第 6 章 数理统计的基本概念

本章从总体与样本出发，系统整理统计量、抽样分布、三大抽样分布以及正态总体下统计量的特殊性质，是参数估计与假设检验的直接基础。

一、第6章到底在学什么？

概率论前五章的视角基本是：

已知随机变量的分布，研究概率、分布和数字特征。

从第6章开始，视角反过来了：

总体分布中有未知信息，只能抽取一批样本，希望通过样本了解总体。

因此这一章最核心的问题是：

抽出来的一批样本，构造出的统计量到底服从什么分布？

资料中特别强调，统计量的分布称为抽样分布；最重要的抽样分布是：

• 正态分布；
• 卡方分布；
• t 分布；
• F 分布。

其中后三个是本章重点和难点，而且也是下一章区间估计、假设检验的基础。

可以把全章压缩成：

$$\boxed{\text{样本}⟶\text{统计量}⟶\text{统计量的分布}⟶{\chi }^2,t,F}$$

---

二、总体、样本、样本值

1. 总体

数理统计中，我们研究某个数量指标，例如：

• 一批零件的直径；
• 学生的成绩；
• 产品寿命；
• 人的身高。

把这个指标抽象成随机变量 X，称 X 为总体。

所以统计学里“总体”不要想成“一群人”，它本质上是：

$$\boxed{\text{总体就是一个随机变量及其概率分布}}$$

例如：

$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2).$$

说明总体服从正态分布，但其中的参数可能未知。

资料也是这样定义总体的。

---

三、简单随机样本：两个条件缺一不可

设从总体 X 中抽取 n 次，得到：

$$X_1,X_2,\dots ,X_n.$$

如果满足两个条件：

条件1：同分布

每个 Xi 都与总体 X 同分布：

$$X_i\stackrel{d}{=}X.$$

条件2：相互独立

$$X_1,X_2,\dots ,X_n$$

相互独立。

则称：

$$X_1,X_2,\dots ,X_n$$

为来自总体 X 的容量为 n 的简单随机样本。

可以记成一句话：

$$\boxed{\text{简单随机样本}=\text{独立}+\text{同分布}}$$

资料明确把这一点作为第6章的第一条基础概念。

---

1. 样本和样本值一定要分清

这是初学时很容易混的地方。

抽样之前：

$$X_1,X_2,\dots ,X_n$$

都是随机变量，因此叫样本。

真正测量以后得到：

$$x_1,x_2,\dots ,x_n$$

这些具体数字，叫样本值或观测值。

例如零件长度总体为 X，抽 3 个：

抽样前：

$$X_1,X_2,X_3.$$

实际测到：

$$10.1,9.8,\mathrm{10.3.}$$

后者才是样本值。

---

四、为什么样本联合分布可以直接相乘？

因为简单随机样本彼此独立。

若总体 X 的分布函数为 F，那么：

$$F_{X_1,\dots ,X_n}(x_1,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^{n}F(x_i).$$

如果总体为连续型，密度为 f，则：

$$f(x_1,\dots ,x_n)=\prod _{i=1}^{n}f(x_i).$$

这一点到了第7章最大似然估计尤其重要，因为似然函数本质就是这个乘积。

资料例6.1

总体：

$$X\sim E(\lambda ).$$

总体密度：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

于是样本联合密度：

$$f(x_1,\dots ,x_n)={\lambda }^n{e}^{-\lambda {\sum }_{i=1}^n{x}_i},x_i>0.$$

这就是“独立 → 密度相乘”。

---

五、统计量：本章真正开始进入重点

设：

$$X_1,\dots ,X_n$$

为样本。

构造：

$$T=g(X_1,\dots ,X_n).$$

如果函数 g 中不含未知参数，那么 T 称为统计量。

所以一定记住：

$$\boxed{\text{统计量是样本的函数，而且不能含未知参数}}$$

例如：

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$$

是统计量。

但是如果 μ 未知，则：

$$\overline{X}-\mu$$

不能直接称为统计量，因为含未知参数 μ。

资料对此给出了明确的定义。

---

六、四类最重要的统计量

1. 样本均值

$$\boxed{\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i}$$

它描述样本中心位置。

若：

$$E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2,$$

则无论总体是不是正态分布，只要期望、方差存在：

$$\boxed{E(\overline{X})=\mu }$$

以及：

$$\boxed{D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n}}$$

这两个公式必须非常熟。

---

2. 样本方差

教材和考研中的标准定义：

$$\boxed{S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2}$$

还要熟练掌握计算式：

$$\boxed{S^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\overline{X}}^2\right)}$$

并且：

$$\boxed{E(S^2)={\sigma }^2}$$

也就是说样本方差 S² 是总体方差 σ² 的无偏估计。

资料把这三个结论作为本章高频基础：

$$E(\overline{X})=\mu ,$$ $$D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n},$$ $$E(S^2)={\sigma }^2.$$

---

七、为什么样本方差要除以 n-1？

这是理解“自由度”的入口。

注意：

$$\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X})=0.$$

所以 n 个偏差：

$$X_1-\overline{X},\dots ,X_n-\overline{X}$$

并不是 n 个自由变化的量。

前 n-1 个确定以后，最后一个自动确定。

因此真正独立的自由方向只有：

$$n-1.$$

所以样本方差中出现：

$$n-1.$$

这个 n-1 以后还会反复出现在：

$${\chi }^2(n-1)$$

和：

$$t(n-1)$$

中。

---

八、样本原点矩与中心矩

1. k 阶样本原点矩

$$A_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k.$$

特别地：

$$A_1=\overline{X}.$$

---

2. k 阶样本中心矩

$$B_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^k.$$

特别地：

$$B_2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2.$$

因此：

$$B_2=\frac{n-1}{n}{S}^2.$$

注意：

$$B_2\ne S^2.$$

这是选择题很容易设陷阱的位置。

---

九、本章最重要部分：抽样分布

统计量本身也是随机变量，因此也有自己的分布。

例如：

$$\overline{X},S^2$$

都是随机变量。

它们的概率分布称为抽样分布。

本章必须重点掌握：

$$\boxed{{\chi }^2,t,F}$$

---

十、卡方分布 ${\chi }^2$

1. 最根本的定义模式

设：

$$Z_1,Z_2,\dots ,Z_n$$

相互独立，并且：

$$Z_i\sim N(0,1).$$

则：

$$\boxed{Z_1^2+Z_2^2+\cdots +Z_n^2\sim {\chi }^2(n)}$$

其中 n 称为自由度。

所以看到卡方分布，脑中第一反应应该是：

独立标准正态变量的平方和。

资料也是用这个“典型模式”定义卡方分布。

---

十一、卡方分布三个必须记住的性质

如果：

$$X\sim {\chi }^2(n),$$

则：

$$\boxed{E(X)=n}$$

以及：

$$\boxed{D(X)=2n}$$

---

可加性

若：

$$X\sim {\chi }^2(n_1),$$ $$Y\sim {\chi }^2(n_2),$$

且 X、Y 独立，则：

$$\boxed{X+Y\sim {\chi }^2(n_1+n_2)}$$

注意：独立条件不能漏。

---

十二、卡方分布怎么认？

例如：

$$X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2).$$

先标准化：

$$Z_i=\frac{X_i-\mu }{\sigma }\sim N(0,1).$$

于是：

$$\sum _{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\mu }{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(n).$$

即：

$$\boxed{\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)}$$

---

十三、为什么换成样本均值以后自由度少1？

一个最重要结论：

$$\boxed{\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2\sim {\chi }^2(n-1)}$$

因为：

$$\sum _{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2=(n-1)S^2.$$

所以：

$$\boxed{\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)}$$

这可能是整章出现频率最高的公式之一。

---

十四、一个极其重要的区别

以下两个公式必须同时会：

如果减的是真总体均值：

$$\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n).$$

如果减的是样本均值：

$$\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\overline{X}{)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1).$$

所以口诀：

减真均值，不丢自由度；减样本均值，少一个自由度。

---

十五、t 分布

t 分布的典型结构更加重要。

若：

$$Z\sim N(0,1),$$ $$V\sim {\chi }^2(n),$$

并且 Z 和 V 相互独立，则：

$$\boxed{T=\frac{Z}{\sqrt{V/n}}\sim t(n)}$$

所以 t 分布本质是：

$$\boxed{\frac{\text{标准正态}}{\sqrt{\text{独立卡方}/\text{自由度}}}}$$

---

十六、为什么统计学中会冒出 t 分布？

假设：

$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2).$$

如果 σ 已知，可以标准化：

$$\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sigma }\sim N(0,1).$$

可是实际统计中 σ 往往未知。

于是只好用样本标准差 S 替代 σ：

$$\boxed{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{S}\sim t(n-1)}$$

这就是 t 分布在统计推断中如此重要的根本原因。

可以理解成：

• σ 已知 → 正态；
• σ 未知，用 S 代替 → t 分布。

---

十七、t 分布的几个重要性质

t 分布关于 0 对称。

若：

$$T\sim t(n),$$

则：

$$t_{1-\alpha }(n)=-t_{\alpha }(n).$$

并且当自由度越来越大时：

$$t(n)⟶N(0,1).$$

也就是说：

自由度越大，t 分布越接近标准正态分布。

此外还有一个非常高频的联系：

$$\boxed{T\sim t(n)⟹T^2\sim F(1,n)}$$

资料专门列出了这一性质。

---

十八、F 分布

若：

$$U\sim {\chi }^2(n_1),$$ $$V\sim {\chi }^2(n_2),$$

且 U 与 V 独立，则：

$$\boxed{F=\frac{U/n_1}{V/n_2}\sim F(n_1,n_2)}$$

所以 F 分布就是：

$$\boxed{\frac{\text{一个标准化卡方}}{\text{另一个独立标准化卡方}}}$$

这里两个自由度有顺序：

$$(n_1,n_2).$$

不能随便交换。

---

十九、F 分布最重要的倒数性质

如果：

$$F\sim F(n_1,n_2),$$

那么：

$$\boxed{\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)}$$

于是分位点有：

$$\boxed{F_{1-\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}}$$

这是选择题、填空题常见考点。

---

二十、三大分布一定要这样一起记

用公式统一看：

$$\boxed{Z_i\sim N(0,1)\Rightarrow \sum Z_i^2\sim {\chi }^2}$$ $$\boxed{\frac{Z}{\sqrt{{\chi }^2/n}}\sim t}$$ $$\boxed{\frac{{\chi }_1^2/n_1}{{\chi }_2^2/n_2}\sim F}$$

这三个不是三个孤立知识点，而是一条链：

$$N(0,1)\to {\chi }^2\to t,F.$$

---

二十一、上 α 分位点到底是什么？

这一章到第7章经常出现：

$${\chi }_{\alpha }^2(n),t_{\alpha }(n),F_{\alpha }(n_1,n_2).$$

资料采用上 α 分位点的记法。

例如：

$$P\left\{{\chi }^2>{\chi }_{\alpha }^2(n)\right\}=\alpha .$$

也就是右边尾巴面积是 α。

同样：

$$P\left\{T>t_{\alpha }(n)\right\}=\alpha .$$

以及：

$$P\left\{F>F_{\alpha }(n_1,n_2)\right\}=\alpha .$$

所以一定要先看清：

表给的是“左侧概率”还是“右尾概率”。

本章资料采用右尾上分位点。

---

二十二、单个正态总体：全章最重要的四大结论

设：

$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),$$

样本：

$$X_1,\dots ,X_n.$$

样本均值和样本方差：

$$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum X_i,$$ $$S^2=\frac{1}{n-1}\sum (X_i-\overline{X}{)}^2.$$

必须记住下面四组。

结论1：样本均值仍服从正态分布

$$\boxed{\overline{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)}$$

因此：

$$\boxed{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sigma }\sim N(0,1)}$$

---

结论2：用 S 替换 σ 得 t 分布

$$\boxed{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{S}\sim t(n-1)}$$

---

结论3：样本方差构成卡方

$$\boxed{\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)}$$

---

结论4：样本均值与样本方差独立

$$\boxed{\overline{X}\perp S^2}$$

注意资料特别强调：

这是正态总体特有的重要性质。

不能对任意总体随便使用。

---

二十三、为什么“独立性”是做 t、F 题的灵魂？

因为：

$$\frac{Z}{\sqrt{V/n}}\sim t(n)$$

不仅要求：

$$Z\sim N(0,1),V\sim {\chi }^2(n),$$

还必须：

$$Z\perp V.$$

同理 F 分布也要求两个卡方变量独立。

所以看到“求统计量分布”题，不要只检查分子分母分别服从什么分布。

必须做三步：

第一步

分子是什么分布？

第二步

分母是什么分布？

第三步

它们独立吗？

漏掉第三步，是非常典型的错误。

---

二十四、资料例6.12：典型 t 分布构造题

资料给出两个独立标准正态总体的样本：

X 样本容量为 8，Y 样本容量为 9。

定义：

$$Q=\sum _{i=1}^8(X_i-\overline{X}{)}^2+\sum _{j=1}^9(Y_j-\overline{Y}{)}^2.$$

证明：

$$T=3\overline{Y}\sqrt{\frac{15}{Q}}$$

服从 t(15)。

---

第一步：找标准正态

因为：

$$Y_j\sim N(0,1),$$

所以：

$$\overline{Y}\sim N\left(0,\frac{1}{9}\right).$$

因此：

$$\boxed{3\overline{Y}\sim N(0,1)}$$

---

第二步：找卡方

X 样本容量为 8：

$$\sum _{i=1}^8(X_i-\overline{X}{)}^2\sim {\chi }^2(7).$$

Y 样本容量为 9：

$$\sum _{j=1}^9(Y_j-\overline{Y}{)}^2\sim {\chi }^2(8).$$

由于两组样本相互独立，所以两部分独立。

因此卡方可加：

$$Q\sim {\chi }^2(15).$$

---

第三步：检查独立性

$$3\overline{Y}$$

与 Q 独立。

于是：

$$\frac{3\overline{Y}}{\sqrt{Q/15}}\sim t(15).$$

即：

$$T=3\overline{Y}\sqrt{\frac{15}{Q}}\sim t(15).$$

这题展示了本章最重要的做题思想：

$$\boxed{\text{不要硬认整个式子，而要拆成 }N(0,1)+{\chi }^2+\text{独立}}$$

---

二十五、资料例6.7：识别卡方结构

资料给：

$$X_1,X_2,X_3,X_4$$

来自：

$$N(0,2^2),$$

定义：

$$Y=a(X_1-2X_2{)}^2+b(3X_3-4X_4{)}^2.$$

已知 Y 服从卡方分布，判断自由度。

首先：

$$X_1-2X_2\sim N(0,20).$$

因为：

$$D(X_1-2X_2)=4+4\times 4=20.$$

所以：

$$\frac{X_1-2X_2}{\sqrt{20}}\sim N(0,1).$$

类似：

$$3X_3-4X_4\sim N(0,100),$$

因此：

$$\frac{3X_3-4X_4}{10}\sim N(0,1).$$

于是只要系数选成恰好把平方标准化：

$$\frac{1}{20}(X_1-2X_2{)}^2$$

和：

$$\frac{1}{100}(3X_3-4X_4{)}^2$$

就是标准正态平方。

因此这类题的核心口诀是：

看到正态线性组合的平方，先算它的方差，再除以方差。

---

二十六、两个独立正态总体

设：

$$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),$$ $$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2).$$

分别取独立样本，容量为：

$$n_1,n_2.$$

对应：

$$\overline{X},S_X^2,\overline{Y},S_Y^2.$$

资料要求重点掌握三类结果。

---

二十七、样本均值差

由于两个样本均值独立且正态：

$$\boxed{\overline{X}-\overline{Y}\sim N\left({\mu }_1-{\mu }_2,\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}\right)}$$

所以：

$$\boxed{\frac{\overline{X}-\overline{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{{\sigma }_1^2/n_1+{\sigma }_2^2/n_2}}\sim N(0,1)}$$

---

二十八、两个样本方差的比

因为：

$$\frac{(n_1-1)S_X^2}{{\sigma }_1^2}\sim {\chi }^2(n_1-1),$$ $$\frac{(n_2-1)S_Y^2}{{\sigma }_2^2}\sim {\chi }^2(n_2-1),$$

而且两个样本独立。

所以：

$$\boxed{\frac{S_X^2/{\sigma }_1^2}{S_Y^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)}$$

注意这里为什么 n-1 消失了？

因为 F 定义里本来要各自除自由度：

$$\frac{\frac{(n_1-1)S_X^2}{{\sigma }_1^2}/(n_1-1)}{\frac{(n_2-1)S_Y^2}{{\sigma }_2^2}/(n_2-1)}.$$

正好约掉。

---

二十九、两个总体方差相等时：联合样本方差

如果：

$${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }^2,$$

定义联合样本方差：

$$\boxed{S_{XY}^2=\frac{(n_1-1)S_X^2+(n_2-1)S_Y^2}{n_1+n_2-2}}$$

它本质上就是：

两组样本平方偏差和加起来，再除总自由度。

总自由度：

$$(n_1-1)+(n_2-1)=n_1+n_2-2.$$

因此：

$$\boxed{\frac{(n_1+n_2-2)S_{XY}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n_1+n_2-2)}$$

---

三十、两个总体方差相等时的 t 分布

进一步有：

$$\boxed{\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_{XY}\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)}$$

这是第7章“双正态总体均值差 t 检验”的直接基础。

---

三十一、一个非常典型的选择题陷阱

资料练习题给：

$$X_1,\dots ,X_n$$

来自：

$$N(0,{\sigma }^2).$$

下面哪个正确？

正确结论之一是：

$$\boxed{\frac{S^2}{n{\overline{X}}^2}\sim F(n-1,1)}$$

为什么？

首先：

$$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1).$$

另一方面：

$$\overline{X}\sim N\left(0,\frac{{\sigma }^2}{n}\right).$$

因此：

$$\frac{\sqrt{n}\overline{X}}{\sigma }\sim N(0,1),$$

平方得：

$$\frac{n{\overline{X}}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(1).$$

两者独立，于是：

$$\frac{\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}/(n-1)}{\frac{n{\overline{X}}^2}{{\sigma }^2}/1}=\frac{S^2}{n{\overline{X}}^2}\sim F(n-1,1).$$

资料专门借这道题提醒三个最常见错误：

$$\frac{{\overline{X}}^2}{{\sigma }^2}$$

少了 n；

$$\frac{S^2}{{\sigma }^2}$$

少了 n-1；

$$\frac{\overline{X}}{S}$$

少了：

$$\sqrt{n}.$$

---

三十二、最大值和最小值统计量

资料第6章还专门讲了顺序统计量中的最大值和最小值。

设：

$$X_1,\dots ,X_n$$

独立同分布，总体分布函数为 F。

定义最大值：

$$X_{(n)}=\max \{X_1,\dots ,X_n\}.$$

那么：

$$\begin{array}{rl}{F}_{\max }(x)& =P\{X_{(n)}\le x\}\\ & =P\{X_1\le x,\dots ,X_n\le x\}\\ & =[F(x){]}^n.\end{array}$$

所以：

$$\boxed{F_{\max }(x)=[F(x){]}^n}$$

---

最小值

定义：

$$X_{(1)}=\min \{X_1,\dots ,X_n\}.$$

最好先求补事件：

$$P\{X_{(1)}>x\}=P\{X_1>x,\dots ,X_n>x\}.$$

因此：

$$P\{X_{(1)}>x\}=[1-F(x){]}^n.$$

所以：

$$\boxed{F_{\min }(x)=1-[1-F(x){]}^n}$$

口诀：

最大值“不超过” → 所有都不超过。

最小值“大于” → 所有都大于。

---

三十三、非正态总体怎么办？

如果总体不一定正态，只要：

$$E(X)=\mu ,D(X)={\sigma }^2$$

存在，那么前面三个基本数字特征仍然成立：

$$E(\overline{X})=\mu ,$$ $$D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n},$$ $$E(S^2)={\sigma }^2.$$

但是：

$$\overline{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$$

不一定精确成立。

当 n 很大时，由中心极限定理：

$$\boxed{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sigma }\stackrel{d}{\to }N(0,1)}$$

因此大样本下：

$$\overline{X}\approx N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right).$$

资料的知识结构中特别列出了这一结论。

---

三十四、题型一：求统计量的数字特征

资料例6.9：

总体密度：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}|x|,& |x|<1,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求：

$$E(\overline{X}),D(\overline{X}),E(S^2).$$

这类题根本不需要求 $\overline{X}$ 的密度。

先求总体：

$$E(X)=0$$

因为密度对称，而：

$$x|x|$$

是奇函数。

再求：

$$E(X^2)=2{\int }_0^1{x}^{3}dx=\frac{1}{2}.$$

所以：

$$D(X)=\frac{1}{2}.$$

直接套：

$$\boxed{E(\overline{X})=0}$$ $$\boxed{D(\overline{X})=\frac{1}{2n}}$$ $$\boxed{E(S^2)=\frac{1}{2}}$$

此类题标准流程

先求：

$$\mu =E(X),{\sigma }^2=D(X),$$

然后立刻转：

$$E(\overline{X})=\mu ,$$ $$D(\overline{X})=\frac{{\sigma }^2}{n},$$ $$E(S^2)={\sigma }^2.$$

---

三十五、题型二：求 S² 的方差等数字特征

资料例6.8中：

$$X_i\sim N(0,1),$$

定义：

$$T=\overline{X}+S^2.$$

已知：

$$(n-1)S^2\sim {\chi }^2(n-1).$$

由于：

$$D\left({\chi }^2(n-1)\right)=2(n-1),$$

所以：

$$(n-1{)}^{2}D(S^2)=2(n-1).$$

得到：

$$\boxed{D(S^2)=\frac{2}{n-1}}$$

又因为正态总体：

$$\overline{X}\perp S^2,$$

所以：

$$D(T)=D(\overline{X})+D(S^2).$$

资料最后得到：

$$E(T)=1$$

以及：

$$E(T^2)=\frac{n^2+2n-1}{n(n-1)}.$$

这类题说明：

若题目问 S² 的方差、高阶矩，不要从定义硬算，优先利用卡方分布。

---

三十六、题型三：识别 t 分布

看到形如：

$$\frac{\text{正态线性组合}}{\sqrt{\text{平方和}}}$$

时优先考虑：

$$t.$$

标准做法始终是：

① 把分子标准化成

$$N(0,1).$$

② 把分母平方转成

$${\chi }^2(r).$$

③ 证明独立。

④ 配成

$$\frac{Z}{\sqrt{V/r}}.$$

这比“凭长相猜 t 分布”可靠得多。

---

三十七、题型四：识别 F 分布

一看到：

$$\frac{\text{两个平方和}}{\text{两个平方和}}$$

或者：

$$\frac{S_1^2}{S_2^2}$$

优先考虑 F。

但是不能直接说“方差比就是 F”。

必须先标准化：

$$\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1).$$

只有当：

$${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$$

时才能进一步得到：

$$\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1).$$

这是常见陷阱。

---

三十八、题型五：自由度判断

自由度是这一章隐藏的主线。

常见来源：

单样本平方偏差：

$$n-1.$$

两组平方偏差相加：

$$(n_1-1)+(n_2-1)=n_1+n_2-2.$$

k 个独立标准正态平方相加：

$$k.$$

所以做题时可以把自由度理解为：

$$\boxed{\text{真正剩余的独立平方项个数}}$$

---

三十九、最容易犯的8个错误

错误1：忘记样本是随机变量

样本：

$$X_i$$

不是已经观测到的数字。

样本值：

$$x_i$$

才是数字。

---

错误2：统计量里含未知参数

如果 μ 未知：

$$\overline{X}-\mu$$

不是统计量。

---

错误3：把样本方差写成除以 n

考研通常定义：

$$S^2=\frac{1}{n-1}\sum (X_i-\overline{X}{)}^2.$$

---

错误4：混淆两个卡方公式

$$\frac{\sum (X_i-\mu {)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n),$$

而：

$$\frac{\sum (X_i-\overline{X}{)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1).$$

---

错误5：t 分布漏掉 $\sqrt{n}$

错误：

$$\frac{\overline{X}-\mu }{S}.$$

正确：

$$\boxed{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{S}\sim t(n-1)}$$

---

错误6：构造 t、F 不检查独立性

这是非常危险的错误。

---

错误7：F 的两个自由度随便交换

一般：

$$F(n_1,n_2)\ne F(n_2,n_1).$$

只有取倒数：

$$\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1).$$

---

错误8：认为任何总体的 X̄ 与 S² 都独立

不对。

资料强调：

$$\boxed{\overline{X}\perp S^2}$$

是正态总体的重要特殊性质。

---

四十、第6章做题的统一“识别算法”

以后看到一道统计量分布题，可以固定问自己下面几件事：

第一，看总体是不是正态。

如果是正态：

$$\overline{X}$$

一定正态。

第二，看有没有平方和。

若有：

$$\sum Z_i^2$$

优先想卡方。

第三，看是不是“正态 ÷ 平方和开方”。

优先想：

$$t.$$

第四，看是不是两个平方和之比。

优先想：

$$F.$$

第五，看自由度。

问自己用了几个独立标准正态平方。

第六，检查独立性。

这是配成 t 或 F 的必要条件。

---

四十一、最后把整章压缩成一张公式网

设：

$$X_1,\dots ,X_n$$

来自：

$$N(\mu ,{\sigma }^2).$$

则：

$$\boxed{\overline{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)}$$ $$\boxed{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{\sigma }\sim N(0,1)}$$ $$\boxed{\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)}$$ $$\boxed{\frac{\sqrt{n}(\overline{X}-\mu )}{S}\sim t(n-1)}$$ $$\boxed{\overline{X}\perp S^2}$$

两个独立正态总体：

$$\boxed{\overline{X}-\overline{Y}\sim N\left({\mu }_1-{\mu }_2,\frac{{\sigma }_1^2}{n_1}+\frac{{\sigma }_2^2}{n_2}\right)}$$ $$\boxed{\frac{S_X^2/{\sigma }_1^2}{S_Y^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)}$$

若：

$${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2,$$

则：

$$\boxed{\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_{XY}\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t(n_1+n_2-2)}$$

最大值、最小值：

$$\boxed{F_{\max }(x)=[F(x){]}^n}$$ $$\boxed{F_{\min }(x)=1-[1-F(x){]}^n}$$

这些就是第6章进入考场以后最应该能迅速调用的公式体系。

这章最重要的不是死背几十条公式，而是形成一个识别反射：

$$\boxed{\text{标准正态平方和}\Rightarrow {\chi }^2}$$ $$\boxed{\text{正态}/\sqrt{{\chi }^2/\nu }\Rightarrow t}$$ $$\boxed{({\chi }_1^2/{\nu }_1)/({\chi }_2^2/{\nu }_2)\Rightarrow F}$$

一旦这三种“母结构”真正理解了，第6章的大多数综合题以及第7章的区间估计、假设检验都会自然很多。