第 2 章 矩阵

本章围绕矩阵运算建立线性代数的运算底座，重点掌握乘法顺序、矩阵方程、可逆矩阵、初等变换和伴随矩阵。

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一、第 2 章到底在学什么？

可以把整章压缩成一张图：

$$\boxed{\text{矩阵运算}⟶\text{矩阵乘法}⟶\text{矩阵方程}⟶\text{可逆矩阵}⟶\text{初等矩阵}⟶\text{伴随矩阵}}$$

其中最重要的三个能力是：

1. 会乘矩阵，并始终保持乘法顺序；
2. 会解矩阵方程；
3. 看到“可逆、伴随、初等变换”时知道该调用什么公式。

讲义将下面的关系作为本章核心联系之一：

$$A\text{ 可逆}⟺|A|\ne 0⟺r(A)=n⟺AX=0\text{ 只有零解}.$$

进一步到后续章节还会扩展为

$$A\text{ 可逆}⟺A\text{ 的行向量组、列向量组线性无关}$$

以及

$$A\text{ 可逆}⟺0\text{ 不是 }A\text{ 的特征值}.$$

其中“秩、线性无关”在后面的向量与秩章节会系统展开，本章先把这些当成连接各章的桥梁即可。

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二、矩阵是什么？和行列式有什么区别？

这是第一章到第二章必须完成的一次思维转换。

行列式

$$|A|$$

最终是一个数。

而矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$$

是一个按行列排列的数学对象。

因此：

行列式可以算出一个值

例如

$$\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|=-2.$$

矩阵则仍然是矩阵

例如

$$\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 7\end{array}\right).$$

千万不要混淆：

$$|A+B|$$

一般不等于

$$|A|+|B|.$$

这也是讲义反复提醒的易错点。

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三、矩阵的基本运算

1. 矩阵相等

两个矩阵相等必须同时满足：

• 行数相同；
• 列数相同；
• 对应元素全部相同。

例如

$$\left(\begin{array}{cc}a& 1\\ 2& b\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$$

立即得到

$$a=3,b=4.$$

这是最基础的“对应元素比较法”。

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四、矩阵乘法——本章第一核心

矩阵乘法是整个线性代数后面的基础。

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1. 什么时候能乘？

设 A 是

$$m\times n$$

矩阵，B 是

$$n\times s$$

矩阵，那么 AB 可以相乘，结果是

$$m\times s.$$

即

$$\boxed{(m\times n)(n\times s)=m\times s}$$

记忆方法：

中间相等，两边留下。

例如

$$(2\times 3)(3\times 4)$$

可以乘，结果为

$$2\times 4.$$

但是

$$(2\times 3)(2\times 4)$$

不能乘。

讲义把“先检查内维是否相等”列为矩阵乘法题的第一反应。

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五、矩阵乘法到底怎么算？

设

$$A=(a_{ij}{)}_{m\times n},B=(b_{ij}{)}_{n\times s}.$$

记

$$C=AB=(c_{ij}).$$

那么

$$\boxed{c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}}$$

也就是：

A 的第 i 行 × B 的第 j 列。

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例 1：直接计算

设

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right).$$

则

$$AB=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 2+2\cdot 1& 1\cdot 1+2\cdot 3\\ 3\cdot 2+4\cdot 1& 3\cdot 1+4\cdot 3\end{array}\right)$$

所以

$$AB=\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ 10& 15\end{array}\right).$$

考研题不一定要求整个矩阵

有时只问 AB 的某个元素，例如第 2 行第 3 列。

这时完全没有必要把 AB 全算出来，只需要：

A 的第 2 行 × B 的第 3 列。

这是很重要的省时技巧。

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六、矩阵乘法的本质：列向量的线性组合

这个理解非常重要，因为到了第三章“向量组”，可以发现矩阵乘法其实就是在做线性组合。

设

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n)$$

而

$$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right).$$

那么

$$AX=x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+\cdots +x_n{\alpha }_n.$$

所以矩阵方程

$$AX=\beta$$

真正表达的是：

能不能用 A 的各列向量线性组合得到 β？

这就是后面“线性表示”的来源。

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七、矩阵乘法最重要的特殊性：一般不可交换

对于普通数，

$$ab=ba.$$

但矩阵一般没有：

$$AB=BA.$$

甚至可能出现：

• AB 有意义；
• BA 根本没有意义。

即使 AB、BA 都存在，也通常不同。

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例 2

设

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right).$$

计算得

$$AB=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 1\end{array}\right),$$

而

$$BA=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

因此

$$AB\ne BA.$$

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八、为什么平方差公式不能乱用？

普通代数中有

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

但是矩阵中

$$(A-B)(A+B)$$

展开为

$$A^2+AB-BA-B^2.$$

只有当

$$AB=BA$$

时，才能得到

$$A^2-B^2.$$

因此：

$$\boxed{A^2-B^2=(A-B)(A+B)}$$

必须附带条件

$$AB=BA.$$

同样，

$$(A+B{)}^2=A^2+AB+BA+B^2.$$

不能随便写成

$$A^2+2AB+B^2.$$

除非

$$AB=BA.$$

讲义明确把“不检查 AB 与 BA 是否相等就使用二项式公式”列为本章典型错误。

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九、矩阵乘法虽然不交换，但结合律成立

有

$$(AB)C=A(BC).$$

因此可以写成

$$ABC.$$

同时有分配律：

$$A(B+C)=AB+AC,$$ $$(A+B)C=AC+BC.$$

注意第二个式子里 C 必须始终保持在右边。

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十、矩阵的转置

如果

$$A=(a_{ij}),$$

把行列互换得到转置矩阵

$$A^{\mathrm{T}}.$$

例如

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right),$$

则

$$A^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ 2& 5\\ 3& 6\end{array}\right).$$

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最重要公式

$$\boxed{(AB{)}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}}$$

注意：

转置以后顺序倒过来。

三个矩阵则有

$$(ABC{)}^{\mathrm{T}}=C^{\mathrm{T}}{B}^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}.$$

这与逆矩阵的公式极其相似。

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十一、对称矩阵

若

$$A^{\mathrm{T}}=A,$$

称 A 为对称矩阵。

考研中经常要求证明某个复杂矩阵是对称矩阵。

核心思路永远是：

$$\boxed{M^{\mathrm{T}}=M}$$

例如如果 A、B 均对称，那么

$$(AB{)}^{\mathrm{T}}=BA.$$

所以 AB 对称的充分必要条件为

$$AB=BA.$$

这也是“对称矩阵 + 可交换”经常一起出现的原因。

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十二、零矩阵与“零因子”现象

普通数中若

$$ab=0,$$

则

$$a=0$$

或

$$b=0.$$

矩阵中一般不成立。

可能存在

$$A\ne O,B\ne O,$$

但

$$AB=O.$$

例如

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right).$$

则

$$AB=O.$$

所以看到

$$AB=O$$

绝对不能立即说 A 或 B 为零。

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十三、矩阵也不能随便消去

若

$$AB=AC,$$

通常不能推出

$$B=C.$$

因为

$$A(B-C)=O$$

并不能保证

$$B-C=O.$$

但是，如果 A 可逆，情况就不同了。

左乘

$$A^{-1},$$

得到

$$B=C.$$

所以

$$A\text{ 可逆}⟹AB=AC\Rightarrow B=C.$$

这就是：

可逆矩阵恢复消去律。

讲义专门把这一点列为可逆矩阵的重要性质。

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十四、矩阵的方幂

只有方阵才能谈

$$A^2,A^3,\dots$$

定义

$$A^2=AA,$$ $$A^3=AAA.$$

并规定

$$A^0=E.$$

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十五、高次幂怎么计算？

考研一般不会要求机械算几十次矩阵乘法，而是要求找规律。

常见三种办法。

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方法 1：先算低次幂找递推

若发现

$$A^2=aA+bE,$$

那么以后所有高次幂都可以降次。

因为

$$A^3=A(aA+bE)=a{A}^2+bA.$$

再次代入

$$A^2=aA+bE.$$

于是 A 的任意高次幂最终都可以表示为

$$A^n=x_{n}A+y_{n}E.$$

这是非常典型的题型。

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方法 2：形如数量矩阵加幂零矩阵

如果

$$A=\lambda E+N$$

且

$$N^k=O,$$

由于 E 与任何矩阵可交换，可以使用二项式展开：

$$A^m=(\lambda E+N{)}^m.$$

例如如果

$$N^2=O,$$

则

$$A^m={\lambda }^{m}E+m{\lambda }^{m-1}N.$$

讲义把这种结构列为高次幂的重点识别模板。

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十六、秩一矩阵的方幂技巧

若

$$A=\alpha {\beta }^{\mathrm{T}},$$

那么

$$A^2=\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}.$$

中间

$${\beta }^{\mathrm{T}}\alpha$$

只是一个数，所以

$$A^2=({\beta }^{\mathrm{T}}\alpha )A.$$

因此

$$A^k=({\beta }^{\mathrm{T}}\alpha {)}^{k-1}A.$$

这类题看似在算矩阵高次幂，本质却只是在算一个标量。讲义也把

$$A=\alpha {\beta }^{\mathrm{T}}$$

列为高次幂题的重要结构。

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十七、矩阵多项式

例如

$$f(x)=x^2+2x+3.$$

代入矩阵 A 时得到

$$f(A)=A^2+2A+3E.$$

特别注意：

常数 3 在矩阵世界里对应

$$3E,$$

而不是裸写一个 3。

所以一般

$$f(A)=a_m{A}^m+\cdots +a_{1}A+a_{0}E.$$

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十八、可逆矩阵——本章第二核心

1. 定义

对于 n 阶方阵 A，如果存在 n 阶方阵 B，使

$$AB=BA=E,$$

则称 A 可逆，B 是 A 的逆矩阵，记作

$$A^{-1}.$$

即

$$A{A}^{-1}=A^{-1}A=E.$$

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十九、可逆的核心判定

对 n 阶矩阵 A：

$$\boxed{A\text{ 可逆}⟺|A|\ne 0}$$

同时：

$$A\text{ 可逆}⟺r(A)=n.$$

以及

$$A\text{ 可逆}⟺AX=0\text{ 只有零解}.$$

这组等价关系贯穿整个考研线代。

以后看到：

• 行列式；
• 秩；
• 方程组；
• 向量线性无关；
• 特征值；

都可能在考“可逆”这件事。

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二十、逆矩阵最重要的运算公式

1. 乘积求逆

如果 A、B 都可逆：

$$\boxed{(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}}$$

一定记住：

逆矩阵倒序。

推广：

$$(A_1{A}_2\cdots A_k{)}^{-1}=A_k^{-1}\cdots A_2^{-1}{A}_1^{-1}.$$

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2. 转置求逆

$$(A^{\mathrm{T}}{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^{\mathrm{T}}.$$

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3. 数乘求逆

若

$$c\ne 0,$$

则

$$(cA{)}^{-1}=\frac{1}{c}{A}^{-1}.$$

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4. 方幂求逆

$$(A^k{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^k.$$

讲义将这些作为可逆矩阵部分的基本性质。

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二十一、怎么求逆矩阵？

主要两种方法。

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方法一：初等变换法——考试最重要

构造增广矩阵

$$(A\mid E).$$

对它作初等行变换：

$$(A\mid E)⟶(E\mid A^{-1}).$$

这就是最通用的求逆方法。

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示例

设

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right).$$

写成

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 1& 2& 0& 1\end{array}\right).$$

第二行减第一行：

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 0\\ 0& 1& -1& 1\end{array}\right).$$

第一行减第二行：

$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 2& -1\\ 0& 1& -1& 1\end{array}\right).$$

所以

$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right).$$

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二十二、方法二：伴随矩阵法

若

$$|A|\ne 0,$$

则

$$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }}$$

其中

$$A^{\ast }$$

称为 A 的伴随矩阵。

对于二阶矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),$$

有

$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right).$$

讲义建议：高阶矩阵不要优先直接算大量代数余子式，普通求逆优先使用初等变换。

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二十三、伴随矩阵——本章高频公式区

这是选择题和填空题极其喜欢考的一部分。

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1. 定义

设 A 的代数余子式为

$$A_{ij}.$$

伴随矩阵不是简单把这些代数余子式原位置排列，而是转置排列：

$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right).$$

最常见错误就是忘记转置。

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二十四、伴随矩阵第一核心公式

$$\boxed{A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E}$$

这条比伴随矩阵的定义本身重要得多。

看到

$$A^{\ast }$$

第一反应应该是：

$$A{A}^{\ast }=|A|E.$$

而不是立刻展开代数余子式。

讲义也明确给出这一解题总原则。

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二十五、伴随矩阵第二核心公式

如果 A 可逆：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}.$$

注意适用条件：

$$|A|\ne 0.$$

不能对奇异矩阵直接写

$$A^{\ast }=|A|A^{-1},$$

因为这时 A 的逆矩阵根本不存在。

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二十六、伴随矩阵的行列式

对于 n 阶矩阵：

$$\boxed{|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}}$$

这是非常典型的选择题公式。

例如三阶矩阵：

$$|A^{\ast }|=|A{|}^2.$$

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二十七、伴随矩阵的秩

这部分与第三章“秩”联系很紧，常用于综合选择题。

对于 n 阶矩阵：

如果

$$r(A)=n,$$

则 A 可逆，从而

$$r(A^{\ast })=n.$$

如果

$$r(A)=n-1,$$

则

$$r(A^{\ast })=1.$$

如果

$$r(A)\le n-2,$$

则所有 n−1 阶子式全部为零，于是

$$A^{\ast }=O,$$

所以

$$r(A^{\ast })=0.$$

这是一组很值得直接记忆的结论。

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二十八、初等变换与初等矩阵

这是本章第三条重要线索。

什么叫初等矩阵？

把单位矩阵 E 做一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。

三类初等变换：

1. 交换两行；
2. 某行乘非零常数；
3. 某行加上另一行的若干倍。

列变换同理。

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二十九、最重要对应关系

讲义对此用了非常明确的总结：

$$\boxed{\text{初等行变换}⟺\text{左乘初等矩阵}}$$ $$\boxed{\text{初等列变换}⟺\text{右乘初等矩阵}}$$

这是考研必须条件反射的结论。

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三十、为什么行变换是左乘？

把矩阵 A 写成行向量：

$$A=\left(\begin{array}{c}{\alpha }_1^{\mathrm{T}}\\ {\alpha }_2^{\mathrm{T}}\\ ⋮\end{array}\right).$$

左乘矩阵会对这些行向量做线性组合。

所以左乘控制行。

相反，把 A 写成列：

$$A=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n).$$

右乘矩阵会对这些列向量做线性组合。

所以右乘控制列。

这样理解以后就不用死背。

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三十一、多次初等行变换为什么顺序反过来？

假设先做初等行变换 P₁，再做 P₂。

第一次后：

$$P_{1}A.$$

第二次：

$$P_2(P_{1}A).$$

于是

$$P_2{P}_{1}A.$$

所以：

最先进行的行变换对应的初等矩阵离 A 最近。

讲义特别提醒了这个顺序问题。

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三十二、可逆矩阵为什么能表示成初等矩阵的乘积？

如果 A 可逆，可以通过有限次初等行变换将 A 化为 E。

于是存在初等矩阵

$$P_1,\dots ,P_k$$

满足

$$P_k\cdots P_2{P}_{1}A=E.$$

所以

$$P_k\cdots P_1=A^{-1}.$$

进一步得到：

$$A=P_1^{-1}{P}_2^{-1}\cdots P_k^{-1}.$$

而初等矩阵的逆仍是初等矩阵。

所以：

$$\boxed{A\text{ 可逆}⟺A\text{ 可以表示为有限个初等矩阵的乘积}}$$

这也解释了为什么“可逆”与“能通过初等变换化成 E”完全等价。

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三十三、矩阵方程——本章最重要题型之一

讲义给出的总原则非常好：

$$\boxed{\text{保顺序、先化简、化基本型、用初等变换}}$$

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三十四、基本型一

已知

$$AX=B,$$

且 A 可逆。

必须在左边乘

$$A^{-1}.$$

于是

$$A^{-1}AX=A^{-1}B,$$

因此

$$\boxed{X=A^{-1}B}$$

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三十五、基本型二

若

$$XA=B,$$

则必须在右边乘

$$A^{-1}.$$

于是

$$XA{A}^{-1}=B{A}^{-1},$$

得到

$$\boxed{X=B{A}^{-1}}$$

这是整章最容易失分的地方之一。

千万不要把

$$XA=B$$

写成

$$X=A^{-1}B.$$

讲义专门将其列入典型错误。

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三十六、基本型三

如果

$$AXB=C,$$

并且 A、B 都可逆。

先左乘

$$A^{-1},$$

再右乘

$$B^{-1},$$

得到

$$\boxed{X=A^{-1}C{B}^{-1}}$$

注意 C 的位置始终不能乱。

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三十七、为什么矩阵方程一定要强调“保序”？

因为普通方程

$$axb=c$$

中数可以交换，所以容易感觉“挪过去”就行。

但矩阵不能交换。

真正的操作不是“移项”，而是：

在等式两边的同一侧乘一个矩阵。

例如

$$XA=B.$$

不能说“把 A 移过去”。

只能说：

等式两边同时右乘

$$A^{-1}.$$

这个思维习惯非常重要。

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三十八、直接用初等变换解 AX=B

如果要求

$$AX=B,$$

讲义推荐构造

$$(A\mid B).$$

然后做初等行变换：

$$(A\mid B)⟶(E\mid X).$$

原因是如果行变换总效果为 P，则

$$PA=E,$$

所以

$$P=A^{-1}.$$

同时

$$PB=A^{-1}B=X.$$

因此一步就把逆矩阵和矩阵方程一起解决。

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三十九、XA=B 怎么办？

一种非常实用的方法是转置：

$$XA=B.$$

两边转置：

$$A^{\mathrm{T}}{X}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}.$$

于是重新变成标准的

$$A^{\mathrm{T}}Y=B^{\mathrm{T}}$$

形式，其中

$$Y=X^{\mathrm{T}}.$$

然后用初等行变换即可。

讲义的解题决策表也把“求 XA=B 时先转置”作为优先方案。

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四十、分块矩阵

如果矩阵较大，但具有明显块结构，可以把若干子矩阵当作一个“元素”。

例如

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right).$$

只要各块维数满足乘法条件，就可以按普通矩阵乘法规则计算。

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四十一、分块乘法最重要原则

依旧是：

顺序不能交换。

例如

$$\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}E& F\\ G& H\end{array}\right)$$

得到

$$\left(\begin{array}{cc}AE+BG& AF+BH\\ CE+DG& CF+DH\end{array}\right).$$

不能把 BG 改成 GB。

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四十二、分块对角矩阵求逆

若 A、B 都可逆：

$${\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& O\\ O& B^{-1}\end{array}\right).$$

这是最简单的分块逆。

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四十三、分块上三角矩阵求逆

设

$$M=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ O& D\end{array}\right),$$

且 A、D 均可逆。

可以设

$$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}X& Y\\ O& Z\end{array}\right).$$

利用

$$M{M}^{-1}=E$$

得到

$$AX=E,$$

所以

$$X=A^{-1}.$$

又有

$$DZ=E,$$

所以

$$Z=D^{-1}.$$

以及

$$AY+BZ=O.$$

因此

$$Y=-A^{-1}B{D}^{-1}.$$

最终

$$\boxed{M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}B{D}^{-1}\\ O& D^{-1}\end{array}\right)}$$

强化讲义也把这类分块矩阵求逆作为典型矩阵运算题。

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四十四、证明一个矩阵可逆的常见套路

考研不一定直接给你行列式。

可能表明：

$$AB=E.$$

若 A、B 都是同阶方阵，则可推出 A、B 可逆，并且

$$A^{-1}=B.$$

更一般地，如果

$$AB=cE,c\ne 0,$$

则 A、B 都可逆。

因为

$$|A||B|=c^n\ne 0.$$

所以

$$|A|\ne 0,|B|\ne 0.$$

讲义建议看到“证明可逆”，优先尝试构造

$$MN=cE.$$

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四十五、AB=cE 为什么还能推出 BA=cE？

如果

$$AB=cE,c\ne 0,$$

则

$$A^{-1}=\frac{1}{c}B.$$

所以

$$B=c{A}^{-1}.$$

于是

$$BA=c{A}^{-1}A=cE.$$

这就是可逆性恢复交换的一种特殊情况。

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四十六、矩阵可交换问题

考研经常问：

求所有与 A 可交换的矩阵 X。

也就是解

$$AX=XA.$$

一般套路：

设

$$X=(x_{ij}),$$

分别计算

$$AX$$

与

$$XA,$$

再比较对应元素。

讲义中总结的步骤正是：

1. 设未知矩阵；
2. 计算 AX；
3. 计算 XA；
4. 对应元素相等；
5. 解关于未知元素的线性方程组。

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四十七、一个非常重要的交换结论

若 D 是对角矩阵

$$D=\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n),$$

并且对角元素两两不同：

$${\lambda }_i\ne {\lambda }_j(i\ne j),$$

若

$$DB=BD,$$

比较第 i,j 个元素：

$${\lambda }_i{b}_{ij}={\lambda }_j{b}_{ij}.$$

所以

$$({\lambda }_i-{\lambda }_j)b_{ij}=0.$$

当

$$i\ne j,$$

必有

$$b_{ij}=0.$$

因此 B 只能是对角矩阵。

这是非常典型的矩阵结构题。

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四十八、和所有矩阵都可交换的是什么？

结论：

$$\boxed{C=\lambda E}$$

即数量矩阵。

也就是说，只有

$$\lambda E$$

才能和任意同阶矩阵交换。

讲义给出了利用矩阵单位

$$E_{ij}$$

证明所有对角元素必须相等的思路。

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四十九、本章一个很漂亮的恒等式

讲义给出了：

$$\boxed{(E+AB{)}^{-1}A=A(E+BA{)}^{-1}}$$

验证这类公式，不建议直接求逆。

观察：

$$(E+AB)A=A+ABA,$$

另一方面

$$A(E+BA)=A+ABA.$$

因此

$$(E+AB)A=A(E+BA).$$

再在适当位置乘逆矩阵，就能得到所需结果。

这种题的本质是：

不要交换矩阵，而是利用结合律调整结构。

讲义还利用这一恒等式处理对称矩阵证明题。

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五十、典型题型 1：矩阵乘法与乘法公式

看到

$$(A+B{)}^2$$

先写

$$A^2+AB+BA+B^2.$$

如果题目给出

$$(A+B{)}^2=A^2+2AB+B^2,$$

比较得到

$$AB+BA=2AB,$$

所以

$$AB=BA.$$

这种题是在反过来利用乘法公式判断可交换性。

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五十一、典型题型 2：由 A² 的关系求高次幂

假设

$$A^2=3A-2E.$$

求高次幂时，不要继续硬乘。

由

$$A^2-3A+2E=O$$

可写成

$$(A-E)(A-2E)=O.$$

以后任意

$$A^n$$

都可化成

$$x_{n}A+y_{n}E.$$

例如

$$A^3=A(3A-2E)=3A^2-2A.$$

代入

$$A^2=3A-2E$$

得

$$A^3=3(3A-2E)-2A=7A-6E.$$

核心是：

$$\boxed{\text{先降次，再递推}}$$

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五十二、典型题型 3：矩阵方程

设 A 可逆，求

$$AXA=B.$$

先左乘

$$A^{-1},$$

得到

$$XA=A^{-1}B.$$

再右乘

$$A^{-1},$$

于是

$$\boxed{X=A^{-1}B{A}^{-1}}$$

注意 B 绝对不能乱换位置。

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五十三、典型题型 4：伴随矩阵题

假设 A 为三阶矩阵且

$$|A|=2.$$

那么

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{3-1}=4.$$

并且

$$A^{\ast }=2A^{-1}.$$

又有

$$A{A}^{\ast }=2E.$$

这种题完全没有必要算代数余子式。

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五十四、典型题型 5：初等变换

若题目说：

A 经若干次初等行变换得到 B。

那么立即写：

$$B=PA,$$

其中 P 可逆。

如果是列变换：

$$B=AQ.$$

如果先行变换再列变换：

$$B=PAQ.$$

这类表达式到了后面的：

• 矩阵等价；
• 相似；
• 合同；
• 二次型；

都会反复出现。

讲义还指出，若最终恰好形成

$$PA{P}^{-1},$$

这就是后面“相似变换”的基本形式。

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五十五、第 2 章最容易犯的 10 个错误

讲义中的错误总结非常值得直接背下来。

① 默认矩阵乘法可交换

错误：

$$AB=BA.$$

一般不成立。

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② XA=B 时逆矩阵乘错边

正确：

$$X=B{A}^{-1}.$$

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③ 转置时不倒序

正确：

$$(AB{)}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}.$$

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④ 求逆时不倒序

正确：

$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}.$$

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⑤ 认为 AB=O 必有 A=O 或 B=O

错误。

矩阵存在非零零因子。

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⑥ 不检查交换性就套平方差、二项式

必须检查

$$AB=BA.$$

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⑦ 把行变换对应右乘

正确：

$$\boxed{\text{行变换左乘}}$$

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⑧ 把列变换对应左乘

正确：

$$\boxed{\text{列变换右乘}}$$

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⑨ 伴随矩阵忘记转置代数余子式矩阵

这是最典型定义错误。

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⑩ 使用

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}$$

却没先确认 A 可逆。

必须有

$$|A|\ne 0.$$

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五十六、本章做题时的“决策表”

讲义中的方法可以整理为：

这和讲义给出的矩阵题优先策略基本一致。

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五十七、整章最值得背下来的公式

如果临考前只复习一页，第 2 章至少保证下面这些条件反射。

1. 矩阵乘法

$$(m\times n)(n\times s)=m\times s.$$ $$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}.$$

2. 转置

$$(AB{)}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}.$$

3. 逆矩阵

$$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}.$$

4. 可逆判定

$$A\text{ 可逆}⟺|A|\ne 0.$$

5. 伴随矩阵

$$A{A}^{\ast }=A^{\ast }A=|A|E.$$ $$A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }.$$ $$A^{\ast }=|A|A^{-1}.$$ $$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}.$$

6. 初等变换

$$\text{行变换}⟺\text{左乘}.$$ $$\text{列变换}⟺\text{右乘}.$$

7. 矩阵方程

$$AX=B⟹X=A^{-1}B.$$ $$XA=B⟹X=B{A}^{-1}.$$ $$AXB=C⟹X=A^{-1}C{B}^{-1}.$$

8. 特殊恒等式

$$(E+AB{)}^{-1}A=A(E+BA{)}^{-1}.$$

这些也是讲义在第 2 章综合总结中集中列出的核心公式。

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五十八、最后把整章真正串起来

可以把矩阵理解成一种线性作用。

一个向量 X 被 A 作用后：

$$X⟼AX.$$

矩阵乘法

$$AB$$

表示：

先进行 B 的作用，再进行 A 的作用。

因此乘法顺序自然不能随便交换。

而如果 A 可逆，就说明这个作用可以被“反向恢复”：

$$AX=Y$$

可以唯一恢复出

$$X=A^{-1}Y.$$

初等矩阵则代表最基本的可逆操作：

$$\text{交换},\text{倍乘},\text{倍加}.$$

所以一个可逆矩阵可以分解成很多基本可逆操作。

伴随矩阵又通过

$$A{A}^{\ast }=|A|E$$

把第一章的行列式和第二章的逆矩阵连接起来。

因此真正的知识链是：

$$\boxed{\text{行列式}⟶\text{可逆性}⟶\text{矩阵方程}⟶\text{初等变换}⟶\text{线性方程组}}$$

再往后：

$$\boxed{\text{矩阵}⟶\text{向量组与秩}⟶\text{特征值}⟶\text{相似对角化}⟶\text{二次型}}$$

所以第 2 章是整个线性代数的“运算底座”。第一遍复习最重要的是把“矩阵乘法顺序、两类矩阵方程、初等变换求逆、伴随矩阵三条核心公式”练到几乎不用思考；第二遍再集中训练高次幂、分块矩阵、可交换矩阵和抽象可逆性证明。这个复习层次也与讲义给出的章节建议一致。