第 3 章 向量组的线性关系与秩

本章建立“线性表示—线性相关—最大无关组—秩—基、维数与坐标”的完整联系，是后续方程组、特征值与二次型的理论基础。

$$\boxed{\text{线性表示}⟶\text{线性相关性}⟶\text{最大无关组}⟶\text{秩}⟶\text{基、维数、坐标}}$$

在此基础上，讲义还进一步讲了内积、正交矩阵、施密特正交化、向量空间、过渡矩阵与坐标变换。所以这一章实际上是整个线性代数后续内容的理论基础：第 4 章线性方程组、第 5 章特征值与相似对角化、第 6 章二次型，都大量使用本章结论。

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一、先理解本章究竟研究什么

假设有一组向量

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s.$$

围绕它，考研主要问三个层次的问题。

第一个层次是：它们能不能拼出另一个向量？

例如问

$$\beta$$

能不能写成

$$\beta =c_1{\alpha }_1+\cdots +c_s{\alpha }_s.$$

这就是线性表示。

第二个层次是：这些向量自己之间有没有冗余？

例如某一个向量是不是能由另外几个表示。如果有，就称线性相关；如果没有，就称线性无关。

第三个层次是：这组向量中究竟有多少个真正独立的方向？

这个数量就是秩。

因此可以把秩理解成：

一个向量组中“有效独立信息”的数量。

讲义中也正是用“线性表示 → 线性相关 → 最大无关组 → 秩”这条主线组织本章。

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二、线性表示：本质就是解方程组

设

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s$$

是同维列向量。

如果存在一组数

$$c_1,c_2,\dots ,c_s$$

使得

$$\beta =c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_s{\alpha }_s,$$

则称向量 $\beta$ 可以由向量组

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

线性表示。

把这些向量按列放进矩阵：

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s),$$

再令

$$X=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_s\end{array}\right),$$

那么上面的式子立刻变为

$$AX=\beta .$$

所以有本章第一条极其重要的翻译公式：

$$\boxed{\beta \text{ 可由 }{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\text{ 线性表示}⟺AX=\beta \text{ 有解}}$$

进一步，由线性方程组有解的秩条件：

$$\boxed{\beta \text{ 可表示}⟺r(A)=r(A\mid \beta )}$$

也就是

$$\boxed{r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)=r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s,\beta )}$$

意思很直观：把 $\beta$ 加进去以后秩没有增加，说明 $\beta$ 没有带来新的方向，因此它原本就在前面这些向量张成的空间里。

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一个非常重要的区别：存在表示和唯一表示

很多选择题专门考这里。

“能表示”只说明方程

$$AX=\beta$$

有解。

但如果问“能否唯一表示”，还必须保证这个解唯一。

因此：

$$\boxed{\beta \text{ 可唯一表示}⟺r(A)=r(A\mid \beta )=s}$$

其中 $s$ 是向量

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

的个数。

为什么最后要等于 $s$？

因为

$$r(A)=s$$

意味着 $A$ 的所有列线性无关，于是齐次方程

$$AX=0$$

只有零解，因此非齐次方程一旦有解，就不可能有多个解。

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三、线性相关与线性无关

这是本章最核心的定义。

对于向量组

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s,$$

考虑方程

$$c_1{\alpha }_1+c_2{\alpha }_2+\cdots +c_s{\alpha }_s=0.$$

如果存在一组不全为零的系数使等式成立，则称这些向量线性相关。

即

$$\boxed{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\text{ 线性相关}⟺c_1{\alpha }_1+\cdots +c_s{\alpha }_s=0\text{ 有非零解}}$$

反过来，如果只有

$$c_1=c_2=\cdots =c_s=0$$

这一组解，则称其线性无关：

$$\boxed{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\text{ 线性无关}⟺c_1{\alpha }_1+\cdots +c_s{\alpha }_s=0\text{ 只有零解}}$$

写成矩阵就是：

$$AX=0.$$

于是：

$$\boxed{\text{线性相关}⟺AX=0\text{ 有非零解}}$$

而

$$\boxed{\text{线性无关}⟺AX=0\text{ 只有零解}}$$

再翻译成秩：

$$\boxed{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\text{ 线性无关}⟺r(A)=s}$$ $$\boxed{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\text{ 线性相关}⟺r(A)<s}$$

这几组等价关系必须做到看到任何一边，都能立刻想到另外几边。

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四、怎么快速判断线性相关性

正式计算之前，先看有没有“秒杀条件”。

例如向量组里有零向量，一定线性相关，因为可以给零向量一个非零系数，其他系数全取零。

如果两个向量成比例，例如

$${\alpha }_2=3{\alpha }_1,$$

那么

$$3{\alpha }_1-{\alpha }_2=0,$$

所以线性相关。

如果有 $s$ 个 $n$ 维向量，而

$$s>n,$$

也一定线性相关。

因为 $n$ 维空间中最多只能有 $n$ 个线性无关向量。

特别重要的是：如果恰好有 $n$ 个 $n$ 维向量，把它们按列构成方阵

$$A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n),$$

则：

$$\boxed{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\text{ 线性无关}⟺|A|\ne 0}$$ $$\boxed{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\text{ 线性相关}⟺|A|=0}$$

这实际上把第一章的行列式、第二章的矩阵可逆性和第三章的线性相关完全连起来了。

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五、线性相关与“某向量能由其余向量表示”

这是概念题最喜欢考的地方。

如果

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

线性相关，那么一定存在不全为零的

$$c_1,\dots ,c_s$$

满足

$$c_1{\alpha }_1+\cdots +c_s{\alpha }_s=0.$$

假设某个

$$c_k\ne 0,$$

那么可以解出

$${\alpha }_k=-\frac{c_1}{c_k}{\alpha }_1-\cdots -\frac{c_{k-1}}{c_k}{\alpha }_{k-1}-\frac{c_{k+1}}{c_k}{\alpha }_{k+1}-\cdots -\frac{c_s}{c_k}{\alpha }_s.$$

所以：

$$\boxed{\text{线性相关}⟺\text{至少有一个向量可由其余向量表示}}$$

但是要注意：

“线性相关”不是说“每一个向量都一定能由其余向量表示”。

例如

$${\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2$$

会导致整体相关，但某些特殊情况下不一定每个向量都能从其他所有向量中解出来。

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一个高频定理

若

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

本身线性无关，那么加入 $\beta$ 后：

$$\boxed{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s,\beta \text{ 线性相关}⟺\beta \text{ 可由 }{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\text{ 表示}}$$

这个定理非常常用。

原因是原来的向量之间没有冗余；加入 $\beta$ 后突然出现相关关系，那么“冗余”只能来自新加入的 $\beta$。

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六、部分组、延伸组的几个重要性质

如果一个向量组线性无关，那么它的任意部分组也线性无关。

反过来：

如果一个部分组已经线性相关，那么继续增加向量，得到的更大向量组仍然线性相关。

所以可以记成：

$$\boxed{\text{无关组缩短仍无关}}$$ $$\boxed{\text{相关组延长仍相关}}$$

但另外两个反方向一般不成立：

整体相关，不能推出任意部分组相关；

某个部分组无关，也不能推出整体无关。

这是选择题非常典型的陷阱。

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七、向量组的等价

假设有两组向量：

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

和

$${\beta }_1,\dots ,{\beta }_t.$$

如果每个 $\beta$ 都能由 $\alpha$ 组表示，那么称 $\beta$ 组可以由 $\alpha$ 组线性表示。

如果两组能够互相线性表示，则称两个向量组等价。

从空间角度看，它们生成的是同一个空间。

讲义中给出的重要秩判据是：

$$\boxed{r(\alpha )=r(\alpha ,\beta )=r(\beta )}$$

当且仅当两组向量等价。

这里尤其注意：

$$r(\alpha )=r(\beta )$$

单独一个条件不够。

两组向量可能具有相同的秩，却位于完全不同的方向。

例如在二维空间中，

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),{\beta }_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$$

两组秩都为 $1$，但是显然互相不能表示，因此并不等价。讲义特别强调“秩相等不等于向量组等价”。

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八、最大线性无关组

假设有向量组

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s.$$

从里面挑出一部分：

$${\alpha }_{i_1},\dots ,{\alpha }_{i_r}.$$

如果这 $r$ 个向量线性无关，而且再往里面加入原向量组的任何其他向量都会变成线性相关，那么这组向量称为原向量组的最大线性无关组。

可以理解成：

把所有“重复信息”去掉，只留下最少的一组独立生成元。

于是原向量组的任意一个向量，都能由最大无关组表示。

例如

$${\alpha }_3={\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_4=2{\alpha }_1-{\alpha }_2,$$

若

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

线性无关，那么

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

就是整个向量组的一个最大无关组。

最大无关组可能不唯一，但它们包含的向量个数一定相同。

这个共同的数就是：

$$\boxed{\text{向量组的秩}}$$

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九、向量组的秩

向量组

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

的秩，定义为其最大线性无关组所含向量的个数。

记作

$$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s).$$

若

$$r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)=r,$$

准确含义是：

存在 $r$ 个向量线性无关，而且不可能从原组中找出 $r+1$ 个线性无关向量。

千万不能理解成“任意 $r$ 个向量都无关”。

例如四个向量的秩是 $2$，只能说明可以找到两个无关向量，并不意味着任意取两个都无关。这个概念陷阱在讲义中被专门列为常考点。

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十、怎样求秩和最大无关组

这是本章最重要的计算题型。

设

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_s).$$

也就是说，把要求的向量作为列向量排成矩阵。

然后只做初等行变换：

$$A⟶B.$$

把矩阵化成阶梯形。

阶梯形矩阵中非零行的个数，就是矩阵的秩，也就是原列向量组的秩。

例如若最后得到

$$B=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& 3\\ 0& 1& -1& 2\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right),$$

则

$$r(A)=2.$$

第 1、2 列是主元列，于是原向量组中的

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

构成一个最大无关组。

这里有一个必须牢记的技巧：

$$\boxed{\text{求原列向量组最大无关组时，只作行变换}}$$

因为行变换不会改变各列之间原来的线性关系。

如果作列变换，虽然矩阵的秩仍然保持不变，但列本身已经混合了，就不能直接用新矩阵的列去对应原来的向量。讲义把这一点列为本章高频错误。

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十一、含参数的秩

这种题考研特别常见。

例如

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right).$$

进行行变换：

$$R_2-R_1,R_3-R_1,$$

得到

$$A\sim \left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& a-1& 0\\ 0& 0& a-1\end{array}\right).$$

于是分情况。

若

$$a\ne 1,$$

三个主元均不为零：

$$r(A)=3.$$

若

$$a=1,$$

则

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right),$$

所以

$$r(A)=1.$$

参数秩题最危险的操作是：

直接除以含参数的式子。

例如看到

$$(a-1)R_2$$

时不能直接除以 $a-1$，否则会把

$$a=1$$

这个特殊情况丢掉。

讲义给出的核心原则也是：寻找会导致主元消失的参数值，再分类讨论。

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十二、矩阵的秩

对于矩阵 $A$，矩阵的秩可以从三个角度理解。

第一种是列向量组的秩。

第二种是行向量组的秩。

第三种是矩阵中最高阶非零子式的阶数。

一个重要结论是：

$$\boxed{\text{行秩}=\text{列秩}=\text{矩阵的秩}}$$

因此通常不用真的找高阶子式，而是直接进行初等变换，把矩阵化成阶梯形。

如果阶梯形有 $r$ 个非零行，那么：

$$r(A)=r.$$

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十三、秩的高频公式

本章证明题和选择题经常围绕下面几条展开：

$$\boxed{r(A+B)\le r(A)+r(B)}$$ $$\boxed{r(AB)\le \min \{r(A),r(B)\}}$$

特别是：

$$AB=0$$

时，如果中间维数为 $n$，有

$$\boxed{r(A)+r(B)\le n}$$

这条以后做线性方程组、特征值、矩阵多项式问题都非常好用。

直观上，

$$AB=0$$

说明 $B$ 的所有列经过 $A$ 作用后都变成零，因此 $B$ 的值域必须落在 $A$ 的零空间中，于是两个矩阵不可能同时拥有过多独立方向。讲义把这条作为秩题的核心工具之一。

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一个很典型的秩推理

如果

$$(A-aE)(A-bE)=0,a\ne b,$$

讲义给出一个很漂亮的结论：

$$r(A-aE)+r(A-bE)=n.$$

思路分两边夹。

由乘积为零：

$$r(A-aE)+r(A-bE)\le n.$$

另一方面，

$$(A-aE)-(A-bE)=(b-a)E.$$

因为

$$a\ne b,$$

所以

$$r((b-a)E)=n.$$

结合秩的加法不等式：

$$n\le r(A-aE)+r(A-bE).$$

于是只能取等号。

这是非常典型的证明模式：

$$\boxed{\text{一边用乘积为零得到上界， 另一边用差为满秩矩阵得到下界}}$$

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十四、伴随矩阵的秩

这是第三章与第二章结合的高频考点。

对于 $n$ 阶矩阵 $A$，讲义总结为：

$$\boxed{r(A^{\ast })=\{\begin{array}{ll}n,& r(A)=n,\\ 1,& r(A)=n-1,\\ 0,& r(A)\le n-2.\end{array}}$$

为什么？

若

$$r(A)=n,$$

则 $A$ 可逆，并且

$$A^{\ast }=|A|A^{-1},$$

显然也是满秩。

若

$$r(A)=n-1,$$

那么至少存在一个 $n-1$ 阶非零子式，所以 $A^{\ast }\ne 0$；同时

$$A{A}^{\ast }=|A|E=0,$$

因此 $A^{\ast }$ 的秩受到限制，最终为 $1$。

若

$$r(A)\le n-2,$$

所有 $n-1$ 阶子式全为零，而 $A^{\ast }$ 的元素恰好就是这些代数余子式，所以

$$A^{\ast }=0.$$

因此秩为零。

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十五、内积：给向量加入“长度和角度”

本章后半部分开始从纯代数结构进入几何结构。

设

$$\alpha =\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right),\beta =\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right).$$

定义内积：

$$(\alpha ,\beta )={\alpha }^{\mathrm{T}}\beta =a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n.$$

于是向量长度为

$$\Vert \alpha \Vert =\sqrt{(\alpha ,\alpha )}.$$

两个非零向量的夹角满足：

$$\cos \theta =\frac{(\alpha ,\beta )}{\Vert \alpha \Vert \Vert \beta \Vert }.$$

背后的柯西—施瓦茨不等式为：

$$|(\alpha ,\beta )|\le \Vert \alpha \Vert \Vert \beta \Vert .$$

等号成立当且仅当两个向量线性相关。讲义同时利用内积定义正交关系和向量夹角。

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十六、正交与线性无关的关系

如果

$$(\alpha ,\beta )=0,$$

称两个向量正交。

如果一组非零向量两两正交，则这组向量一定线性无关。

证明非常经典。

假设

$$c_1{\alpha }_1+\cdots +c_s{\alpha }_s=0.$$

两边与 ${\alpha }_i$ 作内积。

因为两两正交，所有交叉项全部变成零，只剩：

$$c_i({\alpha }_i,{\alpha }_i)=0.$$

又因为

$${\alpha }_i\ne 0,$$

所以

$$({\alpha }_i,{\alpha }_i)>0.$$

因此

$$c_i=0.$$

对每个 $i$ 都成立，所以这组向量线性无关。

即：

$$\boxed{\text{两两正交且均非零}⟹\text{线性无关}}$$

但是反过来不成立：

$$\boxed{\text{线性无关}\nRightarrow \text{正交}}$$

正交比线性无关更强。

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十七、Gram 矩阵

设

$$A=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s).$$

则

$$A^{\mathrm{T}}A$$

的第 $i,j$ 个元素就是：

$$({\alpha }_i,{\alpha }_j).$$

所以

$$G=A^{\mathrm{T}}A$$

称为 Gram 矩阵。

如果各向量两两正交，那么非对角元素全为零，因此：

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\text{ 两两正交}⟺A^{\mathrm{T}}A\text{ 为对角矩阵}.$$

若进一步每个向量长度都为 $1$，则：

$$A^{\mathrm{T}}A=E.$$

还有一个非常重要的秩公式：

$$\boxed{r(A^{\mathrm{T}}A)=r(A)}$$

这是考研中经常出现的抽象结论。

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十八、正交矩阵

实方阵 $Q$ 满足

$$Q^{\mathrm{T}}Q=E$$

时称为正交矩阵。

等价地：

$$\boxed{Q^{-1}=Q^{\mathrm{T}}}$$

因此看到正交矩阵，第一反应应该是：

$$\boxed{\text{逆矩阵不用求，直接转置}}$$

例如：

$$QX=\beta ,$$

直接得到

$$X=Q^{-1}\beta =Q^{\mathrm{T}}\beta .$$

正交矩阵的列向量构成一组规范正交基，其行向量也构成规范正交基。

它还保持内积：

$$(Q\alpha ,Q\beta )=(\alpha ,\beta ),$$

因此保持长度：

$$\Vert Q\alpha \Vert =\Vert \alpha \Vert ,$$

也保持夹角和正交性。

几何上，正交变换可以看成旋转或反射，不改变长度和角度。

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十九、施密特正交化

这是本章非常重要的计算题。

目的：

把线性无关向量组

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

变成与它生成同一空间的正交向量组：

$${\beta }_1,\dots ,{\beta }_s.$$

第一步：

$${\beta }_1={\alpha }_1.$$

第二步：

$${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{({\alpha }_2,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1.$$

第三步：

$${\beta }_3={\alpha }_3-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_1)}{({\beta }_1,{\beta }_1)}{\beta }_1-\frac{({\alpha }_3,{\beta }_2)}{({\beta }_2,{\beta }_2)}{\beta }_2.$$

一般公式：

$$\boxed{{\beta }_k={\alpha }_k-\sum _{j=1}^{k-1}\frac{({\alpha }_k,{\beta }_j)}{({\beta }_j,{\beta }_j)}{\beta }_j}$$

本质就是：

$$\boxed{\text{新向量}=\text{原向量}-\text{它在已有所有正交方向上的投影}}$$

最后单位化：

$${\eta }_i=\frac{{\beta }_i}{\Vert {\beta }_i\Vert }.$$

于是得到规范正交组。

讲义特别推荐一个计算技巧：正交化过程中可以把 ${\beta }_i$ 整体乘非零常数来消除分数，全部正交化完成之后再统一单位化。

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施密特例题

设

$${\alpha }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\alpha }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

先取

$${\beta }_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right).$$

计算：

$$({\alpha }_2,{\beta }_1)=1,$$ $$({\beta }_1,{\beta }_1)=2.$$

所以

$${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{1}{2}{\beta }_1=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}\\ 1\end{array}\right).$$

为了避免分数，可以整体乘 $2$：

$${\beta }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right).$$

检查：

$$({\beta }_1,{\beta }_2)=1-1+0=0.$$

再单位化：

$${\eta }_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right),$$ $${\eta }_2=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 2\end{array}\right).$$

这就是一个规范正交组。

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二十、向量空间和子空间

全部 $n$ 维实列向量组成

$${\mathbb{R}}^n.$$

如果集合 $V$ 对向量加法、数乘运算都封闭，则称为子空间。

最方便的判别方式是：

对于任意

$$\alpha ,\beta \in V$$

以及任意实数 $a,b$，检查是否恒有：

$$a\alpha +b\beta \in V.$$

此外有一个秒杀条件：

$$\boxed{\text{子空间一定包含零向量}}$$

所以一个集合只要不包含零向量，就一定不是子空间。

例如

$$x_1+x_2=0$$

所定义的向量集合是子空间，因为它是齐次线性方程组的解空间。

而

$$x_1+x_2=1$$

所定义的集合通常不是子空间，因为零向量不满足条件。讲义特别区分了齐次方程解集和非齐次方程解集。

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二十一、生成空间、基和维数

向量组

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s$$

所有线性组合组成的集合记为：

$$L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s).$$

这就是它们生成的子空间。

若

$$V=L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s),$$

那么：

$$\boxed{\dim V=r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)}$$

所以求一个生成空间的维数，本质上就是求生成向量组的秩。

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什么叫基？

空间 $V$ 中的一组向量

$${\eta }_1,\dots ,{\eta }_r$$

要成为基，必须同时满足两个条件：

$$\boxed{\text{线性无关}+\text{可以生成整个 }V}$$

所以可以把基理解成：

一个空间里“最精简的一组坐标轴”。

最大无关组和基的思想其实完全一致：

最大无关组强调“从某个给定向量组中挑”；

基强调“为整个向量空间找一组独立生成元”。

讲义因此给出：

$$\boxed{\dim V=\text{任意一组基中向量的个数}}$$

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二十二、坐标

设

$${\eta }_1,\dots ,{\eta }_r$$

是空间 $V$ 的一组基。

由于基既生成整个空间，又线性无关，所以任意

$$\alpha \in V$$

都能且只能写成：

$$\alpha =x_1{\eta }_1+\cdots +x_r{\eta }_r.$$

于是

$$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_r\end{array}\right)$$

就是 $\alpha$ 在这组基下的坐标。

令

$$P=({\eta }_1,\dots ,{\eta }_r),$$

则

$$\alpha =P[\alpha {]}_{\eta }.$$

如果是在整个

$${\mathbb{R}}^n$$

中，基矩阵 $P$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，因此：

$$\boxed{[\alpha {]}_{\eta }=P^{-1}\alpha }$$

如果基还是规范正交基，则更简单：

$$P^{-1}=P^{\mathrm{T}},$$

所以：

$$[\alpha {]}_{\eta }=P^{\mathrm{T}}\alpha .$$

具体地：

$$\boxed{x_i=(\alpha ,{\eta }_i)}$$

也就是说，在规范正交基下，坐标就是向量在各坐标轴方向上的内积。

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二十三、过渡矩阵

这是后期很容易和相似变换、二次型换元混在一起的地方。

设旧基为

$${\eta }_1,\dots ,{\eta }_n,$$

新基为

$${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n.$$

如果

$$({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n)C,$$

则称 $C$ 是从旧基 $\eta$ 到新基 $\xi$ 的过渡矩阵。

必须记住：

$$\boxed{\text{新基}=\text{旧基}\times C}$$

因此 $C$ 的第 $j$ 列就是新基向量 ${\xi }_j$ 在旧基下的坐标。

若

$$P=({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n),$$ $$Q=({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n),$$

则

$$Q=PC,$$

所以：

$$\boxed{C=P^{-1}Q}$$

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二十四、坐标变换方向为什么是反的

这是这一章最容易写错的公式之一。

若

$$(\xi )=(\eta )C,$$

设同一向量 $\alpha$ 在旧基、新基下的坐标分别为

$$x=[\alpha {]}_{\eta },$$ $$y=[\alpha {]}_{\xi }.$$

那么：

$$\alpha =(\eta )x.$$

同时：

$$\alpha =(\xi )y=(\eta )Cy.$$

于是：

$$x=Cy.$$

所以：

$$\boxed{[\alpha {]}_{\eta }=C[\alpha {]}_{\xi }}$$

从而：

$$\boxed{[\alpha {]}_{\xi }=C^{-1}[\alpha {]}_{\eta }}$$

非常重要：

基从旧变新乘 $C$，坐标从旧变新却乘 $C^{-1}$。

也就是：

$$\boxed{\text{基的变换方向和坐标的变换方向相反}}$$

这是讲义专门强调的高频易错点。

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二十五、本章八大考研题型

这与讲义中的第 3 章解题决策表基本一致。

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二十六、最值得背熟的“核心等价链”

如果这一章想真正做熟，不建议零散背几十条定理，而是把下面几条链彻底记住。

1. 线性相关

$$\boxed{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\text{ 相关}}$$ $$\boxed{⟺c_1{\alpha }_1+\cdots +c_s{\alpha }_s=0\text{ 有非零解}}$$ $$\boxed{⟺AX=0\text{ 有非零解}}$$ $$\boxed{⟺r(A)<s}$$

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2. 线性表示

$$\boxed{\beta \text{ 可由 }{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\text{ 表示}}$$ $$\boxed{⟺AX=\beta \text{ 有解}}$$ $$\boxed{⟺r(A)=r(A\mid \beta )}$$

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3. 唯一表示

$$\boxed{\beta \text{ 可唯一表示}}$$ $$\boxed{⟺r(A)=r(A\mid \beta )=s}$$

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4. 方阵满秩

对 $n$ 阶矩阵 $A$：

$$\boxed{A\text{ 可逆}}$$ $$\boxed{⟺|A|\ne 0}$$ $$\boxed{⟺r(A)=n}$$ $$\boxed{⟺A\text{ 的列向量线性无关}}$$ $$\boxed{⟺A\text{ 的列向量构成 }{\mathbb{R}}^n\text{ 的一组基}}$$

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5. 正交矩阵

$$\boxed{Q\text{ 正交}}$$ $$\boxed{⟺Q^{\mathrm{T}}Q=E}$$ $$\boxed{⟺Q^{-1}=Q^{\mathrm{T}}}$$ $$\boxed{⟺Q\text{ 的列向量构成规范正交基}}$$

讲义最终也是用这些等价关系压缩整章。

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二十七、最后给出一个做题总原则

这一章看上去定义很多，但实际做题可以高度程序化：

看到**“能否表示”**，翻译成非齐次方程组。

$$AX=\beta .$$

看到**“线性相关”**，翻译成齐次方程组。

$$AX=0.$$

看到**“独立信息有多少”**，想到秩。

$$r(A).$$

看到**“最大无关组”**，把向量按列排，只作行变换，找原矩阵主元列。

看到**“空间维数”**，还是求秩。

$$\dim L({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s)=r({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s).$$

看到**“正交”**，计算内积。

$$(\alpha ,\beta )=0.$$

看到**“正交矩阵”**，立即使用。

$$Q^{-1}=Q^{\mathrm{T}}.$$

看到**“正交化”**，不断减去已有方向的投影。

看到**“换基”**，先写。

$$(\xi )=(\eta )C.$$

然后牢牢记住坐标方向相反：

$$[\alpha {]}_{\eta }=C[\alpha {]}_{\xi }.$$

如果把这套“翻译机制”掌握住，第 3 章就不会再是一堆互相独立的概念，而会变成同一个问题的不同表达方式。这也是后面做线性方程组、特征向量、相似对角化时最重要的基础。