第 2 章一维随机变量及其分布

掌握分布函数、离散型与连续型随机变量、常见分布及一维随机变量函数的分布。

本章把随机试验结果数值化为随机变量，重点掌握分布函数、常见离散与连续分布、正态标准化以及函数分布的求法。

随机变量 → 分布函数 → 离散型与连续型随机变量 → 常见分布 → 随机变量函数的分布。

这一章最核心的不是“背一堆分布”，而是建立一个统一思想：

随机试验的结果先用随机变量数值化，再用“分布”描述这个随机变量取各种值的概率规律。

讲义中特别强调的高频难点是：分布函数端点、离散/连续之间的转换、二项/几何/超几何模型辨别、正态标准化，以及随机变量函数分布的值域和分段。

一、第2章到底在研究什么？

第1章研究的是：

某个事件 A 会不会发生？发生的概率是多少？

例如抛骰子：

“出现偶数”是事件；
“点数大于4”也是事件。

到了第2章，我们把结果进一步数值化。

例如令随机变量 $X$ 表示骰子的点数，那么

X \in {1, 2, 3, 4, 5, 6} .

这样，“出现偶数”就变成了

{X = 2, 4, 6},

“点数大于4”变成了

{X > 4} .

所以，从第2章开始，概率问题逐渐从“事件语言”转化成“随机变量语言”。

这一步非常重要，因为后面可以利用：

函数；
求和；
极限；
微分；
积分；

来研究概率问题。

二、随机变量

1. 随机变量的本质

随机变量本质上是：

定义在样本空间上的一个实值函数。

也就是说，每出现一个随机试验结果 $ω$ ，随机变量 $X$ 就给它对应一个实数：

ω ⟼ X (ω) .

例如抛两枚硬币，可以定义：

X = 出现正面的枚数 .

那么：

两枚反面对应 $X = 0$ ；
一正一反对应 $X = 1$ ；
两枚正面对应 $X = 2$ 。

注意：

“随机”不是说函数本身随机，而是因为输入的试验结果随机，所以输出值随机。

三、分布函数——本章最统一的概念

这是本章最重要的概念之一。

任何随机变量，不管它是：

离散型；
连续型；
混合型；

都可以用分布函数描述。

定义为：

F (x) = P {X \leq x} .

它表示：

随机变量 $X$ 落在区间 $(- \infty, x]$ 中的概率。

讲义也特别强调：分布函数是描述随机变量分布的统一工具。

四、分布函数必须掌握的三个性质

一个函数能够成为某随机变量的分布函数，当且仅当满足下面三类基本要求。

1. 单调不减

如果

x_{1} < x_{2},

那么

F (x_{1}) \leq F (x_{2}) .

原因很简单：

{X \leq x_{1}} \subset {X \leq x_{2}} .

所以概率只能增加，不能减少。

考研选择题技巧

看到一个函数问“能否成为分布函数”，第一眼先看：

有没有下降的地方？

有下降，直接排除。

2. 两端极限

必须有：

x \to - \infty lim F (x) = 0,

以及

x \to + \infty lim F (x) = 1.

直观理解：

当 $x$ 非常小时，

P {X \leq x} \to 0;

当 $x$ 非常大时，

P {X \leq x} \to 1.

3. 右连续

必须满足：

F (x + 0) = F (x) .

注意：

分布函数要求右连续，不要求左连续。

这是高频易错点。

五、如何利用分布函数求概率？

这个知识点特别重要。

基本公式：

P {a < X \leq b} = F (b) - F (a) .

为什么？

因为：

{X \leq b} = {X \leq a} \cup {a < X \leq b},

两个事件互斥，因此：

F (b) = F (a) + P {a < X \leq b} .

于是：

P {a < X \leq b} = F (b) - F (a) .

1. 各种端点形式

必须会：

P {X < a} = F (a - 0),

P {X \leq a} = F (a),

因此：

P {X = a} = F (a) - F (a - 0) .

这个公式非常重要：

离散型随机变量某一点的概率，就是分布函数在这一点的跳跃高度。

此外：

P {a \leq X \leq b} = F (b) - F (a - 0),

P {a < X < b} = F (b - 0) - F (a),

P {X \geq a} = 1 - F (a - 0) .

这些端点关系是讲义中特别强调的高频考点。

六、离散型随机变量

1. 什么是离散型？

如果随机变量只能取：

有限多个值；
或可列无穷多个值；

就称为离散型随机变量。

例如：

X \in {0, 1, 2, \dots} .

七、离散型随机变量的分布律

设随机变量可能取：

x_{1}, x_{2}, \dots,

对应概率为：

P {X = x_{i}} = p_{i} .

那么这组对应关系就称为分布律。

必须满足两个条件：

p_{i} \geq 0,

以及

i \sum p_{i} = 1.

讲义指出，这两条是确定离散型分布中未知参数最常用的依据。

例题：求未知参数

假设：

P {X = k} = C a^{k}, k = 0, 1, 2, \dots,

其中

0 < a < 1.

由概率总和为1：

k = 0 \sum \infty C a^{k} = 1.

于是：

C \frac{1}{1 - a} = 1,

因此：

C = 1 - a .

这类题第一反应就是：

\sum p_{i} = 1.

八、离散型分布函数怎么写？

离散型随机变量的分布函数为：

F (x) = x_{i} \leq x \sum p_{i} .

因此它是一条阶梯函数。

讲义概括了它的三个典型特征：

随机变量不能取值的区间上， $F (x)$ 不变；
在可能取值处发生跳跃；
跳跃高度就是该点概率。

例题

设

$X$	$- 1$	$0$	$2$
$P$	$1/4$	$1/2$	$1/4$

那么：

当

x < - 1

时，没有可能值小于等于 $x$ ，所以：

F (x) = 0.

当

- 1 \leq x < 0

时，只包含 $X = - 1$ ，所以：

F (x) = \frac{1}{4} .

当

0 \leq x < 2

时：

F (x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} .

当

x \geq 2

时：

F (x) = 1.

所以：

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, 1, x < - 1, - 1 \leq x < 0, 0 \leq x < 2, x \geq 2.

注意为什么写：

- 1 \leq x < 0

而不是：

- 1 < x \leq 0 ?

因为在 $x = - 1$ 时：

F (- 1) = P {X \leq - 1} = \frac{1}{4} .

这正体现了分布函数的右连续。

九、连续型随机变量

连续型随机变量与离散型最大的区别：

离散型把概率放在“点”上；连续型把概率分布在“区间”上。

如果存在非负函数 $f (x)$ ，使：

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t,

那么 $X$ 称为连续型随机变量， $f (x)$ 称为概率密度。

十、概率密度的两个基本条件

必须满足：

f (x) \geq 0,

以及：

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1.

所以确定密度参数的题，第一反应：

\int f (x) d x = 1.

例题

设：

f (x) = {C x, 0, 0 < x < 2, 其他 .

求 $C$ 。

由归一性：

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1.

因此：

\int_{0}^{2} C x d x = 1.

得到：

2 C = 1,

所以：

C = \frac{1}{2} .

十一、密度不是概率

这是本章一个极其容易错的地方。

连续型随机变量中：

P {X = x} = 0.

但这不代表：

f (x) = 0.

例如标准正态变量在 $0$ 点：

f (0) = \frac{1}{2 π},

但：

P {X = 0} = 0.

所以一定记住：

密度值不是概率。

密度真正有概率意义的是面积：

P {a < X \leq b} = \int_{a}^{b} f (x) d x .

讲义特别提醒这一点，同时指出密度函数甚至完全可能大于1，只要总积分仍为1即可。

十二、连续型随机变量为什么端点无所谓？

因为：

P {X = a} = 0.

因此：

P {a < X < b}

和

P {a \leq X < b},

以及

P {a < X \leq b},

以及

P {a \leq X \leq b}

完全相等。

都等于：

F (b) - F (a) .

所以：

连续型题目中，一般不用纠结区间端点是否取等号。

而离散型必须纠结。

十三、密度函数与分布函数之间的转换

这一块必须非常熟练。

由密度求分布函数：

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t .

若 $f (x)$ 在 $x$ 处连续，则：

F^{'} (x) = f (x) .

但是注意：

并不是任意点都可以直接写 $f (x) = F^{'} (x)$ 。

讲义明确指出，只有密度在该点连续时才能直接使用；改变密度函数有限个点的取值，也不会改变随机变量的分布。

十四、离散型与连续型最核心对比

项目	离散型	连续型
基本描述	分布律	概率密度
单点概率	可以大于0	恒等于0
区间概率	求和	积分
分布函数	阶梯状	连续
参数条件	概率和为1	密度积分为1
典型例子	二项、泊松	正态、指数

十五、常见离散分布

这部分是考研必须背熟的。

讲义列出的五种常见离散型分布分别是：

0-1分布；
二项分布；
几何分布；
超几何分布；
泊松分布。

真正做题时不要单纯背公式，而要先识别模型关键词。

十六、0-1分布

一次试验只有：

成功；
失败；

两种结果。

令：

X = {1, 0, 成功, 失败 .

若成功概率为 $p$ ，失败概率为：

q = 1 - p,

则：

P {X = k} = p^{k} q^{1 - k}, k = 0, 1.

关键词

一次试验、成功/失败、发生/不发生、合格/不合格。

十七、二项分布——最重要的离散分布之一

假设：

固定做 $n$ 次试验；
各次试验独立；
每次只有成功和失败；
每次成功概率都是 $p$ ；
$X$ 表示成功总次数。

则：

X \sim B (n, p) .

概率公式：

P {X = k} = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}, k = 0, 1, \dots, n .

讲义对二项分布的模型条件总结得非常明确：固定次数、独立重复、成功概率不变、统计成功次数。

1. 至少一次

不要傻算：

P {X = 1} + P {X = 2} + \dots .

优先用对立事件：

P {X \geq 1} = 1 - P {X = 0} .

即：

P {X \geq 1} = 1 - (1 - p)^{n} .

2. 至多 $m$ 次

P {X \leq m} = k = 0 \sum m (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} .

3. 失败次数

如果：

X \sim B (n, p)

表示成功次数，那么失败次数：

Y = n - X

满足：

Y \sim B (n, 1 - p) .

十八、几何分布

二项分布问：

固定做 $n$ 次，成功几次？

几何分布问：

一直做，第几次第一次成功？

设每次独立成功概率为 $p$ ，令 $X$ 表示第一次成功所需要的试验次数。

那么：

P {X = k} = (1 - p)^{k - 1} p, k = 1, 2, \dots

因为：

前 $k - 1$ 次全部失败；
第 $k$ 次成功。

讲义明确把“首次成功、第几次才成功、重复到成功为止”作为几何分布的识别关键词。

几何分布尾概率

P {X > m} = (1 - p)^{m} .

意思是：

前 $m$ 次全部失败。

十九、几何分布的无记忆性

非常重要：

P {X > m + n ∣ X > m} = P {X > n} .

意思是：

已经失败了 $m$ 次，并不会改变未来还要等多久。

这也是几何分布的重要特征。

二十、超几何分布

这是和二项分布最容易混的一种。

假设：

总体共有 $N$ 个；
其中 $M$ 个属于某目标类别；
不放回抽取 $n$ 个；
$X$ 表示抽到目标类别的个数。

则：

P {X = k} = \frac{( k M ) ( n - k N - M )}{( n N )} .

其取值范围必须满足：

max {0, n - (N - M)} \leq k \leq min {n, M} .

讲义特别提醒，不能机械地写成 $0, 1, \dots, n$ 。

二十一、二项分布 vs 超几何分布

这是考研高频判断点。

二项分布

特点：

独立重复 / 放回抽样。

每一次成功概率都是固定的 $p$ 。

超几何分布

特点：

不放回抽样。

每抽走一个对象，总体组成发生变化，因此后一次成功概率一般也跟着变化。

讲义的总结是：

对比	二项	超几何
抽样	放回或独立重复	不放回
成功率	不变	改变
独立性	独立	通常不独立

看到“不放回”三个字，要高度警觉：

很可能是超几何，不是二项。

二十二、泊松分布

若：

P {X = k} = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !}, k = 0, 1, 2, \dots,

则称：

X \sim P (λ) .

典型背景：

一小时内电话呼叫次数；
一页书中的印刷错误数；
某时间内事故次数；
某区域内故障点个数。

也就是：

固定时间、固定长度、固定面积或固定区域内，某类事件出现的次数。

讲义将其概括为稀有事件计数模型。

二十三、泊松近似二项分布

当：

$n$ 很大；
$p$ 很小；
$n p$ 大小适中；

令：

λ = n p,

则：

(k n) p^{k} (1 - p)^{n - k} \approx e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !} .

所以：

B (n, p)

可近似为：

P (n p) .

典型关键词：

大量机会 + 单次小概率 + 统计事件发生次数。

二十四、三个连续型常见分布

讲义要求重点掌握：

均匀分布；
指数分布；
正态分布。

二十五、均匀分布

若：

X \sim U (a, b),

则：

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{b - a}, 0, a < x < b, 其他 .

分布函数：

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{x - a}{b - a}, 1, x < a, a \leq x < b, x \geq b .

均匀分布最核心的特点：

等长度区间具有相等概率。

所以：

P {c < X < d} = \frac{d - c}{b - a},

只要：

[c, d] \subset [a, b] .

二十六、指数分布

若：

X \sim E (λ), λ > 0,

则：

f (x) = {λ e^{- λ x}, 0, x > 0, x \leq 0.

分布函数：

F (x) = {0, 1 - e^{- λ x}, x \leq 0, x > 0.

尾概率：

P {X > x} = e^{- λ x} .

常见背景：

元件寿命；
等待时间；
故障间隔时间。

二十七、指数分布的无记忆性

指数分布和几何分布是一对非常经典的无记忆分布。

指数分布满足：

P {X > s + t ∣ X > s} = P {X > t} .

含义：

某元件已经工作了 $s$ 小时，在指数寿命模型下，它再工作至少 $t$ 小时的概率，与已经使用了多久无关。讲义同时指出：几何分布是离散型无记忆分布，指数分布是连续型无记忆分布。

二十八、正态分布

这是整个概率论最重要的连续分布之一。

若：

X \sim N (μ, σ^{2}),

则密度：

f (x) = \frac{1}{2 π σ} exp [- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}] .

其中：

$μ$ 决定中心位置；
$σ$ 决定宽窄；
$σ^{2}$ 是方差。

图像是一条对称钟形曲线。

对称轴：

x = μ .

最大值在：

x = μ .

且：

f (μ) = \frac{1}{2 π σ} .

讲义还指出其拐点位于：

x = μ \pm σ .

并且 $σ$ 越大，曲线越宽越矮。

二十九、标准正态分布

如果：

Z \sim N (0, 1),

则密度记为：

φ (x) = \frac{1}{2 π} e^{- x^{2} /2} .

分布函数记为：

Φ (x) = \int_{- \infty}^{x} φ (t) d t .

最重要的对称关系：

Φ (- x) = 1 - Φ (x) .

因此：

Φ (0) = \frac{1}{2} .

还有：

P {∣ Z ∣ \leq a} = 2Φ (a) - 1,

以及：

P {∣ Z ∣ > a} = 2 [1 - Φ (a)] .

三十、一般正态分布如何计算概率？

这一点几乎固定套路：

如果：

X \sim N (μ, σ^{2}),

一定先标准化：

Z = \frac{X - μ}{σ} .

于是：

Z \sim N (0, 1) .

因此：

P {X \leq x} = Φ (\frac{x - μ}{σ}) .

区间概率：

P {a < X \leq b} = Φ (\frac{b - μ}{σ}) - Φ (\frac{a - μ}{σ}) .

讲义给出的正态题固定流程就是：

标准化；
同时变换不等式；
化成 $Φ$ ；
利用对称公式处理负数。

最大易错点

标准化分母是：

σ,

不是：

σ^{2} .

也就是说：

\frac{X - μ}{σ}

正确，而：

\frac{X - μ}{σ ^{2}}

错误。

三十一、8种常见分布如何一眼识别？

这是建议直接背下来的表。

题目背景	优先想到
一次试验成功/失败	0-1分布
固定做 $n$ 次，统计成功次数	二项分布
一直做到首次成功，问第几次	几何分布
有限总体不放回抽样	超几何分布
固定时间/区域内事件次数	泊松分布
区间上等可能取值	均匀分布
寿命、等待时间、无记忆	指数分布
对称钟形、误差类	正态分布

讲义的模型速查表也是按这个思路组织的。

三十二、本章大难点：随机变量函数的分布

设已经知道随机变量 $X$ 的分布，又定义：

Y = g (X) .

要求：

$Y$ 的分布是什么？

这类题是第2章中最能拉开差距的题型。

讲义给出的统一核心思想是：

F_{Y} (y) = P {Y \leq y} = P {g (X) \leq y} .

所以本质上：

把关于 $Y$ 的事件，转化成关于 $X$ 的事件。

三十三、离散型随机变量函数的分布

如果：

P {X = x_{i}} = p_{i},

又：

Y = g (X),

做法非常直接。

第一步：列出 $X$ 的所有值。

第二步：分别计算：

g (x_{1}), g (x_{2}), \dots

第三步：相同的 $Y$ 值必须合并概率。

这是关键。

例题

设：

$X$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.2$	$0.2$

令：

Y = X^{2} .

那么：

Y \in {0, 1, 4} .

其中：

P {Y = 0} = P {X = 0} = 0.3.

P {Y = 1} = P {X = - 1} + P {X = 1} = 0.4.

P {Y = 4} = P {X = - 2} + P {X = 2} = 0.3.

所以：

$Y$	$0$	$1$	$4$
$P$	$0.3$	$0.4$	$0.3$

最大易错点就是：

$X = - 1$ 和 $X = 1$ 都映射到 $Y = 1$ ，概率必须合并。

三十四、连续型随机变量函数的分布：万能方法

推荐优先掌握分布函数法。

假设：

Y = g (X) .

第一步：先求 $Y$ 的值域。

这是很多人最容易漏的一步。

第二步：

写：

F_{Y} (y) = P {Y \leq y} .

第三步：

转换：

P {Y \leq y} = P {g (X) \leq y} .

第四步：

利用 $X$ 的分布求概率。

第五步：

如果需要密度，再求导：

f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y) .

讲义明确把这个方法称为最稳妥、适用范围最广的方法。

三十五、典型题：平方变换

设：

Y = X^{2} .

不要直接解成：

X = Y

然后套单调变换公式。

因为：

x^{2}

在整个实轴上不是一一对应。

一个 $y > 0$ 对应：

X = y

和：

X = - y .

应该使用分布函数法。

因为：

F_{Y} (y) = P {X^{2} \leq y} .

当：

y < 0

时：

F_{Y} (y) = 0.

当：

y \geq 0

时：

X^{2} \leq y

等价于：

- y \leq X \leq y .

因此：

F_{Y} (y) = F_{X} (y) - F_{X} (- y - 0) .

如果 $X$ 连续，则：

F_{Y} (y) = F_{X} (y) - F_{X} (- y) .

这就是平方变换的标准思路。

三十六、绝对值变换

若：

Y = ∣ X ∣,

则：

Y \geq 0.

所以：

F_{Y} (y) = 0, y < 0.

当：

y \geq 0

时：

∣ X ∣ \leq y

等价于：

- y \leq X \leq y .

连续型情况下：

F_{Y} (y) = F_{X} (y) - F_{X} (- y) .

然后求导得到密度。

三十七、单调函数变换公式

如果 $g (x)$ 在 $X$ 的取值范围上严格单调，而且反函数：

x = h (y),

那么：

f_{Y} (y) = f_{X} (h (y)) ∣ h^{'} (y) ∣ .

一定注意绝对值：

∣ h^{'} (y) ∣ .

讲义特别强调，使用这个公式之前必须检查：

是否严格单调；
反函数是否正确；
$Y$ 的值域；
是否取导数绝对值。

三十八、线性变换

若：

Y = a X + b, a \neq = 0,

则：

X = \frac{Y - b}{a} .

所以：

f_{Y} (y) = \frac{1}{∣ a ∣} f_{X} (\frac{y - b}{a}) .

一个非常重要的特殊结论：

如果：

X \sim N (μ, σ^{2}),

那么：

a X + b \sim N (a μ + b, a^{2} σ^{2}) .

讲义也将其列为典型的随机变量函数变换结果。

三十九、求未知参数的四种基本入口

本章经常会给一个含参数的分布律、密度或分布函数，要求确定参数。

讲义总结得非常系统。

1. 离散型

使用：

p_{i} \geq 0,

以及：

i \sum p_{i} = 1.

2. 连续密度

使用：

f (x) \geq 0,

以及：

\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1.

3. 分布函数

使用四条：

单调不减；
右连续；
左端趋0；
右端趋1。

尤其是分段点：

x = x_{0},

一定检查：

F (x_{0}) = F (x_{0} + 0) .

4. 给概率条件

如果题目再表明：

P {a < X \leq b} = c,

那么：

F (b) - F (a) = c .

再与其他条件联立。

四十、本章最典型的考研题型

整个第2章大致可以整理成下面几类。

题型一：判断一个函数是不是分布函数

检查：

单调不减 + 右连续 + F (- \infty) = 0 + F (+ \infty) = 1

题型二：给分布函数求概率

核心公式：

P {a < X \leq b} = F (b) - F (a) .

离散型特别关注：

P {X = a} = F (a) - F (a - 0) .

题型三：分布律与分布函数互求

离散型：

F (x) = x_{i} \leq x \sum p_{i} .

反过来：

P {X = x_{i}} = F (x_{i}) - F (x_{i} - 0) .

题型四：密度与分布函数互求

由密度到分布：

F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t .

由分布到密度：

f (x) = F^{'} (x)

只在适用点使用。

题型五：确定未知参数

离散：

\sum p_{i} = 1.

连续：

\int f (x) d x = 1.

分布函数：

单调 + 右连续 + 两端极限。

题型六：识别常见分布

先看题目关键词，不要先看公式。

题型七：正态分布概率

固定套路：

X \to \frac{X - μ}{σ} \to N (0, 1) \to Φ.

题型八：随机变量函数的分布

统一入口：

F_{Y} (y) = P {g (X) \leq y} .

先值域，再变事件，再求概率，再求导。

四十一、几个最容易混淆的点

1. 分布函数 vs 密度

分布函数：

F (x) = P {X \leq x} .

它本身是概率，所以：

0 \leq F (x) \leq 1.

密度：

f (x)

不是概率，所以完全可能：

f (x) > 1.

2. 连续型分布函数连续，不代表密度连续

这是两个完全不同的概念。

连续型随机变量的 $F (x)$ 一定连续。

但是 $f (x)$ 可以有跳跃。

3. 连续的分布函数不一定对应连续型随机变量

讲义明确提醒：

连续型随机变量的分布函数一定连续，但反过来不能简单说“分布函数连续，所以一定是连续型随机变量”。

4. 单点概率为0不代表事件不可能

对于连续型：

P {X = x_{0}} = 0.

但 $X = x_{0}$ 完全可能在理论样本空间里出现。

“概率0”与“不可能事件”不是完全相同的概念。

四十二、做题时建议形成这个固定流程

以后看到任何第2章一维随机变量题，先问三个问题：

第一个：

X 是离散型还是连续型？

离散：

看点概率、求和。

连续：

看面积、积分。

第二个：

题目有没有已经给出常见分布？

如果有，先直接识别：

B (n, p), G (p), P (λ), U (a, b), E (λ), N (μ, σ^{2}) .

不要没必要地从定义重新推。

第三个：

如果要求新变量 $Y = g (X)$ 的分布，能否直接把

{Y \leq y}

变成关于 $X$ 的区间事件？

这是本章“求分布”题最核心的思维。

讲义也将复习路径概括为：

先熟悉“分布函数、分布律、概率密度”三种语言 → 再掌握常见分布模型 → 最后重点训练随机变量函数的分布。

四十三、一张表记住本章最核心公式

内容	核心公式
分布函数	$F (x) = P {X \leq x}$
区间概率	$P {a < X \leq b} = F (b) - F (a)$
单点概率	$P {X = a} = F (a) - F (a - 0)$
离散型归一性	$\sum p_{i} = 1$
连续型分布函数	$F (x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t$
连续型区间概率	$P {a < X < b} = \int_{a}^{b} f (x) d x$
密度归一性	$\int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1$
二项分布	$P {X = k} = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$
几何分布	$P {X = k} = (1 - p)^{k - 1} p$
泊松分布	$P {X = k} = e^{- λ} \frac{λ ^{k}}{k !}$
超几何分布	$P {X = k} = \frac{( k M ) ( n - k N - M )}{( n N )}$
均匀分布	$f (x) = \frac{1}{b - a}$
指数分布	$f (x) = λ e^{- λ x}$
正态标准化	$Z = \frac{X - μ}{σ}$
函数分布万能公式	$F_{Y} (y) = P {g (X) \leq y}$
单调变换	(\displaystyle f_Y(y)=f_X(h(y))	h'(y)	)

四十四、最后给出一个第2章“解题脑图”

以后做题可以按照：

① 先看随机变量类型

→ 离散型：列值、求概率、概率相加。

→ 连续型：找支持区间、积分。

↓

② 看题目给的是哪一种描述

→ 分布律；

→ 分布函数；

→ 密度；

→ 常见分布名称。

↓

③ 如果求概率

→ 离散型：求和；

→ 连续型：积分；

→ 已知分布函数：做差；

→ 正态：标准化。

↓

④ 如果求未知参数

→ 概率和 = 1；

→ 密度积分 = 1；

→ 分布函数右连续 + 两端极限。

↓

⑤ 如果求 $Y = g (X)$ 的分布

第一件事永远不是求导，而是：

先求 Y 的值域

然后：

F_{Y} (y) = P {Y \leq y} = P {g (X) \leq y}

再决定是直接得到分布函数，还是进一步求：

f_{Y} (y) = F_{Y}^{'} (y) .

这就是概率论第2章最核心、也最值得建立成固定肌肉记忆的做题体系。讲义最后的复习清单也基本围绕这些能力展开：会判断分布函数、会处理端点、会完成分布律—密度—分布函数之间的转换、会识别八种常见分布、会正态标准化、会求一维随机变量函数的分布，并会利用归一性和右连续性求参数。

第 2 章 一维随机变量及其分布

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第 2 章一维随机变量及其分布