1}{2}}$$

这类题的套路极其固定：

$$\boxed{\text{线性相关}\Rightarrow \text{行列式}=0\Rightarrow \text{求参数}}$$

---

二十九、克拉默法则

现在进入第一章的应用。

考虑 n 元线性方程组：

$$AX=\beta .$$

如果 A 为 n 阶方阵，且

$$|A|\ne 0,$$

那么方程组有唯一解。

设

$$D=|A|.$$

把系数行列式第 i 列替换成常数列，得到

$$D_i.$$

那么：

$$\boxed{x_i=\frac{D_i}{D}}$$

即：

$$x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots ,x_n=\frac{D_n}{D}.$$

---

三十、克拉默法则真正重要的不是计算

实际解大型线性方程组，一般不会真算很多行列式，因为初等行变换更快。

克拉默法则真正重要的是给出判据：

$$\boxed{|A|\ne 0⟺AX=\beta \text{有唯一解}}$$

对于齐次线性方程组：

$$AX=0,$$

有：

$$\boxed{|A|\ne 0⟺AX=0\text{只有零解}}$$

反过来：

$$\boxed{|A|=0⟺AX=0\text{存在非零解}}$$

这会在后面反复使用。

---

三十一、第一章与后面几章其实是一条线

这是理解整个线性代数特别重要的一点。

对于 n 阶矩阵 A：

$$|A|\ne 0$$

意味着：

$$A\text{ 可逆}.$$

又意味着：

$$A\text{ 满秩}.$$

又意味着：

$$A\text{ 的列向量线性无关}.$$

又意味着：

$$AX=0$$

只有零解。

又意味着：

$$AX=\beta$$

有唯一解。

又意味着：

$$0$$

不是 A 的特征值。

所以从全书角度可以理解成：

$$\boxed{|A|\ne 0}$$

表示这个线性变换“没有退化”。

而

$$\boxed{|A|=0}$$

表示出现了某种退化。

这就是为什么一个小小的行列式会贯穿整本线性代数。

---

三十二、行列式与特征值

后面求特征值需要解：

$$|\lambda E-A|=0.$$

所以第一章的行列式计算能力会直接影响第五章。

而且：

$$|A|$$

等于全部特征值的乘积：

$$\boxed{|A|={\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n}$$

按代数重数计算。

另一个重要关系是：

$${\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}.$$

也就是：

$$\boxed{\sum {\lambda }_i=\mathrm{tr}(A)}$$

讲义在第一章利用完全展开式提前展示了这个联系。

---

三十三、第一章常考题型总结

综合本章内容，基本可以归纳成下面几类。

题型1：完全展开式与某项系数

看到：

$$|\lambda E-A|$$

或者含参数 x 的行列式，问某次幂系数。

方法

寻找：

哪些排列项才能产生这么高的次数？

尤其最高几次幂通常只有主对角线乘积能贡献。

---

三十四、题型2：利用行列式性质进行抽象计算

比如：

$$A=(\alpha ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3),$$ $$B=(\beta ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3).$$

则

$$A+B=(\alpha +\beta ,2{\gamma }_1,2{\gamma }_2,2{\gamma }_3).$$

于是：

$$|A+B|=2^3|\alpha +\beta ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3|.$$

再利用第一列线性性：

$$|\alpha +\beta ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3|=|\alpha ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3|+|\beta ,{\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3|.$$

这是“矩阵列表示 + 行列式线性性”的典型题。

---

三十五、题型3：代数余子式

看到：

$$c_1{A}_{1j}+c_2{A}_{2j}+\cdots +c_n{A}_{nj}$$

马上：

换第 j 列。

不要逐个算余子式。

这是非常高效的考研技巧。

---

三十六、题型4：普通三阶、四阶计算

优先：

$$\boxed{\text{化零降阶}}$$

具体就是：

找基准 → 做第三类变换 → 造零 → 展开。

不建议三阶以上直接套完全展开式。

---

三十七、题型5：对称型、规律型行列式

先观察有没有：

• 每行和相同；
• 每列和相同；
• 主对角线一样；
• 非对角元素一样；
• 循环移动；
• 块状分布。

若有：

先“求和”，再“作差”。

特别是：

$$\left|\begin{array}{cccc}a& b& \cdots & b\\ b& a& \cdots & b\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ b& b& \cdots & a\end{array}\right|$$

直接想到：

$$[a+(n-1)b](a-b{)}^{n-1}.$$

---

三十八、题型6：三对角行列式

看到：

$$\left|\begin{array}{cccc}p& q& 0& \cdots \\ r& p& q& \cdots \\ 0& r& p& \ddots \\ ⋮& & \ddots & \ddots \end{array}\right|$$

想到：

$$\boxed{D_n=p{D}_{n-1}-qr{D}_{n-2}}$$

即递推。

---

三十九、题型7：线性相关求参数

看到：

n 个 n 维向量线性相关。

立即：

$$\boxed{D=0}$$

然后求参数。

---

四十、题型8：范德蒙德

看到：

$$1,a_i,a_i^2,\dots ,a_i^{n-1}$$

这样的列或行，立即识别范德蒙德：

$$\boxed{D=\prod _{i<j}(a_j-a_i)}$$

不要重新做普通消元。

---

四十一、题型9：分块结构

看到大量成块的0：

先不要逐行消元。

应该考虑：

$$\left|\begin{array}{cc}A& \ast \\ 0& B\end{array}\right|$$

或者交换行列后能否得到这样的形式。

然后：

$$D=|A||B|.$$

---

四十二、做题时到底该选哪一种方法？

可以把整个第一章整理成下面这个“决策表”。

讲义中的总结可以概括成：

$$\boxed{\text{看结构}\to \text{造零}\to \text{降阶}\to \text{化三角}}$$

---

四十三、最容易丢分的几个错误

错误1：忘记交换变号

$$R_i\leftrightarrow R_j$$

则：

$$D\to -D.$$

---

错误2：把第三类和第二类变换混淆

这个：

$$R_2\to R_2+3R_1$$

不改变行列式。

这个：

$$R_2\to 3R_2$$

会让行列式乘3。

完全不是一回事。

---

错误3：错误认为

$$|A+B|=|A|+|B|.$$

一般不成立。

---

错误4：忘记

$$|kA|=k^n|A|.$$

---

错误5：余子式和代数余子式混淆

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}.$$

---

错误6：参数题直接除参数

例如变换中出现：

$$\frac{1}{a}.$$

如果 a 可能等于0，此时已经默认

$$a\ne 0,$$

可能漏解。

所以讲义总结中特别建议：

含参数时尽量使用加减变换，少做需要除参数的操作。

---

四十四、这一章的优先级怎么安排？

按照本章讲义的考研定位，建议按下面顺序掌握。

第一优先级：必须熟练

1. 三类行列变换；
2. 化零降阶；
3. 按行列展开；
4. 余子式、代数余子式；
5. 代数余子式线性组合；
6. 三角行列式；
7. 参数行列式；
8. 行列式为0的各种判定。

第二优先级：熟练识别

1. 主对角线 a、其他 b；
2. 分块行列式；
3. 范德蒙德；
4. 线性相关与行列式；
5. 克拉默法则。

第三优先级：理解方法

1. 三对角递推；
2. 三斜线行列式；
3. 爪形行列式；
4. 复杂 n 阶递推；
5. 数学归纳法证明行列式公式。

讲义本身也明确提醒：复杂 n 阶行列式并非考试最核心内容，不需要在特别偏、特别繁的技巧上投入过多时间。

---

四十五、最后把第一章浓缩成一张“思维导图”

可以把整章记成：

$$\boxed{\text{行列式}}$$

↓

① 定义

$$D=\sum (-1{)}^{\tau }{a}_{1j_1}\cdots a_{n{j}_n}$$

理解：

每行一个、每列一个、符号看逆序。

↓

② 性质

$$\boxed{\text{交换变号}}$$ $$\boxed{\text{数乘提出}}$$ $$\boxed{\text{倍加不变}}$$

↓

③ 展开

$$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$$ $$D=\sum a_{ij}{A}_{ij}$$

↓

④ 计算

最核心：

$$\boxed{\text{化零降阶}}$$

目标：

$$\boxed{\text{三角形}}$$

特殊结构：

$$\boxed{\text{分块}}$$ $$\boxed{\text{范德蒙德}}$$ $$\boxed{\text{三对角递推}}$$

↓

⑤ 应用

$$|A|\ne 0$$

串联起：

$$A\text{ 可逆}$$ $$AX=\beta \text{ 唯一解}$$ $$AX=0\text{ 只有零解}$$ $$A\text{ 的列向量线性无关}$$

以及后面的特征值问题。

---

最终做题口诀

真正进考场，可以记成：

$$\boxed{\text{先看结构，不要硬算； 有零展开，无零造零； 相似求和，再做差； 块状分块，三对角递推； 余子式组合直接换行列。}}$$

其中最值得马上形成肌肉记忆的是：

$$\boxed{\text{普通行列式}\Rightarrow \text{化零降阶}}$$ $$\boxed{c_1{A}_{1j}+\cdots +c_n{A}_{nj}\Rightarrow \text{换第 }j\text{ 列}}$$ $$\boxed{\begin{array}{c}\text{对角 }a\\ \text{其余 }b\end{array}\Rightarrow [a+(n-1)b](a-b{)}^{n-1}}$$ $$\boxed{\text{三对角}\Rightarrow D_n=p{D}_{n-1}-qr{D}_{n-2}}$$ $$\boxed{n\text{ 个 }n\text{ 维向量线性相关}\Rightarrow D=0}$$

掌握这几条以后，第一章绝大多数常规考研题都会从“看起来很乱”，变成“识别结构以后按固定路线计算”。