第 4 章随机变量的数字特征

掌握数学期望、方差、协方差、相关系数和矩，并灵活计算随机变量函数的数字特征。

本章用少量数字特征概括随机变量的分布信息，重点掌握期望与方差的性质、协方差与相关系数，以及结构化快速计算。

一、这一章到底在研究什么？

前面第2、3章主要研究的是随机变量的完整分布规律。

例如知道

X \sim N (3, 4)

相当于知道了随机变量 X 的整个概率分布。

但很多时候我们并不需要掌握整个分布，只想知道几个最重要的特征，例如：

X 大概围绕哪个数波动？
波动程度大不大？
X 和 Y 是否一起增大、一起减小？
两个随机变量之间是否存在明显线性关系？

于是引入数字特征。

整章可以压缩成下面一条主线：

期望看位置，方差看波动，协方差看同向/反向变化，相关系数把协方差标准化，矩是更一般的统一描述。

讲义中的核心结构就是：

E (X) \to D (X) \to Cov (X, Y) \to ρ_{X Y} \to 矩

并且本章有两种基本计算路线：

定义法：

分布 ⟶ 求和或积分 ⟶ 数字特征

性质法：

识别结构 ⟶ 利用期望、方差、独立性等性质 ⟶ 快速求解

考试中，第二种往往更重要。讲义也特别强调：随机变量函数的期望通常不需要先求函数的分布，而可以直接求。

二、数学期望

1. 数学期望的直观意义

数学期望可以理解成概率分布的“重心”或“长期平均值”。

例如一枚均匀骰子点数为 X，那么

E (X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \dots + 6 \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{2} .

注意：

E (X) = 3.5

并不表示一次掷骰子可能得到 3.5。

它表示的是：大量重复试验后，点数的平均值趋近于 3.5。

三、离散型随机变量的数学期望

设离散型随机变量 X 的分布律为

P {X = x_{i}} = p_{i}, i = 1, 2, \dots

若级数绝对收敛，则

E (X) = i = 1 \sum \infty x_{i} p_{i}

讲义中的理解可以概括成：

期望 = \sum (随机变量取值 \times 对应概率)

例1：最基本的分布律型题

设

P {X = 0} = \frac{1}{2}, P {X = 1} = \frac{1}{3}, P {X = 2} = \frac{1}{6} .

则

E (X) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{2}{3} .

这种题没有技巧：

写取值，乘概率，再相加。

四、连续型随机变量的数学期望

设 X 的密度为

f (x),

则

E (X) = \int_{- \infty}^{+ \infty} x f (x) d x

前提是相应反常积分绝对收敛。

这里本质和离散型完全一样：

离散型是

\sum x_{i} p_{i},

连续型是

\int x f (x) d x .

可以把

f (x) d x

理解成很小区间附近的“概率权重”。

五、数学期望的四个核心性质

这一部分非常重要。

讲义给出的核心性质包括：

性质1：常数的期望还是常数

E (C) = C

性质2：常数可以提出

E (C X) = C E (X)

性质3：期望具有线性性

E (X \pm Y) = E (X) \pm E (Y)

推广为

E (i = 1 \sum n a_{i} X_{i} + c) = i = 1 \sum n a_{i} E (X_{i}) + c

这里有一个极其重要的考研结论：

期望拆加减，不需要随机变量独立。

无论 X 与 Y 是否独立，都有

E (X + Y) = E (X) + E (Y) .

性质4：独立变量乘积的期望

如果 X 与 Y 独立，则

E (X Y) = E (X) E (Y)

更一般地，如果独立，则

E [g (X) h (Y)] = E [g (X)] E [h (Y)]

这一条和前面不同：

乘积要拆，一般需要独立性。

这是第4章最容易混的一组：

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

永远成立；

但是

E (X Y) = E (X) E (Y)

一般不成立。

六、本章非常重要的技巧：函数期望不用先求函数分布

这是考研第4章的核心技巧之一。讲义对此专门给出了公式。

假设

Y = g (X) .

很多同学会想到：

先求 Y 的分布；
再由 Y 的分布求期望。

这经常是绕远路。

1. 离散型

如果

P {X = x_{k}} = p_{k},

则直接有

E [g (X)] = k \sum g (x_{k}) p_{k}

根本不用先求 Y 的分布。

2. 连续型

如果 X 密度为

f (x),

那么

E [g (X)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x) f (x) d x

例2

若

X \sim U (0, 1),

求

E (X^{3}) .

不需要先求

Y = X^{3}

的密度。

直接：

E (X^{3}) = \int_{0}^{1} x^{3} d x = \frac{1}{4} .

这就是本章一个非常典型的思想：

求 E [g (X)] \neq = 必须先求 g (X) 的分布

七、二维随机变量函数的期望

如果

Z = g (X, Y),

也可以直接求。

离散型二维随机变量

若

P {X = x_{i}, Y = y_{j}} = p_{ij},

则

E [g (X, Y)] = i \sum j \sum g (x_{i}, y_{j}) p_{ij}

连续型二维随机变量

若联合密度为

f (x, y),

则

E [g (X, Y)] = \iint g (x, y) f (x, y) d x d y

特别重要的一个量就是

E (X Y) .

因为后面求协方差时几乎一定会遇到它。

八、方差

数学期望描述“中心”。

但两个随机变量可能期望完全相同，波动情况却完全不同。

例如：

X = {- 1, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2},

和

Y = {- 100, 100, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} .

两者都有

E (X) = E (Y) = 0,

但显然 Y 波动得更剧烈。

所以需要方差。

九、方差的定义

设

μ = E (X) .

那么

X - μ

表示 X 与平均值之间的偏差。

为了防止正负抵消，把偏差平方，再取期望：

D (X) = E [(X - E (X))^{2}]

所以方差就是：

随机变量距离自身平均位置的平方偏差的平均值。

显然

D (X) \geq 0.

标准差定义为

σ (X) = D (X)

十、方差最重要的计算公式

考试中真正经常使用的不是定义，而是

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

推导非常重要。

由

D (X) = E [(X - E (X))^{2}]

展开：

D (X) = E [X^{2} - 2 X E (X) + [E (X)]^{2}] .

因为

E (X)

本身是常数，所以

D (X) = E (X^{2}) - 2 [E (X)]^{2} + [E (X)]^{2} .

因此

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

所以绝大多数方差题应该按下面的流程：

E (X) \to E (X^{2}) \to D (X)

而不是直接硬算

E [(X - E (X))^{2}] .

十一、一个特别重要的转换公式

由

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

可反过来得到

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}

考研非常常见。

例如已知

E (X) = 2, D (X) = 3,

那么立即得到

E (X^{2}) = 3 + 2^{2} = 7.

不要再去求分布。

十二、方差的性质

性质1

D (C) = 0

如果随机变量几乎处处等于一个常数，那么没有随机波动。

讲义特别指出，更准确地说：

D (X) = 0

等价于存在常数 C，使

P {X = C} = 1.

也就是“以概率 1 为常数”，未必要求在概率为零的异常点上也相同。

性质2：加常数不改变方差

D (X + C) = D (X)

因为整个分布只是平移了。

性质3：乘常数

D (C X) = C^{2} D (X)

注意是平方。

所以：

E (3 X) = 3 E (X),

但是

D (3 X) = 9 D (X) .

这是高频易错点。

十三、标准化随机变量

讲义定义

X^{*} = \frac{X - E ( X )}{D ( X )} .

标准化以后：

E (X^{*}) = 0

并且

D (X^{*}) = 1

它的本质就是：

先减均值——移到原点；
再除标准差——统一尺度。

这一思想在正态分布中就是

Z = \frac{X - μ}{σ} .

十四、常见分布的期望和方差

这张表必须熟记，因为它直接决定第4章大量选择、填空、大题的速度。讲义正文重点列出了以下分布。

分布	数学期望	方差
0-1分布	$p$	$p (1 - p)$
二项分布 $B (n, p)$	$n p$	$n p (1 - p)$
泊松分布 $P (λ)$	$λ$	$λ$
几何分布	$\frac{1}{p}$	$\frac{1 - p}{p ^{2}}$
均匀分布 $U (a, b)$	$\frac{a + b}{2}$	$\frac{( b - a ) ^{2}}{12}$
指数分布 $E (λ)$	$\frac{1}{λ}$	$\frac{1}{λ ^{2}}$
正态分布 $N (μ, σ^{2})$	$μ$	$σ^{2}$

这里有几个非常值得建立的记忆联系。

二项分布

X \sim B (n, p)

可理解为 n 个独立 0-1 变量之和：

X = X_{1} + \dots + X_{n} .

于是

E (X) = n p,

D (X) = n p (1 - p) .

这样就不用死记，可以推出来。

泊松分布

X \sim P (λ)

最特殊的地方是

E (X) = D (X) = λ

所以看到

E (X) = 3

马上知道

D (X) = 3.

指数分布

X \sim E (λ)

则

E (X) = \frac{1}{λ}, D (X) = \frac{1}{λ ^{2}} .

因此

D (X) = [E (X)]^{2}

十五、线性组合的期望与方差：本章最核心模板之一

设

Z = a X + bY + c .

期望：

E (Z) = a E (X) + b E (Y) + c

不需要独立。

但方差不一样。

一般情况下：

D (a X + bY) = a^{2} D (X) + b^{2} D (Y) + 2 ab Cov (X, Y)

如果是减法：

D (a X - bY) = a^{2} D (X) + b^{2} D (Y) - 2 ab Cov (X, Y)

所以请建立一个非常重要的对比：

期望看线性

方差看协方差

讲义也把一般形式总结为：

Z = i = 1 \sum n a_{i} X_{i}

时，

E (Z) = i = 1 \sum n a_{i} E (X_{i}),

而

D (Z) = i = 1 \sum n a_{i}^{2} D (X_{i}) + 2 i < j \sum a_{i} a_{j} Cov (X_{i}, X_{j}) .

十六、什么时候方差可以直接相加？

如果

X, Y

相互独立，则一定有

Cov (X, Y) = 0.

于是

D (X \pm Y) = D (X) + D (Y)

注意：

加号和减号最后都是加。

例如独立时：

D (X - Y) = D (X) + D (Y) .

这是因为

(- 1)^{2} = 1.

十七、协方差

协方差用于研究两个随机变量是否存在“同步变化”。

定义：

Cov (X, Y) = E [(X - E (X)) (Y - E (Y))]

直观上：

X 大于平均值、Y 也大于平均值时，乘积为正；
X 小于平均值、Y 也小于平均值时，乘积也是正；
一个大一个小时，乘积为负。

所以：

Cov (X, Y) > 0

通常意味着二者倾向于同向变化；

Cov (X, Y) < 0

通常意味着二者倾向于反向变化。

十八、协方差最重要的计算公式

与方差一样，考试通常不用定义硬算，而用

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)

所以协方差的经典计算流程是：

E (X) \to E (Y) \to E (X Y) \to Cov (X, Y)

例3

已知

E (X) = 1, E (Y) = 2, E (X Y) = 5.

则

Cov (X, Y) = 5 - 1 \cdot 2 = 3.

十九、方差和协方差之间的关系

讲义给出：

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 Cov (X, Y)

以及

D (X - Y) = D (X) + D (Y) - 2 Cov (X, Y)

因此反过来也可以求协方差。

例如已知

D (X) = 2, D (Y) = 3, D (X + Y) = 9.

则

9 = 2 + 3 + 2 Cov (X, Y),

所以

Cov (X, Y) = 2.

二十、协方差的运算性质

讲义重点给出：

Cov (X, Y) = Cov (Y, X),

Cov (a X, bY) = ab Cov (X, Y),

以及

Cov (X_{1} + X_{2}, Y) = Cov (X_{1}, Y) + Cov (X_{2}, Y) .

因此协方差有一种“类似乘法展开”的感觉。

例如：

Cov (a X + bY, c X + d Y)

展开为

a cD (X) + b d D (Y) + (a d + b c) Cov (X, Y) .

这个公式不一定要死记，现场按双线性展开即可。

二十一、相关系数

协方差存在一个问题：它受单位影响。

例如把 X 从“米”改成“厘米”，协方差会放大。

于是把协方差除以两个标准差：

ρ_{X Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )}

这就是相关系数。

它是没有量纲的。

并且：

- 1 \leq ρ_{X Y} \leq 1

二十二、相关系数怎么理解？

情况1

ρ_{X Y} > 0

存在正向线性趋势。

情况2

ρ_{X Y} < 0

存在负向线性趋势。

情况3

ρ_{X Y} = 0

称 X 与 Y 不相关。

注意：

不相关的意思只是“没有线性相关性”，不是“完全没有关系”。

二十三、最重要概念辨析：独立与不相关

这是第4章最重要的理论考点之一。

讲义明确给出：

X, Y 独立 ⟹ X, Y 不相关

因为独立时

E (X Y) = E (X) E (Y),

所以

Cov (X, Y) = 0.

但是反过来：

X, Y 不相关 \neq ⟹ X, Y 独立

一般是不成立的。

二十四、一个经典反例

设 X 关于 0 对称，例如

X \sim U (- 1, 1),

令

Y = X^{2} .

显然 Y 完全由 X 决定，所以绝对谈不上独立。

但由于对称性：

E (X) = 0,

并且

E (X Y) = E (X^{3}) = 0.

于是

Cov (X, Y) = 0 - E (X) E (Y) = 0.

所以：

X, Y

不相关，但不独立。

这很好地说明：

不相关 = 没有线性联系

而

独立 = 没有概率上的依赖关系

后者强得多。

二十五、二维正态分布是重要特例

如果

(X, Y)

服从二维正态分布，那么：

X, Y 独立 ⟺ X, Y 不相关

也就是

ρ_{X Y} = 0 ⟺ X, Y 独立

这条在考研中非常高频。

看到：

二维正态；
联合正态；
两个正态变量组成联合正态；

再看到协方差为零，就要立刻想到独立性。

但如果题目只表明：

X \sim N (\dots), Y \sim N (\dots),

却没有说明二者联合正态，则一般不能仅凭不相关推出独立。

二十六、讲义中的经典例题：和与差是否相关

设 X、Y 独立同分布：

U = X - Y, V = X + Y .

求 U、V 的关系。

因为同分布：

D (X) = D (Y) .

利用协方差：

Cov (U, V) = Cov (X - Y, X + Y) .

展开：

= D (X) + Cov (X, Y) - Cov (Y, X) - D (Y) .

由于独立：

Cov (X, Y) = 0.

而

D (X) = D (Y),

所以

Cov (U, V) = 0.

因此：

U, V 不相关

但一般不能说独立。

如果进一步知道 X、Y 为独立正态变量，那么 U、V 是联合正态的线性组合，又不相关，所以才可以推出独立。

这就是典型例题所强调的区别。

二十七、相关系数达到 1 或 -1

这是一个非常重要的特殊结论。

讲义给出：

∣ ρ_{X Y} ∣ = 1

的充分必要条件是存在常数 a、b，使得

P {Y = a X + b} = 1

也就是说 X 与 Y 存在几乎处处成立的严格线性关系。

当相关系数为 1

斜率同号：

a > 0.

当相关系数为 -1

斜率：

a < 0.

而且斜率大小可以由方差求出：

D (Y) = a^{2} D (X) .

因此

∣ a ∣ = \frac{D ( Y )}{D ( X )} .

典型例题

已知

X \sim N (0, 1),

Y \sim N (1, 4),

并且

ρ_{X Y} = 1.

则必有

Y = a X + b

以概率 1 成立。

首先因为

ρ = 1,

所以

a > 0.

再由方差：

4 = a^{2} \cdot 1,

所以

a = 2.

利用均值：

1 = 2 \cdot 0 + b,

所以

b = 1.

得到

Y = 2 X + 1

以概率 1 成立。

二十八、不相关的四个等价表达

讲义给出了非常值得背的一组结论。

在相应数字特征存在的条件下，下列结论等价：

Cov (X, Y) = 0

X, Y 不相关

E (X Y) = E (X) E (Y)

D (X + Y) = D (X) + D (Y)

所以题目未必直接表明“协方差为零”。

它可能表明：

D (X + Y) = D (X) + D (Y),

这实际上就是在暗示：

Cov (X, Y) = 0.

二十九、矩

矩看起来抽象，但本质只是把前面的期望、方差、协方差统一起来。

1. k 阶原点矩

E (X^{k})

称为 X 的 k 阶原点矩。

因此：

一阶原点矩：

E (X)

就是数学期望。

二阶原点矩：

E (X^{2}) .

2. k 阶中心矩

E [(X - E (X))^{k}]

称为 k 阶中心矩。

其中二阶中心矩：

E [(X - E (X))^{2}]

正是

D (X)

3. 混合原点矩

对于二维随机变量：

E (X^{k} Y^{l})

称为混合原点矩。

例如

E (X Y)

是二阶混合原点矩。

4. 混合中心矩

E [(X - E (X))^{k} (Y - E (Y))^{l}]

当

k = l = 1

时就是：

Cov (X, Y)

所以整章其实非常统一：

E (X) = 一阶原点矩

D (X) = 二阶中心矩

Cov (X, Y) = 二阶混合中心矩

三十、正态型密度的识别题

典型例题是非常典型的考法：给出一个看起来很复杂的指数密度，要求不要硬积分，而是配方识别正态分布。

例如：

f (x) = \frac{1}{π} exp (- x^{2} + x - \frac{1}{4}) .

先配方：

- x^{2} + x - \frac{1}{4} = - (x - \frac{1}{2})^{2} .

于是

f (x) = \frac{1}{π} exp [- (x - \frac{1}{2})^{2}] .

和正态密度

\frac{1}{2 π σ} exp [- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}]

比较。

可以得到

μ = \frac{1}{2},

以及

2 σ^{2} = 1,

所以

σ^{2} = \frac{1}{2} .

因此

X \sim N (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) .

若要求二阶原点矩：

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2} .

所以

E (X^{2}) = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4} .

这比直接计算

\int_{- \infty}^{+ \infty} x^{2} f (x) d x

快得多。

所以看到

e^{a x^{2} + b x + c}

形式的密度：

第一反应：配方，看是不是正态分布

三十一、考研题型一：直接由分布求期望和方差

这是最基本的一类。

统一流程：

第一步：求

E (X) .

第二步：求

E (X^{2}) .

第三步：

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2} .

典型例题的思路

10只电子元件中有2只废品，不放回抽取，直到抽到正品，设之前抽到的废品数为 X。

X 只能取：

0, 1, 2.

分别求：

P {X = 0} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5},

P {X = 1} = \frac{2}{10} \frac{8}{9} = \frac{8}{45},

P {X = 2} = \frac{2}{10} \frac{1}{9} = \frac{1}{45} .

所以

E (X) = 0 \cdot \frac{4}{5} + 1 \cdot \frac{8}{45} + 2 \cdot \frac{1}{45} = \frac{2}{9} .

再求

E (X^{2}) = 0 + \frac{8}{45} + 4 \cdot \frac{1}{45} = \frac{4}{15} .

于是

D (X) = \frac{4}{15} - (\frac{2}{9})^{2} .

这类题的重点不是期望公式，而是：

先正确建立随机变量的分布律

三十二、题型二：等待第 r 次成功

讲义题型总结中特别强调了一种结构识别方法：把复杂等待时间拆成几何随机变量之和。

若每次试验成功概率为 p，一直试验到第 r 次成功。

总试验次数设为 X。

不要直接求 X 的分布。

定义：

Y_{1} = 等待第一次成功需要的次数,

Y_{2} = 第一次成功后等待第二次成功的次数,

等等。

则

X = Y_{1} + \dots + Y_{r} .

每个变量都服从几何分布：

Y_{i} \sim G (p) .

所以

E (Y_{i}) = \frac{1}{p},

D (Y_{i}) = \frac{1 - p}{p ^{2}} .

于是

E (X) = \frac{r}{p}

独立时：

D (X) = \frac{r ( 1 - p )}{p ^{2}}

这类题体现第4章最高频思想：

复杂变量 \to 拆成简单变量

三十三、题型三：计数变量——示性变量法

这是非常强大的方法。

假设 X 表示“发生了多少件某类事件”。

如果直接求 X 的完整分布很麻烦，可以定义：

I_{i} = {1, 0, 第 i 个目标出现, 否则 .

于是

X = I_{1} + \dots + I_{n} .

而0-1变量满足：

E (I_{i}) = P (I_{i} = 1) .

所以

E (X) = i = 1 \sum n E (I_{i}) = i = 1 \sum n P (I_{i} = 1) .

最关键的是：

求期望时不需要这些示性变量独立。

这也是讲义把“出现种类数、命中个数”等计数问题列为重要复习题型的原因。

一个典型例子

随机掷骰子 n 次，设 X 表示六种点数中一共出现了多少种不同点数。

定义：

I_{k} = {1, 0, k 点至少出现一次, k 点没出现 .

则

X = I_{1} + \dots + I_{6} .

对于任意 k：

P (I_{k} = 0) = (\frac{5}{6})^{n} .

所以

P (I_{k} = 1) = 1 - (\frac{5}{6})^{n} .

于是

E (X) = 6 [1 - (\frac{5}{6})^{n}] .

直接求 X 的分布会复杂得多。

三十四、题型四：已知 Y 是 X 的函数，求方差或协方差

若

Y = g (X),

通常不需要先求 Y 的分布。

例如要求

D (Y),

直接求：

E [g (X)]

和

E [g^{2} (X)],

然后

D (Y) = E [g^{2} (X)] - [E (g (X))]^{2}

如果还要求

Cov (X, Y),

直接用

Cov (X, g (X)) = E [X g (X)] - E (X) E [g (X)]

例4

如果

Y = X^{2},

那么

D (Y) = D (X^{2}) = E (X^{4}) - [E (X^{2})]^{2} .

而

Cov (X, Y) = Cov (X, X^{2})

等于

E (X^{3}) - E (X) E (X^{2}) .

这就是为什么高阶矩会在第4章出现。

三十五、题型五：利用对称性

如果 X 关于 0 对称，并且相应期望存在，则奇函数的期望通常为 0。

例如：

E (X) = 0,

E (X^{3}) = 0,

E (sin X) = 0.

更一般地，如果 g 为奇函数，

g (- x) = - g (x),

在对称分布下：

E [g (X)] = 0

这对于求：

E (X^{3}), E (X^{5}), Cov (X, X^{2})

等非常有用。

三十六、题型六：两个变量线性组合的相关性

例如给：

U = a X + bY,

V = c X + d Y .

问 U 与 V 是否相关。

最稳的方法就是：

Cov (U, V) .

展开：

Cov (U, V) = a cD (X) + b d D (Y) + (a d + b c) Cov (X, Y) .

然后判断：

Cov (U, V) = 0

还是不为零。

如果不为零：

U, V 一定不独立

如果为零：

U, V 不相关

但除非有额外条件，例如联合正态，否则不能继续推出独立。

三十七、题型七：已知“不相关”，反求未知参数

二维离散型分布表中经常有一个未知参数 a。

题目告诉：

X, Y 不相关 .

则立即翻译成：

Cov (X, Y) = 0.

也就是

E (X Y) = E (X) E (Y)

解题顺序：

利用概率总和为1；
求边缘分布；
求

E (X),

E (Y),

E (X Y),

建方程：

E (X Y) = E (X) E (Y) .

最后还要检查：

0 \leq p_{ij} \leq 1.

讲义专门把“利用不相关条件求二维离散分布中的未知参数”列入第4章复习清单。

三十八、题型八：最大值与最小值的数字特征

设

U = max (X, Y),

V = min (X, Y) .

有两个极其重要的恒等式：

U + V = X + Y

以及

U V = X Y

因此如果题目问：

E (U) + E (V),

根本不用求 U、V 的分布：

E (U) + E (V) = E (X) + E (Y) .

如果需要

E (U V),

直接：

E (U V) = E (X Y) .

如果 X、Y 独立：

E (U V) = E (X) E (Y) .

这一技巧也被讲义列入第4章核心公式速查。

三十九、期望和方差的本质区别，一定要彻底搞清

这是做题时最重要的心理模型。

假设：

Z = X + Y .

对于期望：

E (Z) = E (X) + E (Y) .

不关心 X、Y 是否独立。

但对于方差：

D (Z) = D (X) + D (Y) + 2 Cov (X, Y) .

因此：

期望只看各变量自身

E (X + Y) 不关心二者关系

方差还看二者如何一起波动

D (X + Y) 必须考虑协方差

所以独立性真正影响的是：

Cov (X, Y) .

四十、本章最容易混淆的结论

建议把下面这一组直接记牢。

1.

X, Y 独立

一定推出

E (X Y) = E (X) E (Y) .

2.

E (X Y) = E (X) E (Y)

等价于

Cov (X, Y) = 0,

即不相关。

但一般不推出独立。

3.

二维联合正态时：

Cov (X, Y) = 0

可以推出

X, Y 独立 .

4.

D (X + Y) = D (X) + D (Y)

只能推出不相关：

Cov (X, Y) = 0.

一般不能直接说独立。

5.

独立时：

D (X - Y) = D (X) + D (Y),

不是

D (X) - D (Y) .

6.

D (a X + b) = a^{2} D (X) .

常数 b 消失，a 要平方。

7.

E (a X + b) = a E (X) + b .

这里 a 不平方。

四十一、一个非常实用的“做题决策树”

做第4章题目，建议按下面顺序判断。

第一步：题目要什么？

如果求

E (X),

想：

能不能识别分布？能不能拆成几个简单变量？

如果求

D (X),

优先想：

E (X^{2}) - [E (X)]^{2} .

如果求

Cov (X, Y),

优先想：

E (X Y) - E (X) E (Y) .

如果求

ρ_{X Y},

按：

Cov \to D (X) \to D (Y) \to ρ .

第二步：有没有常见分布？

只要识别出

B (n, p), P (λ), G (p), U (a, b), E (λ), N (μ, σ^{2}),

就优先直接使用数字特征。

不要重复积分、求和。

第三步：是不是函数期望？

出现

E [g (X)]

或

E [g (X, Y)]

时，不要条件反射去求 g(X) 的分布。

直接：

E [g (X)] = \int g (x) f (x) d x

或二维积分即可。

第四步：是不是计数变量？

出现：

有多少个；
出现了几种；
命中了几个；
至少发生过哪些；
符合条件的对象数；

优先想到：

X = I_{1} + \dots + I_{n} .

然后：

E (X) = \sum E (I_{i}) .

第五步：出现两个变量先看独立性

如果独立：

E (X Y) = E (X) E (Y),

Cov (X, Y) = 0,

D (X \pm Y) = D (X) + D (Y) .

第六步：只说“不相关”不要过度推论

不相关只能表明：

Cov (X, Y) = 0.

不能一般推出：

X, Y 独立 .

四十二、本章核心公式总表

讲义的速查表可以进一步整理成下面这张。

期望

E (X) = \sum x_{i} p_{i}

或

E (X) = \int x f (x) d x

函数期望：

E [g (X)] = \sum g (x_{i}) p_{i}

或

E [g (X)] = \int g (x) f (x) d x

二维：

E [g (X, Y)] = \iint g (x, y) f (x, y) d x d y

线性性：

E (a X + bY + c) = a E (X) + b E (Y) + c

方差

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2}

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}

D (a X + b) = a^{2} D (X)

一般：

D (a X + bY) = a^{2} D (X) + b^{2} D (Y) + 2 ab Cov (X, Y)

协方差

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y)

D (X \pm Y) = D (X) + D (Y) \pm 2 Cov (X, Y)

不相关

ρ_{X Y} = 0

等价于

Cov (X, Y) = 0

等价于

E (X Y) = E (X) E (Y)

等价于

D (X + Y) = D (X) + D (Y)

独立

X, Y 独立 ⟹ X, Y 不相关

但一般：

X, Y 不相关 \neq ⟹ X, Y 独立

二维正态例外：

X, Y 联合正态时： 独立 ⟺ 不相关

四十三、这一章复习时最应该掌握什么？

根据讲义的复习清单，建议把掌握程度分成三层。

第一层：必须秒出

下面公式要做到几乎不用思考：

D (X) = E (X^{2}) - [E (X)]^{2},

Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y),

D (X + Y) = D (X) + D (Y) + 2 Cov (X, Y),

ρ_{X Y} = \frac{Cov ( X , Y )}{D ( X ) D ( Y )} .

以及七个常见分布的期望、方差。

第二层：必须会识别

看到题目能立即认出：

等待成功次数 → 几何分布或几何变量之和；
成功次数 → 二项分布；
泊松变量之和 → 利用泊松结构；
正态型密度 → 配方识别正态；
“出现多少种” → 示性变量；
函数期望 → 不先求函数分布；
两变量相关性 → 先算协方差；
联合正态 + 协方差为0 → 独立；
最大值、最小值 → 利用和、积恒等式。

第三层：必须避免逻辑错误

尤其是下面四个：

独立 \Rightarrow 不相关

不是

不相关 \Rightarrow 独立 .

以及：

E (X + Y)

不需要独立，但

E (X Y) = E (X) E (Y)

一般需要额外条件。

再就是：

D (X - Y)

不能直接写成

D (X) - D (Y) .

最后：

D (X) = 0

表示的是 X 以概率1等于常数。

四十四、把第4章压缩成一张“考研思维图”

可以最终记成：

给分布 ↓ E (X), E (X^{2}) ↓ D (X)

两个变量则变成：

联合分布 ↓ E (X), E (Y), E (X Y) ↓ Cov (X, Y) ↓ ρ_{X Y} ↓ 判断相关性

而一旦题目给了独立性：

独立 \Rightarrow E (X Y) = E (X) E (Y) \Rightarrow Cov (X, Y) = 0

最关键的一句话是：

第4章不是“积分计算章”，而是“结构化简章”。先看变量能不能拆、分布能不能认、独立性能不能用，再决定要不要真的求和或积分。

这也是本章讲义在“常考题型及其解题方法”中反复强调的主线：能拆就拆，能认分布就直接用数字特征，函数期望直接算，两个变量先检查独立性和协方差，计数问题优先示性变量法。

第 4 章 随机变量的数字特征

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第 4 章随机变量的数字特征