概率论与数理统计模块 1：随机事件及其概率

系统梳理事件运算、古典概型、条件概率、独立性、全概率与贝叶斯公式。

本文依据本站当前的资料体系，把 概率论与数理统计·模块1：随机事件及其概率 做成一套“学完一道，会做一类”的系统讲义。

本文核对了本站三类资料：数学真题、李正元第一章、张宇1000题第一章。本站把真题模块1细分为：1.1 事件的关系与运算、1.2 简单概型、1.3 条件概率与独立性、1.4 概率的性质与公式；网站总目录也明确建议按“真题 → 高质量练习题 → 模拟/强化题 → 自拟变式”的顺序研究。(Any Docs)

一、先看模块1到底有多重要

按本站目前收录的真题粗略统计：

部分	站内真题规模	实际重要度	复习评级
事件关系与运算	约8道小题	基础能力，常作为其他题的第一步	★★★★
古典概型、几何概型、重复试验	约10道小题+大题	常与条件概率结合	★★★★
条件概率、独立性	约15道小题+证明题	核心	★★★★★
加法、乘法、全概率、贝叶斯、综合概率	约30道小题+多道大题	模块最核心	★★★★★

这里的数量只是本站当前分类结果，因为同一道题有时本质上同时属于“独立性”和“概率公式”，所以不能机械地把数量等同于官方考频。

更值得注意的是 近年考法：

2017：条件概率大小关系与“正相关”等价；
2020：三个事件“恰有一个发生”；
2021：条件概率不等式判断；
2022：互斥 + 独立 + 条件概率综合；
2024：独立重复试验 + “至少一次成功”条件；
2025：互斥、独立、恰有一个、至少一个、条件概率连续综合。

尤其2020、2022、2024、2025的题，很清楚地体现了现在模块1的趋势：基本公式本身越来越少单独考，而是把事件关系、独立性、条件概率、容斥混在一起。 (Any Docs)

所以模块1最终必须练成这样：

看到文字 → 立即写事件；看到事件 → 立即拆区域；看到条件 → 立即缩样本空间；看到“来源未知” → 想全概率；看到“结果已知反推来源” → 想贝叶斯；看到独立 → 把交概率乘开。

二、整个模块最重要的统一模型：四格法

模块1大量看起来完全不同的题，其实都可以归结为下面四个互不相容区域：

A B, A \overline{B}, \overline{A} B, \overline{A} \overline{B} .

设

x = P (A B),

y = P (A \overline{B}),

z = P (\overline{A} B),

w = P (\overline{A} \overline{B}) .

则

x + y + z + w = 1.

而且

P (A) = x + y,

P (B) = x + z,

P (A \cup B) = x + y + z,

P (A - B) = y,

P (B - A) = z,

P (\overline{A} \cap \overline{B}) = w .

这四个数是模块1的“坐标系”。

只要题目同时出现 A、B、补事件、差事件、并事件中的多个量，而一时不知道从哪里下手，就直接画四格。

张宇1000题中有一道“证明任意事件某概率不等式”的题，网站解析就是设这几个互斥区域，再把所有概率写成它们的和，最后化成非负量。(Any Docs)

这是一种非常有迁移价值的方法。

三、题型一：事件的关系、运算与自然语言翻译

1. 必须掌握的事件语言

最基础但极容易失分。

“A发生且B发生”

A B = A \cap B .

“A或B至少一个发生”

A \cup B .

概率论中的“或”一般是可兼容或，不是“恰好一个”。

“A发生而B不发生”

A \overline{B} = A - B .

“A、B恰有一个发生”

A \overline{B} \cup \overline{A} B .

“A、B均不发生”

\overline{A} \overline{B} = \overline{A \cup B} .

“A、B不同时发生”

注意不是“两者都不发生”。

它是“不是同时发生”：

\overline{A B} = \overline{A} \cup \overline{B} .

“A、B至少一个不发生”

同样为

\overline{A} \cup \overline{B} .

“A、B至多一个发生”

即不能同时发生：

\overline{A B} .

四、题型二：对立事件与德摩根律

这是考研最容易设置文字陷阱的地方。

核心只有两条：

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B},

\overline{A B} = \overline{A} \cup \overline{B} .

口诀可以记成：

取反以后，并交互换。

代表真题：1989-45

题目：事件 A 表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，求其对立事件。

原事件实际上是：

A = {甲畅销} \cap {乙滞销} .

所以

\overline{A} = {甲不畅销} \cup {乙不滞销} .

即：

甲滞销或乙畅销。

答案 D。(Any Docs)

这道题真正要学什么？

不要用中文“凭感觉取反”。

统一做法：

\overline{X \cap Y} = \overline{X} \cup \overline{Y} .

以后看到：

“同时”“且”“均”

取反以后大概率会变成：

“至少一个不……”

五、题型三：包含、互斥、对立三个概念必须彻底分开

这是概率论第一章最大的概念坑。

1. 包含

A发生必然导致B发生：

A \subseteq B .

所以

A \cap B = A,

A \cup B = B .

概率满足

P (A) \leq P (B) .

2. 互不相容

A B = \emptyset .

于是

P (A \cup B) = P (A) + P (B) .

但注意：

互斥不等于对立。

3. 对立

对立比互斥条件更强：

A B = \emptyset,

同时

A \cup B = Ω.

于是

B = \overline{A} .

代表真题：2001-4

已知

A \cup B = B .

它意味着

A \subseteq B .

于是等价关系包括：

\overline{B} \subseteq \overline{A},

和

A \overline{B} = \emptyset .

但

\overline{A} B = \emptyset

表示的是

B \subseteq A .

方向反了，所以不等价。(Any Docs)

六、一个非常重要的陷阱：概率为0 ≠ 空事件

1987年真题专门考过：

已知

P (A B) = 0.

能不能说明

A B = \emptyset ?

不能。

网站真题答案也是：交事件可能是一个非空零概率事件。(Any Docs)

例如连续型试验中随机取一点：

P (X = 1) = 0,

但事件

{X = 1}

显然不是空集。

因此一定区分：

A B = \emptyset

和

P (A B) = 0.

前者一定推出后者。

后者一般不能推出前者。

七、题型四：古典概型——本质不是公式，而是“等可能计数”

基本公式：

P (A) = \frac{N ( A )}{N ( Ω )} .

前提只有一个：

基本结果等可能。

很多排列组合题真正难的不是组合数，而是：

样本点到底是什么？

代表真题1：1990-45

从0到9中任取三个不同数字。

总样本数：

(3 10) .

不含0和5

只能从其余8个中选3个：

P = \frac{( 3 8 )}{( 3 10 )} = \frac{7}{15} .

“不含0或5”

这里是逻辑语言考察。

其对立事件是：

0、5同时被选中。

因此：

P = 1 - \frac{( 1 8 )}{( 3 10 )} = \frac{14}{15} .

含0但不含5

固定0，再从其余8个中选2：

P = \frac{( 2 8 )}{( 3 10 )} = \frac{7}{30} .

这是非常经典的“事件语言 + 古典概型”综合。(Any Docs)

八、排列组合型概率的五种典型结构

1. 从 n 个中选 k 个

无顺序：

(k n) .

有顺序：

A_{n}^{k} .

2. 重复元素排列

1992真题：

C,C,E,E,I,N,S随机排列，恰成 SCIENCE。

所有不同排列：

\frac{7 !}{2 ! 2 !} .

只有一个SCIENCE。

所以：

P = \frac{1}{7 ! / ( 2 ! 2 !)} = \frac{1}{1260} .

(Any Docs)

3. 相邻问题：捆绑法

李正元练习中有一道：

发往三个地区的2、3、4节车皮随机编组，要求同一地区车皮全部相邻。

把三组分别捆起来。

全部排列：

9! .

有利排列：

3! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4! .

于是

P = \frac{3 ! 2 ! 3 ! 4 !}{9 !} = \frac{1}{210} .

(Any Docs)

这类题的统一规律：

必须在一起 → 捆。

4. 不相邻：插空法

如果未来考：

n个人中若干指定对象不得相邻。

典型处理：

先排普通对象；
形成若干空位；
再把特殊对象插进去。

5. “至少一个”优先求反面

几乎是模块1最高频技巧之一：

P (至少一个) = 1 - P (一个也没有) .

九、题型五：不放回抽样的“位置对称性”

1993真题：

10个正品、2个次品，不放回抽两次，问：

第二次抽到次品的概率。

很多人会写全概率：

P (第二次次品)

分第一抽为正、次讨论。

当然可以。

但最简单结论是：

随机排列后，每个球出现在每个位置的概率相同。

因此第二个位置是次品的概率就是总体次品率：

P = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} .

(Any Docs)

同样，1997真题“50个球中20黄30白，两个人依次不放回抽取，第二个人抽到黄球的概率”仍直接为：

\frac{20}{50} = \frac{2}{5} .

(Any Docs)

一类题通法

只要：

随机排列；
问固定第 k 个位置是什么类型；
之前抽取结果未知；

那么通常：

P (第 k 个属于某类) = \frac{该类数量}{总数量} .

不需要递归。

十、题型六：几何概型

公式本质：

P (A) = \frac{有利区域测度}{样本空间测度} .

二维通常是面积。

一维是长度。

三维是体积。

代表真题：2007-134

在区间

(0, 1)

中随机取两个数 x,y，求

∣ x - y ∣ < \frac{1}{2}

的概率。

样本空间为单位正方形：

0 < x < 1, 0 < y < 1.

全部面积：

S_{Ω} = 1.

反面：

∣ x - y ∣ \geq \frac{1}{2}

对应两个边长

\frac{1}{2}

的直角三角形。

面积：

2 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4} .

所以：

P = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} .

(Any Docs)

十一、几何概型的万能四步法

以后见到：

随机选两个数随机到达时间随机折断随机点随机参数

按固定流程。

第一步：参数化

设随机量：

x, y .

第二步：画样本空间

例如：

0 < x < L, 0 < y < L .

第三步：把题目翻成不等式

例如约会问题：

∣ x - y ∣ \leq \frac{1}{3} .

第四步：面积比

P = \frac{S _{A}}{S _{Ω}} .

十二、练习题：经典约会问题

李正元：

两人在一小时内随机到达，每人等20分钟。

设到达时间：

x, y \in [0, 1] .

能见面的条件：

∣ x - y ∣ \leq \frac{1}{3} .

反面有两个三角形，边长：

\frac{2}{3} .

所以

P = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} (\frac{2}{3})^{2} = \frac{5}{9} .

(Any Docs)

推广公式

如果总时间为 T，每人等待时间为 t，且

0 < t < T,

那么：

∣ x - y ∣ \leq t .

所以

P (相遇) = 1 - \frac{( T - t ) ^{2}}{T ^{2}} .

即

P = \frac{2 T t - t ^{2}}{T ^{2}} .

这一条值得直接记住结构，但更要会重新画图推。

十三、题型七：随机折棒成三角形

李正元练习很经典。

长为 L 的棒随机选两个折点。

三段长度设成：

x, y - x, L - y .

构成三角形的条件是：

最大一段小于总长度的一半。

即每段满足：

x < \frac{L}{2},

y - x < \frac{L}{2},

L - y < \frac{L}{2} .

最后得到有利面积比：

P = \frac{1}{4} .

(Any Docs)

这类题真正应该记

三条正数边总长固定为 L 时：

能成三角形 ⟺ max {a, b, c} < \frac{L}{2} .

这个结论非常有用。

十四、题型八：独立重复试验——至少、至多、恰好

若每次事件A发生概率为 p，独立重复 n 次。

恰好 k 次：

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

严格说二项分布在后面的随机变量章节会再次系统学习，但模块1已经直接使用。

至少一次

P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0)

所以

P (X \geq 1) = 1 - (1 - p)^{n} .

至多一次

P (X \leq 1) = P (X = 0) + P (X = 1)

即

(1 - p)^{n} + n p (1 - p)^{n - 1} .

1987真题直接考过这两个表达式。(Any Docs)

十五、代表真题：2016“第四次才集齐三色”

袋中红白黑各一球，有放回抽取。

要求：

第4次抽完恰好第一次集齐三种颜色。

关键不是“第4次有三色”，而是：

前3次只有两种颜色，第4次补齐第三种。

选前三次缺少哪种颜色：

3

种。

前三次只在另外两种颜色中出现，而且两色都必须出现：

2^{3} - 2 = 6.

所以有利序列：

3 \times 6 = 18.

总序列：

3^{4} = 81.

所以

P = \frac{18}{81} = \frac{2}{9} .

(Any Docs)

推广

“第 n 次第一次集齐所有种类”本质上是：

前 n-1 次缺至少一种，而第 n 次补齐最后一种。

更高阶可以用容斥。

十六、题型九：条件概率——第一核心

定义：

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )}, P (B) > 0.

它最重要的理解不是公式，而是：

B已经发生后，样本空间从 Ω 缩小成 B。

所以：

P (A ∣ B) = \frac{A 在 B 内部所占部分}{B} .

十七、代表真题：1993条件抽样

10件产品中4件次品。

随机抽2件。

已知：

至少一件是次品。

问：

另一件也是次品的概率。

设

B = {至少一件次品},

A = {两件都是次品} .

由于

A \subseteq B,

有

P (A ∣ B) = \frac{P ( A )}{P ( B )} .

直接组合计数：

N (B) = (2 10) - (2 6) = 45 - 15 = 30.

N (A) = (2 4) = 6.

所以

P (A ∣ B) = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} .

(Any Docs)

高频陷阱

“有一件是不合格品”在这类题通常要根据语境判断是：

至少一件。

而不是“恰好一件”。

如果真的是“恰好一件”，那么“另一件也是不合格品”的概率就是0。

十八、题型十：已知目标被命中，问是谁命中的

1989真题：

甲命中率0.6，乙0.5，相互独立。

已知目标被命中，求甲命中的概率。

设

A = {甲中},

B = {乙中} .

“目标被命中”为：

A \cup B .

求：

P (A ∣ A \cup B) .

因为

A \subseteq A \cup B,

所以

P (A ∣ A \cup B) = \frac{P ( A )}{P ( A \cup B )} .

独立：

P (A \cup B) = 1 - P (\overline{A} \overline{B})

= 1 - (1 - 0.6) (1 - 0.5) = 0.8.

于是

P = \frac{0.6}{0.8} = \frac{3}{4} .

(Any Docs)

这里最容易误认为：

“甲击中的概率 = 甲单独击中的概率。”

错。

题目并没说乙没中。

甲乙可以同时命中。

十九、题型十一：条件概率 = 1 的结构判断

2016真题：

P (A ∣ B) = 1.

意味着：

\frac{P ( A B )}{P ( B )} = 1.

所以

P (A B) = P (B) .

因此

P (\overline{A} B) = 0.

从概率意义上可以理解成：

B \subseteq A .

取补：

\overline{A} \subseteq \overline{B} .

从而：

P (\overline{B} ∣ \overline{A}) = 1.

真题答案即如此。(Any Docs)

二十、这一结论必须形成条件反射

如果：

P (A ∣ B) = 1,

记成：

B进A。

因为“在B已经发生的条件下，A必发生”。

于是：

B \subseteq A

（概率意义）。

而不是

A \subseteq B .

这是极高频方向陷阱。

二十一、题型十二：乘法公式

由条件概率定义：

P (A B) = P (A) P (B ∣ A) .

也可以写：

P (A B) = P (B) P (A ∣ B) .

三事件：

P (A B C) = P (A) P (B ∣ A) P (C ∣ A B) .

看到：

先……然后……在此前提下……

通常考虑乘法公式。

二十二、题型十三：全概率公式——“由原因求结果”

设

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

两两互斥，构成完备事件组：

i = 1 ⋃ n A_{i} = Ω.

那么：

P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) .

理解：

B可以通过多条互斥路径发生，把各条路径概率相加。

二十三、什么时候必须想到全概率？

典型语言：

来自不同工厂；
从不同箱子中抽；
不同机器生产；
不同人群；
不同状态；
先随机选择一种情况，再进行下一步。

统一结构：

原因 ⟶ 结果 .

不知道原因最终是哪一个，但求结果概率。

这就是全概率。

二十四、代表真题：1987三箱抽白球

三个箱子：

第一箱白球比例：

\frac{1}{5} .

第二箱：

\frac{3}{6} = \frac{1}{2} .

第三箱：

\frac{5}{8} .

随机选择一个箱子，因此：

P (A_{i}) = \frac{1}{3} .

求白球概率：

P (W) = i = 1 \sum 3 P (A_{i}) P (W ∣ A_{i}) .

所以：

P (W) = \frac{1}{3} (\frac{1}{5} + \frac{1}{2} + \frac{5}{8}) = \frac{53}{120} .

(Any Docs)

这就是最标准的：

原因 → 结果。

二十五、题型十四：贝叶斯公式——“由结果反推原因”

如果现在已经观察到 B，要求：

这个结果最可能来自哪个原因？

那么：

P (A_{i} ∣ B) = \frac{P ( A _{i} ) P ( B ∣ A _{i} )}{\sum _{j} P ( A _{j} ) P ( B ∣ A _{j} )} .

理解成：

后验 = \frac{该原因产生结果的概率}{所有原因产生结果的总概率} .

二十六、代表真题：1996两厂次品

A厂占全部产品60%，次品率1%。

B厂占40%，次品率2%。

现在抽到一个次品。

问来自A厂概率。

分子：

0.6 \times 0.01.

分母：

0.6 \times 0.01 + 0.4 \times 0.02.

所以：

P (A ∣ D) = \frac{0.006}{0.006 + 0.008} = \frac{3}{7} .

(Any Docs)

二十七、全概率和贝叶斯的最简单区分

看到：

不知道结果，求结果概率

用全概率：

P (B) .

看到：

结果已经发生，反问来源

用贝叶斯：

P (A_{i} ∣ B) .

可以记：

全概率：顺推。贝叶斯：逆推。

二十八、代表大题：1988玻璃杯

这是非常好的贝叶斯模板题。

箱中可能有：

0, 1, 2

个残次品。

先验概率分别：

0.8, 0.1, 0.1.

顾客随机检查4只，如果4只均为正品就购买。

设：

A_{i} = {箱中有 i 个次品},

B = {抽查 4 只均合格} .

先求：

P (B) .

使用全概率。

然后问：

已知买下该箱，实际箱中0个次品的概率。

就是：

P (A_{0} ∣ B) .

使用贝叶斯。

网站给出的结果：

P (B) = \frac{448}{475},

P (A_{0} ∣ B) = \frac{95}{112} .

(Any Docs)

这道题价值非常高，因为它把：

超几何抽样 + 全概率 + 贝叶斯

完整串起来了。

二十九、题型十五：事件独立——第二核心

A、B独立定义：

P (A B) = P (A) P (B) .

若概率非零，也等价于：

P (A ∣ B) = P (A),

或者：

P (B ∣ A) = P (B) .

含义：

B发生与否不改变A发生的概率。

三十、独立的补事件性质

如果A、B独立，那么以下全部独立：

A, B,

A, \overline{B},

\overline{A}, B,

\overline{A}, \overline{B} .

例如：

P (A \overline{B}) = P (A) - P (A B)

= P (A) - P (A) P (B)

= P (A) [1 - P (B)]

= P (A) P (\overline{B}) .

这条极高频。

三十一、互斥和独立是完全不同的东西

若A、B互斥：

P (A B) = 0.

若A、B独立：

P (A B) = P (A) P (B) .

如果：

P (A) > 0, P (B) > 0,

那么：

P (A) P (B) > 0.

所以正概率事件：

既互斥又独立是不可能的。

只有某个事件概率为0时，互斥才可能同时独立。

三十二、题型十六：用“全概率加权平均”判断条件概率大小

这是近年非常重要的思想。

有：

P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ \overline{B}) P (\overline{B}) .

因此：

P (A)

是下面两个数：

P (A ∣ B), P (A ∣ \overline{B})

的加权平均。

所以如果：

P (A ∣ B) > P (A ∣ \overline{B}),

那么必然：

P (A ∣ B) > P (A) > P (A ∣ \overline{B}) .

这是非常强的秒杀结论。

三十三、2017真题：正相关的等价形式

题目给：

P (A ∣ B) > P (A ∣ \overline{B}) .

问等价条件。

答案：

P (B ∣ A) > P (B ∣ \overline{A}) .

(Any Docs)

本质是：

A与B正相关。

它还等价于：

P (A B) > P (A) P (B) .

也等价于：

P (A ∣ B) > P (A) .

以及：

P (B ∣ A) > P (B) .

三十四、非常值得统一记住的“相关性等价链”

在概率都非退化时：

P (A B) > P (A) P (B)

等价于：

P (A ∣ B) > P (A),

等价于：

P (B ∣ A) > P (B),

等价于：

P (A ∣ B) > P (A ∣ \overline{B}),

等价于：

P (B ∣ A) > P (B ∣ \overline{A}) .

这类题未来非常适合做选择题。

三十五、2021真题：条件概率不等式判断

这题非常值得重点训练。

其中一个核心结论仍来自：

P (A) = P (A ∣ B) P (B) + P (A ∣ \overline{B}) P (\overline{B}) .

例如如果：

P (A ∣ B) > P (A),

因为整体平均已经低于前者，所以必有：

P (A ∣ \overline{B}) < P (A) .

于是：

P (\overline{A} ∣ \overline{B}) > P (\overline{A}) .

真题中的A、B、C选项均可用这种“加权平均”思想判断，而错误项是另外一个关于并事件条件概率的推断。(Any Docs)

这说明近年命题方向

不再只是要求算：

P (A ∣ B) .

而更喜欢问：

条件概率变大/变小意味着什么？

三十六、题型十七：条件概率相等推出独立

非常重要。

如果：

P (B ∣ A) = P (B ∣ \overline{A}),

且

0 < P (A) < 1,

设共同值为 r。

由全概率：

P (B) = r P (A) + r P (\overline{A}) = r .

因此：

P (B ∣ A) = P (B) .

所以：

A, B

独立。

1998、2002真题均考过这一思想；2002甚至直接作为8分证明题。(Any Docs)

三十七、2002证明题必须掌握

证明：

P (B ∣ A) = P (B ∣ \overline{A})

是A、B独立的充要条件。

正向

设：

P (B ∣ A) = P (B ∣ \overline{A}) = r .

由全概率：

P (B) = r P (A) + r [1 - P (A)] = r .

所以：

P (B ∣ A) = P (B),

从而独立。

反向

A、B独立：

P (B ∣ A) = P (B) .

又因为A与B独立，则：

\overline{A}

与B也独立。

所以：

P (B ∣ \overline{A}) = P (B) .

故：

P (B ∣ A) = P (B ∣ \overline{A}) .

三十八、题型十八：两两独立与相互独立

这是模块1最经典概念题之一。

三个事件A、B、C。

两两独立要求

P (A B) = P (A) P (B),

P (A C) = P (A) P (C),

P (B C) = P (B) P (C) .

三事件相互独立还必须增加

P (A B C) = P (A) P (B) P (C) .

因此：

两两独立不能推出相互独立。

三十九、代表真题：2003硬币构造反例

掷两次硬币。

设：

A₁：第一次正面；
A₂：第二次正面；
A₃：正反各一次。

可验证：

P (A_{1}) = P (A_{2}) = P (A_{3}) = \frac{1}{2} .

任意两个交：

P (A_{i} A_{j}) = \frac{1}{4} .

因此两两独立。

可是：

A_{1} A_{2} A_{3} = \emptyset .

所以：

P (A_{1} A_{2} A_{3}) = 0.

而：

P (A_{1}) P (A_{2}) P (A_{3}) = \frac{1}{8} .

因此不相互独立。(Any Docs)

这个例子建议直接记住。

四十、题型十九：组合事件是否独立

2017真题非常有代表性。

已知：

A ⊥ C,

B ⊥ C .

问：

A \cup B

与C独立的充分必要条件。

计算：

P [(A \cup B) C] = P (A C) + P (B C) - P (A B C) .

前两项：

P (A C) = P (A) P (C),

P (B C) = P (B) P (C) .

若希望：

P [(A \cup B) C] = P (A \cup B) P (C),

最后恰好要求：

P (A B C) = P (A B) P (C) .

也就是：

A B ⊥ C .

所以答案是：

AB与C独立。

(Any Docs)

这类题的通法

不要凭独立性的“感觉”。

永远从定义：

P (X Y) = P (X) P (Y)

出发，再把X展开。

四十一、题型二十：概率加法公式与容斥

二事件：

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B) .

三事件：

P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C)

- P (A B) - P (A C) - P (B C) + P (A B C) .

这是近年“恰有一个、至少一个、条件在并事件上”的基础。

四十二、概率差事件公式

极常用：

P (A - B) = P (A \overline{B}) .

而：

A = A B \cup A \overline{B},

两部分互斥。

所以：

P (A - B) = P (A) - P (A B) .

1987真题直接考过。(Any Docs)

四十三、题型二十一：概率上下界

任意A、B：

P (A B) \leq min {P (A), P (B)} .

以及：

P (A \cup B) \leq 1.

由：

P (A B) = P (A) + P (B) - P (A \cup B),

得到：

P (A B) \geq P (A) + P (B) - 1.

合起来：

max {0, P (A) + P (B) - 1} \leq P (A B) \leq min {P (A), P (B)} .

这是非常重要的 Fréchet 型界。

四十四、1992真题：由包含关系求下界

已知：

A与B同时发生则C必发生。

所以：

A B \subseteq C .

于是：

P (C) \geq P (A B) .

又：

P (A B) \geq P (A) + P (B) - 1.

因此：

P (C) \geq P (A) + P (B) - 1.

(Any Docs)

统一思路

看到：

“若……则……”

先翻译为包含关系。

再利用：

X \subseteq Y ⟹ P (X) \leq P (Y) .

四十五、2015真题：交概率的普适上界

对于任意事件：

A B \subseteq A,

所以：

P (A B) \leq P (A) .

同理：

P (A B) \leq P (B) .

于是：

P (A B) \leq min {P (A), P (B)} .

进一步必有：

P (A B) \leq \frac{P ( A ) + P ( B )}{2} .

这正是2015真题正确选项。(Any Docs)

四十六、题型二十二：三个事件“至少一个、恰有一个、恰有两个”

这是近年极重要题型。

设三个事件：

A, B, C .

至少一个发生

A \cup B \cup C .

概率：

P (A) + P (B) + P (C) - P (A B) - P (A C) - P (B C) + P (A B C) .

恰有三个发生

A B C .

恰有两个发生

事件为：

A B \overline{C} \cup A \overline{B} C \cup \overline{A} B C .

概率可以写成：

P (A B) + P (A C) + P (B C) - 3 P (A B C) .

为什么减3次？

因为每个两两交中都包括三重交，而“恰有两个”要把三重交全部删掉。

恰有一个发生

事件：

A \overline{B} \overline{C}

\cup \overline{A} B \overline{C}

\cup \overline{A} \overline{B} C .

如果已知所有交集，最好直接分区域。

一个非常有用公式是：

P (恰有一个) = P (A) + P (B) + P (C)

- 2 [P (A B) + P (A C) + P (B C)] + 3 P (A B C) .

四十七、2020真题：恰有一个发生

已知：

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{4},

P (A C) = P (B C) = \frac{1}{12},

P (A B) = 0.

由于：

A B = \emptyset,

所以：

A B C = \emptyset .

分别计算“只有A”“只有B”“只有C”。

只有A：

P (A) - P (A C) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{6} .

只有B：

\frac{1}{6} .

只有C：

P (C) - P (A C) - P (B C)

= \frac{1}{4} - \frac{1}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12} .

所以：

P (恰有一个) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{5}{12} .

(Any Docs)

四十八、2022真题：互斥 + 独立 + 条件概率

条件：

A \cap B = \emptyset,

A \cap C = \emptyset,

B、C独立，

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{3} .

求：

P (B \cup C ∣ A \cup B \cup C) .

第一步独立：

P (B C) = P (B) P (C) = \frac{1}{9} .

于是：

P (B \cup C) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9} .

由于A分别和B、C互斥：

A \cap (B \cup C) = \emptyset .

所以：

P (A \cup B \cup C) = \frac{1}{3} + \frac{5}{9} = \frac{8}{9} .

因此：

P = \frac{5/9}{8/9} = \frac{5}{8} .

(Any Docs)

这道题就是现代模块1的典型

顺序非常重要：

独立 → 算交；加法 → 算并；互斥 → 简化；条件概率 → 最后除。

四十九、2024真题：重复独立试验 + 条件概率

每次成功概率 p。

进行3次独立试验。

已知：

在至少成功一次的条件下，三次全部成功的概率为

\frac{4}{13} .

设：

A = {三次全部成功},

B = {至少成功一次} .

显然：

A \subseteq B .

于是：

P (A ∣ B) = \frac{P ( A )}{P ( B )} .

有：

P (A) = p^{3} .

P (B) = 1 - (1 - p)^{3} .

所以：

\frac{p ^{3}}{1 - ( 1 - p ) ^{3}} = \frac{4}{13} .

解得：

p = \frac{2}{3} .

(Any Docs)

这是非常值得预测的模板：

\frac{P ( 特殊情况 )}{P ( 至少 / 至多某情况 )} = 已知值 .

五十、2025真题：模块1综合题模板已经非常明显

其中一题：

A与B独立；
B与C独立；
A与C互斥；
已知三者概率；
条件为“至少一个发生”；
求“恰有一个发生”。

网站给出的答案为：

\frac{2}{3} .

(Any Docs)

这题实际上把整个模块的主要内容连起来：

独立 \to 交概率 \to 互斥 \to 容斥 \to 恰有一个 \to 条件概率 .

因此，值得注意的是这是模块1未来最应该重点训练的题型。

五十一、2025另一题：两个独立事件 + 参数反求

已知：

P (A) = 2 P (B),

A、B独立，

P (A \cup B) = \frac{5}{8} .

再求：

已知至少一个发生时，恰好一个发生的概率。

设：

P (B) = x .

则：

P (A) = 2 x .

独立：

P (A B) = 2 x^{2} .

所以：

P (A \cup B) = 2 x + x - 2 x^{2} .

因此：

3 x - 2 x^{2} = \frac{5}{8} .

解出概率范围内：

x = \frac{1}{4} .

所以：

P (B) = \frac{1}{4},

P (A) = \frac{1}{2} .

恰好一个：

P (A \overline{B}) + P (\overline{A} B) .

独立补事件后：

= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} .

条件“至少一个”概率：

\frac{5}{8} .

所以：

P = \frac{1/2}{5/8} = \frac{4}{5} .

(Any Docs)

这类参数反解值得注意的是也是未来很可能继续出的方向。

五十二、题型二十三：从条件概率公式中反求未知概率

这类题核心就是不要乱找公式，而是：

把所有条件翻译成代数方程。

例如已知：

P (A) = a,

P (B) = b,

P (A \cup B) = c .

立刻推出：

P (A B) = a + b - c .

于是：

P (A \overline{B}) = a - P (A B) .

这种题本质就是四格法。

1990真题：

P (A) = 0.4,

P (B) = 0.3,

P (A \cup B) = 0.6.

先：

P (A B) = 0.4 + 0.3 - 0.6 = 0.1.

再：

P (A \overline{B}) = 0.4 - 0.1 = 0.3.

(Any Docs)

五十三、模块1一个非常强的“秒杀公式库”

建议最终背熟下面这些，而不是背几十道题。

补事件

P (\overline{A}) = 1 - P (A) .

差

P (A - B) = P (A) - P (A B) .

二事件并

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B) .

三事件并

P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C)

- P (A B) - P (A C) - P (B C) + P (A B C) .

条件概率

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} .

乘法

P (A B) = P (A) P (B ∣ A) .

独立

P (A B) = P (A) P (B) .

全概率

P (B) = i \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) .

贝叶斯

P (A_{i} ∣ B) = \frac{P ( A _{i} ) P ( B ∣ A _{i} )}{\sum _{j} P ( A _{j} ) P ( B ∣ A _{j} )} .

至少一次

P (X \geq 1) = 1 - (1 - p)^{n} .

恰好k次

P (X = k) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

五十四、真正更重要的是“题干关键词 → 方法”的对应关系

题目语言	第一反应
A发生必导致B	包含
A、B不能同时发生	互斥
A、B恰有一个	拆成两个互斥区域
至少一个	优先求反面
恰好k次	二项结构
已知B已经发生	条件概率
随机选箱子/机器/来源，再观察结果	全概率
已知结果，问来自哪一类	贝叶斯
相互独立	交概率乘开
两两独立	不要擅自乘三重交
恰有一个/两个事件发生	分区域或容斥
随机取两个连续参数	几何概型
P(A∣B)=1	B进入A
条件概率大小比较	全概率加权平均

这个表比单纯刷题重要得多。

五十五、练习题中很值得补充的一类：事件概率方程

李正元有题：

P (A) = 3 P (B),

P (B) = \frac{2}{9},

并且“两者都不发生”的概率是“两者同时发生”的2倍。

这种题不要找特殊公式。

直接设：

x = P (A B) .

然后：

P (\overline{A} \overline{B}) = 1 - P (A \cup B)

= 1 - P (A) - P (B) + P (A B) .

利用题目关系建立方程。

网站最后算出：

P (A - B) = \frac{5}{9} .

(Any Docs)

这类题的通法就是：

两个事件 → 四格；未知交集 → 设 x。

五十六、强化题中很重要的一类：概率相关性

张宇强化部分有“正相关”相关题，站内还特别指出原题排版存在记号问题；但解析总结出的核心结论非常有价值：

若

P (A B) > P (A) P (B),

那么A、B正相关。

并且补事件满足：

P (\overline{A} \overline{B}) - P (\overline{A}) P (\overline{B})

= P (A B) - P (A) P (B) .

所以：

A与B同向正相关时，两个补事件也正相关。

(Any Docs)

这非常适合作为考研选择题变式。

五十七、一个需要特别注意的网站题目问题

考虑到网站解答可能存在极少数问题，核对时也确实发现了个别异常。

例如张宇强化部分的一道“条件概率大小关系”题，本站直接标明：

按当前题干，A、B、C、D实际上全部为真，因此原题应存在漏字或方向符号问题。

(Any Docs)

所以这次总结没有机械相信答案，而是优先按概率定义重新判断。

这种做法以后继续保持比较好：

真题题干权重大于站内解析；定义和数学推导权重大于答案标签。

五十八、建议重点掌握的10个“母题”

如果要压缩模块1，可将全部题归到下面10个母题。

母题1：事件翻译

给一段中文，写出：

A \cup B, A B, A \overline{B}, \overline{A} \overline{B} .

代表：

1989-45
2001-4
2000温控器题。(Any Docs)

母题2：古典概型计数

代表：

1990数字选择；
1992 SCIENCE；
1996骰子确定二次方程。(Any Docs)

核心：

\frac{有利数}{总数} .

母题3：几何概型

代表：

2007随机两数；
李正元约会；
李正元折棒。(Any Docs)

核心：

\frac{有利面积}{总面积} .

母题4：至少/至多/恰好

代表：

1987；
1988；
1990射击；
2024。(Any Docs)

核心：

1 - (1 - p)^{n}

以及二项计数。

母题5：条件缩样本空间

代表：

1989射击；
1993产品；
1994等级品。(Any Docs)

核心：

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} .

母题6：全概率

代表：

三箱抽球；
随机来源；
不同地区/工厂。

核心：

P (B) = \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) .

母题7：贝叶斯

代表：

1987三箱白球；
1988玻璃杯；
1996两厂次品。(Any Docs)

核心：

已知结果反求来源。

母题8：独立性判定

代表：

1994；
1998；
2002；
2017。(Any Docs)

核心：

P (A B) = P (A) P (B) .

母题9：三个事件的区域拆分

代表：

2020；
2022；
2025。(Any Docs)

核心：

交、并、恰有一个、至少一个。

母题10：条件概率大小与正相关

代表：

2017；
2021。(Any Docs)

核心：

P (A)

是

P (A ∣ B), P (A ∣ \overline{B})

的加权平均。

五十九、值得注意的是最值得预测的未来考法

结合2020—2025真题，可重点关注以下三个方向。

预测1：三个事件 + “恰有k个” + 条件概率

例如自拟：

设A、B、C满足：

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2},

A、B独立，A、C互斥，并给出B、C关系。

问：

P (恰有两个发生 ∣ 至少一个发生) .

这种题完全符合近年命题风格。

做法永远是：

\frac{P ( 恰有两个 )}{P ( A \cup B \cup C )} .

六十、预测2：独立重复试验 + 已知条件概率反求 p

例如：

每次成功概率p，独立试验n次。

已知：

P (X = k ∣ X \geq 1) = q .

那么直接写：

\frac{( k n ) p ^{k} ( 1 - p ) ^{n - k}}{1 - ( 1 - p ) ^{n}} = q .

2024已经考了：

k = n .

下一步很自然可能改成：

恰成功1次；
恰成功2次；
至少成功2次。

六十一、预测3：条件概率不等式 + 相关性

例如：

若：

P (A ∣ B) > P (A),

判断：

P (B ∣ A),

P (A ∣ \overline{B}),

P (\overline{A} ∣ \overline{B})

分别与无条件概率的大小关系。

这是2017、2021题型的自然深化。

六十二、自拟拓展题1：三个事件综合

设：

P (A) = \frac{1}{2}, P (B) = \frac{1}{3}, P (C) = \frac{1}{4} .

A、B独立，A、C互斥，B、C独立。

求在至少一个事件发生条件下，恰有一个事件发生的概率。

A、B独立：

P (A B) = \frac{1}{6} .

B、C独立：

P (B C) = \frac{1}{12} .

A、C互斥：

P (A C) = 0.

因此：

P (A B C) = 0.

至少一个：

P (A \cup B \cup C)

= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12}

= \frac{5}{6} .

只有A：

P (A) - P (A B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{1}{3} .

只有B：

P (B) - P (A B) - P (B C)

= \frac{1}{3} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12} .

只有C：

P (C) - P (B C) = \frac{1}{4} - \frac{1}{12} = \frac{1}{6} .

恰有一个：

\frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{7}{12} .

最终：

P = \frac{7/12}{5/6} = \frac{7}{10} .

这就是2025题型的标准迁移。

六十三、自拟拓展题2：条件概率与正相关

若：

0 < P (B) < 1,

且：

P (A ∣ B) = 0.8,

P (A ∣ \overline{B}) = 0.3.

不需要知道：

P (B)

具体是多少，就可以判断：

0.3 < P (A) < 0.8.

因为：

P (A) = 0.8 P (B) + 0.3 [1 - P (B)] .

于是：

P (A ∣ B) > P (A) .

所以A、B正相关：

P (A B) > P (A) P (B) .

同时：

P (B ∣ A) > P (B) .

这就是2017/2021类型的统一思想。

六十四、自拟拓展题3：贝叶斯更新两次

两个箱子：

箱1红球概率：

\frac{3}{4} .

箱2红球概率：

\frac{1}{2} .

等概率选一个箱子，有放回连续抽球。

已知第一次抽到红球，求第二次仍抽到红球的概率。

首先通过第一次红球更新箱子来源：

P (A_{1} ∣ R) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{3}{5} .

因此第二次红球：

P (R_{2} ∣ R_{1}) = \frac{3}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2}

= \frac{9}{20} + \frac{4}{20} = \frac{13}{20} .

这类题本质就是：

第一次结果改变了来源的后验概率，因此第二次概率也改变。

非常适合作为贝叶斯的新考法。

六十五、模块1最常见的10个错误

把“互斥”当“独立”。
把“互斥”当“对立”。
认为

P (A B) = 0

就一定有

A B = \emptyset .

看到“或”就按“恰好一个”算。
忘记条件概率的分母是条件事件。
贝叶斯公式分母漏掉其他来源。
三事件两两独立就直接写：

P (A B C) = P (A) P (B) P (C) .

“至少一次”不用补事件，硬分类导致漏项。
三事件“恰有一个”直接用：

P (A) + P (B) + P (C) .

完全忘了重叠区域。

看到复杂概率表达式到处套公式，而不先把事件拆成互斥区域。

六十六、考场最实用的模块1解题流程

碰到一道模块1题，建议固定走这五步。

Step 1：翻译事件

把所有中文变成：

A, B, \overline{A}, A B, A \cup B .

Step 2：先处理集合关系

把：

必导致；
互不相容；
对立；
恰有一个；

先化成集合关系。

Step 3：再处理概率关系

独立：

P (A B) = P (A) P (B) .

条件：

P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} .

Step 4：来源分层就用全概率/贝叶斯

顺推结果：

P (B) .

逆推原因：

P (A_{i} ∣ B) .

Step 5：最后才代数字

模块1很多失误恰恰因为学生一上来就算数。

六十七、最终把模块1压缩成“四张图”

如果真正想做到“学会一道题，会一类”，脑子里只保留四套模型。

图1：两个事件四格图

A B, A \overline{B}, \overline{A} B, \overline{A} \overline{B} .

解决：

加法；
差；
补；
条件；
独立；
参数题。

图2：原因树

A_{1} \to B,

A_{2} \to B,

\dots

解决：

全概率；
贝叶斯；
分箱；
分厂；
分人群。

图3：重复试验树

每次：

p, 1 - p .

解决：

恰好k次；
至少一次；
第n次第一次发生。

图4：几何区域

Ω \subseteq R^{2} .

把条件变成：

g (x, y) \leq 0.

解决：

两个随机数；
到达时间；
折棒；
随机点。

六十八、这个模块应该怎样分配复习精力

如果按考研收益排序，建议：

第一梯队：必须练到条件反射

条件概率、独立性、全概率、贝叶斯、三事件容斥、“恰有一个/至少一个”。

因为近年真题持续集中在这些组合上。2017、2021、2022、2024、2025尤其明显。(Any Docs)

第二梯队：必须熟练

事件运算、补事件、古典概型、重复独立试验。

它们通常是第一梯队题型的底层工具。

第三梯队：掌握典型模型

几何概型、复杂排列组合。

真题频度没前两类高，但一旦出现，方法比较固定，掌握后反而容易拿分。

六十九、最后给模块1一个总纲

这章表面上公式很多，其实只研究三件事：

第一件：事件是什么？

A, B, A B, A \cup B, \overline{A} .

这是集合问题。

第二件：事件之间有什么关系？

A \subseteq B,

A B = \emptyset,

P (A B) = P (A) P (B) .

这是互斥、包含、独立问题。

第三件：已知一些信息以后，概率怎么更新？

P (A ∣ B),

P (B) = i \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}),

P (A_{i} ∣ B) .

这是条件概率、全概率、贝叶斯问题。

最应该形成的思维链

以后做模块1，先问自己：

“样本空间是什么？”

然后问：

“目标事件到底是哪一块？”

再问：

“有没有条件把样本空间缩小？”

再问：

“事件是否独立，可以把交概率乘开？”

再问：

“是不是多个原因产生同一结果？”

只要这五问形成习惯，模块1绝大多数真题都会从“概率题”变成非常机械的集合拆分 + 比例计算。

从本站真题来看，尤其应把 2020、2021、2022、2024、2025 几道重新独立做一遍，它们基本代表了当前模块1最有价值的命题方向：不再孤立考某条公式，而是考事件关系、独立性、容斥和条件概率的组合。 (Any Docs)