第 5 章 特征值、特征向量与相似对角化

本章围绕特征值与特征向量、矩阵相似、相似对角化和实对称矩阵的正交对角化建立完整知识体系，并为下一章二次型奠定基础。

一、先建立整章的核心直觉

假设矩阵 $A$ 作用在向量 $x$ 上：

$$x⟼Ax.$$

一般来说，$Ax$ 的长度和方向都会改变。

但可能存在一些非常特殊的方向：经过 $A$ 作用以后，方向没有发生本质变化，只是被放大、缩小或者反向。

也就是：

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

这里：

• $\alpha \ne 0$ 称为特征向量；
• $\lambda$ 称为对应的特征值。

例如

$$A\alpha =3\alpha$$

表示沿着 $\alpha$ 这个方向，矩阵 $A$ 的作用只是放大 3 倍。

如果

$$A\alpha =-2\alpha ,$$

则长度变成 2 倍，同时方向反转。

如果

$$A\alpha =0,$$

那么 $\alpha \ne 0$ 被压到零向量，所以此时

$$\lambda =0$$

也是完全合法的特征值。

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二、特征值与特征向量

1. 定义

资料中的定义是：

若

$$\alpha \ne 0$$

且存在数 $\lambda$，使

$$A\alpha =\lambda \alpha ,$$

则 $\alpha$ 是 $A$ 的特征向量，$\lambda$ 是其对应特征值。

特别注意：

零向量永远不能叫特征向量。

因为对零向量，

$$A0=\lambda 0$$

对任意 $\lambda$ 都成立，就无法体现任何特殊方向。

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三、为什么特征值通过行列式求？

从

$$A\alpha =\lambda \alpha$$

移项：

$$(A-\lambda E)\alpha =0.$$

我们要求存在

$$\alpha \ne 0.$$

也就是说齐次方程组

$$(A-\lambda E)X=0$$

必须具有非零解。

齐次方程组有非零解的充要条件是

$$r(A-\lambda E)<n,$$

对于 $n$ 阶方阵等价于

$$|A-\lambda E|=0.$$

因此：

$$\boxed{\lambda \text{ 是 }A\text{ 的特征值}⟺|A-\lambda E|=0}$$

通常写成

$$|\lambda E-A|=0.$$

把

$$|\lambda E-A|$$

称为特征多项式。

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四、标准计算流程

给一个具体矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots \\ a_{21}& a_{22}& \cdots \\ ⋮& ⋮& \end{array}\right),$$

标准三步：

第一步：求特征多项式

$$|\lambda E-A|.$$

第二步：解特征方程

$$|\lambda E-A|=0.$$

得到

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots$$

第三步：逐个求特征向量

对于每一个 ${\lambda }_i$，解

$$(A-{\lambda }_{i}E)X=0.$$

基础解系中的非零线性组合就是属于 ${\lambda }_i$ 的全部特征向量。

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五、一个非常典型的计算例子

资料例 5.8 给出

$$A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}\right).$$

如果硬算四阶特征行列式，非常麻烦。

观察：

$$r(A)=1,\mathrm{tr}(A)=4.$$

资料给出的重要结论是：

若 $n>1$ 且

$$r(A)\le 1,$$

则特征值为

$$0,0,\dots ,0,\mathrm{tr}(A).$$

因此这里直接得到

$$\boxed{0,0,0,4}.$$

属于 $\lambda =4$ 的特征向量满足

$$(A-4E)X=0,$$

最终得到

$$\alpha =(1,1,1,1{)}^T.$$

所以

$$A\alpha =4\alpha .$$

这很直观：每一行都在算

$$x_1+x_2+x_3+x_4.$$

而对于

$$(1,1,1,1{)}^T,$$

每一行结果都是 4，所以整体放大 4 倍。

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六、两个极其重要的特征值公式

设 $n$ 阶矩阵 $A$ 的全部特征值为

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n,$$

重复根按照重数重复写出。

资料给出：

$$\boxed{{\lambda }_1+{\lambda }_2+\cdots +{\lambda }_n=\mathrm{tr}(A)}$$

以及

$$\boxed{{\lambda }_1{\lambda }_2\cdots {\lambda }_n=|A|}.$$

其中迹为

$$\mathrm{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}.$$

这两个公式考研里非常好用。

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例：已知两个特征值求第三个

三阶矩阵 $A$ 已知

$${\lambda }_1=2,{\lambda }_2=-1,$$

而

$$\mathrm{tr}(A)=5.$$

那么

$$2+(-1)+{\lambda }_3=5,$$

所以

$$\boxed{{\lambda }_3=4}.$$

如果知道

$$|A|=-8,$$

则也可以：

$$2\cdot (-1)\cdot {\lambda }_3=-8,$$

得到

$${\lambda }_3=4.$$

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七、零特征值与可逆性的关系

这是必须形成条件反射的结论：

$$\boxed{A\text{ 可逆}⟺0\text{ 不是 }A\text{ 的特征值}}$$

为什么？

因为

$$0\text{ 是特征值}$$

等价于

$$|0E-A|=0,$$

即

$$|A|=0,$$

也就是 $A$ 不可逆。

进一步：

$$\boxed{A-\lambda E\text{ 可逆}⟺\lambda \text{ 不是 }A\text{ 的特征值}}$$

这在证明可逆性时极其重要。

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八、矩阵多项式与特征值：本章最强技巧之一

假设

$$A\alpha =\lambda \alpha .$$

那么

$$A^2\alpha =A(A\alpha )=A(\lambda \alpha )=\lambda A\alpha ={\lambda }^2\alpha .$$

所以

$$A^2\alpha ={\lambda }^2\alpha .$$

继续：

$$A^k\alpha ={\lambda }^k\alpha .$$

因此对于多项式

$$f(x)=a_0+a_{1}x+\cdots +a_m{x}^m,$$

有

$$\boxed{f(A)\alpha =f(\lambda )\alpha }.$$

也就是说：

如果 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，那么 $f(\lambda )$ 是 $f(A)$ 的对应特征值。

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例如

若 $A$ 的特征值是

$$1,2,3,$$

那么

$$A^2+2A+E$$

的特征值就是

$$1^2+2(1)+1=4,$$ $$2^2+2(2)+1=9,$$ $$3^2+2(3)+1=16.$$

即

$$\boxed{4,9,16}.$$

不需要真的把

$$A^2+2A+E$$

算出来。

这是本章极其重要的降维思想：

矩阵运算问题 → 特征值上的普通数值运算。

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九、由矩阵方程限制特征值

资料专门强调：

如果

$$f(A)=0,$$

那么 $A$ 的任何特征值 $\lambda$ 一定满足

$$\boxed{f(\lambda )=0}.$$

例如

$$A^3=A.$$

那么

$$A^3-A=0.$$

设 $\lambda$ 是特征值，则

$${\lambda }^3-\lambda =0,$$

即

$$\lambda (\lambda -1)(\lambda +1)=0.$$

因此

$$\boxed{\lambda \in \{0,1,-1\}}.$$

注意逻辑方向：

$$f(A)=0⟹f(\lambda )=0.$$

但是一般不能反过来说所有 $f(\lambda )=0$ 的根都一定是 $A$ 的特征值。

例如

$$A=E$$

满足

$$A^2=E,$$

方程

$${\lambda }^2=1$$

有

$$\lambda =\pm 1,$$

但 $E$ 实际只有特征值

$$1.$$

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十、$A^{-1}$、$A^{\ast }$、$A^T$ 的特征值

若 $A$ 可逆，$A$ 的特征值是

$${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n,$$

那么：

1. $A^{-1}$

$$\boxed{\frac{1}{{\lambda }_1},\dots ,\frac{1}{{\lambda }_n}}$$

因为

$$A\alpha =\lambda \alpha$$

推出

$$A^{-1}\alpha =\frac{1}{\lambda }\alpha .$$

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2. $A^{\ast }$

由

$$A^{\ast }=|A|A^{-1},$$

对应特征值为

$$\boxed{\frac{|A|}{{\lambda }_i}}.$$

而且在 $A$ 可逆时，$A$、$A^{-1}$、$A^{\ast }$ 的对应特征向量相同。

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3. $A^T$

$$\boxed{A^T\text{ 与 }A\text{ 有相同特征值}}$$

因为

$$|\lambda E-A^T|=|(\lambda E-A{)}^T|=|\lambda E-A|.$$

但是注意：

一般不能说 $A^T$ 和 $A$ 有相同特征向量。

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十一、特征值的代数重数和几何重数

这是理解“为什么有的矩阵不能对角化”的核心。

假设

$$\lambda$$

是特征多项式的 $k$ 重根。

称 $k$ 为它的代数重数。

另一方面，属于 $\lambda$ 的特征向量来自

$$(A-\lambda E)X=0.$$

其解空间维数为

$$n-r(A-\lambda E).$$

这个数量就是通常所说的几何重数。

所以：

$$\boxed{\text{几何重数}=n-r(A-\lambda E)}$$

资料给出的基本关系为

$$\boxed{k\ge n-r(A-\lambda E)}$$

即

$$\boxed{\text{代数重数}\ge \text{几何重数}.}$$

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举例

某三阶矩阵的特征值：

$$1,1,2.$$

其中 $\lambda =1$ 是二重根。

如果

$$r(A-E)=1,$$

则

$$3-r(A-E)=2.$$

于是 $\lambda =1$ 有两个线性无关的特征向量。

如果

$$r(A-E)=2,$$

则

$$3-r(A-E)=1.$$

虽然 $1$ 是二重特征值，但只能找到一个线性无关的特征向量。

后者正是不可对角化的典型情况。

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十二、不同特征值对应的特征向量线性无关

如果

$$A{\alpha }_1={\lambda }_1{\alpha }_1,A{\alpha }_2={\lambda }_2{\alpha }_2,$$

并且

$${\lambda }_1\ne {\lambda }_2,$$

那么

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

一定线性无关。

更一般地：

$$\boxed{{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_s\text{ 两两不同}⟹{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_s\text{ 线性无关}}$$

因此有极重要推论：

$$\boxed{n\text{ 阶矩阵有 }n\text{ 个互异特征值}⟹A\text{ 可对角化}.}$$

注意只是充分条件，不是必要条件。

例如

$$E$$

所有特征值都是 $1$，但显然已经是对角矩阵。

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十三、什么叫矩阵相似？

如果存在可逆矩阵 $P$，使

$$P^{-1}AP=B,$$

则称

$$\boxed{A\sim B}.$$

这个概念一定不要只当成一个公式背。

它真正表达的是：

$A$ 和 $B$ 描述的是同一个线性变换，只不过采用了不同的基。

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为什么是 $P^{-1}AP$？

假设新基为

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,$$

组成

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n).$$

若 $y$ 是新坐标，那么原坐标为

$$x=Py.$$

先作用 $A$：

$$Ax=APy.$$

再变回新坐标：

$$P^{-1}APy.$$

因此同一个线性变换在新基中的矩阵就是

$$\boxed{P^{-1}AP}.$$

所以“相似”本质上就是换基。

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十四、相似矩阵有哪些相同量？

如果

$$A\sim B,$$

资料给出：

$$|A|=|B|,$$ $$r(A)=r(B),$$ $$\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(B),$$ $$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|.$$

因此二者：

• 行列式相同；
• 秩相同；
• 迹相同；
• 特征多项式相同；
• 特征值完全相同。

但是有一个极重要的逻辑陷阱：

$$A\sim B⟹A,B\text{ 特征值相同}.$$

反过来一般：

$$\boxed{\text{特征值相同}/⟹A\sim B.}$$

例如

$$A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right).$$

二者特征值都是

$$0,0,$$

但

$$r(A)=0,r(B)=1,$$

所以不可能相似。

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十五、什么叫相似对角化？

如果存在可逆矩阵 $P$，使

$$P^{-1}AP=\Lambda ,$$

其中

$$\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n),$$

那么称 $A$可相似对角化。

这为什么重要？

因为一般矩阵很复杂，而对角矩阵极其简单。

例如

$${\Lambda }^m=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1^m& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n^m\end{array}\right).$$

如果

$$A=P\Lambda P^{-1},$$

则

$$\boxed{A^m=P{\Lambda }^m{P}^{-1}.}$$

于是一个复杂矩阵高次幂的问题，被转化成几个数的高次幂。

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十六、为什么 $P$ 的列一定是特征向量？

设

$$P=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$$

并且

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & \\ & \ddots & \\ & & {\lambda }_n\end{array}\right).$$

两边左乘 $P$：

$$AP=P\Lambda .$$

左边是

$$AP=(A{\alpha }_1,\dots ,A{\alpha }_n),$$

右边是

$$P\Lambda =({\lambda }_1{\alpha }_1,\dots ,{\lambda }_n{\alpha }_n).$$

于是

$$A{\alpha }_i={\lambda }_i{\alpha }_i.$$

因此：

$$\boxed{P\text{ 的各列就是 }A\text{ 的线性无关特征向量}.}$$

这就是整个对角化理论的核心。

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十七、可对角化的两个等价判据

资料给出两个最重要的判定方法。

判据一

$$\boxed{A\text{ 可对角化}⟺A\text{ 有 }n\text{ 个线性无关的特征向量}}$$

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判据二

设不同特征值为

$${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_s,$$

对应代数重数

$$k_1,\dots ,k_s.$$

则

$$\boxed{A\text{ 可对角化}⟺k_i=n-r(A-{\lambda }_{i}E)}$$

对所有 $i$ 都成立。

也就是：

$$\boxed{\text{代数重数}=\text{几何重数}}$$

对每一个特征值都成立。

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十八、考研判断可对角化的最快流程

看到：

判断 $A$ 能否相似对角化。

建议直接这样做。

第一步

求

$$|\lambda E-A|.$$

第二步

找重根。

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情况 A：全部互异

直接写：

$$\boxed{A\text{ 可对角化}}.$$

不用继续算特征向量。

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情况 B：存在重根

例如：

$${\lambda }_1=1\text{二重},{\lambda }_2=3.$$

只检查二重根 $1$：

$$3-r(A-E)\stackrel{?}{=}2.$$

即：

$$r(A-E)\stackrel{?}{=}1.$$

若成立：

$$A\text{ 可对角化}.$$

若

$$r(A-E)=2,$$

则只有

$$3-2=1$$

个线性无关特征向量，不够两个，因此不可对角化。

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十九、资料中的典型参数题

资料例 5.30：

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -3\\ -1& 4& -3\\ 1& a& 5\end{array}\right)$$

已知有一个二重特征值。

特征多项式化为

$$|\lambda E-A|=(\lambda -2)({\lambda }^2-8\lambda +18+3a).$$

要出现二重根，有两种情况。

第一种

$2$ 同时是二次因式的根：

$$4-16+18+3a=0,$$

得到

$$a=-2.$$

特征值：

$$2,2,6.$$

此时

$$r(A-2E)=1,$$

所以

$$3-r(A-2E)=2.$$

等于 $2$ 的代数重数，因此

$$\boxed{A\text{ 可对角化}}.$$

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第二种

二次因式本身出现二重根。

最终得到

$$a=-\frac{2}{3},$$

特征值

$$2,4,4.$$

但是

$$r(A-4E)=2,$$

于是

$$3-r(A-4E)=1<2.$$

只能找到一个属于 $\lambda =4$ 的线性无关特征向量。

所以

$$\boxed{A\text{ 不可对角化}}.$$

这就是考研最经典的“参数 + 重根 + 秩 + 对角化”题型。

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二十、如果能对角化，怎样真正求出 $P$？

假设特征值为

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_s.$$

逐个解：

$$(A-{\lambda }_{i}E)X=0.$$

最终找到 $n$ 个线性无关特征向量：

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n.$$

令

$$\boxed{P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)}$$

则

$$\boxed{P^{-1}AP=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n)}$$

注意：

$P$ 中特征向量的排列顺序必须与右侧对角线上特征值的排列顺序一一对应。

例如

$$A{\alpha }_1=2{\alpha }_1,A{\alpha }_2=2{\alpha }_2,A{\alpha }_3=6{\alpha }_3,$$

取

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),$$

那么一定是

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right).$$

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二十一、抽象向量型题：一定要会“矩阵分解法”

这是考研非常有价值的一类题。

例如已知

$$A{\alpha }_1={\alpha }_1+{\alpha }_2,$$ $$A{\alpha }_2=4{\alpha }_1+{\alpha }_2,$$

并且

$${\alpha }_1,{\alpha }_2$$

线性无关。

把它们拼起来：

$$A({\alpha }_1,{\alpha }_2)=({\alpha }_1+{\alpha }_2,4{\alpha }_1+{\alpha }_2).$$

右边提取：

$$A({\alpha }_1,{\alpha }_2)=({\alpha }_1,{\alpha }_2)\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 1\end{array}\right).$$

记

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2).$$

因为向量线性无关，所以 $P$ 可逆。

于是

$$AP=PB,$$

所以

$$\boxed{P^{-1}AP=B}$$

其中

$$B=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 1& 1\end{array}\right).$$

也就是说：

$$\boxed{A\sim B}.$$

以后根本不需要知道 $A$ 具体长什么样，直接研究 $B$。

特征值：

$$|\lambda E-B|=(\lambda -3)(\lambda +1),$$

所以 $A$ 的特征值就是

$$\boxed{3,-1}.$$

这种方法一定要掌握：

$$\boxed{A({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)B}$$

只要

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$$

线性无关，就有

$$\boxed{A\sim B}.$$

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二十二、“各行元素之和相等”是送特征值

假设矩阵每一行元素和都是 $c$。

令

$$\alpha =\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ ⋮\\ 1\end{array}\right).$$

那么

$$A\alpha =\left(\begin{array}{c}c\\ c\\ ⋮\\ c\end{array}\right)=c\alpha .$$

所以：

$$\boxed{\text{各行元素之和为 }c⟹c\text{ 是特征值}}$$

而

$$(1,1,\dots ,1{)}^T$$

就是对应特征向量。

资料例 5.12 就专门使用了这一技巧。

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二十三、实对称矩阵：本章第二个超级重点

若

$$A^T=A,$$

称 $A$ 为实对称矩阵。

资料给出的三个核心性质是：

性质 1

$$\boxed{\text{实对称矩阵的特征值全是实数}}$$

性质 2

不同特征值对应的特征向量正交：

$$\boxed{{\lambda }_1\ne {\lambda }_2⟹{\alpha }_1^T{\alpha }_2=0}$$

性质 3

实对称矩阵一定可对角化，而且可以使用正交矩阵进行对角化。

存在正交矩阵 $Q$：

$$Q^{T}Q=E,$$

使

$$\boxed{Q^{T}AQ=\Lambda .}$$

由于

$$Q^{-1}=Q^T,$$

所以这其实还是

$$Q^{-1}AQ=\Lambda .$$

只是 $Q$ 比普通的可逆矩阵 $P$ 更强。

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二十四、为什么实对称矩阵特别漂亮？

一般矩阵可对角化时：

$$P^{-1}AP=\Lambda .$$

只要求 $P$ 的列向量：

$${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$$

线性无关。

但对于实对称矩阵，可以把这些特征向量做到：

$${\alpha }_i^T{\alpha }_j=0(i\ne j)$$

并且

$$\Vert {\alpha }_i\Vert =1.$$

于是它们是一组标准正交基。

这正是为什么第 6 章二次型中可以通过正交变换

$$x=Qy$$

把二次型化成标准形。

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二十五、实对称矩阵正交对角化的完整步骤

必须背成算法。

给定

$$A=A^T.$$

第一步：求全部特征值

解

$$|\lambda E-A|=0.$$

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第二步：求每个特征值的特征向量

解

$$(A-{\lambda }_{i}E)X=0.$$

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第三步：正交化

这里分情况。

不同特征值

自动正交，不用施密特。

同一重特征值

它的特征子空间中可能得到多个不正交向量。

要进行施密特正交化。

例如原来

$${\alpha }_1,{\alpha }_2,$$

先令

$${\beta }_1={\alpha }_1,$$

再令

$${\beta }_2={\alpha }_2-\frac{{\alpha }_2^T{\beta }_1}{{\beta }_1^T{\beta }_1}{\beta }_1.$$

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第四步：单位化

$${\gamma }_i=\frac{{\beta }_i}{\Vert {\beta }_i\Vert }.$$

最后：

$${\gamma }_i^T{\gamma }_j=\{\begin{array}{ll}1,& i=j,\\ 0,& i\ne j.\end{array}$$

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第五步：组成 $Q$

$$Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,\dots ,{\gamma }_n).$$

于是

$$Q^{T}Q=E.$$

最终

$$\boxed{Q^{T}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n).}$$

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二十六、资料例 5.40：完整正交对角化

例如

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 2\\ 0& 2& 2\\ 2& 2& 4\end{array}\right).$$

特征多项式：

$$|\lambda E-A|=\lambda (\lambda -2)(\lambda -6).$$

所以

$${\lambda }_1=0,{\lambda }_2=2,{\lambda }_3=6.$$

三个特征值互异，所以三个特征向量自动正交。

分别可以求出：

$${\alpha }_1=(1,1,-1{)}^T,$$ $${\alpha }_2=(1,-1,0{)}^T,$$ $${\alpha }_3=(1,1,2{)}^T.$$

检查：

$${\alpha }_1^T{\alpha }_2=0,$$ $${\alpha }_1^T{\alpha }_3=0,$$ $${\alpha }_2^T{\alpha }_3=0.$$

单位化：

$${\gamma }_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1{)}^T,$$ $${\gamma }_2=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0{)}^T,$$ $${\gamma }_3=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2{)}^T.$$

构造

$$Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3),$$

那么

$$\boxed{Q^{T}AQ=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right).}$$

这就是正交对角化完整模板。

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二十七、实对称矩阵的“正交性补向量”技巧

考研非常喜欢给：

• 两个特征值；
• 两个特征向量；
• 要求求第三个。

例如三阶实对称矩阵特征值

$$1,2,3,$$

并已知

$${\alpha }_1=(-1,-1,1{)}^T$$

属于 $1$，

$${\alpha }_2=(1,-2,-1{)}^T$$

属于 $2$。

要求属于 $3$ 的特征向量。

因为不同特征值的特征向量正交，所以设

$${\alpha }_3=(x_1,x_2,x_3{)}^T$$

必须满足

$${\alpha }_1^T{\alpha }_3=0,$$ $${\alpha }_2^T{\alpha }_3=0.$$

即

$$\{\begin{array}{l}-x_1-x_2+x_3=0,\\ x_1-2x_2-x_3=0.\end{array}$$

解得可取

$$\boxed{{\alpha }_3=(1,0,1{)}^T.}$$

这比重新计算

$$(A-3E)X=0$$

往往快得多。

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二十八、一个很深刻的结论：只有一个特征值时

假设 $A$ 可对角化，并且唯一特征值为 $\lambda$。

那么对角化后只能是

$$P^{-1}AP=\lambda E.$$

于是

$$A=P(\lambda E)P^{-1}.$$

因为数量矩阵与所有矩阵交换：

$$P(\lambda E)P^{-1}=\lambda P{P}^{-1}=\lambda E.$$

因此：

$$\boxed{A\text{ 可对角化且只有特征值 }\lambda ⟹A=\lambda E.}$$

这是很多判断题的核心。

例如一个非零矩阵满足

$$A^2=0.$$

它的特征值只能满足

$${\lambda }^2=0,$$

即全部是

$$0.$$

如果它还能对角化，那么必须

$$A=0,$$

与“非零”矛盾。

所以：

$$\boxed{A\ne 0,A^2=0⟹A\text{ 不可对角化}.}$$

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二十九、两个特别值得记住的可对角化结论

资料中例 5.38 证明：

若

$$(A-aE)(A-bE)=0,a\ne b,$$

则

$$\boxed{A\text{ 一定可对角化}}.$$

因此：

幂等矩阵

如果

$$A^2=A,$$

则

$$A(A-E)=0.$$

两个根

$$0,1$$

不同，所以

$$\boxed{A\text{ 可对角化}}.$$

其特征值只能是

$$0,1.$$

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对合矩阵

如果

$$A^2=E,$$

则

$$(A-E)(A+E)=0.$$

根

$$1,-1$$

不同，因此

$$\boxed{A\text{ 可对角化}}.$$

其特征值只能是

$$1,-1.$$

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三十、秩为 1 的矩阵是非常重要的特殊模型

资料中特别总结：

若

$$r(A)=1,$$

则特征值为

$$\boxed{0,\dots ,0,\mathrm{tr}(A)}.$$

因此：

若

$$\mathrm{tr}(A)\ne 0,$$

特征值是

$$0(n-1\text{ 重}),\mathrm{tr}(A)\ne 0.$$

并且

$$n-r(A)=n-1,$$

所以 $0$ 的几何重数恰好也是 $n-1$。

因此可对角化。

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若

$$\mathrm{tr}(A)=0,$$

所有特征值都是

$$0.$$

如果可对角化，就必须

$$A=0.$$

但

$$r(A)=1,$$

矛盾。

所以

$$\boxed{r(A)=1⟹A\text{ 可对角化}⟺\mathrm{tr}(A)\ne 0.}$$

这是很好用的二级结论。

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三十一、$\alpha {\beta }^T$ 型矩阵

如果

$$A=\alpha {\beta }^T,$$

那么

$$r(A)\le 1.$$

资料给出的重要结论：

$$\boxed{A\text{ 的特征值为 }0,\dots ,0,{\beta }^T\alpha }$$

并且

$$A\alpha =\alpha {\beta }^T\alpha =({\beta }^T\alpha )\alpha .$$

所以只要

$$\alpha \ne 0,$$

就有

$$\boxed{\alpha \text{ 是特征向量，特征值为 }{\beta }^T\alpha .}$$

若

$$\alpha =\beta ,$$

那么

$$A=\alpha {\alpha }^T,$$

非零特征值为

$${\alpha }^T\alpha =\Vert \alpha {\Vert }^2.$$

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三十二、应用一：用特征值算行列式

一旦知道 $A$ 的特征值：

$${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n,$$

凡是看到

$$|f(A)|$$

就应该想到：

$$\boxed{|f(A)|=\prod _{i=1}^{n}f({\lambda }_i)}$$

例如 $A$ 的特征值是

$$1,2,3.$$

求

$$|A^2-4A+5E|.$$

对应特征值：

$$1-4+5=2,$$ $$4-8+5=1,$$ $$9-12+5=2.$$

所以

$$\boxed{|A^2-4A+5E|=2\cdot 1\cdot 2=4.}$$

千万不要真的算矩阵平方。

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三十三、应用二：证明矩阵可逆

例如资料例 5.24：

$$A^4+2A^3-5A^2+2A+5E=0.$$

证明

$$A-2E$$

可逆。

要证明

$$A-2E$$

可逆，只需要证明

$$2$$

不是 $A$ 的特征值。

如果 $2$ 是特征值，则它必须满足

$${\lambda }^4+2{\lambda }^3-5{\lambda }^2+2\lambda +5=0.$$

代入：

$$2^4+2\cdot 2^3-5\cdot 2^2+2\cdot 2+5$$ $$=16+16-20+4+5=21\ne 0.$$

所以 $2$ 不可能是特征值。

于是

$$\boxed{A-2E\text{ 可逆}}.$$

这个套路一定要掌握：

$$\boxed{\text{证明 }A-aE\text{ 可逆}\to \text{证明 }a\text{ 不是 }A\text{ 的特征值}}$$

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三十四、本章六大题型

本章资料最终把第 5 章整理成六类常考问题。

题型 1：直接使用定义

看到：

• 已知某向量是特征向量；
• 求参数；
• 求对应特征值。

直接：

$$\boxed{A\alpha =\lambda \alpha }$$

逐分量列方程。

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题型 2：计算特征值和特征向量

优先级不要一上来就展开行列式。

先观察：

1. 是否三角矩阵；

2. 是否对角矩阵；

3. 是否秩为 1；

4. 是否形如

   $$A=B+cE;$$

5. 是否知道行和；

6. 是否知道 $A\alpha =\lambda \alpha$；

7. 是否知道矩阵多项式方程；

8. 最后才一般计算

   $$|\lambda E-A|.$$

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题型 3：特征值计算行列式

核心：

$$|A|=\prod {\lambda }_i.$$

推广：

$$|f(A)|=\prod f({\lambda }_i).$$

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题型 4：利用特征值判断可逆

核心：

$$A-aE\text{ 可逆}⟺a\text{ 不是特征值}.$$

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题型 5：相似与相似对角化

这是全章最重要的综合题。

重点判断：

$$\boxed{k_i=n-r(A-{\lambda }_{i}E)}$$

特别检查重根。

若要求求 $P$，再解特征向量并组成

$$P=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n).$$

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题型 6：实对称矩阵

两个核心方向：

A. 正交对角化

求

$$Q^{T}AQ=\Lambda .$$

B. 利用正交性反求未知特征向量

$${\lambda }_i\ne {\lambda }_j⟹{\alpha }_i^T{\alpha }_j=0.$$

资料也明确把这两类作为实对称矩阵的主要考核内容。

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三十五、最容易错的 10 个结论

建议直接记下来。

① 特征向量不能为零

$$\alpha \ne 0.$$

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② 同一个特征值可以有无穷多个特征向量

若

$$A\alpha =\lambda \alpha ,$$

则

$$A(c\alpha )=\lambda (c\alpha ),c\ne 0.$$

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③ 特征值可以为 0

$$\lambda =0$$

完全合法。

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④ 不同特征值的特征向量一定线性无关

但对于一般矩阵：

$$\boxed{\text{不一定正交}}.$$

只有实对称矩阵中才有“不同特征值特征向量正交”。

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⑤ 特征值两两不同一定可对角化

$$n\text{ 个互异特征值}⟹n\text{ 个线性无关特征向量}.$$

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⑥ 有重特征值不代表不能对角化

关键看：

$$\boxed{\text{几何重数是否等于代数重数}}.$$

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⑦ 相似一定有相同特征值

但是

$$\boxed{\text{特征值相同一般不能推出相似}}.$$

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⑧ 实对称矩阵一定可对角化

而且更强：

$$\boxed{Q^{T}AQ=\Lambda }$$

可以正交对角化。

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⑨ 普通矩阵对角化的 $P$ 不要求正交

只要求：

$$|P|\ne 0.$$

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⑩ $P$ 的列顺序决定 $\Lambda$ 的对角线顺序

若

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3),$$

对应

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,$$

则

$$P^{-1}AP=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3).$$

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三十六、一张“考场决策树”

看到特征值题，建议脑中按下面走。

第一问：给了具体矩阵吗？

给了：

$$\downarrow$$

先观察特殊结构：

$$\text{三角？秩1？行和？}A=B+cE？$$

能直接求就不要展开行列式。

否则：

$$|\lambda E-A|=0.$$

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得到特征值以后：

如果求特征向量

$$(A-\lambda E)X=0.$$

如果求行列式

$$|A|=\prod {\lambda }_i.$$

如果求 $f(A)$ 的特征值

$$f({\lambda }_i).$$

如果证明 $A-aE$ 可逆

判断

$$a$$

是不是特征值。

如果判断可对角化

先看特征值是否互异。

互异：

$$\boxed{\text{直接可对角化}}$$

有重根：

$$\boxed{k_i\stackrel{?}{=}n-r(A-{\lambda }_{i}E)}$$

如果是实对称矩阵

直接知道：

$$\boxed{\text{一定可正交对角化}}$$

然后求标准正交特征向量组。

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三十七、本章真正应该形成的知识网络

把整章压缩成下面这张关系网：

$$A\alpha =\lambda \alpha$$ $$\Downarrow$$ $$(A-\lambda E)\alpha =0$$ $$\Downarrow$$ $$|\lambda E-A|=0$$ $$\Downarrow$$

得到特征值、特征向量。

然后：

$$\boxed{n\text{ 个线性无关特征向量}}$$ $$\Updownarrow$$ $$\boxed{A\text{ 可相似对角化}}$$ $$\Updownarrow$$ $$P^{-1}AP=\Lambda .$$

其中

$$P=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n).$$

如果再增加

$$A^T=A,$$

那么结论加强为

$$\boxed{Q^{T}AQ=\Lambda ,Q^{T}Q=E.}$$

也就是说：

普通矩阵：找一组线性无关的特征向量作为基。 实对称矩阵：可以进一步找到一组标准正交的特征向量作为基。

这就是第 5 章最核心的数学思想。

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最后给出一个考研复习优先级

如果按重要程度学习，建议：

第一层，必须完全掌握：

$$A\alpha =\lambda \alpha ,$$ $$|\lambda E-A|=0,$$ $$(A-\lambda E)X=0,$$ $$\sum {\lambda }_i=\mathrm{tr}(A),$$ $$\prod {\lambda }_i=|A|,$$ $$f(A)\alpha =f(\lambda )\alpha .$$

第二层，必须熟练做题：

$$\boxed{A\text{ 可对角化}⟺k_i=n-r(A-{\lambda }_{i}E)}$$

以及

$$P=({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n),P^{-1}AP=\Lambda .$$

第三层，综合题核心：

实对称矩阵

$$A^T=A$$

的：

$$\text{特征值为实数}$$ $$\text{不同特征值的特征向量正交}$$ $$\boxed{Q^{T}AQ=\Lambda }$$

以及重特征值对应特征向量的施密特正交化 + 单位化。

真正把这三层吃透之后，第 6 章二次型中的正交变换化标准形、正定矩阵、惯性指数会自然很多。