概率论与数理统计模块 2：一维随机变量及其分布

本文依据本站当前题库的结构核对了一遍。本站的概率论与数理统计·模块 2明确分为：

• 2.1 分布的计算
• 2.2 分布的性质
• 2.3 常见分布

也就是说，本站把“一维随机变量函数的分布”单独放到了模块 4，所以本文不把函数分布当作模块 2 主体，只在练习题有很好的拓展价值时顺带指出。

按当前站内真题文件统计，2.1 收录约 3 道小题 + 4 道大题，2.2 约 15 道小题 + 1 道大题，2.3 约 17 道小题 + 4 道大题。因此模块 2 最明显的重心其实是：

$$\boxed{\text{正态分布}>\text{分布函数/密度性质}>\text{二项、泊松、指数}>\text{一般分布计算}}$$

真正需要练成的不是几十种零散做法，而是下面这 6 个母方法：

$$\boxed{\begin{array}{rl}& 1.\text{分布函数端点法}\\ & 2.\text{归一化法}\\ & 3.\text{条件混合法}\\ & 4.\text{常见分布识别法}\\ & 5.\text{正态标准化法}\\ & 6.\text{无记忆性与泊松近似法}\end{array}}$$

掌握这六条以后，模块 2 大部分题确实能做到“会一道，会一类”。

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一、先建立整个模块的统一框架

随机变量 $X$ 的分布可以用三种语言描述：

离散型：

$$P\{X=x_k\}=p_k.$$

连续型：

$$f_X(x).$$

最统一的是分布函数：

$$\boxed{F_X(x)=P\{X\le x\}}$$

不管是离散、连续还是“既有点概率又有连续部分”的混合型随机变量，都能用 $F(x)$ 描述。

因此看到一道题，第一反应应当是：

题目给出的是什么？目标形式是什么？

典型转换链是

$$\boxed{\text{随机试验}⟶\text{随机变量}⟶\text{分布律/密度}⟶F(x)⟶\text{概率}}$$

很多难题本质上只是这条链走得比较长。

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二、2.1 分布的计算

这一部分真题数量不是最多，但非常基础，而且是后面所有章节的语言基础。站内 2.1 包含“分布函数与分布律互求、密度求分布函数、随机试验构造分布、混合分布、条件混合”等典型题。

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题型 1：分布函数 $F(x)$ → 离散分布律

核心公式

如果 $X$ 在 $x_0$ 处有点概率，那么：

$$\boxed{P\{X=x_0\}=F(x_0)-F(x_0-)}$$

其中

$$F(x_0-)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }F(x).$$

一句话：

离散概率 = 分布函数的跳跃高度。

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真题：1991-4-3 分

网站题目给出：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<-1,\\ 0.4,& -1\le x<1,\\ 0.8,& 1\le x<3,\\ 1,& x\ge 3.\end{array}$$

要求求 $X$ 的概率分布。

观察三个跳点：

$$-1,1,3.$$

于是

$$P(X=-1)=0.4-0=0.4,$$ $$P(X=1)=0.8-0.4=0.4,$$ $$P(X=3)=1-0.8=\mathrm{0.2.}$$

所以：

$$\boxed{\begin{array}{cccc}X& -1& 1& 3\\ P& 0.4& 0.4& 0.2\end{array}}$$

这一类题的通法

以后看到阶梯函数不要逐个事件想，直接：

$$\boxed{\text{找跳点}\to \text{求跳高}}$$

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三、题型 2：离散分布律 → 分布函数

这是上一题的逆过程。

真题：1987-4-4 分

站内题目：

$$P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=\mathrm{0.5.}$$

求 $F(x)$。

根据

$$F(x)=P(X\le x),$$

逐段累计：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<1,\\ 0.2,& 1\le x<2,\\ 0.5,& 2\le x<3,\\ 1,& x\ge 3.\end{array}$$

这里最容易错的不是概率，而是端点。

例如：

$$F(1)=P(X\le 1)=0.2,$$

所以应该写

$$1\le x<2$$

而不是 $1<x\le 2$。

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四、必须彻底掌握的“端点公式”

这是模块 2 最值得死记的一组公式。

因为

$$F(x)=P(X\le x),$$

所以：

$$\boxed{P(a<X\le b)=F(b)-F(a)}$$

而：

$$P(X<a)=F(a-),$$ $$P(X=a)=F(a)-F(a-).$$

因此：

$$\boxed{P(a\le X\le b)=F(b)-F(a-)}$$ $$\boxed{P(a<X<b)=F(b-)-F(a)}$$ $$\boxed{P(X\ge a)=1-F(a-)}$$

真正考试时，与其硬背四五条，不如始终问：

“这个端点到底包不包含？”

如果包含 $a$，就不能直接减掉 $F(a)$，因为 $F(a)$ 本身已经包含 $X=a$。

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五、题型 3：概率密度 $f(x)$ → 分布函数 $F(x)$

连续型随机变量最基本公式：

$$\boxed{F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt}$$

真题：1990-1-2 分

网站给出：

$$f(x)=\frac{1}{2}{e}^{-|x|},-\infty <x<+\infty .$$

求 $F(x)$。

关键不是积分，而是：

$$|x|=\{\begin{array}{ll}-x,& x<0,\\ x,& x\ge 0.\end{array}$$

因此必须按照 $0$ 分段。

当 $x<0$：

$$F(x)={\int }_{-\infty }^x\frac{1}{2}{e}^{t}dt=\frac{1}{2}{e}^x.$$

当 $x\ge 0$：

$$F(x)={\int }_{-\infty }^0\frac{1}{2}{e}^{t}dt+{\int }_0^x\frac{1}{2}{e}^{-t}dt,$$

所以

$$F(x)=1-\frac{1}{2}{e}^{-x}.$$

最终：

$$\boxed{F(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{e}^x,& x<0,\\ 1-\frac{1}{2}{e}^{-x},& x\ge 0.\end{array}}$$

母方法

凡是：

$$f(x)=\text{分段函数}$$

求 $F(x)$，都执行：

$$\boxed{\text{先找分界点}\to \text{按积分路径经过哪些区间分段}}$$

注意不是单纯照抄 $f(x)$ 的分段。

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六、密度和概率千万不能混

连续型随机变量：

$$\boxed{P(X=x_0)=0}$$

但通常：

$$f(x_0)\ne 0.$$

所以：

$$\boxed{f(x_0)\ne P(X=x_0)}$$

例如标准正态分布：

$$f(0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }},$$

但是：

$$P(X=0)=0.$$

另外密度甚至可以满足：

$$f(x)>1,$$

这并不违反任何规定。

概率对应的是面积：

$$P(a<X<b)={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

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七、题型 4：随机试验 → 自己构造随机变量分布

真题：1991-4-6 分

汽车经过三个独立红绿灯，每个路口红、绿概率均为 $1/2$。

令 $X$ 表示：

首次遇到红灯之前通过的路口数。

站内收录了这道大题。

可能取值：

$$X=0,1,2,3.$$

于是：

$$P(X=0)=\frac{1}{2},$$ $$P(X=1)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4},$$ $$P(X=2)={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}.$$

最容易错的是：

$$X=3.$$

它不是“前三个绿灯，然后第四个红灯”。

因为题目只有三个路口。

所以：

$$X=3$$

表示“三个路口全部通过”，于是：

$$P(X=3)={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}.$$

最终：

$$\boxed{\begin{array}{ccccc}X& 0& 1& 2& 3\\ P& \frac{1}{2}& \frac{1}{4}& \frac{1}{8}& \frac{1}{8}\end{array}}$$

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八、这一题背后的高频模型：几何分布与“截断几何分布”

无限重复试验中，如果：

第一次成功出现在第 $k$ 次，

则通常得到几何分布：

$$P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p,k=1,2,\dots$$

但如果试验最多只进行 $n$ 次，那么最后一个状态往往变成：

前面一直未成功，最后“被截断”。

于是末项概率与普通几何分布不同。

1991 红绿灯题正是这种思想。

因此以后看到：

• 首次出现；
• 第一次成功；
• 第一个次品；
• 首次故障；
• 第一次命中；

第一反应：

$$\boxed{\text{几何结构}}$$

然后检查是否有限次截断。

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九、题型 5：泊松过程 → 指数分布

这是模块 2 非常经典的一条桥梁。

真题：1993-45-8 分

设时间长度 $t$ 内故障次数：

$$N(t)\sim P(\lambda t).$$

求相邻两次故障时间间隔 $T$ 的分布。

不要直接猜“指数分布”，要知道为什么。

事件

$$T>t$$

意味着：

后面长度 $t$ 的时间内一次故障都没有。

所以：

$$P(T>t)=P(N(t)=0).$$

泊松分布给出：

$$P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}.$$

于是：

$$P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}.$$

因此：

$$\boxed{T\sim E(\lambda )}$$

其分布函数：

$$F_T(t)=\{\begin{array}{ll}0,& t<0,\\ 1-e^{-\lambda t},& t\ge 0.\end{array}$$

密度：

$$f_T(t)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda t},& t>0,\\ 0,& t\le 0.\end{array}$$

这条关系必须形成条件反射：

$$\boxed{\text{泊松计数过程}⟺\text{指数等待时间}}$$

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十、指数分布的无记忆性

1993 题第二问要求：

已经无故障工作 8 小时，再无故障工作 8 小时的概率。

即：

$$P(T>16\mid T>8).$$

指数分布有：

$$\boxed{P(T>s+t\mid T>s)=P(T>t)}$$

所以：

$$P(T>16\mid T>8)=P(T>8)=e^{-8\lambda }.$$

这就是著名的：

$$\boxed{\text{无记忆性}}$$

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十一、题型 6：混合型随机变量——很值得重点掌握

这是值得注意的是模块 2 最能拉开区分度的一类。

真题：1997-4-8 分

条件：

$$|X|\le 1,$$

且：

$$P(X=-1)=\frac{1}{8},P(X=1)=\frac{1}{4}.$$

在条件

$$-1<X<1$$

下，$X$ 在该区间均匀分布。

这意味着它既不是纯离散型，也不是纯连续型。

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第一步：连续部分总概率

$$P(-1<X<1)=1-\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{5}{8}.$$

条件均匀密度为：

$$\frac{1}{2}.$$

所以无条件连续密度：

$$\frac{5}{8}\cdot \frac{1}{2}=\boxed{\frac{5}{16}}.$$

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第二步：写 $F(x)$

对于：

$$-1\le x<1,$$

必须先把 $X=-1$ 的点概率放进去：

$$F(x)=\frac{1}{8}+\frac{5}{16}(x+1).$$

整理：

$$F(x)=\frac{5x+7}{16}.$$

因此：

$$\boxed{F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<-1,\\ \frac{5x+7}{16},& -1\le x<1,\\ 1,& x\ge 1.\end{array}}$$

注意：

在 $x=-1$ 处跳：

$$\frac{1}{8}.$$

在 $x=1$ 处再跳：

$$\frac{1}{4}.$$

中间则连续增长。

这就是典型的：

$$\boxed{\text{离散原子 + 连续密度}}$$

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第三问：求负值概率

$$P(X<0)=P(X=-1)+P(-1<X<0).$$

因此：

$$P(X<0)=\frac{1}{8}+\frac{5}{16}\cdot 1=\boxed{\frac{7}{16}}.$$

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十二、混合分布的一般模型

以后遇到：

以概率 $p_i$ 进入某种状态，然后在状态 $i$ 下服从某个分布。

基本公式是：

$$\boxed{F_Y(y)=\sum _{i}P(X=i)F_{Y\mid X=i}(y)}$$

这实际上就是全概率公式在分布函数上的版本。

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十三、真题：2014-13-11 分——条件混合是重点

网站题目：

$$P(X=1)=P(X=2)=\frac{1}{2},$$

给定 $X=i$ 后：

$$Y\mid X=i\sim U(0,i).$$

求 $Y$ 的分布函数。

直接套：

$$F_Y(y)=\frac{1}{2}{F}_{Y\mid X=1}(y)+\frac{1}{2}{F}_{Y\mid X=2}(y).$$

当：

$$0\le y<1,$$

有：

$$F_{Y\mid X=1}(y)=y,$$ $$F_{Y\mid X=2}(y)=\frac{y}{2}.$$

所以：

$$F_Y(y)=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\cdot \frac{y}{2}=\frac{3y}{4}.$$

当：

$$1\le y<2,$$

第一个均匀分布已经全部累计完：

$$F_{Y\mid X=1}(y)=1,$$

第二个仍为：

$$\frac{y}{2}.$$

于是：

$$F_Y(y)=\frac{1}{2}+\frac{y}{4}.$$

最终：

$$\boxed{F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0,\\ \frac{3y}{4},& 0\le y<1,\\ \frac{1}{2}+\frac{y}{4},& 1\le y<2,\\ 1,& y\ge 2.\end{array}}$$

这一题真正应该学到的不是答案

而是：

$$\boxed{\text{条件分布已知}\Rightarrow \text{先固定条件}\Rightarrow \text{最后全概率混合}}$$

这是以后条件密度、混合正态、随机参数模型的统一思路。

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十四、2.2 分布的性质

这一部分选择题很多。

真正核心就是两件事：

$$\boxed{\text{什么函数能当 }F(x)}$$

和

$$\boxed{\text{什么函数能当 }f(x)}$$

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十五、分布函数的三个必要性质

一个函数 $F(x)$ 是某个随机变量的分布函数，必须满足：

1. 单调不减

$$x_1<x_2\Rightarrow F(x_1)\le F(x_2).$$

2. 两端极限

$$\boxed{\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0}$$ $$\boxed{\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1}$$

3. 右连续

$$\boxed{F(x+)=F(x)}$$

不是左连续。

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十六、真题：1998-34-3 分——分布函数的线性组合

站内题目：

$$F(x)=a{F}_1(x)-b{F}_2(x)$$

问什么条件下仍是分布函数。

如果要求对任意 $F_1,F_2$ 都成立，最稳定的结构就是凸组合：

$$F(x)=\lambda F_1(x)+(1-\lambda )F_2(x),$$

其中：

$$0\le \lambda \le 1.$$

题目中两个权重为：

$$a,-b.$$

于是：

$$a\ge 0,$$ $$-b\ge 0,$$

同时右端极限必须为 $1$：

$$a-b=1.$$

因此对应：

$$a=\frac{3}{5},b=-\frac{2}{5}.$$

母结论

若：

$$a_i\ge 0,\sum a_i=1,$$

则：

$$\boxed{\sum _i{a}_i{F}_i(x)}$$

仍然是分布函数。

这其实就是混合分布。

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十七、概率密度是否合法：只查两个条件

$$\boxed{f(x)\ge 0}$$

以及：

$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1}$$

没有要求：

• 单调；
• 连续；
• 可导；
• 小于等于 1。

李正元练习题也专门用选择题考了“密度一定可积，但不一定连续、单调或可导”。

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十八、真题：2010-13-4 分——分段密度归一化

题中：

• $f_1$ 为标准正态密度；
• $f_2$ 为 $[-1,3]$ 上均匀分布密度；

并定义：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}a{f}_1(x),& x\le 0,\\ b{f}_2(x),& x>0.\end{array}$$

站内真题要求 $a,b$ 的关系。

标准正态对称：

$${\int }_{-\infty }^0{f}_1(x)dx=\frac{1}{2}.$$

而：

$$f_2(x)=\frac{1}{4},-1\le x\le 3.$$

在 $x>0$ 部分：

$${\int }_0^3{f}_2(x)dx=\frac{3}{4}.$$

所以：

$$\frac{a}{2}+\frac{3b}{4}=1.$$

即：

$$\boxed{2a+3b=4}.$$

这类题的母方法

从来不要看见 $f_1,f_2$ 都是密度，就误认为：

$$a{f}_1+b{f}_2$$

系数简单满足 $a+b=1$。

因为题目可能只截取了每个密度的一部分。

必须：

$$\boxed{\text{按实际定义域积分}}$$

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十九、一个极高价值结论：两个分布函数的乘积

真题：2002-14-3 分

$X_1,X_2$ 独立，分布函数为 $F_1,F_2$。

题目问哪个一定是分布函数。

令：

$$Z=\max (X_1,X_2).$$

那么：

$$Z\le x$$

等价于：

$$X_1\le x,X_2\le x.$$

利用独立性：

$$F_Z(x)=P(X_1\le x,X_2\le x)=F_1(x)F_2(x).$$

所以：

$$\boxed{F_{\max (X_1,X_2)}(x)=F_1(x)F_2(x)}$$

这个公式非常重要。

相应地：

$$\min (X_1,X_2)>x$$

等价于二者都大于 $x$。

所以：

$$P(\min >x)=[1-F_1(x)][1-F_2(x)].$$

因此：

$$\boxed{F_{\min }(x)=1-[1-F_1(x)][1-F_2(x)]}$$

虽然最大最小值的系统讨论通常还会出现在随机变量函数分布模块，但在模块 2 的性质题中已经会拿来构造合法 $F(x)$。

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二十、真题：2011-13-4 分——“看到乘积求导”

由：

$$F(x)=F_1(x)F_2(x),$$

对 $x$ 求导：

$$f(x)=f_1(x)F_2(x)+f_2(x)F_1(x).$$

因此：

$$\boxed{f_1{F}_2+f_2{F}_1}$$

必为某个随机变量的密度。

考试看到：

$$f_1{F}_2+F_1{f}_2$$

应该立刻想到：

$$\boxed{(F_1{F}_2{)}^{\prime }}$$

而不是傻积分。

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二十一、题型：判断分布函数有没有间断点

核心定理：

$$\boxed{F(x_0)-F(x_0-)=P(X=x_0)}$$

所以：

有点概率 ⇔ 分布函数在该点跳跃。

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真题：1987-45-2 分

连续型随机变量对任何固定实数 $x_0$：

$$P(X=x_0)=0.$$

因此连续型随机变量的 $F(x)$ 连续。站内将这一性质直接作为判断题考过。

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二十二、真题：1999-4-3 分——连续变量经过截断后可以产生点概率

令：

$$X\sim E(\lambda ),$$

并定义：

$$Y=\min (X,2).$$

站内问 $F_Y$ 有多少个间断点。

虽然 $X$ 是连续型，但：

$$X\ge 2$$

时全部被压到：

$$Y=2.$$

因此：

$$P(Y=2)=P(X\ge 2)=e^{-2\lambda }>0.$$

于是 $F_Y$ 在 $2$ 处发生跳跃。

具体：

$$F_Y(y)=\{\begin{array}{ll}0,& y<0,\\ 1-e^{-\lambda y},& 0\le y<2,\\ 1,& y\ge 2.\end{array}$$

所以恰有：

$$\boxed{1\text{ 个间断点}}$$

这类题特别值得掌握：

连续随机变量经过非一一映射、截断、取整后，完全可能变成离散或混合型。

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二十三、真题：2009-13-4 分——连续 × 离散产生混合分布

站内题：

$$X\sim N(0,1),$$

$Y$ 独立，且：

$$P(Y=0)=P(Y=1)=\frac{1}{2}.$$

令：

$$Z=XY.$$

问 $F_Z$ 有几个间断点。

当：

$$Y=0$$

时：

$$Z=0.$$

其概率为：

$$P(Z=0)\ge \frac{1}{2}.$$

事实上 $X=0$ 的概率为 $0$，所以：

$$P(Z=0)=\frac{1}{2}.$$

于是 $F_Z$ 在：

$$z=0$$

跳跃 $1/2$。

其他部分来自正态连续分布，没有额外跳点。

因此：

$$\boxed{\text{一个间断点}}$$

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二十四、指数分布无记忆性是独立题型

真题：2013-1-4 分

若：

$$Y\sim E(1),$$

求：

$$P(Y\le a+1\mid Y>a).$$

站内答案为：

$$1-e^{-1}.$$

写成对立事件最快：

$$P(Y\le a+1\mid Y>a)=1-P(Y>a+1\mid Y>a).$$

利用无记忆性：

$$P(Y>a+1\mid Y>a)=P(Y>1)=e^{-1}.$$

所以：

$$\boxed{1-e^{-1}}$$

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二十五、2.3 常见分布：这是模块 2 的最大重点

本站这一部分收录的真题最多，而且大量集中于正态分布。当前文件从 2025 年泊松近似题，到大量早期与近年的正态分布题都有收录。

首先必须建立“识别表”。

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二十六、二项分布：第一大题型是“先求单次概率”

真题：1994-4-3 分

题目给连续型 $X$：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x,& 0<x<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

独立观察三次，$Y$ 表示事件

$$X\le \frac{1}{2}$$

出现的次数。

先求一次成功概率：

$$p=P\left(X\le \frac{1}{2}\right)={\int }_0^{1/2}2xdx=\frac{1}{4}.$$

于是：

$$Y\sim B\left(3,\frac{1}{4}\right).$$

求恰好两次：

$$P(Y=2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right){\left(\frac{1}{4}\right)}^2\left(\frac{3}{4}\right).$$

得到：

$$\boxed{\frac{9}{64}}$$

母方法

这类题一定分成两步：

$$\boxed{\text{先算一次事件概率 }p}$$

再：

$$\boxed{\text{把“出现次数”识别为 }B(n,p)}$$

不要看到原变量连续就误以为后面也是连续分布。

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二十七、二项分布：“至少一次”永远优先考虑反事件

真题：1997-4-3 分

$$X\sim B(2,p),$$

并且：

$$P(X\ge 1)=\frac{5}{9}.$$

求同 $p$ 下：

$$Y\sim B(3,p)$$

的：

$$P(Y\ge 1).$$

看到“至少一次”：

$$\boxed{P(X\ge 1)=1-P(X=0)}$$

因此：

$$1-(1-p{)}^2=\frac{5}{9}.$$

得到：

$$(1-p{)}^2=\frac{4}{9}.$$

由于：

$$1-p\ge 0,$$

所以：

$$1-p=\frac{2}{3},p=\frac{1}{3}.$$

于是：

$$P(Y\ge 1)=1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\boxed{\frac{19}{27}}.$$

考试条件反射

只要看到：

• 至少一个；
• 至少一次；
• 至少有一件次品；
• 不少于一个；

先试：

$$\boxed{1-P(X=0)}$$

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二十八、均匀分布 + 重复试验 → 二项分布

真题：1989-4-8 分

$$X\sim U[2,5].$$

独立观察三次，求至少两次观测值大于 $3$。

一次：

$$p=P(X>3)=\frac{5-3}{5-2}=\frac{2}{3}.$$

于是：

$$Y\sim B\left(3,\frac{2}{3}\right).$$

因此：

$$P(Y\ge 2)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right){\left(\frac{2}{3}\right)}^2\frac{1}{3}+{\left(\frac{2}{3}\right)}^3.$$

即：

$$\boxed{\frac{20}{27}}$$

这与 1994 题其实是完全同一个母题：

$$\boxed{\text{任意原分布}\to \text{事件概率 }p\to n\text{ 次独立}\to B(n,p)}$$

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二十九、泊松分布近似二项分布：2025 真题值得重点看

真题：2025-13-5 分

站内最新这一类代表题：

$$X_i\sim B(1,0.1),i=1,\dots ,20,$$

令：

$$T=\sum _{i=1}^{20}{X}_i.$$

求利用泊松近似得到：

$$P(T\le 1).$$

因为：

$$T\sim B(20,0.1).$$

泊松近似参数：

$$\lambda =np=20\times 0.1=2.$$

所以：

$$P(T\le 1)\approx P(Z=0)+P(Z=1),Z\sim P(2).$$

于是：

$$P(T\le 1)\approx e^{-2}+2e^{-2}=\boxed{\frac{3}{e^2}}.$$

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三十、什么时候考虑泊松近似？

核心情景：

$$n\text{ 较大},p\text{ 较小},$$

并令：

$$\boxed{\lambda =np}$$

则：

$$B(n,p)\approx P(np).$$

不要硬背一个绝对的“$n$ 必须大于多少、$p$ 必须小于多少”。

考研如果明确要求“用泊松近似”，直接用。

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三十一、真题：1992-45-7 分——正态 + 二项 + 泊松三层组合

这是一道非常有价值的大题。

测量误差：

$$X\sim N(0,10^2).$$

独立测量 $100$ 次，求“至少三次满足”

$$|X|>19.6$$

的概率，并用泊松近似。

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第一步：正态标准化

$$P(|X|>19.6)=P(|Z|>1.96).$$

利用：

$$\Phi (1.96)=0.975,$$

得：

$$p=\mathrm{0.05.}$$

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第二步：计数变量二项化

设 $Y$ 为 100 次中“大误差”次数：

$$Y\sim B(100,0.05).$$

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第三步：泊松近似

$$\lambda =np=5.$$

所以：

$$Y\approx P(5).$$

求：

$$P(Y\ge 3)=1-P(Y\le 2).$$

于是：

$$P(Y\ge 3)\approx 1-e^{-5}\left(1+5+\frac{5^2}{2}\right).$$

即约为：

$$\boxed{0.88}$$

这道题非常值得作为综合母题

结构是：

$$\boxed{\text{连续分布求事件概率}\to \text{二项计数}\to \text{泊松近似}}$$

以后只要场景类似，直接套这条链。

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三十二、几何分布：关键词就是“首次”

以“第 $k$ 次试验首次成功”为定义时：

$$\boxed{P(X=k)=(1-p{)}^{k-1}p}$$

并且：

$$\boxed{P(X>m+n\mid X>m)=P(X>n)}$$

这就是离散版本的无记忆性。

注意有些教材把“首次成功前失败次数”定义为几何变量，取值从 $0$ 开始。考试必须以题目给出的定义为准。

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三十三、超几何分布：一定要和二项分布区别

虽然当前模块 2 真题文件中不是最突出，但作为考研基础必须掌握。

总体：

$$N$$

个，其中目标对象：

$$M$$

个，不放回抽取：

$$n$$

个。

$X$ 表示抽中目标对象数量：

$$\boxed{P(X=k)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n}\right)}}$$

判断二项还是超几何只问一句：

抽完放不放回？

独立重复：

$$\boxed{\text{二项}}$$

有限总体不放回：

$$\boxed{\text{超几何}}$$

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三十四、指数分布：三个公式必须张口就来

若：

$$X\sim E(\lambda ),$$

则：

$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x},x>0.$$

分布函数：

$$\boxed{F(x)=1-e^{-\lambda x}}$$

生存函数：

$$\boxed{P(X>x)=e^{-\lambda x}}$$

无记忆性：

$$\boxed{P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)}$$

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三十五、练习题拓展：不是所有“寿命分布”都有无记忆性

张宇1000题第二章有一道非常好的题，给寿命分布：

$$F(t)=1-e^{-(t/\theta {)}^m},t\ge 0.$$

这实际上是 Weibull 型分布练习。

其生存函数：

$$S(t)=e^{-(t/\theta {)}^m}.$$

因此：

$$P(T>s+t\mid T>s)=\frac{S(s+t)}{S(s)}.$$

所以：

$$=\exp \left[-\frac{(s+t{)}^m-s^m}{{\theta }^m}\right].$$

一般依赖于 $s$。

只有：

$$m=1$$

时变成：

$$e^{-t/\theta },$$

才真正具有无记忆性。

因此：

$$\boxed{\text{指数分布的无记忆性是很特殊的性质}}$$

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三十六、再来一个很好的拓展：混合指数分布通常没有无记忆性

张宇1000题还有“10 节甲厂电池 + 5 节乙厂电池”的题：

两种寿命分别：

$$E\left(\frac{1}{20}\right),E\left(\frac{1}{40}\right).$$

随机取一节。

因为抽到甲厂概率：

$$\frac{10}{15}=\frac{2}{3},$$

乙厂：

$$\frac{1}{3}.$$

所以总生存函数：

$$S(t)=\frac{2}{3}{e}^{-t/20}+\frac{1}{3}{e}^{-t/40}.$$

那么：

$$P(X>60\mid X>40)=\frac{\frac{2}{3}{e}^{-3}+\frac{1}{3}{e}^{-3/2}}{\frac{2}{3}{e}^{-2}+\frac{1}{3}{e}^{-1}}.$$

它不能直接写成：

$$P(X>20).$$

为什么？

因为虽然条件于“电池厂家”后都是指数分布，但厂家未知造成了混合。

而“已经用了 40 小时还没坏”会改变对厂家来源的判断——更可能是寿命长的乙厂电池。

这是非常有价值的理解：

$$\boxed{\text{指数分布的混合通常不再是指数分布}}$$

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三十七、正态分布：模块 2 的绝对核心

从本站真题来看，2.3 中正态分布相关题远多于其他单个分布类型，包括 1988、1991、1993、1995、1998、2002、2004、2006、2013、2016、2018、2024 等多个年份。

正态分布只需要牢牢掌握一个操作：

$$\boxed{Z=\frac{X-\mu }{\sigma }}$$

如果：

$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),$$

那么：

$$\boxed{Z\sim N(0,1)}$$

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三十八、真题：1988-1-2 分——最标准的标准化

题目：

$$X\sim N(10,0.02^2),$$

求：

$$P(9.95<X<10.05).$$

且：

$$\Phi (2.5)=\mathrm{0.9938.}$$

标准化：

$$\frac{9.95-10}{0.02}=-2.5,$$ $$\frac{10.05-10}{0.02}=\mathrm{2.5.}$$

所以：

$$P(-2.5<Z<2.5)=\Phi (2.5)-\Phi (-2.5).$$

利用：

$$\Phi (-x)=1-\Phi (x),$$

有：

$$P=2\Phi (2.5)-1.$$

因此：

$$\boxed{0.9876}$$

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三十九、标准正态必须熟记的对称关系

$$\boxed{\Phi (-x)=1-\Phi (x)}$$

因此：

$$P(-a<Z<a)=2\Phi (a)-1.$$

以及：

$$P(|Z|>a)=2[1-\Phi (a)].$$

这三个式子不要每次重新推。

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四十、真题：1991-1-3 分——不用求 $\sigma$ 也能解

条件：

$$X\sim N(2,{\sigma }^2),$$

并且：

$$P(2<X<4)=\mathrm{0.3.}$$

求：

$$P(X<0).$$

注意正态分布以：

$$x=2$$

为对称轴。

区间：

$$(2,4)$$

关于均值 $2$ 的镜像是：

$$(0,2).$$

因此：

$$P(0<X<2)=\mathrm{0.3.}$$

而：

$$P(X<2)=\mathrm{0.5.}$$

所以：

$$P(X<0)=0.5-0.3=\boxed{0.2}.$$

重要技巧

如果题目只给概率关系，未必需要真的求出：

$$\sigma .$$

先看能不能用对称性。

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四十一、真题：1993-5-3 分——“几倍标准差”比绝对尺度更重要

$$X\sim N(\mu ,4^2),$$ $$Y\sim N(\mu ,5^2).$$

定义：

$$p_1=P(X\le \mu -4),$$ $$p_2=P(Y\ge \mu +5).$$

标准化：

$$p_1=P(Z\le -1)=\Phi (-1).$$

而：

$$p_2=P(Z\ge 1)=1-\Phi (1).$$

根据对称性：

$$\Phi (-1)=1-\Phi (1).$$

所以：

$$\boxed{p_1=p_2}$$

核心不是 $4$ 和 $5$，而是：

都离各自均值恰好一个标准差。

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四十二、真题：1995-45-3 分——一个极容易错的结论

问随着 $\sigma$ 增大：

$$P(|X-\mu |<\sigma )$$

如何变化。

很多人会说：

方差变大，概率应该变小。

错。

因为区间本身也随着 $\sigma$ 变宽。

标准化：

$$P(|X-\mu |<\sigma )=P\left(\left|\frac{X-\mu }{\sigma }\right|<1\right).$$

所以：

$$=P(|Z|<1)=2\Phi (1)-1.$$

因此：

$$\boxed{\text{保持不变}}$$

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四十三、这道题必须和另一类题对比

如果问：

$$P(|X-\mu |<1),$$

此时区间宽度固定。

标准化：

$$P(|Z|<1/\sigma )=2\Phi (1/\sigma )-1.$$

随着：

$$\sigma \uparrow ,$$

有：

$$\frac{1}{\sigma }\downarrow ,$$

所以概率：

$$\boxed{\downarrow }$$

因此一定区分：

区间随标准差缩放

$$|X-\mu |<k\sigma$$

概率恒定：

$$2\Phi (k)-1.$$

区间宽度固定

$$|X-\mu |<a$$

概率随 $\sigma$ 增大而减少：

$$2\Phi (a/\sigma )-1.$$

这是一个非常高质量的“统一结论”。

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四十四、正态分布上侧分位数题

真题：2004-134-4 分

定义：

$$P(Z>u_{\alpha })=\alpha .$$

如果：

$$P(|Z|<x)=\alpha ,$$

求 $x$。

中央区域概率：

$$\alpha .$$

所以两侧尾部总概率：

$$1-\alpha .$$

每一侧：

$$\frac{1-\alpha }{2}.$$

因此：

$$P(Z>x)=\frac{1-\alpha }{2}.$$

按照定义：

$$\boxed{x=u_{\frac{1-\alpha }{2}}}$$

分位点题的正确做法

不要背结论。

永远先：

1. 画标准正态钟形图；
2. 标清题目给的是中央面积还是尾部面积；
3. 最后对照 $u_{\alpha }$ 的定义。

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四十五、真题：1990-45-7 分——由尾概率反推参数

考生外语成绩近似：

$$X\sim N(72,{\sigma }^2).$$

96 分以上占：

$$2.3\%.$$

求：

$$P(60<X<84).$$

由于：

$$P(Z>2)\approx 0.0228\approx 0.023,$$

所以：

$$\frac{96-72}{\sigma }=2.$$

得到：

$$\sigma =12.$$

于是：

$$60=72-12,84=72+12.$$

所以：

$$P(60<X<84)=P(-1<Z<1).$$

即：

$$\boxed{2\Phi (1)-1}$$

约为：

$$\boxed{0.6826}$$

母题

这种题结构永远是：

$$\boxed{\text{已知一个概率}\to \text{反查标准化位置}\to \text{确定 }\mu \text{ 或 }\sigma }$$

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四十六、对称密度不一定非要写成正态

网站 1993-4-3 真题给：

$$\phi (-x)=\phi (x).$$

说明密度是偶函数。

因此：

$$P(X\le 0)=\frac{1}{2}.$$

并且：

$$\boxed{F(-a)=1-F(a)}$$

连续分布中，也可以写：

$$F(-a)=\frac{1}{2}-{\int }_0^a\phi (x)dx.$$

更一般地，如果关于 $c$ 对称：

$$f(c+x)=f(c-x),$$

那么：

$$\boxed{F(c)=\frac{1}{2}}$$

以及：

$$\boxed{F(c-a)=1-F(c+a)}$$

2018 年站内真题正出现了：

$$f(1+x)=f(1-x)$$

这种“对称中心平移到 1”的变形。

所以不要只会“关于 0 对称”。

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四十七、练习题中非常值得做的几个高质量拓展

网站的张宇1000题第二章不仅有基础题，还有一些难度明显高于典型真题、但非常适合提高理解的题，例如几何/指数无记忆性、泊松奇偶概率、参数比较、正态概率最优化等。

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拓展 1：泊松分布取偶数和奇数的概率

若：

$$X\sim P(\lambda ),$$

定义：

$$p_e=P(X\text{ 为偶数}),$$ $$p_o=P(X\text{ 为奇数}).$$

则：

$$p_e=e^{-\lambda }\left(1+\frac{{\lambda }^2}{2!}+\frac{{\lambda }^4}{4!}+\cdots \right).$$

利用：

$$e^{\lambda }+e^{-\lambda }=2\left(1+\frac{{\lambda }^2}{2!}+\cdots \right),$$

得到：

$$\boxed{p_e=\frac{1+e^{-2\lambda }}{2}}$$

同理：

$$\boxed{p_o=\frac{1-e^{-2\lambda }}{2}}$$

因此：

$$\boxed{p_e>p_o}$$

且：

$$p_e+p_o=1.$$

这种题体现的是：

$$\boxed{\text{概率级数与指数函数展开}}$$

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四十八、拓展 2：泊松参数变大，分布整体向右移动

张宇1000题有：

$$X\sim P(n),Y\sim P(m),n>m.$$

比较 $F_X(z)$ 与 $F_Y(z)$。

一个高级但非常漂亮的理解：

取：

$$Y\sim P(m),$$

再令：

$$Z\sim P(n-m),$$

且独立。

则：

$$Y+Z\sim P(n).$$

所以可以把：

$$X=Y+Z.$$

由于：

$$Z\ge 0,$$

因此 $X$ 整体偏大。

所以：

$$\boxed{F_X(t)\le F_Y(t)}$$

这实际上已经接触到了“随机序”的思想。

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四十九、拓展 3：二项分布最可能值

张宇1000题有一个“100 个球独立等可能放入 40 个盒子，指定盒子最可能有几个球”的题。

指定一个盒子，每个球进入它的概率：

$$p=\frac{1}{40}.$$

所以盒内球数：

$$X\sim B\left(100,\frac{1}{40}\right).$$

二项分布众数通常由：

$$(n+1)p$$

判断。

这里：

$$(100+1)\frac{1}{40}=\frac{101}{40}=\mathrm{2.525.}$$

因此最可能：

$$\boxed{X=2}$$

这类题不要枚举 $P(X=0),P(X=1),P(X=2),\dots$。

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五十、拓展 4：正态概率关于 $\sigma$ 的最优化

张宇1000题强化题中有：

$$X\sim N(0,{\sigma }^2),$$

求使：

$$P(e^{1/2}<X<e)$$

最大的 ${\sigma }^2$。

这是很好的预测型考法。

设：

$$a=e^{1/2},b=e.$$

概率：

$$g(\sigma )=\Phi \left(\frac{b}{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a}{\sigma }\right).$$

求导：

$$g^{\prime }(\sigma )=\frac{a\phi (a/\sigma )-b\phi (b/\sigma )}{{\sigma }^2}.$$

令：

$$g^{\prime }(\sigma )=0,$$

得到：

$$a{e}^{-a^2/(2{\sigma }^2)}=b{e}^{-b^2/(2{\sigma }^2)}.$$

取对数：

$$\ln \frac{b}{a}=\frac{b^2-a^2}{2{\sigma }^2}.$$

因此：

$${\sigma }^2=\frac{b^2-a^2}{2\ln (b/a)}.$$

代入：

$$a^2=e,b^2=e^2,$$

以及：

$$\ln \frac{b}{a}=\frac{1}{2},$$

得到：

$$\boxed{{\sigma }^2=e^2-e}$$

这种题把：

$$\boxed{\text{概率论}+\text{正态标准化}+\text{高数求极值}}$$

结合了起来，值得注意的是是非常值得防的提高型考法。

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五十一、李正元练习题中值得特别注意的“混合分布陷阱”

题目给：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ \frac{1}{2},& 0\le x<1,\\ 1-e^{-x},& x\ge 1.\end{array}$$

问：

$$P(X=1).$$

不能因为右边出现指数形式就认为连续。

直接：

$$P(X=1)=F(1)-F(1-).$$

其中：

$$F(1)=1-e^{-1},$$ $$F(1-)=\frac{1}{2}.$$

因此：

$$\boxed{P(X=1)=\frac{1}{2}-e^{-1}}$$

而且这道题还有一个容易忽略的点：

在：

$$x=0$$

处：

$$F(0)-F(0-)=\frac{1}{2}.$$

所以：

$$P(X=0)=\frac{1}{2}.$$

这再次说明：

$$\boxed{\text{先看 }F(x)\text{ 的跳跃，不要凭公式外形猜分布类型}}$$

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五十二、模块 2 的常见分布识别总口诀

看到“次数”：

$$\boxed{\text{二项/泊松}}$$

看到“独立重复 $n$ 次成功次数”：

$$\boxed{B(n,p)}$$

看到“罕见事件、大 $n$ 小 $p$”：

$$\boxed{P(np)}$$

看到“首次成功”：

$$\boxed{\text{几何}}$$

看到“不放回抽样”：

$$\boxed{\text{超几何}}$$

看到“区间内等可能”：

$$\boxed{\text{均匀}}$$

看到“等待时间/寿命 + 无记忆”：

$$\boxed{\text{指数}}$$

看到“测量误差、自然波动、均值方差”：

$$\boxed{\text{正态}}$$

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五十三、考试时的完整决策树

拿到模块 2 的题，建议按下面顺序处理。

第一步：它在问什么对象？

是：

$$F(x)$$

还是：

$$f(x)$$

还是：

$$P(X=k)$$

还是某区间概率？

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第二步：离散还是连续？

离散：

$$\sum p_i=1.$$

连续：

$$\int f(x)dx=1.$$

混合：

$$\boxed{\text{跳跃看点概率，斜率/积分看连续概率}}$$

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第三步：是否是常见分布？

如果是：

$$\boxed{\text{直接识别模型}}$$

不要从定义重新计算。

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第四步：出现“至少一次”？

马上尝试：

$$1-P(X=0).$$

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第五步：出现正态？

第一行草稿就写：

$$\boxed{Z=\frac{X-\mu }{\sigma }}$$

然后再想。

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第六步：出现指数等待时间？

检查：

$$P(X>s+t\mid X>s).$$

尝试无记忆。

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第七步：出现“大 $n$、小 $p$”？

尝试：

$$\lambda =np$$

做泊松近似。

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第八步：出现条件分布？

先写：

$$\boxed{F_Y(y)=\sum _{i}P(X=i)F_{Y\mid X=i}(y)}$$

或连续版全概率公式。

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五十四、最容易失分的 12 个坑

1. 把：

$$P(X=a)$$

错误写成：

$$F(a).$$

正确：

$$F(a)-F(a-).$$

2. 认为分布函数左连续。它要求的是：

$$\boxed{\text{右连续}}$$

3. 连续型随机变量误认为：

$$P(X=a)=f(a).$$

实际上：

$$P(X=a)=0.$$

4. 认为密度必须满足：

$$f(x)\le 1.$$

错误。

5. 把密度归一化写成：

$$\int f=0.$$

正确：

$$\boxed{\int f=1}$$

6. 分段密度题直接认为系数之和为 $1$，而不积分。

7. 看到“至少一次”还从 $1$ 加到 $n$。

8. 二项近似泊松时忘记：

$$\boxed{\lambda =np}$$

9. 正态分布第二个参数：

$$N(\mu ,{\sigma }^2)$$

通常是方差，标准化分母是：

$$\sigma .$$

10. 把：

$$P(|X-\mu |<\sigma )$$

误认为随 $\sigma$ 变化。

11. 看到寿命分布就乱套无记忆性。

12. 已知条件分布却忘记最后还要乘先验概率再求和。

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五十五、值得注意的是很可能继续出现的几个新变式

下面不是站内原题，而是根据真题规律和张宇1000题里的提高方向做的预测。

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预测题 1：连续部分 + 点概率综合

设随机变量 $X$ 的分布函数：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0,\\ Ax,& 0\le x<1,\\ B+(1-B)(1-e^{-(x-1)}),& x\ge 1.\end{array}$$

已知：

$$P(0<X<1)=\frac{1}{2},$$

以及：

$$P(X=1)=\frac{1}{4}.$$

求 $A,B$。

对于：

$$0<X<1,$$

有：

$$P(0<X<1)=F(1-)-F(0)=A.$$

所以：

$$A=\frac{1}{2}.$$

而：

$$P(X=1)=F(1)-F(1-)=B-A.$$

于是：

$$B-\frac{1}{2}=\frac{1}{4}.$$

所以：

$$\boxed{A=\frac{1}{2},B=\frac{3}{4}}$$

这一个题同时考：

$$\boxed{\text{分布函数 + 左极限 + 跳跃 + 混合分布}}$$

非常符合考研选择填空题的升级方向。

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五十六、预测题 2：混合指数与无记忆性辨析

设：

$$X\mid Z=1\sim E({\lambda }_1),$$ $$X\mid Z=2\sim E({\lambda }_2),$$

且：

$$P(Z=1)=p,P(Z=2)=1-p.$$

那么：

$$P(X>t)=p{e}^{-{\lambda }_{1}t}+(1-p)e^{-{\lambda }_{2}t}.$$

所以：

$$P(X>s+t\mid X>s)=\frac{p{e}^{-{\lambda }_1(s+t)}+(1-p)e^{-{\lambda }_2(s+t)}}{p{e}^{-{\lambda }_{1}s}+(1-p)e^{-{\lambda }_{2}s}}.$$

一般依赖 $s$。

因此一般：

$$\boxed{\text{不具有无记忆性}}$$

除非：

$${\lambda }_1={\lambda }_2$$

或混合退化。

这个考法非常适合把“会背无记忆性”和“真正理解无记忆性”的学生区分开。

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五十七、预测题 3：正态标准化后的参数函数

若：

$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),$$

定义：

$$p(\sigma )=P(X\le \mu +{\sigma }^2).$$

则：

$$p(\sigma )=P\left(Z\le \frac{{\sigma }^2}{\sigma }\right)=\Phi (\sigma ).$$

所以：

$$\boxed{p(\sigma )=\Phi (\sigma )}$$

并随着：

$$\sigma \uparrow$$

严格增加。

这种题就是把：

$$\mu +\sigma$$

改成：

$$\mu +{\sigma }^2$$

要求真正做标准化，而不能死背“几倍标准差”。

2016 年站内真题已经出现了这种形式的核心结构，因此值得高度重视。

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五十八、模块 2 最终必须形成的“母题地图”

学完以后，解题时脑中应该是下面这棵树，而不是几十道题。

$$\boxed{\text{一维随机变量}}$$

往下第一层：

$$\boxed{\text{离散}\text{连续}\text{混合}}$$

离散型：

$$\boxed{\text{分布律}\leftrightarrow F(x)}$$

连续型：

$$\boxed{f(x)\leftrightarrow F(x)}$$

混合型：

$$\boxed{\text{连续部分}+\text{跳跃原子}}$$

再往下：

$$\boxed{\text{一般分布}\text{常见分布}}$$

常见分布：

$$\boxed{\begin{array}{c}B(n,p)\\ P(\lambda )\\ G(p)\\ H(N,M,n)\\ U(a,b)\\ E(\lambda )\\ N(\mu ,{\sigma }^2)\end{array}}$$

最后把高频特殊方法挂上去：

$$\boxed{\begin{array}{rl}B(n,p)& :\text{至少一次用反事件}\\ P(\lambda )& :\text{大 }n\text{ 小 }p\text{ 近似}\\ G(p)& :\text{首次成功 + 无记忆}\\ U(a,b)& :\text{长度比}\\ E(\lambda )& :\text{生存函数 + 无记忆}\\ N(\mu ,{\sigma }^2)& :\text{标准化 + 对称}\end{array}}$$

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五十九、如果只剩最后一小时，优先复习什么？

优先级可这样排列：

$$\boxed{\text{第一梯队：正态分布}}$$

必须熟练：

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma },$$ $$\Phi (-x)=1-\Phi (x),$$

中央区域、尾部区域、参数比较、已知概率反求参数。

第二梯队：

$$\boxed{F(x)\text{ 与 }f(x)\text{ 的性质}}$$

尤其：

$$P(X=a)=F(a)-F(a-),$$

右连续、归一化、混合分布。

第三梯队：

$$\boxed{B(n,p)+P(\lambda )}$$

尤其：

$$P(X\ge 1)=1-P(X=0),$$

以及：

$$B(n,p)\approx P(np).$$

第四梯队：

$$\boxed{E(\lambda )+\text{无记忆性}}$$

最后补：

$$\boxed{U(a,b),G(p),H(N,M,n)}$$

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最后的核心结论

模块 2 表面上公式很多，但真正的能力只有三层：

$$\boxed{\text{第一层：会读 }F,f,p_k}$$ $$\boxed{\text{第二层：能识别二项、泊松、指数、正态等模型}}$$ $$\boxed{\text{第三层：面对混合、条件、参数变化时仍能回到定义}}$$

其中最关键的一句话是：

$$\boxed{F(x)=P(X\le x)}$$

实在不知道一道题怎么做时，就回到这个定义。很多所谓“新题”，最后都只是把这个定义包装了一层。

这次重点参考了本站当前对应的数学真题模块 2，同时核对了网站中的张宇1000题第二章与李正元第二章练习题；练习题里重点挑了无记忆性的反例、混合指数、泊松奇偶性、二项众数和正态概率最优化等真正能拓展真题能力的题，而没有机械把所有练习题都堆进来。