第 3 章 二维随机变量及其分布

本章研究两个随机变量的联合规律，重点掌握联合、边缘和条件分布之间的转换、独立性判断，以及和、差、积与最值分布。

联合分布 → 边缘分布 → 条件分布 → 独立性 → 二维常见分布 → 两个随机变量函数的分布。

本章最重要的做题习惯也可以浓缩成一句话：

离散型先列联合分布表；连续型先画联合密度的支持域。

讲义中的高频考点包括：由联合分布求边缘分布、补联合分布表、求条件分布、二重积分求概率、判断独立性、二维均匀分布、二维正态分布，以及 $X+Y$、$X-Y$、$XY$、最大值和最小值的分布。

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一、第3章到底在研究什么？

第2章研究一个随机变量 $X$：

$$X\sim F_X(x).$$

现在同一次随机试验里同时观察两个量，例如一个人的身高和体重：

$$(X,Y).$$

这就叫二维随机变量。

核心变化在于：以前只需要研究“$X$ 自己怎么分布”，现在不仅要知道

$$X\text{ 怎么分布},Y\text{ 怎么分布},$$

还必须知道

$$X,Y\text{ 是怎样一起变化的}.$$

这就是联合分布。

于是本章三个最核心的概念可以这样理解：

尤其要牢记：

联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布一般不能反推出联合分布。

例如两个人都有一样的身高分布和体重分布，并不能说明“身高和体重之间的关系”也一样。

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二、二维随机变量的联合分布函数

1. 定义

二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数定义为

$$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}.$$

几何上，它表示随机点 $(X,Y)$ 落在

$$(-\infty ,x]\times (-\infty ,y]$$

这个左下方无界矩形中的概率。

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2. 为什么是“左下角”？

因为条件

$$X\le x,Y\le y$$

在平面上就是：

• 横坐标不超过 $x$；
• 纵坐标不超过 $y$。

所以是 $(x,y)$ 左下方的区域。

这是二维概率中极其重要的“数形结合”。

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三、联合分布函数的性质

必须掌握四类。

1. 范围

$$0\le F(x,y)\le 1.$$

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2. 分别单调不减

固定 $y$，若

$$x_1<x_2,$$

则

$$F(x_1,y)\le F(x_2,y).$$

同理，固定 $x$ 后关于 $y$ 也是单调不减。

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3. 边界性质

如果有一个变量趋于 $-\infty$，相应事件不可能发生：

$$F(-\infty ,y)=0,$$ $$F(x,-\infty )=0.$$

两个都趋于 $+\infty$：

$$F(+\infty ,+\infty )=1.$$

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4. 右连续性

关于每一个变量分别右连续：

$$F(x+0,y)=F(x,y),$$ $$F(x,y+0)=F(x,y).$$

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四、极重要：矩形概率公式

若要求

$$P\{x_1<X\le x_2,y_1<Y\le y_2\},$$

则

$$\boxed{P=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)}$$

讲义把它概括为：

右上角减左边、减下边，再加左下角。

为什么？

先取大矩形：

$$F(x_2,y_2),$$

减去左侧：

$$F(x_1,y_2),$$

减去下侧：

$$F(x_2,y_1).$$

但左下角被减了两遍，因此补回来：

$$+F(x_1,y_1).$$

所以本质还是容斥原理。

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五、如何判断一个二元函数能否成为联合分布函数？

一个常见陷阱：

仅仅有

$$0\le F(x,y)\le 1$$

和分别单调不减还不够。

必须保证任何矩形上的概率都非负：

$$F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\ge 0.$$

这称为矩形增量非负性。

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六、边缘分布函数

联合分布知道以后，如果我们突然“不管 $Y$ 了”，只想研究 $X$，怎么办？

定义

$$F_X(x)=P\{X\le x\}.$$

由于对 $Y$ 没有限制，相当于

$$Y<+\infty .$$

所以

$$\boxed{F_X(x)=F(x,+\infty )=\underset{y\to +\infty }{\lim }F(x,y)}$$

同理

$$\boxed{F_Y(y)=F(+\infty ,y)=\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x,y)}$$

这其实体现了本章一个非常统一的思想：

保留谁，就把另一个变量消掉。

后面：

• 离散型用求和消掉；
• 连续型用积分消掉。

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七、二维离散型随机变量

如果 $(X,Y)$ 只能取有限或可列多个二维点

$$(x_i,y_j),$$

就叫二维离散型随机变量。

定义

$$p_{ij}=P\{X=x_i,Y=y_j\}.$$

所有 $p_{ij}$ 构成联合分布律。

必须满足

$$p_{ij}\ge 0,$$

以及

$$\sum _i\sum _j{p}_{ij}=1.$$

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八、二维离散型最重要工具：联合分布表

比如

这里：

单元格：

$$P\{X=x_i,Y=y_j\}.$$

行和：

$$P\{X=x_i\}.$$

列和：

$$P\{Y=y_j\}.$$

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九、离散型边缘分布

1. $X$ 的边缘分布

保留 $X=x_i$，把所有 $Y$ 加掉：

$$\boxed{P\{X=x_i\}=p_{i\cdot }=\sum _j{p}_{ij}}$$

2. $Y$ 的边缘分布

$$\boxed{P\{Y=y_j\}=p_{\cdot j}=\sum _i{p}_{ij}}$$

记忆：

保留谁，就对另一个变量求和。

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十、离散型条件分布

假设已知

$$Y=y_j,$$

现在问 $X$ 怎么分布。

本质就是普通条件概率：

$$P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}.$$

所以

$$\boxed{P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}}$$

同理

$$\boxed{P\{Y=y_j\mid X=x_i\}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot }}}$$

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条件分布怎么记最简单？

如果给定

$$Y=y_j,$$

就是把联合分布表的第 $j$ 列单独拿出来重新归一化。

例如上述表格中：

$$P\{X=0\mid Y=1\}=\frac{0.3}{0.7}=\frac{3}{7},$$ $$P\{X=1\mid Y=1\}=\frac{0.4}{0.7}=\frac{4}{7}.$$

两者相加：

$$\frac{3}{7}+\frac{4}{7}=1.$$

所以条件分布本质就是：

切出一行/一列，再重新归一化。

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十一、离散型题的标准流程

讲义给出的做题结构非常好，可以直接形成肌肉记忆：

1. 找出 $(X,Y)$ 所有可能取值；
2. 计算联合概率；
3. 列联合分布表；
4. 检查所有概率之和是不是 $1$；
5. 行和、列和求边缘分布；
6. 固定一行/一列求条件分布；
7. 如果考独立性，再比较

$$p_{ij}$$

和

$$p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}.$$

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十二、二维连续型随机变量

如果存在函数 $f(x,y)$，使

$$F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)\mathrm{d}v\mathrm{d}u,$$

则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，$f(x,y)$ 称为联合概率密度。

必须满足：

$$f(x,y)\ge 0,$$

以及

$$\boxed{{\iint }_{{\mathbb{R}}^2}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1}$$

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十三、连续型二维概率的本质

一维连续型：

$$P\{a<X<b\}={\int }_a^b{f}_X(x)\mathrm{d}x.$$

二维只是把“长度”变成“面积”：

$$\boxed{P\{(X,Y)\in D\}={\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y}$$

因此二维连续型问题真正难的通常并不是积分，而是：

积分区域 $D$ 到底是什么？

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十四、为什么连续型必须先画支持域？

假设

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}C,& 0<x<1,0<y<1-x,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

密度非零区域是

$$0<x<1,0<y<1-x.$$

这是一个三角形。

如果要求

$$P\{X+2Y<1\},$$

真正积分区域不是单独

$$x+2y<1,$$

而是

$$\boxed{\text{支持域}\cap \{x+2y<1\}}$$

讲义因此强调：

先画支持域，再画事件区域，最后取交集。

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十五、连续型随机变量点概率

因为点、有限多个点、一般光滑曲线的面积为零，所以通常

$$P\{X=x_0,Y=y_0\}=0.$$

例如

$$P\{X=Y\}=0$$

通常成立。

因此连续型随机变量中：

$$P\{X<a\}=P\{X\le a\}.$$

边界是否包含一般不影响答案。

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十六、连续型边缘密度

这是本章最重要公式之一。

$X$ 的边缘密度

保留 $x$，把 $y$ 积掉：

$$\boxed{f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y}$$

$Y$ 的边缘密度

$$\boxed{f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}x}$$

与离散型完全对应：

$$p_{i\cdot }=\sum _j{p}_{ij}$$

对应

$$f_X(x)=\int f(x,y)\mathrm{d}y.$$

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十七、真正难点：积分上下限

假设支持域

$$0<x<1,0<y<1-x.$$

求 $f_X(x)$ 很简单：

固定 $x$，有

$$0<y<1-x.$$

所以

$$f_X(x)={\int }_0^{1-x}f(x,y)\mathrm{d}y,0<x<1.$$

但是求 $f_Y(y)$，要反过来看：

$$0<x<1-y,$$

所以

$$f_Y(y)={\int }_0^{1-y}f(x,y)\mathrm{d}x,0<y<1.$$

这就是为什么一定要会“横着切”“竖着切”区域。

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十八、连续型条件密度

如果

$$f_Y(y)>0,$$

那么

$$\boxed{f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}}$$

同理

$$\boxed{f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}}$$

这和离散型一模一样：

$$P(X=x_i\mid Y=y_j)=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}.$$

也就是说：

条件分布 = 联合分布 ÷ 条件变量的边缘分布。

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十九、条件密度的几何本质

给定

$$Y=y_0,$$

等于把二维支持域沿着水平直线

$$y=y_0$$

切一刀。

然后只研究这条截线上 $X$ 的概率分布。

再除以

$$f_Y(y_0)$$

完成归一化。

所以可以把它理解成：

二维密度切成一条线以后重新归一化。

讲义也特别强调：条件密度不仅要写表达式，还必须写清楚给定条件后 $x$ 的有效范围。

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二十、密度的乘法公式

由条件密度定义：

$$\boxed{f(x,y)=f_X(x)f_{Y\mid X}(y\mid x)}$$

或者

$$\boxed{f(x,y)=f_Y(y)f_{X\mid Y}(x\mid y)}$$

它和第1章的乘法公式

$$P(AB)=P(A)P(B\mid A)$$

完全对应。

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二十一、随机变量的独立性

这是本章核心理论。

定义：

$$X,Y\text{ 独立}$$

当且仅当对任意 $x,y$：

$$\boxed{F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)}$$

含义就是：

知道 $Y$ 的信息以后，并不会改变 $X$ 的概率规律。

也就是

$$f_{X\mid Y}(x\mid y)=f_X(x)$$

这一思想。

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二十二、离散型如何判断独立？

充分必要条件：

$$\boxed{p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}}$$

必须对所有 $i,j$ 成立。

所以标准步骤：

先算

$$p_{i\cdot },p_{\cdot j},$$

然后逐格比较。

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一个极快判断法

假设某格

$$p_{ij}=0,$$

但对应

$$p_{i\cdot }>0,p_{\cdot j}>0.$$

那么

$$p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}>0,$$

所以

$$p_{ij}\ne p_{i\cdot }{p}_{\cdot j}.$$

立即得到：

$$X,Y\text{ 不独立}.$$

这类选择题可以秒杀。

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二十三、连续型如何判断独立？

充分必要条件：

$$\boxed{f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)}$$

但这里有一个非常重要的坑：

不能只看公式表面能否写成

$$g(x)h(y).$$

还要看支持域能否拆成

$$A\times B.$$

例如

$$f(x,y)=C,0<x<y<1.$$

虽然常数 $C$ 很容易“拆”，但区域

$$0<x<y<1$$

是三角形，而不是矩形

$$A\times B.$$

因此一般不独立。

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二十四、二维均匀分布

如果 $(X,Y)$ 在有界区域 $D$ 上均匀分布：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{S_D},& (x,y)\in D,\\ 0,& \text{其他},\end{array}$$

那么任意子区域 $A\subset D$ 的概率为

$$\boxed{P\{(X,Y)\in A\}=\frac{S_A}{S_D}}$$

所以二维均匀分布很多题根本不需要积分。

直接：

概率 = 有利面积 ÷ 总面积。

讲义对此特别建议“能用面积比就不要硬做二重积分”。

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二十五、二维均匀分布与独立性

这是重要考点。

如果在矩形

$$[a,b]\times [c,d]$$

上均匀，则

$$f(x,y)=\frac{1}{(b-a)(d-c)}$$

可以写成

$$\frac{1}{b-a}\cdot \frac{1}{d-c}.$$

于是

$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y),$$

因此

$$X,Y\text{ 独立}.$$

但如果支持域是：

• 三角形；
• 圆；
• 椭圆；
• 其他非矩形区域，

通常不独立。

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二十六、二维正态分布

讲义给出的二维正态密度为

$$\begin{array}{rl}f(x,y)=& \frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\\ & \times \exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[{\left(\frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\right)}^2-2\rho \frac{x-{\mu }_1}{{\sigma }_1}\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}+{\left(\frac{y-{\mu }_2}{{\sigma }_2}\right)}^2\right]\right\}.\end{array}$$

记作

$$(X,Y)\sim N\left({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho \right).$$

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二十七、二维正态的五个参数

分别是：

$${\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho .$$

含义：

$$E(X)={\mu }_1,$$ $$E(Y)={\mu }_2,$$ $$D(X)={\sigma }_1^2,$$ $$D(Y)={\sigma }_2^2,$$

以及

$$\rho =\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}.$$

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二十八、二维正态的边缘分布

如果

$$(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho ),$$

那么必然有

$$\boxed{X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)}$$

和

$$\boxed{Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)}$$

但逆命题不成立。

也就是说：

$$X,Y\text{ 分别正态}$$

不能推出

$$(X,Y)\text{ 联合二维正态}.$$

这是选择题高频陷阱。

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二十九、二维正态中最重要结论

如果 $(X,Y)$ 联合正态，那么

$$\boxed{X,Y\text{ 独立}⟺\rho =0}$$

这是正态分布的特殊性质。

一般情况下：

$$\rho =0$$

只能推出

$$X,Y\text{ 不相关},$$

不能推出独立。

但是对于联合正态随机变量才有

$$\rho =0⟹X,Y\text{ 独立}.$$

这是考研非常喜欢考的判断题。

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三十、二维正态线性组合

如果

$$(X,Y)$$

服从二维正态，那么

$$Z=aX+bY$$

仍然正态。

均值：

$$E(Z)=a{\mu }_1+b{\mu }_2.$$

方差：

$$\boxed{D(Z)=a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2+2ab\rho {\sigma }_1{\sigma }_2}$$

因此

$$\boxed{Z\sim N\left(a{\mu }_1+b{\mu }_2,a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2+2ab\rho {\sigma }_1{\sigma }_2\right)}$$

特别地：

$$D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y),$$ $$D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\mathrm{Cov}(X,Y).$$

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三十一、两个随机变量函数的分布

这是本章后半部分的大重点。

给定

$$(X,Y),$$

构造

$$Z=g(X,Y),$$

要求 $Z$ 的分布。

例如：

$$Z=X+Y,$$ $$Z=X-Y,$$ $$Z=XY,$$ $$Z=\max \{X,Y\},$$ $$Z=\min \{X,Y\}.$$

讲义将其作为第3章最后一大块内容。

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三十二、离散型变量函数：列表法

如果 $X,Y$ 都是离散型：

第一步列所有

$$(x_i,y_j).$$

第二步计算

$$z_{ij}=g(x_i,y_j).$$

第三步把产生相同 $z$ 的概率相加。

例如

$$Z=X+Y.$$

如果

$$(X,Y)$$

可能为

$$(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),$$

则

$$Z=0,1,1,2.$$

所以

$$P\{Z=1\}=P\{X=0,Y=1\}+P\{X=1,Y=0\}.$$

最容易犯的错误就是：

同一个 $Z$ 值由多个 $(X,Y)$ 产生时，忘记合并概率。

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三十三、连续型变量函数的万能方法：分布函数法

若

$$Z=g(X,Y),$$

先求

$$F_Z(z)=P\{Z\le z\}.$$

即

$$F_Z(z)=P\{g(X,Y)\le z\}.$$

把它转化为 $xy$ 平面上的区域

$$D_z=\{(x,y):g(x,y)\le z\}.$$

于是

$$F_Z(z)={\iint }_{D_z}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

最后求导：

$$f_Z(z)=F_Z^{\prime }(z).$$

这是最通用的方法。

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三十四、和的分布

令

$$Z=X+Y.$$

一般联合密度为 $f(x,y)$ 时：

$$\boxed{f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)\mathrm{d}x}$$

如果 $X,Y$ 独立：

$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y),$$

于是得到著名的卷积公式：

$$\boxed{f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x}$$

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三十五、卷积真正难在哪里？

不是背公式，而是确定积分上下限。

例如

$$0<X<1,0<Y<1.$$

令

$$Z=X+Y.$$

卷积要求：

$$0<x<1,$$

同时

$$0<z-x<1.$$

第二个条件等价于

$$z-1<x<z.$$

所以积分范围是

$$(0,1)\cap (z-1,z).$$

这自然导致分段：

当

$$0<z<1,$$

有

$$0<x<z.$$

当

$$1<z<2,$$

有

$$z-1<x<1.$$

于是如果 $X,Y\sim U(0,1)$ 且独立：

$$f_Z(z)=\{\begin{array}{ll}z,& 0<z<1,\\ 2-z,& 1\le z<2,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

这是最经典的三角形卷积分布。

所以牢记：

卷积公式容易背，卷积上下限才是真正的考点。

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三十六、差的分布

令

$$Z=X-Y.$$

一般情况下：

$$\boxed{f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,x-z)\mathrm{d}x}$$

若独立：

$$\boxed{f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }{f}_X(x)f_Y(x-z)\mathrm{d}x}$$

记忆方法：

和：

$$x+(z-x)=z.$$

差：

$$x-(x-z)=z.$$

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三十七、乘积的分布

令

$$Z=XY.$$

一般公式：

$$\boxed{f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{|x|}f\left(x,\frac{z}{x}\right)\mathrm{d}x}$$

独立时：

$$\boxed{f_Z(z)={\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{|x|}{f}_X(x)f_Y\left(\frac{z}{x}\right)\mathrm{d}x}$$

这里最容易漏的就是：

$$\boxed{\frac{1}{|x|}}$$

它来自变量变换的尺度修正。

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三十八、最大值的分布

令

$$M=\max \{X,Y\}.$$

从分布函数出发：

$$F_M(z)=P\{M\le z\}.$$

但

$$\max \{X,Y\}\le z$$

等价于

$$X\le z,Y\le z.$$

所以

$$\boxed{F_M(z)=F(z,z)}$$

如果 $X,Y$ 独立：

$$\boxed{F_M(z)=F_X(z)F_Y(z)}$$

口诀：

最大值小于 $z$ = 所有人都小于 $z$。

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三十九、最小值的分布

令

$$N=\min \{X,Y\}.$$

直接研究

$$N\le z$$

比较麻烦，因为“至少一个小于”。

用对立事件：

$$N>z$$

等价于

$$X>z,Y>z.$$

所以若独立：

$$P\{N>z\}=[1-F_X(z)][1-F_Y(z)].$$

因此

$$\boxed{F_N(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)]}$$

口诀：

最大值看“都小”；最小值看“都大”的对立事件。

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四十、推广到 $n$ 个独立随机变量

设

$$M=\max \{X_1,\dots ,X_n\}.$$

那么

$$\boxed{F_M(z)=\prod _{i=1}^n{F}_{X_i}(z)}$$

因为

$$M\le z⟺X_1\le z,\dots ,X_n\le z.$$

对于

$$N=\min \{X_1,\dots ,X_n\},$$

有

$$\boxed{F_N(z)=1-\prod _{i=1}^n[1-F_{X_i}(z)]}$$

这实际上已经和后面的顺序统计量联系起来了。

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四十一、典型应用：指数分布最小值

假设

$$X\sim E({\lambda }_1),Y\sim E({\lambda }_2),$$

相互独立。

令

$$T=\min (X,Y).$$

指数分布有

$$P\{X>t\}=e^{-{\lambda }_{1}t},$$ $$P\{Y>t\}=e^{-{\lambda }_{2}t}.$$

所以

$$\begin{array}{rl}P\{T>t\}& =P\{X>t,Y>t\}\\ & =e^{-{\lambda }_{1}t}{e}^{-{\lambda }_{2}t}\\ & =e^{-({\lambda }_1+{\lambda }_2)t}.\end{array}$$

因此

$$\boxed{T\sim E({\lambda }_1+{\lambda }_2)}$$

这是一类非常经典的“多个设备谁先坏”“多个窗口谁先完成”的问题。讲义也把它作为最值与等待时间的典型建模方式。

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四十二、常见分布的可加性

这一块非常适合选择题秒杀。

1. 二项分布

如果

$$X\sim B(n,p),$$ $$Y\sim B(m,p),$$

且独立，那么

$$\boxed{X+Y\sim B(n+m,p)}$$

注意：两个成功概率必须相同。

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2. 泊松分布

如果

$$X\sim P({\lambda }_1),Y\sim P({\lambda }_2),$$

独立，则

$$\boxed{X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)}$$

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3. 正态分布

如果

$$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),$$ $$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2),$$

并且独立，则

$$\boxed{X+Y\sim N\left({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2\right)}$$

讲义特别提醒：使用这些“可加性”结论之前，一定先检查独立性和相应的参数条件。

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四十三、本章常考题型一：联合分布求边缘分布

看到

$$f(x,y)$$

第一反应不是积分，而是：

第一步：画支持域

第二步：要求 $f_X(x)$

竖着切：

$$f_X(x)=\int f(x,y)\mathrm{d}y.$$

第三步：要求 $f_Y(y)$

横着切：

$$f_Y(y)=\int f(x,y)\mathrm{d}x.$$

最难点：

$$\boxed{\text{积分上下限}}$$

而不是积分本身。

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四十四、题型二：含未知参数的联合密度

例如

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}C(x+y),& (x,y)\in D,\\ 0,& \text{其他}.\end{array}$$

求 $C$。

直接利用归一性：

$${\iint }_{D}C(x+y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=1.$$

解出 $C$。

这是二维版本的第2章密度归一化问题。

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四十五、题型三：求区域概率

要求

$$P\{X+Y<1\},$$

或者

$$P\{X<Y\},$$

或者

$$P\{XY<a\}.$$

统一思路：

$$\boxed{\text{支持域}\cap \text{事件区域}}$$

然后

$$P={\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$$

如果是均匀分布，可以直接：

$$P=\frac{\text{有利区域面积}}{\text{总区域面积}}.$$

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四十六、题型四：条件密度

标准流程：

先求

$$f_Y(y)$$

或者

$$f_X(x).$$

然后：

$$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}.$$

关键不是除法，而是：

给定 $Y=y$ 后，$X$ 到底还能取什么范围？

这是最容易失分的地方。

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四十七、题型五：判断独立性

离散型

检查

$$p_{ij}\stackrel{?}{=}{p}_{i\cdot }{p}_{\cdot j}.$$

连续型

先求：

$$f_X(x),f_Y(y).$$

再比较：

$$f(x,y)\stackrel{?}{=}{f}_X(x)f_Y(y).$$

同时检查支持域。

一个重要考试策略

要证明独立：

必须验证所有情况。

要证明不独立：

只需要找一个反例。

讲义也明确建议判断不独立时优先寻找不满足乘积分解的点。

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四十八、题型六：二维正态

看到

$$(X,Y)\sim N(\cdots )$$

先不要想着积分。

按下面顺序看：

第一问：边缘分布？

直接：

$$X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),$$ $$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2).$$

第二问：是否独立？

看

$$\rho .$$

二维正态中

$$\rho =0⟺X,Y\text{ 独立}.$$

第三问：线性组合？

$$aX+bY$$

还是正态。

算均值与方差即可。讲义明确指出，二维正态考研题通常重点考这些性质，而不是要求直接对联合正态密度做二重积分。

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四十九、题型七：$X+Y$ 分布

判断顺序很重要：

情况1：有现成可加性

例如两个独立正态：

直接用正态可加性。

情况2：没有现成结论

用卷积：

$$f_{X+Y}(z)=\int f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x.$$

情况3：不独立

不能写边缘密度乘积。

必须：

$$f_Z(z)=\int f(x,z-x)\mathrm{d}x.$$

所以卷积公式中的 $f_X{f}_Y$ 形式要求独立。

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五十、题型八：最大最小值

看到

$$\max$$

立即写：

$$\{\max \le z\}=\{\text{全部}\le z\}.$$

看到

$$\min$$

立即写：

$$\{\min >z\}=\{\text{全部}>z\}.$$

这是比背公式更可靠的方法。

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五十一、离散—连续混合型

讲义还特别总结了一类容易被忽视的题：

假设 $X$ 是离散型，$Y$ 是连续型，并且独立。

要求

$$U=X+Y.$$

如果

$$P\{X=x_i\}=p_i,$$

则用全概率思想：

$$\boxed{F_U(u)=\sum _i{p}_i{F}_Y(u-x_i)}$$

如果可求导：

$$\boxed{f_U(u)=\sum _i{p}_i{f}_Y(u-x_i)}$$

例如

$$P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2},$$

那么

$$F_{X+Y}(u)=\frac{1}{2}{F}_Y(u)+\frac{1}{2}{F}_Y(u-1).$$

本质就是：

先固定离散变量的每一个可能取值，再用全概率公式。

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五十二、本章最容易混淆的概念

1. 联合分布与边缘分布

联合：

$$f(x,y).$$

边缘：

$$f_X(x),f_Y(y).$$

联合信息更多。

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2. 独立与不相关

独立是分布层面的关系。

不相关是数字特征层面的关系。

一般：

$$\text{独立}⟹\text{不相关}.$$

但

$$\text{不相关}\nRightarrow \text{独立}.$$

联合正态是特殊情况。

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3. 随机变量独立与事件独立

事件独立：

$$P(AB)=P(A)P(B).$$

随机变量独立要求：

$$P\{X\in A,Y\in B\}=P\{X\in A\}P\{Y\in B\}$$

对所有合适集合都成立。

因此不能只随便检查一个事件就说随机变量独立。

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五十三、本章最值得形成的统一思想

实际上离散型和连续型完全平行：

所以不要把它们看成两套完全不同的公式。

本质是同一件事：

求和 ↔ 积分。

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五十四、本章做题总框架

以后看到第3章题目，可以先判断它属于哪一类。

第一类：给联合分布

先求：

$$\boxed{\text{边缘分布}}$$

再考虑：

$$\boxed{\text{条件分布}}$$

最后：

$$\boxed{\text{独立性}}$$

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第二类：给联合密度求概率

第一动作：

$$\boxed{\text{画支持域}}$$

然后：

$$\boxed{\text{画事件区域}}$$

再：

$$\boxed{\text{取交集}}$$

最后二重积分。

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第三类：求 $Z=g(X,Y)$

先写：

$$F_Z(z)=P\{g(X,Y)\le z\}.$$

再把它变成二维区域。

如果是经典形式，则优先用：

$$X+Y\to \text{卷积},$$ $$X-Y\to \text{差分布公式},$$ $$XY\to \text{乘积分布公式},$$ $$\max \to \text{都小于},$$ $$\min \to \text{都大于的对立事件}.$$

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五十五、本章高频易错点

结合讲义，可以重点记这 12 个：

1. 把联合分布和边缘分布混为一谈；
2. 认为两个边缘分布能唯一确定联合分布；
3. 离散型条件概率的分母用错；
4. 连续型求边缘密度时不画支持域；
5. 条件密度忘记重新确定变量范围；
6. 只看密度公式可以拆乘积，就判断独立；
7. 忽略支持域是否为笛卡尔积；
8. 看到

$$\rho =0$$

就无条件说独立； 9. 卷积直接从 $-\infty$ 积到 $+\infty$，不处理有效支持区间； 10. 求 $XY$ 分布时忘记

$$\frac{1}{|x|};$$

11. 最大值、最小值事件写反；
12. 使用二项、泊松、正态可加性前忘记检查独立条件。

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五十六、考研复习时最应该背的公式

如果只做一张公式卡，建议至少记下面这些。

联合分布函数

$$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}.$$

矩形概率

$$P=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1).$$

边缘分布函数

$$F_X(x)=F(x,+\infty ),$$ $$F_Y(y)=F(+\infty ,y).$$

离散边缘

$$p_{i\cdot }=\sum _j{p}_{ij},p_{\cdot j}=\sum _i{p}_{ij}.$$

离散条件

$$P\{X=x_i\mid Y=y_j\}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}.$$

连续边缘

$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}y,$$ $$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)\mathrm{d}x.$$

连续条件

$$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}.$$

独立

$$F(x,y)=F_X(x)F_Y(y),$$

离散：

$$p_{ij}=p_{i\cdot }{p}_{\cdot j},$$

连续：

$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y).$$

和分布

$$f_{X+Y}(z)=\int f(x,z-x)\mathrm{d}x.$$

独立：

$$f_{X+Y}(z)=\int f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x.$$

差分布

$$f_{X-Y}(z)=\int f(x,x-z)\mathrm{d}x.$$

积分布

$$f_{XY}(z)=\int \frac{1}{|x|}f\left(x,\frac{z}{x}\right)\mathrm{d}x.$$

最大值

$$F_{\max }(z)=F(z,z).$$

独立：

$$F_{\max }(z)=F_X(z)F_Y(z).$$

最小值

独立时：

$$F_{\min }(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)].$$

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五十七、把整章压成一张“解题地图”

可以把第3章最终记成：

$$\boxed{\text{联合}⟶\text{边缘}⟶\text{条件}⟶\text{独立}}$$

其中：

$$\boxed{\text{边缘}=\text{消掉另一个变量}}$$

离散：

$$\text{求和}.$$

连续：

$$\text{积分}.$$

条件：

$$\boxed{\text{联合}÷\text{条件变量边缘}}$$

独立：

$$\boxed{\text{联合}=\text{两个边缘的乘积}}$$

然后第二条主线：

$$\boxed{(X,Y)⟶Z=g(X,Y)}$$

其中：

$$X+Y\to \text{卷积},$$ $$X-Y\to \text{差},$$ $$XY\to \frac{1}{|x|},$$ $$\max \to \text{都小于},$$ $$\min \to \text{都大于的对立事件}.$$

**如果把这两条主线真正理解了，第3章绝大多数题就不再是“背公式”，而是判断当前应该做“求和、积分、归一化、乘积分解还是变量变换”。**这也正是讲义中本章各类题型组织方式的核心。

如果按考研刷题的重要程度排序，建议优先做到非常熟练的是：

① 联合密度→边缘密度 → ② 条件密度 → ③ 独立性判断 → ④ 二维区域概率 → ⑤ $X+Y$ 卷积 → ⑥ 最大最小值 → ⑦ 二维正态。

这几块基本覆盖第3章最核心的计算与选择题考点。