概率论与数理统计模块 8：参数估计与假设检验

本模块以考研真题为主线，并结合高质量练习题，系统整理矩估计与最大似然估计、估计量评价、区间估计和假设检验四部分的高频题型与通用方法。

一、先给出整个模块 8 的地图

按模块结构，模块 8 分为：

其中站内题库把 8.2～8.4 标为数一内容。真题库中，8.1 收录量明显最大，而且大量是大题；8.2 近年来又出现了非常漂亮的综合题，例如 2024 数一最大次序统计量 + 无偏估计 + MSE 最优；假设检验在 2021、2025 又出现了“两类错误”“复合原假设”等明显比单纯套公式更有理解要求的考法。

这个模块真正的主线不是四块互相孤立，而是：

$$\boxed{\text{找估计量}⟶\text{研究估计量好不好}⟶\text{给参数一个区间}⟶\text{用样本判断参数假设}}$$

其中又有一条极重要的贯穿线：

$$\boxed{\text{总体分布}\to \text{统计量分布}\to \text{参数推断}}$$

模块 7 学的正态总体抽样分布、卡方分布、$t$ 分布，到模块 8 才真正“兑现”。

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二、8.1 矩估计与最大似然估计

这是本模块第一核心。

1. 矩估计到底在干什么？

假设总体中有一个未知参数 $\theta$。

如果

$$E(X)=g(\theta ),$$

而样本中

$$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

是总体均值的自然替代，那么直接令

$$g(\theta )=\bar{X},$$

解出

$$\hat{\theta }=g^{-1}(\bar{X}).$$

这就是一阶矩估计。

如果有两个未知参数，则往往需要两个方程：

$$E(X)=\bar{X},$$ $$E(X^2)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2.$$

所以可以把矩估计理解成一句话：

用样本的数字特征，去代替总体的数字特征。

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三、题型一：直接一阶矩估计

这是最基础的。

真题：1997 数一

总体密度为

$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}(\theta +1)x^{\theta },& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}\theta >-1.$$

要求分别求 $\theta$ 的矩估计和最大似然估计。

先算总体均值：

$$E(X)=(\theta +1){\int }_0^1{x}^{\theta +1}dx=\frac{\theta +1}{\theta +2}.$$

矩估计令

$$\bar{X}=\frac{\theta +1}{\theta +2}.$$

于是

$${\hat{\theta }}_M=\frac{2\bar{X}-1}{1-\bar{X}}.$$

这一类题的固定套路

看到“求矩估计”，不要先想似然函数。

直接写：

$$E(X)=\cdots$$

然后

$$E(X)⟶\bar{X}.$$

如果一个参数用一阶矩不好解，也可以考虑

$$E(X^2),$$

甚至利用

$$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2.$$

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四、题型二：多个未知参数的矩估计

这是练习题里非常值得训练的一类。

例如李正元题库中有：

总体 $X\sim U(a,b)$，求未知参数 $a,b$ 的矩估计量。

因为有两个参数，所以需要两个矩。

记

$$M_2^{\prime }=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2.$$

均匀分布有

$$E(X)=\frac{a+b}{2},$$ $$D(X)=\frac{(b-a{)}^2}{12}.$$

用

$$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

就有样本对应量

$$M_2^{\prime }-{\bar{X}}^2.$$

因此：

$$a+b=2\bar{X},$$ $$(b-a{)}^2=12(M_2^{\prime }-{\bar{X}}^2).$$

所以

$$\boxed{\hat{a}=\bar{X}-\sqrt{3(M_2^{\prime }-{\bar{X}}^2)}}$$ $$\boxed{\hat{b}=\bar{X}+\sqrt{3(M_2^{\prime }-{\bar{X}}^2)}}$$

通法

有 $k$ 个未知参数时，一般构造 $k$ 个矩方程：

$$E(X^j)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^j,j=1,\dots ,k.$$

但实战中没必要机械使用原点矩。

如果

$$E(X),D(X)$$

更简单，就直接用它们。

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五、8.1 真正最重要：最大似然估计

最大似然只有一句本质：

已经观察到了这组样本，那么什么参数值最容易产生它？

假设观察到了

$$x_1,x_2,\dots ,x_n.$$

若样本独立，则似然函数：

离散型：

$$L(\theta )=\prod _{i=1}^n{P}_{\theta }(X=x_i).$$

连续型：

$$L(\theta )=\prod _{i=1}^{n}f(x_i;\theta ).$$

然后找

$$\hat{\theta }=\arg \underset{\theta }{\max }L(\theta ).$$

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六、题型三：常规最大似然——取对数、求导

真题：2021

总体满足

$$P(X=1)=\frac{1-\theta }{2},$$ $$P(X=2)=P(X=3)=\frac{1+\theta }{4}.$$

样本值：

$$1,3,2,2,1,3,1,2.$$

求最大似然估计值。

样本中：

$$N_1=3,N_2+N_3=5.$$

于是

$$L(\theta )={\left(\frac{1-\theta }{2}\right)}^3{\left(\frac{1+\theta }{4}\right)}^5.$$

去掉与参数无关常数：

$$L(\theta )\propto (1-\theta {)}^3(1+\theta {)}^5.$$

取对数：

$$\ell (\theta )=3\ln (1-\theta )+5\ln (1+\theta )+C.$$

求导：

$${\ell }^{\prime }(\theta )=-\frac{3}{1-\theta }+\frac{5}{1+\theta }.$$

令其为零：

$$-\frac{3}{1-\theta }+\frac{5}{1+\theta }=0.$$

得到

$$5(1-\theta )=3(1+\theta ),$$

所以

$$\boxed{\hat{\theta }=\frac{1}{4}}.$$

这一类的标准模板

以后看到：

$$L(\theta )=C{\theta }^a(1-\theta {)}^b$$

几乎应该条件反射：

$$\ln L=a\ln \theta +b\ln (1-\theta )+C,$$

所以

$$\frac{a}{\theta }-\frac{b}{1-\theta }=0.$$

立即得到

$$\boxed{\hat{\theta }=\frac{a}{a+b}}$$

本质就是“成功频率”。

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七、题型四：指数族型最大似然

这个超级高频。

真题：2009

密度

$$f(x;\lambda )={\lambda }^{2}x{e}^{-\lambda x},x>0.$$

求矩估计和最大似然估计。

有

$$E(X)=\frac{2}{\lambda }.$$

所以矩估计：

$$\boxed{{\hat{\lambda }}_M=\frac{2}{\bar{X}}}$$

似然：

$$L(\lambda )={\lambda }^{2n}\left(\prod X_i\right)e^{-\lambda \sum X_i}.$$

取对数：

$$\ell (\lambda )=2n\ln \lambda -\lambda \sum X_i+C.$$

求导：

$${\ell }^{\prime }(\lambda )=\frac{2n}{\lambda }-\sum X_i.$$

所以

$$\boxed{{\hat{\lambda }}_L=\frac{2n}{\sum X_i}=\frac{2}{\bar{X}}}$$

本题两种估计恰好相同。

高频识别公式

一旦似然化成

$$L(\theta )\propto {\theta }^{an}{e}^{-\theta T},$$

则

$$\ln L=an\ln \theta -\theta T+C,$$

立即有

$$\boxed{\hat{\theta }=\frac{an}{T}.}$$

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八、题型五：最重要陷阱——参数决定取值范围

这一类是最大似然估计最值得掌握的题。

因为它不能机械“取对数求导”。

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真题：2000

总体密度

$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}2e^{-2(x-\theta )},& x\ge \theta ,\\ 0,& x<\theta .\end{array}$$

求 $\theta$ 的最大似然估计。

定义最小次序统计量：

$$X_{(1)}=\min (X_1,\dots ,X_n).$$

所有样本都必须满足

$$X_i\ge \theta .$$

因此

$$\theta \le X_{(1)}.$$

似然函数：

$$L(\theta )=2^n{e}^{-2\sum X_i+2n\theta }I\{\theta \le X_{(1)}\}.$$

在允许范围内，

$$L(\theta )$$

随 $\theta$ 增大而增大。

所以一定把 $\theta$ 推到最右端：

$$\boxed{{\hat{\theta }}_L=X_{(1)}.}$$

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真题：2015

总体为区间

$$[\theta ,1]$$

上的均匀分布。

矩估计：

$$E(X)=\frac{1+\theta }{2},$$

所以

$$\boxed{{\hat{\theta }}_M=2\bar{X}-1.}$$

最大似然：

$$L(\theta )=(1-\theta {)}^{-n}I\{\theta \le X_{(1)}\}.$$

在允许范围

$$\theta \le X_{(1)}$$

内，$\theta$ 越大，

$$(1-\theta {)}^{-n}$$

越大。

因此

$$\boxed{{\hat{\theta }}_L=X_{(1)}.}$$

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九、看到这种题，立刻想到“最大值还是最小值？”

这是一个非常重要的识别表：

如果总体支持集是

$$[\theta ,+\infty ),$$

通常样本要求

$$\theta \le X_{(1)},$$

所以常出现

$$\hat{\theta }=X_{(1)}.$$

如果总体支持集是

$$(0,\theta ],$$

则要求

$$X_{(n)}\le \theta ,$$

其中

$$X_{(n)}=\max (X_1,\dots ,X_n).$$

所以常出现

$$\hat{\theta }=X_{(n)}.$$

记忆方式：

$$\boxed{\text{参数是左端点}\Rightarrow \min }$$ $$\boxed{\text{参数是右端点}\Rightarrow \max }$$

这不是死规则，但在均匀分布、平移指数分布等考研题中极其好用。

张宇强化题进一步出了“两组不同区间样本共享同一个参数”的极值型 MLE，非常适合训练这种约束意识。

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十、题型六：多组样本共同估计一个参数

这是非常值得关注的新型综合题。

真题：2022 数一

有两组互相独立样本：

第一组来自期望为 $\theta$ 的指数总体：

$$X_1,\dots ,X_n.$$

第二组来自期望为 $2\theta$ 的指数总体：

$$Y_1,\dots ,Y_m.$$

求 $\theta$ 的 MLE 和方差。

第一组密度：

$$f_X(x)=\frac{1}{\theta }{e}^{-x/\theta }.$$

第二组：

$$f_Y(y)=\frac{1}{2\theta }{e}^{-y/(2\theta )}.$$

联合似然关于参数的部分：

$$L(\theta )\propto {\theta }^{-(n+m)}\exp \left[-\frac{\sum X_i+\frac{1}{2}\sum Y_j}{\theta }\right].$$

记

$$A=\sum _{i=1}^n{X}_i+\frac{1}{2}\sum _{j=1}^m{Y}_j.$$

则

$$\ell (\theta )=-(n+m)\ln \theta -\frac{A}{\theta }+C.$$

所以

$$-\frac{n+m}{\theta }+\frac{A}{{\theta }^2}=0.$$

最终

$$\boxed{\hat{\theta }=\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i+\frac{1}{2}\sum _{j=1}^m{Y}_j}{n+m}}$$

再利用

$$D(X_i)={\theta }^2,$$ $$D\left(\frac{Y_j}{2}\right)={\theta }^2,$$

所以相当于把

$$X_1,\dots ,X_n,\frac{Y_1}{2},\dots ,\frac{Y_m}{2}$$

看成相同均值、相同方差的一组量。

因此

$$\boxed{D(\hat{\theta })=\frac{{\theta }^2}{n+m}.}$$

这道题非常有价值，因为它体现：

不要看到两组样本就慌。把它们标准化成“对同一个参数贡献什么信息”即可。

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十一、8.2：估计量的评选标准

这里是模块 8 第二核心。

必须彻底分清四个概念。

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1. 无偏性

若

$$E_{\theta }(\hat{\theta })=\theta ,$$

则称

$$\hat{\theta }$$

是 $\theta$ 的无偏估计量。

重点：

$$\boxed{\text{无偏是“平均起来不偏”，不是每次估得准。}}$$

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2. 一致性

若

$${\hat{\theta }}_n\stackrel{P}{\to }\theta ,$$

即任意

$$\epsilon >0,$$

都有

$$P\left(|{\hat{\theta }}_n-\theta |\ge \epsilon \right)\to 0,$$

则称其一致。

最常见证明方法：

如果

$$E({\hat{\theta }}_n)\to \theta$$

且

$$D({\hat{\theta }}_n)\to 0,$$

通常可以用切比雪夫证明。

更强的常用条件：

$$E({\hat{\theta }}_n-\theta {)}^2\to 0$$

则有

$${\hat{\theta }}_n\stackrel{P}{\to }\theta .$$

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3. 有效性

若两个估计量都是无偏的：

$$E({\hat{\theta }}_1)=E({\hat{\theta }}_2)=\theta ,$$

并且

$$D({\hat{\theta }}_1)<D({\hat{\theta }}_2),$$

则 ${\hat{\theta }}_1$ 更有效。

一句话：

都不偏，谁波动小谁好。

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4. 均方误差 MSE

这是近年非常值得重视的概念：

$$\mathrm{MSE}(\hat{\theta })=E(\hat{\theta }-\theta {)}^2.$$

展开：

$$\boxed{\mathrm{MSE}=D(\hat{\theta })+{\left[E(\hat{\theta })-\theta \right]}^2}$$

即：

$$\boxed{\text{MSE}=\text{方差}+\text{偏差平方}.}$$

所以一个略有偏但方差明显更小的估计量，可能总体 MSE 更优秀。

这正是 2024 真题的核心思想。

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十二、题型七：构造无偏估计量

真题：2010

总体：

$$P(X=1)=1-\theta ,$$ $$P(X=2)=\theta -{\theta }^2,$$ $$P(X=3)={\theta }^2.$$

令样本中等于 $i$ 的数量为 $N_i$。

要求构造

$$T=a_1{N}_1+a_2{N}_2+a_3{N}_3$$

成为 $\theta$ 的无偏估计量，并求其方差。

最漂亮的方法不是硬算三个协方差。

先观察：

$$P(X\ge 2)=(\theta -{\theta }^2)+{\theta }^2=\theta .$$

所以

$$N_2+N_3\sim B(n,\theta ).$$

因此自然得到

$$\boxed{T=\frac{N_2+N_3}{n}.}$$

它的期望：

$$E(T)=\frac{n\theta }{n}=\theta .$$

所以无偏。

而

$$D(N_2+N_3)=n\theta (1-\theta ),$$

故

$$\boxed{D(T)=\frac{\theta (1-\theta )}{n}.}$$

这题真正教该是什么？

看到离散分布计数：

$$N_1,N_2,\dots$$

优先问：

有没有若干取值合起来构成一个概率恰好等于参数？

如果有，就把它变成二项分布。

这是大幅降维的方法。

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十三、题型八：次序统计量 + 无偏估计

真题：2016

密度

$$f(x;\theta )=\{\begin{array}{ll}\frac{3x^2}{{\theta }^3},& 0<x<\theta ,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

取三个样本，令

$$T=\max (X_1,X_2,X_3).$$

求 $T$ 的密度，再确定 $a$，使

$$aT$$

成为 $\theta$ 的无偏估计。

总体分布函数：

$$F_X(x)={\left(\frac{x}{\theta }\right)}^3,0<x<\theta .$$

最大值：

$$F_T(t)=[F_X(t){]}^3={\left(\frac{t}{\theta }\right)}^9.$$

所以

$$f_T(t)=\frac{9t^8}{{\theta }^9},0<t<\theta .$$

于是

$$E(T)={\int }_0^{\theta }t\frac{9t^8}{{\theta }^9}dt=\frac{9}{10}\theta .$$

要求

$$E(aT)=\theta ,$$

因此

$$a\frac{9}{10}\theta =\theta .$$

得到

$$\boxed{a=\frac{10}{9}.}$$

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十四、以后碰到最大/最小值，建议直接背通式

若

$$X_{(n)}=\max (X_1,\dots ,X_n),$$

则

$$\boxed{F_{X_{(n)}}(x)=[F_X(x){]}^n}$$

若

$$X_{(1)}=\min (X_1,\dots ,X_n),$$

则

$$P(X_{(1)}>x)=[P(X>x){]}^n,$$

所以

$$\boxed{F_{X_{(1)}}(x)=1-[1-F_X(x){]}^n.}$$

模块 4、模块 7、模块 8 在这里直接串起来了。

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十五、题型九：2024 真题——本模块必须重点掌握

这是模块 8 中最值得反复研究的一道近年题。

2024 数一

总体

$$X\sim U(0,\theta ).$$

定义

$$X_{(n)}=\max (X_1,\dots ,X_n),$$ $$T_c=c{X}_{(n)}.$$

第一问：求 $c$，使其无偏。

第二问：求 $c$，使

$$h(c)=E(T_c-\theta {)}^2$$

最小。

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第一步：最大值分布

对于

$$0<x<\theta ,$$

有

$$F_X(x)=\frac{x}{\theta }.$$

因此

$$F_{X_{(n)}}(x)={\left(\frac{x}{\theta }\right)}^n.$$

密度：

$$f_{X_{(n)}}(x)=\frac{n{x}^{n-1}}{{\theta }^n}.$$

进一步：

$$E(X_{(n)})=\frac{n}{n+1}\theta ,$$ $$E(X_{(n)}^2)=\frac{n}{n+2}{\theta }^2.$$

实际上可以记住更一般的：

$$\boxed{E(X_{(n)}^r)=\frac{n}{n+r}{\theta }^r.}$$

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第一问：无偏

要求

$$E(c{X}_{(n)})=\theta .$$

所以

$$c\frac{n}{n+1}\theta =\theta .$$

得到

$$\boxed{c_{\text{unbiased}}=\frac{n+1}{n}.}$$

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第二问：MSE 最优

$$h(c)=E(c{X}_{(n)}-\theta {)}^2.$$

展开：

$$h(c)=c^{2}E(X_{(n)}^2)-2c\theta E(X_{(n)})+{\theta }^2.$$

代入：

$$h(c)={\theta }^2\left[\frac{n}{n+2}{c}^2-\frac{2n}{n+1}c+1\right].$$

求导：

$$h^{\prime }(c)=2{\theta }^2\left[\frac{n}{n+2}c-\frac{n}{n+1}\right].$$

所以

$$\boxed{c_{\mathrm{MSE}}=\frac{n+2}{n+1}.}$$

最重要结论

无偏最优系数是

$$\frac{n+1}{n},$$

而 MSE 最优系数却是

$$\frac{n+2}{n+1}.$$

它们不相同。

也就是说：

MSE 最优估计量甚至可以故意保留一点偏差。

这道题是理解“无偏不等于最好”的最佳真题。

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十六、题型十：两个无偏估计量如何组合最优？

张宇强化题中有非常典型的一道：

若

$${\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2$$

相互独立，均为无偏估计，并满足

$$D({\hat{\theta }}_2)=2D({\hat{\theta }}_1),$$

求线性组合中的最有效估计量。

设

$$T=a{\hat{\theta }}_1+b{\hat{\theta }}_2.$$

为保持无偏：

$$a+b=1.$$

设

$$D({\hat{\theta }}_1)=v_1,D({\hat{\theta }}_2)=v_2.$$

独立时

$$D(T)=a^2{v}_1+b^2{v}_2.$$

令

$$b=1-a.$$

优化得到：

$$\boxed{a=\frac{v_2}{v_1+v_2}}$$ $$\boxed{b=\frac{v_1}{v_1+v_2}.}$$

注意一个非常漂亮的规律：

方差越小的估计量，权重越大。

而且权重与“对方的方差”成比例，本质上等价于权重与自身方差的倒数成比例。

若未来加入协方差，预测考法是：

$$D(T)=a^2{v}_1+(1-a{)}^2{v}_2+2a(1-a)c.$$

其中

$$c=\mathrm{Cov}({\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2).$$

再求极值即可。

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十七、8.3 区间估计：本质是什么？

点估计说：

$$\hat{\theta }=\mathrm{3.7.}$$

区间估计说：

不只表明一个点，还给出一个随机区间，使它覆盖真实参数的概率达到指定置信度。

例如：

$$P_{\theta }\left(L(X_1,\dots ,X_n)<\theta <U(X_1,\dots ,X_n)\right)=1-\alpha .$$

关键不是背区间。

而是寻找：

$$\boxed{\text{分布已知且最好不含未知参数的枢轴量}}$$

然后：

$$P(a<Q<b)=1-\alpha$$

解关于参数的不等式。

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十八、正态总体均值的置信区间必须彻底掌握

情形 A：方差已知

若

$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),$$

且 ${\sigma }^2$ 已知，则

$$Z=\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1).$$

若用上侧分位数定义

$$P(Z>z_{\alpha /2})=\frac{\alpha }{2},$$

则

$$\boxed{\mu \in \left(\bar{X}-z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{X}+z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right).}$$

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真题：1996

$$X\sim N(\mu ,0.9^2),$$ $$n=9,\bar{x}=5.$$

95% 区间。

有

$$z_{0.025}=\mathrm{1.96.}$$

于是

$$5\pm 1.96\frac{0.9}{3}.$$

因此

$$\boxed{(4.412,5.588).}$$

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十九、情形 B：正态总体方差未知

这个比上一类更重要。

有

$$T=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1).$$

于是：

$$\boxed{\mu \in \left(\bar{X}-t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}},\bar{X}+t_{\alpha /2}(n-1)\frac{S}{\sqrt{n}}\right).}$$

真题：2005

$$n=16,\bar{x}=20,s=1.$$

求 90% 置信区间。

注意：

$$\alpha =\mathrm{0.1.}$$

双侧要分：

$$\frac{\alpha }{2}=\mathrm{0.05.}$$

自由度：

$$n-1=15.$$

所以：

$$\boxed{20\pm \frac{1}{4}{t}_{0.05}(15).}$$

三个最高频错误

把自由度写成

$$16$$

而不是

$$15;$$

把

$$0.1$$

忘了除以 2；

方差未知还继续用标准正态。

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二十、总体方差的置信区间

这类真题不算模块 8 最热，但练习中非常值得掌握。

对于正态总体：

$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1).$$

如果记

$$q_p$$

为卡方分布的 $p$ 分位数，则

$$\boxed{{\sigma }^2\in \left(\frac{(n-1)S^2}{q_{1-\alpha /2}},\frac{(n-1)S^2}{q_{\alpha /2}}\right).}$$

李正元有一道：

$$n=16,\bar{x}=3.05,s=0.4,$$

同时求均值和方差的 90% 置信区间，是这类问题很好的完整训练。

为什么卡方区间不对称？

因为卡方分布不是关于零对称的。

所以不要产生

$${\hat{\sigma }}^2\pm d$$

这种错误直觉。

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二十一、题型十一：变换后再构造区间

真题：2000

样本：

$$0.50,1.25,0.80,2.00$$

来自总体 $X$，已知

$$Y=\ln X\sim N(\mu ,1).$$

要求求 $\mu$ 的 95% 置信区间。

关键不是直接对 $X$ 做。

先变：

$$Y_i=\ln X_i.$$

样本均值：

$$\bar{Y}=\frac{1}{4}\ln (0.50\times 1.25\times 0.80\times 2.00)=0.$$

由于

$$Y\sim N(\mu ,1),$$

所以

$$\mu \in \left(0-1.96\frac{1}{2},0+1.96\frac{1}{2}\right).$$

即

$$\boxed{(-0.98,0.98).}$$

预测变式

如果进一步要求

$$b=E(X),$$

由于对数正态分布有

$$E(X)=e^{\mu +1/2},$$

如果已得到

$$\mu \in (L,U),$$

因指数函数单调递增，就可以直接得到

$$\boxed{b\in \left(e^{L+1/2},e^{U+1/2}\right).}$$

这就是：

$$\boxed{\text{先对容易推断的参数做区间，再单调变换。}}$$

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二十二、题型十二：反求样本容量

李正元有一道非常标准：

总体标准差估计为

$$\sigma =0.05,$$

要求以 95% 置信度估计均值，误差不超过

$$d=\mathrm{0.01.}$$

求样本容量。

区间半长：

$$d=z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}.$$

所以

$$n\ge {\left(\frac{z_{\alpha /2}\sigma }{d}\right)}^2.$$

代入：

$$n\ge {\left(\frac{1.96\times 0.05}{0.01}\right)}^2=\mathrm{96.04.}$$

因此必须向上取整：

$$\boxed{n=97}.$$

这是一个常见小题预测点。

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二十三、8.4 假设检验：不要靠背拒绝域

假设检验本质：

先假设

$$H_0$$

是真的。

然后问：

如果 $H_0$ 真成立，当前观察到这么极端的数据常不常见？

如果太不常见，就拒绝它。

标准流程永远是：

$$\boxed{\text{提出 }{H}_0,H_1\to \text{选统计量}\to \text{在 }{H}_0\text{ 下找分布}\to \text{确定拒绝域}\to \text{代样本判断}}$$

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二十四、题型十三：正态总体均值双侧 $t$ 检验

真题：1998

某考试成绩服从正态分布。

抽取

$$n=36$$

人，有

$$\bar{x}=66.5,s=15.$$

在显著性水平

$$\alpha =0.05$$

下检验总体平均成绩是否为 70。

提出：

$$H_0:\mu =70,$$ $$H_1:\mu \ne 70.$$

总体方差未知，所以：

$$T=\frac{\bar{X}-70}{S/\sqrt{n}}\sim t(35).$$

观测值：

$$t=\frac{66.5-70}{15/6}=-\mathrm{1.4.}$$

双侧临界值：

$$t_{0.025}(35)\approx \mathrm{2.0301.}$$

因为

$$|t|=1.4<2.0301,$$

所以：

$$\boxed{\text{不能拒绝 }{H}_0.}$$

严格统计学表述最好说“不能拒绝”，而不是“证明 $H_0$ 为真”。

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二十五、单侧还是双侧，必须由备择假设决定

看到

$$H_1:\mu >{\mu }_0$$

就是右侧。

看到

$$H_1:\mu <{\mu }_0$$

就是左侧。

看到

$$H_1:\mu \ne {\mu }_0$$

就是双侧。

所以真正控制拒绝域方向的是：

$$\boxed{H_1}$$

而不是 $H_0$。

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二十六、题型十四：显著性水平变化

2018 真题

对于同一个双侧检验，比较

$$\alpha =0.05$$

与

$$\alpha =\mathrm{0.01.}$$

真题问它们的拒绝/不拒绝关系。

显著性水平越小：

$$\boxed{\text{拒绝域越小}}$$

所以：

$$W_{0.01}\subset W_{0.05}.$$

于是如果在

$$\alpha =0.05$$

时都没有落进较大的拒绝域，那么在

$$\alpha =0.01$$

时更不可能落进更小的拒绝域。

因此：

$$\boxed{0.05\text{ 下不拒绝}\Rightarrow 0.01\text{ 下一定不拒绝}.}$$

反过来：

$$0.05\text{ 下拒绝}$$

不能确定

$$0.01$$

下是否拒绝。

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二十七、题型十五：第一类错误与第二类错误

这是必须真正理解的地方。

第一类错误：

$$\boxed{H_0\text{ 真，却拒绝 }{H}_0}$$

其概率通常由显著性水平控制：

$$\alpha .$$

第二类错误：

$$\boxed{H_1\text{ 真，却没有拒绝 }{H}_0}$$

其概率：

$$\beta (\theta ).$$

功效：

$$\boxed{1-\beta (\theta )}$$

表示备择为真时正确拒绝原假设的概率。

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二十八、2021 真题：第二类错误，必须会

总体

$$X\sim N(\mu ,4),$$

样本容量

$$n=16.$$

检验：

$$H_0:\mu \le 10,$$ $$H_1:\mu >10.$$

拒绝域：

$$\bar{X}>11.$$

若真实参数

$$\mu =11.5,$$

求第二类错误概率。

因为此时备择假设是真的。

第二类错误就是：

$$\boxed{\text{本来 }\mu >10,\text{却没有拒绝 }{H}_0.}$$

不拒绝区域为：

$$\bar{X}\le 11.$$

而

$$\bar{X}\sim N\left(11.5,\frac{4}{16}\right).$$

标准差：

$$\frac{2}{4}=\mathrm{0.5.}$$

所以

$$\beta =P_{11.5}(\bar{X}\le 11).$$

标准化：

$$\beta =P\left(Z\le \frac{11-11.5}{0.5}\right)=\Phi (-1).$$

因此

$$\boxed{\beta =1-\Phi (1).}$$

两类错误最简单判断法

先问：

真实参数落在哪边？

如果真实参数满足 $H_0$，考虑第一类错误。

如果真实参数满足 $H_1$，考虑第二类错误。

然后把“拒绝域/不拒绝域”直接翻译成概率事件。

千万别死背定义到最后把事件写反。

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二十九、2025 真题：复合原假设——这是非常重要的新考法

题目

$$X_i\sim N(\mu ,2).$$

检验

$$H_0:\mu \le 1,$$ $$H_1:\mu >1.$$

求显著性水平为 $\alpha$ 的拒绝域。

因为

$$D(X)=2,$$

所以

$$\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{2}{n}\right).$$

这是右侧检验。

关键问题来了：

原假设不是一个点

$$\mu =1,$$

而是一整个区间

$$\mu \le 1.$$

应该用哪个 $\mu$ 算临界值？

答案是边界点：

$$\mu =1.$$

因为右尾概率

$$P_{\mu }(\bar{X}>c)$$

随 $\mu$ 增大而增大，而 $H_0$ 中最大允许的 $\mu$ 就是 1。

所以显著性水平要求：

$$\underset{\mu \le 1}{\sup }{P}_{\mu }(\bar{X}>c)=\alpha .$$

最大值在

$$\mu =1$$

取得。

在边界处：

$$Z=\frac{\bar{X}-1}{\sqrt{2/n}}\sim N(0,1).$$

于是拒绝域：

$$\boxed{\bar{X}>1+z_{\alpha }\sqrt{\frac{2}{n}}.}$$

这道 2025 题非常值得重视，因为它体现命题已经从“会不会查临界值”进一步走向：

是否理解复合原假设为什么要在边界上定临界值。

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三十、区间估计和假设检验，其实是一回事的两面

这是非常值得建立的进阶理解。

对于双侧检验：

$$H_0:\mu ={\mu }_0,$$ $$H_1:\mu \ne {\mu }_0.$$

在显著性水平 $\alpha$ 下，

$$\boxed{\text{拒绝 }{H}_0⟺{\mu }_0\text{ 不在 }1-\alpha \text{ 置信区间中}.}$$

反过来：

$$\boxed{\text{不拒绝 }{H}_0⟺{\mu }_0\text{ 落在相应置信区间内}.}$$

因此：

• 区间估计：哪些参数值和数据相容？
• 假设检验：某一个指定参数值和数据相容吗？

其实是一回事。

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三十一、这个模块最容易错的 10 个地方

建议专门整理到错题本。

第一，MLE 忘记参数取值范围。

特别是

$$f(x;\theta )$$

的支持区间里含 $\theta$ 时，必须先写：

$$I\{\text{样本满足参数约束}\}.$$

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第二，把

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum (X_i-\bar{X}{)}^2$$

和

$$\frac{1}{n}\sum (X_i-\bar{X}{)}^2$$

混淆。

前者无偏估计总体方差。

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第三，由

$$S^2$$

对 ${\sigma }^2$ 无偏，错误推出

$$S$$

对 $\sigma$ 无偏。

一般不成立。1992 真题就考过这个辨析。

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第四，“无偏”与“一致”混为一谈。

无偏：

$$E(\hat{\theta })=\theta .$$

一致：

$${\hat{\theta }}_n\stackrel{P}{\to }\theta .$$

完全是不同维度。

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第五，认为无偏一定最优。

2024 真题已经明确表明：

$$\boxed{\text{最小 MSE 估计可以有偏。}}$$

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第六，置信区间忘记双侧除二：

$$1-\alpha$$

双侧区间的两边通常各分：

$$\frac{\alpha }{2}.$$

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第七，$t$ 分布自由度写成 $n$。

应该是：

$$\boxed{n-1}.$$

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第八，假设检验不知道左侧还是右侧。

始终看：

$$H_1.$$

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第九，“未拒绝”写成“证明成立”。

正确表述：

$$\boxed{\text{样本不足以拒绝 }{H}_0.}$$

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第十，第二类错误把拒绝域拿来算。

若 $H_1$ 为真：

$$\beta =P(\text{不拒绝域}).$$

功效才是：

$$1-\beta =P(\text{拒绝域}).$$

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三十二、结合真题，值得重点关注模块 8 可以归纳成 9 个核心题型

其中 8.1 的真题跨度和数量最大，网站真题中还包括 2011 正态方差 MLE、2012 正态线性组合后估计方差、2014 MLE 加一致性、2017 半正态估计、2018 Laplace 型分布估计、2019 半正态型方差估计、2020 Weibull 型寿命分布、2022 两组指数总体等，说明“MLE + 另一个概率统计知识点”才是真题最值得警惕的组合。

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三十三、给出的三道预测型拓展题

这些不是说一定考，而是按真题演化方向设计。

预测 1：MLE + 无偏修正 + MSE

设

$$X_1,\dots ,X_n\sim U(0,\theta ).$$

先求 MLE，再在

$$T_c=c{X}_{(n)}$$

中：

1. 找无偏的 $c$；
2. 找 MSE 最小的 $c$；
3. 比较两者 MSE。

这实际上就是把“极值 MLE”与 2024 真题完全串起来。

答案主干：

$${\hat{\theta }}_L=X_{(n)},$$ $$c_{\text{unbiased}}=\frac{n+1}{n},$$ $$c_{\text{MSE}}=\frac{n+2}{n+1}.$$

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预测 2：复合假设 + 第二类错误

设

$$X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2),$$

${\sigma }^2$ 已知。

检验：

$$H_0:\mu \le {\mu }_0,$$ $$H_1:\mu >{\mu }_0.$$

要求：

1. 构造显著性水平 $\alpha$ 的拒绝域；
2. 当真实均值为 ${\mu }_1>{\mu }_0$ 时求第二类错误概率；
3. 进一步反求使功效达到指定值所需样本容量。

第一问：

$$\bar{X}>{\mu }_0+z_{\alpha }\frac{\sigma }{\sqrt{n}}.$$

第二问：

$$\beta ({\mu }_1)=\Phi \left(z_{\alpha }-\frac{({\mu }_1-{\mu }_0)\sqrt{n}}{\sigma }\right).$$

这把 2021 + 2025 两道题合到一起了。

这种组合很有训练价值。

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预测 3：两个相关无偏估计量最优组合

给出

$$E(T_1)=E(T_2)=\theta ,$$ $$D(T_1)=v_1,D(T_2)=v_2,$$ $$\mathrm{Cov}(T_1,T_2)=c.$$

令

$$T=a{T}_1+(1-a)T_2.$$

求最有效的 $a$。

方差：

$$D(T)=a^2{v}_1+(1-a{)}^2{v}_2+2a(1-a)c.$$

求导即可得到

$$\boxed{a=\frac{v_2-c}{v_1+v_2-2c}.}$$

这比张宇现有的“独立情形”再推进一步，非常符合考研把基础公式稍微综合化的风格。

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三十四、最后形成一套“看到题后的条件反射”

这是值得重点关注学完模块 8 最应该形成的东西。

看到“矩估计”

先问：

$$E(X)=?$$

如果两个参数：

$$E(X),E(X^2)$$

或者

$$E(X),D(X).$$

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看到“最大似然”

先写：

$$L(\theta ).$$

然后先检查参数是否出现在支持区间里。

如果没有：

$$\ln L\to 求导\to 驻点.$$

如果有：

$$\boxed{\text{先求参数可行域，再判断单调性/边界。}}$$

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看到“无偏”

只做一件事：

$$E(T).$$

要求：

$$E(T)=g(\theta ).$$

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看到“一致”

优先想：

$$E(T_n)\to \theta ,D(T_n)\to 0.$$

或者大数定律。

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看到“最有效”

先保证所有候选者无偏，再比较：

$$D(T).$$

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看到“MSE”

马上展开：

$$\boxed{E(T-\theta {)}^2=D(T)+[E(T)-\theta {]}^2.}$$

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看到“置信区间”

不要先背答案。

先问：

$$\boxed{\text{哪个枢轴量的分布已知？}}$$

正态均值方差已知：

$$Z.$$

正态均值方差未知：

$$t.$$

正态总体方差：

$${\chi }^2.$$

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看到“假设检验”

先盯住：

$$H_1.$$

它决定左、右、双侧。

再在

$$H_0$$

下找统计量分布。

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看到“第二类错误”

先确认真实参数满足：

$$H_1.$$

然后求：

$$\boxed{P(\text{不拒绝域}).}$$

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三十五、如果只刷一组题，建议这 13 道

按价值排序，建议模块 8 至少把下面这些真正做到“脱离答案可以完整重做”：

1. 2024 数一：均匀总体最大值、无偏估计、MSE 最优——全模块第一重点。
2. 2025 数一：复合原假设右侧检验——理解边界原则。
3. 2022 数一：两组指数样本共同估计参数——MLE 综合。
4. 2021 数一：第二类错误。
5. 2015 数一/数三相关题型：支持集含参数，MLE 为最小值。
6. 2010 数一：多项分布计数构造无偏估计。
7. 2016 数一：最大次序统计量 + 无偏修正。
8. 2018：MLE 后继续求期望、方差。
9. 2014：MLE + 一致性。
10. 2009：矩估计和 MLE 同时求。
11. 1997：标准矩估计 + MLE。
12. 2005：方差未知时正态均值置信区间。
13. 1998：完整 $t$ 假设检验流程。

这些题基本把模块 8 的“骨架”覆盖掉了。相关真题在站内四个模块页都有完整收录。

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最终压缩成一句话

模块 8 不要背成几十条统计公式，而要建立四种思维：

$$\boxed{\begin{array}{rl}\text{点估计}& :\text{样本如何替代总体？}\\ \text{估计量评价}& :\text{偏不偏、稳不稳、波动大不大？}\\ \text{区间估计}& :\text{怎样构造分布已知的枢轴量？}\\ \text{假设检验}& :\text{若原假设为真，现在的数据有多反常？}\end{array}}$$

而从真题趋势看，尤其应重点吃透这四个组合：

$$\boxed{\text{支持集含参数的 MLE}}$$ $$\boxed{\text{次序统计量 + 无偏/MSE}}$$ $$\boxed{\text{MLE + 期望方差/一致性}}$$ $$\boxed{\text{复合假设 + 两类错误}}$$

掌握这些方法以后，模块 8 大多数题就不再取决于“是否见过原题”，而转化为“它属于哪一个已掌握的模板”。