第 4 章 线性方程组

本章综合矩阵、秩与向量组知识，重点解决解的存在性与个数判断、基础解系、齐次与非齐次通解以及参数讨论。

一、第4章到底在研究什么？

整个第4章其实可以浓缩成一条主线：

$$\boxed{\text{系数矩阵}⟶\text{矩阵的秩}⟶\text{判断解的情况}⟶\text{确定自由变量}⟶\text{写出通解}}$$

对于非齐次方程组，还要再记住第二条主线：

$$\boxed{\text{非齐次方程组的通解}=\text{一个特解}+\text{对应齐次方程组的通解}}$$

讲义把这两点作为本章核心。

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二、线性方程组的三种表示形式

设有一个含有 $m$ 个方程、$n$ 个未知数的线性方程组。

1. 普通方程形式

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n=b_1,\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n=b_2,\\ ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n=b_m.\end{array}$$

定义

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$$

为系数矩阵。

未知向量记作

$$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),$$

常数列记作

$$\beta =\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right).$$

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2. 矩阵形式

于是方程组写成

$$\boxed{AX=\beta }$$

这就是非齐次线性方程组。

如果右端全为零：

$$\boxed{AX=0}$$

称为齐次线性方程组。

若向量 $\xi$ 是非齐次方程组的解，则

$$A\xi =\beta .$$

若向量 $\eta$ 是齐次方程组的解，则

$$A\eta =0.$$

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3. 向量形式

假设矩阵 $A$ 的列向量为

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n).$$

那么

$$AX=\beta$$

实际上就是

$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n=\beta .$$

所以：

$$\boxed{AX=\beta \text{ 有解}⟺\beta \text{ 能由 }{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\text{ 线性表示}}$$

这一点非常重要。

它把“方程组有无解”和上一章的“向量能否线性表示”完全统一起来。

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三、非齐次线性方程组解的判别——全章第一核心

考虑

$$AX=\beta ,$$

其中未知数共有 $n$ 个。

必须关注三个数：

$$r(A),r(A\mid \beta ),n.$$

这里

$$(A\mid \beta )$$

叫增广矩阵。

讲义给出的基本判别定理是：

1. 无解

$$\boxed{r(A)<r(A\mid \beta )}$$

为什么？

因为加入常数列 $\beta$ 后，秩增大，说明

$$\beta$$

不能由 $A$ 的列向量线性表示。

从向量角度，也就是方程

$$x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n=\beta$$

根本无法成立。

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2. 唯一解

$$\boxed{r(A)=r(A\mid \beta )=n}$$

首先两个秩相等，保证有解。

然后公共秩又等于未知数个数 $n$，说明没有自由变量，因此解唯一。

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3. 无穷多解

$$\boxed{r(A)=r(A\mid \beta )<n}$$

因为两个秩相等，所以有解。

但

$$r(A)<n,$$

所以必然存在自由变量，而且自由变量个数为

$$\boxed{n-r(A)}$$

每个自由变量都可以任意取值，因此存在无穷多组解。

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四、最重要的判别流程：先有无，再多少

做题时，不建议一次死背三个公式，而应该按照下面两步。

第一步：判断有没有解

比较

$$r(A)$$

和

$$r(A\mid \beta ).$$

若

$$r(A)=r(A\mid \beta ),$$

有解。

若

$$r(A)<r(A\mid \beta ),$$

无解。

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第二步：如果有解，再判断解有几个

若公共秩为

$$r(A)=n,$$

唯一解。

若公共秩为

$$r(A)<n,$$

无穷多解。

所以可以记成：

$$\boxed{\text{先比两个秩判有无，再和 }n\text{ 比判唯一或无穷}}$$

这是本章最值得形成条件反射的一条规则。

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五、一个非常容易出选择题的细节：方程个数 $m$

讲义专门用例题强调了这一点。

虽然判别公式里面没有直接出现方程个数 $m$，但

$$r(A)\le m,$$

同时

$$r(A\mid \beta )\le m.$$

因此如果已经知道

$$r(A)=m,$$

那么必有

$$r(A\mid \beta )=m.$$

于是

$$\boxed{r(A)=m⟹AX=\beta \text{ 对任意 }\beta \text{ 都有解}}$$

注意这里说的是有解，不是一定唯一。

典型例题正是在考这个陷阱。

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若方程数少于未知数数

如果

$$m<n,$$

那么

$$r(A)\le m<n.$$

因此方程组绝对不可能满足

$$r(A)=n.$$

所以：

$$\boxed{m<n⟹\text{非齐次方程组若有解，则必有无穷多解}}$$

注意仍然可能无解。

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六、方阵情形：行列式重新出现

如果 $A$ 是 $n$ 阶方阵，那么

$$|A|\ne 0⟺r(A)=n.$$

因此

$$|A|\ne 0$$

时，对于任意 $\beta$，

$$AX=\beta$$

都有唯一解。

并且

$$X=A^{-1}\beta .$$

也可以用克拉默法则。

但是特别注意：

$$|A|=0$$

只能说明

$$r(A)<n.$$

因此只能得到：

$$\boxed{\text{不可能唯一解}}$$

并不能直接断定是无穷多解。

还可能出现

$$r(A)<r(A\mid \beta ),$$

即无解。

这是参数题最常见的坑之一。

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七、齐次线性方程组——第二核心

齐次方程组为

$$AX=0.$$

与非齐次不同，它永远至少有一个解：

$$X=0.$$

这个解叫零解。

所以齐次方程组不可能“无解”。

只有两种情况：

• 只有零解；
• 除零解之外还有非零解。

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八、齐次方程组什么时候只有零解？

结论：

$$\boxed{AX=0\text{ 只有零解}⟺r(A)=n}$$

其中 $n$ 是未知数个数，也就是 $A$ 的列数。

这就是所谓的列满秩。

因为

$$r(A)=n$$

意味着 $A$ 的 $n$ 个列向量线性无关。

于是

$$x_1{\alpha }_1+\cdots +x_n{\alpha }_n=0$$

只能有

$$x_1=x_2=\cdots =x_n=0.$$

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九、什么时候有非零解？

恰好相反：

$$\boxed{AX=0\text{ 有非零解}⟺r(A)<n}$$

也等价于：

$$\boxed{A\text{ 的列向量线性相关}}$$

如果 $A$ 是 $n$ 阶方阵，还可写成

$$\boxed{|A|=0}$$

所以有一串非常重要的等价关系：

$$\boxed{AX=0\text{ 有非零解}⟺r(A)<n⟺A\text{ 的列向量线性相关}}$$

若 $A$ 为方阵：

$$\boxed{AX=0\text{ 有非零解}⟺|A|=0}$$

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十、为什么“未知数多于方程”时齐次方程一定有非零解？

若

$$m<n,$$

则

$$r(A)\le m<n.$$

因此必有

$$r(A)<n.$$

于是

$$\boxed{AX=0\text{ 必有非零解}}$$

这条结论非常常考。

注意它只对齐次方程组可以直接这么说。

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十一、什么叫基础解系？

这是第4章最重要的概念之一。

对于

$$AX=0,$$

所有解组成一个向量空间。

从所有解中选出一组最大线性无关组：

$${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_s,$$

就称为齐次方程组的一个基础解系。

换句话说，一组向量想成为基础解系，必须同时满足三个条件：

条件1：都是解

$$A{\eta }_i=0.$$

条件2：线性无关

$${\eta }_1,\dots ,{\eta }_s$$

必须线性无关。

条件3：个数正确

$$\boxed{s=n-r(A)}$$

这是讲义反复强调的检查方法。

因此：

$$\boxed{\text{基础解系所含解向量个数}=n-r(A)}$$

这一公式必须背到条件反射。

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十二、为什么是 $n-r(A)$ 个？

假设把矩阵化成阶梯形以后有

$$r(A)=r.$$

那么共有 $r$ 个主元变量。

总未知数为 $n$。

因此自由变量个数就是

$$n-r.$$

每一个自由变量都对应解空间的一个独立方向。

于是解空间维数：

$$\boxed{\dim N(A)=n-r(A)}$$

基础解系正好是解空间的一组基，因此向量个数自然也是

$$n-r(A).$$

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十三、讲义中的经典概念题：怎么判断一组向量是不是基础解系？

例如讲义中的方程组：

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_3=0,\\ 2x_2+x_4=0.\end{array}$$

其系数矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 2& 0& 1\end{array}\right).$$

显然

$$r(A)=2,n=4.$$

所以基础解系必须含

$$4-2=2$$

个向量。

因此，如果某个选项只给一个向量，立即排除。

如果给两个向量但二者线性相关，也立即排除。

最后才检查它们是否真是方程组的解。

所以判断基础解系的最佳顺序是：

$$\boxed{\text{个数}\to \text{线性无关}\to \text{是不是解}}$$

而不是傻乎乎重新把整个方程组通解求一遍。

典型例题正是强调这种“概念优先于计算”的思路。

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十四、利用“基础解系个数”反推秩

这是考研非常喜欢的逆向命题。

若一个有 $n$ 个未知数的齐次方程组，其基础解系含 $s$ 个向量，那么

$$s=n-r(A).$$

所以

$$\boxed{r(A)=n-s}$$

例如：

一个三元齐次方程组的基础解系由两个向量组成。

则

$$n=3,s=2.$$

因此

$$r(A)=3-2=1.$$

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十五、典型例题：已知基础解系反求参数

讲义给出两个向量

$$\left(\begin{array}{c}1\\ a\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\\ b\end{array}\right)$$

构成齐次方程组

$$\{\begin{array}{l}s{x}_1+x_2-2x_3=0,\\ 2x_1-t{x}_2-2x_3=0\end{array}$$

的基础解系。

因为解向量是三维的，所以

$$n=3.$$

基础解系有两个向量，所以

$$n-r(A)=2.$$

因此

$$r(A)=1.$$

这意味着两行必须成比例。

系数矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccc}s& 1& -2\\ 2& -t& -2\end{array}\right).$$

注意第三个元素都是

$$-2,$$

所以比例只能是 $1$。

因此

$$s=2,$$

同时

$$1=-t,$$

于是

$$t=-1.$$

方程组实际上化成

$$2x_1+x_2-2x_3=0.$$

再代入第一个基础解：

$$2+a-4=0,$$

所以

$$a=2.$$

代入第二个：

$$-2+4-2b=0,$$

于是

$$b=1.$$

所以

$$\boxed{a=2,b=1,s=2,t=-1}$$

这个题最关键的技巧就是：

看到“构成基础解系”，第一反应先数个数，从而反推秩。

而不是一开始就把两个向量全部代进去列四个方程。

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十六、齐次方程组的通解

若

$${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_s$$

是基础解系，则齐次方程组的全部解为

$$\boxed{X=c_1{\eta }_1+c_2{\eta }_2+\cdots +c_s{\eta }_s}$$

其中

$$c_1,c_2,\dots ,c_s$$

任意。

因为齐次方程解有一个很重要的封闭性：

若

$$A{\eta }_1=0,A{\eta }_2=0,$$

那么

$$A(c_1{\eta }_1+c_2{\eta }_2)=c_{1}A{\eta }_1+c_{2}A{\eta }_2=0.$$

因此任意线性组合仍是解。

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十七、齐次方程组怎么实际求通解？

这是标准计算题。

假设：

$$AX=0.$$

第一步：对 $A$ 作初等行变换

化成阶梯形或者行最简形。

第二步：求秩

非零行数就是

$$r(A).$$

第三步：找自由变量

自由变量个数：

$$n-r(A).$$

第四步：用自由变量表示主元变量

第五步：拆成向量形式

从而得到基础解系。

第六步：写通解

$$X=c_1{\eta }_1+\cdots +c_s{\eta }_s.$$

讲义也将求解流程总结为：

$$\boxed{A\to \text{阶梯形}\to \text{自由变量}\to \text{基础解系}\to \text{通解}}$$

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十八、补充演算例：完整求一个齐次方程组

为帮助理解，下面补一个完整例子。

求

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3+x_4=0,\\ 2x_1+x_2+3x_3+2x_4=0.\end{array}$$

系数矩阵：

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 1& 3& 2\end{array}\right).$$

作行变换：

$$R_2\leftarrow R_2-2R_1,$$

得到

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 0\end{array}\right).$$

第二行：

$$-x_2+x_3=0,$$

所以

$$x_2=x_3.$$

第一行：

$$x_1+x_2+x_3+x_4=0.$$

代入：

$$x_1+2x_3+x_4=0.$$

所以

$$x_1=-2x_3-x_4.$$

选择

$$x_3=s,x_4=t.$$

则

$$X=\left(\begin{array}{c}-2s-t\\ s\\ s\\ t\end{array}\right).$$

拆开：

$$X=s\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

所以一个基础解系为

$${\eta }_1=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right),{\eta }_2=\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

而通解为

$$\boxed{X=c_1{\eta }_1+c_2{\eta }_2}$$

这里

$$r(A)=2,n=4,$$

所以

$$n-r(A)=2,$$

刚好对应两个自由参数。

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十九、非齐次线性方程组的解有什么特殊结构？

现在考虑

$$AX=\beta ,\beta \ne 0.$$

这是本章非常重要的一部分。

1. 两个非齐次解之差一定是齐次解

假设

$$A{\xi }_1=\beta ,$$

以及

$$A{\xi }_2=\beta .$$

相减：

$$A({\xi }_1-{\xi }_2)=A{\xi }_1-A{\xi }_2=\beta -\beta =0.$$

因此：

$$\boxed{{\xi }_1-{\xi }_2\text{ 是导出组 }AX=0\text{ 的解}}$$

这里

$$AX=0$$

叫原非齐次方程组的导出组。

这是考研非常高频的结论。

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二十、特解 + 齐次解 = 非齐次解

若

$$A{\xi }_0=\beta$$

且

$$A\eta =0,$$

则

$$A({\xi }_0+\eta )=A{\xi }_0+A\eta =\beta .$$

因此

$${\xi }_0+\eta$$

仍是原非齐次方程组的解。

这说明非齐次方程组所有解都可以写成：

$$\boxed{\text{一个固定特解}+\text{一个任意齐次解}}$$

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二十一、非齐次方程组的通解公式

设

$${\xi }_0$$

是

$$AX=\beta$$

的一个特解。

设

$${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_s$$

是导出组

$$AX=0$$

的基础解系。

那么非齐次方程组通解为

$$\boxed{X={\xi }_0+c_1{\eta }_1+c_2{\eta }_2+\cdots +c_s{\eta }_s}$$

其中

$$s=n-r(A).$$

这就是本章第二个必须背熟的公式。

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二十二、为什么非齐次方程组的解集不是向量空间？

齐次解集是向量空间。

但是非齐次解集一般不是。

因为如果

$$A\xi =\beta ,\beta \ne 0,$$

则零向量满足

$$A0=0\ne \beta .$$

所以零向量不在解集中。

同时假设

$$A{\xi }_1=\beta ,A{\xi }_2=\beta ,$$

则

$$A({\xi }_1+{\xi }_2)=2\beta ,$$

通常并不等于

$$\beta .$$

所以两个解相加一般不再是解。

几何上，非齐次解集可以理解为：

$$\boxed{\text{齐次解空间整体平移了一下}}$$

即

$${\xi }_0+N(A).$$

讲义也专门强调这一点。

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二十三、非齐次解的线性组合——高频选择题公式

假设

$$A{\xi }_i=\beta ,i=1,2,\dots ,s.$$

考虑

$$\xi =c_1{\xi }_1+\cdots +c_s{\xi }_s.$$

则

$$A\xi =c_{1}A{\xi }_1+\cdots +c_{s}A{\xi }_s.$$

所以

$$A\xi =(c_1+\cdots +c_s)\beta .$$

因此得到两个超级重要的结论。

若仍是原非齐次方程组的解

必须满足

$$\boxed{c_1+c_2+\cdots +c_s=1}$$

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若成为对应齐次方程组的解

必须满足

$$\boxed{c_1+c_2+\cdots +c_s=0}$$

例如若

$${\xi }_1,{\xi }_2$$

都是非齐次解，则

$$\frac{1}{2}{\xi }_1+\frac{1}{2}{\xi }_2$$

仍为原非齐次方程组的解，因为

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1.$$

但

$${\xi }_1-{\xi }_2$$

是齐次解，因为

$$1+(-1)=0.$$

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二十四、已知多个非齐次解，怎么利用？

假设

$${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$$

都是

$$AX=\beta$$

的解。

那么

$${\xi }_2-{\xi }_1,{\xi }_3-{\xi }_1$$

都是

$$AX=0$$

的解。

如果原来的

$${\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3$$

线性无关，那么这两个差向量也线性无关。

所以，当题目已经表明若干非齐次解时，千万不要无视这些信息再从头高斯消元。

可以直接“做差”，快速找到导出组的解。

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二十五、非齐次解集的秩

讲义还给出了一个很实用的结论。

若

$$AX=\beta$$

有解，则非齐次方程组的全部解所组成向量组的秩为

$$\boxed{n-r(A)+1}$$

理解方法：

导出组的维数为

$$n-r(A).$$

而特解

$${\xi }_0$$

不属于导出组，因为

$$A{\xi }_0=\beta \ne 0.$$

所以加入一个特解后，最大无关组还能多一个向量。

因此：

$$\boxed{r(\text{非齐次解集})=n-r(A)+1}$$

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二十六、非齐次方程组通解怎么实际求？

考虑

$$AX=\beta .$$

标准步骤：

$$\boxed{(A\mid \beta )\to \text{行阶梯形}\to \text{判断有无解}\to \text{求一个特解}\to \text{求导出组基础解系}}$$

最后写

$$\boxed{X={\xi }_0+c_1{\eta }_1+\cdots +c_s{\eta }_s}$$

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二十七、补充演算例：非齐次通解

求

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=1,\\ 2x_1+x_2+3x_3=2.\end{array}$$

增广矩阵：

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 2& 1& 3& 2\end{array}\right).$$

作

$$R_2\leftarrow R_2-2R_1,$$

得到

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& -1& 1& 0\end{array}\right).$$

因此

$$-x_2+x_3=0,$$

所以

$$x_2=x_3.$$

第一式：

$$x_1+2x_3=1.$$

令

$$x_3=t.$$

得到

$$x_2=t,$$

以及

$$x_1=1-2t.$$

于是

$$X=\left(\begin{array}{c}1-2t\\ t\\ t\end{array}\right).$$

拆成：

$$X=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$

所以一个特解是

$${\xi }_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),$$

导出组基础解系为

$$\eta =\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$

最终：

$$\boxed{X={\xi }_0+t\eta }$$

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二十八、如果题目已经给了一个特解，不要重复计算

若题目直接表明

$${\xi }_0$$

是

$$AX=\beta$$

的一个解，那么此时已经有特解了。

此时完全没必要再从增广矩阵里求一次。

只需要求

$$AX=0$$

的基础解系：

$${\eta }_1,\dots ,{\eta }_s.$$

然后直接写

$$X={\xi }_0+c_1{\eta }_1+\cdots +c_s{\eta }_s.$$

这是讲义总结的一个重要提速技巧。

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二十九、含参数线性方程组——考试大题核心题型

例如矩阵中含有参数

$$\lambda .$$

这类题不要直接用公式硬算。

最稳的方法是：

1. 写出增广矩阵；
2. 作初等行变换；
3. 尽量不要除以含参数的表达式；
4. 化到阶梯形；
5. 找到可能为零的主元；
6. 分类讨论。

讲义明确强调了这一套流程。

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三十、含参数消元时最典型的一行

假设最后得到：

$$(0,\dots ,0,a(\lambda )\mid b(\lambda )).$$

此时有三种情况。

情况一

$$a(\lambda )\ne 0.$$

那么这一行给出一个有效主元。

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情况二

$$a(\lambda )=0,b(\lambda )\ne 0.$$

那么这一行变成

$$0=b(\lambda ),$$

即矛盾。

所以：

$$\boxed{\text{无解}}$$

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情况三

$$a(\lambda )=0,b(\lambda )=0.$$

这一行变成全零行。

于是秩降低，自由变量数量增加。

所以往往对应无穷多解。

但还要看前面其他行。

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三十一、“存在两个不同解”意味着什么？

如果题目说：

方程组存在两个不同的解。

那么它一定不是唯一解。

又因为已经存在解，所以不能无解。

因此必然是：

$$\boxed{r(A)=r(A\mid \beta )<n}$$

也就是无穷多解。

线性方程组不存在“恰好两个解”这种情况：

$$\boxed{\text{有两个不同解}⟹\text{有无穷多个解}}$$

因为如果

$${\xi }_1\ne {\xi }_2$$

都是解，则

$${\xi }_1+t({\xi }_2-{\xi }_1)$$

对任意 $t$ 都是解。

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三十二、“有无穷多解”怎么翻译？

直接翻译成：

$$\boxed{r(A)=r(A\mid \beta )<n}$$

如果 $A$ 是方阵，可以先利用

$$|A|=0$$

寻找候选参数。

但必须再次检查

$$r(A)=r(A\mid \beta ).$$

不能写：

$$|A|=0\Rightarrow \text{无穷多解}.$$

这是错误的。

正确的是：

$$|A|=0\Rightarrow \text{没有唯一解}.$$

至于无解还是无穷多解，要检查增广矩阵。

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三十三、两个齐次方程组的解集包含关系

假设：

$$AX=0$$

的每一个解，也都是

$$BX=0$$

的解。

记零空间为

$$N(A),N(B).$$

那么：

$$N(A)\subseteq N(B).$$

因为

$$\dim N(A)=n-r(A),$$

而

$$\dim N(B)=n-r(B),$$

所以

$$n-r(A)\le n-r(B).$$

因此：

$$\boxed{r(A)\ge r(B)}$$

注意反过来一般不成立。

即：

$$r(A)\ge r(B)$$

并不能推出

$$N(A)\subseteq N(B).$$

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三十四、两个齐次方程组“同解”是什么意思？

若

$$AX=0$$

与

$$BX=0$$

有完全相同的解集，就是同解。

即

$$\boxed{N(A)=N(B)}$$

那么必有

$$r(A)=r(B).$$

但是：

$$\boxed{r(A)=r(B)}$$

只是必要条件，不是充分条件。

因为两个子空间维数相同，并不代表两个子空间本身相同。

例如在二维空间中，两条不同的过原点直线，维数都为 $1$，但显然不是同一条直线。

讲义将“秩相等就同解”列为高频错误。

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三十五、怎样证明一个方程组的解一定是另一个的解？

一个非常常用的方法：

如果存在矩阵 $C$，使得

$$B=CA,$$

那么

$$AX=0$$

时，

$$BX=CAX=0.$$

因此

$$\boxed{N(A)\subseteq N(B)}$$

这其实就是：第二组方程可以由第一组方程线性组合得到。

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三十六、两个方程组的公共解

假设有：

$$AX=0,$$

以及

$$BX=0.$$

所谓公共解，就是同时满足两组方程。

因此直接联立即可：

$$\{\begin{array}{l}AX=0,\\ BX=0.\end{array}$$

可以写成：

$$\boxed{\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)X=0}$$

因此公共解空间的维数为

$$\boxed{n-r\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)}$$

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三十七、公共解题更好的方法：先参数化一个，再代另一个

如果一个方程组已经给出了基础解系：

$${\eta }_1,{\eta }_2,\dots ,{\eta }_s,$$

那么其所有解为

$$X=c_1{\eta }_1+\cdots +c_s{\eta }_s.$$

若要求它与

$$AX=0$$

的公共解，就直接代入：

$$A(c_1{\eta }_1+\cdots +c_s{\eta }_s)=0.$$

于是未知数从原来的

$$x_1,\dots ,x_n$$

变成了少得多的

$$c_1,\dots ,c_s.$$

这通常比把两个方程组全部重新消元简单得多。

讲义把它总结成：

$$\boxed{\text{公共解题：优先参数化一个解集，再施加另一个条件}}$$

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三十八、矩阵乘积为零与线性方程组

如果出现：

$$AB=0.$$

假设

$$A_{m\times n},B_{n\times p}.$$

把 $B$ 按列写成：

$$B=({\beta }_1,\dots ,{\beta }_p).$$

那么

$$AB=0$$

就意味着

$$A{\beta }_i=0$$

对每一个 $i$ 成立。

也就是说：

$$B\text{ 的每个列向量都是 }AX=0\text{ 的解}.$$

因此

$$R(B)\subseteq N(A).$$

所以：

$$r(B)\le \dim N(A).$$

而

$$\dim N(A)=n-r(A).$$

所以：

$$r(B)\le n-r(A).$$

即：

$$\boxed{AB=0⟹r(A)+r(B)\le n}$$

其中 $n$ 是乘积的“中间维数”。

这是方程组理论和矩阵秩结合的典型综合题。

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三十九、列满秩矩阵的左消去律

如果

$$A$$

列满秩，即

$$r(A)=n,$$

那么

$$AX=0$$

只有零解。

因此若

$$AB=0,$$

把 $B$ 的每一列看作一个 $X$，都必须为零。

所以

$$\boxed{AB=0\Rightarrow B=0}$$

同理若

$$AB=AC,$$

则

$$A(B-C)=0.$$

因为 $A$ 列满秩，所以

$$B-C=0.$$

于是

$$\boxed{AB=AC\Rightarrow B=C}$$

这叫左消去律。

注意：

不要求 $A$ 是方阵。

只需要

$$\boxed{A\text{ 列满秩}}$$

即可。

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四十、列满秩与乘积的秩

讲义给出推论：

若 $A$ 列满秩，则

$$\boxed{r(AB)=r(B)}$$

直观理解：

左乘 $A$ 不会把 $B$ 原来线性无关的列关系“压扁”。

相应地，如果 $B$ 行满秩，那么

$$\boxed{r(AB)=r(A)}$$

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四十一、矩阵方程 $AX=B$

这是普通线性方程组的自然推广。

假设：

$$A_{m\times n},X_{n\times s},B_{m\times s}.$$

把未知矩阵按列写成：

$$X=(x_1,x_2,\dots ,x_s),$$

把 $B$ 写成：

$$B=({\beta }_1,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_s).$$

于是

$$AX=B$$

实际上等价于

$$A{x}_1={\beta }_1,$$ $$A{x}_2={\beta }_2,$$

……

$$A{x}_s={\beta }_s.$$

即：

$$\boxed{AX=B\text{ 就是多个同系数线性方程组}}$$

所以它有解当且仅当 $B$ 每一列都能由 $A$ 的列向量表示。

讲义进一步给出矩阵方程的通解：

若

$$X_0$$

是一个特解，且矩阵

$$N=({\eta }_1,\dots ,{\eta }_{n-r})$$

的列构成

$$AX=0$$

的基础解系，则

$$\boxed{X=X_0+NH}$$

其中 $H$ 为任意适当阶数矩阵。

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四十二、本章最重要的题型总结

结合讲义，可以把第4章考研题基本归入以下几类。

题型1：判断解的情况

看到

$$AX=\beta$$

立即想到：

$$r(A),r(A\mid \beta ),n.$$

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题型2：判断齐次方程组是否有非零解

立即想到：

$$\boxed{r(A)<n}$$

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题型3：根据基础解系个数求秩

基础解系有 $s$ 个向量：

$$\boxed{r(A)=n-s}$$

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题型4：判断某组向量是否为基础解系

按顺序检查：

$$\boxed{\text{个数}\to \text{线性无关}\to \text{都是解}}$$

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题型5：求齐次通解

$$A\to \text{行阶梯形}\to \text{自由变量}\to \text{基础解系}\to \text{通解}$$

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题型6：求非齐次通解

$$(A\mid \beta )\to \text{判断有解}\to \text{找特解}\to \text{导出组基础解系}$$

最后：

$$X={\xi }_0+c_1{\eta }_1+\cdots +c_s{\eta }_s.$$

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题型7：已知多个非齐次解

立即想到：

$$\boxed{{\xi }_i-{\xi }_j\text{ 是齐次解}}$$

以及：

$$\boxed{\sum c_i=0\Rightarrow \sum c_i{\xi }_i\text{ 是齐次解}}$$ $$\boxed{\sum c_i=1\Rightarrow \sum c_i{\xi }_i\text{ 是原非齐次解}}$$

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题型8：含参数方程组

原则：

$$\boxed{\text{先消元，后分类}}$$

尤其避免随意除以

$$a-\lambda$$

这种可能为零的表达式。

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题型9：公共解

优先：

$$\boxed{\text{先写一个方程组的通解，再代入另一个}}$$

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题型10：两个齐次方程组同解

本质：

$$N(A)=N(B).$$

注意：

$$r(A)=r(B)$$

不够。

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四十三、本章最容易犯的错误

讲义的总结非常值得直接记住。

错误1：认为齐次方程组可能无解

错误。

永远有

$$X=0.$$

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错误2：看到

$$|A|=0$$

就说非齐次方程组无穷多解

错误。

只能推出：

$$\text{不是唯一解}.$$

还可能无解。

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错误3：把基础解系向量个数写成 $r(A)$

错误。

应该是

$$\boxed{n-r(A)}$$

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错误4：认为一堆非零解就是基础解系

错误。

还必须：

$$\text{线性无关}$$

并且数量恰好为

$$n-r(A).$$

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错误5：非齐次通解漏掉特解

不能写成

$$X=c_1{\eta }_1+\cdots +c_s{\eta }_s.$$

那是齐次通解。

非齐次必须写：

$$\boxed{X={\xi }_0+c_1{\eta }_1+\cdots +c_s{\eta }_s}$$

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错误6：认为两个非齐次解的和仍是解

若

$$A{\xi }_1=A{\xi }_2=\beta ,$$

则

$$A({\xi }_1+{\xi }_2)=2\beta .$$

所以一般不是原方程组的解。

但：

$${\xi }_1-{\xi }_2$$

一定是齐次解。

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错误7：认为两个齐次方程组秩相同就同解

错误。

只能说明两个解空间维数相同。

不能说明解空间相同。

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四十四、第4章必须背熟的核心公式

考试前至少把下面这组公式记熟。

一般方程组无解

$$\boxed{r(A)<r(A\mid \beta )}$$

一般方程组唯一解

$$\boxed{r(A)=r(A\mid \beta )=n}$$

一般方程组无穷多解

$$\boxed{r(A)=r(A\mid \beta )<n}$$

齐次方程组有非零解

$$\boxed{r(A)<n}$$

基础解系向量数

$$\boxed{n-r(A)}$$

齐次通解

$$\boxed{X=c_1{\eta }_1+\cdots +c_s{\eta }_s}$$

非齐次通解

$$\boxed{X={\xi }_0+c_1{\eta }_1+\cdots +c_s{\eta }_s}$$

两个非齐次解之差

$$\boxed{{\xi }_1-{\xi }_2}$$

是导出组解。

非齐次解的线性组合

原方程组解：

$$\boxed{\sum c_i=1}$$

导出组解：

$$\boxed{\sum c_i=0}$$

乘积为零

$$\boxed{AB=0⟹r(A)+r(B)\le n}$$

其中 $n$ 是中间维数。

解集包含

$$\boxed{N(A)\subseteq N(B)⟹r(A)\ge r(B)}$$

这些基本就是第4章概念题和综合题的“底层公式库”。

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四十五、最后把整章压缩成一个“做题决策树”

拿到一道线性方程组题，先问：

第一问：齐次还是非齐次？

若是

$$AX=0,$$

重点看

$$r(A)\text{和}n.$$

若是

$$AX=\beta ,$$

重点看

$$r(A),r(A\mid \beta ),n.$$

然后：

$$\boxed{r(A)\ne r(A\mid \beta )\Rightarrow 无解}$$

若二者相等，再看：

$$\boxed{r(A)=n\Rightarrow 唯一解}$$ $$\boxed{r(A)<n\Rightarrow 无穷多解}$$

若要求通解，再看：

$$\boxed{\text{自由变量数}=n-r(A)}$$

齐次：

$$\boxed{\text{通解}=\text{基础解系的线性组合}}$$

非齐次：

$$\boxed{\text{通解}=\text{特解}+\text{基础解系的线性组合}}$$

如果题目已经给若干非齐次解，则优先利用：

$$\boxed{\text{两个解作差}\to \text{导出组解}}$$

如果含参数：

$$\boxed{\text{先消元，不随便除参数，再分类}}$$

如果求公共解：

$$\boxed{\text{先参数化一个解集，再代入另一个}}$$

所以第4章真正的核心不是“会不会高斯消元”，而是看到题目条件后，能不能立刻翻译成“秩、自由度、基础解系和解空间”的语言。 这也是讲义中反复强调“考研注重概念、不能只把求解过程格式化”的原因。