第 1 章 函数、极限与连续

本章以函数为研究对象、以极限为核心工具，系统整理无穷小、极限计算、连续性与间断点等内容，并给出常见题型的判断顺序与易错点。

讲义对这一章的定位非常准确：研究对象是函数，研究工具是极限，计算语言是无穷小，最后落到连续性。 真正做题时，不应该变成“看到极限就洛必达”，而应该先判断极限是否存在、属于什么结构，再选择代价最低的方法。

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一、第1章到底在学什么？

整章可以压缩成下面这张逻辑链：

函数

↓

变量趋近某点时函数如何变化？

↓

极限

↓

如果都趋近于0，谁趋近得更快？

↓

无穷小阶数

↓

如果函数在某点的极限恰好等于函数值呢？

↓

连续

所以这一章真正要掌握四块：

1. 函数基本概念；
2. 极限的概念、性质和求法；
3. 无穷小及其比较；
4. 连续性、间断点与连续函数定理。

其中考研最重要的是：

极限计算 + 无穷小阶数 + 连续/间断点。

讲义中把求极限的方法总结得很完整，包括四则运算、连续性、重要极限、等价无穷小、洛必达、左右极限、夹逼、递推数列、导数定义、泰勒展开以及黎曼和等。

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二、函数：这一章的研究对象

1. 函数的本质

函数不是一个公式。

函数的本质是：

给定一个自变量，在规定范围内，通过某个确定规则，唯一确定一个函数值。

所以函数包含三个基本要素：

• 定义域；
• 对应法则；
• 值域。

考研中定义域非常重要，因为很多极限、连续性问题首先就卡在定义域。

例如：

$$f(x)=\ln (1-x^2)$$

必须有

$$1-x^2>0$$

所以

$$-1<x<1.$$

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三、几类必须熟悉的函数性质

主要有：

• 有界性；
• 单调性；
• 奇偶性；
• 周期性。

1. 奇偶性

偶函数：

$$f(-x)=f(x)$$

奇函数：

$$f(-x)=-f(x).$$

这在无穷远极限里有时非常方便。

例如偶函数若

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=A$$

那么通常也有

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=A.$$

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四、极限到底是什么？

这是本章最根本的问题。

例如：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$

真正表达的意思是：

当 $x$ 无限接近 $x_0$，但是不要求 $x=x_0$ 时，$f(x)$ 无限接近 $A$。

因此必须牢牢记住：

极限只看附近，不看这个点本身。

所以完全可能：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A$$

但是：

$$f(x_0)\ne A.$$

甚至：

$$f(x_0)$$

根本没有定义。

讲义中特别强调，函数极限使用的是空心邻域，所以极限与该点函数值没有直接关系。

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五、数列极限

数列极限写成：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A.$$

严格定义是：

$$\forall \epsilon >0,\exists N,n>N$$

时都有

$$|x_n-A|<\epsilon .$$

理解成一句话：

从某一项以后，所有项都可以被限制在 $A$ 周围任意小的范围里。

三个关键词：

任意小

从某项以后

所有后续项

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六、函数极限的左右极限

这是考研特别重要的知识。

双侧极限存在，当且仅当：

$$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=A.$$

因此：

$$\boxed{\text{双侧极限存在}⟺\text{左右极限存在且相等}}$$

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什么情况看到以后必须想到左右极限？

① 分段函数

例如：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x<0,\\ x^2,& x\ge 0.\end{array}$$

考察：

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x).$$

一定分别计算左右极限。

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② 绝对值

例如：

$$\frac{|x|}{x}.$$

因为：

$$x>0$$

时为 $1$；

而：

$$x<0$$

时为 $-1$。

所以

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}$$

不存在。

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③ 出现这类函数

例如：

$$e^{1/x},$$ $$\arctan \frac{1}{x}.$$

因为左右两边的行为完全不同。

讲义也专门把“分段函数、绝对值、$e^{1/x}$、$\arctan (1/x)$”列为应主动分左右极限的典型结构。

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七、极限的重要性质

1. 唯一性

如果极限存在，那么极限值唯一。

所以如果能找到两种趋近方式得到不同结果，就能证明极限不存在。

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八、收敛必有界

若数列收敛：

$$x_n\to A,$$

则数列一定有界。

也就是说存在 $M>0$，使：

$$|x_n|\le M.$$

函数也是一样：

如果

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A,$$

那么在 $x_0$ 附近，函数一定有界。

注意：

是局部有界，不是整个定义域都有界。

这是非常经典的选择题陷阱。讲义中的例题也专门强调了这一点。

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九、极限的保号性

如果：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A>0,$$

那么只要 $x$ 足够靠近 $x_0$，一定有：

$$f(x)>0.$$

直观理解：

既然函数已经无限接近一个正数，不可能还在附近到处跑到负数区域。

这个性质以后会大量用于：

• 判断分母不等于0；
• 判断对数是否合法；
• 判断根式；
• 判断不等式方向。

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十、不等式取极限的重要陷阱

若：

$$x_n<y_n,$$

取极限后不能保证：

$$A<B.$$

只能得到：

$$A\le B.$$

例如：

$$\frac{1}{n}<\frac{2}{n}$$

但是：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2}{n}=0.$$

因此：

严格不等号经过极限，可能退化成等号。

这是讲义中特别强调的高频判断题错误。

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十一、两个核心极限

教材通常说两个重要极限，但讲义还把对数型一起作为核心关系使用。

第一个

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$$

所以：

$$\sin x\sim x.$$

进一步：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}.$$

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第二个

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{1/x}=e}$$

等价写法：

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e}$$

这是处理：

$$1^{\infty }$$

型极限的基础。

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第三个常用关系

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1}$$

因此：

$$\ln (1+x)\sim x.$$

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十二、极限存在性的两个核心工具

1. 夹逼定理

如果：

$$g(x)\le f(x)\le h(x),$$

且：

$$\lim g(x)=\lim h(x)=A,$$

则：

$$\lim f(x)=A.$$

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典型题

求：

$$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}.$$

因为：

$$-1\le \sin \frac{1}{x}\le 1,$$

所以：

$$-|x|\le x\sin \frac{1}{x}\le |x|.$$

而：

$$\underset{x\to 0}{\lim }|x|=0.$$

所以：

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0}$$

这就是：

无穷小 × 有界量 = 无穷小。

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十三、单调有界数列必收敛

这是递推数列的核心。

如果：

• 单调递增；
• 有上界；

则数列收敛。

或者：

• 单调递减；
• 有下界；

也收敛。

所以做递推数列时，正确流程不是直接令：

$$x_{n+1}\to A,x_n\to A.$$

而是：

第一步

证明有界。

第二步

证明单调。

第三步

推出数列极限存在。

第四步

最后才能对递推关系取极限。

讲义把这一点列为第1章的重要易错点：

解出递推方程的不动点，只得到“候选极限”，不等于已经证明该数列真的收敛到这里。

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十四、如何证明一个函数极限不存在？

主要有三种方法。

方法一：左右极限不同

例如：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}.$$

左极限：

$$-1.$$

右极限：

$$1.$$

因此不存在。

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十五、构造两个数列

经典对象：

$$\sin \frac{1}{x}.$$

因为当：

$$x\to 0$$

时：

$$\frac{1}{x}\to \infty ,$$

内部不停振荡。

例如取：

$$x_n=\frac{1}{2n\pi },$$

则：

$$\sin \frac{1}{x_n}=0.$$

另取：

$$y_n=\frac{1}{2n\pi +\pi /2},$$

则：

$$\sin \frac{1}{y_n}=1.$$

两条数列都趋于0，但函数值分别趋于0和1。

所以：

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{x}\text{ 不存在}}$$

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十六、求极限究竟有哪些方法？

这才是第1章的核心。

讲义给出的总体方法非常丰富，但真正考试时建议按以下顺序判断：

直接代入 → 恒等变形 → 重要极限/等价无穷小 → 夹逼 → 洛必达 → 泰勒 → 特殊结构。

讲义的综合复习框架也采用了类似的优先级。

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十七、第一类：直接代入

例如：

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+1}{x+2}.$$

分母不为0。

所以直接代入：

$$\frac{2}{3}.$$

最简单，也应该最先尝试。

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十八、代入后出现什么才需要继续处理？

最重要的未定式有7种：

$$\frac{0}{0},$$ $$\frac{\infty }{\infty },$$ $$0\cdot \infty ,$$ $$\infty -\infty ,$$ $$0^0,$$ $$1^{\infty },$$ $${\infty }^0.$$

注意：

这些符号不是答案，而是在提示“直接运算法则失效”。

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十九、恒等变形

这是经常被低估的方法。

例如：

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}.$$

代入得到：

$$\frac{0}{0}.$$

因式分解：

$$x^2-1=(x-1)(x+1).$$

所以：

$$\frac{x^2-1}{x-1}=x+1.$$

于是：

$$\boxed{2}$$

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二十、根式极限：优先有理化

例如：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.$$

乘共轭：

$$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot \frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}.$$

得到：

$$\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}.$$

所以：

$$\boxed{\frac{1}{2}}$$

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二十一、等价无穷小：第1章最重要的工具之一

在：

$$x\to 0$$

时必须熟记：

$$\boxed{\sin x\sim x}$$ $$\boxed{\tan x\sim x}$$ $$\boxed{\arcsin x\sim x}$$ $$\boxed{\arctan x\sim x}$$ $$\boxed{1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}}$$ $$\boxed{e^x-1\sim x}$$ $$\boxed{\ln (1+x)\sim x}$$ $$\boxed{a^x-1\sim x\ln a}$$

以及：

$$\boxed{(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x}$$

讲义把这些列为必须熟记的基本关系。

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二十二、等价无穷小怎么理解？

如果：

$$f(x)\sim g(x),$$

意思是：

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=1.$$

也就是：

两个无穷小的主导部分完全一样。

例如：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\cdots$$

在 $x\to 0$ 时，主要部分是：

$$x.$$

所以：

$$\sin x\sim x.$$

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二十三、等价无穷小最重要的使用规则

乘除结构里可以放心替换

例如：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{\ln (1+2x)}.$$

因为：

$$\sin 3x\sim 3x,$$ $$\ln (1+2x)\sim 2x.$$

所以：

$$\lim \frac{\sin 3x}{\ln (1+2x)}=\lim \frac{3x}{2x}=\boxed{\frac{3}{2}}.$$

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二十四、最大陷阱：加减结构不能机械替换

例如：

$$x-\sin x.$$

不能说：

$$\sin x\sim x$$

于是：

$$x-\sin x\sim x-x=0.$$

这是错误的。

因为一阶项刚好发生了抵消。

事实上：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

所以：

$$x-\sin x=\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

因此：

$$\boxed{x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}}$$

这条“等价无穷小一般只替换乘除因子，不直接替换加减项”是讲义反复强调的高频错误。

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二十五、复合型等价无穷小

若：

$$u(x)\to 0,$$

那么：

$$\sin u(x)\sim u(x),$$ $$1-\cos u(x)\sim \frac{u(x{)}^2}{2},$$ $$\ln (1+u(x))\sim u(x).$$

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例如

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (\sin x)}{x^2}.$$

先看外层：

$$1-\cos (\sin x)\sim \frac{{\sin }^{2}x}{2}.$$

然后：

$$\sin x\sim x.$$

所以：

$$1-\cos (\sin x)\sim \frac{x^2}{2}.$$

因此：

$$\boxed{\frac{1}{2}}.$$

这就是讲义中所说的：

复杂复合结构要从内向外逐层寻找主项。

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二十六、洛必达法则

洛必达很好用，但是最容易滥用。

它主要解决：

$$\frac{0}{0}$$

或者：

$$\frac{\infty }{\infty }.$$

若条件满足，则：

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\lim \frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}.$$

讲义给出的标准条件包括：

• 原式为上述两类未定式；
• 分子分母在相应邻域可导；
• 分母导数不为0；
• 导数比值极限存在或为无穷。

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二十七、例：洛必达

求：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}.$$

直接代入：

$$\frac{0}{0}.$$

一次洛必达：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{2x}.$$

还是：

$$\frac{0}{0}.$$

再洛必达：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x}{2}=\boxed{\frac{1}{2}}.$$

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二十八、哪些不能直接洛必达？

比如：

$$0\cdot \infty .$$

必须先变成分式。

例如：

$$x\ln x,x\to 0^{+}.$$

属于：

$$0\cdot (-\infty ).$$

改写：

$$x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}.$$

现在是：

$$\frac{-\infty }{+\infty }.$$

洛必达：

$$\frac{1/x}{-1/x^2}=-x.$$

所以：

$$\boxed{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0}$$

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二十九、无穷减无穷怎么办？

例如：

$$\sqrt{x^2+x}-x,x\to +\infty .$$

这是：

$$\infty -\infty .$$

不能直接洛必达。

先有理化：

$$\sqrt{x^2+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}.$$

分母提出 $x$：

$$=\frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1}.$$

于是：

$$\boxed{\frac{1}{2}}.$$

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三十、三个幂指型未定式

主要有：

$$1^{\infty },0^0,{\infty }^0.$$

统一方法：

取对数。

设：

$$y=f(x{)}^{g(x)}.$$

则：

$$\ln y=g(x)\ln f(x).$$

先求：

$$L=\lim g(x)\ln f(x).$$

则：

$$\boxed{\lim y=e^L}$$

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三十一、经典 $1^{\infty }$

例如：

$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+2x{)}^{3/x}.$$

令：

$$y=(1+2x{)}^{3/x}.$$

则：

$$\ln y=\frac{3}{x}\ln (1+2x).$$

因为：

$$\ln (1+2x)\sim 2x,$$

所以：

$$\ln y\to 6.$$

因此：

$$\boxed{y\to e^6}$$

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三十二、泰勒公式：高阶极限的大杀器

当出现：

• 多个低阶项抵消；
• 要判断几阶无穷小；
• 参数题需要匹配多个系数；

泰勒往往最清晰。

最常用展开：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5),$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4),$$ $$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$ $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3).$$

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三十三、什么时候要展开到几阶？

一个非常实用的原则：

展开到“第一个不发生抵消的项”为止。

例如：

$$x-\sin x.$$

展开：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

一阶项 $x$ 抵消，所以继续看到三阶。

得到：

$$x-\sin x=\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

讲义明确把这种“低阶主项发生相消，就继续寻找更高阶主项”作为泰勒极限的核心判断原则。

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三十四、无穷小究竟是什么？

无穷小不是：

一个特别特别小的数字。

而是：

在某个极限过程中趋于0的变量。

例如：

当

$$x\to 0$$

时：

$$x,x^2,\sin x,1-\cos x$$

都是无穷小。

但是必须说清楚在哪个极限过程中。

讲义也特别强调，离开极限过程谈“无穷小”没有意义。

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三十五、极限与无穷小的关系

如果：

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A,$$

那么可以写成：

$$f(x)=A+\alpha (x),$$

其中：

$$\alpha (x)\to 0.$$

所以：

有限极限，本质就是“常数 + 无穷小”。

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三十六、无穷小阶数比较

假设：

$$\alpha (x)\to 0,\beta (x)\to 0.$$

研究：

$$\lim \frac{\alpha (x)}{\beta (x)}.$$

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情况1

若：

$$\lim \frac{\alpha }{\beta }=0,$$

称：

$$\alpha =o(\beta ),$$

即：

$\alpha$ 是比 $\beta$ 更高阶的无穷小。

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情况2

若：

$$\lim \frac{\alpha }{\beta }=C,0<|C|<\infty ,$$

则二者同阶。

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情况3

若：

$$C=1,$$

则：

$$\alpha \sim \beta .$$

也就是等价无穷小。

讲义把无穷小题的核心总结成：

比较阶数就是求比值极限；等价意味着主项完全相同。

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三十七、谁阶数更高？

例如：

$$x^2$$

和：

$$x.$$

计算：

$$\frac{x^2}{x}=x\to 0.$$

所以：

$$x^2=o(x).$$

也就是说：

$$x^2$$

比：

$$x$$

更高阶。

注意名字有一点反直觉：

趋零越快，阶数越高。

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三十八、不同阶无穷小相加谁决定？

例如：

$$x+x^2.$$

因为：

$$x^2=o(x),$$

所以主导项是：

$$x.$$

因此：

$$x+x^2\sim x.$$

原则：

不同阶相加，低阶无穷小主导。

为什么叫低阶？

因为它趋零更慢，因此数值更大。

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三十九、同阶相加必须防止抵消

例如：

$$x-\sin x.$$

二者都是一阶无穷小。

但是一阶项：

$$x-x$$

发生抵消。

所以整体变成三阶：

$$x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}.$$

这就是很多复杂极限真正的本质：

寻找第一个没有被抵消的主项。

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四十、数列极限怎么做？

函数极限的方法很多能迁移，但有一个重要区别：

数列没有连续自变量，因此不能直接对 $n$ 使用洛必达。

这是讲义列出的高频错误之一。

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四十一、数列极限第一类：转成函数极限

例如：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }n\sin \frac{1}{n}.$$

令：

$$x=\frac{1}{n}.$$

则：

$$x\to 0^{+}.$$

原式：

$$\frac{\sin x}{x}.$$

所以：

$$\boxed{1}$$

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四十二、$n$ 项和：重点识别黎曼和

最标准的形式：

$$\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx}$$

更一般：

$$\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(a+\frac{k(b-a)}{n}\right)$$

趋于：

$${\int }_a^{b}f(x)dx.$$

讲义把“$n$ 项和 → 恒等变形、夹逼、黎曼和、级数部分和”作为主要处理框架。

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四十三、例：黎曼和

求：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+k/n}.$$

直接识别：

$$f(x)=\frac{1}{1+x}.$$

所以：

$${\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx.$$

得到：

$$\boxed{\ln 2}.$$

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四十四、$n$ 项积怎么办？

如果：

$$x_n=\prod _{k=1}^n{a}_{n,k},$$

通常取对数：

$$\ln x_n=\sum _{k=1}^n\ln a_{n,k}.$$

即：

积 → 对数 → 和。

之后再使用：

$$\ln (1+u)\sim u$$

以及黎曼和等方法。

讲义对 $n$ 项积给出的标准方法也是先取对数，把乘积转成和式。

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四十五、递推数列

假设：

$$x_{n+1}=f(x_n).$$

最标准的考研方法：

① 证明有界

② 证明单调

因此得到：

$$x_n\to A.$$

③ 对递推式取极限

得到：

$$A=f(A).$$

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一个简单例子

设：

$$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n},x_1>0.$$

若已证明收敛，设：

$$x_n\to A.$$

则：

$$A=\sqrt{2+A}.$$

平方：

$$A^2-A-2=0.$$

所以：

$$(A-2)(A+1)=0.$$

因为：

$$x_n>0,$$

所以：

$$\boxed{A=2}.$$

但注意：

仅仅算出 $A=2$ 不够，还需要前面证明数列确实收敛。

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四十六、连续的定义

函数：

$$f(x)$$

在：

$$x=x_0$$

连续，当且仅当：

$$\boxed{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)}$$

把它拆成三个条件：

① 函数值存在

$$f(x_0)$$

存在。

② 极限存在

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)$$

存在。

③ 两者相等

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0).$$

所以可以记忆为：

$$\boxed{\text{连续}=\text{有定义}+\text{极限存在}+\text{极限等于函数值}}$$

讲义正是这样总结连续性题核心的。

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四十七、连续与极限的区别

这是必须彻底理解的。

极限存在只要求

$$L_{-}=L_{+}=L.$$

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连续还要求

$$L=f(x_0).$$

所以：

极限存在不一定连续。

例如：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x}{x},& x\ne 0,\\ 2,& x=0.\end{array}$$

虽然：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1,$$

但是：

$$f(0)=2.$$

所以不连续。

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四十八、间断点分类

这是考研非常喜欢考的。

主要分两大类。

第一类间断点

左右极限都存在且有限。

再分：

可去间断

如果：

$$L_{-}=L_{+}=L,$$

但：

$$f(x_0)\ne L$$

或者：

$$f(x_0)$$

没有定义。

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跳跃间断

如果：

$$L_{-}\ne L_{+},$$

但左右极限都有限。

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四十九、第二类间断点

只要至少有一个单侧极限不是有限数，就属于第二类。

典型包括：

无穷间断

例如：

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

在：

$$x=0$$

处。

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振荡间断

例如：

$$f(x)=\sin \frac{1}{x}$$

在：

$$x=0$$

处。

讲义总结间断点时给出的快速判断正是：

• 两侧有限且相等 → 连续或可去；
• 两侧有限但不等 → 跳跃；
• 至少一侧不存在或无穷 → 第二类。

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五十、间断点题的标准流程

拿到：

求函数的全部间断点并分类。

按三步来。

第一步：找可疑点

来自：

• 分母为0；
• 对数边界；
• 根式边界；
• 分段点；
• 外函数间断点。

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第二步：分别算

$$L_{-}=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x),$$ $$L_{+}=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x).$$

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第三步分类

如果：

$$L_{-}=L_{+}=L$$

再看：

$$f(x_0).$$

若：

$$f(x_0)=L$$

则连续。

否则可去。

若：

$$L_{-}\ne L_{+}$$

则跳跃。

若某一边无穷或不存在：

第二类。

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五十一、分段函数参数题

例如要求：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x),& x<0,\\ a,& x=0,\\ f_2(x),& x>0\end{array}$$

在0连续。

标准条件：

$$\boxed{\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=f(0)}$$

也就是：

$$L_{-}=L_{+}=a.$$

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五十二、一个讲义中的典型题

讲义中有：

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}2(x+1)\arctan \frac{1}{x},& x>0,\\ 1,& x=0,\\ \frac{\ln (1+a{x}^2)}{x\sin x},& x<0.\end{array}$$

问：

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)$$

什么时候存在。

右极限：

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }2(x+1)\arctan \frac{1}{x}=\pi .$$

左极限：

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\ln (1+a{x}^2)}{x\sin x}.$$

利用：

$$\ln (1+a{x}^2)\sim a{x}^2,$$ $$\sin x\sim x.$$

所以：

$$L_{-}=a.$$

为了极限存在：

$$a=\pi .$$

但注意此时：

$$f(0)=1.$$

而：

$$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=\pi .$$

所以：

极限存在，但函数仍然不连续。

这道题非常适合理解“极限存在”和“连续”之间的区别。

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五十三、连续函数有哪些重要性质？

1. 局部保号

若：

$$f(x_0)>0$$

且 $f$ 在 $x_0$ 连续，那么 $x_0$ 附近：

$$f(x)>0.$$

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五十四、闭区间连续函数有界

若：

$$f\in C[a,b],$$

则存在：

$$M>0$$

使：

$$|f(x)|\le M.$$

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五十五、最大值最小值定理

如果：

$$f\in C[a,b],$$

则一定存在：

$$x_1,x_2\in [a,b]$$

使：

$$f(x_1)=\underset{[a,b]}{\max }f(x),$$ $$f(x_2)=\underset{[a,b]}{\min }f(x).$$

注意两个条件：

闭区间 + 连续。

少一个都不能直接使用。

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五十六、介值定理

如果：

$$f\in C[a,b],$$

那么介于：

$$f(a)$$

和：

$$f(b)$$

之间的任何值，函数至少都能取到一次。

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五十七、零点存在定理

介值定理的特殊情况。

如果：

$$f\in C[a,b],$$

并且：

$$f(a)f(b)<0,$$

那么一定存在：

$$\xi \in (a,b)$$

使：

$$f(\xi )=0.$$

这个定理以后会频繁用于：

• 证明方程有根；
• 证明存在某个中值点；
• 微分中值定理；
• 定积分相关证明题。

讲义把这些定理的“条件—结论”专门进行了归纳，尤其提醒不能倒过来使用。

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五十八、第1章最常见的题型

结合讲义，可以整理为下面这些。

题型1：判断极限是否存在

识别：

• 左右极限；
• 振荡；
• 奇偶子列；
• 定义域。

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题型2：直接求函数极限

常用：

• 直接代入；
• 因式分解；
• 有理化；
• 提取主项。

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题型3：重要极限

核心：

$$\frac{\sin x}{x},$$ $$(1+x{)}^{1/x}.$$

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题型4：等价无穷小

优先处理：

$$0/0$$

型中包含：

• 三角；
• 对数；
• 指数；
• 根式。

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题型5：洛必达

识别：

$$0/0,\infty /\infty .$$

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题型6：幂指型

看到：

$$1^{\infty },$$ $$0^0,$$ $${\infty }^0$$

就想到：

$$\boxed{\text{取对数}}$$

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题型7：泰勒展开

主要特点：

低阶项不断抵消。

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题型8：求无穷小阶数

核心：

$$\lim \frac{\alpha }{\beta }.$$

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题型9：$n$ 项和

主要：

• 裂项；
• 夹逼；
• 黎曼和。

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题型10：$n$ 项积

主要：

$$\boxed{\text{取对数}}$$

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题型11：递推数列

套路：

$$\boxed{\text{单调}+\text{有界}\Rightarrow \text{收敛}\Rightarrow \text{极限方程}}$$

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题型12：连续与间断点

核心：

$$L_{-},L_{+},f(x_0).$$

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题型13：参数题

本质：

参数必须让低阶项消失，使极限满足题目要求。

讲义中也专门总结了“由极限值确定参数”的方法，本质就是匹配主项、逐阶消去不允许出现的低阶项。

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五十九、看到极限之后的完整决策树

这个非常值得背下来。

第一步：看定义域

有没有：

• 对数；
• 根式；
• 分母；
• 幂函数。

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第二步：需不需要分左右？

看到：

• 分段；
• 绝对值；
• $1/x$ 在指数里；
• 反三角；
• 分母趋0且可能异号；

优先分左右。

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第三步：直接代入

如果得到普通数：

结束。

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如果得到：

$$0/0$$

优先考虑：

1. 因式分解；
2. 有理化；
3. 等价无穷小；
4. 重要极限；
5. 洛必达；
6. 泰勒。

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如果：

$$\infty /\infty$$

优先：

1. 提最高阶；
2. 除以最大增长项；
3. 洛必达。

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如果：

$$0\cdot \infty$$

转成分式。

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如果：

$$\infty -\infty$$

考虑：

• 通分；
• 有理化；
• 提取主项。

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如果：

$$1^{\infty },0^0,{\infty }^0,$$

取对数。

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如果是：

$$\sum _{k=1}^n$$

考虑：

• 夹逼；
• 裂项；
• 黎曼和。

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如果是：

$$\prod _{k=1}^n$$

考虑：

$$\ln .$$

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如果是递推：

$$x_{n+1}=f(x_n),$$

考虑：

$$\text{单调有界}.$$

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六十、考研中必须建立的“增长速度”直觉

当：

$$x\to +\infty$$

时，一般增长速度：

$$\ln x\ll x^{\alpha }\ll a^x$$

其中：

$$\alpha >0,a>1.$$

也就是：

$$\boxed{\text{对数}<\text{幂函数}<\text{指数函数}}$$

例如：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^{100}}{e^x}=0.$$

指数最终会压倒任意固定次幂。

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六十一、第1章十个最容易犯的错误

讲义总结得很好，可以直接作为检查表。

1. 把 $\infty$ 当普通数字

错误：

$$\infty -\infty =0.$$

完全错误。

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2. 不算左右极限

尤其是分段、绝对值。

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3. 加减式乱用等价无穷小

例如：

$$x-\sin x.$$

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4. 不是未定式也洛必达

先判断类型。

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5. 数列直接对 $n$ 求导

不合法。

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6. 递推数列只求不动点

没有证明收敛。

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7. 忘记：

$$\sqrt{x^2}=|x|.$$

尤其：

$$x\to -\infty$$

时非常容易错。

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8. 幂指取对数不检查底数正性

实数范围必须：

$$f(x)>0.$$

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9. 判断连续时只看左右极限

还必须看：

$$f(x_0).$$

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10. 连续函数定理忘记条件

尤其：

$$[a,b]$$

闭区间和连续性。

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六十二、这一章真正应该背什么？

不用把所有题目背下来，只需要牢牢掌握下面几组东西。

第一组：基本极限

$$\frac{\sin x}{x}\to 1,$$ $$(1+x{)}^{1/x}\to e,$$ $$\frac{\ln (1+x)}{x}\to 1.$$

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第二组：等价无穷小

$$\sin x\sim x,$$ $$\tan x\sim x,$$ $$\arcsin x\sim x,$$ $$\arctan x\sim x,$$ $$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},$$ $$e^x-1\sim x,$$ $$\ln (1+x)\sim x,$$ $$a^x-1\sim x\ln a,$$ $$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x.$$

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第三组：连续

$$\boxed{f\text{ 在 }{x}_0\text{ 连续}⟺\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)}$$

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第四组：双侧极限

$$\boxed{\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A⟺L_{-}=L_{+}=A}$$

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第五组：递推数列

$$\boxed{\text{单调}+\text{有界}⟹\text{收敛}}$$

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第六组：间断点分类

$$L_{-}=L_{+}$$

且有限：

→ 连续或可去。

$$L_{-}\ne L_{+}$$

且有限：

→ 跳跃。

单侧无穷或不存在：

→ 第二类。

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六十三、最后把第1章压缩成一句做题思想

讲义给出的总结非常适合作为这一章的主线：

极限解决“趋向什么”，无穷小解决“以多快速度趋近”，连续性解决“极限能否与函数值接起来”。

而对于实际考研求极限，可以记住：

$$\boxed{\text{先判存在}\to \text{再判类型}\to \text{识别结构}\to \text{选最简单方法}\to \text{检查使用条件}}$$

其中最核心的能力并不是“会洛必达”，而是能快速判断：

• 这里应该等价无穷小；
• 这里应该泰勒；
• 这里应该夹逼；
• 这里必须分左右；
• 这里是黎曼和；
• 这里是递推数列；
• 这里不能直接替换。

这套判断能力建立起来以后，第1章的大部分考研题就会从“每题一个新套路”，变成少数几个统一结构。