概率论与数理统计模块 5：随机变量的数字特征

本文依据本站目前的资料体系，把概率论与数理统计·模块5：随机变量的数字特征重新整理成一套“学会一题→掌握整类题”的复习框架。

本文重点参考了站内：

数学真题：模块5的 5.1～5.4；
李正元练习题：第四章“随机变量的数字特征”；
张宇1000题：第4章“随机变量的数字特征”。

站内导航本身也明确建议按“真题 → 高质量练习 → 变式”的顺序研究题型。(Any Docs)

一、模块5到底在考什么？

这个模块表面上只有几个公式：

E (X), D (X), Cov (X, Y), ρ_{X Y},

但真题实际上可以分成下面 10 类核心问题：

题型	重要程度	核心能力
1. 由分布直接求期望、方差	★★★★★	基本功
2. 求随机变量函数的期望	★★★★★	不先求函数分布
3. 常见分布数字特征反推参数	★★★★☆	识别模型
4. 线性组合的期望、方差	★★★★★	协方差展开
5. 协方差、相关系数	★★★★★	模块核心
6. 示性变量与计数变量	★★★★★	高效建模
7. 条件期望求数字特征	★★★★★	近年重点
8. 独立、不相关、完全相关	★★★★★	概念陷阱
9. 对称性、恒等式等巧算	★★★★☆	避免暴力积分
10. 数字特征应用/最优化	★★★☆☆	建模+期望

从本站真题体量也能看出来：5.1“基本概念”和5.2“常用公式”明显占主体，而协方差、相关系数又大量穿插其中。近几年还明显偏向条件结构和线性组合，例如 2023、2024、2025 的相关题。(Any Docs)

二、必须达到“秒写”的基础公式

这部分不要停留在“认识”，而要做到看到题直接调用。

1. 数学期望

离散型：

E (X) = k \sum x_{k} p_{k} .

连续型：

E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x .

随机变量函数：

E [g (X)] = k \sum g (x_{k}) p_{k}

或

E [g (X)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x) f (x) d x .

二维情形：

E [g (X, Y)] = \iint g (x, y) f (x, y) d x d y .

最重要的性质：

E (a X + bY + c) = a E (X) + b E (Y) + c .

不需要独立。

2. 方差

基本公式：

D (X) = E [(X - E (X))^{2}] .

计算时绝大多数使用：

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

线性变换：

D (a X + b) = a^{2} D (X) .

注意：

D (X + b) = D (X),

而不是加上 $b$ 。

3. 协方差

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)

性质：

Cov (a X + b, c Y + d) = a c Cov (X, Y) .

特别重要：

Cov (X, X) = D (X) .

以及

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 Cov (X, Y),

D (X - Y) = D (X) + D (Y) - 2 Cov (X, Y) .

更一般地，

D (a X + bY) = a^{2} D (X) + b^{2} D (Y) + 2 ab Cov (X, Y) .

4. 相关系数

ρ_{X Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )}

前提：

D (X) > 0, D (Y) > 0.

并且

- 1 \leq ρ_{X Y} \leq 1.

三、题型1：给分布，直接求 $E (X), D (X)$

考频：极高

这是基础题，但后面的所有协方差、参数估计、统计量问题都建立在这里。

真题1：2017 数三第3题

题目大意：

P (X = - 2) = \frac{1}{2}, P (X = 1) = a, P (X = 3) = b,

已知

E (X) = 0,

求 $D (X)$ 。(Any Docs)

第一步：概率归一化

a + b = \frac{1}{2} .

第二步：利用期望条件

- 2 \cdot \frac{1}{2} + a + 3 b = 0.

即

a + 3 b = 1.

因此

a = b = \frac{1}{4} .

第三步：不要直接按定义算方差

先算二阶原点矩：

E (X^{2}) = 4 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{4} + 9 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{2} .

又因为

E (X) = 0,

所以

D (X) = \frac{9}{2}

这类题的统一流程

只要看到：

给分布律 + 某个矩条件 + 求方差

立刻按照：

归一化 \to E (X) \to E (X^{2}) \to D (X)

不要一上来就展开

\sum (x_{i} - μ)^{2} p_{i},

通常更慢。

四、题型2：随机变量函数的期望——不要先求函数分布

考频：极高

这是数字特征最重要的思想之一。

若求

E [g (X)],

通常直接使用

E [g (X)] = \int g (x) f_{X} (x) d x

即可。

真题2：1992

若

X \sim Exp (1),

求

E (X + e^{- 2 X}) .

网站收录答案为

\frac{4}{3} .

(Any Docs)

直接拆：

E (X + e^{- 2 X}) = E (X) + E (e^{- 2 X}) .

由于

E (X) = 1,

并且

E (e^{- 2 X}) = \int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} e^{- x} d x = \frac{1}{3} .

故

E (X + e^{- 2 X}) = \frac{4}{3}

核心思想

完全没必要求

Y = X + e^{- 2 X}

的概率密度。

这条原则非常重要：

求 $E [g (X)]$ ，第一反应是“LOTUS公式直接积分”，不是求 $g (X)$ 的分布。

五、题型3：绝对值、最大最小值——数字特征中的高价值变式

近年很喜欢把简单分布包进一个“不太好看的函数”。

真题3：2023 数三第13题

X \sim P (1),

求

E ∣ X - E (X) ∣.

因为

E (X) = 1,

所以求

E ∣ X - 1∣.

网站真题给出：

E ∣ X - 1∣ = \frac{2}{e}

(Any Docs)

一种漂亮做法是：

E ∣ X - 1∣ = P (X = 0) + k = 2 \sum \infty (k - 1) P (X = k) .

而

P (X = k) = \frac{e ^{- 1}}{k !} .

所以

E ∣ X - 1∣ = \frac{1}{e} + \frac{1}{e} k = 2 \sum \infty \frac{k - 1}{k !} .

利用

\frac{k - 1}{k !} = \frac{1}{( k - 1 )!} - \frac{1}{k !},

级数望远镜：

k = 2 \sum \infty (\frac{1}{( k - 1 )!} - \frac{1}{k !}) = 1.

于是

E ∣ X - 1∣ = \frac{2}{e}

一个非常强的绝对值技巧

若

E (Z) = 0,

则

E (Z^{+}) = E (Z^{-}),

于是

E ∣ Z ∣ = 2 E (Z^{+}) = 2 E (Z^{-}) .

这个技巧对离散型尤其好用。

六、最大值、最小值的两个必背恒等式

李正元练习中有一道很值得掌握：

若 $X, Y$ 独立且

X, Y \sim N (μ, σ^{2}),

求

E [min (X, Y)] .

利用

min (X, Y) = \frac{X + Y - ∣ X - Y ∣}{2}

以及

max (X, Y) = \frac{X + Y + ∣ X - Y ∣}{2}

因为

X - Y \sim N (0, 2 σ^{2}),

所以

E ∣ X - Y ∣ = 2 σ E ∣ Z ∣

其中

Z \sim N (0, 1), E ∣ Z ∣ = \frac{2}{π} .

因此

E ∣ X - Y ∣ = \frac{2 σ}{π} .

最终

E [min (X, Y)] = μ - \frac{σ}{π}

(Any Docs)

同理：

E [max (X, Y)] = μ + \frac{σ}{π}

这是非常值得作为预测题模板掌握的。

七、题型4：常见分布数字特征反推参数

考频：高

常见分布必须背到条件反射。

伯努利分布

X \sim B (1, p)

则

E (X) = p, D (X) = p (1 - p) .

二项分布

X \sim B (n, p)

则

E (X) = n p,

D (X) = n p (1 - p) .

真题4：1990

已知

X \sim B (n, p),

且

E (X) = 2.4, D (X) = 1.44.

(Any Docs)

于是

n p = 2.4,

n p (1 - p) = 1.44.

两式相除：

1 - p = \frac{1.44}{2.4} = 0.6.

因此

p = 0.4,

再得

n = 6.

所以

n = 6, p = 0.4

八、泊松、指数、均匀、正态：必须形成公式库

泊松分布

X \sim P (λ)

则

E (X) = D (X) = λ,

因此

E (X^{2}) = λ + λ^{2} .

指数分布

采用率参数 $λ$ ：

X \sim Exp (λ)

则

E (X) = \frac{1}{λ},

D (X) = \frac{1}{λ ^{2}} .

均匀分布

X \sim U (a, b)

则

E (X) = \frac{a + b}{2},

D (X) = \frac{( b - a ) ^{2}}{12} .

正态分布

X \sim N (μ, σ^{2})

则

E (X) = μ, D (X) = σ^{2} .

九、题型5：二阶矩、阶乘矩的变形

比如 1999 真题：

X \sim P (λ),

且

E [(X - 1) (X - 2)] = 1.

(Any Docs)

展开：

E (X^{2}) - 3 E (X) + 2 = 1.

泊松：

E (X) = λ,

E (X^{2}) = λ^{2} + λ .

于是

λ^{2} + λ - 3 λ + 2 = 1,

即

(λ - 1)^{2} = 0.

所以

λ = 1

更高级的方法：泊松阶乘矩

其实：

E [X (X - 1)] = λ^{2} .

更一般地：

E [X (X - 1) \dots (X - r + 1)] = λ^{r} .

这在强化题中可以极大简化计算。

十、题型6：线性组合的方差——模块5第一核心

考频：极高

最核心公式：

D (a X + bY) = a^{2} D (X) + b^{2} D (Y) + 2 ab Cov (X, Y)

如果 $X, Y$ 独立，则

Cov (X, Y) = 0.

才可以化成

D (a X + bY) = a^{2} D (X) + b^{2} D (Y) .

真题5：1989

独立随机变量：

X_{1} \sim U [0, 6],

X_{2} \sim N (0, 2^{2}),

X_{3} \sim P (3) .

定义

Y = X_{1} - 2 X_{2} + 3 X_{3} .

(Any Docs)

分别：

D (X_{1}) = \frac{6 ^{2}}{12} = 3,

D (X_{2}) = 4,

D (X_{3}) = 3.

所以

D (Y) = D (X_{1}) + 4 D (X_{2}) + 9 D (X_{3}),

即

D (Y) = 3 + 16 + 27 = 46 .

十一、千万别忘了协方差项

这是最常见失分点。

如果题目只给出

D (X), D (Y)

但没说独立、不相关，那么

D (X + Y)

一般不能直接写成

D (X) + D (Y) .

正确的是：

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 Cov (X, Y) .

十二、题型7：线性组合之间的协方差

这是近年极重要题型。

设

U = a X + bY, V = c X + d Y .

直接展开：

Cov (U, V) = a cD (X) + b d D (Y) + (a d + b c) Cov (X, Y)

这条公式虽然可以背，但建议会推。

真题6：2023

X \sim B (1, p), Y \sim B (2, p),

且 $X, Y$ 独立。

求

X + Y

与

X - Y

的相关系数。(Any Docs)

设

U = X + Y, V = X - Y .

由于独立，

Cov (X, Y) = 0.

并且

D (X) = p (1 - p),

D (Y) = 2 p (1 - p) .

于是

Cov (U, V) = D (X) - D (Y) = - p (1 - p) .

同时

D (U) = D (X) + D (Y) = 3 p (1 - p),

D (V) = 3 p (1 - p) .

所以

ρ_{U V} = \frac{- p ( 1 - p )}{3 p ( 1 - p )} = - \frac{1}{3} .

这道题最漂亮之处

$p$ 最终消掉了。

命题人真正考的不是二项分布，而是：

Cov (X + Y, X - Y) = D (X) - D (Y) .

十三、这条恒等式必须背下来

Cov (X + Y, X - Y) = D (X) - D (Y)

注意：

根本不要求 $X, Y$ 独立。

因为交叉协方差自动抵消：

- Cov (X, Y) + Cov (Y, X) = 0.

因此

X + Y, X - Y

不相关的充分必要条件就是

D (X) = D (Y)

网站 2000 年真题就直接考过这一点。(Any Docs)

十四、题型8：由“不相关”反求协方差

这是 2025 真题 非常值得重视的考法。

真题7：2025 数三第3题

已知

X \sim N (- 1, 1), Y \sim N (1, 2),

且 $X$ 与

X + 2 Y

不相关，求 $X$ 与 $X - Y$ 的相关系数。(Any Docs)

“不相关”意味着：

Cov (X, X + 2 Y) = 0.

所以

D (X) + 2 Cov (X, Y) = 0.

由

D (X) = 1

得

Cov (X, Y) = - \frac{1}{2} .

再求：

Cov (X, X - Y) = D (X) - Cov (X, Y) = \frac{3}{2} .

以及

D (X - Y) = 1 + 2 - 2 (- \frac{1}{2}) = 4.

故

ρ_{X, X - Y} = \frac{3/2}{1 \cdot 4} = \frac{3}{4} .

十五、这代表一个非常值得预测的命题方向

以后完全可能改成：

给出

Cov (a X + bY, c X + d Y) = 0

或

D (a X + bY) = D (c X + d Y),

要求求：

ρ_{X Y},

或者另一个线性组合的相关系数。

统一方法就一句：

把所有信息都翻译成 $D (X), D (Y), Cov (X, Y)$ 。

十六、题型9：二维分布表求协方差、相关系数

考频：极高

这是最机械、也最容易因为算错表格失分的题。

统一步骤：

第一步：求边缘分布

p_{X} (x_{i}) = j \sum p_{ij},

p_{Y} (y_{j}) = i \sum p_{ij} .

第二步

求：

E (X), E (Y) .

第三步

求：

E (X^{2}), E (Y^{2}) .

得到：

D (X), D (Y) .

第四步

关键：

E (X Y) = i \sum j \sum x_{i} y_{j} p_{ij} .

第五步

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) .

第六步

ρ_{X Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )} .

真题8：2002

网站收录的一道二维分布表题最终得到：

E (X Y) = 0.72,

E (X) = 0.6,

E (Y) = 1.2.

于是

Cov (X, Y) = 0.72 - 0.6 \times 1.2 = 0.

所以

ρ_{X Y} = 0

(Any Docs)

但：

ρ = 0 \neq \Rightarrow X, Y 独立

这是模块5最经典陷阱。

十七、独立与不相关：必须彻底分清

有：

X, Y 独立

若二阶矩存在，则一定：

E (X Y) = E (X) E (Y),

从而

Cov (X, Y) = 0.

所以：

独立 ⟹ 不相关

但一般：

不相关 ⇏ 独立

李正元练习题也专门反复训练这一判断。(Any Docs)

十八、经典反例： $X$ 和 $∣ X ∣$

真题9：1993

设

f_{X} (x) = \frac{1}{2} e^{- ∣ x ∣} .

求 $X$ 与 $∣ X ∣$ 的关系。(Any Docs)

由对称性：

E (X) = 0.

而

x ∣ x ∣ f (x)

是奇函数，所以

E [X ∣ X ∣] = 0.

于是

Cov (X, ∣ X ∣) = 0.

即：

X, ∣ X ∣

不相关。

但是

∣ X ∣

完全由 $X$ 决定，所以显然不能认为二者独立。

因此：

不相关但不独立

这是必须记住的经典结构。

十九、什么时候“不相关”能推出独立？

考研唯一真正高频的重要特例：

如果

(X, Y)

服从二维正态分布，则：

X, Y 独立 ⟺ Cov (X, Y) = 0

也就是：

二维联合正态 + 不相关 \Rightarrow 独立

注意是：

联合二维正态。

仅仅知道

X \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2}),

Y \sim N (μ_{2}, σ_{2}^{2})

并不能自动说明 $(X, Y)$ 联合正态。网站真题也专门考过这一概念陷阱。(Any Docs)

二十、题型10： $∣ ρ ∣ = 1$ ——完全线性相关

这一条几乎属于送分题，但必须知道“为什么”。

如果

ρ_{X Y} = 1,

则存在 $a > 0, b$ ，使得几乎处处：

Y = a X + b .

若

ρ_{X Y} = - 1,

则斜率为负。

更精确地：

Y - E (Y) = ρ \frac{σ _{Y}}{σ _{X}} [X - E (X)] .

真题10：2008

X \sim N (0, 1),

Y \sim N (1, 4),

且

ρ_{X Y} = 1.

(Any Docs)

因为

σ_{X} = 1, σ_{Y} = 2,

所以

Y - 1 = 2 (X - 0) .

即

Y = 2 X + 1

几乎处处成立。

二十一、一个更简单的识别法

若题中存在确定关系：

Y = a X + b,

则：

a > 0 \Rightarrow ρ = 1,

a < 0 \Rightarrow ρ = - 1.

真题11：2001

抛硬币 $n$ 次，

$X$ ：正面次数；
$Y$ ：反面次数。

恒有：

X + Y = n .

所以

Y = n - X .

因此：

ρ_{X Y} = - 1

(Any Docs)

真题12：2012

一根长度为 1 的木棒随机截为两段，长度为 $X, Y$ 。

恒有

X + Y = 1.

因此

ρ = - 1

(Any Docs)

不要被“随机截断”三个字骗去算分布。

二十二、示性变量：模块5最强工具之一

如果事件 $A$ 的示性变量

I_{A} = {1, 0, A 发生, A 不发生,

那么：

E (I_{A}) = P (A)

以及

D (I_{A}) = P (A) [1 - P (A)] .

两个示性变量：

E (I_{A} I_{B}) = P (A \cap B) .

所以

Cov (I_{A}, I_{B}) = P (A \cap B) - P (A) P (B)

这几乎把“事件独立”和“随机变量不相关”直接连接起来。

二十三、真题13：2021盒子红球题

甲乙盒子各有：

2 红 + 2 白 .

从甲取一球放入乙，再从乙取一球。

令：

X = I {甲取红},

Y = I {乙取红} .

网站真题求得：

ρ_{X Y} = \frac{1}{5}

(Any Docs)

由于示性变量：

E (X) = P (X = 1) = \frac{1}{2} .

同样

E (Y) = \frac{1}{2} .

所以

D (X) = D (Y) = \frac{1}{4} .

关键只需计算：

E (X Y) = P (X = 1, Y = 1) .

若甲取红：

P (Y = 1 ∣ X = 1) = \frac{3}{5} .

所以

E (X Y) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10} .

因此

Cov (X, Y) = \frac{3}{10} - \frac{1}{4} = \frac{1}{20} .

最后：

ρ = \frac{1/20}{1/4} = \frac{1}{5} .

二十四、示性变量最大的用途不是“0-1题”，而是计数问题

如果：

X = 某件事情发生的次数,

往往写成：

X = I_{1} + I_{2} + \dots + I_{n} .

于是：

E (X) = \sum E (I_{i}) = \sum P (A_{i}) .

求期望根本不需要事件独立。

这一点非常重要。

二十五、高价值练习：错排问题

李正元有一道非常经典的题：

$n$ 封信随机装入 $n$ 个信封， $Y$ 为装对地址的信封数。

(Any Docs)

定义：

I_{i} = I {第 i 封放对} .

则

Y = i = 1 \sum n I_{i} .

因为

P (I_{i} = 1) = \frac{1}{n},

所以

E (Y) = n \cdot \frac{1}{n} = 1 .

注意：

根本不用求 $Y$ 的完整分布。

这就是示性变量的威力。

二十六、方差怎么办？

如果

Y = i = 1 \sum n I_{i},

则

D (Y) = i \sum D (I_{i}) + 2 i < j \sum Cov (I_{i}, I_{j}) .

这个公式是计数型问题的大杀器。

二十七、题型11：不放回抽样中的负相关

例如真题 2010：

箱中有：

1红；
2白；
3黑；

随机取2球。

$X$ 表示红球数， $Y$ 表示白球数。

最终：

Cov (X, Y) = - \frac{4}{45} .

(Any Docs)

负号非常符合直觉：

在固定抽取数量下，多取一种颜色，就压缩了另一种颜色出现的机会。

这种“竞争型计数”往往天然负相关。

二十八、多项分布的协方差可以直接背

若

(X_{1}, \dots, X_{k})

来自参数为 $n$ 的多项分布，类别概率为

p_{1}, \dots, p_{k},

则

E (X_{i}) = n p_{i},

D (X_{i}) = n p_{i} (1 - p_{i}),

而对于

i \neq = j,

有

Cov (X_{i}, X_{j}) = - n p_{i} p_{j}

真题14：2016

每次试验有 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 三种等可能结果，独立做2次。

$X$ ： $A_{1}$ 出现次数；

$Y$ ： $A_{2}$ 出现次数。

网站得到：

ρ_{X Y} = - \frac{1}{2}

(Any Docs)

因为：

p_{1} = p_{2} = \frac{1}{3}, n = 2.

所以

D (X) = D (Y) = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9} .

而

Cov (X, Y) = - 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = - \frac{2}{9} .

故

ρ = \frac{- 2/9}{4/9} = - \frac{1}{2} .

二十九、题型12：条件期望——近年来必须重点掌握

这可能是模块5目前最值得强化的能力之一。

核心公式：

E (Y) = E [E (Y ∣ X)]

以及

E (X Y) = E [X E (Y ∣ X)]

因为在给定 $X$ 后， $X$ 就是常数。

三十、真题15：2024 数一

已知：

f_{X} (x) = 2 (1 - x), 0 < x < 1,

且给定

X = x

时，

Y ∣ X = x \sim U (x, 1) .

求

Cov (X, Y) .

网站答案：

Cov (X, Y) = \frac{1}{36}

(Any Docs)

第一关键：先写条件期望

因为均匀分布：

E (Y ∣ X = x) = \frac{x + 1}{2} .

因此

E (Y ∣ X) = \frac{X + 1}{2} .

第二关键：先求 $X$ 的矩

E (X) = \int_{0}^{1} 2 x (1 - x) d x = \frac{1}{3} .

以及

E (X^{2}) = \int_{0}^{1} 2 x^{2} (1 - x) d x = \frac{1}{6} .

第三步

由全期望：

E (Y) = E (\frac{X + 1}{2}) = \frac{2}{3} .

而

E (X Y) = E [X E (Y ∣ X)]

所以

E (X Y) = E [X \frac{X + 1}{2}]

= \frac{1}{2} [E (X^{2}) + E (X)]

= \frac{1}{2} (\frac{1}{6} + \frac{1}{3}) = \frac{1}{4} .

最终：

Cov (X, Y) = \frac{1}{4} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{36} .

三十一、这种题以后统一这样做

如果题目给出：

给定 $X = x$ ， $Y$ 服从某分布。

看到这句话立即想：

E (Y ∣ X = x) .

特别是：

若

Y ∣ X = x \sim U (a (x), b (x)),

则

E (Y ∣ X = x) = \frac{a ( x ) + b ( x )}{2} .

以及

D (Y ∣ X = x) = \frac{[ b ( x ) - a ( x ) ] ^{2}}{12} .

这样通常比写联合密度后二重积分快很多。

三十二、张宇1000题的一个非常值得练的变式

X \sim U (0, 1),

且

Y ∣ X = x \sim U (0, x) .

要求 $Y$ 的密度和相关系数。

(Any Docs)

首先：

E (Y ∣ X = x) = \frac{x}{2} .

于是

E (Y) = E (\frac{X}{2}) = \frac{1}{4} .

又：

E (X Y) = E [X \frac{X}{2}] = \frac{1}{2} E (X^{2}) = \frac{1}{6} .

这种题跟 2024 真题已经非常接近，因此是非常高价值练习题。

三十三、条件方差公式也建议掌握

进一步还可能考：

D (Y) = E [D (Y ∣ X)] + D [E (Y ∣ X)]

这叫全方差公式。

如果未来把2024那类题改成求 $D (Y)$ ，这就是最自然的升级方式。

三十四、题型13：对称性秒杀数字特征

考频：中高，但性价比极高

如果 $X$ 关于0对称：

X = d - X,

则只要期望存在：

E (X) = 0.

若 $g (x)$ 为奇函数：

E [g (X)] = 0.

真题16：2020

X \sim U (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}),

Y = sin X .

求：

Cov (X, Y) .

(Any Docs)

由于 $X$ 对称：

E (X) = 0.

而 $sin x$ 为奇函数，所以：

E (sin X) = 0.

因此：

Cov (X, Y) = E (X sin X) .

注意：

x sin x

是偶函数。

所以：

E (X sin X) = \frac{1}{π} \int_{- π /2}^{π /2} x sin x d x

= \frac{2}{π} \int_{0}^{π /2} x sin x d x .

积分：

\int_{0}^{π /2} x sin x d x = 1.

于是

Cov (X, Y) = \frac{2}{π}

这道题核心不是积分，而是奇偶性减少工作量。

三十五、二维区域对称也非常重要

真题17：1991圆域均匀分布

$(X, Y)$ 在

x^{2} + y^{2} \leq r^{2}

内均匀分布。

(Any Docs)

区域分别关于两坐标轴对称：

E (X) = E (Y) = 0.

同时

x y

关于 $x$ 或 $y$ 是奇函数，因此：

E (X Y) = 0.

所以

Cov (X, Y) = 0

即 $X, Y$ 不相关。

但它们不独立。

为什么？

因为联合支持区域是圆：

x^{2} + y^{2} \leq r^{2},

不是边缘支持区间的直积矩形。

例如 $X$ 很接近 $r$ 时， $Y$ 必须很接近0。

因此：

不相关但不独立

又是一个经典反例。

三十六、题型14：混合分布的数字特征

这个近几年也很值得注意。

若分布函数写成：

F (x) = p F_{1} (x) + (1 - p) F_{2} (x),

本质是：

以概率 $p$ 从分布1抽；以概率 $1 - p$ 从分布2抽。

于是：

E (X) = p μ_{1} + (1 - p) μ_{2} .

真题18：2009

网站题目：

F (x) = 0.3Φ (x) + 0.7Φ (\frac{x - 1}{2}) .

(Any Docs)

两个成分分别是：

N (0, 1)

和

N (1, 4) .

所以：

E (X) = 0.3 \times 0 + 0.7 \times 1 = 0.7 .

根本不需要求密度再积分。

三十七、混合分布方差是一个很好的预测题

注意方差不能简单加权：

D (X) \neq = p σ_{1}^{2} + (1 - p) σ_{2}^{2} .

正确做法：

E (X^{2}) = p (σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2}) + (1 - p) (σ_{2}^{2} + μ_{2}^{2}),

再：

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} .

进一步可写成：

D (X) = p σ_{1}^{2} + (1 - p) σ_{2}^{2} + p (1 - p) (μ_{1} - μ_{2})^{2}

这很适合作为以后选择题。

三十八、题型15：正态变量线性组合

若

(X, Y)

联合正态，则任意线性组合：

a X + bY

仍服从正态分布。

特别地如果独立：

X \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2}),

Y \sim N (μ_{2}, σ_{2}^{2}),

则

a X + bY \sim N (a μ_{1} + b μ_{2}, a^{2} σ_{1}^{2} + b^{2} σ_{2}^{2}) .

真题19：2019

X, Y

独立同分布：

N (μ, σ^{2}) .

求：

P (∣ X - Y ∣ < 1)

依赖哪些参数。(Any Docs)

因为：

X - Y \sim N (0, 2 σ^{2}) .

均值中的 $μ$ 自动消掉。

所以概率：

P (∣ X - Y ∣ < 1) = 2Φ (\frac{1}{2 σ}) - 1.

因此：

与 μ 无关，与 σ^{2} 有关

三十九、 $E ∣ N (0, σ^{2}) ∣$ 是高频隐藏公式

如果

Z \sim N (0, σ^{2}),

则

E ∣ Z ∣ = σ \frac{2}{π}

这个公式在：

1996真题；
2023真题；
最大最小值题；
参数估计；

中都非常有用。(Any Docs)

四十、真题20：2023 样本绝对差

若

X_{1}, X_{2}

来自

N (μ, σ^{2})

的简单随机样本。

令

\overset{σ}{^} = a ∣ X_{1} - X_{2} ∣,

要求

E (\overset{σ}{^}) = σ .

(Any Docs)

因为：

X_{1} - X_{2} \sim N (0, 2 σ^{2}) .

所以：

E ∣ X_{1} - X_{2} ∣ = 2 σ \frac{2}{π} = \frac{2 σ}{π} .

因此：

a \frac{2 σ}{π} = σ .

于是：

a = \frac{π}{2}

这已经说明模块5会和后面的参数估计发生交叉。

四十一、题型16：样本均值与单个样本的协方差

这是模块5和模块7交叉的高价值题。

若：

X_{1}, \dots, X_{n}

独立同分布，且

D (X_{i}) = σ^{2},

样本均值：

\overset{ˉ}{X} = \frac{1}{n} j = 1 \sum n X_{j} .

则：

D (\overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{n} .

而：

Cov (X_{i}, \overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{n} .

真题21：2005

令：

Y_{i} = X_{i} - \overset{ˉ}{X} .

网站真题要求求：

D (Y_{i})

以及

Cov (Y_{1}, Y_{n}) .

(Any Docs)

有：

D (Y_{i}) = D (X_{i} - \overset{ˉ}{X})

= σ^{2} + \frac{σ ^{2}}{n} - 2 \frac{σ ^{2}}{n} .

所以：

D (Y_{i}) = \frac{n - 1}{n} σ^{2}

标准正态总体时：

D (Y_{i}) = \frac{n - 1}{n}

而 $i \neq = j$ 时：

Cov (Y_{i}, Y_{j}) = - \frac{σ ^{2}}{n} .

四十二、这题真正应该记住的不是结果，而是结构

只要出现：

X_{i} - \overset{ˉ}{X},

立即联想到：

Cov (X_{i}, \overset{ˉ}{X}) = \frac{σ ^{2}}{n} .

比每次重新展开快很多。

四十三、题型17：分布模型 + 数字特征

这类题不是直接给随机变量分布，而是先要求识别模型。

真题22：2000 流水线首次不合格品

每件产品不合格概率为 $p$ ，相互独立。

第一次出现不合格时停机。

$X$ ：停机时已生产产品数。

因此：

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p .

所以：

X

服从几何分布。

网站答案：

E (X) = \frac{1}{p}

D (X) = \frac{1 - p}{p ^{2}}

(Any Docs)

四十四、看到“第一次成功”立刻识别几何分布

题干关键词：

第一次出现……

直到第一次……

首次……

基本模型：

P (X = k) = (1 - p)^{k - 1} p .

四十五、真题23：2015“直到第2次成功”

随机重复观测 $X$ ，直到第2个大于3的观测值出现。

令观测次数为 $Y$ 。

网站计算单次：

p = P (X > 3) = \frac{1}{8} .

于是：

P (Y = k) = (k - 1) p^{2} (1 - p)^{k - 2},

即负二项分布。

因此：

E (Y) = \frac{2}{p} = 16.

(Any Docs)

统一识别

“直到第 $r$ 次成功为止，总试验次数”：

Y \sim N B (r, p),

并有：

E (Y) = \frac{r}{p}

D (Y) = \frac{r ( 1 - p )}{p ^{2}}

这值得直接掌握。

四十六、超几何分布也常和期望结合

真题24：2003

甲箱：

3合格；
3次品。

随机取3件放入乙箱。

$X$ ：放入乙箱的次品数。

这是超几何分布：

X \sim H (N = 6, M = 3, n = 3) .

所以不用写完整分布：

E (X) = n \frac{M}{N} .

于是：

E (X) = 3 \cdot \frac{3}{6} = \frac{3}{2}

(Any Docs)

四十七、超几何期望必背

若：

总体 $N$ 个；
其中 $M$ 个“成功”；
不放回抽 $n$ 个；

则

E (X) = n \frac{M}{N}

即使忘了，也可以用示性变量秒推出来。

四十八、题型18：协方差巧算——不要每次都回到二重积分

例如：

U = max (X, Y), V = min (X, Y) .

恒等式：

U V = X Y

因为两个数最大值与最小值的乘积就是原乘积。

网站 2007 真题就利用这一点求

Cov (U, V) .

(Any Docs)

因此：

E (U V) = E (X Y) .

若 $X, Y$ 独立：

E (U V) = E (X) E (Y) .

这通常比直接求 $U, V$ 联合分布再计算方便。

四十九、建议额外记住最大最小值恒等式全集

max (X, Y) + min (X, Y) = X + Y,

max (X, Y) min (X, Y) = X Y,

max (X, Y) - min (X, Y) = ∣ X - Y ∣.

因此：

max (X, Y) = \frac{X + Y + ∣ X - Y ∣}{2},

min (X, Y) = \frac{X + Y - ∣ X - Y ∣}{2} .

这是一组非常强的命题工具。

五十、题型19：应用问题——先写“收益随机变量”

应用题难点一般不是积分，而是：

到底把什么定义成随机变量？

真题25：1996机器利润问题

一天故障概率：

0.2.

一周5天，故障次数：

X \sim B (5, 0.2) .

利润 $Y$ 根据 $X$ 分段：

Y = ⎩ ⎨ ⎧ 10, 5, 0, - 2, X = 0, X = 1, X = 2, X \geq 3.

网站最终得到：

E (Y) = 5.20896 万元

(Any Docs)

这类题统一流程：

先找基础计数变量 X

然后：

把利润写成 Y = g (X)

最后：

E (Y) .

五十一、题型20：期望最优化

这是应用题中难度最高的一类。

真题26：1994 正态生产利润最大化

零件内径：

X \sim N (μ, 1) .

不同区间对应不同利润：

T = ⎩ ⎨ ⎧ - 1, 20, - 5, X < 10, 10 \leq X \leq 12, X > 12.

要求选择 $μ$ ，使：

E (T)

最大。(Any Docs)

首先：

E (T) = - 1 P (X < 10) + 20 P (10 \leq X \leq 12) - 5 P (X > 12) .

化成标准正态：

g (μ) = 25Φ (12 - μ) - 21Φ (10 - μ) - 5.

求导：

g^{'} (μ) = 21 φ (10 - μ) - 25 φ (12 - μ) .

令：

g^{'} (μ) = 0.

最终：

μ = 11 - \frac{1}{2} ln \frac{25}{21}

五十二、应用最优化母题

以后凡是出现：

进货量；
合同期限；
库存；
机器寿命；
产品规格；
利润；
成本；

一般可以转成：

θ max E [Π (X, θ)]

其中：

$X$ ：随机因素；
$θ$ ：决策变量；
$Π$ ：利润函数。

然后：

分区写利润；
求期望；
对决策变量求极值；
若要求整数，再比较邻近整数。

五十三、真题27：1998商品进货量

需求量：

X \sim U [10, 30],

进货量为整数 $q$ 。

根据：

X \leq q

和

X > q

分两段写利润。

网站最终得到：

E (Y) = 5250 + 350 q - \frac{15}{2} q^{2} .

要求

E (Y) \geq 9280.

最终最小进货量：

q = 21

(Any Docs)

这道题特别值得掌握“随机需求 + 固定决策变量 + 分段利润”模板。

五十四、张宇1000题的现代变式非常值得练

网站有一道：

车辆寿命

X \sim Exp (\frac{1}{1000}),

合同期限 $m$ ，求使期望利润最大的 $m$ 。

关键出现：

E [min (X, m)] .

利用尾积分公式：

E [min (X, m)] = \int_{0}^{m} P (X > t) d t .

由于：

P (X > t) = e^{- t /1000},

得到：

E [min (X, m)] = 1000 (1 - e^{- m /1000}) .

最终优化得到约：

m = 560

(Any Docs)

这道练习非常有考研价值，因为它把：

指数分布；
尾概率；
期望；
最优化；

四者结合起来。

五十五、尾积分公式值得掌握

对非负随机变量 $X$ ：

E (X) = \int_{0}^{\infty} P (X > t) d t

进一步：

E [min (X, a)] = \int_{0}^{a} P (X > t) d t

这在：

寿命；
等待时间；
截断损失；
保险赔付；

问题中非常好用。

五十六、期望存在性也是会考的

李正元有一道很值得做：

X \sim U (0, 1),

分别研究：

e^{X}, - 2 ln X, \frac{1}{X}, X^{2} .

其中：

E (\frac{1}{X}) = \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x = + \infty.

所以：

E (\frac{1}{X}) 不存在有限值

(Any Docs)

这是非常容易被忽略的知识点：

随机变量存在，不代表期望一定存在。

更不代表方差存在。

五十七、一个逻辑关系必须牢记

如果

E (X^{2}) < \infty,

则由柯西不等式：

E ∣ X ∣ < \infty.

所以：

二阶矩存在 \Rightarrow 一阶绝对矩存在

反之不成立。

五十八、模块5最容易错的10个地方

1. 把 $E (X^{2})$ 当成 $[E (X)]^{2}$

永远记：

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} .

2. 方差忘平方

D (a X + b) = a^{2} D (X) .

不是：

a D (X) .

3. 没说独立就把协方差删掉

错误：

D (X + Y) = D (X) + D (Y) .

正确：

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 Cov (X, Y) .

4. 独立和不相关混淆

独立 \Rightarrow 不相关,

一般不能反推。

5. “都是正态”误以为“不相关必独立”

需要：

(X, Y)

联合二维正态。

6. 求 $E [g (X)]$ 先去求 $g (X)$ 的分布

通常多此一举。

直接：

E [g (X)] = \int g (x) f_{X} (x) d x .

7. 0-1变量还按普通随机变量暴力算

若 $I_{A}$ ：

E (I_{A}) = P (A) .

8. 看到条件分布仍写二重积分

如果：

Y ∣ X = x

很简单，优先：

E (Y ∣ X) .

9. 相关系数平移后改变

实际上：

ρ_{X + a, Y + b} = ρ_{X Y} .

网站 2003 真题就直接考过。(Any Docs)

10. $∣ ρ ∣ = 1$ 还去积分

直接线性关系。

五十九、建议直接背下来的“8个超级结论”

结论1

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} .

结论2

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) .

结论3

D (a X + bY) = a^{2} D (X) + b^{2} D (Y) + 2 ab Cov (X, Y) .

结论4

Cov (X + Y, X - Y) = D (X) - D (Y) .

结论5

E (I_{A}) = P (A) .

结论6

E (Y) = E [E (Y ∣ X)] .

结论7

E (X Y) = E [X E (Y ∣ X)] .

结论8

二维正态下：

Cov (X, Y) = 0 ⟺ X, Y 独立 .

六十、再一个非常实用的“协方差矩阵法”

如果以后题目出现很多线性组合，可以把：

X = (X Y)

协方差矩阵写成：

Σ = (D (X) Cov (X, Y) Cov (X, Y) D (Y)) .

若

U = a X + bY,

向量记为

a = (a b),

则：

D (U) = a^{T} Σ a

若

V = c X + d Y,

则：

Cov (U, V) = a^{T} Σ b

这对 2025 那种线性组合题非常好用。

六十一、值得注意的是最值得重点做的真题清单

如果时间有限，模块5优先把下面这些做到“看到题立即知道路线”。

第一梯队：必须彻底掌握

2017-3-4分：分布律 + 期望条件 → 方差。(Any Docs)
2023-3-5分： $X + Y$ 、 $X - Y$ 的相关系数。(Any Docs)
2024-1-5分：条件均匀分布 → 条件期望 → 协方差。(Any Docs)
2025-3-5分：利用“不相关”反求协方差，再求新相关系数。(Any Docs)
2021-13-5分：示性变量红球模型。(Any Docs)
1993-1-6分：不相关但不独立经典反例。(Any Docs)
2008-134-4分： $ρ = 1$ 推线性关系。(Any Docs)
2016-1-4分：多项分布计数变量相关系数。(Any Docs)
2005大题： $X_{i} - \overset{ˉ}{X}$ 的方差与协方差。(Any Docs)
2023-13-5分：泊松分布绝对偏差。(Any Docs)

第二梯队：综合提升

2015-13-11分：负二项模型。(Any Docs)
2010-3-11分：不放回抽球 → 协方差。(Any Docs)
2020-1-4分：对称性 + $X sin X$ 。(Any Docs)
2019-13-11分：构造 $Z = X Y$ ，讨论不相关与独立。(Any Docs)
1994应用题：期望利润最大化。(Any Docs)

六十二、练习题中值得注意的是特别有价值的几道

不是因为它们“难”，而是因为能补齐真题方法。

李正元：错排的数字特征

训练：

Y = \sum I_{i}

以及示性变量协方差。(Any Docs)

李正元：二维联合密度求

E (X), E (Y), D (X), D (Y), Cov (X, Y), D (5 X - 3 Y) .

这是一道非常完整的数字特征基本功训练。(Any Docs)

李正元：正态最大最小值

训练：

min (X, Y) = \frac{X + Y - ∣ X - Y ∣}{2} .

(Any Docs)

张宇1000题：条件均匀分布

Y ∣ X = x \sim U (0, x)

求相关系数，与2024真题高度同源。(Any Docs)

张宇1000题：指数寿命 + 最优合同期

训练：

E [min (X, m)]

和期望最优化。(Any Docs)

张宇1000题：

D (X + Y) = D (X - Y)

推出：

Cov (X, Y) = 0.

非常适合强化公式结构。(Any Docs)

六十三、基于近年真题，值得注意的是值得预测的4种新考法

这部分是根据站内题型演化做的拓展，不是现成真题。

预测1：条件期望 + 条件方差

例如：

X \sim U (0, 1),

且

Y ∣ X = x \sim N (x, x) .

求：

E (Y), D (Y), Cov (X, Y) .

方法：

E (Y ∣ X) = X,

所以：

E (Y) = E (X) .

又：

D (Y) = E [D (Y ∣ X)] + D [E (Y ∣ X)] .

即：

D (Y) = E (X) + D (X) .

而：

E (X Y) = E [X E (Y ∣ X)] = E (X^{2}) .

所以：

Cov (X, Y) = D (X) .

这就是2024题的自然升级。

六十四、预测2：混合分布方差

设：

F (x) = p Φ (x) + (1 - p) Φ (\frac{x - μ}{σ}) .

求 $D (X)$ 。

不要求密度，直接：

E (X) = p \cdot 0 + (1 - p) μ,

E (X^{2}) = p \cdot 1 + (1 - p) (σ^{2} + μ^{2}) .

然后：

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} .

六十五、预测3：三个线性组合相关系数

给：

D (X) = a, D (Y) = b,

并告诉：

X + Y

与

2 X - Y

不相关。

让求：

ρ_{X Y} .

只需：

0 = Cov (X + Y, 2 X - Y) .

展开：

0 = 2 D (X) - D (Y) + Cov (X, Y) .

因此直接反推出协方差。

这是2025真题思路的自然推广。

六十六、预测4：示性变量 + 随机总数

例如随机做 $N$ 次试验， $N$ 本身也是随机变量。

每次成功概率 $p$ ，令成功总数为 $X$ 。

那么条件于 $N$ ：

X ∣ N \sim B (N, p) .

于是：

E (X ∣ N) = N p .

所以：

E (X) = pE (N) .

进一步：

D (X) = E [N p (1 - p)] + D (N p),

即：

D (X) = p (1 - p) E (N) + p^{2} D (N)

这种题非常适合把：

二项分布；
全期望；
全方差；

一次结合。

六十七、模块5最终应该形成的“做题决策树”

以后拿到题，按下面判断。

第一步：题目只是求 $E [g (X)]$ ？

直接：

E [g (X)]

不要先求 $g (X)$ 的分布。

第二步：出现标准分布？

先调用：

E (X), D (X)

的标准公式。

第三步：出现

a X + bY ?

立刻考虑：

D (a X + bY)

和协方差展开。

第四步：出现相关系数？

先算：

Cov

再算方差。

不要直接套相关系数硬算。

第五步：出现“不相关”？

立刻翻译：

Cov (X, Y) = 0.

第六步：出现“独立”？

可以使用：

E (X Y) = E (X) E (Y),

以及

Cov (X, Y) = 0.

第七步：出现0-1变量或“次数”？

先尝试示性变量。

第八步：出现

给定 $X = x$ ， $Y$ ……

第一反应：

E (Y ∣ X) .

第九步：出现对称区域/对称密度？

先看奇偶性，再决定是否积分。

第十步：出现利润、成本、库存、寿命？

先定义：

Y = 利润函数,

再求：

E (Y) .

六十八、模块5最核心的本质

如果只用一句话总结这一章：

数字特征题的本质不是“积分”，而是把目标量改写成少数几个基本对象：
$E (X), E (X^{2}), E (X Y), D (X), Cov (X, Y) .$

很多看起来完全不同的题：

红球；
机器；
正态变量；
样本均值；
利润；
最大最小值；
条件均匀分布；
泊松绝对值；

最后都只是这些量的不同组合。

真正应该练出的反应是：

复杂随机变量 ⟶ 代数拆解 ⟶ 基本矩

六十九、复习优先级

如果当前准备强化模块5，建议按这个顺序：

第一层：必须无死角

E (X), D (X), E (X^{2}),

Cov (X, Y), ρ_{X Y} .

第二层：真正决定分数

D (a X + bY),

示性变量，

E (Y ∣ X),

E (X Y) = E [X E (Y ∣ X)] .

第三层：区分度

不相关 vs 独立；
联合正态；
$ρ = \pm 1$ ；
对称性；
最大最小值恒等式；
混合分布；
全方差公式。

第四层：综合大题能力

几何/负二项/超几何建模；
利润期望；
最优化；
与样本统计量结合。

如果以上四层真正学透，模块5绝大多数真题都不会再是“新题”，只是这些母题换皮或组合。