第 5 章 大数定律与中心极限定理

本章研究大量随机变量的稳定性与极限分布，主线为依概率收敛、切比雪夫不等式、大数定律、中心极限定理和正态近似。

依概率收敛 → 切比雪夫不等式 → 大数定律 → 中心极限定理 → 正态近似计算。

其中，大数定律研究“平均值最终稳定在哪里”，中心极限定理研究“随机波动按照什么分布变化”。这也是理解本章最重要的一条主线。

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一、第 5 章到底在研究什么？

前四章主要研究的是一个或有限个随机变量：

• 分布是什么；
• 概率是多少；
• 数学期望是多少；
• 方差是多少；
• 多维随机变量如何运算。

而第 5 章突然开始研究：

当随机变量的个数越来越多，即 $n\to \infty$ 时，会发生什么？

例如独立重复投掷硬币。

投 10 次，正面频率可能是 0.3、0.7。

投 100 次，往往开始靠近 0.5。

投 10000 次，频率通常更加靠近 0.5。

于是出现第一个问题：

为什么大量试验之后，“平均值”会变得稳定？

这就是大数定律。

但仅仅知道“趋向 0.5”还不够。我们还想知道：

偏离 0.5 的误差大概有多大？这种误差按照什么规律分布？

这就是中心极限定理。

所以整章可以概括为：

$$\boxed{\text{大数定律研究稳定中心，中心极限定理研究中心附近的波动}}$$

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二、依概率收敛

这是整个第 5 章的基础语言。

1. 定义

设有随机变量序列

$$Y_1,Y_2,\dots ,Y_n,\dots$$

若对任意

$$\epsilon >0$$

都有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{|Y_n-a|<\epsilon \right\}=1,$$

则称随机变量序列 $Y_n$ 依概率收敛于常数 $a$，记作

$$Y_n\stackrel{P}{\to }a.$$

等价地，

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{|Y_n-a|\ge \epsilon \right\}=0.$$

讲义特别强调：依概率收敛的本质不是“每一次都越来越接近”，而是“偏离超过固定误差的概率越来越小”。

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2. 直观理解

例如

$${\overline{X}}_n=\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}.$$

如果

$${\overline{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu ,$$

意思不是说每次试验一定都有

$${\overline{X}}_n\to \mu .$$

而是说，对于任意给定的误差范围，比如

$$\epsilon =0.01,$$

都有

$$P\left\{|{\overline{X}}_n-\mu |<0.01\right\}\to 1.$$

也就是随着样本量增大，

样本平均落在总体均值附近的概率越来越接近 1。

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三、依概率收敛的运算性质

这部分非常适合做选择题和填空题。

如果

$$X_n\stackrel{P}{\to }a,Y_n\stackrel{P}{\to }b,$$

那么通常有：

$$X_n+Y_n\stackrel{P}{\to }a+b,$$ $$X_n-Y_n\stackrel{P}{\to }a-b,$$ $$X_n{Y}_n\stackrel{P}{\to }ab.$$

若

$$b\ne 0,$$

则

$$\frac{X_n}{Y_n}\stackrel{P}{\to }\frac{a}{b}.$$

进一步，如果函数 $g(x,y)$ 在 $(a,b)$ 连续，那么

$$g(X_n,Y_n)\stackrel{P}{\to }g(a,b).$$

这实际上就是“连续函数保持依概率收敛”。讲义也把这一性质列为依概率收敛的重要运算工具。

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四、切比雪夫不等式

这是第 5 章第一个真正要拿来做计算的工具。

1. 基本形式

若随机变量 $X$ 的数学期望和方差存在，则对任意

$$\epsilon >0,$$

有

$$P\left\{|X-E(X)|\ge \epsilon \right\}\le \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}.$$

等价地：

$$P\left\{|X-E(X)|<\epsilon \right\}\ge 1-\frac{D(X)}{{\epsilon }^2}.$$

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五、切比雪夫不等式到底有什么用？

它最大的特点是：

不需要知道随机变量是什么分布。

只需要知道：

$$E(X),D(X).$$

就可以估计概率。

所以看到题目：

• 没告诉具体分布；
• 只告诉均值、方差；
• 问某个概率至少是多少；
• 问偏离均值超过某数的概率至多是多少；

基本就应该想到切比雪夫不等式。

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六、切比雪夫不等式的标准题型

假设

$$E(X)=10,D(X)=4.$$

要求估计

$$P\{6<X<14\}.$$

首先观察区间：

$$6=10-4,14=10+4.$$

所以

$$6<X<14$$

等价于

$$|X-10|<4.$$

于是

$$P\{|X-10|<4\}\ge 1-\frac{4}{4^2}.$$

因此

$$P\{6<X<14\}\ge \frac{3}{4}.$$

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七、一个特别重要的做题意识：先“对称化”

切比雪夫不等式天然针对的是：

$$|X-E(X)|<\epsilon .$$

也就是以数学期望为中心的对称区间。

例如：

$$P\{8<X<15\}$$

而

$$E(X)=10.$$

这个区间不是关于 10 对称的，因此不能直接把半径写成

$$\frac{15-8}{2}.$$

必须先寻找以 10 为中心、包含于原事件的对称区间。

例如：

$$8<X<12$$

包含在

$$8<X<15$$

中，所以可以利用

$$P\{8<X<15\}\ge P\{|X-10|<2\}.$$

这是切比雪夫不等式题最常见的坑之一。讲义也专门指出，切比雪夫不等式只能直接处理“以期望为中心的对称偏差事件”。

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八、为什么切比雪夫不等式能导出大数定律？

这是整个章节理论上的关键联系。

假设随机变量

$$X_1,X_2,\dots ,X_n$$

相互独立，并且

$$E(X_i)=\mu ,D(X_i)={\sigma }^2.$$

定义样本平均：

$${\overline{X}}_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i.$$

那么

$$E({\overline{X}}_n)=\mu .$$

因为独立，

$$D({\overline{X}}_n)=D\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\right)=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}D(X_i).$$

所以

$$D({\overline{X}}_n)=\frac{{\sigma }^2}{n}.$$

注意最核心的地方：

$$\frac{{\sigma }^2}{n}\to 0.$$

于是切比雪夫不等式给出

$$P\left\{|{\overline{X}}_n-\mu |\ge \epsilon \right\}\le \frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}.$$

当

$$n\to \infty$$

时，

$$\frac{{\sigma }^2}{n{\epsilon }^2}\to 0.$$

因此

$$P\left\{|{\overline{X}}_n-\mu |\ge \epsilon \right\}\to 0.$$

也就是

$$\boxed{{\overline{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu }$$

这就是大数定律的基本思想：

平均以后，方差变成原来的 $1/n$，波动不断缩小，所以平均值逐渐稳定。

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九、三个大数定律

考研中这一部分最重要的不是证明，而是：

分清三个定理分别需要什么条件。

讲义明确要求重点比较切比雪夫、伯努利和辛钦三个大数定律的条件。

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十、切比雪夫大数定律

设随机变量序列

$$X_1,X_2,\dots$$

满足：

1. 相互独立；
2. 数学期望和方差存在；
3. 方差一致有界，即存在常数 $C$，使

$$D(X_i)\le C.$$

那么

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X_i)\stackrel{P}{\to }0.$$

也就是说：

$$\boxed{\text{样本平均}-\text{期望平均}\to 0}$$

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它最大的特点

不要求同分布。

这是它和辛钦大数定律最重要的区别。

例如：

$$X_i$$

可以分别服从不同的分布，只要：

• 独立；
• 期望存在；
• 方差统一有界。

就可以使用。

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十一、伯努利大数定律

设进行 $n$ 次独立重复试验，每次事件 $A$ 发生的概率为

$$p.$$

记事件 $A$ 在 $n$ 次试验中发生的次数为

$${\mu }_n.$$

那么

$$\boxed{\frac{{\mu }_n}{n}\stackrel{P}{\to }p}$$

也就是

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\left|\frac{{\mu }_n}{n}-p\right|<\epsilon \right\}=1.$$

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十二、伯努利大数定律的意义非常重要

它从数学上解释了：

$$\boxed{\text{频率稳定于概率}}$$

例如公平硬币：

$$p=\frac{1}{2}.$$

正面出现次数记为

$${\mu }_n.$$

那么

$$\frac{{\mu }_n}{n}\stackrel{P}{\to }\frac{1}{2}.$$

因此大量投掷之后，正面频率会越来越稳定在

$$\frac{1}{2}$$

附近。

这也是概率可以用大量试验中的频率进行估计的理论基础。

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十三、辛钦大数定律

这是做考研题非常常用的一个。

若

$$X_1,X_2,\dots$$

满足：

1. 相互独立；
2. 同分布；
3. 数学期望存在：

$$E(X_i)=\mu ,$$

则

$$\boxed{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{P}{\to }\mu }$$

也就是

$${\overline{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu .$$

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十四、辛钦大数定律最值得注意的条件

它不要求方差存在。

只要求：

$$E(X_i)$$

存在。

所以和切比雪夫大数定律相比：

• 辛钦要求同分布；
• 但是对方差要求更弱。

讲义也专门指出：辛钦大数定律要求独立同分布且数学期望存在，但不要求方差存在。

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十五、三个大数定律必须这样区分

讲义给出的识别方式可以概括成：

• 看到“次数、频率” → 伯努利大数定律；
• 独立但未必同分布，方差一致有界 → 切比雪夫；
• 独立同分布，只要求期望存在 → 辛钦。

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十六、考研高频题型：求依概率收敛的极限

这是这一章很重要的题。

典型形式：

$$Y_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}g(X_i).$$

不要看到平均就直接说答案是

$$E(X).$$

真正应该做的是令

$$Z_i=g(X_i).$$

如果 $X_i$ 独立同分布，那么通常 $Z_i$ 也独立同分布。

因此由辛钦大数定律：

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Z}_i\stackrel{P}{\to }E(Z_1).$$

也就是

$$\boxed{Y_n\stackrel{P}{\to }E[g(X)]}$$

讲义把这类题总结成：先识别“真正参与取平均的随机变量序列”。

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十七、经典例题：指数分布的平方平均

讲义和题库中有一道很典型的题：

总体 $X$ 服从参数为 2 的指数分布，

$$X_1,X_2,\dots$$

为简单随机样本，求

$$Y_n=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2$$

依概率收敛于什么。

指数分布参数为 2，因此

$$E(X)=\frac{1}{2},$$ $$D(X)=\frac{1}{4}.$$

由

$$D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2,$$

得到

$$E(X^2)=D(X)+[E(X){]}^2.$$

所以

$$E(X^2)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.$$

令

$$Z_i=X_i^2.$$

则 $Z_i$ 独立同分布，并且

$$E(Z_i)=\frac{1}{2}.$$

由辛钦大数定律：

$$\boxed{Y_n\stackrel{P}{\to }\frac{1}{2}}$$

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十八、这类题的万能模板

若题目出现：

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}g(X_i),$$

第一反应应该是：

第一步：定义新变量

$$Y_i=g(X_i).$$

第二步：判断

是否独立同分布。

第三步：求

$$E(Y_i)=E[g(X_i)].$$

第四步：辛钦大数定律

$$\boxed{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}g(X_i)\stackrel{P}{\to }E[g(X)]}$$

常见的 $g(X)$ 包括：

$$X^2,$$ $$|X|,$$ $$\sin X,$$ $${\cos }^{2}X,$$

甚至

$$(X_{2i}-X_{2i-1}{)}^2.$$

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十九、大数定律和中心极限定理到底有什么区别？

这是整章必须真正理解的问题。

大数定律

研究：

$${\overline{X}}_n.$$

得到：

$${\overline{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu .$$

它只告诉我们：

样本平均最终会靠近 $\mu$。

但没有详细描述误差。

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中心极限定理

进一步研究：

$${\overline{X}}_n-\mu .$$

这个差本身越来越小，于是把它放大：

$$\sqrt{n}({\overline{X}}_n-\mu ).$$

经过合适标准化后，会出现：

$$N(0,1).$$

所以中心极限定理研究的是：

样本平均在 $\mu$ 附近怎样波动。

因此记住：

$$\boxed{\text{大数定律：位置}}$$ $$\boxed{\text{中心极限定理：形状}}$$

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二十、列维—林德伯格中心极限定理

讲义中的一般中心极限定理采用独立同分布形式。

设

$$X_1,X_2,\dots$$

独立同分布，并且

$$E(X_i)=\mu ,$$ $$D(X_i)={\sigma }^2>0.$$

令

$$S_n=X_1+\cdots +X_n.$$

那么

$$\boxed{\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\Rightarrow N(0,1)}$$

更严格地，对于任意实数 $x$，

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\le x\right\}=\Phi (x).$$

其中

$$\Phi (x)$$

是标准正态分布函数。

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二十一、为什么标准化是这个形式？

首先：

$$E(S_n)=n\mu .$$

所以中心应该减去：

$$n\mu .$$

然后因为独立：

$$D(S_n)=n{\sigma }^2.$$

因此标准差是：

$$\sqrt{D(S_n)}=\sigma \sqrt{n}.$$

所以标准化自然得到：

$$\boxed{\frac{S_n-E(S_n)}{\sqrt{D(S_n)}}=\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}}$$

这实际上比死记公式重要得多。

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二十二、中心极限定理最值得背下来的近似形式

当 $n$ 很大时：

$$\boxed{S_n\approx N(n\mu ,n{\sigma }^2)}$$

所以：

$${\overline{X}}_n=\frac{S_n}{n}$$

近似服从：

$$\boxed{{\overline{X}}_n\approx N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)}$$

注意：

$$D({\overline{X}}_n)=\frac{{\sigma }^2}{n},$$

因此标准差是：

$$\boxed{\frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$$

而不是：

$$\frac{\sigma }{n}.$$

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二十三、中心极限定理做题的标准流程

如果题目给：

$$S_n=X_1+\cdots +X_n$$

要求：

$$P\{a<S_n<b\},$$

第一步：

$$E(S_n)=n\mu .$$

第二步：

$$D(S_n)=n{\sigma }^2.$$

第三步标准化：

$$\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}.$$

于是：

$$P\{a<S_n<b\}$$

近似为

$$P\left\{\frac{a-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}<\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}<\frac{b-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right\}.$$

所以：

$$\boxed{P\{a<S_n<b\}\approx \Phi \left(\frac{b-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right)-\Phi \left(\frac{a-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\right)}$$

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二十四、题库典型题：生产 100 件产品

配套题库有一道非常标准的中心极限定理题：

每件产品生产时间独立，服从指数分布，平均时间 10 分钟，求生产 100 件产品总时间位于 15 小时至 20 小时之间的概率。

设：

$$X_i$$

为第 $i$ 件产品所需时间。

指数分布均值为 10，所以

$$E(X_i)=10.$$

指数分布的标准差同样为 10：

$$D(X_i)=100.$$

总时间：

$$S_{100}=\sum _{i=1}^{100}{X}_i.$$

于是：

$$E(S_{100})=1000,$$ $$D(S_{100})=10000.$$

标准差：

$$100.$$

时间换算：

$$15\text{ 小时}=900\text{ 分钟},$$ $$20\text{ 小时}=1200\text{ 分钟}.$$

于是：

$$P\{900<S_{100}<1200\}$$

近似为

$$P\left\{-1<\frac{S_{100}-1000}{100}<2\right\}.$$

因此：

$$P\{900<S_{100}<1200\}\approx \Phi (2)-\Phi (-1).$$

利用

$$\Phi (-x)=1-\Phi (x),$$

得到：

$$\boxed{\Phi (2)+\Phi (1)-1}$$

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二十五、棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理

这是本章第二个中心极限定理，专门处理二项分布。

若

$$Y_n\sim B(n,p),$$

则

$$E(Y_n)=np,$$ $$D(Y_n)=np(1-p).$$

因此：

$$\boxed{\frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\Rightarrow N(0,1)}$$

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二十六、它为什么其实只是一般中心极限定理的特例？

定义：

$$I_i=\{\begin{array}{ll}1,& \text{第 }i\text{ 次成功},\\ 0,& \text{第 }i\text{ 次失败}.\end{array}$$

则

$$I_i\sim B(1,p).$$

并且：

$$Y_n=I_1+\cdots +I_n.$$

因为

$$E(I_i)=p,$$ $$D(I_i)=p(1-p),$$

所以一般中心极限定理直接得到：

$$\frac{Y_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\Rightarrow N(0,1).$$

所以：

$$\boxed{\text{棣莫弗—拉普拉斯定理就是伯努利变量版本的中心极限定理}}$$

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二十七、二项分布正态近似

做题时直接记：

若

$$X\sim B(n,p),$$

且 $n$ 足够大，则：

$$\boxed{X\approx N\left(np,np(1-p)\right)}$$

于是标准化：

$$\boxed{Z=\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}}$$

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二十八、题库经典题：100 个球放 5 个盒子

每个球等可能放入 5 个盒子中的一个。

指定其中一个盒子。

每个球进入该盒子的概率为：

$$p=\frac{1}{5}.$$

100 个球相互独立。

所以指定盒子的球数：

$$X\sim B\left(100,\frac{1}{5}\right).$$

因此：

$$E(X)=20,$$ $$D(X)=100\cdot \frac{1}{5}\cdot \frac{4}{5}=16.$$

标准差：

$$4.$$

要求：

$$P\{X\le 22\}.$$

标准化：

$$P\left\{\frac{X-20}{4}\le \frac{22-20}{4}\right\}.$$

得到：

$$\boxed{P\{X\le 22\}\approx \Phi (0.5)}$$

这是题库中的标准二项正态近似题。

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二十九、连续性修正

这是二项分布正态近似中一个需要知道的细节。

二项分布是离散的，而正态分布是连续的。

例如：

$$P\{X\le 22\}$$

如果要求更精细，可以改成：

$$P\{Y<22.5\},$$

其中

$$Y\sim N\left(np,np(1-p)\right).$$

一般来说：

$$P\{a\le X\le b\}$$

可近似修正为：

$$P\{a-0.5<Y<b+0.5\}.$$

讲义同时提醒：如果教材或题目没有采用连续性修正，应按照题目的近似口径处理。

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三十、一般中心极限定理 vs 二项中心极限定理

这个地方一定不能混。

情况一

题目说：

100 个独立零件，每个重量随机。

研究：

$$X_1+\cdots +X_{100}.$$

这是：

$$\boxed{\text{一般独立同分布中心极限定理}}$$

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情况二

100 个产品，每个产品合格概率为 0.9。

研究合格产品数量：

$$Y.$$

则：

$$Y\sim B(100,0.9).$$

应该想到：

$$\boxed{\text{棣莫弗—拉普拉斯定理}}$$

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三十一、千万不要“看见很多个变量就说二项分布”

二项分布一定要求每个随机变量是：

$$0\text{-}1$$

型成功/失败变量。

例如每袋糖果重量：

$$X_i$$

显然不是 0-1 变量。

那么：

$$X_1+\cdots +X_n$$

一般不服从二项分布。

只能利用中心极限定理近似正态。

讲义将“把一般随机变量之和误认为二项分布”列为本章高频错误。

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三十二、一个很重要的“标准化反推”题型

题库中还有一种很典型的题：

$$X_i\sim U[1,4],$$

相互独立，求

$$\underset{n\to \infty }{\lim }P\left\{\frac{2{\sum }_{i=1}^n{X}_i-5n}{\sqrt{n}}\le x\right\}.$$

先求：

$$E(X_i)=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}.$$

方差：

$$D(X_i)=\frac{(4-1{)}^2}{12}=\frac{3}{4}.$$

令：

$$S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i.$$

标准中心极限定理形式为：

$$\frac{S_n-\frac{5}{2}n}{\sqrt{\frac{3}{4}n}}\Rightarrow N(0,1).$$

而题中的变量：

$$\frac{2S_n-5n}{\sqrt{n}}=\frac{2(S_n-\frac{5}{2}n)}{\sqrt{n}}.$$

它的渐近方差为：

$$4\cdot \frac{3}{4}=3.$$

所以它趋于：

$$N(0,3).$$

因此：

$$P\left\{\frac{2S_n-5n}{\sqrt{n}}\le x\right\}\to \boxed{\Phi \left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)}$$

这类题实际上考的是：

你是否真正理解“标准化”，而不是只会背公式。

题库确实把这种题作为本章基础题型。

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三十三、本章还有一个高频真题方向：切比雪夫 + 样本平方平均

例如真题形式：

$$X_1,\dots ,X_n$$

独立同分布，

$$E(X_i^k)={\mu }_k.$$

估计：

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\mu }_2\right|\ge \epsilon \right\}.$$

讲义的真题分类中收录了这一类型。

令：

$$Y_i=X_i^2.$$

则：

$$E(Y_i)={\mu }_2.$$

而

$$D(Y_i)=E(X_i^4)-[E(X_i^2){]}^2={\mu }_4-{\mu }_2^2.$$

因此：

$$D\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{Y}_i\right)=\frac{{\mu }_4-{\mu }_2^2}{n}.$$

由切比雪夫不等式：

$$P\left\{\left|\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^2-{\mu }_2\right|\ge \epsilon \right\}\le \boxed{\frac{{\mu }_4-{\mu }_2^2}{n{\epsilon }^2}}.$$

这个题把第 4 章数字特征和第 5 章切比雪夫不等式结合起来，非常典型。

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三十四、本章真正需要掌握的 5 大题型

讲义总结的题型基本可以归纳为下面五类。

题型 1：切比雪夫不等式估计概率

看到：

• 只知道均值方差；
• 求概率上界、下界；

立即考虑：

$$P\left\{|X-E(X)|\ge \epsilon \right\}\le \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}.$$

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题型 2：判断使用哪个大数定律

先检查：

是否独立同分布？

是：

$$\text{优先辛钦。}$$

是否不同分布但独立，方差有界？

是：

$$\text{切比雪夫大数定律。}$$

是否在说事件发生频率？

是：

$$\text{伯努利大数定律。}$$

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题型 3：求依概率极限

看到：

$$\frac{1}{n}\sum g(X_i),$$

立即做：

$$Y_i=g(X_i).$$

再算：

$$E(Y_i).$$

最后：

$$\boxed{\frac{1}{n}\sum Y_i\stackrel{P}{\to }E(Y_i)}$$

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题型 4：一般随机变量和的正态近似

看到：

$$S_n=X_1+\cdots +X_n$$

先算：

$$E(S_n),$$ $$D(S_n).$$

再统一写：

$$\boxed{\frac{S_n-E(S_n)}{\sqrt{D(S_n)}}}$$

不要一上来硬背：

$$\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}.$$

前一个写法更不容易错。

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题型 5：二项分布正态近似

看到：

$$X\sim B(n,p),$$

直接写：

$$E(X)=np,$$ $$D(X)=np(1-p),$$ $$\boxed{Z=\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}}$$

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三十五、本章最重要的一个统一思想

事实上，无论一般中心极限定理还是二项分布正态近似，真正的统一公式都是：

$$\boxed{Z=\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}}$$

然后：

$$Z\approx N(0,1).$$

所以如果忘记：

$$n\mu ,\sigma \sqrt{n},np,\sqrt{np(1-p)}$$

到底放在哪里，不要硬回忆。

直接重新求：

$$E(X),$$ $$D(X).$$

然后：

$$\boxed{\text{减均值，除标准差}}$$

几乎不会错。

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三十六、考研最容易出错的地方

讲义把本章易错点总结得很好，可以压缩成下面几条。

1. 大数定律不是说随机变量本身收敛

不是：

$$X_n\to \mu .$$

一般研究的是：

$$\frac{1}{n}\sum X_i\to \mu .$$

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2. 方差和标准差不能混

如果：

$$D(X_i)={\sigma }^2,$$

则：

$$D(S_n)=n{\sigma }^2,$$

但是：

$$\sigma (S_n)=\sigma \sqrt{n}.$$

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3. 样本平均的方差与标准差

$$D({\overline{X}}_n)=\frac{{\sigma }^2}{n}.$$

标准差为：

$$\frac{\sigma }{\sqrt{n}}.$$

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4. 二项分布方差

不是：

$$np.$$

而是：

$$\boxed{np(1-p)}$$

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5. “相同期望方差”不代表“同分布”

中心极限定理讲义中的独立同分布条件不能随便删掉。

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6. 辛钦不要求方差存在

但是一定要求：

$$E(X)$$

存在。

例如柯西分布连期望都不存在，就不能直接使用辛钦大数定律。

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三十七、本章公式总表

建议最后把这些公式真正记熟。

依概率收敛

$$Y_n\stackrel{P}{\to }a⟺P\left\{|Y_n-a|\ge \epsilon \right\}\to 0.$$

切比雪夫不等式

$$P\left\{|X-E(X)|\ge \epsilon \right\}\le \frac{D(X)}{{\epsilon }^2}.$$

切比雪夫大数定律

$$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i-\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E(X_i)\stackrel{P}{\to }0.$$

伯努利大数定律

$$\frac{{\mu }_n}{n}\stackrel{P}{\to }p.$$

辛钦大数定律

$$\boxed{{\overline{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu }$$

一般中心极限定理

$$\boxed{\frac{S_n-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\Rightarrow N(0,1)}$$

总和近似分布

$$\boxed{S_n\approx N\left(n\mu ,n{\sigma }^2\right)}$$

样本平均近似分布

$$\boxed{{\overline{X}}_n\approx N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)}$$

二项分布中心极限定理

$$\boxed{\frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}}\Rightarrow N(0,1)}$$

二项正态近似

$$\boxed{X\approx N\left(np,np(1-p)\right)}$$

这些也是讲义最后给出的核心公式框架。

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三十八、最后给出一个“做题决策树”

以后看到第 5 章题，可以直接按这个流程判断。

第一问：题目是在求概率界，还是求极限/近似概率？

如果只给期望方差，要求“至少/至多”：

$$\boxed{\text{切比雪夫不等式}}$$

如果出现：

$$\frac{1}{n}\sum g(X_i)$$

并且问依概率极限：

$$\boxed{\text{大数定律}}$$

再看是否独立同分布，通常用：

$$\boxed{\text{辛钦}}$$

如果出现大量随机变量的：

$$X_1+\cdots +X_n$$

并要求概率：

$$\boxed{\text{一般中心极限定理}}$$

如果出现：

$$X\sim B(n,p)$$

或者“大量独立重复试验中的成功次数”：

$$\boxed{\text{棣莫弗—拉普拉斯}}$$

最后不管哪种中心极限定理，都回到同一个核心：

$$\boxed{\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}}$$

即减均值，除标准差，再查标准正态分布函数。

如果把第 5 章压缩成一句考研做题口诀，就是：

$$\boxed{\text{平均求极限用大数，和的概率近似用中心极限；二项看 }np,\text{ 一般和先算均值方差。}}$$

这章题目本身通常不算特别复杂，真正的难点是识别模型 + 正确标准化。只要把“三个大数定律的条件”和“两种中心极限定理的使用对象”彻底区分开，第 5 章会变成概率论里相对稳定的得分章节。