第 6 章 二次型

本章以二次型的矩阵表示为起点，统一整理正交变换、合同、标准形与规范形、惯性指数以及正定性的判定方法。

这一章最容易学成“一堆公式”，实际上它的逻辑非常统一：

$$\boxed{\text{二次型}⟷\text{实对称矩阵}⟶\text{可逆变量替换}⟷\text{合同}⟶\text{标准形}⟶\text{惯性指数}⟶\text{正定性}}$$

而第 5 章的特征值与实对称矩阵正交对角化，正好成为第 6 章最重要的计算工具。

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一、什么是二次型

资料给出的定义是：$n$ 元二次型是 $n$ 个变量的齐二次多项式，一般写成

$$\begin{array}{rl}f(x_1,\dots ,x_n)=& a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+\cdots +a_{nn}{x}_n^2\\ & +2\sum _{i<j}{a}_{ij}{x}_i{x}_j.\end{array}$$

令

$$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right),$$

构造实对称矩阵

$$A=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right),$$

那么

$$\boxed{f(X)=X^{\mathrm{T}}AX}.$$

资料把 $A$ 称为二次型的矩阵，同时把

$$r(A)$$

称为二次型的秩。二次型和它的对称矩阵是相互唯一确定的。

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1. 为什么交叉项要“除以 2”

这是第 6 章最容易犯的低级错误。

例如

$$f=x_1^2+4x_1{x}_2+3x_2^2.$$

设

$$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& 3\end{array}\right).$$

那么

$$\begin{array}{rl}{X}^{\mathrm{T}}AX& =\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)\\ & =x_1^2+2a{x}_1{x}_2+3x_2^2.\end{array}$$

因此

$$2a=4,$$

所以

$$a=2.$$

故矩阵为

$$\boxed{A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)}.$$

必须形成条件反射

看到

$$2a_{ij}{x}_i{x}_j$$

矩阵中的对应元素就是

$$a_{ij}.$$

也就是说：

$$\boxed{\text{交叉项系数的一半放进矩阵}}$$

资料中的强化内容也专门强调了这一易错点。

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二、为什么一定要把二次型写成矩阵

因为原来的多项式形式很乱，例如

$$f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1{x}_2-2x_1{x}_3+6x_2{x}_3,$$

真正决定它性质的是

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 2& 2& 3\\ -1& 3& 3\end{array}\right).$$

之后：

求标准形，本质是把 $A$ 变成对角矩阵；

判断正定，本质是判断 $A$ 是否正定；

判断两个二次型能否互相转化，本质是判断两个矩阵是否合同；

求惯性指数，本质是数 $A$ 的正负特征值。

所以这一章可以理解成：

$$\boxed{\text{研究二次多项式}⟹\text{研究实对称矩阵}}$$

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三、线性变量替换与“合同”

这是整章真正的核心。

假设作可逆线性变量替换

$$X=CY,$$

其中 $C$ 可逆。

原二次型

$$f=X^{\mathrm{T}}AX$$

变成

$$\begin{array}{rl}f& =(CY{)}^{\mathrm{T}}A(CY)\\ & =Y^{\mathrm{T}}{C}^{\mathrm{T}}ACY.\end{array}$$

因此新二次型的矩阵为

$$\boxed{B=C^{\mathrm{T}}AC}.$$

如果存在可逆矩阵 $C$，使

$$B=C^{\mathrm{T}}AC,$$

就称 $A,B$ 合同。

资料的知识结构就是通过这个公式把“变量替换”与“矩阵合同”完全对应起来的。

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四、合同和相似一定要彻底区分

这是考研选择题非常喜欢考的地方。

相似是

$$\boxed{B=P^{-1}AP}.$$

合同是

$$\boxed{B=C^{\mathrm{T}}AC}.$$

它们解决的问题不同。

为什么正交变换特殊？

因为正交矩阵满足

$$Q^{-1}=Q^{\mathrm{T}}.$$

所以

$$Q^{\mathrm{T}}AQ=Q^{-1}AQ.$$

于是通过正交变换得到的矩阵，和原矩阵既合同又相似。资料明确指出，这是本章的常考点。

因此特别重要：

$$\boxed{\text{一般合同不保证特征值相同}}$$

但是

$$\boxed{\text{正交合同同时也是相似，故特征值相同}}$$

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五、什么叫标准形

如果二次型只含平方项：

$$f=d_1{y}_1^2+d_2{y}_2^2+\cdots +d_n{y}_n^2,$$

没有任何

$$y_i{y}_j$$

交叉项，就叫标准形。

矩阵语言就是

$$D=\mathrm{diag}(d_1,d_2,\dots ,d_n).$$

因此“把二次型化标准形”本质是：

$$\boxed{\text{找可逆 }C\text{ 使 }{C}^{\mathrm{T}}AC=D}$$

其中 $D$ 为对角矩阵。

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六、规范形是什么

标准形还不够唯一。

例如

$$2y_1^2-5y_2^2+7y_3^2$$

和

$$3z_1^2-z_2^2+100z_3^2$$

虽然系数不同，但正平方项都是 2 个，负平方项都是 1 个。

继续作变量伸缩，可以把非零系数都变成 $\pm 1$。

于是得到

$$\boxed{z_1^2+\cdots +z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots -z_{p+q}^2}$$

这就是规范形。

如果

$$p+q<n,$$

剩余项系数就是 0。

所以规范矩阵可以写成

$$\boxed{\mathrm{diag}(\underset{p}{\underbrace{1,\dots ,1}},\underset{q}{\underbrace{-1,\dots ,-1}},\underset{n-p-q}{\underbrace{0,\dots ,0}})}.$$

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七、标准形和规范形的核心区别

标准形：

$$2y_1^2-3y_2^2+5y_3^2.$$

规范形：

$$z_1^2-z_2^2+z_3^2.$$

所以：

$$\boxed{\text{标准形只要求没有交叉项}}$$

而

$$\boxed{\text{规范形还要求非零系数只有 }+1,-1}$$

资料中特别说明：配方法不仅可以标准化，而且很容易继续规范化；正交变换一般只能直接得到特征值作为系数的标准形。

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八、为什么任何实二次型都能化成标准形

这是和第 5 章连接起来的地方。

任何实二次型的矩阵 $A$ 都是实对称矩阵。

根据实对称矩阵的性质，一定存在正交矩阵 $Q$，使

$$Q^{\mathrm{T}}AQ=\Lambda =\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n).$$

令

$$X=QY,$$

那么

$$\begin{array}{rl}f& =X^{\mathrm{T}}AX\\ & =Y^{\mathrm{T}}{Q}^{\mathrm{T}}AQY\\ & =Y^{\mathrm{T}}\Lambda Y\\ & ={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2.\end{array}$$

所以：

$$\boxed{\text{实二次型一定可以通过正交变换化成标准形}}$$

因此资料说得很关键：

二次型的标准化没有“能不能”的问题，只有“怎么做”的问题。

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九、标准化方法一：正交变换法

这是考研最重要的一种。

完整流程可以记成

$$\boxed{A\to \lambda \to \alpha \to \text{单位正交化}\to Q\to X=QY}$$

具体来说：

第一步，由二次型写矩阵 $A$。

第二步，求特征值：

$$|\lambda E-A|=0.$$

第三步，分别求各特征值对应的特征向量。

第四步，单位化。

同一特征值若存在多个线性无关特征向量，还需要 Schmidt 正交化。

第五步，把单位正交特征向量按列组成

$$Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,\dots ,{\gamma }_n).$$

于是

$$Q^{\mathrm{T}}Q=E.$$

第六步，得到

$$Q^{\mathrm{T}}AQ=\mathrm{diag}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n).$$

最后

$$X=QY$$

就得到标准形

$$\boxed{f={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2}.$$

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十、资料例 6.2：标准的正交变换题

资料给出的二次型为

$$f=2x_1^2+3x_2^2+3x_3^2+2a{x}_2{x}_3,a>0,$$

已知经过正交变换可化成

$$y_1^2+2y_2^2+5y_3^2.$$

先写矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& a\\ 0& a& 3\end{array}\right).$$

标准形矩阵为

$$B=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 5\end{array}\right).$$

由于这里是正交变换，所以 $A,B$ 相似。

于是其特征值相同。

特别地

$$|A|=|B|.$$

有

$$2(9-a^2)=10.$$

故

$$a^2=4.$$

而 $a>0$，所以

$$\boxed{a=2}.$$

此时

$$A=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 3& 2\\ 0& 2& 3\end{array}\right).$$

其三个特征值为

$$1,2,5.$$

资料求出的三个单位特征向量可以取

$${\gamma }_1=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right),$$ $${\gamma }_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right),$$ $${\gamma }_3=\left(\begin{array}{c}0\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right).$$

令

$$Q=({\gamma }_1,{\gamma }_2,{\gamma }_3),$$

则

$$Q^{\mathrm{T}}AQ=\mathrm{diag}(1,2,5).$$

因此

$$X=QY$$

即可将二次型化成

$$\boxed{f=y_1^2+2y_2^2+5y_3^2}.$$

资料也特别指出：正交变换虽然计算量较大，但历年考试中出现很多。

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十一、一个非常重要的捷径：已知标准形时不要急着算特征向量

例如资料例 6.3：

已知

$$A^2-2A=0,r(A)=2.$$

要求判断哪些标准形能通过正交变换得到。

因为若

$$A\alpha =\lambda \alpha ,$$

那么

$$(A^2-2A)\alpha =0$$

给出

$$({\lambda }^2-2\lambda )\alpha =0.$$

所以

$$\lambda (\lambda -2)=0.$$

因此特征值只能是

$$0,2.$$

又因为

$$r(A)=2,$$

3 阶矩阵中非零特征值共有两个，所以特征值必为

$$\boxed{2,2,0}.$$

于是只需要检查候选标准形的对角元是不是

$$2,2,0$$

的排列即可。

完全没有必要先求 $A$。

这类题是第 6 章常见技巧：

$$\boxed{\text{正交变换}⟹\text{比较特征值}}$$

资料例 6.3 正是按这个思路求解。

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十二、标准化方法二：配方法

如果题目没有要求正交变换，配方法往往比求特征值快很多。

资料对此评价非常明确：配方法计算量通常小于正交变换，而且可以直接继续得到规范形。

例如资料例 6.1：

$$f=x_1^2+2x_2^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_3+2x_2{x}_3.$$

围绕 $x_1$ 配方：

$$\begin{array}{rl}f=& x_1^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_3+2x_2^2+2x_2{x}_3\\ =& (x_1+x_2-x_3{)}^2+x_2^2+4x_2{x}_3-x_3^2.\end{array}$$

继续：

$$x_2^2+4x_2{x}_3=(x_2+2x_3{)}^2-4x_3^2.$$

故

$$f=(x_1+x_2-x_3{)}^2+(x_2+2x_3{)}^2-5x_3^2.$$

令

$$y_1=x_1+x_2-x_3,$$ $$y_2=x_2+2x_3,$$ $$y_3=x_3.$$

于是

$$\boxed{f=y_1^2+y_2^2-5y_3^2}.$$

这已经是标准形。

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十三、如果没有任何平方项怎么办

例如资料例 6.1 第二问：

$$f=x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3.$$

直接配平方很麻烦。

资料采用一个非常经典的技巧：

$$x_1=y_1+y_2,$$ $$x_2=y_1-y_2,$$ $$x_3=y_3.$$

为什么这样换？

因为

$$x_1{x}_2=(y_1+y_2)(y_1-y_2)=y_1^2-y_2^2.$$

这就是利用公式

$$\boxed{uv=\frac{(u+v{)}^2-(u-v{)}^2}{4}}.$$

代入后资料得到

$$f=y_1^2-y_2^2+2y_1{y}_3.$$

现在有平方项了，继续配：

$$y_1^2+2y_1{y}_3=(y_1+y_3{)}^2-y_3^2.$$

所以

$$f=(y_1+y_3{)}^2-y_2^2-y_3^2.$$

最终得到

$$\boxed{f=z_1^2-z_2^2-z_3^2}.$$

资料还给出了相应复合变换矩阵。

所以考场上看到“纯交叉项”

条件反射：

$$\boxed{x_i=u+v,x_j=u-v}$$

先制造平方项，再正常配方。

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十四、正交变换和配方法到底有什么区别

这是本章最值得系统掌握的比较。

所以：

题目说“用正交变换”：

$$\boxed{\text{必须走特征值、特征向量}}$$

题目只说“化成标准形”：

$$\boxed{\text{优先考虑配方法}}$$

资料对此也进行了明确比较。

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十五、惯性定理：为什么标准形不唯一，但正负号数量唯一

资料中的惯性定理说：

一个实二次型可以通过不同可逆变换得到不同标准形，但是标准形中

$$\boxed{\text{正系数个数}}$$

和

$$\boxed{\text{负系数个数}}$$

不会改变。

定义：

$$p=\text{正惯性指数},$$ $$q=\text{负惯性指数}.$$

如果还有零系数个数 $s$，则

$$p+q+s=n.$$

而

$$\boxed{p+q=r(A)}.$$

为什么？

因为标准形矩阵是

$$D=\mathrm{diag}(d_1,\dots ,d_n).$$

其秩就是非零对角元的个数，因此

$$r(D)=p+q.$$

合同变换保持秩：

$$r(C^{\mathrm{T}}AC)=r(A),$$

于是

$$\boxed{r(A)=p+q}.$$

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十六、惯性指数和特征值的惊人关系

资料定理 6.4：

$$\boxed{p=\text{正特征值个数}}$$ $$\boxed{q=\text{负特征值个数}}$$

零特征值个数就是

$$n-p-q.$$

所以以后求惯性指数，并不一定要配方。

假设

$$A$$

的特征值为

$$-3,0,2,5.$$

那么立即得到

$$p=2,q=1,r(A)=3.$$

规范形就是

$$\boxed{y_1^2+y_2^2-y_3^2}.$$

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十七、合同矩阵的判定

这是惯性定理最重要的应用。

两个实对称矩阵 $A,B$ 合同的充分必要条件是：

$$\boxed{A,B\text{ 的正、负惯性指数分别相同}}$$

也等价于：

$$\boxed{A,B\text{ 正特征值个数相同，负特征值个数相同}}.$$

资料定理 6.3、6.4 就是这一结论。

注意：

并不要求特征值具体相等。

例如

$$A=\mathrm{diag}(1,2,-4)$$

与

$$B=\mathrm{diag}(100,3,-1)$$

特征值明显不同。

但二者都有

$$p=2,q=1.$$

所以

$$\boxed{A\text{ 与 }B\text{ 合同}}$$

但一般

$$\boxed{A\text{ 与 }B\text{ 不相似}}.$$

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十八、资料例 6.14：典型的参数合同问题

问什么时候

$$x_1^2+3x_2^2+2x_3^2+2a{x}_2{x}_3$$

能够通过可逆变量替换化成

$$2y_1^2-3y_2^2+5y_3^2.$$

右边显然：

正平方项 2 个；

负平方项 1 个。

所以

$$p=2,q=1.$$

左边矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 3& a\\ 0& a& 2\end{array}\right).$$

其中

$$1$$

显然是一个正特征值。

剩下的 $2\times 2$ 块为

$$\left(\begin{array}{cc}3& a\\ a& 2\end{array}\right).$$

为了总惯性为

$$(2,1),$$

剩余两个特征值必须一正一负。

两数一正一负的最方便判断就是乘积小于 0。

它们的乘积是

$$\left|\begin{array}{cc}3& a\\ a& 2\end{array}\right|=6-a^2.$$

要求

$$6-a^2<0.$$

所以

$$\boxed{a<-\sqrt{6}\text{或}a>\sqrt{6}}.$$

这正是资料例 6.14 的结论。

这个题非常典型，因为它表明：

$$\boxed{\text{判断合同，根本没必要求合同矩阵 }C}$$

只需要比较惯性指数。

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十九、资料例 6.13：规范形反推参数

二次型

$$f=a{x}_1^2+a{x}_2^2+(a-1)x_3^2+2x_1{x}_3-2x_2{x}_3.$$

矩阵

$$A=\left(\begin{array}{ccc}a& 0& 1\\ 0& a& -1\\ 1& -1& a-1\end{array}\right).$$

资料把它写成

$$A=B+aE.$$

而 $B$ 的特征值为

$$-2,0,1.$$

因此 $A$ 的特征值直接平移为

$$\boxed{a-2,a,a+1}.$$

如果规范形为

$$y_1^2+y_2^2,$$

说明

$$p=2,q=0,$$

且

$$r(A)=2.$$

因此三个特征值应当是：

两个正；

一个零。

检查

$$a-2,a,a+1$$

得到

$$\boxed{a=2}.$$

这里又有一个超级常用技巧

若

$$A=B+aE,$$

而 $B$ 的特征值为

$${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n,$$

那么 $A$ 的特征值就是

$$\boxed{{\lambda }_1+a,\dots ,{\lambda }_n+a}.$$

这种结构一定优先利用，不要重新展开特征行列式。

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二十、什么是正定二次型

资料定义：

若对于任意

$$X\ne 0$$

都有

$$f(X)>0,$$

即

$$X^{\mathrm{T}}AX>0,$$

则称 $f$ 为正定二次型，也称对应的实对称矩阵 $A$ 为正定矩阵。

注意：

不是

$$f(X)\ge 0,$$

而是严格

$$\boxed{f(X)>0}.$$

而且必须对所有非零向量成立。

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二十一、正定最直观的理解

例如

$$f=x_1^2+x_2^2.$$

只要

$$(x_1,x_2)\ne (0,0),$$

就一定

$$x_1^2+x_2^2>0.$$

所以正定。

但是

$$f=x_1^2$$

在

$$(x_1,x_2)=(0,1)$$

时

$$f=0,$$

所以不是正定。

而

$$f=x_1^2-x_2^2$$

取

$$(0,1)$$

得到

$$-1<0,$$

更不是正定。

因此规范形角度看：

$$\boxed{\text{正定}⟺\text{规范形中有 }n\text{ 个 }+1}$$

即

$$p=n,q=0.$$

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二十二、正定矩阵最重要的五个等价条件

对 $n$ 阶实对称矩阵 $A$，考研中必须熟练掌握：

$$\boxed{A\text{ 正定}}$$

等价于：

$$\boxed{X^{\mathrm{T}}AX>0,\forall X\ne 0}$$

等价于：

$$\boxed{A\text{ 的所有特征值}>0}$$

等价于：

$$\boxed{A\text{ 的正惯性指数 }p=n}$$

等价于：

$$\boxed{A\text{ 合同于 }E}$$

等价于：

存在可逆矩阵 $C$，使

$$\boxed{A=C^{\mathrm{T}}C}$$

等价于：

$$\boxed{A\text{ 所有顺序主子式}>0}.$$

资料定理 6.5、6.6、6.7正是这套体系。

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二十三、为什么特征值全正等价于正定

因为实对称矩阵正交对角化：

$$A=Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}.$$

令

$$Y=Q^{\mathrm{T}}X.$$

由于 $Q$ 可逆，

$$X\ne 0⟺Y\ne 0.$$

于是

$$\begin{array}{rl}{X}^{\mathrm{T}}AX& =X^{\mathrm{T}}Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}X\\ & =Y^{\mathrm{T}}\Lambda Y\\ & ={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2.\end{array}$$

因此若

$${\lambda }_i>0$$

全部成立，则任何非零 $Y$ 至少有一个分量不为 0，于是

$$X^{\mathrm{T}}AX>0.$$

反过来，只要存在

$${\lambda }_k\le 0,$$

取对应特征向量，就可以让二次型取非正值。

所以：

$$\boxed{A>0⟺{\lambda }_i>0}.$$

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二十四、顺序主子式判别法

假设

$$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots \\ a_{12}& a_{22}& \cdots \\ ⋮& ⋮& \ddots \end{array}\right).$$

第 $k$ 阶顺序主子式是左上角 $k\times k$ 子矩阵的行列式：

$${\Delta }_k.$$

则

$$\boxed{A\text{ 正定}⟺{\Delta }_1>0,{\Delta }_2>0,\dots ,{\Delta }_n>0}.$$

例如三阶：

$${\Delta }_1=a_{11},$$ $${\Delta }_2=\left|\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right|,$$ $${\Delta }_3=|A|.$$

全部大于零即可。

特别注意：

这里说的是顺序主子式，不是所有子式，也不是所有主子式。

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二十五、资料例 6.16：含参数正定问题

$$f=x_1^2+4x_2^2+4x_3^2+2\lambda x_1{x}_2-2x_1{x}_3+4x_2{x}_3.$$

矩阵为

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& \lambda & -1\\ \lambda & 4& 2\\ -1& 2& 4\end{array}\right).$$

三个顺序主子式为

$${\Delta }_1=1,$$ $${\Delta }_2=4-{\lambda }^2,$$ $${\Delta }_3=4(2-\lambda -{\lambda }^2).$$

要求

$$4-{\lambda }^2>0$$

以及

$$2-\lambda -{\lambda }^2>0.$$

第二个：

$${\lambda }^2+\lambda -2<0,$$

即

$$(\lambda +2)(\lambda -1)<0.$$

于是

$$-2<\lambda <1.$$

与

$$-2<\lambda <2$$

取交集，最终

$$\boxed{-2<\lambda <1}.$$

资料例 6.16 的答案正是这一结果。

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二十六、到底什么时候用哪种正定判别法

这是实际做题最重要的选择。

矩阵给得很具体、阶数不高、含参数

优先：

$$\boxed{\text{顺序主子式}}$$

例如例 6.16。

已经知道特征值，或者矩阵有明显特征值结构

优先：

$$\boxed{\text{特征值}}$$

二次型本身是平方和结构

优先：

$$\boxed{\text{定义}}$$

或者写成

$$C^{\mathrm{T}}C.$$

涉及合同、规范形

优先：

$$\boxed{\text{惯性指数}}$$

不要所有正定题都去算特征值。

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二十七、资料例 6.15：正定矩阵的性质证明

已知 $A$ 正定，证明

$$|A+E|>1.$$

这是典型的“看到正定立即想到特征值”。

设 $A$ 的特征值为

$${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n.$$

正定意味着

$${\lambda }_i>0.$$

于是 $A+E$ 的特征值为

$${\lambda }_i+1>1.$$

因此

$$\begin{array}{rl}|A+E|& =\prod _{i=1}^n({\lambda }_i+1)\\ & >1.\end{array}$$

故

$$\boxed{|A+E|>1}.$$

资料例 6.15 也是这样处理的。

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二十八、资料例 6.17：一个很有区分度的正定题

考虑

$$\begin{array}{rl}f=& (x_1+a_1{x}_2{)}^2+(x_2+a_2{x}_3{)}^2\\ & +\cdots +(x_n+a_n{x}_1{)}^2.\end{array}$$

乍一看：

“全是平方和，所以肯定正定。”

错。

平方和只能说明

$$f\ge 0.$$

想要正定，还必须保证

$$f=0$$

只能发生在

$$X=0.$$

定义

$$Y=CX,$$

其中

$$C=\left(\begin{array}{ccccc}1& a_1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& a_2& \cdots & 0\\ ⋮& & \ddots & \ddots & ⋮\\ a_n& 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right).$$

于是

$$f=Y^{\mathrm{T}}Y=X^{\mathrm{T}}{C}^{\mathrm{T}}CX.$$

所以对应矩阵为

$$C^{\mathrm{T}}C.$$

它正定的充分必要条件是

$$C$$

可逆。

资料计算得到

$$|C|=1+(-1{)}^{n-1}{a}_1{a}_2\cdots a_n.$$

要求

$$|C|\ne 0.$$

于是

$$\boxed{a_1{a}_2\cdots a_n\ne (-1{)}^n}.$$

这道题把

$$\boxed{A=C^{\mathrm{T}}C}$$

这一正定判据体现得非常漂亮。

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二十九、这一章最重要的三种“等价翻译”

以后见题要快速完成翻译。

第一组：

$$\boxed{\text{正交变量替换}⟺\text{正交相似}⟺\text{特征值不变}}$$

第二组：

$$\boxed{\text{可逆变量替换}⟺\text{合同}⟺\text{正负惯性指数不变}}$$

第三组：

$$\boxed{\text{正定}⟺p=n⟺{\lambda }_i>0⟺{\Delta }_i>0⟺A{\sim }_{\text{合同}}E}$$

如果这三组能形成条件反射，第 6 章大部分题目都会明显简单。

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三十、二次型章节的常考题型

根据本章资料的组织，第 6 章主要归纳成三大题型：二次型标准化、惯性与合同问题、正定问题；资料同时明确指出标准化中正交变换是真题出现最多的方法。

可以把考场策略压缩成下面这张表：

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三十一、几个最容易出错的地方

错误 1：交叉项直接填进矩阵

例如

$$6x_1{x}_2$$

矩阵元素应该是

$$a_{12}=a_{21}=3,$$

不是 6。

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错误 2：合同和相似混淆

合同：

$$C^{\mathrm{T}}AC.$$

相似：

$$P^{-1}AP.$$

合同不保持具体特征值。

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错误 3：标准形等于规范形

错误。

$$2y_1^2-3y_2^2$$

是标准形。

$$z_1^2-z_2^2$$

才是对应规范形。

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错误 4：不同标准形系数必须一样

不对。

合同只保证：

$$\boxed{\text{正负号数量一样}}$$

不保证系数数值一样。

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错误 5：正交变换下得到的对角元随便

不对。

正交变换下：

$$Q^{\mathrm{T}}AQ=Q^{-1}AQ.$$

这是相似对角化，所以对角元一定是

$$\boxed{\text{特征值}}.$$

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错误 6：平方和一定正定

例如

$$(x_1-x_2{)}^2$$

不是正定，因为

$$x_1=x_2\ne 0$$

时值仍为 0。

平方和只自动保证

$$f\ge 0.$$

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错误 7：正定只要求行列式大于 0

远远不够。

例如

$$A=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right),$$

有

$$|A|=1>0,$$

但

$$X^{\mathrm{T}}AX=-x_1^2-x_2^2<0.$$

这是负定而非正定。

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三十二、这一章和前五章如何串起来

这是考研线代最重要的整体认识。

和第 1 章行列式

正定参数题要算

$${\Delta }_k,$$

特征值要算

$$|\lambda E-A|.$$

和第 2 章矩阵

可逆矩阵、转置矩阵、正交矩阵是合同变换基础：

$$C^{\mathrm{T}}AC.$$

和第 3 章向量

正交特征向量、Schmidt 正交化会直接用于正交变换。

和第 4 章线性方程组

平方和型二次型正定，经常最终变成判断

$$CX=0$$

是否只有零解，即

$$r(C)=n.$$

和第 5 章特征值

这是最紧密的：

$$\boxed{\text{实对称矩阵正交对角化}⟹\text{二次型标准化}}$$

以及

$$\boxed{\text{特征值正负号}⟹\text{惯性指数}⟹\text{正定性}}$$

所以第 6 章实际上可以理解为：

$$\boxed{\text{第 5 章实对称矩阵理论的应用章}}$$

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三十三、考研解题时最值得记住的“决策树”

以后碰到二次型，先问自己：

题目要求“正交变换”吗？

如果是：

$$A\to \text{特征值}\to \text{单位正交特征向量}\to Q.$$

如果不是，只要求标准形：

$$\text{优先配方法}.$$

如果问两个二次型能否互化：

$$\text{比较 }p,q.$$

如果问规范形：

$$\text{只求正、负、零特征值个数即可}.$$

如果问正定：

先看结构。

矩阵简单含参数：

$$\text{顺序主子式}.$$

特征值容易得到：

$${\lambda }_i>0.$$

平方和：

$$\text{直接按定义或判断对应线性变换可逆}.$$

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三十四、最后把第 6 章压缩成一张公式网络

这一页建议真正记熟。

二次型：

$$\boxed{f=X^{\mathrm{T}}AX,A=A^{\mathrm{T}}}$$

可逆变量替换：

$$X=CY$$

导致

$$\boxed{f=Y^{\mathrm{T}}(C^{\mathrm{T}}AC)Y}.$$

合同：

$$\boxed{B=C^{\mathrm{T}}AC}.$$

正交变换：

$$Q^{\mathrm{T}}Q=E,$$

于是

$$\boxed{Q^{\mathrm{T}}AQ=Q^{-1}AQ=\Lambda }.$$

标准形：

$$\boxed{d_1{y}_1^2+\cdots +d_n{y}_n^2}.$$

规范形：

$$\boxed{y_1^2+\cdots +y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_{p+q}^2}.$$

惯性指数：

$$\boxed{p=\text{正特征值个数}}$$ $$\boxed{q=\text{负特征值个数}}$$ $$\boxed{p+q=r(A)}.$$

合同判定：

$$\boxed{A\cong B⟺p_A=p_B,q_A=q_B}.$$

正定：

$$\boxed{A>0⟺X^{\mathrm{T}}AX>0(X\ne 0)}$$ $$\boxed{⟺{\lambda }_i>0}$$ $$\boxed{⟺p=n}$$ $$\boxed{⟺A\cong E}$$ $$\boxed{⟺A=C^{\mathrm{T}}C,C\text{ 可逆}}$$ $$\boxed{⟺{\Delta }_1,{\Delta }_2,\dots ,{\Delta }_n>0}.$$

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本章真正要达到的水平

不是只会“求特征值再对角化”，而是看到不同措辞就能立刻换语言：

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{正交标准化看特征值}\\ \text{一般可逆变换看合同}\\ \text{合同看惯性指数}\\ \text{规范形看正负零个数}\\ \text{正定看全正}\\ \text{含参数正定优先看顺序主子式}\end{array}}$$

这就是本章资料第 6 章最核心的解题框架。资料中的例 6.1—6.17 基本都是围绕这几条主线展开的。

如果按照考研重要性排序，建议把 “正交变换化标准形 → 惯性指数与合同 → 参数正定题 → 配方法” 作为这一章的四个核心训练模块，其中前面三个尤其要做到见题即能判断方法。