第 7 章参数估计与假设检验

掌握矩估计、最大似然估计、估计量评价、置信区间与假设检验，建立统计推断的统一框架。

本章进入统计推断：利用样本信息估计总体中的未知参数，并通过样本证据检验关于总体参数的假设。内容分为参数估计与假设检验两条主线。

一、先建立第 7 章的总框架

整个第 7 章实际上只回答两个问题：

问题 1：总体参数到底是多少？

这是参数估计。

问题 2：别人声称总体参数是某个值，这一说法是否可信？

这是假设检验。

参数估计又分：

点估计：直接猜一个数；
区间估计：给一个可靠区间。

因此：

                   统计推断
                      │
          ┌───────────┴───────────┐
          │                       │
       参数估计                 假设检验
          │                       │
     ┌────┴────┐              判断假设
     │         │
   点估计    区间估计
     │         │
矩估计/MLE   置信区间

资料特别强调，本章与第 6 章不是两章孤立内容：第 6 章学的标准正态分布、χ² 分布、t 分布、F 分布以及正态总体抽样分布，在第 7 章全部变成了解题工具。

可以把第 6、7 章理解成：

第 6 章：统计量服从什么分布？ 第 7 章：知道这个分布以后，怎么估计参数、检验参数？

二、点估计：用一个统计量“猜”参数

1. 估计量和估计值到底有什么区别？

假设总体分布中有未知参数 θ。

抽取简单随机样本：

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

我们构造一个统计量：

θ = θ (X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n})

用它估计 θ。

它叫估计量。

真正抽样之后，例如得到：

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

代进去得到：

θ = θ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

这时得到的具体数字叫估计值。

最重要的区别：

估计量是随机变量；估计值是一次抽样以后得到的具体数。

三、矩估计法

这是考研最重要的两个点估计方法之一。

资料给出的本质非常简单：

总体矩不知道，但样本矩知道，于是用样本矩代替总体矩。

1. 一个未知参数

如果只有一个未知参数 θ，一般找一个总体矩：

E (X)

如果它可以写成：

E (X) = g (θ)

那么用样本一阶矩：

\overline{X} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

代替总体一阶矩：

g (θ) = \overline{X}

解 θ。

2. 两个未知参数

有两个参数就通常列两个矩方程：

E (X) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}

E (X^{2}) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2}

再解两个未知参数。

一般地，有 k 个未知参数，就设法建立 k 个矩方程。

四、资料例 7.1：正态总体的矩估计

资料中的典型题：

设总体

X \sim N (μ, σ^{2})

其中 μ 和方差均未知，求二者的矩估计量。

总体一阶矩：

E (X) = μ

总体二阶原点矩：

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2} = σ^{2} + μ^{2}

样本的一阶、二阶矩：

\overline{X}

以及

\frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2}

建立矩方程：

⎩ ⎨ ⎧ μ = \overline{X} σ^{2} + μ^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2}

因此：

μ = \overline{X}

以及

σ^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2} - \overline{X}^{2}

再利用恒等式：

i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2} = i = 1 \sum n X_{i}^{2} - n \overline{X}^{2}

得到：

σ^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}

这里非常重要：

\frac{1}{n} i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}

不是平时定义的样本方差，因为样本方差为：

S^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}

因此：

矩估计得到的方差估计量一般分母是 n

而不是：

n - 1

这是高频易错点。

五、矩估计一个非常重要的技巧：一阶矩没用怎么办？

不是“一个参数就必须使用一阶矩”。

资料例 7.4 就体现了这个问题。

如果概率密度关于 0 对称，从而：

E (X) = 0

这个式子里面根本没有待估参数，那么一阶矩无法帮助我们估计参数。

这时向上找：

E (X^{2})

甚至必要时找更高阶矩。

所以矩估计真正的原则是：

找能够把未知参数解出来的总体矩。

而不是机械地“有一个参数就用一阶矩”。

六、最大似然估计 MLE

第二个超级重点。

它的思想比矩估计更有统计意义：

已经观察到了这一批样本，那么什么参数值会使“出现这一批样本”最有可能？就把这个参数值作为估计。

资料也把“写出似然函数并求最大值”视为核心。

七、最大似然估计的标准四步法

假设连续总体概率密度为：

f (x; θ)

样本独立同分布，因此联合密度：

L (θ) = i = 1 \prod n f (x_{i}; θ)

这个函数叫似然函数。

第一步：写似然函数

连续型：

L (θ) = i = 1 \prod n f (x_{i}; θ)

离散型：

L (θ) = i = 1 \prod n P {X = x_{i}; θ}

第二步：通常取对数

因为：

ln (ab) = ln a + ln b

所以乘积会变成求和。

于是研究：

ln L (θ)

通常明显简单。

第三步：求导

令：

\frac{d}{d θ} ln L (θ) = 0

求出候选参数。

多个参数则：

\frac{\partial ln L}{\partial θ _{1}} = 0

\frac{\partial ln L}{\partial θ _{2}} = 0

……

第四步：确认确实取得最大值

考研大多数常规题中，解出来就是答案。

但有一类题必须警惕：

参数出现在样本取值范围中。

这时候最大值往往在边界取得，不能机械求导。

例如总体：

f (x; θ) = \frac{1}{θ}, 0 < x < θ

样本必须满足：

θ \geq X_{(n)}

其中：

X_{(n)} = max {X_{1}, \dots, X_{n}}

似然函数又随 θ 增大而减小，于是最大值在最小允许 θ 处取得：

θ = X_{(n)}

这种“最大值、最小值型 MLE”是非常值得重点掌握的拓展题型。

八、资料例 7.2：典型最大似然估计

资料给出概率密度：

f (x; θ) = \frac{x}{θ ^{2}} exp (- \frac{x ^{2}}{2 θ ^{2}}), x > 0

其中：

θ > 0

似然函数：

L (θ) = \frac{x _{1} x _{2} \dots x _{n}}{θ ^{2 n}} exp [- \frac{\sum _{i = 1}^{n} x _{i}^{2}}{2 θ ^{2}}]

取对数：

ln L = i = 1 \sum n ln x_{i} - 2 n ln θ - \frac{1}{2 θ ^{2}} i = 1 \sum n x_{i}^{2}

求导：

\frac{d ln L}{d θ} = - \frac{2 n}{θ} + \frac{1}{θ ^{3}} i = 1 \sum n x_{i}^{2}

令其为零：

- \frac{2 n}{θ} + \frac{1}{θ ^{3}} i = 1 \sum n x_{i}^{2} = 0

所以：

2 n θ^{2} = i = 1 \sum n x_{i}^{2}

于是：

θ = \frac{1}{2 n} i = 1 \sum n X_{i}^{2}

这就是最标准的 MLE 模板。

九、最大似然估计的不变性

这是非常好用的性质。

如果 θ 的最大似然估计是：

θ

而需要估计：

g (θ)

那么通常直接：

g (θ) = g (θ)

资料例 7.15、7.16 都专门用到了这一性质。

例如：

σ^{2}

的 MLE 是：

σ^{2}

那么 σ 的 MLE：

σ = σ^{2}

不用重新写似然函数。

十、矩估计与最大似然估计有什么本质区别？

矩估计：

总体的矩 ≈ 样本的矩。

最大似然：

哪个参数最能解释已经看到的样本？

做题区别：

矩估计的启动信号

看到“求矩估计”，立刻想：

E (X), E (X^{2}), \dots

再用：

\overline{X}, \frac{1}{n} \sum X_{i}^{2}, \dots

替换。

最大似然的启动信号

立刻写：

L (θ) = \prod f (x_{i}; θ)

或者：

L (θ) = \prod p (x_{i}; θ)

十一、估计量的三个评价标准

资料明确要求掌握：

无偏性；
有效性；
一致性（相合性）。

1. 无偏性

如果：

E (θ) = θ

那么：

θ 是 θ 的无偏估计量

直观解释：

如果无限次重复抽样，所有估计结果的平均值恰好等于真正参数。

2. 最经典例子：为什么样本方差除以 n−1？

我们知道：

S^{2} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}

满足：

E (S^{2}) = σ^{2}

所以：

S^{2}

是：

σ^{2}

的无偏估计量。

而：

B_{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (X_{i} - \overline{X})^{2}

满足：

E (B_{2}) = \frac{n - 1}{n} σ^{2}

因此它是有偏估计量。

所以注意：

MLE 不保证无偏。矩估计也不保证无偏。

“怎么得到估计量”和“这个估计量好不好”是两个不同问题。

十二、有效性

如果两个估计量都是无偏的：

E (θ_{1}) = E (θ_{2}) = θ

比较它们的方差。

如果：

D (θ_{1}) < D (θ_{2})

则第一个估计量更有效。

直观上：

两个人平均都猜得对，但第一个人的估计波动更小、更稳定。

所以：

无偏估计之间，方差越小越有效

十三、资料例 7.9：无偏 + 有效综合题

资料给出总体：

X \sim N (0, σ^{2})

比较：

σ_{1}^{2} = S^{2}

与：

σ_{2}^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2}

两者都无偏。

然后利用 χ² 分布。

因为：

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

以及因为总体均值已知为 0：

\frac{1}{σ ^{2}} i = 1 \sum n X_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

利用：

Y \sim χ^{2} (k)

则：

D (Y) = 2 k

得到：

D (S^{2}) = \frac{2 σ ^{4}}{n - 1}

而：

D (\frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}^{2}) = \frac{2 σ ^{4}}{n}

显然：

\frac{2 σ ^{4}}{n} < \frac{2 σ ^{4}}{n - 1}

所以：

σ_{2}^{2} 更有效

这里很有意思：

已知总体均值是 0 后，不需要用样本均值估计 μ，于是损失的信息更少，因此估计方差反而更精确。

十四、一致性（相合性）

如果随着：

n \to \infty

估计量越来越接近真实参数，即：

θ P θ

就称为一致估计。

直观上：

样本越多，估计越来越靠谱。

常见证明思路：

如果：

E (θ) \to θ

且：

D (θ) \to 0

通常可借切比雪夫不等式证明：

θ P θ

十五、区间估计：为什么不能只给一个数？

点估计例如：

μ = 10

但这个结果没有说明：

10 到底准不准？

所以我们希望给一个范围，例如：

(9.5, 10.5)

而且这个区间要具有某种可靠程度。

于是就出现置信区间。

资料把“构造分布已知的枢轴量”作为区间估计的关键。

十六、正确理解“95% 置信区间”

假设置信度：

1 - α = 0.95

正确理解不是：

“参数有 95% 的概率落在已经算出来的这个区间里。”

经典频率学派里参数 θ 是固定常数，不是随机变量。

准确理解：

如果无限次重复抽样，并按照同一规则构造区间，那么约 95% 的这些随机区间会覆盖 θ。

这一区别很容易在概念选择题中考。

十七、区间估计的灵魂：枢轴量

所谓枢轴量，就是：

含未知参数和样本，但它本身的分布不再含其他未知参数。

比如：

X \sim N (μ, σ^{2})

σ 已知。

我们有：

\frac{X - μ}{σ / n} \sim N (0, 1)

它的分布完全已知，所以可以通过它反解 μ。

十八、一个正态总体：均值 μ 的区间估计

这是整个区间估计最重要的分类。

情况一：方差已知

总体：

X \sim N (μ, σ^{2})

σ 已知。

有：

U = \frac{X - μ}{σ / n} \sim N (0, 1)

取：

P {- u_{α /2} < U < u_{α /2}} = 1 - α

代入并反解 μ：

μ \in (\overline{X} - u_{α /2} \frac{σ}{n}, \overline{X} + u_{α /2} \frac{σ}{n})

这就是 U/Z 区间。

95% 时：

u_{0.025} = 1.96

十九、资料例 7.17：区间长度和置信度关系

资料指出：

区间长度：

l = \frac{2 σ}{n} u_{α /2}

因此固定 σ 和 n：

置信度越高，需要：

u_{α /2}

越大，因此区间越宽。

所以：

置信度越高 ⟹ 置信区间越宽

同时：

n ↑⟹ 区间变窄

这就是一个经典考研选择题考点。

二十、情况二：方差未知

当 σ 未知时，不能再写：

\frac{X - μ}{σ / n}

因为 σ 不知道。

自然想到用 S 替代 σ：

T = \frac{X - μ}{S / n}

这时候不再服从标准正态，而是：

T \sim t (n - 1)

因此：

μ \in (\overline{X} - t_{α /2} (n - 1) \frac{S}{n}, \overline{X} + t_{α /2} (n - 1) \frac{S}{n})

必须牢记：

σ 已知 → 标准正态。 σ 未知 → t 分布。

这是第 7 章最重要的条件识别之一。

二十一、正态总体方差的区间估计

如果：

X \sim N (μ, σ^{2})

μ 未知，则：

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

于是利用：

χ^{2}

分布两边截取概率。

最终标准结构是：

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{χ _{α /2}^{2} ( n - 1 )} < σ^{2} < \frac{( n - 1 ) S ^{2}}{χ _{1 - α /2}^{2} ( n - 1 )}

这里不同教材对 χ² 分位点的下标定义可能采用“左尾”或“右尾”习惯，因此最保险的做法不是只背上下标，而是先写概率关系，再解不等式。

这是非常重要的考试技巧。

二十二、为什么均值用 t，而方差用 χ²？

根源都在第 6 章。

对于正态总体：

\overline{X} \sim N (μ, \frac{σ ^{2}}{n})

而：

\frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ ^{2}} \sim χ^{2} (n - 1)

并且：

\overline{X}

和：

S^{2}

相互独立。

于是：

\frac{\frac{X - μ}{σ / n}}{\frac{( n - 1 ) S ^{2} / σ ^{2}}{n - 1}}

就是：

\frac{X - μ}{S / n}

因此：

\frac{X - μ}{S / n} \sim t (n - 1)

所以所有公式不是凭空背出来的。

二十三、两个正态总体的均值差

若两个总体相互独立：

X \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2})

Y \sim N (μ_{2}, σ_{2}^{2})

方差均已知

则：

\overline{X} - \overline{Y} \sim N (μ_{1} - μ_{2}, \frac{σ _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{σ _{2}^{2}}{n _{2}})

所以：

μ_{1} - μ_{2} \in \overline{X} - \overline{Y} \pm u_{α /2} \frac{σ _{1}^{2}}{n _{1}} + \frac{σ _{2}^{2}}{n _{2}}

二十四、资料例 7.18

资料给：

X \sim N (μ_{1}, 60)

Y \sim N (μ_{2}, 36)

且：

n_{1} = 75

n_{2} = 50

样本均值：

\overline{X} = 82

\overline{Y} = 76

求 95% 置信区间。

中心：

82 - 76 = 6

误差：

1.96 \frac{60}{75} + \frac{36}{50} \approx 2.42

所以：

(3.58, 8.42)

二十五、两个总体均值差：方差未知但相等

这是非常重要的 t 分布模型。

若：

σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2} = σ^{2}

但 σ² 未知，则构造合并方差：

S_{p}^{2} = \frac{( n _{1} - 1 ) S _{1}^{2} + ( n _{2} - 1 ) S _{2}^{2}}{n _{1} + n _{2} - 2}

然后：

T = \frac{( X - Y ) - ( μ _{1} - μ _{2} )}{S _{p} \frac{1}{n _{1}} + \frac{1}{n _{2}}}

服从：

t (n_{1} + n_{2} - 2)

因此对应置信区间：

\overline{X} - \overline{Y} \pm t_{α /2} (n_{1} + n_{2} - 2) S_{p} \frac{1}{n _{1}} + \frac{1}{n _{2}}

资料例 7.8 还特别强调：

两总体均值使用这种 t 检验的前提，不是“两个样本方差相等”，而是两个总体方差相等。

即：

σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}

而不是：

S_{1}^{2} = S_{2}^{2}

二十六、两个正态总体的方差比

这是 F 分布。

因为：

\frac{( n _{1} - 1 ) S _{1}^{2}}{σ _{1}^{2}} \sim χ^{2} (n_{1} - 1)

以及：

\frac{( n _{2} - 1 ) S _{2}^{2}}{σ _{2}^{2}} \sim χ^{2} (n_{2} - 1)

两者独立，于是：

\frac{S _{1}^{2} / σ _{1}^{2}}{S _{2}^{2} / σ _{2}^{2}} \sim F (n_{1} - 1, n_{2} - 1)

即：

\frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}} \frac{σ _{2}^{2}}{σ _{1}^{2}} \sim F (n_{1} - 1, n_{2} - 1)

这就是方差比区间估计和方差比较检验的基础。

二十七、到这里可以建立“分布选择表”

这是第 7 章最值得背的一张逻辑表。

要研究什么	条件	用什么
一个正态总体均值	方差已知	标准正态
一个正态总体均值	方差未知	t
一个正态总体方差	均值未知	χ²
两总体均值差	两方差已知	标准正态
两总体均值差	两方差未知但相等	t
两总体方差比	两独立正态总体	F

真正做题时先别代数字。

第一件事应该问：

研究的是均值还是方差？一个总体还是两个总体？方差已知还是未知？

答案出来以后，分布几乎自动确定。

二十八、假设检验到底在干什么？

现在进入第二大部分。

例如有人说：

某产品平均寿命是 1000 小时。

我们拿一批样本，发现平均只有 700 小时。

怎么办？

逻辑不是：

700 ≠ 1000，所以假设错。

因为抽样本身就有随机误差。

而是：

如果总体均值真的等于 1000，那么出现现在这么极端的样本结果的概率到底有多小？

如果小到离谱，就怀疑原假设。

这就是“小概率原理”。

资料明确把它解释成一种带概率性质的反证思路。

二十九、原假设与备择假设

原假设：

H_{0}

备择假设：

H_{1}

例如：

H_{0} : μ = μ_{0}

H_{1} : μ \neq = μ_{0}

叫双侧检验。

如果：

H_{0} : μ \leq μ_{0}

H_{1} : μ > μ_{0}

是右侧检验。

如果：

H_{0} : μ \geq μ_{0}

H_{1} : μ < μ_{0}

是左侧检验。

三十、如何快速判断左侧、右侧、双侧？

真正决定方向的是：

H_{1}

不是：

H_{0}

因此牢牢记：

看备择假设的符号。

如果：

H_{1} : θ > θ_{0}

右侧。

如果：

H_{1} : θ < θ_{0}

左侧。

如果：

H_{1} : θ \neq = θ_{0}

双侧。

三十一、假设检验的四步模板

资料明确给出四步。

第一步：提出假设

写：

H_{0}

和：

H_{1}

第二步：选统计量

要求：

当原假设成立时，该统计量分布已知。

比如：

U, T, χ^{2}, F

第三步：由显著性水平确定拒绝域

显著性水平：

α

通常：

0.05

或者：

0.01

第四步：代入样本计算

如果统计量落入拒绝域：

拒绝 H_{0}

否则：

不能拒绝 H_{0}

考试教材有时写“接受 H₀”，但从统计语言来说，“不能拒绝”更加准确，因为没发现足够证据反对它，不代表已经证明它是真的。

三十二、两类错误：必考概念

资料专门给出。

第一类错误

实际上：

H_{0}

是真的，却把它拒绝了。

叫：

弃真错误。

概率记：

α

第二类错误

实际上：

H_{0}

是假的，却没有拒绝它。

叫：

取伪错误。

概率记：

β

因此记忆：

α = 弃真

β = 取伪

三十三、为什么不能同时让 α、β 都无限小？

假设样本容量固定。

如果为了不误杀：

把拒绝域做得特别小。

那么第一类错误 α 确实会减小。

但代价是：

真正错误的 H₀ 也越来越不容易被拒绝。

于是 β 往往增加。

所以在固定样本容量下，两类错误存在矛盾。

统计学通常先控制：

α

例如：

α = 0.05

然后在这个前提下设计检验。

三十四、资料例 7.7：两类错误

资料给：

原假设下：

f_{0} (x) = \frac{1}{2}, 0 \leq x \leq 2

备择假设下：

f_{1} (x) = \frac{x}{2}, 0 \leq x \leq 2

规定：

X_{1} \geq \frac{3}{2}

时拒绝 H₀。

第一类错误：

H₀ 真的，却落进拒绝域。

因此：

α = P {X_{1} \geq \frac{3}{2} ∣ H_{0}}

所以：

α = \int_{3/2}^{2} \frac{1}{2} d x = \frac{1}{4}

第二类错误：

H₁ 真的，却没有拒绝 H₀。

因此：

β = P {X_{1} < \frac{3}{2} ∣ H_{1}}

所以：

β = \int_{0}^{3/2} \frac{x}{2} d x = \frac{9}{16}

这类题不要套别的公式，直接根据“弃真、取伪”的定义列概率。

三十五、一个正态总体均值检验：σ 已知

总体：

X \sim N (μ, σ^{2})

σ 已知。

检验：

H_{0} : μ = μ_{0}

用：

U = \frac{X - μ _{0}}{σ / n}

在 H₀ 成立时：

U \sim N (0, 1)

双侧

H_{1} : μ \neq = μ_{0}

拒绝域：

∣ U ∣ \geq u_{α /2}

右侧

H_{1} : μ > μ_{0}

拒绝域：

U \geq u_{α}

左侧

H_{1} : μ < μ_{0}

拒绝域：

U \leq - u_{α}

三十六、一个正态总体均值检验：σ 未知

σ 未知，改用：

T = \frac{X - μ _{0}}{S / n}

在 H₀ 成立时：

T \sim t (n - 1)

于是双侧：

∣ T ∣ \geq t_{α /2} (n - 1)

右侧：

T \geq t_{α} (n - 1)

左侧：

T \leq - t_{α} (n - 1)

三十七、资料例 7.19：为什么这是左侧 t 检验？

资料中的药物题非常经典。

旧药平均使血压增加：

22

新药声称副作用更小。

因此真正想证明的是：

μ < 22

所以：

H_{0} : μ \geq 22

H_{1} : μ < 22

注意：

“副作用更小”决定了备择假设是“小于”，所以是左侧检验。

方差未知，所以使用：

T = \frac{X - 22}{S / 10}

样本算出：

\overline{x} = 17.9

S^{2} = 25.4

所以：

T = - 2.57

在：

α = 0.05

自由度：

9

情况下：

t_{0.05} (9) \approx 1.83

左侧拒绝域：

T \leq - 1.83

由于：

- 2.57 < - 1.83

所以拒绝 H₀。

因此样本支持：

μ < 22

即新药副作用更小。

这一题几乎把假设检验全过程全部包含了。

三十八、正态总体方差的检验

总体：

X \sim N (μ, σ^{2})

检验：

H_{0} : σ^{2} = σ_{0}^{2}

如果 μ 未知：

χ^{2} = \frac{( n - 1 ) S ^{2}}{σ _{0}^{2}}

在 H₀ 下：

χ^{2} \sim χ^{2} (n - 1)

双侧检验时：

方差太小和太大都值得怀疑。

所以拒绝域在 χ² 分布的两边。

如果备择是假设方差更大，则只看右尾；更小则只看左尾。

三十九、两个正态总体均值差的检验

如果两总体方差未知但相等：

σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}

使用合并样本方差：

S_{p}^{2} = \frac{( n _{1} - 1 ) S _{1}^{2} + ( n _{2} - 1 ) S _{2}^{2}}{n _{1} + n _{2} - 2}

检验：

H_{0} : μ_{1} = μ_{2}

统计量：

T = \frac{X - Y}{S _{p} \frac{1}{n _{1}} + \frac{1}{n _{2}}}

且：

T \sim t (n_{1} + n_{2} - 2)

四十、两个正态总体方差比较：F 检验

检验：

H_{0} : σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}

在 H₀ 成立时：

F = \frac{S _{1}^{2}}{S _{2}^{2}}

服从：

F (n_{1} - 1, n_{2} - 1)

因此：

比较两个正态总体方差 → 想 F 分布。

四十一、区间估计和假设检验其实是一回事的两种表达

这是第 7 章一个很深的重要理解。

例如考虑：

H_{0} : μ = μ_{0}

显著性水平：

α

同时构造 μ 的：

1 - α

置信区间。

如果：

μ_{0}

落在置信区间里面：

数据与 H₀ 相容，一般不拒绝 H₀。

如果：

μ_{0}

落在置信区间外面：

H₀ 对应的数据结果过于极端，拒绝 H₀。

所以：

双侧显著性检验 ⟺ 对应置信区间

资料也明确强调了这种内在联系。

四十二、按照资料总结，第 7 章四大考研题型

资料最后把本章题目高度归纳成四种。

题型一：无偏性、有效性

典型问法：

某估计量是否无偏；
求常数，使估计量无偏；
比较两个无偏估计量谁更有效；
求估计量的方差。

启动公式：

E (θ) = θ

以及：

D (θ)

题型二：矩估计 + 最大似然估计

矩估计：

总体矩 = 样本矩

最大似然：

L (θ) = \prod f (x_{i}; θ)

或者离散型：

L (θ) = \prod p (x_{i}; θ)

题型三：区间估计

核心不是死背所有区间，而是判断：

一个总体还是两个总体；
估计均值还是方差；
方差已知还是未知；
应该构造 U、t、χ² 还是 F。

题型四：假设检验

标准过程：

H_{0}, H_{1}

→ 找统计量

→ 找 H₀ 下分布

→ 根据 α 找拒绝域

→ 代样本

→ 下结论。

四十三、最容易犯的 10 个错误

**第一，把估计量和估计值混淆。**估计量是随机变量，估计值才是具体数字。

**第二，认为 MLE 一定无偏。**完全错误。正态总体方差的 MLE 就是典型反例。

**第三，矩估计机械只用一阶矩。**如果一阶矩不含参数，就应该改用二阶甚至更高阶矩。

**第四，最大似然只知道求导。**参数出现在分布支持范围时，最大值经常出现在样本最大值、最小值等边界。

**第五，把方差未知的均值问题仍然用标准正态。**必须先检查 σ 是否已知。

**第六，把样本方差相等当成两个总体 t 检验的理论前提。**理论前提是：

σ_{1}^{2} = σ_{2}^{2}

不是：

S_{1}^{2} = S_{2}^{2}

**第七，单双侧判断看 H₀。**真正决定方向的是 H₁。

**第八，看到“显著性水平 0.05”就全部查 0.025。**只有双侧检验通常才把 α 分到两端；单侧直接用 α。

**第九，把“不拒绝 H₀”理解成“证明 H₀ 正确”。**二者不等价。

**第十，χ²、F 分布的上下分位点下标死背。**不同教材记号可能不同，最好从概率关系出发。

四十四、考试时最实用的“识别算法”

拿到一道第 7 章题，可以按下面顺序思考。

第一问：要求是什么？

如果题目说“估计”，进入参数估计。

如果说“判断”“检验”“能否认为”“是否支持”，进入假设检验。

第二问：如果是点估计，用哪种方法？

说“矩估计”：

找 E (X), E (X^{2}), \dots

说“最大似然”：

L (θ) = \prod f (x_{i}; θ)

说“评价估计量”：

E (θ)

和：

D (θ)

第三问：如果是区间或检验，研究谁？

研究均值：

重点考虑标准正态或 t。

研究方差：

重点考虑 χ²。

研究两个方差之比：

重点考虑 F。

第四问：方差已知吗？

均值问题中：

方差已知：

N (0, 1)

方差未知：

t

四十五、第 7 章真正需要形成的“条件反射”

最后把最重要的内容压成六句话：

1

矩估计 \Rightarrow 总体矩 = 样本矩

2

最大似然 \Rightarrow L = \prod f \Rightarrow ln L \Rightarrow 求最大值

3

无偏 \Rightarrow E (θ) = θ

4

两个无偏估计比较 \Rightarrow 方差小者更有效

5

均值：方差已知用 N (0, 1) ， 未知用 t

6

一个总体方差用 χ^{2} ， 两个总体方差比用 F

再加上假设检验：

H_{1} 决定左侧、右侧还是双侧

四十六、从考研复习角度，优先级怎么排？

结合这份资料的章节安排和例题，建议按下面优先级掌握：

第一梯队：必须熟练

矩估计、最大似然估计、无偏性、一个正态总体均值检验、正态总体参数置信区间。

第二梯队：必须会判断模型

两总体均值比较、χ² 方差问题、F 方差比问题、单双侧检验。

第三梯队：用于区分度

MLE 不变性、支持集含参数的最大似然估计、估计量有效性、两类错误 α 与 β、一致性证明。

其中最需要真正理解而不是死背的是：

为什么 σ 已知用标准正态，σ 未知用 t；为什么方差问题用 χ²；为什么两个方差比较用 F。

一旦把这几个抽样分布和第 6 章联系起来，第 7 章大量公式实际上都可以现场推出来，而不用硬记。

因此，第 7 章最核心的解题能力可以概括成一句话：

先识别待估参数和已知条件，再构造一个分布已知的统计量。

这同时贯穿了区间估计和假设检验，也是整章真正的主线。

第 7 章 参数估计与假设检验

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第 7 章参数估计与假设检验