概率论与数理统计模块 6：大数定律与中心极限定理

本文按本站推荐的路径，把这一模块的考研数学真题 → 李正元练习题 → 张宇1000题对应内容对照阅读了一遍。本站把模块 6 分成 6.1 切比雪夫不等式、6.2 大数定律、6.3 中心极限定理；从本站收录真题看，6.1 有 5 道小题，6.2 有 2 道小题，而 6.3 有 3 道小题和 3 道大题，因此真正需要投入最多精力的是中心极限定理，尤其是“随机和/二项计数 → 正态近似 → 反求概率或数量”。(Any Docs)

但近年的题型又出现了一个很明显的趋势：**不直接“样本均值”，而是先把随机变量做变换，例如平方、示性函数，再要求使用切比雪夫、大数定律或中心极限定理。**2022 年真题在切比雪夫和大数定律中都考了这一思想，因此模块 6 最核心的能力其实是：

先识别“谁才是真正要平均/求和的随机变量”，再计算它的一阶、二阶矩，然后决定用切比雪夫、大数定律还是中心极限定理。

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一、先建立模块 6 的完整知识框架

这一章三个工具解决的是三个完全不同的问题。

这是整个模块最需要建立的区别。

假设独立同分布随机变量满足

$$E(X_i)=\mu ,D(X_i)={\sigma }^2.$$

样本均值为

$${\overline{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i.$$

切比雪夫不等式给出：

$$P\left\{\left|{\overline{X}}_n-\mu \right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}.$$

因此随着样本量增大，右边趋于 0，于是得到弱大数定律：

$${\overline{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu .$$

但是大数定律只给出：

$${\overline{X}}_n\approx \mu .$$

它不给出误差到底是什么量级。

中心极限定理继续研究误差：

$$\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu ).$$

其标准化以后满足

$$\frac{\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu )}{\sigma }\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

也就是

$$\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

所以可以把这一章浓缩成一句非常重要的话：

$$\boxed{\text{大数定律研究位置，中心极限定理研究波动}}$$

而切比雪夫不等式是连接二者的重要基础工具。

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二、6.1 切比雪夫不等式

1. 必须熟记的基本形式

若随机变量 X 的数学期望和方差存在，则对任意正数 ε，

$$P\{|X-E(X)|\ge \epsilon \}\le \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}.$$

等价的“内部概率下界”形式更加常用：

$$P\{|X-E(X)|<\epsilon \}\ge 1-\frac{D(X)}{{\epsilon }^2}.$$

考试中真正难的通常不是这个公式，而是：

怎样把题目给出的事件变成

$$|Y-E(Y)|<\epsilon .$$

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三、题型一：直接套切比雪夫不等式

真题：1989 年数学四，3 分

本站题目给出

$$E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2,$$

要求估计

$$P\{|X-\mu |\ge 3\sigma \}.$$

直接代入：

$$P\{|X-\mu |\ge 3\sigma \}\le \frac{{\sigma }^2}{(3\sigma {)}^2}=\frac{1}{9}.$$

因此

$$\boxed{\frac{1}{9}}.$$

2001 年数学一又考了一道完全同构的题：已知方差为 2，估计偏离均值至少 2 的概率，答案就是

$$\frac{2}{2^2}=\frac{1}{2}.$$

说明这种最基础的考法历史上确实直接出现过。(Any Docs)

一类题统一方法

看到

$$P\{|X-E(X)|\ge a\}$$

立即：

$$\boxed{P\{|X-E(X)|\ge a\}\le \frac{D(X)}{a^2}}$$

看到

$$P\{|X-E(X)|<a\}$$

立即：

$$\boxed{P\{|X-E(X)|<a\}\ge 1-\frac{D(X)}{a^2}}$$

这一类没有太大区分度。

真正重要的是下面几类。

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四、题型二：先构造新随机变量，再用切比雪夫

这是考研真正喜欢考的形式。

真题：2001 年数学四，3 分

已知

$$E(X)=E(Y)=2,$$ $$D(X)=1,D(Y)=4,$$

相关系数

$${\rho }_{XY}=\mathrm{0.5.}$$

估计

$$P\{|X-Y|\ge 6\}.$$

这里显然不能对 X 或 Y 单独使用切比雪夫。

应定义

$$Z=X-Y.$$

先算期望：

$$E(Z)=E(X)-E(Y)=0.$$

然后算协方差：

$$\mathrm{Cov}(X,Y)={\rho }_{XY}\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=0.5\times 1\times 2=1.$$

因此

$$D(Z)=D(X-Y)$$ $$=D(X)+D(Y)-2\mathrm{Cov}(X,Y)$$ $$=1+4-2=3.$$

所以

$$P\{|X-Y|\ge 6\}=P\{|Z-E(Z)|\ge 6\}\le \frac{3}{36}=\frac{1}{12}.$$

答案为

$$\boxed{\frac{1}{12}}.$$

同一年数学三考了完全对应的

$$X+Y$$

版本，只是相关系数变成负数，本质完全一样。(Any Docs)

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这一类最重要的套路

如果题目研究

$$aX+bY$$

先记

$$Z=aX+bY.$$

则

$$E(Z)=aE(X)+bE(Y),$$

而

$$D(Z)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)+2ab\mathrm{Cov}(X,Y).$$

再将题目事件改造成

$$|Z-E(Z)|\ge \epsilon .$$

这是切比雪夫综合数字特征最常见的组合。

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五、题型三：对 $X_i^2$、$g(X_i)$ 的样本均值使用切比雪夫

这是目前非常重要的一类。

2022 年数学一真题，5 分

题目设

$$X_1,X_2,\dots ,X_n$$

独立同分布，并记

$$E(X_i^k)={\mu }_k.$$

要求利用切比雪夫不等式估计

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\mu }_2\right|\ge \epsilon \right\}.$$

这题真正考的不是切比雪夫。

而是：

能否意识到应该令

$$Y_i=X_i^2.$$

于是

$$E(Y_i)=E(X_i^2)={\mu }_2.$$

再求方差：

$$D(Y_i)=E(Y_i^2)-[E(Y_i){]}^2$$ $$=E(X_i^4)-[E(X_i^2){]}^2$$ $$={\mu }_4-{\mu }_2^2.$$

令

$$\overline{Y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i.$$

由于独立，

$$D(\overline{Y})=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D(Y_i)$$ $$=\frac{{\mu }_4-{\mu }_2^2}{n}.$$

于是切比雪夫：

$$P\{|\overline{Y}-{\mu }_2|\ge \epsilon \}\le \frac{{\mu }_4-{\mu }_2^2}{n{\epsilon }^2}.$$

所以答案是

$$\boxed{\frac{{\mu }_4-{\mu }_2^2}{n{\epsilon }^2}}.$$

这正是本站 2022 真题的考法。(Any Docs)

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六、把 2022 真题升华成万能模型

今后看到

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}g(X_i)$$

应自动定义

$$Y_i=g(X_i).$$

然后一切问题全部转化为研究 Y。

首先：

$$E(Y_i)=E[g(X)].$$

其次：

$$D(Y_i)=E[g^2(X)]-\{E[g(X)]{\}}^2.$$

于是

$$E\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}g(X_i)\right]=E[g(X)],$$ $$D\left[\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}g(X_i)\right]=\frac{D[g(X)]}{n}.$$

因此切比雪夫直接给出

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}g(X_i)-E[g(X)]\right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{D[g(X)]}{n{\epsilon }^2}.$$

这一个模板可以覆盖：

$$g(X)=X^2,$$ $$g(X)=X^3,$$ $$g(X)=|X|,$$ $$g(X)=\sin X,$$

乃至

$$g(X)=I_{\{X\le a\}}.$$

这也是本章后面所有高阶变式的源头。

张宇1000题中还专门训练了

$$\sum X_i^2$$

的切比雪夫估计：总体为标准正态分布时，由

$$E(X_i^2)=1,D(X_i^2)=3-1=2,$$

进而得到

$$P\left\{0<\sum _{i=1}^n{X}_i^2<2n\right\}\ge 1-\frac{2}{n}.$$

这正好是 2022 真题思想的另一种包装。(Any Docs)

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七、切比雪夫最常见陷阱

特别注意：切比雪夫给的是保证成立的界，不是精确概率。

例如知道

$$P\{|X-E(X)|\ge 3\}\le \frac{2}{9},$$

不能反推出

$$D(X)=2.$$

因为

$$\frac{D(X)}{9}$$

只是切比雪夫提供的一个上界。

李正元练习题中专门设计了这种反向陷阱。(Any Docs)

所以记住：

$$\boxed{P(A)\le C\nRightarrow \text{切比雪夫上界}=C}$$

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八、6.2 大数定律：最核心的一句话

考研阶段最常用的是辛钦大数定律：

如果

$$X_1,X_2,\dots$$

独立同分布，并且

$$E(X_i)=\mu$$

存在，则

$$\boxed{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{P}{\to }\mu }.$$

注意一个非常容易混淆的问题。

辛钦大数定律只需要有限数学期望，不要求一定已知有限方差。

而通过切比雪夫不等式证明的经典弱大数定律通常会使用有限方差条件。

考试选择题可能专门利用这个区别。

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九、题型四：求样本均值的依概率极限

普通形式：

$$\frac{1}{n}\sum X_i\stackrel{P}{\to }E(X).$$

但考研越来越喜欢改成：

$$\frac{1}{n}\sum g(X_i).$$

真正应该背的是：

$$\boxed{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}g(X_i)\stackrel{P}{\to }E[g(X)]}$$

只要相应条件满足。

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十、真题：2003 数学三——平方的样本均值

总体 X 服从参数为 2 的指数分布，

$$X_1,\dots ,X_n$$

是简单随机样本，求

$$Y_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$$

的依概率极限。

令

$$Y_i=X_i^2.$$

于是

$$Y_n=\frac{1}{n}\sum Y_i.$$

所以

$$Y_n\stackrel{P}{\to }E(X^2).$$

参数为率参数 2 的指数分布满足

$$E(X)=\frac{1}{2},$$ $$D(X)=\frac{1}{4}.$$

所以

$$E(X^2)=D(X)+[E(X){]}^2$$ $$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

因此

$$\boxed{Y_n\stackrel{P}{\to }\frac{1}{2}}.$$

这正是本站 2003 真题。(Any Docs)

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十一、2022 数学三真题——同一模型再次出现

密度为

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1-|x|,& |x|<1,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

求

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$$

的依概率极限。

还是：

$$\frac{1}{n}\sum X_i^2\stackrel{P}{\to }E(X^2).$$

而

$$E(X^2)={\int }_{-1}^1{x}^2(1-|x|)dx.$$

利用偶对称性：

$$E(X^2)=2{\int }_0^1{x}^2(1-x)dx.$$

所以

$$=2\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{6}.$$

故

$$\boxed{\frac{1}{6}}.$$

2003 和 2022 两道真题放在一起看，命题规律已经非常清楚：

先识别 $g(X_i)$，再算 $E[g(X)]$。

(Any Docs)

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十二、题型五：频率、频数 → 示性变量 → 大数定律

这是练习题里很有价值，而且非常适合未来真题的变式。

张宇强化题中有：

总体

$$X\sim P(1),$$

定义

$$v_n(1)$$

为 n 个观测值中“不大于 1”的个数。

求

$$\frac{v_n(1)}{n}$$

的依概率极限。(Any Docs)

这类题不要死想“频数”。

定义示性变量

$$I_i=I_{\{X_i\le 1\}}.$$

则

$$v_n(1)=\sum _{i=1}^n{I}_i.$$

所以

$$\frac{v_n(1)}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{I}_i.$$

而

$$E(I_i)=P(X_i\le 1).$$

泊松参数为 1：

$$P(X\le 1)=P(X=0)+P(X=1)$$ $$=e^{-1}+e^{-1}=\frac{2}{e}.$$

所以

$$\boxed{\frac{v_n(1)}{n}\stackrel{P}{\to }\frac{2}{e}}.$$

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十三、这一题其实隐藏了一个极其重要的统一结论

设

$$F_n(x)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{I}_{\{X_i\le x\}},$$

则

$$E[I_{\{X_i\le x\}}]=P(X_i\le x)=F(x).$$

因此

$$\boxed{F_n(x)\stackrel{P}{\to }F(x)}.$$

所以以后看到：

“样本中小于某数的比例”

“落在某区间中的比例”

“合格品比例”

“成功次数占比”

全部都优先想到：

$$\boxed{\text{示性变量}}$$

这是大数定律非常值得预测的新考法。

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十四、题型六：不完全同分布时的大数定律

这是强化阶段需要掌握的能力。

李正元题给出相互独立随机变量：

$$E(X_i)={\mu }_i,D(X_i)=2.$$

求

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_i)$$

的依概率极限。(Any Docs)

这里不能直接机械地说“独立同分布”。

但是可以用切比雪夫自己证明。

令

$$Y_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-{\mu }_i).$$

有

$$E(Y_n)=0.$$

独立性给出

$$D(Y_n)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D(X_i)$$ $$=\frac{2n}{n^2}=\frac{2}{n}.$$

于是

$$P\{|Y_n|\ge \epsilon \}\le \frac{2}{n{\epsilon }^2}\to 0.$$

因此

$$\boxed{Y_n\stackrel{P}{\to }0}.$$

这说明一个很重要的原则：

题目不能直接套大数定律时，不妨回到“期望 + 方差 + 切比雪夫”。

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十五、6.3 中心极限定理：本模块最高频部分

独立同分布随机变量满足

$$E(X_i)=\mu ,D(X_i)={\sigma }^2,$$

其中

$$0<{\sigma }^2<\infty .$$

则

$$\boxed{\frac{{\sum }_{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1)}.$$

等价地，

$$\boxed{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sigma }\stackrel{d}{\to }N(0,1)}.$$

于是对于大 n：

$$\sum _{i=1}^n{X}_i\approx N(n\mu ,n{\sigma }^2),$$

以及

$$\overline{X}\approx N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right).$$

这三个式子一定要能够相互切换。

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十六、题型七：识别标准化系数

这是中心极限定理最典型的小题。

2005 数学四真题

设

$$X_i$$

独立同分布，服从参数为 λ 的指数分布。

则

$$E(X_i)=\frac{1}{\lambda },$$ $$D(X_i)=\frac{1}{{\lambda }^2}.$$

所以

$$\sigma =\frac{1}{\lambda }.$$

中心极限定理给出

$$\frac{\sum X_i-\frac{n}{\lambda }}{\frac{\sqrt{n}}{\lambda }}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

也就是

$$\boxed{\frac{\lambda \sum X_i-n}{\sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1)}.$$

这就是本站 2005 真题选项辨析的核心。(Any Docs)

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十七、“找标准化系数”万能方法

不要背选项。

看到

$$S_n=\sum _{i=1}^n{Y}_i$$

就自己计算：

$$E(Y_i)=\mu ,$$ $$D(Y_i)={\sigma }^2.$$

然后永远写

$$\boxed{\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}}$$

再跟题目给出的表达式比较。

这可以避免几乎所有：

“λ 在分子还是分母？”

“是 n 还是 $\sqrt{n}$？”

“减的是 nμ 还是 μ？”

之类的错误。

张宇1000题还设计了

$$Y_i=X_{2i}-X_{2i-1}$$

再找标准化系数的题，本质就是先算

$$E(Y_i),D(Y_i),$$

然后套同一公式。(Any Docs)

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十八、题型八：二项分布的正态近似

若

$$X\sim B(n,p),$$

则

$$E(X)=np,$$ $$D(X)=np(1-p).$$

当 n 较大时：

$$\boxed{\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\approx N(0,1)}.$$

这就是棣莫弗—拉普拉斯定理。

这是考研概率应用题极其经典的模型。

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十九、2020 数学一真题

样本

$$X_1,\dots ,X_{100}$$

满足

$$P(X_i=0)=P(X_i=1)=\frac{1}{2}.$$

求

$$P\left\{\sum _{i=1}^{100}{X}_i\le 55\right\}.$$

令

$$S=\sum _{i=1}^{100}{X}_i.$$

则

$$S\sim B\left(100,\frac{1}{2}\right).$$

均值：

$$E(S)=50.$$

方差：

$$D(S)=25.$$

标准差：

$${\sigma }_S=5.$$

所以

$$P(S\le 55)$$

近似为

$$P\left\{\frac{S-50}{5}\le \frac{55-50}{5}\right\}.$$

因此

$$\boxed{P(S\le 55)\approx \Phi (1)}.$$

本站真题选项就是这个答案。(Any Docs)

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二十、连续性修正到底要不要做？

如果希望用连续分布逼近离散二项分布，通常可以进行连续性修正。

例如：

$$P(X\le 55)$$

可改为

$$P(Y<55.5).$$

于是标准化点由

$$1$$

变成

$$\mathrm{1.1.}$$

但考研题需要根据题目、教材约定和选项形式判断。

2020 真题选项明确对应未经修正的

$$\Phi (1),$$

所以应该按照试题预期作答。本站解析也特别指出了这一点。(Any Docs)

考试时的原则是：

$$\boxed{\text{先服从命题选项，再谈连续性修正}}$$

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二十一、1988 真题：完整二项区间概率

保险公司随机抽查 100 个索赔户，每户是被盗索赔户的概率为 0.2。

所以

$$X\sim B(100,0.2).$$

均值：

$$EX=20.$$

方差：

$$DX=16.$$

标准差：

$$4.$$

求

$$P(14\le X\le 30).$$

按题目采用直接正态近似：

$$P(14\le X\le 30)$$ $$\approx P\left\{\frac{14-20}{4}\le Z\le \frac{30-20}{4}\right\}.$$

即

$$P(-1.5\le Z\le 2.5).$$

于是

$$=\Phi (2.5)-\Phi (-1.5)$$ $$=\Phi (2.5)+\Phi (1.5)-1.$$

约为

$$\boxed{0.927}.$$

这是非常标准的“大样本计数 → 二项 → 正态近似”大题模板。(Any Docs)

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二十二、二项近似所有事件形式统一整理

设标准化量

$$Z=\frac{X-np}{\sqrt{npq}},q=1-p.$$

那么：

对于

$$P(X\le a),$$

使用

$$\Phi \left(\frac{a-np}{\sqrt{npq}}\right).$$

对于

$$P(X\ge a),$$

变成

$$1-\Phi \left(\frac{a-np}{\sqrt{npq}}\right).$$

对于

$$P(a<X<b),$$

变成

$$\Phi \left(\frac{b-np}{\sqrt{npq}}\right)-\Phi \left(\frac{a-np}{\sqrt{npq}}\right).$$

真正需要防的是“不等号方向”。

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二十三、题型九：一般随机变量和的近似概率

不一定是 Bernoulli。

张宇1000题有一道很典型的：

每件产品生产时间服从指数分布，平均 10 分钟，问生产 100 件所需总时间落在 15～20 小时之间的概率。(Any Docs)

设

$$X_i$$

为第 i 件耗时。

指数分布均值和标准差都为 10，因此

$$E(X_i)=10,D(X_i)=100.$$

总时间

$$S_{100}=\sum _{i=1}^{100}{X}_i.$$

于是

$$E(S_{100})=1000,$$ $$D(S_{100})=10000,$$

标准差为

$$100.$$

15 小时：

$$900\text{ 分钟}.$$

20 小时：

$$1200\text{ 分钟}.$$

所以

$$P(900<S_{100}<1200)$$ $$\approx P\left\{-1<Z<2\right\}.$$

因此

$$\boxed{\Phi (2)+\Phi (1)-1}.$$

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二十四、题型十：样本均值的正态近似

如果直接研究

$$\overline{X},$$

千万不要把方差写错。

一定是：

$$E(\overline{X})=\mu ,$$ $$D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}.$$

所以标准差是

$$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}.$$

李正元有一道很典型的运动员身高题：

总体均值为 μ，标准差为 4，取 100 人。

于是

$$\overline{X}\approx N\left(\mu ,\frac{16}{100}\right).$$

因此

$$\frac{\overline{X}-\mu }{0.4}\approx N(0,1).$$

问

$$P(|\overline{X}-\mu |<1).$$

就有

$$P\left(|Z|<\frac{1}{0.4}\right)$$ $$=P(|Z|<2.5).$$

于是

$$\boxed{2\Phi (2.5)-1}.$$

本站计算约为

$$\mathrm{0.9876.}$$

(Any Docs)

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二十五、题型十一：对 $g(X)$ 使用中心极限定理

这是整个模块最值得重视的综合题型之一。

1996 数学四真题

给出

$$E(X^k)=a_k,k=1,2,3,4.$$

研究

$$Z_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2.$$

证明它大样本下近似服从正态分布，并求参数。(Any Docs)

又是定义

$$Y_i=X_i^2.$$

于是

$$E(Y_i)=a_2.$$

方差：

$$D(Y_i)=E(X_i^4)-[E(X_i^2){]}^2$$ $$=a_4-a_2^2.$$

由于

$$Z_n=\frac{1}{n}\sum Y_i,$$

中心极限定理给出：

$$\frac{\sqrt{n}(Z_n-a_2)}{\sqrt{a_4-a_2^2}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

所以

$$\boxed{Z_n\approx N\left(a_2,\frac{a_4-a_2^2}{n}\right)}.$$

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二十六、把 1996、2003、2022 三组真题放一起看

这其实是一条完整命题链：

2003

问

$$\frac{1}{n}\sum X_i^2$$

趋向什么：

$$\boxed{E(X^2)}.$$

2022

问它偏离

$$E(X^2)$$

的概率如何估计：

$$\boxed{\frac{D(X^2)}{n{\epsilon }^2}}.$$

1996

问它在极限附近如何分布：

$$\boxed{N\left(E(X^2),\frac{D(X^2)}{n}\right)}.$$

所以这三道题实际上分别对应：

$$\boxed{\text{大数定律}\to \text{切比雪夫}\to \text{中心极限定理}}$$

而它们研究的是同一个对象：

$$\frac{1}{n}\sum X_i^2.$$

这是值得注意的是模块 6 最应该真正掌握的一条主线。(Any Docs)

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二十七、统一升级成 $g(X)$ 模型

设

$$Y_i=g(X_i).$$

如果

$$m=E[g(X)],$$ $$v=D[g(X)].$$

那么三大结论自动出现。

切比雪夫

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum g(X_i)-m\right|\ge \epsilon \right\}\le \frac{v}{n{\epsilon }^2}.$$

大数定律

$$\frac{1}{n}\sum g(X_i)\stackrel{P}{\to }m.$$

中心极限定理

$$\frac{\sqrt{n}\left[\frac{1}{n}\sum g(X_i)-m\right]}{\sqrt{v}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

因此在大样本下：

$$\boxed{\frac{1}{n}\sum g(X_i)\approx N\left(m,\frac{v}{n}\right)}.$$

把这个框架吃透，这个模块至少一半以上的变式都能直接处理。

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二十八、题型十二：反求“最多/至少多少个”

这是中心极限定理应用大题中的高价值类型。

2001 数学三、四大题

每箱产品平均重量 50 kg，标准差 5 kg。

汽车最大载重：

$$5000\text{ kg}.$$

要求不超载概率大于

$$0.977=\Phi (2).$$

问最多装多少箱。(Any Docs)

设装 n 箱：

$$S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i.$$

则

$$E(S_n)=50n,$$ $$D(S_n)=25n,$$

标准差：

$$5\sqrt{n}.$$

所以

$$P(S_n\le 5000)\approx \Phi \left(\frac{5000-50n}{5\sqrt{n}}\right).$$

要求

$$P(S_n\le 5000)>\mathrm{0.977.}$$

由于

$$0.977=\Phi (2),$$

而 Φ 单调递增，因此

$$\frac{5000-50n}{5\sqrt{n}}>2.$$

化简：

$$5000-50n>10\sqrt{n}.$$

除以 10：

$$500-5n>\sqrt{n}.$$

令

$$t=\sqrt{n}.$$

得到

$$5t^2+t-500<0.$$

正根约为

$$t\approx \mathrm{9.9005.}$$

所以

$$n<\mathrm{98.02.}$$

因为 n 为整数：

$$\boxed{n_{\max }=98}.$$

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二十九、这类反求数量题的标准套路

这类题非常值得单独形成条件反射：

先建立

$$S_n=\sum X_i.$$

写出

$$S_n\approx N(n\mu ,n{\sigma }^2).$$

再根据题意形成概率条件，例如

$$P(S_n\le C)\ge 1-\alpha .$$

标准化：

$$P\left\{Z\le \frac{C-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right\}\ge 1-\alpha .$$

设

$$\Phi (z_{1-\alpha })=1-\alpha .$$

于是得到：

$$\frac{C-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\ge z_{1-\alpha }.$$

最后令

$$t=\sqrt{n}$$

化为二次不等式。

这是非常标准的大题结构。

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三十、李正元“至少买多少件商品”是同一模型

商品合格率 0.9，需要至少 100 件合格品，问至少购买多少件才能使成功概率达到 0.975。

设购买 n 件，合格品数 X：

$$X\sim B(n,0.9).$$

要求

$$P(X\ge 100)\ge \mathrm{0.975.}$$

近似：

$$\frac{X-0.9n}{0.3\sqrt{n}}\approx N(0,1).$$

于是转成关于 n 的不等式，最终得到

$$\boxed{n=119}.$$

这道练习和 2001 年汽车载重真题是完全相同的反求样本量结构，只是一个是“不能太多”，一个是“必须够多”。(Any Docs)

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三十一、实际应用题首先不要想中心极限定理，先“建模”

中心极限定理的应用题几乎都可以归为下面这个过程：

文字 → 随机变量 → 求和/计数 → 均值方差 → 正态近似 → 标准化。

例如：

“10000 辆汽车中发生事故多少辆”

本质是

$$B(n,p).$$

“100 件产品总生产时间”

本质是

$$\sum X_i.$$

“100 名运动员平均身高”

本质是

$$\overline{X}.$$

“样本中合格品比例”

本质是

$$\frac{X}{n}.$$

“第 i 个样本平方的平均”

本质是

$$\frac{1}{n}\sum X_i^2.$$

真正区分学生水平的是是否快速找到正确的随机变量，不是最后查 Φ 表。

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三十二、本模块最容易混淆的 7 个点

1. 大数定律不是中心极限定理。 大数定律给依概率极限，CLT 给标准化后的极限分布。

2. 方差和标准差不能混。 若

$$D(X)={\sigma }^2,$$

CLT 分母是

$$\sigma \sqrt{n},$$

而不是

$${\sigma }^2\sqrt{n}.$$

3. 样本均值方差是

$$D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n},$$

不是

$$\frac{{\sigma }^2}{\sqrt{n}}.$$

4. 平方以后必须重新算方差。

$$D(X^2)=E(X^4)-[E(X^2){]}^2.$$

绝不能继续使用

$$D(X).$$

5. 相关随机变量求和时不能直接加方差。

$$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y).$$

6. 切比雪夫给界，不给精确值。

7. 如果 X 本来就是正态分布，正态总体的线性组合可能是精确正态，而不是“近似正态”。 不要见到 n 就强行写 CLT。

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三十三、模块 6 的“秒杀识别表”

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三十四、值得注意的是最值得做透的真题

按照迁移价值而不是单纯年份，建议优先级如下：

对应题目和本站分类可在 6.1、6.2、6.3 真题页看到。(Any Docs)

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三十五、练习题中最有价值的拓展

张宇1000题有几道值得注意的是比简单重复真题更值得做。

第一类是：

$$Y_k=\cos (k{X}_k)$$

之后研究

$$\frac{1}{n}\sum Y_k^2.$$

这里 Y 并不需要机械套“完全相同”的形式，而可以利用独立性和一致有界方差进行更一般的大数定律分析。(Any Docs)

第二类是示性变量：

$$v_n(1)=\sum I_{\{X_i\le 1\}},$$

把频数问题转成样本均值。(Any Docs)

第三类是随机环境：

给定 X 后，

$$Y_i|X=x\sim N(x,1),$$

然后研究

$$\frac{1}{n}\sum Y_i^2.$$

条件下：

$$E(Y_i^2|X=x)=1+x^2,$$

所以极限反而是随机变量

$$\boxed{1+X^2}.$$

这道题很有区分度，因为它打破了“依概率极限一定是常数”的机械印象。(Any Docs)

这类可以作为强化，不是考研基础题第一优先级。

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三十六、预测考法 1：同一个统计量同时考大数 + CLT

根据 1996、2003、2022 的真题轨迹，非常自然的预测是把它们组合起来。

自拟预测题

设

$$X_1,\dots ,X_n$$

独立同分布，满足

$$E(X^2)=a,E(X^4)=b>a^2.$$

令

$$T_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2.$$

问：

一是求 T 的依概率极限；

二是求

$$\sqrt{n}(T_n-a)$$

的极限分布。

第一问：

$$T_n\stackrel{P}{\to }a.$$

第二问：

$$D(X^2)=b-a^2.$$

所以

$$\frac{\sqrt{n}(T_n-a)}{\sqrt{b-a^2}}\stackrel{d}{\to }N(0,1).$$

即

$$\boxed{\sqrt{n}(T_n-a)\stackrel{d}{\to }N(0,b-a^2)}.$$

这实际上就是把三道历史真题合成一道题。

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三十七、预测考法 2：经验频率 + CLT

前面示性变量

$$I_i=I_{\{X_i\le a\}}$$

服从 Bernoulli 分布：

$$P(I_i=1)=F(a).$$

记

$$p=F(a).$$

则

$$E(I_i)=p,D(I_i)=p(1-p).$$

因此不仅有大数定律：

$$\frac{1}{n}\sum I_i\stackrel{P}{\to }p,$$

还可以进一步使用 CLT：

$$\boxed{\frac{\sqrt{n}\left[\frac{1}{n}\sum I_i-p\right]}{\sqrt{p(1-p)}}\stackrel{d}{\to }N(0,1)}.$$

也就是：

$$\boxed{\frac{\sqrt{n}[F_n(a)-F(a)]}{\sqrt{F(a)[1-F(a)]}}\stackrel{d}{\to }N(0,1)}.$$

这是一种非常自然的高质量综合变式。

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三十八、预测考法 3：样本比例误差与样本量

假设每次成功概率为 p，

$$\hat{p}=\frac{X}{n}.$$

则大样本下

$$\hat{p}\approx N\left(p,\frac{p(1-p)}{n}\right).$$

如果要求

$$P\{|\hat{p}-p|\le \delta \}\ge 1-\alpha ,$$

那么

$$P\left\{|Z|\le \frac{\delta \sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\right\}\ge 1-\alpha .$$

若

$$P(|Z|\le z)=1-\alpha ,$$

则近似要求

$$\frac{\delta \sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\ge z.$$

所以

$$\boxed{n\ge \frac{z^{2}p(1-p)}{{\delta }^2}}.$$

这就是“至少调查多少人”“至少抽多少产品”类型的统一模型。

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三十九、整章最强解题算法

以后碰到模块 6 的题，可以按照下面这一条流程做：

1. 先确定目标随机变量 Y。 如果题里有平方、频数、总重量、利润、平均数，先把 Y 定义出来。

2. 算

$$E(Y)$$

和

$$D(Y).$$

3. 如果题目问“概率上下界”，优先想到切比雪夫。

4. 如果问

$$n\to \infty$$

时“依概率趋于什么”，优先想到大数定律。

5. 如果问“n 很大时的概率、近似分布、极限为 Φ”，想到中心极限定理。

6. 如果 Y 是

$$g(X)$$

，必须重新计算

$$E[g(X)],D[g(X)].$$

7. 如果是 Bernoulli 次数，直接转成

$$B(n,p).$$

8. 如果是“至少/最多多少”，中心极限定理标准化以后反解 n。

这个流程比死记每一道题有效得多。

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四十、最后压缩成考场必须记住的 6 个公式

切比雪夫：

$$\boxed{P\{|X-E(X)|\ge \epsilon \}\le \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}}$$

辛钦大数定律：

$$\boxed{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{P}{\to }E(X)}$$

函数型大数定律：

$$\boxed{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}g(X_i)\stackrel{P}{\to }E[g(X)]}$$

中心极限定理：

$$\boxed{\frac{\sum X_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }N(0,1)}$$

样本均值：

$$\boxed{\overline{X}\approx N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)}$$

二项分布正态近似：

$$\boxed{\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\approx N(0,1)}$$

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模块 6 最终复习结论

如果只从“公式数量”来看，这一模块很短；但它其实是概率论中迁移性最强的一章。

真正达到考研高分水平，不是会背三个定理，而是见到

$$X_i^2,g(X_i),I_{\{X_i\le a\}},\sum X_i,\overline{X},B(n,p)$$

时，都能迅速把它们归约成：

$$\boxed{\text{计算均值}+\text{计算方差}+\text{选择极限定理}}$$

尤其建议把 2022 数一切比雪夫平方样本均值、2022 数三大数定律平方样本均值、1996 数四平方样本均值 CLT 三道题放在一起反复比较：它们几乎完整展示了模块 6 的统一思想。然后再用 1988 二项近似、2001 汽车载重、2005 标准化系数、2020 Bernoulli 和补齐中心极限定理的主要考法。(Any Docs)

本站里的李正元和张宇题库则很适合继续强化示性变量、反求样本量、非标准形式大数定律、条件下的大数定律这些未来可能出现的新包装。(Any Docs)