概率论与数理统计模块 4：随机变量函数的分布

本文依据本站目前的实际结构，把概率论与数理统计·模块 4：随机变量函数的分布做成一套“题型—识别—通法—真题—变式”的复习体系。

本文重点参考了本站的模块 4 真题页，以及李正元、张宇 1000 题中与随机变量函数分布直接相关的题目。本站模块 4 本身分成“4.1 一维随机变量函数的分布”和“4.2 二维随机变量函数的分布”；从真题数量和综合程度看，二维随机变量函数的分布明显是本模块的主战场。(Any Docs)

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一、模块 4 到底在学什么？

这一章表面上题目很多：

$$Y=X^2$$ $$Y=e^X$$ $$Z=X+Y$$ $$Z=XY$$ $$Z=\max \{X,Y\}$$ $$Z=X^2+Y^2$$

但它们实际上都在问同一件事：

已知原随机变量的概率分布，经过一个确定性函数映射以后，新随机变量的概率跑到哪里去了？

因此模块 4 最核心的思想不是背十几个公式，而是掌握下面这条总原则：

$$\boxed{F_Z(z)=P\{g(X,Y)\le z\}}$$

只要能够把事件

$$\{g(X,Y)\le z\}$$

准确地翻译回原来的 $X,Y$ 平面，理论上任何函数分布题都能做。

所有快捷公式，本质上都是这个公式的特殊化。

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二、整个模块的“方法决策树”

以后看到题目，建议脑中按照这个顺序判断。

其中最重要的一句话是：

$$\boxed{\text{不会快捷公式时，就退回分布函数法。}}$$

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三、题型一：一维随机变量的单调函数变换

这是模块 4 最基础的题。

若

$$Y=g(X)$$

而 $g$ 在 $X$ 的取值范围内严格单调，反函数为

$$x=h(y),$$

那么

$$\boxed{f_Y(y)=f_X(h(y))\left|h^{\prime }(y)\right|}$$

但是考场上千万不要机械套公式。

正确流程始终是：

$$\boxed{\text{先求 }Y\text{ 的范围}\to \text{求反函数}\to \text{求导}\to \text{代密度}}$$

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真题 1：1993-1，$X\sim U(0,2)$，求 $Y=X^2$

虽然 $x^2$ 在整个实数上不是单调函数，但是这里题目明确

$$0<X<2,$$

所以在支持集内部它是单调递增的。

由

$$Y=X^2$$

得到

$$0<Y<4,$$

反函数

$$X=\sqrt{Y}.$$

于是

$$\left|\frac{dx}{dy}\right|=\frac{1}{2\sqrt{y}}.$$

又

$$f_X(x)=\frac{1}{2},$$

所以

$$\boxed{f_Y(y)=\frac{1}{4\sqrt{y}},0<y<4}$$

其余地方为 $0$。这是真题中最标准的一维变换模板。(Any Docs)

真正应该学会的东西

看到

$$X^2$$

千万不要条件反射地写“两根”。

关键不是函数在整个实数轴是否单调，而是：

$$\boxed{\text{它在 }X\text{ 的实际支持集上是否单调。}}$$

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四、题型二：指数、对数等单调变换

这类题看上去函数不同，方法完全一样。

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真题 2：1995-1，指数变量经过 $Y=e^X$

题目给

$$f_X(x)=e^{-x},x\ge 0,$$

令

$$Y=e^X.$$

首先：

$$X\ge 0$$

所以

$$Y\ge 1.$$

反函数为

$$X=\ln Y.$$

并且

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}.$$

所以

$$f_Y(y)=e^{-\ln y}\frac{1}{y}=\frac{1}{y^2}.$$

最终

$$\boxed{f_Y(y)=\frac{1}{y^2},y\ge 1}$$

真题完整展示了“支持集—反函数—Jacobian”的标准流程。(Any Docs)

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真题 3：2023-3，$Y=e^X$

这是一个特别值得重视的新真题。

给定

$$f_X(x)=\frac{e^x}{(1+e^x{)}^2},-\infty <x<\infty ,$$

令

$$Y=e^X.$$

由

$$x=\ln y,y>0,$$

得

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y}.$$

所以

$$f_Y(y)=\frac{y}{(1+y{)}^2}\frac{1}{y}=\boxed{\frac{1}{(1+y{)}^2}},y>0.$$

这道题还继续追问 $E(Y)$ 是否存在。(Any Docs)

注意

$$E(Y)={\int }_0^{\infty }\frac{y}{(1+y{)}^2}dy.$$

当 $y\to \infty$ 时，

$$\frac{y}{(1+y{)}^2}\sim \frac{1}{y},$$

因此积分发散。

所以

$$\boxed{E(Y)=+\infty }$$

即数学期望不存在。

这道题体现了现在的命题趋势

已经不满足于：

“求个密度就结束。”

而是：

$$X\text{ 的密度}\to F_X\to Y=g(X)\to f_Y\to E(Y)$$

把模块 2、模块 4、模块 5 连起来。

这类综合值得重点练。

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五、题型三：非单调函数——多个原像必须全部相加

这是本模块最容易丢分的一类。

若

$$Y=g(X)$$

对于同一个 $y$，方程

$$g(x)=y$$

有多个根

$$x_1(y),x_2(y),\dots ,x_k(y),$$

那么

$$\boxed{f_Y(y)=\sum _{i=1}^k{f}_X(x_i(y))\left|\frac{d{x}_i}{dy}\right|}$$

前提是这些根确实落在 $X$ 的支持集里。

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六、经典真题：2006-1，$Y=X^2$，但支持集跨过 0

这道题比 1993 年那一道高一个层次。

原密度为分段形式：

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2},& -1<x<0,\\ \frac{1}{4},& 0\le x<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

令

$$Y=X^2.$$

关键来了。

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当

$$0<y<1$$

时，

$$x=\sqrt{y}$$

和

$$x=-\sqrt{y}$$

都在原支持集内。

所以两条支路都必须加：

$$f_Y(y)=f_X(-\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}+f_X(\sqrt{y})\frac{1}{2\sqrt{y}}.$$

于是

$$f_Y(y)=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)\frac{1}{2\sqrt{y}}=\boxed{\frac{3}{8\sqrt{y}}}.$$

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当

$$1<y<4$$

时，

$$-\sqrt{y}<-1$$

已经跑出负半轴支持区间。

只剩

$$x=\sqrt{y}.$$

于是

$$f_Y(y)=\frac{1}{4}\frac{1}{2\sqrt{y}}=\boxed{\frac{1}{8\sqrt{y}}}.$$

最终

$$\boxed{f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{3}{8\sqrt{y}},& 0<y<1,\\ \frac{1}{8\sqrt{y}},& 1<y<4,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}}$$

这道题真正考查的不是平方变换，而是：

$$\boxed{\text{原像的个数会随着 }y\text{ 的变化而变化。}}$$

(Any Docs)

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七、张宇 1000 题的高质量补充：$Y=X^2+1$

张宇题库中给出

$$f_X(x)=|x|,|x|\le 1,$$

求

$$Y=X^2+1.$$

对于

$$1<y<2$$

有两个根：

$$x=\pm \sqrt{y-1}.$$

两支相加以后恰好得到

$$\boxed{f_Y(y)=1,1<y<2}$$

即

$$Y\sim U(1,2).$$

这个题很好，因为最终结果非常漂亮，却必须经过两支变换才能得到。(Any Docs)

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八、非常值得掌握的强化变式：$Y=X\ln X$

张宇强化题中：

$$X\sim U(0,1),Y=X\ln X.$$

很多同学第一反应是求

$$x=g^{-1}(y),$$

然后发现根本写不出来。

这正是这道题的价值。

令

$$g(x)=x\ln x.$$

有

$$g^{\prime }(x)=1+\ln x.$$

因此极值点是

$$x=e^{-1},$$

且

$$g(e^{-1})=-\frac{1}{e}.$$

于是

$$-\frac{1}{e}<Y<0.$$

对于任意

$$-\frac{1}{e}<y<0,$$

方程

$$x\ln x=y$$

有两个根：

$$x_1(y)\in (0,e^{-1}),$$ $$x_2(y)\in (e^{-1},1).$$

根没有初等表达式也没关系。

因为

$$\frac{dy}{dx}=1+\ln x,$$

所以

$$\boxed{f_Y(y)=\frac{1}{|1+\ln x_1(y)|}+\frac{1}{|1+\ln x_2(y)|}}$$

这是一道非常好的预测型题目。(Any Docs)

一个非常重要的考试思想

$$\boxed{\text{反函数求不出来，不意味着题目做不出来。}}$$

考研完全允许把根记作

$$x_1(y),x_2(y).$$

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九、题型四：概率积分变换 $F_X(X)$

这一类看起来很怪，但结论极强。

若 $X$ 是连续型随机变量，其分布函数为 $F_X$，则

$$\boxed{F_X(X)\sim U(0,1)}$$

这叫概率积分变换。

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真题：2003-34

题目先给一个密度，要求求

$$Y=F_X(X)$$

的分布。

真题最终得到

$$\boxed{Y\sim U(0,1)}$$

(Any Docs)

以后看到

$$F(X)$$

不要再机械积分。

首先检查：

这里的 $F$ 是不是恰好就是 $X$ 自己的分布函数？

如果是，基本应该立即想到

$$U(0,1).$$

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张宇强化得更进一步

题目构造

$$U=F_X(X),$$

然后再令

$$Y=-\ln (1-U).$$

因为

$$U\sim U(0,1),$$

故

$$1-U\sim U(0,1).$$

于是

$$\boxed{Y\sim E(1)}$$

张宇题进一步问某个尾概率，直接就可以利用指数分布。(Any Docs)

这启发了一种很有可能继续出现的综合方式：

$$X\to F_X(X)\to U(0,1)\to g(U)\to \text{另一经典分布}.$$

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十、题型五：分段函数产生“连续 + 离散”的混合分布

这是值得注意的是模块 4 最容易被低估、同时也非常适合未来命题的一类。

核心现象：

如果一整段 $X$ 的取值通过函数 $g$ 被压缩成同一个数，那么这个数上就会出现概率质量。

即：

$$\boxed{P\{g(X)=c\}>0}$$

即使原来的 $X$ 完全是连续型随机变量。

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十一、真题：2002-34，$Y=\min \{X,2\}$

设

$$X\sim E\left(\frac{1}{5}\right),$$

设备最多工作 2 小时。

实际工作时间是

$$Y=\min \{X,2\}.$$

对于

$$0\le y<2,$$

有

$$\{Y\le y\}=\{X\le y\},$$

因此

$$F_Y(y)=1-e^{-y/5}.$$

但是到了

$$y=2$$

以后，

$$Y\le 2$$

恒成立，因此

$$F_Y(2)=1.$$

而左极限

$$F_Y(2^{-})=1-e^{-2/5}.$$

于是

$$\boxed{P\{Y=2\}=e^{-2/5}}$$

所以 $Y$ 不是普通连续型随机变量，而是：

$0<Y<2$ 有连续密度，$Y=2$ 又有一个离散点。

(Any Docs)

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十二、真题：2013-1，极具代表性的混合型变换

给

$$f_X(x)=\frac{x^2}{9},0<x<3$$

并定义分段函数

$$Y=\{\begin{array}{ll}2,& X\le 1,\\ X,& 1<X<2,\\ 1,& X\ge 2.\end{array}$$

这里有三部分：

第一段全部压到 $Y=2$；

第二段保持连续；

第三段全部压到 $Y=1$。

所以：

$$P\{Y=1\}=P\{X\ge 2\}=\frac{19}{27},$$ $$P\{Y=2\}=P\{X\le 1\}=\frac{1}{27}.$$

而在

$$1<y<2$$

中还保留连续密度

$$f_Y(y)=\frac{y^2}{9}.$$

最终分布函数为

$$\boxed{F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<1,\\ \frac{y^3+18}{27},& 1\le y<2,\\ 1,& y\ge 2.\end{array}}$$

(Any Docs)

这一题必须建立一个意识

只要看到

$$Y=g(X)$$

里面存在

$$g(x)=c$$

在一个正概率区间恒成立，就必须检查：

$$\boxed{Y=c\text{ 是否产生点质量。}}$$

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十三、2025 真题：保险赔付函数——非常值得关注

这是本站目前模块 4 中非常新的综合题。

保险赔付为

$$Y=\{\begin{array}{ll}0,& X\le 100,\\ X-100,& X>100.\end{array}$$

也就是

$$\boxed{Y=(X-100{)}^{+}}$$

真题给定损失额密度后，算得

$$P\{Y>0\}=\frac{1}{4},$$

以及

$$E(Y)=50.$$

之后又把这一结果放入泊松事件模型：一年损失事件数

$$N\sim P(8),$$

每次以概率

$$p=\frac{1}{4}$$

形成实际理赔。

于是通过泊松稀疏化得到

$$\boxed{M\sim P(2)}$$

。(Any Docs)

这是一道非常典型的现代综合题：

$$\boxed{\text{函数分布}+\text{数学期望}+\text{条件分布}+\text{泊松分布}}$$

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建议额外把这道题再拓展一步

原题没直接要求写 $Y$ 的完整分布，但完全可以考。

因为

$$P\{Y=0\}=P\{X\le 100\}=\frac{3}{4}.$$

对

$$y>0,$$

有

$$Y=X-100,$$

所以连续部分为

$$\boxed{f_Y(y)=f_X(y+100)}$$

即原题数据下

$$\boxed{f_Y(y)=\frac{20000}{(y+200{)}^3},y>0}$$

同时

$$P\{Y=0\}=\frac{3}{4}.$$

这个“保险免赔额导致 0 点出现概率质量”的变式，值得注意的是很有考试价值。

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十四、进入本章最重要部分：二维随机变量函数

二维问题统一写成

$$Z=g(X,Y).$$

永远有效的方法是：

$$\boxed{F_Z(z)=P\{g(X,Y)\le z\}={\iint }_{g(x,y)\le z}{f}_{X,Y}(x,y)dxdy}$$

然后

$$f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z).$$

真正决定题目难度的不是积分，而是：

$$\boxed{\text{会不会画 }g(x,y)\le z\text{ 对应的区域。}}$$

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十五、题型六：离散型二维函数——列值、合并概率

如果 $(X,Y)$ 离散，原则最简单：

$$\boxed{P\{Z=z\}=\sum _{g(x_i,y_j)=z}P\{X=x_i,Y=y_j\}}$$

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真题：2006-4，$Z=X+Y$

已知二维离散分布表，先利用条件确定其中参数，再令

$$Z=X+Y.$$

例如

$$Z=0$$

可能由若干不同的点产生：

$$(-1,1),(0,0),(1,-1).$$

所以必须把所有满足

$$x+y=0$$

的格点概率全部相加。

真题最终得到

$$Z=-2,-1,0,1,2$$

对应概率

$$0.2,0.1,0.3,0.3,\mathrm{0.1.}$$

(Any Docs)

这种题不要搞卷积。

直接画二维分布表，然后沿

$$x+y=z$$

的“斜对角线”加概率即可。

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十六、题型七：两个连续变量之和——本章最高频核心题型

这一类真题非常多。

若

$$Z=X+Y,$$

对于任意有联合密度的 $(X,Y)$，都有

$$\boxed{f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X,Y}(x,z-x)dx}$$

注意：

$$\boxed{\text{这个公式本身并不要求 }X,Y\text{ 独立。}}$$

只有当 $X,Y$ 独立时才进一步写成

$$f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$$

从而得到卷积：

$$\boxed{f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)dx}$$

这两个概念务必区分。

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十七、为什么求和题总要“分段”？

因为积分区间不是凭感觉写的。

必须同时满足：

$$x\in S_X$$

以及

$$z-x\in S_Y.$$

所以真正决定积分上下限的是两个支持集的交集。

这就是卷积题的核心。

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十八、经典真题：1987-1，均匀 + 指数

给

$$X\sim U(0,1),$$

而 $Y$ 为指数型变量，求

$$Z=2X+Y.$$

先令

$$U=2X.$$

则

$$U\sim U(0,2),$$

于是

$$Z=U+Y.$$

卷积：

$$f_Z(z)=\int f_U(u)f_Y(z-u)du.$$

要非零必须同时有

$$0<u<2,$$

和

$$z-u>0.$$

即

$$0<u<\min \{2,z\}.$$

因此自然出现：

$$z\le 0,$$ $$0<z<2,$$ $$z\ge 2$$

三个区间。

真题结果是

$$\boxed{f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}0,& z\le 0,\\ \frac{1}{2}(1-e^{-z}),& 0<z<2,\\ \frac{1}{2}(e^2-1)e^{-z},& z\ge 2.\end{array}}$$

(Any Docs)

卷积题真正应该练的不是积分

而是：

$$\boxed{\text{根据支持集求积分上下限。}}$$

积分通常反而很简单。

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十九、真题：2007-134，不独立也能求 $X+Y$

联合密度：

$$f(x,y)=2-x-y,0<x<1,0<y<1.$$

求

$$Z=X+Y.$$

令

$$y=z-x.$$

于是

$$f_Z(z)=\int f(x,z-x)dx.$$

注意被积函数神奇地变为

$$2-x-(z-x)=2-z.$$

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当

$$0<z<1$$

时，

$$0<x<z.$$

所以

$$f_Z(z)={\int }_0^z(2-z)dx=z(2-z).$$

当

$$1\le z<2$$

时，

$$z-1<x<1.$$

所以

$$f_Z(z)=(2-z{)}^2.$$

因此

$$\boxed{f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}z(2-z),& 0<z<1,\\ (2-z{)}^2,& 1\le z<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}}$$

(Any Docs)

这是特别标准的：

$$\boxed{\text{联合区域被直线 }x+y=z\text{ 切割}}$$

型题目。

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二十、差与一般线性组合统一公式

如果

$$Z=X-Y,$$

那么

$$y=x-z,$$

因此

$$\boxed{f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X,Y}(x,x-z)dx}$$

更一般地，

$$Z=aX+bY,b\ne 0,$$

则

$$y=\frac{z-ax}{b},$$

因此

$$\boxed{f_Z(z)=\frac{1}{|b|}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X,Y}\left(x,\frac{z-ax}{b}\right)dx}$$

这是比单纯背卷积更高级、更统一的理解。

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二十一、真题：2005-34，$Z=2X-Y$

联合密度在三角形区域

$$0<x<1,0<y<2x$$

内为常数。

令

$$Z=2X-Y.$$

即

$$y=2x-z.$$

然后把原区域条件

$$0<2x-z<2x$$

化成：

$$z>0$$

以及

$$x>\frac{z}{2}.$$

结合

$$x<1$$

得到

$$0<z<2,$$

且

$$\frac{z}{2}<x<1.$$

于是

$$f_Z(z)={\int }_{z/2}^{1}1dx=\boxed{1-\frac{z}{2}},0<z<2.$$

(Any Docs)

这道题本质不是“公式”，而是：

$$\boxed{z=2x-y}$$

这条直线在联合支持区域里有多长。

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二十二、题型八：离散变量 + 连续变量之和

这一类近年的题很多，而且非常值得重视。

设离散变量

$$P\{X=x_i\}=p_i$$

与连续变量 $Y$ 独立，令

$$Z=X+Y.$$

在条件

$$X=x_i$$

下，

$$Z=x_i+Y,$$

所以

$$f_{Z|X=x_i}(z)=f_Y(z-x_i).$$

由全概率：

$$\boxed{f_Z(z)=\sum _i{p}_i{f}_Y(z-x_i)}$$

可以把它理解成：

把 $Y$ 的密度复制若干份，分别平移，再按概率加权。

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二十三、真题：2003-3

若

$$P\{X=1\}=0.3,P\{X=2\}=0.7,$$

且 $Y$ 密度为 $f(y)$，两者独立，

$$U=X+Y.$$

那么立即得到

$$\boxed{g(u)=0.3f(u-1)+0.7f(u-2)}$$

。(Any Docs)

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真题：2008-134

若

$$P\{X=-1\}=P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{3}$$

而

$$Y\sim U(0,1),$$

则

$$f_Z(z)=\frac{1}{3}{f}_Y(z+1)+\frac{1}{3}{f}_Y(z)+\frac{1}{3}{f}_Y(z-1).$$

三段支持恰好拼接成

$$(-1,2),$$

因此最后居然得到

$$\boxed{f_Z(z)=\frac{1}{3},-1<z<2}$$

即

$$Z\sim U(-1,2).$$

(Any Docs)

这是一类非常漂亮的构造题。

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张宇 1000 题的强化版本

张宇给：

$$X\sim B\left(2,\frac{1}{2}\right),$$

所以

$$P\{X=0\}=\frac{1}{4},P\{X=1\}=\frac{1}{2},P\{X=2\}=\frac{1}{4},$$

再配一个连续随机变量 $Y$，求

$$Z=X+Y.$$

统一写成

$$\boxed{f_Z(z)=\frac{1}{4}{f}_Y(z)+\frac{1}{2}{f}_Y(z-1)+\frac{1}{4}{f}_Y(z-2)}$$

然后根据不同平移区间进行分段即可。(Any Docs)

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二十四、题型九：正态随机变量的线性组合

这一类不要卷积。

如果 $(X,Y)$ 联合正态，那么

$$Z=aX+bY+c$$

仍服从正态分布。

均值：

$$\boxed{E(Z)=aE(X)+bE(Y)+c}$$

方差：

$$\boxed{D(Z)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)}$$

若独立，则

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=0.$$

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真题：1989-1

题中

$$X\sim N(1,2),Y\sim N(0,1),$$

独立，求

$$Z=2X-Y+3.$$

均值：

$$E(Z)=2+3=5.$$

方差：

$$D(Z)=4\times 2+1=9.$$

所以

$$\boxed{Z\sim N(5,9)}$$

直接写密度即可。(Any Docs)

考场原则

只要看到：

$$\boxed{\text{正态变量 + 线性组合}}$$

优先想“仍为正态”，不要先卷积。

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二十五、题型十：乘积 $Z=XY$

对于一般联合连续型变量，令

$$Z=XY.$$

固定 $x$，有

$$y=\frac{z}{x}.$$

Jacobian 给出

$$\boxed{f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_{X,Y}\left(x,\frac{z}{x}\right)\frac{1}{|x|}dx}$$

真正难的仍然是：

$$\left(x,\frac{z}{x}\right)$$

什么时候落在原支持区域。

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二十六、真题：1999-4，矩形面积 $S=XY$

$(X,Y)$ 在

$$0<X<2,0<Y<1$$

的矩形中均匀。

联合密度：

$$f(x,y)=\frac{1}{2}.$$

令

$$S=XY.$$

则

$$y=\frac{s}{x}.$$

需要

$$0<\frac{s}{x}<1$$

以及

$$0<x<2.$$

由于 $x>0$，得到

$$s<x<2.$$

这要求

$$0<s<2.$$

于是

$$f_S(s)={\int }_s^2\frac{1}{2}\frac{1}{x}dx.$$

所以

$$\boxed{f_S(s)=\frac{1}{2}\ln \frac{2}{s},0<s<2}$$

。(Any Docs)

这道题非常有代表性：

$$\boxed{\text{乘积随机变量经常产生 }\ln }$$

因为 Jacobian 中会出现

$$\frac{1}{|x|}.$$

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二十七、题型十一：比值 $Z=X/Y$

同理令

$$x=zy.$$

则

$$\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (z,y)}\right|=|y|.$$

所以

$$\boxed{f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }|y|f_{X,Y}(zy,y)dy}$$

比值真题数量没有“和”那么多，但它特别适合出综合题。

2021 年真题中把随机截点构成的长短两段建立函数关系，再进一步研究二者比值，本质上就是“先降维，再做一维函数变换”的思路。(Any Docs)

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二十八、题型十二：绝对值与绝对差

经典形式：

$$U=|X-Y|.$$

可以先令

$$D=X-Y,$$

然后利用

$$U=|D|.$$

因此对于

$$u>0,$$

有

$$\boxed{f_U(u)=f_D(u)+f_D(-u)}$$

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真题：2001-3

$(X,Y)$ 在正方形

$$1<X<3,1<Y<3$$

上均匀。

求

$$U=|X-Y|.$$

先得到差

$$D=X-Y$$

具有三角形密度

$$f_D(d)=\frac{2-|d|}{4},|d|<2.$$

于是

$$f_U(u)=f_D(u)+f_D(-u)$$

得到

$$\boxed{f_U(u)=1-\frac{u}{2},0<u<2}$$

。(Any Docs)

还可以直接用几何法：

$$|X-Y|\le u$$

是在正方形主对角线周围的一条带。

这类题几何法通常比 Jacobian 更直观。

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二十九、题型十三：最大值与最小值——必须背到条件反射

这是模块 4 的超级高频内容。

定义

$$M=\max \{X,Y\}.$$

那么

$$M\le z$$

当且仅当

$$X\le z,Y\le z.$$

因此一般情况下：

$$\boxed{F_M(z)=F_{X,Y}(z,z)}$$

如果独立：

$$\boxed{F_M(z)=F_X(z)F_Y(z)}$$

如果独立同分布：

$$\boxed{F_M(z)=F^2(z)}$$

---

对于

$$L=\min \{X,Y\},$$

最好看补事件：

$$L>z$$

当且仅当

$$X>z,Y>z.$$

独立时：

$$\boxed{F_L(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]}$$

若独立同分布：

$$\boxed{F_L(z)=1-[1-F(z){]}^2}$$

---

三十、推广到 $n$ 个独立同分布变量

若

$$M_n=\max (X_1,\dots ,X_n),$$

则

$$\boxed{F_{M_n}(x)=F^n(x)}$$

若连续：

$$\boxed{f_{M_n}(x)=n{F}^{n-1}(x)f(x)}$$

对于最小值

$$m_n=\min (X_1,\dots ,X_n),$$

有

$$\boxed{F_{m_n}(x)=1-[1-F(x){]}^n}$$

以及

$$\boxed{f_{m_n}(x)=n[1-F(x){]}^{n-1}f(x)}$$

这已经是模块 7 次序统计量的重要基础。

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三十一、真题：1996-5，三个指数元件的最小寿命

三个元件工作时间独立，且

$$X_i\sim E(\lambda ).$$

整个电路要求三个同时正常，因此寿命

$$T=\min (X_1,X_2,X_3).$$

对于

$$t\ge 0,$$ $$P(T>t)=P(X_1>t,X_2>t,X_3>t).$$

独立性得到

$$P(T>t)=e^{-\lambda t}{e}^{-\lambda t}{e}^{-\lambda t}=e^{-3\lambda t}.$$

因此

$$\boxed{T\sim E(3\lambda )}$$

。(Any Docs)

推广：

若

$$X_i\sim E({\lambda }_i)$$

相互独立，则

$$\boxed{\min (X_1,\dots ,X_n)\sim E\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\right)}$$

非常重要。

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三十二、真题：2012-3，最大值与最小值一起考

若

$$X,Y\stackrel{iid}{\sim }E(1),$$

定义

$$U=\max \{X,Y\},$$ $$V=\min \{X,Y\}.$$

先求最小值：

$$P(V>v)=P(X>v,Y>v)=e^{-2v}.$$

因此

$$\boxed{V\sim E(2)}$$

即

$$f_V(v)=2e^{-2v}.$$

第二问甚至无需求 $U$ 的分布。

因为恒等式

$$\boxed{\max \{X,Y\}+\min \{X,Y\}=X+Y}$$

所以

$$E(U+V)=E(X+Y)=2.$$

(Any Docs)

这是典型的：

会利用代数恒等式，比硬算分布更重要。

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三十三、真题：2016-3，最大次序统计量

总体密度

$$f(x;\theta )=\frac{3x^2}{{\theta }^3},0<x<\theta .$$

三个样本

$$X_1,X_2,X_3$$

独立同分布，

$$T=\max (X_1,X_2,X_3).$$

总体分布函数：

$$F_X(x)=\frac{x^3}{{\theta }^3}.$$

于是

$$F_T(t)=[F_X(t){]}^3=\frac{t^9}{{\theta }^9}.$$

求导：

$$\boxed{f_T(t)=\frac{9t^8}{{\theta }^9},0<t<\theta }$$

。(Any Docs)

这一题直接连接模块 7：

$$\boxed{\text{函数分布}\to \text{次序统计量}\to \text{参数估计}}$$

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三十四、题型十四：$X^2+Y^2$——极坐标专题

看到

$$Z=X^2+Y^2$$

尤其联合区域是圆、圆环，或者联合密度只含

$$x^2+y^2,$$

第一反应应该是：

$$\boxed{\text{极坐标}}$$

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真题：2023-1

联合密度定义在单位圆盘

$$x^2+y^2\le 1$$

上，并且密度与

$$x^2+y^2$$

有关。

令

$$Z=X^2+Y^2.$$

使用极坐标：

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$$

且

$$dxdy=rdrd\theta .$$

事件

$$Z\le z$$

等价于

$$r\le \sqrt{z}.$$

真题得到

$$F_Z(z)=z^2,0<z<1.$$

因此

$$\boxed{f_Z(z)=2z,0<z<1}$$

。(Any Docs)

这类题真正的套路

若联合密度具有径向形式

$$f(x,y)=h(x^2+y^2),$$

那么令

$$Z=X^2+Y^2$$

以后极有可能显著简化。

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三十五、一个可以直接推广的预测结论

假设在单位圆盘

$$x^2+y^2<1$$

内，

$$f(x,y)=\frac{k+1}{\pi }(x^2+y^2{)}^k,k>-1.$$

令

$$Z=X^2+Y^2.$$

那么

$$F_Z(z)={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\sqrt{z}}\frac{k+1}{\pi }{r}^{2k}rdrd\theta .$$

得到

$$F_Z(z)=z^{k+1}.$$

因此

$$\boxed{f_Z(z)=(k+1)z^k,0<z<1}$$

2023 年真题其实就是其中一个特例。

这是很自然的进一步变式。

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三十六、题型十五：二维变量变换 $(X,Y)\to (U,V)$

虽然考研大量题最终只要求一个随机变量的分布，但二维变换本身仍值得掌握。

令

$$U=g_1(X,Y),V=g_2(X,Y).$$

反解

$$X=x(u,v),Y=y(u,v),$$

那么

$$\boxed{f_{U,V}(u,v)=f_{X,Y}(x(u,v),y(u,v))\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|}$$

最重要的是两件事：

一是 Jacobian；

二是新区域是什么形状。

张宇强化题中就有一个非常漂亮的例子：

$$U=X+Y,V=X-Y,$$

把原来的菱形区域

$$|x|+|y|\le 1$$

变换成

$$|u|\le 1,|v|\le 1,$$

即一个正方形，最后还能直接判断 $U,V$ 独立。(Any Docs)

这种“通过坐标变换把复杂区域变简单”的思路非常值得掌握。

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三十七、本模块的真题考频怎么理解？

按本站模块 4 的归类看，一维部分收录了 1993、1988、1995、1997、2003、2006、2013、2023、2025 等多道代表性题；二维部分收录数量更多，从早期的卷积、极值，到近年的径向函数、混合变量、次序统计量都有。(Any Docs)

如果按“命题思想”而不是机械按页面数量统计，建议这样分级：

这里有一点需要注意：本站中 2005-1 和 2005-34 的 $Z=2X-Y$ 题主体基本相同，所以做“命题创新次数”统计时，不应该把这种不同卷种的近重复题机械当作两个完全不同题型。(Any Docs)

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三十八、模块 4 最容易犯的 10 个错误

1. 不先求新变量范围

比如

$$Y=e^X$$

如果

$$X\ge 0,$$

则绝不是简单写

$$y>0,$$

而是

$$\boxed{y\ge 1}.$$

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2. Jacobian 忘记绝对值

必须是

$$\boxed{\left|\frac{dx}{dy}\right|}$$

不是直接写导数。

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3. 非单调函数只取一个根

例如

$$Y=X^2.$$

必须检查

$$\sqrt{y}$$

和

$$-\sqrt{y}$$

哪个在支持集。

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4. 以为根的个数永远不变

2006 真题正是：

$$0<y<1$$

有两个根，

但

$$1<y<4$$

只剩一个根。

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5. 把连续变量的函数想当然地认为仍连续

例如

$$Y=\min (X,2)$$

会在

$$Y=2$$

出现概率质量。

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6. 一看到 $X+Y$ 就直接写 $f_X{f}_Y$

只有独立时：

$$f_{X,Y}=f_X{f}_Y.$$

但

$$f_Z(z)=\int f_{X,Y}(x,z-x)dx$$

并不需要独立。

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7. 卷积积分限凭感觉

应该联立：

$$x\in S_X,$$ $$z-x\in S_Y.$$

然后求交集。

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8. max 与 min 写反

牢记：

$$\boxed{\max \le z⟺\text{全部}\le z}$$ $$\boxed{\min >z⟺\text{全部}>z}$$

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9. 遇到圆形区域还坚持直角坐标积分

看到

$$x^2+y^2$$

立即检查极坐标。

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10. 明明能识别特殊分布，却硬积分

例如：

$$\text{独立正态的线性组合}$$

直接正态；

独立同参数指数变量最小值直接指数；

同率 Gamma 变量之和直接 Gamma。

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三十九、值得注意的是很值得做的 4 类拓展预测

预测 1：连续变量经过函数后产生“连续 + 原子”混合分布

例如

$$X\sim E(\lambda ),$$

定义

$$Y=\min \{X,c\}.$$

要求完整分布。

答案结构必然是：

$$f_Y(y)=\lambda e^{-\lambda y},0<y<c,$$

同时

$$\boxed{P\{Y=c\}=e^{-\lambda c}}$$

这是 2002 真题、2013 真题和 2025 保险题共同指向的命题方向。(Any Docs)

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预测 2：非单调函数但反函数没有初等表达式

如

$$X\sim U(0,1),$$

令

$$Y=X(1-X).$$

先求范围：

$$0<Y<\frac{1}{4}.$$

方程

$$x(1-x)=y$$

有两个根：

$$x_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt{1-4y}}{2}.$$

又

$$\left|\frac{d{x}_i}{dy}\right|=\frac{1}{\sqrt{1-4y}}.$$

两支相加：

$$\boxed{f_Y(y)=\frac{2}{\sqrt{1-4y}},0<y<\frac{1}{4}}$$

这就是 $X\ln X$ 型强化题的可计算版本。

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预测 3：极值 + 变换 + 数字特征

例如：

$$X_1,X_2,X_3\stackrel{iid}{\sim }U(0,1),$$

定义

$$M=\max (X_1,X_2,X_3),$$

再令

$$Y=-\ln M.$$

先有

$$F_M(m)=m^3,0<m<1.$$

再通过

$$Y=-\ln M$$

得到

$$M=e^{-Y}.$$

对于

$$y>0,$$ $$P(Y\le y)=P(M\ge e^{-y})=1-e^{-3y}.$$

所以

$$\boxed{Y\sim E(3)}$$

这类题能够同时考：

$$\text{最大值}+\text{一维函数变换}+\text{经典分布识别}.$$

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预测 4：随机事件筛选 + 函数分布 + 泊松

2025 真题已经出现了很强的信号：

$$N\sim P(\lambda )$$

每次事件以概率 $p$ 被“保留”，则

$$\boxed{M\sim P(\lambda p)}$$

未来完全可以把 $p$ 设计成

$$p=P\{g(X)>c\},$$

先要求做随机变量函数问题，再用它做泊松稀疏化。

2025 真题正是

$$p=P(Y>0)=\frac{1}{4}$$

后得到

$$P(8\times \frac{1}{4})=P(2).$$

(Any Docs)

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四十、最后把模块 4 压缩成一张“考场作战表”

看到一维函数

$$Y=g(X)$$

先问：

$$\boxed{g\text{ 在支持集上单调吗？}}$$

单调：

$$f_Y(y)=f_X(x(y))\left|\frac{dx}{dy}\right|.$$

多支：

$$f_Y(y)=\sum _i{f}_X(x_i(y))\left|\frac{d{x}_i}{dy}\right|.$$

函数把一段压成一个点：

$$\boxed{\text{检查离散概率质量}}$$

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看到二维函数：

$$Z=g(X,Y)$$

首先想到：

$$F_Z(z)={\iint }_{g(x,y)\le z}f(x,y)dxdy.$$

如果是

$$X+Y,$$

就沿

$$x+y=z$$

切区域。

如果是

$$X-Y,$$

就沿

$$x-y=z$$

切区域。

如果是

$$XY,$$

用

$$y=\frac{z}{x}$$

和

$$\frac{1}{|x|}.$$

如果是

$$\frac{X}{Y},$$

用

$$x=zy$$

和

$$|y|.$$

如果是

$$\max ,$$

用

$$\max \le z⟺\text{全部}\le z.$$

如果是

$$\min ,$$

用

$$\min >z⟺\text{全部}>z.$$

如果是

$$X^2+Y^2,$$

优先：

$$\boxed{\text{极坐标}}$$

如果出现正态、Gamma、指数、泊松，则再问一句：

$$\boxed{\text{能不能直接识别分布？}}$$

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四十一、这一模块真正应该达到的水平

不是做到：

“会计算 $Y=X^2$。”

而是看到任何

$$Y=g(X)$$

都自动考虑：

$$\text{支持集}\to \text{单调性}\to \text{原像数量}\to \text{Jacobian}\to \text{是否产生点质量}.$$

看到任何

$$Z=g(X,Y)$$

都自动考虑：

$$\text{联合支持区域}\to g(x,y)\le z\to \text{区域变化}\to \text{积分}\to \text{能否用特殊结构简化}.$$

这才是真正的“学会一道，会一类”。

从本站真题来看，建议这个模块的训练优先顺序是：

$$\boxed{X+Y,aX+bY}$$ $$\Downarrow$$ $$\boxed{\max /\min /\text{次序统计量}}$$ $$\Downarrow$$ $$\boxed{\text{一维多分支函数}}$$ $$\Downarrow$$ $$\boxed{\text{分段函数与混合分布}}$$ $$\Downarrow$$ $$\boxed{XY,X/Y,|X-Y|,X^2+Y^2}$$

尤其要重点吃透 2006 $X^2$ 多分支、2013 分段函数、2007 $X+Y$、1999 $XY$、2012 max/min、2016 最大次序统计量、2023 $X^2+Y^2$、2023 $e^X$、2025 保险赔付 这几道。它们基本覆盖了模块 4 从基础到综合、从传统到近年命题的主要方向。(Any Docs)

真题页面：模块 4.1 一维随机变量函数的分布 模块 4.2 二维随机变量函数的分布