第 1 章随机事件与概率

掌握随机事件、条件概率、全概率、贝叶斯公式、独立性及常见概率模型。

本章从样本空间与随机事件出发，建立概率计算的基本语言，重点掌握条件概率、全概率、贝叶斯公式、独立性与伯努利试验。

本章讲义把第1章的主线概括得很好：

随机试验与样本空间 → 事件关系与运算 → 概率与条件概率 → 加法、乘法、全概率与贝叶斯公式 → 事件独立性 → 伯努利重复试验

本章真正要解决三个问题：怎样描述事件、怎样计算概率、怎样判断事件之间是否相互影响。

一、第1章到底在学什么？

概率论后面所有内容，实际上都是从这一章生长出来的。

比如：

第2章随机变量，本质是把“事件”数值化；
二项分布来自本章的伯努利重复试验；
条件分布来自条件概率；
二维随机变量独立，本质仍然来自事件独立；
大数定律、中心极限定理建立在独立重复试验思想上；
贝叶斯统计更直接来源于本章贝叶斯公式。

因此第一章最好不要把它理解成“背几个概率公式”。

它真正的核心是：

先把文字翻译成事件，再研究事件之间的关系，最后计算概率

讲义将本章概率计算方法概括成两大类：一类是古典模型、几何模型、伯努利模型这样的模型法；另一类是利用概率性质以及加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯公式进行的间接计算法。

二、随机试验、样本空间与随机事件

1. 随机试验

一个试验成为随机试验，一般具有三个特征：

可以在相同条件下重复；
所有可能结果事先可以知道；
试验前不知道究竟出现哪个结果。

例如：

掷一枚骰子。

事先知道只可能出现

1, 2, 3, 4, 5, 6

但没掷之前不知道是哪一个。

三、样本点与样本空间

一次试验最基本的结果叫做样本点，记作

ω .

全部样本点组成的集合称为样本空间：

Ω.

例如掷一枚骰子：

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} .

如果掷两枚骰子：

Ω = {(i, j) : i, j = 1, 2, \dots, 6} .

一共有

6 \times 6 = 36

个样本点。

这里开始出现一个非常重要的思想：

样本点怎么选，会直接影响后面的概率计算。

尤其是古典概率题，很多人不是不会组合，而是一开始样本空间就建立错了。

四、什么是随机事件？

1. 事件其实就是集合

例如掷骰子。

定义

A = {出现偶数} .

那么

A = {2, 4, 6} .

所以：

A \subseteq Ω.

因此可以把随机事件理解成：

随机事件就是样本空间的一个子集

这是整个第一章最根本的思想。

既然事件是集合，那么：

并；
交；
补；
差；
包含；

全部可以用集合运算。

讲义也明确强调：复杂概率题的第一步通常并不是套公式，而是把自然语言翻译成事件语言。

五、必然事件与不可能事件

必然发生：

Ω.

完全不可能发生：

\emptyset .

所以

P (Ω) = 1,

P (\emptyset) = 0.

六、事件之间最基本的关系

这是第一章非常重要的一部分。

1. 包含关系

如果

A \subseteq B,

表示：

A一旦发生，B一定发生。

例如：

A = {骰子出现 6},

B = {骰子出现偶数} .

显然

A \subseteq B .

于是：

A \cap B = A,

A \cup B = B .

记住：

小事件发生 \Rightarrow 大事件发生

七、事件的并

A \cup B

表示：

A、B至少有一个发生。

注意“至少一个”包括：

只发生A；
只发生B；
A和B同时发生。

所以“至少一个”不是“恰好一个”。

这两个一定不能混。

八、事件的交

A \cap B

通常简记为

A B .

表示：

A和B同时发生。

例如：

A = {第一枚骰子为偶数},

B = {两枚骰子之和 > 8} .

则

A B

就是两个条件同时满足。

九、差事件

A - B

表示：

A发生，但B不发生。

因此

A - B = A \overline{B}

这是特别常用的公式。

十、对立事件

事件A不发生记为

\overline{A} .

显然：

A \cup \overline{A} = Ω,

A \overline{A} = \emptyset .

于是

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

这是概率题中使用频率最高的思想之一。

十一、互斥事件

如果A和B不可能同时发生：

A B = \emptyset,

则称A、B互斥。

例如一次掷骰子：

A = {出现 1},

B = {出现 2} .

显然不可能同时出现。

十二、互斥和对立千万不要混

对立一定互斥：

A \overline{A} = \emptyset .

但互斥不一定对立。

例如：

A = {1}, B = {2} .

二者互斥。

但是

A \cup B = {1, 2} \neq = Ω.

因此并不对立。

所以：

对立 = 互斥 + 并集为 Ω

十三、最重要的事件翻译表

考研第一章大量选择题，本质都在考这个。

设事件为

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} .

1. 至少一个发生

i = 1 ⋃ n A_{i}

2. 全部发生

i = 1 ⋂ n A_{i}

3. 全部不发生

利用德摩根律：

i = 1 ⋂ n \overline{A_{i}} = \overline{i = 1 ⋃ n A_{i}}

4. 至少一个不发生

“全部发生”的对立：

i = 1 ⋃ n \overline{A_{i}} = \overline{i = 1 ⋂ n A_{i}}

5. A、B恰好一个发生

有两种情况：

A发生B不发生：

A \overline{B},

或者B发生A不发生：

\overline{A} B .

所以：

A \overline{B} \cup \overline{A} B

6. A、B至少一个发生

A \cup B .

7. A、B至多一个发生

意思是：

不能同时发生两个。

所以：

\overline{A B}

也就是

\overline{A} \cup \overline{B} .

十四、德摩根律

一定要熟练。

\overline{A \cup B} = \overline{A} \overline{B}

含义：

A、B至少一个发生的对立 = A、B都不发生。

以及

\overline{A B} = \overline{A} \cup \overline{B}

含义：

A、B同时发生的对立 = 至少有一个不发生。

推广：

\overline{i = 1 ⋃ n A_{i}} = i = 1 ⋂ n \overline{A_{i}},

\overline{i = 1 ⋂ n A_{i}} = i = 1 ⋃ n \overline{A_{i}} .

十五、一个特别值得注意的语言题

讲义中有一道类似题：

若事件A发生必导致B、C最多一个发生。

真正要翻译的是：

当A发生时，不能出现BC。

所以更加严谨地写应该是

A \subseteq \overline{B C}

而不是说整个样本空间中

B C = \emptyset .

因为题目只限制“在A发生时”的情况。

讲义最终选择的

A \subseteq \overline{B C}

这个结论是正确的。

这个例子非常值得注意：

“若A发生则……”通常应该翻译为包含关系。

十六、完备事件组

这是全概率和贝叶斯公式的根基。

如果

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

满足：

第一条件：两两互斥

A_{i} A_{j} = \emptyset, i \neq = j,

第二条件：覆盖整个样本空间

i = 1 ⋃ n A_{i} = Ω,

那么称它们构成一个完备事件组。

通俗地说：

所有可能原因被分成了若干类，而且一次试验必定且只能落入其中一类。

例如：

某产品来自三个工厂。

定义

A_{1} = {来自一厂},

A_{2} = {来自二厂},

A_{3} = {来自三厂} .

那么

A_{1}, A_{2}, A_{3}

就是典型的完备事件组。

十七、概率的三个公理

概率满足：

非负性

P (A) \geq 0.

规范性

P (Ω) = 1.

可列可加性

若

A_{i} A_{j} = \emptyset (i \neq = j),

则

P (i = 1 ⋃ \infty A_{i}) = i = 1 \sum \infty P (A_{i}) .

其他公式基本都可以从这三个公理推出。

十八、概率的重要性质

1. 对立事件

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

2. 包含关系

若

A \subseteq B,

则

P (A) \leq P (B) .

并且

P (B - A) = P (B) - P (A) .

十九、第一大公式：减法公式

一般情况下：

P (A - B) = P (A) - P (A B)

因为：

A = (A - B) \cup A B

且二者互斥。

所以

P (A) = P (A - B) + P (A B) .

于是得到上述公式。

二十、第二大公式：加法公式

对于两个事件：

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B)

为什么减掉一次？

因为

P (A) + P (B)

把交集

A B

算了两遍。

如果互斥

若

A B = \emptyset,

则

P (A B) = 0,

因此

P (A \cup B) = P (A) + P (B)

注意：

只有互斥时才能直接相加。

二十一、三个事件的加法公式

P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A B) - P (A C) - P (B C) + P (A B C) .

逻辑是：

第一步把单个事件全加上。

两两交集被多算，所以减掉。

但三重交集因此又被减多了，所以再加回来。

二十二、“至少一个”为什么经常不要用加法公式？

例如A、B、C相互独立，问至少一个发生。

当然可以展开：

P (A \cup B \cup C) .

但是很麻烦。

更好的思路：

“至少一个发生”的对立事件是

一个都没发生。

所以

P (A \cup B \cup C) = 1 - P (\overline{A} \overline{B} \overline{C}) .

若相互独立：

= 1 - P (\overline{A}) P (\overline{B}) P (\overline{C}) .

这是第一章非常高频的技巧：

至少一个 ⟹ 优先考虑 1 - 一个都没有

讲义也把它列为本章高频解题原则。

二十三、条件概率：第一章的核心概念

若已知A已经发生，问B发生的概率：

P (B ∣ A) = \frac{P ( A B )}{P ( A )}

其中

P (A) > 0.

二十四、条件概率最重要的理解：样本空间缩小

原来是在

Ω

中讨论。

现在已经知道A发生。

所有

\overline{A}

中的样本点全部排除。

新的样本空间变成：

A .

而真正既满足A又满足B的是

A B .

因此自然有

P (B ∣ A) = \frac{P ( A B )}{P ( A )} .

所以条件概率不要死记公式。

记住：

条件概率 = 已知条件以后重新计算概率

讲义特别强调：条件概率体现的就是样本空间缩减。

二十五、经典例题：两枚骰子

已知第一枚骰子的点数能被3整除，求两枚骰子点数之和大于8的概率。

定义：

A = {第一枚为 3 或 6},

B = {两枚点数和 > 8} .

原样本空间有36个点。

A发生以后，第一枚只能是3或6，因此新的样本空间共有

2 \times 6 = 12

个等可能结果。

满足B的结果：

(3, 6),

(6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) .

共5个。

所以：

P (B ∣ A) = \frac{5}{12}

讲义也用这一题说明条件概率可以直接在缩减后的样本空间中计算。

二十六、第三大公式：乘法公式

从

P (B ∣ A) = \frac{P ( A B )}{P ( A )}

直接移项：

P (A B) = P (A) P (B ∣ A)

同理：

P (A B) = P (B) P (A ∣ B)

乘法公式解决的是：

A发生并且B也发生。

二十七、多阶段乘法公式

例如：

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

依次发生。

则

P (A_{1} A_{2} \dots A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) P (A_{3} ∣ A_{1} A_{2}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} \dots A_{n - 1})

这特别适合：

连续抽球；
不放回抽样；
多阶段生产；
连续选择。

二十八、不放回抽球为什么通常不独立？

假设10个球：

8白；
2黑。

第一次抽到白球：

P (A) = \frac{8}{10} .

如果不放回，再抽第二次。

在第一次已经抽到白球的条件下：

P (B ∣ A) = \frac{7}{9} .

显然

P (B ∣ A) \neq = P (B) .

说明第一次的结果改变了第二次的概率。

所以通常：

不放回抽样不独立

而放回以后组成又恢复原样，因此通常可以形成独立重复试验。

二十九、第四大公式：全概率公式

这是第一章最大的重点之一。

假设

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}

构成完备事件组。

事件B可以通过不同原因发生：

B = B A_{1} \cup B A_{2} \cup \dots \cup B A_{n} .

因为这些事件互斥：

P (B) = i = 1 \sum n P (B A_{i}) .

再利用乘法公式：

P (B A_{i}) = P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) .

于是：

P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})

三十、全概率公式到底在干什么？

可以记成：

不同原因 ⟶ 同一个结果

例如：

产品可能来自三个工厂：

A_{1}, A_{2}, A_{3} .

B表示“产品为次品”。

已知：

P (A_{i})

和

P (B ∣ A_{i}) .

问随机抽一个产品是次品的概率。

就是：

P (B) = P (A_{1}) P (B ∣ A_{1}) + P (A_{2}) P (B ∣ A_{2}) + P (A_{3}) P (B ∣ A_{3}) .

三十一、为什么叫“全概率”？

因为无法预先确定B究竟通过哪种原因发生。

于是把所有可能路径：

A_{1} \to B,

A_{2} \to B,

\dots

全部加起来。

每条路径：

P (A_{i}) \times P (B ∣ A_{i})

所有路径相加：

P (B) = i \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i})

讲义把这种思路概括得很直观：每一条通向B的路径概率相乘，所有通向B的路径相加。

三十二、第五大公式：贝叶斯公式

全概率：

原因 → 结果。

贝叶斯：

已经看到结果 → 反推原因。

已知B已经发生，问它来自原因

A_{m}

的概率。

由条件概率：

P (A_{m} ∣ B) = \frac{P ( A _{m} B )}{P ( B )} .

其中：

P (A_{m} B) = P (A_{m}) P (B ∣ A_{m}) .

而

P (B) = i = 1 \sum n P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) .

所以：

P (A_{m} ∣ B) = \frac{P ( A _{m} ) P ( B ∣ A _{m} )}{i = 1 \sum n P ( A _{i} ) P ( B ∣ A _{i} )}

三十三、全概率和贝叶斯怎么区分？

这是必须形成条件反射的。

问题	已知	求什么
全概率	各种原因	最终结果
贝叶斯	已经观察到结果	原因是什么

所以：

原因 \to 结果：全概率

结果 \to 原因：贝叶斯

讲义也是按“由原因求结果”和“由结果追溯原因”区分两者的。

三十四、贝叶斯公式中的三个概率

P (A_{i})

叫先验概率。

看到B之前，我们对原因

A_{i}

的认识。

P (B ∣ A_{i})

表示如果原因

A_{i}

成立，观察到B的概率。

通常称为似然相关量。

看到B以后：

P (A_{i} ∣ B)

就是后验概率。

所以贝叶斯公式本质是：

先验信息 + 新证据 ⟶ 后验判断

三十五、经典贝叶斯题：两枚硬币

一枚正常硬币：

P (H) = \frac{1}{2} .

一枚双正面硬币：

P (H) = 1.

随机取一枚。

定义：

A = {取到正常硬币},

则：

P (A) = \frac{1}{2},

P (\overline{A}) = \frac{1}{2} .

现在观察到正面H。

问它是正常硬币的概率。

由贝叶斯：

P (A ∣ H) = \frac{P ( A ) P ( H ∣ A )}{P ( A ) P ( H ∣ A ) + P ( A ) P ( H ∣ A )} .

代入：

= \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1} .

得到：

P (A ∣ H) = \frac{1}{3}

如果又抛一次还是正面：

P (H H ∣ A) = \frac{1}{4},

而双正面硬币：

P (H H ∣ \overline{A}) = 1.

所以：

P (A ∣ H H) = \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \cdot 1} = \frac{1}{5} .

观察到的正面越多，越倾向于双正面硬币。

这正体现了贝叶斯更新。

三十六、古典概率模型

如果：

样本点个数有限；
每个样本点等可能；

则：

P (A) = \frac{A 包含的样本点数}{样本点总数}

也就是：

P (A) = \frac{∣ A ∣}{∣Ω∣}

三十七、古典概率真正难的不是公式

公式只有一行。

难点是：

怎么数

尤其要判断：

是否考虑顺序？

如果考虑：

A_{n}^{k}

往往出现排列。

如果不考虑：

C_{n}^{k} .

是否放回？

放回以后每次选择数量不变。

不放回以后数量会变化。

对象是否有区别？

例如“5个人选2人”与“5个相同球放进盒子”完全不同。

样本点到底是不是等可能？

这是最关键的。

讲义专门强调，古典模型首先必须检查样本空间是否有限且样本点是否等可能，之后才是排列组合。

三十八、组合与排列如何快速判断？

比如10个球中抽3个。

只关心抽到了哪三个，不关心顺序：

C_{10}^{3} .

如果是依次抽出，第一个、第二个、第三个有区别：

A_{10}^{3} .

但是要注意：

分子和分母使用同一种计数方式，往往最终概率一样。

最怕的是：

分母按有序；
分子按无序。

这样一定错。

三十九、几何概率

古典概率：

有限等可能

几何概率：

连续区域中的均匀等可能

如果样本空间是区域

Ω,

事件A对应其中子区域。

那么：

P (A) = \frac{μ ( A )}{μ ( Ω )}

其中

μ

可以是：

长度；
面积；
体积。

四十、典型几何概率例题

在

(0, 1)

中独立均匀取两个数x、y。

问：

x y > \frac{1}{4}

的概率。

样本空间：

Ω = {(x, y) : 0 < x < 1, 0 < y < 1} .

这是单位正方形。

面积：

S_{Ω} = 1.

事件：

x y > \frac{1}{4} .

即

y > \frac{1}{4 x} .

要有可行区域，必须：

x > \frac{1}{4} .

所以：

P (A) = \int_{\frac{1}{4}}^{1} (1 - \frac{1}{4 x}) d x .

计算：

P (A) = [x - \frac{1}{4} ln x]_{\frac{1}{4}}^{1} .

因此：

P (A) = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} ln 4

约等于：

0.4034.

这也是讲义中的典型几何概率例题。

四十一、几何概率标准做题模板

第一步：

建立坐标系

第二步：

写样本空间

Ω.

第三步：

把题目条件变成不等式。

第四步：

画区域。

第五步：

P (A) = \frac{有利区域面积}{总区域面积} .

讲义特别提醒：几何模型的主要难点不是积分，而是把实际问题正确模型化成几何区域。

四十二、事件的独立性

这是本章另一个大核心。

两个事件A、B相互独立定义为：

P (A B) = P (A) P (B)

四十三、独立到底是什么意思？

不是说：

两个事件没有任何逻辑关系。

而是说：

A是否发生，不改变B发生的概率。

如果

P (A) > 0,

则独立等价于：

P (B ∣ A) = P (B) .

同样：

P (A ∣ B) = P (A) .

也就是说：

知道 A 发生，没有给 B 提供新的概率信息

四十四、一个非常经典的独立性判定

若

0 < P (A) < 1,

而且：

P (B ∣ A) = P (B ∣ \overline{A}) .

意味着：

无论A发生还是不发生，B的概率一样。

利用全概率：

P (B) = P (A) P (B ∣ A) + P (\overline{A}) P (B ∣ \overline{A}) .

设共同值为q，则：

P (B) = q [P (A) + P (\overline{A})] = q .

所以：

P (B ∣ A) = P (B) .

于是：

A, B 独立

等价地：

P (A B) = P (A) P (B)

讲义也专门用这类题训练独立性的判断。

四十五、独立和互斥完全不是一回事

这是第一章第一大坑。

互斥

A B = \emptyset .

所以：

P (A B) = 0.

独立

P (A B) = P (A) P (B) .

若

P (A) > 0, P (B) > 0,

那么：

P (A) P (B) > 0.

所以如果A、B互斥：

P (A B) = 0 \neq = P (A) P (B) .

因此：

P (A) > 0, P (B) > 0 \Rightarrow 互斥必不独立

这是考研选择题高频结论。

四十六、为什么“互斥”反而说明有很强的依赖？

假设A发生了。

如果A、B互斥：

A B = \emptyset .

那么一旦知道A发生，立刻知道：

B 一定不发生 .

于是：

P (B ∣ A) = 0.

可是原来：

P (B) > 0.

显然A的发生大幅改变了B的概率。

所以它们当然不是独立。

四十七、对立事件也通常不独立

A和

\overline{A}

一定互斥。

如果：

0 < P (A) < 1,

则二者不独立。

只有极端情况下：

P (A) = 0

或者

P (A) = 1

才可能出现这种退化独立。

四十八、独立事件的补事件仍然独立

如果A、B独立：

P (A B) = P (A) P (B) .

那么：

A, \overline{B}

独立；

\overline{A}, B

独立；

\overline{A}, \overline{B}

也独立。

即：

A ⊥ B ⟺ A ⊥ \overline{B} ⟺ \overline{A} ⊥ B ⟺ \overline{A} ⊥ \overline{B}

四十九、三个事件的独立性

对于A、B、C。

要相互独立，必须同时满足：

P (A B) = P (A) P (B),

P (A C) = P (A) P (C),

P (B C) = P (B) P (C),

以及：

P (A B C) = P (A) P (B) P (C)

总共四个条件。

五十、两两独立不等于相互独立

这是考研特别爱考的概念。

如果只满足：

P (A B) = P (A) P (B),

P (A C) = P (A) P (C),

P (B C) = P (B) P (C),

只能说：

两两独立

还不能说三者相互独立。

讲义明确要求：三个事件相互独立时，除了三个两两交集，还必须检查三重交集。

五十一、一个经典反例

独立掷一枚公平硬币两次。

定义：

A = {第一次正面},

B = {第二次正面},

C = {两次恰好一正一反} .

显然：

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2} .

而：

P (A B) = \frac{1}{4} = P (A) P (B) .

同样：

P (A C) = \frac{1}{4},

P (B C) = \frac{1}{4} .

因此三者两两独立。

但是：

A B C = \emptyset .

所以：

P (A B C) = 0.

而

P (A) P (B) P (C) = \frac{1}{8} .

因此：

两两独立，但不相互独立

这正是讲义中的典型独立性考法。

五十二、独立重复试验

若同一试验重复进行，而且：

各次试验互相独立；
每次成功概率相同；

称为独立重复试验。

如果每次只有两个结果：

成功A；
失败 $\overline{A}$ ；

就叫伯努利试验。

重复n次：

n 重伯努利试验

五十三、伯努利公式

设每次成功概率：

P (A) = p .

失败概率：

q = 1 - p .

进行n次独立试验。

问A恰好发生k次。

固定一种顺序，例如：

AA \overline{A} A \overline{A} \dots

只要总共k个成功、n-k个失败，则这一具体排列概率为：

p^{k} q^{n - k} .

但成功的k次可以出现在n次试验中的任意k个位置。

共有：

C_{n}^{k}

种。

所以：

P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

其中：

k = 0, 1, \dots, n .

这就是伯努利公式。

五十四、为什么会有组合数？

比如5次射击恰好命中2次。

一种情况：

中，中，不中，不中，不中 .

概率：

p^{2} q^{3} .

另一种：

中，不中，中，不中，不中 .

概率仍是：

p^{2} q^{3} .

一共有：

C_{5}^{2}

种位置安排。

所以：

P (X = 2) = C_{5}^{2} p^{2} q^{3} .

这就是组合数来源。

五十五、伯努利模型最典型的文字

看到下面这些词就应该高度警觉：

独立重复n次；
每次命中率相同；
每件产品合格率相同；
每次成功概率都是p；
求成功k次；
求至少成功几次；
求至多成功几次。

往往就是：

X \sim B (n, p) .

第二章中的二项分布，就是本章伯努利模型的随机变量化。

五十六、伯努利最重要的几种变式

设

X \sim B (n, p), q = 1 - p .

1. 恰好成功k次

P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

2. 至少成功一次

直接求：

P (X \geq 1) = k = 1 \sum n C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

当然可以。

但明显太麻烦。

它的对立事件：

X = 0.

所以：

P (X \geq 1) = 1 - q^{n}

3. 至少成功r次

P (X \geq r) = k = r \sum n C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

有时候补集更简单：

P (X \geq r) = 1 - P (X \leq r - 1) .

4. 至多成功r次

P (X \leq r) = k = 0 \sum r C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

5. 至少成功两次

直接求：

P (X \geq 2) .

更好的方法：

P (X \geq 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) .

所以：

P (X \geq 2) = 1 - q^{n} - n p q^{n - 1}

讲义把这个作为伯努利综合题中的常用变式。

五十七、第n次才取得第k次成功

这是一类非常容易和普通二项概率混淆的题。

要求：

第n次成功，并且这是第k次成功。

所以前

n - 1

次必须恰好成功：

k - 1

次。

其概率：

C_{n - 1}^{k - 1} p^{k - 1} q^{n - k} .

第n次还必须成功：

p .

所以：

P = C_{n - 1}^{k - 1} p^{k} q^{n - k}

讲义也专门总结了这个变式。

五十八、典型例题：“至少命中一次”

独立射击3次。

每次命中概率p。

已知：

P (至少命中一次) = \frac{7}{8} .

对立事件：

三次全部没命中 .

概率：

(1 - p)^{3} .

所以：

1 - (1 - p)^{3} = \frac{7}{8} .

于是：

(1 - p)^{3} = \frac{1}{8} .

所以：

1 - p = \frac{1}{2} .

最终：

p = \frac{1}{2}

讲义指出，“至少一次”通过对立事件计算，是历年考试中非常常见的技巧。

五十九、五大概率公式放在一起理解

第一章建议形成下面这个体系，而不是分开死背。

加法公式

解决：

至少一个发生。

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A B) .

减法公式

解决：

A发生但B不发生。

P (A - B) = P (A) - P (A B) .

乘法公式

解决：

A、B同时发生。

P (A B) = P (A) P (B ∣ A) .

全概率公式

解决：

B可以由多种原因导致，求B总概率。

P (B) = i \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) .

贝叶斯公式

解决：

B已经发生，反推究竟来自哪个原因。

P (A_{i} ∣ B) = \frac{P ( A _{i} ) P ( B ∣ A _{i} )}{\sum _{j} P ( A _{j} ) P ( B ∣ A _{j} )} .

六十、一张“公式选择流程图”

看到概率题，建议按这个顺序思考。

第一步：先翻译事件

问的是：

A \cup B ?

还是：

A B ?

还是：

A - B ?

还是：

P (A ∣ B)?

第二步：有没有“至少”？

如果有：

优先考虑对立事件

例如：

P (至少一个) = 1 - P (一个都没有) .

第三步：是不是连续多阶段发生？

如果是：

乘法公式

特别是不放回抽样。

第四步：结果是不是由多个原因产生？

如果是：

全概率

第五步：已经知道结果，反问来源？

贝叶斯

第六步：是不是有限等可能？

古典模型

第七步：是不是均匀落在连续区域？

几何模型

第八步：是不是独立重复n次、每次成功概率p？

伯努利模型

这基本就是讲义总结的概率公式选择流程。

六十一、第一章常考题型一：事件关系与运算

常见：

至少一个；
恰好一个；
至多一个；
全部发生；
全部不发生；
至少一个不发生；
包含；
互斥；
对立。

做题顺序

讲义推荐按照：

括号 \to 补集 \to 交 \to 并、差

处理复杂事件表达式。

尤其熟练：

A - B = A \overline{B}

以及德摩根律。

六十二、题型二：古典概率

标准流程：

找样本空间；
检查等可能；
判断是否考虑顺序；
判断是否放回；
算总数；
算有利情况；
作比。

也就是：

P (A) = \frac{N ( A )}{N ( Ω )}

六十三、古典概率里的“至少”仍优先补集

例如10个产品中3个次品，无放回取4个。

求“至少取到1个次品”。

直接：

1个次品；
2个次品；
3个次品；

分别算，比较麻烦。

补集：

一个次品都没有。

所以：

P (至少 1 次品) = 1 - \frac{C _{7}^{4}}{C _{10}^{4}} .

非常快。

六十四、题型三：利用已知概率反推其他概率

两个事件最适合用“四格法”。

整个样本空间分成：

A B,

A \overline{B},

\overline{A} B,

\overline{A} \overline{B} .

这四块：

两两互斥；
总和为整个样本空间。

因此：

P (A B) + P (A \overline{B}) + P (\overline{A} B) + P (\overline{A} \overline{B}) = 1.

并且：

P (A) = P (A B) + P (A \overline{B}),

P (B) = P (A B) + P (\overline{A} B) .

如果题目给：

P (A), P (B), P (A ∣ B)

之类，很多时候四格法非常清楚。

六十五、题型四：全概率与贝叶斯

遇到这种题，第一件事不是写公式。

而是问：

什么事件可以构成完备事件组？

例如：

来自哪个工厂；
选了哪个盒子；
使用哪台机器；
属于哪类人群；
第一阶段出现几件合格品。

这些往往就是：

A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n} .

一个很好用的树状思维

例如：

A_{1} \to B,

A_{2} \to B,

A_{3} \to B .

每条路径概率：

P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) .

所以：

P (B) = i \sum P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) .

若问：

已知B发生，来自 $A_{2}$ 的概率？

就是：

P (A_{2} ∣ B) = \frac{P ( A _{2} ) P ( B ∣ A _{2} )}{P ( B )} .

也就是：

\frac{目标路径概率}{所有能导致 B 的路径概率}

这是理解贝叶斯最直观的方法。

六十六、题型五：独立性判断

两个事件：

只检查：

P (A B) = P (A) P (B)

即可。

如果条件概率容易算，也可检查：

P (B ∣ A) = P (B) .

三个事件

要“相互独立”，必须检查：

P (A B) = P (A) P (B),

P (A C) = P (A) P (C),

P (B C) = P (B) P (C),

以及：

P (A B C) = P (A) P (B) P (C) .

只检查前三个，只能得到：

两两独立

讲义将“两两独立与相互独立的区别”列为本章高频难点。

六十七、题型六：伯努利模型

一看到：

独立进行n次、每次成功率p。

就定义：

X = 成功次数 .

于是：

X \sim B (n, p) .

然后根据题目：

恰好k次

P (X = k) .

至少k次

P (X \geq k) .

至多k次

P (X \leq k) .

至少一次

1 - P (X = 0) .

至少两次

1 - P (X = 0) - P (X = 1) .

这会让思路非常统一。

六十八、题型七：轮流试验、无限重复

讲义还总结了一种比较有技巧的结构。

例如每一轮中：

某人本轮获胜概率：

a .

本轮无人获胜、继续下一轮的概率：

r .

则这个人：

第一轮获胜：

a .

第二轮获胜：

r a .

第三轮获胜：

r^{2} a .

……

所以最终获胜概率：

a + r a + r^{2} a + \dots .

等比级数：

P = \frac{a}{1 - r}

前提：

∣ r ∣ < 1.

讲义把这种“前面若干轮无人获胜，下一轮才获胜”的分解作为独立性综合题技巧。

六十九、第一章最容易犯的10个错误

错误1：把“至少一个”理解成“只有一个”

错误。

A \cup B

包含：

A B .

错误2：互斥就直接说独立

几乎恰好相反。

若概率均为正：

互斥 \Rightarrow 不独立

错误3：两两独立就说相互独立

错误。

三个事件还必须检查：

P (A B C) = P (A) P (B) P (C) .

错误4：看到“至少一次”就展开

通常应该：

1 - P (一次都没有) .

错误5：全概率和贝叶斯搞反

记：

原因 \to 结果：全概率

结果 \to 原因：贝叶斯

错误6：条件概率交换位置

通常：

P (A ∣ B) \neq = P (B ∣ A) .

错误7：不放回还直接乘相同概率

例如：

\frac{8}{10} \cdot \frac{8}{10}

通常错误。

应该根据第一次结果改变第二次概率。

错误8：古典概率没检查等可能

不能因为“有n种结果”就直接：

\frac{1}{n} .

必须等可能。

错误9：组合与排列混着用

分子和分母必须建立在同一种样本点定义上。

错误10：贝叶斯忘记分母是所有原因之和

不是：

P (A_{i} ∣ B) = P (A_{i}) P (B ∣ A_{i}) .

而是：

P (A_{i} ∣ B) = \frac{P ( A _{i} ) P ( B ∣ A _{i} )}{\sum _{j} P ( A _{j} ) P ( B ∣ A _{j} )} .

七十、把整个第一章压缩成一张知识网络

可以记成：

随机试验 \to Ω \to 事件

事件首先研究：

并、交、差、补、包含、互斥

然后定义概率：

P (A) .

接下来有三类基本计算模型：

古典概率 几何概率 伯努利概率

事件之间进一步有：

条件关系

于是出现：

P (B ∣ A) .

由条件概率产生：

乘法公式

再通过完备事件组：

全概率公式

把全概率反过来：

贝叶斯公式

如果：

P (B ∣ A) = P (B),

则：

A 、 B 独立

独立重复之后：

伯努利试验

最终产生：

C_{n}^{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

这就是整个第一章的逻辑闭环。

七十一、考研做概率题最推荐的固定流程

以后第一章题目都可以按这个流程做。

Step 1：定义事件

比如：

A = {\dots}, B = {\dots} .

不要一上来算数字。

Step 2：翻译所求事件

确定要求的是：

A \cup B,

还是

A B,

还是

A - B,

还是

P (A ∣ B) .

Step 3：先看能否取对立

尤其看到：

至少一次；
至少一个；
不全失败；

优先：

1 - P (对立事件) .

Step 4：识别模型

有限等可能：

\to 古典模型 .

连续均匀区域：

\to 几何模型 .

独立重复：

\to 伯努利模型 .

Step 5：若不是直接模型，再看公式

同时发生：

\to 乘法 .

至少一个：

\to 加法或补集 .

多个原因导致结果：

\to 全概率 .

结果反推原因：

\to 贝叶斯 .

Step 6：最后检查独立性

只有明确独立以后，才能把

P (A B)

直接写成：

P (A) P (B) .

七十二、本章最后必须达到的熟练程度

按照讲义给出的复习要求，第 1 章学完后至少应做到：

看到自然语言，能立即写出事件；
能区分包含、互斥、对立、独立；
熟练使用加法、减法、乘法公式；
理解条件概率是“缩小样本空间”；
一眼区分全概率和贝叶斯；
会构造完备事件组；
古典概率会正确建立等可能样本空间；
几何概率会把条件转化成区域；
清楚“两两独立 ≠ 相互独立”；
看到独立重复试验就想到伯努利；
遇到“至少一次”会优先考虑补集。

其中最值得反复练的其实只有四个能力：

事件翻译 + 条件概率 + 全概率 / 贝叶斯 + 独立性

只要这四部分真正理解，第1章大部分考研题就不再是“背公式题”，而会变成非常稳定的结构识别题。

第 1 章 随机事件与概率

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第 1 章随机事件与概率