概率论与数理统计模块 3：多维随机变量及其分布

本文按网站的推荐路径，把“数学真题 → 概率论与数理统计 → 模块三”，并结合李正元第三章、张宇1000题第三章一起交叉看了一遍。模块3就是多维随机变量及其分布，网站真题又细分为“联合分布、分布性质、边缘/条件分布、独立性、常见分布”五部分。按当前网站收录粗略统计，真题最密集的是边缘/条件分布和独立性，其次是联合分布；二维均匀分布、二维正态往往作为这些基本结构的具体载体。(Any Docs)

下面不按教材流水账讲，而是按“看到什么题 → 应该想到什么方法”来总结。

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一、模块3真正的核心：一张关系图

这一章最终只需要牢牢抓住一条主线：

$$\boxed{\text{联合分布}⟶\text{边缘分布}⟶\text{条件分布}⟶\text{独立性}⟶\text{区域概率}}$$

其中连续型问题几乎再加一句：

$$\boxed{\text{先画支撑区域，再积分}}$$

这是整个模块最重要的一句话。

离散型则对应：

$$\boxed{\text{先列可能取值，再填联合分布表}}$$

所以这一章其实不是公式很多，而是二维结构比一维复杂了一层。

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二、考频与复习优先级

按网站目前真题模块的归类来看，可以大致这样理解：

例如网站收录的真题中，1992、2004、2009、2010、2011、2013连续出现边缘或条件密度；1990、1997、1999、2006、2012、2023、2024等又反复考独立性及其应用。(Any Docs)

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三、题型1：离散型二维随机变量——求联合分布律

这是模块3最基础的母题。

1. 基本定义

若 X、Y 为离散型随机变量，联合分布律就是

$$p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\}.$$

核心要求只有：

$$p_{ij}\ge 0,$$

以及

$$\sum _i\sum _j{p}_{ij}=1.$$

边缘概率分别是行和、列和：

$$P\{X=x_i\}=\sum _j{p}_{ij},$$ $$P\{Y=y_j\}=\sum _i{p}_{ij}.$$

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母题A：1990真题——两个独立二项变量求联合分布

网站收录的1990年第5题：甲、乙各独立射击两次，命中率分别为0.2、0.5，X、Y表示各自命中次数，求联合分布。(Any Docs)

这是最标准的：

$$X\sim B(2,0.2),Y\sim B(2,0.5).$$

先分别求边缘：

$$P\{X=x\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x}\right)(0.2{)}^x(0.8{)}^{2-x},$$ $$P\{Y=y\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{y}\right)(0.5{)}^y(0.5{)}^{2-y}.$$

再利用独立性：

$$\boxed{P\{X=x,Y=y\}=P\{X=x\}P\{Y=y\}}$$

即可填完整张表。

这一题真正要学什么？

以后看到：

两个随机试验彼此独立，各自产生一个计数变量

优先考虑：

$$\boxed{\text{先求两个边缘分布，再直接相乘}}$$

不要一格一格重新做组合概率。

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四、题型2：条件结构生成联合分布

这是比上一类更重要的模型。

母题B：2001真题——泊松总人数 + 二项条件分布

某班车发车时人数

$$X\sim P(\lambda ),$$

每位乘客独立地以概率 p 中途下车，Y 为中途下车人数。

给定

$$X=n$$

以后，

$$Y\mid X=n\sim B(n,p).$$

因此

$$P\{Y=m\mid X=n\}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)p^m(1-p{)}^{n-m}.$$

联合分布直接由乘法公式：

$$\boxed{P\{X=n,Y=m\}=P\{X=n\}P\{Y=m\mid X=n\}}$$

于是

$$P\{X=n,Y=m\}=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^n}{n!}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{m}\right)p^m(1-p{)}^{n-m}.$$

网站还指出，由此可以进一步推出 Y 服从参数为 $\lambda p$ 的泊松分布。(Any Docs)

通法

如果题目说：

已知 X 的分布；给定 X=x 时，Y 的分布是……

那么几乎条件反射写：

$$\boxed{f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)f_{Y\mid X}(y\mid x)}$$

离散型就是：

$$\boxed{P\{X=x,Y=y\}=P\{X=x\}P\{Y=y\mid X=x\}}$$

这是模块3最重要的公式之一。

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五、题型3：多项分布构造二维联合分布

母题C：2009真题——红黑白三类球

袋中1红、2黑、3白，有放回抽两次。X、Y、Z分别表示两次中红、黑、白球个数。

显然：

$$X+Y+Z=2.$$

所以

$$Z=2-X-Y.$$

因此只需研究满足

$$x\ge 0,y\ge 0,x+y\le 2$$

的整数点。

三种颜色概率分别为

$$p_R=\frac{1}{6},p_B=\frac{1}{3},p_W=\frac{1}{2}.$$

联合概率可直接写成多项分布：

$$\boxed{P\{X=x,Y=y\}=\frac{2!}{x!y!(2-x-y)!}{\left(\frac{1}{6}\right)}^x{\left(\frac{1}{3}\right)}^y{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2-x-y}}$$

网站2009年第13题就是这一典型结构。(Any Docs)

更一般形式

做 n 次独立试验，每次有三种结果，概率为

$$p_1,p_2,p_3,$$

对应次数

$$X,Y,n-X-Y,$$

那么

$$\boxed{P\{X=x,Y=y\}=\frac{n!}{x!y!(n-x-y)!}{p}_1^x{p}_2^y{p}_3^{n-x-y}}$$

这是非常值得掌握的“二维多项分布模板”。

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六、题型4：利用附加条件反推联合分布表

这是离散型二维题中很有区分度的一类。

母题D：1999真题

给定 X、Y 的各自边缘分布，同时给出

$$P\{XY=0\}=1,$$

要求联合分布，并判断独立性。

网站中原题的关键是：

$$XY=0$$

几乎必然成立，意味着二维联合分布只能落在

$$x=0$$

或

$$y=0$$

的位置，其余格子概率全部为0。再利用行和、列和把剩余概率补齐。(Any Docs)

这种题的思维顺序不是算概率，而是：

$$\boxed{\text{事件约束}\to \text{哪些格子必为0}\to \text{利用边缘概率补表}}$$

例如看到

$$P\{X=Y\}=1$$

则只有对角线上可能非零。

看到

$$P\{XY=0\}=1$$

则只有坐标轴对应位置可能非零。

看到

$$P\{X+Y=c\}=1$$

则联合质量全部压在

$$x+y=c$$

对应的格子上。

这个思路非常重要。

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七、题型5：联合密度求区域概率——“画图积分法”

这是连续型二维题最核心的能力。

若联合概率密度是

$$f(x,y),$$

则对二维区域 D，

$$\boxed{P\{(X,Y)\in D\}={\iint }_{D}f(x,y)dxdy}$$

但真正困难的通常不是积分，而是：

$$\boxed{\text{D 到底是什么区域}}$$

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母题E：2003真题

网站题目：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}6x,& 0\le x\le y\le 1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求

$$P\{X+Y\le 1\}.$$

联合密度的支撑区域首先满足

$$0\le x\le y\le 1.$$

目标事件又要求

$$y\le 1-x.$$

所以真正积分区域同时满足

$$x\le y\le 1-x.$$

为了使上下限有意义：

$$x\le 1-x,$$

因此

$$0\le x\le \frac{1}{2}.$$

最终

$$P\{X+Y\le 1\}={\int }_0^{1/2}{\int }_x^{1-x}6xdydx=\frac{1}{4}.$$

网站也特别强调，不能忘掉原密度的限制 $x\le y$。(Any Docs)

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八、二维连续题的“万能五步法”

以后只要看到二维密度，建议固定执行这一套：

1. 写支撑集 S；
2. 画 S；
3. 画目标事件 A；
4. 求交集 $S\cap A$；
5. 按照方便的方向积分。

真正概率为

$$\boxed{P(A)={\iint }_{S\cap A}f(x,y)dxdy}$$

不是只在 A 上积分。

这里是这一章最常见失分点。

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九、题型6：由联合密度求边缘密度

最基本公式：

$$\boxed{f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy}$$ $$\boxed{f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx}$$

但千万不要把它理解成“积分上下限永远是无穷”。

真正操作是：

固定 x，看这个竖直截线在支撑区域里的 y 范围。

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母题F：1992真题

联合密度

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-y},& 0<x<y,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求 X 的边缘密度。

固定 x 后，根据

$$0<x<y$$

可知只有

$$x>0$$

时才有概率，并且

$$y\in (x,+\infty ).$$

所以

$$f_X(x)={\int }_x^{+\infty }{e}^{-y}dy=e^{-x},x>0.$$

最终

$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x},& x>0,\\ 0,& x\le 0.\end{array}$$

网站1992年第4题就是这个标准母题。(Any Docs)

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十、边缘密度的几何本质：截线长度

二维均匀分布尤其重要。

如果

$$(X,Y)$$

在区域 D 上均匀分布，则

$$f(x,y)=\frac{1}{S_D},(x,y)\in D.$$

于是

$$f_X(x)=\frac{\text{D 在 }x\text{ 处竖直截线长度}}{S_D}.$$

类似地，

$$f_Y(y)=\frac{\text{D 在 }y\text{ 处水平截线长度}}{S_D}.$$

这比死积分公式更有用。

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母题G：2011真题——三角形均匀分布

三角形由

$$y=x,y=2-x,y=0$$

围成，顶点为

$$(0,0),(1,1),(2,0).$$

面积为1，所以联合密度就是1。

固定 x。

当

$$0<x<1$$

时，竖直截线长度为 x：

$$f_X(x)=x.$$

当

$$1\le x<2$$

时，截线长度为

$$2-x,$$

所以

$$f_X(x)=2-x.$$

因此

$$\boxed{f_X(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0<x<1,\\ 2-x,& 1\le x<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}}$$

这个题还进一步要求条件密度，是边缘—条件联动的经典真题。(Any Docs)

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十一、题型7：条件概率密度——本章最高频大题之一

连续型：

$$\boxed{f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}}$$

前提是

$$f_X(x)>0.$$

类似：

$$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}.$$

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条件密度的真正含义

“给定 $X=x$”之后，相当于在二维区域中取一条竖直截线。

原来的二维分布经过归一化，变成这条线上的一维分布。

所以二维均匀分布时，如果固定 X=x 后联合密度沿着该截线不变，那么

$$Y\mid X=x$$

就是该截线上的均匀分布。

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十二、母题H：2004真题——给条件密度反推联合密度

题目：

$$X\sim U(0,1),$$

在给定

$$X=x$$

后，

$$Y\mid X=x\sim U(0,x).$$

于是

$$f_X(x)=1,0<x<1,$$

而

$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{1}{x},0<y<x.$$

所以

$$\boxed{f(x,y)=f_X(x)f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{1}{x}}$$

定义域：

$$0<y<x<1.$$

然后求 Y 的边缘：

固定 y，

$$y<x<1.$$

所以

$$f_Y(y)={\int }_y^1\frac{1}{x}dx=-\ln y,0<y<1.$$

网站2004年第4题进一步要求计算 $P\{X+Y>1\}$，答案为 $1-\ln 2$。(Any Docs)

这题是必须掌握的母题

它把三个方向都串起来了：

$$\boxed{f_X+f_{Y|X}\to f_{X,Y}\to f_Y\to P(A)}$$

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十三、母题I：2013真题——“边缘 × 条件 = 联合”

给定

$$f_X(x)=3x^2,0<x<1,$$

和

$$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{3y^2}{x^3},0<y<x.$$

立即：

$$f(x,y)=f_X(x)f_{Y\mid X}(y\mid x).$$

所以

$$f(x,y)=3x^2\frac{3y^2}{x^3}=\frac{9y^2}{x},0<y<x<1.$$

然后固定 y：

$$y<x<1,$$

得到

$$f_Y(y)={\int }_y^1\frac{9y^2}{x}dx=-9y^2\ln y.$$

再算事件

$$X>2Y.$$

注意这一条件比

$$X>Y$$

更强，因此区域为

$$0<y<\frac{x}{2}<\frac{1}{2}.$$

或者写成

$$0<x<1,0<y<\frac{x}{2}.$$

积分即可得到

$$P\{X>2Y\}=\frac{1}{8}.$$

网站2013年第3题完整覆盖了这三个步骤。(Any Docs)

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十四、题型8：条件概率，不要和条件密度混淆

比如网站2009真题要求：

$$P\{X\le 1\mid Y\le 1\}.$$

这是普通事件条件概率：

$$\boxed{P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}}$$

不是条件密度公式。

题目联合密度为

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x},& 0<y<x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

由于支撑区域满足

$$0<Y<X,$$

若

$$X\le 1,$$

则自动有

$$Y\le 1.$$

所以

$$P\{X\le 1,Y\le 1\}=P\{X\le 1\}.$$

这种“利用事件包含关系简化分子”的技巧值得特别记。(Any Docs)

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十五、题型9：判断 X、Y 是否独立

这是模块3另一个绝对核心。

离散型

独立充要条件：

$$\boxed{P\{X=x_i,Y=y_j\}=P\{X=x_i\}P\{Y=y_j\}}$$

对所有可能的 $i,j$ 成立。

要证明“不独立”，只需要找到一个反例：

$$p_{ij}\ne p_i{q}_j.$$

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连续型

独立充要条件：

$$\boxed{f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)}$$

几乎处处成立。

分布函数版本：

$$\boxed{F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)}$$

对所有 x、y 成立。

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十六、母题J：1990真题——联合分布函数直接判断独立

题目联合分布函数可整理成：

$$F(x,y)=(1-e^{-0.5x})(1-e^{-0.5y}),x,y\ge 0.$$

而边缘分布分别为

$$F_X(x)=1-e^{-0.5x},$$ $$F_Y(y)=1-e^{-0.5y}.$$

因此

$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y),$$

故独立。

这是判断独立最“标准教材型”的真题。(Any Docs)

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十七、超级实用技巧：先看支撑区域形状

这是做选择题尤其快的一招。

假如 X、Y 独立且密度都在一段区间内为正，则联合密度的支撑通常必须是直积区域：

$$D_X\times D_Y.$$

直观上就是矩形、无限带状直积等。

如果联合密度的正支撑区域是明显的三角形：

$$0<y<x<1,$$

那么 X、Y通常不可能独立。

为什么？

如果某个 x 和某个 y 各自边缘密度都大于0，独立时应有

$$f_X(x)f_Y(y)>0,$$

于是联合密度也必须大于0。

而三角形区域会出现大量

$$f_X(x)>0,f_Y(y)>0$$

但

$$f(x,y)=0$$

的点。

李正元练习题中平行四边形区域的例子正是用这一点证明 X、Y 不独立。(Any Docs)

但考试书写时最好不要只写

区域不是矩形，所以不独立。

更严谨的是找具体一点：

$$f(x_0,y_0)=0$$

而

$$f_X(x_0)f_Y(y_0)>0.$$

这样一步毙命。

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十八、一个非常重要的陷阱：不相关不等于独立

一般随机变量中：

$$X,Y\text{独立}⟹\mathrm{Cov}(X,Y)=0.$$

但是反过来通常不成立：

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=0\text{centernot}⟹X,Y\text{独立}.$$

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十九、唯一的考研重点特例：二维正态

如果明确给出

$$(X,Y)$$

服从二维正态分布，那么：

$$\boxed{X,Y\text{独立}⟺{\rho }_{XY}=0⟺\mathrm{Cov}(X,Y)=0}$$

这是概率论模块3最重要的性质之一。

2007真题就是直接使用：

二维正态 + 不相关

推出

$$X,Y$$

独立，因此

$$f_{X\mid Y}(x\mid y)=f_X(x).$$

(Any Docs)

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二十、又一个必考陷阱：边缘正态 ≠ 二维正态

这句话非常重要：

即使

$$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$$

且

$$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2),$$

也不能推出

$$(X,Y)$$

服从二维正态分布。

李正元练习题专门考了：

X、Y各自都是正态变量，是否能推出 $X+Y$ 一定正态？

答案：不能。

如果明确知道 X、Y独立正态，则可以。

如果明确知道 $(X,Y)$ 联合正态，则任意线性组合也是正态。

但只有两个边缘正态，不够。(Any Docs)

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二十一、题型10：二维正态 + 线性组合 + 独立

这是很容易出区分度选择题的一类。

母题K：2020真题

网站收录：

$$(X,Y)\sim N\left(0,0;1,4;-\frac{1}{2}\right).$$

先算

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=\rho {\sigma }_X{\sigma }_Y.$$

其中

$${\sigma }_X=1,{\sigma }_Y=2,$$

所以

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=-\frac{1}{2}\times 1\times 2=-1.$$

设

$$W=aX+bY.$$

要 W 与 X 独立。

由于它们联合正态，只需：

$$\mathrm{Cov}(X,W)=0.$$

而

$$\mathrm{Cov}(X,W)=aD(X)+b\mathrm{Cov}(X,Y)=a-b.$$

所以

$$a=b.$$

即 W 必须取

$$X+Y$$

型。

再计算：

$$D(X+Y)=1+4+2(-1)=3.$$

于是标准化：

$$\boxed{\frac{X+Y}{\sqrt{3}}\sim N(0,1)}$$

且它与 X 独立。网站对应答案就是这一项。(Any Docs)

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二十二、二维正态线性组合万能公式

如果

$$(X,Y)$$

联合正态，则

$$Z=aX+bY$$

一定服从正态分布。

均值：

$$\boxed{E(Z)=aE(X)+bE(Y)}$$

方差：

$$\boxed{D(Z)=a^{2}D(X)+b^{2}D(Y)+2ab\mathrm{Cov}(X,Y)}$$

而

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=\rho {\sigma }_X{\sigma }_Y.$$

这几条一定要熟到不用想。

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二十三、题型11：二维均匀分布——几何概率

如果

$$(X,Y)$$

在区域 D 内均匀分布，则：

$$f(x,y)=\frac{1}{S_D}.$$

因此对

$$A\subset D,$$

有

$$\boxed{P\{(X,Y)\in A\}=\frac{S_A}{S_D}}$$

不必积分。

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母题L：2012真题

X、Y独立且都服从

$$U(0,1).$$

因此

$$(X,Y)$$

在单位正方形上均匀分布。

求

$$P\{X^2+Y^2\le 1\}.$$

事件区域是第一象限内半径1的四分之一圆。

于是直接：

$$P=\frac{\pi /4}{1}=\boxed{\frac{\pi }{4}}.$$

这是几何概率最典型的一道真题。(Any Docs)

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二十四、反过来：二维均匀不代表边缘均匀

这一点也非常容易错。

如果

$$(X,Y)$$

在圆盘

$$x^2+y^2\le r^2$$

上均匀分布，并不意味着 X 在

$$(-r,r)$$

上均匀分布。

因为固定 x 时，纵向截线长度为

$$2\sqrt{r^2-x^2}.$$

所以

$$f_X(x)\propto 2\sqrt{r^2-x^2}.$$

具体为

$$f_X(x)=\frac{2\sqrt{r^2-x^2}}{\pi r^2},|x|<r.$$

李正元练习题就专门考察了这个概念，并指出“圆域联合均匀”不等于“边缘均匀”。(Any Docs)

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二十五、题型12：max、min 型事件

这个题型和独立性结合后非常高效。

对任意随机变量：

$$\max (X,Y)\le z$$

等价于

$$X\le z,Y\le z.$$

因此如果 X、Y独立：

$$\boxed{F_{\max (X,Y)}(z)=F_X(z)F_Y(z)}$$

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而

$$\min (X,Y)>z$$

等价于

$$X>z,Y>z.$$

所以：

$$P\{\min (X,Y)>z\}=[1-F_X(z)][1-F_Y(z)].$$

因此

$$\boxed{F_{\min (X,Y)}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]}$$

如果同分布：

$$F_{\max }(z)=F^2(z),$$ $$F_{\min }(z)=1-[1-F(z){]}^2.$$

李正元第三章以及2006真题都出现过这种思路。(Any Docs)

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二十六、题型13：独立指数变量“谁先发生”

这是近几年非常值得重视的题。

若

$$X\sim E({\lambda }_1),Y\sim E({\lambda }_2),$$

且独立。

则

$$P\{X<Y\}={\int }_0^{\infty }P\{Y>x\}{f}_X(x)dx.$$

因为

$$P\{Y>x\}=e^{-{\lambda }_{2}x},$$ $$f_X(x)={\lambda }_1{e}^{-{\lambda }_{1}x},$$

所以

$$P\{X<Y\}={\int }_0^{\infty }{\lambda }_1{e}^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)x}dx$$

得到

$$\boxed{P\{X<Y\}=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}}$$

2012真题就是

$${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=4,$$

所以

$$P\{X<Y\}=\frac{1}{5}.$$

(Any Docs)

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二十七、相关结论：指数变量的最小值

如果

$$X_i\sim E({\lambda }_i)$$

相互独立，那么

$$M=\min (X_1,\dots ,X_n).$$

有

$$P\{M>t\}=\prod _{i}P\{X_i>t\}.$$

于是

$$P\{M>t\}=e^{-({\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n)t}.$$

因此

$$\boxed{M\sim E({\lambda }_1+\cdots +{\lambda }_n)}$$

张宇1000题中“两台机器串联系统寿命”正是这个模型。(Any Docs)

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二十八、2024真题透露出的一个新趋势

2024真题考：

$$X,Y$$

独立同服从

$$E(\lambda ),$$

令

$$Z=|X-Y|.$$

结果发现：

$$\boxed{Z\sim E(\lambda )}$$

即

$$|X-Y|$$

竟然和 X 同分布。(Any Docs)

证明最漂亮的方法是生存函数。

对

$$z\ge 0,$$ $$P\{|X-Y|>z\}=2P\{X>Y+z\}.$$

然后对 Y 条件化：

$$P\{X>Y+z\}={\int }_0^{\infty }{e}^{-\lambda (y+z)}\lambda e^{-\lambda y}dy$$ $$=\frac{1}{2}{e}^{-\lambda z}.$$

所以

$$P\{Z>z\}=e^{-\lambda z}.$$

这就是指数分布。

预测意义

以后完全可能把问题改成：

$$\min (X,Y),\max (X,Y),|X-Y|,X-Y,$$

或者让两个指数分布参数不同。

这类题建议不要死记结论，而要掌握：

$$\boxed{\text{生存函数 + 条件化}}$$

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二十九、题型14：混合离散—连续结构

这是很有区分度的一类。

真题：2020年第1大题

网站题目中：

$$X_1,X_2\sim N(0,1)$$

相互独立，

$$P\{X_3=0\}=P\{X_3=1\}=\frac{1}{2},$$

定义

$$Y=X_3{X}_1+(1-X_3)X_2.$$

于是：

当

$$X_3=1$$

时，

$$Y=X_1;$$

当

$$X_3=0$$

时，

$$Y=X_2.$$

因此求二维分布函数

$$F_{X_1,Y}(x,y)$$

时，直接按照 X₃分类：

$$F_{X_1,Y}(x,y)=\frac{1}{2}P\{X_1\le x,X_1\le y\}+\frac{1}{2}P\{X_1\le x,X_2\le y\}.$$

于是

$$\boxed{F_{X_1,Y}(x,y)=\frac{1}{2}\Phi (\min \{x,y\})+\frac{1}{2}\Phi (x)\Phi (y)}$$

网站给出的真题答案也正是这个形式。(Any Docs)

这类题统一解法

只要看到一个离散变量决定“选择哪个连续变量”，立即想到：

$$\boxed{\text{按离散变量的取值使用全概率公式}}$$

这是未来很值得继续出题的方向。

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三十、题型15：联合密度 → 联合分布函数

这一类不算最频繁，但是非常容易因为分段丢分。

定义：

$$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$$

即

$$\boxed{F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dvdu}$$

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母题M：1995真题

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}4xy,& 0\le x\le 1,0\le y\le 1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

当

$$0<x\le 1,0<y\le 1$$

时：

$$F(x,y)={\int }_0^x{\int }_0^{y}4uvdvdu=x^2{y}^2.$$

但还要讨论：

$$x\le 0$$

或

$$y\le 0;$$

以及

$$x>1,y>1$$

等情形。

所以完整答案一定是分段的。(Any Docs)

快速原则

CDF做分段时，不要机械枚举。

想象矩形：

$$(-\infty ,x]\times (-\infty ,y]$$

逐渐扫过联合密度支撑区域。

CDF就是“扫到的概率质量”。

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三十一、二维分布函数必须掌握的性质

应熟悉：

$$0\le F(x,y)\le 1.$$

固定 y，F 关于 x 单调不减；固定 x，关于 y 单调不减。

还有：

$$F_X(x)=\underset{y\to +\infty }{\lim }F(x,y),$$ $$F_Y(y)=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x,y).$$

最重要的二维增量非负性：

若

$$x_1<x_2,y_1<y_2,$$

则

$$\boxed{P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\}}$$

等于

$$\boxed{F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)}$$

并且必须非负。

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三十二、几何区域题怎么迅速换积分次序

这是考试非常实用的能力。

如果支撑区域写成

$$a<x<b,g_1(x)<y<g_2(x),$$

这是“先 y 后 x”。

要求 $f_Y(y)$ 时却必须固定 y，因此往往要改写为

$$c<y<d,h_1(y)<x<h_2(y).$$

例如

$$0<y<x<1$$

本来是：

$$0<x<1,0<y<x.$$

若固定 y，就变成：

$$0<y<1,y<x<1.$$

这一步是模块3大量题目的真正难点。

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三十三、李正元和张宇练习题中最值得做的几类

不建议把网站上的练习题机械全刷。最有考研价值的是这些模型：

对应题目在网站中确实覆盖了三角形、平行四边形、菱形、条件均匀、指数寿命、离散—连续混合等多种变式。(Any Docs)

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三十四、一个非常值得掌握的对称性公式

如果 X、Y 独立同分布，则：

$$P\{X>Y\}=P\{Y>X\}.$$

所以

$$2P\{X>Y\}+P\{X=Y\}=1.$$

即

$$\boxed{P\{X>Y\}=\frac{1-P\{X=Y\}}{2}}$$

如果 X、Y还是连续型，那么

$$P\{X=Y\}=0,$$

因此直接：

$$\boxed{P\{X>Y\}=P\{X<Y\}=\frac{1}{2}}$$

张宇强化题中特意设置了离散型版本，因为离散型不能忽略

$$P\{X=Y\}.$$

(Any Docs)

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三十五、考研最常见的十大错误

这一章错误非常集中，建议做题时专门检查下面这些：

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三十六、看到题目后应该形成的条件反射

这是整个模块3值得注意的是最重要的一张“考场决策表”。

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三十七、值得注意的是最值得真正吃透的6道真题

如果时间有限，模块3不需要先刷几十题，可优先吃透下面6道：

第一道：2004-4-13

$$f_X+f_{Y|X}\to f_{X,Y}\to f_Y\to P(A)$$

它几乎把连续型二维分布的主干全部串起来。(Any Docs)

第二道：2011-3-11

三角形均匀分布：

$$\text{画图}\to f_X\to f_{X|Y}.$$

它要求真正理解“截线”。(Any Docs)

第三道：1999-4-8

给边缘分布以及

$$P\{X_1{X}_2=0\}=1$$

反推联合分布，再判断独立性。

这是离散型二维结构的代表题。(Any Docs)

第四道：2020-1-11

随机选择

$$Y=X_1\text{或}{X}_2$$

求二维CDF。

它训练全概率公式与“联合分布不一定有普通二维密度”的意识。(Any Docs)

第五道：2020-3-4

二维正态线性组合：

$$\mathrm{Cov}(X,W)=0$$

确定独立线性组合，再标准化。(Any Docs)

第六道：2024-13-5

独立指数变量：

$$|X-Y|$$

的分布，用生存函数+条件化。

它代表较新的、更灵活的命题方向。(Any Docs)

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三十八、基于真题结构的高价值新变式

这里几道不是简单换数字，而是真正可能继续延伸的题。

预测1：参数不同的指数差

设

$$X\sim E({\lambda }_1),Y\sim E({\lambda }_2),$$

相互独立。

求

$$Z=X-Y$$

的密度。

这会得到双边指数型分段：

当

$$z\ge 0,$$ $$f_Z(z)=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}{e}^{-{\lambda }_{1}z}.$$

当

$$z<0,$$ $$f_Z(z)=\frac{{\lambda }_1{\lambda }_2}{{\lambda }_1+{\lambda }_2}{e}^{{\lambda }_{2}z}.$$

如果再问

$$|X-Y|,$$

就继续合并两边。

这是2024真题非常自然的升级版。

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预测2：二维均匀 + 参数区域

设

$$(X,Y)$$

在

$$D=\{(x,y):x>0,y>0,x+y<1\}$$

上均匀分布。

求参数 a 使

$$P\{X<aY\}=\frac{1}{2}.$$

这一类不需要真正算复杂积分。

因为均匀分布：

$$P=\frac{\text{面积}}{\text{总面积}}.$$

实际上考的是“直线如何切三角形”。

这很符合当前真题“计算量不大，但要求看懂区域”的风格。

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预测3：二维正态寻找独立线性组合

给定

$$(X,Y)$$

联合正态及协方差矩阵，要求求 a，使

$$X+aY$$

与

$$X-Y$$

独立。

因为联合正态，只需：

$$\boxed{\mathrm{Cov}(X+aY,X-Y)=0}$$

展开即可。

这比2020真题再提升一层，但核心方法完全相同。

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预测4：条件均匀的反向问题

给

$$Y\sim U(0,1),$$

且在

$$Y=y$$

条件下

$$X\sim U(y,1).$$

要求：

$$f_X(x),f_{Y|X}(y|x),P(X+Y<1).$$

本质仍然是：

$$f_{X,Y}=f_Y{f}_{X|Y}.$$

只不过把2004真题 X、Y角色对调。

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三十九、模块3最值得建立的“统一算法”

如果以后遇到一道陌生二维随机变量大题，可以按这个顺序检查：

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{第1步：确定随机变量类型}\\ & \text{第2步：确定联合支撑范围}\\ & \text{第3步：写联合分布/联合密度}\\ & \text{第4步：积分或求和得到边缘}\\ & \text{第5步：联合÷边缘得到条件}\\ & \text{第6步：联合与边缘乘积比较判断独立}\\ & \text{第7步：目标概率转化成二维区域}\\ & \text{第8步：优先检查对称性、独立性、均匀性是否能简化}\end{array}}$$

只要这套流程熟练，本章大多数题都不需要“猜解法”。

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四十、最后把模块3压缩成真正需要背下来的公式

联合—边缘：

$$\boxed{f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy}$$ $$\boxed{f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx}$$

联合—条件：

$$\boxed{f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}}$$

反过来：

$$\boxed{f(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)}$$

独立：

$$\boxed{f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)}$$

二维CDF：

$$\boxed{F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dvdu}$$

边缘CDF：

$$\boxed{F_X(x)=F(x,+\infty )}$$ $$\boxed{F_Y(y)=F(+\infty ,y)}$$

最大值：

$$\boxed{F_{\max (X,Y)}(z)=F_X(z)F_Y(z)}$$

独立时最小值：

$$\boxed{F_{\min (X,Y)}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]}$$

二维正态：

$$\boxed{\rho =0⟺\mathrm{Cov}(X,Y)=0⟺X,Y\text{独立}}$$

指数竞争：

$$\boxed{P\{X<Y\}=\frac{{\lambda }_X}{{\lambda }_X+{\lambda }_Y}}$$

独立指数最小值：

$$\boxed{\min (X_1,\dots ,X_n)\sim E\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\right)}$$

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最终结论

模块3表面上叫“多维随机变量及其分布”，真正的考研核心其实只有三个能力：

$$\boxed{\text{第一：看懂二维支撑区域}}$$ $$\boxed{\text{第二：熟练完成联合、边缘、条件三者转换}}$$ $$\boxed{\text{第三：正确使用独立性，尤其是二维正态的特殊性质}}$$

其中值得注意的是最需要投入训练量的是：

$$\boxed{\text{边缘/条件密度}>\text{独立性}>\text{二维区域积分}>\text{联合分布构造}>\text{二维正态}}$$

而2004、2011、1999、2020两道、2024这6道真题，基本可以作为这一模块的六道“母题”。把它们的方法而不是答案吃透，再用李正元的平行四边形/菱形题、张宇的三角形/指数寿命/混合变量题做变式训练，模块3的大多数考法就已经被覆盖了。网站本身也明确建议采用“真题确定重点 → 练习题补充题型 → 回到真题检验”的路线，这一模块尤其适合这样学。(Any Docs)