第 9 章 多元函数积分学

本章统一整理六类多元积分，重点掌握积分区域描述、积分次序与坐标变换，以及曲线、曲面积分的方向与投影处理。

讲义把本章统一为六类积分：

• 二重积分；
• 三重积分；
• 第一类曲线积分；
• 第二类曲线积分；
• 第一类曲面积分；
• 第二类曲面积分。

它们表面形式不同，但本质完全一致：

把积分区域切成无数小块，用“函数值 × 相应几何微元”求和，再取极限。

而整个第9章做题可以压缩成一条主线：

$$\boxed{\text{画区域}\to \text{选坐标系}\to \text{选积分顺序}\to \text{写微元与积分限}\to \text{计算}}$$

这也是讲义中特别强调的核心。

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一、先建立全章框架：六种积分到底有什么区别？

这是第9章最重要的第一层认识。

讲义中的一个非常好用的记忆方法就是：

看到 $ds,dS$：第一类，不看方向。 看到 $dx,dy,dz$ 或有向投影面积：第二类，要看方向。

第二类曲线积分反向以后变号，第二类曲面积分换侧以后也变号。

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二、二重积分：第9章的第一核心

二重积分不仅本身重要，还是后面曲面积分、三重积分、几何应用的基础。

1. 二重积分是什么意思？

定义在平面区域 $D$ 上的函数 $f(x,y)$：

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$$

本质是

$$\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i.$$

如果 $f(x,y)\ge 0$，它可以理解成：

• 底面：$D$；
• 顶面：$z=f(x,y)$；
• 高：$f(x,y)$。

所以

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma$$

就是曲顶柱体体积。

特别地：

$$\boxed{{\iint }_{D}1d\sigma =S_D}$$

也就是区域面积。

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三、二重积分最关键的问题：怎么写积分限？

高数考研里的二重积分，很多时候真正难的不是积分，而是区域 $D$ 怎么写。

有两种最基本扫描方法。

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1. $X$ 型区域：先对 $y$ 积分

若区域能写成

$$D=\left\{(x,y)\mid a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)\right\},$$

那么

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_a^b\left[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\right]dx}$$

几何上就是：

固定一个 $x$，沿竖直方向从“下面曲线”扫到“上面曲线”。

记成：

$$\boxed{\text{竖着扫：下到上}}$$

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2. $Y$ 型区域：先对 $x$ 积分

若

$$D=\left\{(x,y)\mid c\le y\le d,{\psi }_1(y)\le x\le {\psi }_2(y)\right\},$$

那么

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_c^d\left[{\int }_{{\psi }_1(y)}^{{\psi }_2(y)}f(x,y)dx\right]dy}$$

也就是：

$$\boxed{\text{横着扫：左到右}}$$

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四、交换二重积分次序

这是考研非常典型的一类题。

例如典型例题：

$$I={\int }_0^{1}dx{\int }_1^{x+1}ydy+{\int }_1^{2}dx{\int }_x^{x+1}ydy+{\int }_2^{3}dx{\int }_x^{3}ydy.$$

如果直接硬算，要算三块。

但先还原区域，可以发现整体等价于

$$1\le y\le 3,$$

而固定 $y$ 后：

$$y-1\le x\le y.$$

所以

$$D=\{(x,y)\mid 1\le y\le 3,y-1\le x\le y\}.$$

从而

$$I={\int }_1^{3}dy{\int }_{y-1}^{y}ydx={\int }_1^{3}ydy=4.$$

讲义把这种题的方法总结得很好：

$$\boxed{\text{先还原区域，后重新扫描；边界一换，立即分块}}$$

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五、为什么有时候必须交换积分顺序？

比如

$${\int }_0^{1}dx{\int }_x^1{e}^{y^2}dy.$$

如果按原顺序：

$$\int e^{y^2}dy$$

没有初等原函数。

所以不能硬积。

先画区域：

$$0\le x\le y\le 1.$$

改成先对 $x$ 积分：

$${\int }_0^{1}dy{\int }_0^y{e}^{y^2}dx.$$

此时

$$={\int }_0^{1}y{e}^{y^2}dy=\frac{1}{2}(e-1).$$

所以选择积分顺序时不是机械看区域，还要看被积函数谁更容易积分。

讲义明确强调：

顺序不是固定的，能积出来才是好顺序。

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六、二重积分中的对称性：考研高频技巧

这是非常重要的简化工具。

1. 关于 $y$ 轴对称

如果区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称。

若

$$f(-x,y)=-f(x,y),$$

则关于 $x$ 为奇函数，因此

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =0}$$

若

$$f(-x,y)=f(x,y),$$

则

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =2{\iint }_{D_{+}}f(x,y)d\sigma }$$

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2. 关于 $x$ 轴对称

类似：

$$f(x,-y)=-f(x,y)$$

则积分为 $0$。

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3. 关于原点对称

变换：

$$(x,y)\to (-x,-y).$$

若

$$f(-x,-y)=-f(x,y),$$

则

$${\iint }_{D}fd\sigma =0.$$

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七、轮换对称性：比普通奇偶性更强

如果区域满足交换 $x,y$ 后保持不变，例如圆域

$$x^2+y^2\le a^2,$$

则

$${\iint }_D{x}^{2}d\sigma ={\iint }_D{y}^{2}d\sigma .$$

因此

$$2{\iint }_D{x}^{2}d\sigma ={\iint }_D(x^2+y^2)d\sigma .$$

所以

$$\boxed{{\iint }_D{x}^{2}d\sigma =\frac{1}{2}{\iint }_D(x^2+y^2)d\sigma }$$

三维球体里更强：

$${\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dV={\iiint }_{\Omega }{y}^{2}dV={\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dV.$$

于是

$$\boxed{{\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dV=\frac{1}{3}{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dV}$$

这在球坐标题中极其好用。

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八、二重积分的极坐标变换

只要看到下面这些东西，就应该敏感：

$$x^2+y^2,$$

圆、圆环、扇形、圆心在原点附近。

极坐标：

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta .$$

最重要的是：

$$\boxed{d\sigma =rdrd\theta }$$

所以

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\iint }_{D^{\prime }}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta }$$

讲义特别提醒：最容易错的地方就是忘记这个 $r$。

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为什么多出来一个 $r$？

因为极坐标中小区域不是普通矩形。

径向宽度：

$$dr.$$

角方向弧长：

$$rd\theta .$$

因此小面积：

$$d\sigma \approx dr\cdot rd\theta =rdrd\theta .$$

所以这个 $r$ 不是人为添加，而是面积伸缩。

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九、极坐标积分范围怎么定？

最常见形式：

$$\alpha \le \theta \le \beta ,$$ $$r_1(\theta )\le r\le r_2(\theta ).$$

因此

$${\int }_{\alpha }^{\beta }d\theta {\int }_{r_1(\theta )}^{r_2(\theta )}f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdr.$$

判断 $r$ 的方法：

从原点向角度 $\theta$ 发一条射线，看它什么时候进入区域、什么时候离开区域。

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十、经典极坐标题：高斯积分

这是理解极坐标威力最好的例子。

定义

$$J={\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx.$$

一维积分无法直接求。

平方：

$$J^2=\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx\right)\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-y^2}dy\right).$$

写成二重积分：

$$J^2={\iint }_{{\mathbb{R}}^2}{e}^{-(x^2+y^2)}dxdy.$$

极坐标：

$$x^2+y^2=r^2,$$ $$dxdy=rdrd\theta .$$

于是

$$J^2={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\infty }{e}^{-r^2}rdr.$$

所以

$$J^2=2\pi \cdot \frac{1}{2}=\pi .$$

因此

$$\boxed{{\int }_{-\infty }^{+\infty }{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }}$$

这也是本章综合题中专门总结的一种典型方法。

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十一、三重积分

三重积分：

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV.$$

本质上是在空间区域 $\Omega$ 内累加。

特别地：

$$\boxed{V_{\Omega }={\iiint }_{\Omega }1dV}$$

如果 $\rho (x,y,z)$ 是密度，则：

$$\boxed{m={\iiint }_{\Omega }\rho (x,y,z)dV}$$

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十二、三重积分最核心的方法：投影穿透法

若区域可以写成

$$(x,y)\in D_{xy},$$ $$z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),$$

那么

$$\boxed{{\iiint }_{\Omega }fdV={\iint }_{D_{xy}}dxdy{\int }_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz}$$

最重要的问题就变成：

1. 在 $Oxy$ 平面投影是什么？
2. 下表面是谁？
3. 上表面是谁？

可以记成：

$$\boxed{\text{先投影，再穿透}}$$

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例：典型例题

区域由

$$z=xy,y=x,z=0,x=1$$

围成。

投影区域：

$$0\le x\le 1,$$ $$0\le y\le x.$$

而

$$0\le z\le xy.$$

因此

$$I={\iiint }_{\Omega }x{y}^2{z}^{3}dV$$

写成

$$I={\int }_0^{1}dx{\int }_0^{x}dy{\int }_0^{xy}x{y}^2{z}^{3}dz.$$

讲义计算结果：

$$\boxed{I=\frac{1}{364}}$$

这类题真正的第一步永远不是积分，而是把空间区域翻译成三个不等式。

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十三、三重积分第二种方法：截面法

有时不适合“从下往上穿透”，就可以切片。

例如固定 $x$ 后，截面区域为

$$D(x).$$

则

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV={\int }_a^{b}dx{\iint }_{D(x)}f(x,y,z)dydz.$$

可以理解为：

把三维物体切成无数个二维薄片。

所以三重积分两种核心思维：

$$\boxed{\text{投影穿透}\text{或}\text{截面分层}}$$

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十四、柱坐标

空间中只要出现大量

$$x^2+y^2$$

或者图形绕 $z$ 轴旋转，就应优先想到柱坐标：

$$x=r\cos \theta ,$$ $$y=r\sin \theta ,$$ $$z=z.$$

体积微元：

$$\boxed{dV=rdrd\theta dz}$$

注意仍然要有 $r$。

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什么时候最适合柱坐标？

例如：

• 圆柱；
• 圆锥；
• 旋转抛物面；
• 球面与抛物面的交域；
• 被积函数含 $x^2+y^2$。

讲义中例如区域

$$x^2+y^2\le z,$$ $$x^2+y^2+z^2\le 2.$$

令

$$x^2+y^2=r^2,$$

边界就变成

$$z=r^2,$$ $$z=\sqrt{2-r^2}.$$

交线：

$$r=1.$$

所以区域：

$$0\le r\le 1,$$ $$r^2\le z\le \sqrt{2-r^2},$$ $$0\le \theta \le 2\pi .$$

这就比直角坐标简单得多。

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十五、球坐标

只要大量出现

$$x^2+y^2+z^2,$$

球面、球冠、球与锥面的交域，就应考虑球坐标。

标准定义：

$$x=\rho \sin \phi \cos \theta ,$$ $$y=\rho \sin \phi \sin \theta ,$$ $$z=\rho \cos \phi .$$

其中：

• $\rho$：点到原点的距离；
• $\phi$：与 $z$ 轴正方向的夹角；
• $\theta$：在 $Oxy$ 平面内的极角。

体积微元：

$$\boxed{dV={\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta }$$

变量次序可以调整，但

$$\boxed{{\rho }^2\sin \phi }$$

绝不能漏掉。

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十六、球坐标中特别重要的曲面翻译

球面

$$x^2+y^2+z^2=R^2$$

变成

$$\rho =R.$$

上半空间

$$z\ge 0$$

变成

$$0\le \phi \le \frac{\pi }{2}.$$

圆锥面

例如

$$z=\sqrt{x^2+y^2}.$$

因为

$$z=\rho \cos \phi ,$$ $$\sqrt{x^2+y^2}=\rho \sin \phi ,$$

所以

$$\tan \phi =1,$$

即

$$\phi =\frac{\pi }{4}.$$

所以：

球坐标中球面通常限制 $\rho$，圆锥面通常限制 $\phi$。

这句话非常重要。

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十七、第一类曲线积分

形式：

$${\int }_{L}f(x,y,z)ds.$$

这里 $ds$ 是弧长微元。

所以它和方向无关：

$${\int }_{L}fds={\int }_{-L}fds.$$

典型物理意义：细线质量。

如果线密度为 $\rho (x,y,z)$：

$$\boxed{m={\int }_L\rho ds}$$

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十八、第一类曲线积分怎么计算？

核心只有一句话：

$$\boxed{\text{参数化}}$$

若空间曲线

$$x=x(t),y=y(t),z=z(t),$$

则

$$ds=\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2+[z^{\prime }(t){]}^2}dt.$$

因此

$$\boxed{{\int }_{L}f(x,y,z)ds={\int }_{\alpha }^{\beta }f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}dt}$$

平面曲线只是令 $z=0$。

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特殊情形：$y=y(x)$

那么

$$ds=\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx.$$

所以

$$\boxed{{\int }_{L}f(x,y)ds={\int }_a^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx}$$

最大的易错点：

只把 $y$ 代入，却忘了乘 $\sqrt{1+y^{\prime 2}}$。

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十九、第二类曲线积分

形式：

$$\boxed{{\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz}$$

它与方向有关。

如果 $-L$ 表示方向反转：

$$\boxed{{\int }_{-L}Pdx+Qdy+Rdz=-{\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz}$$

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二十、第二类曲线积分怎么计算？

仍然是参数法。

若

$$x=x(t),y=y(t),z=z(t),$$

并且 $t$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$ 对应题目规定的方向，则

$$dx=x^{\prime }(t)dt,$$ $$dy=y^{\prime }(t)dt,$$ $$dz=z^{\prime }(t)dt.$$

所以

$$\boxed{{\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\int }_{\alpha }^{\beta }[P{x}^{\prime }(t)+Q{y}^{\prime }(t)+R{z}^{\prime }(t)]dt}$$

其中 $P,Q,R$ 全部代入

$$x(t),y(t),z(t).$$

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二十一、第二类曲线积分为什么表示功？

设力场

$$\mathbf{F}=(P,Q,R),$$

位移微元

$$d\mathbf{r}=(dx,dy,dz).$$

微元功：

$$dW=\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.$$

所以

$$dW=Pdx+Qdy+Rdz.$$

总功：

$$\boxed{W={\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz}$$

所以第二类曲线积分天然有方向：

顺着力移动和反着移动，功的符号当然不同。

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二十二、第一类曲面积分

形式：

$${\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS.$$

这里 $dS$ 是真正的曲面面积元。

因此与选上侧还是下侧无关。

特别地：

$$\boxed{S_{\Sigma }={\iint }_{\Sigma }1dS}$$

就是曲面面积。

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二十三、第一类曲面积分最重要公式

若曲面可以写成

$$z=z(x,y),$$

在 $Oxy$ 平面的投影为 $D$，则：

$$\boxed{dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy}$$

因此

$$\boxed{{\iint }_{\Sigma }f(x,y,z)dS={\iint }_{D}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy}$$

这是必须熟练掌握的公式。

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做题固定四步

比如求

$${\iint }_{\Sigma }fdS.$$

第一步：确定投影面

尽量找能让曲面写成单值函数的投影。

第二步：写出曲面

例如

$$z=z(x,y).$$

第三步：把 $z$ 代入被积函数

第四步：把 $dS$ 换掉

$$dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy.$$

然后就变成普通二重积分。

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二十四、第二类曲面积分

标准形式：

$$\boxed{{\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy}$$

这是整个第9章最容易出正负号错误的地方。

它对应向量场穿过曲面的通量。

若

$$\mathbf{F}=(P,Q,R),$$

单位法向量

$$\mathbf{n}=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma ),$$

则通量本质上是

$${\iint }_{\Sigma }\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}dS.$$

即

$${\iint }_{\Sigma }(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma )dS.$$

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二十五、第二类曲面积分怎么投影？

假设

$$z=z(x,y).$$

取上侧。

法向量可取

$$(-z_x,-z_y,1).$$

因此：

$$dydz=-z_{x}dxdy,$$ $$dzdx=-z_{y}dxdy,$$ $$dxdy=dxdy.$$

于是：

$$\boxed{{\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy={\iint }_D(-P{z}_x-Q{z}_y+R)dxdy}$$

如果取下侧：

$$\boxed{\text{整体变号}}$$

这是讲义特别总结的公式。

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二十六、第二类曲面积分到底怎么判断正负号？

不要纯背。

记住：

$$dxdy=\cos \gamma dS.$$

如果曲面取上侧：

$$\cos \gamma >0.$$

如果取下侧：

$$\cos \gamma <0.$$

所以投影到 $Oxy$ 平面时：

• 上侧：正；
• 下侧：负。

同理：

投影到 $Oyz$ 平面

看法向量 $x$ 分量：

• 朝 $+x$：正；
• 朝 $-x$：负。

投影到 $Ozx$ 平面

看法向量 $y$ 分量：

• 朝 $+y$：正；
• 朝 $-y$：负。

本质只有一句：

$$\boxed{\text{符号取决于法向量与投影轴正方向的关系}}$$

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二十七、曲面积分选择投影面的原则

不要一看到曲面就默认投影到 $Oxy$。

应该比较：

1. 能不能写成单值函数；
2. 投影区域是否简单；
3. 偏导数是否简单；
4. 哪些积分项会消失；
5. 能否利用对称性。

讲义中特别强调第二类曲面积分要“比较三个投影方向并核对定向”。

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二十八、为什么第9章要如此强调“利用曲面方程”？

因为积分只在曲面或曲线上进行。

例如曲面

$$x^2+y^2+z^2=R^2.$$

那么在 $\Sigma$ 上恒有

$$x^2+y^2+z^2=R^2.$$

因此如果被积函数恰好出现

$$(x^2+y^2+z^2{)}^2,$$

直接变成

$$R^4.$$

这往往比坐标变换更快。

所以遇到曲线、曲面积分，第一反应应该先问：

能不能先利用积分路径/曲面的方程把被积函数化简？

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二十九、多元积分里的平移变换

当区域不是关于原点对称，但关于其他点对称，经常可以平移。

例如

$$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2\le R^2.$$

令

$$u=x-a,$$ $$v=y-b.$$

区域立即变成

$$u^2+v^2\le R^2.$$

此时可以利用：

• 奇偶性；
• 极坐标；
• 轮换对称。

讲义的例题中有区域经

$$u=x,v=y-1$$

平移后变成关于坐标轴对称，再利用奇函数积分为 $0$，从而显著简化计算。

注意：

平移不是只平移区域，被积函数里的 $x,y,z$ 也必须同步替换。

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三十、第9章几何应用之一：体积

最基本公式：

如果

$$z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),$$

则体积：

$$\boxed{V={\iint }_D[z_2(x,y)-z_1(x,y)]dxdy}$$

注意一定是：

$$\boxed{\text{上减下}}$$

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一个很重要的陷阱

如果给

$$z=xy,$$

以及

$$z=0,$$

不能直接写：

$$V={\iint }_{D}xydxdy.$$

因为 $xy$ 有正有负。

几何体积必须是正的，因此应该根据区域分象限，或者写：

$$V={\iint }_D|xy|dxdy.$$

典型例题正是利用四象限对称，把体积化为第一象限的四倍，得到

$$\boxed{V=\frac{a^4}{2}}$$

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三十一、几何应用之二：曲面面积

若

$$z=f(x,y),$$

则：

$$\boxed{A={\iint }_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}dxdy}$$

本质上就是：

$$A={\iint }_{\Sigma }1dS.$$

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一个典型讲义例题

锥面：

$$z=\sqrt{x^2+y^2}$$

被柱面

$$z^2=2x$$

截下。

在锥面上：

$$z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},$$ $$z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$

于是

$$1+z_x^2+z_y^2=2.$$

所以

$$dS=\sqrt{2}dxdy.$$

投影区域：

$$x^2+y^2\le 2x,$$

即

$$(x-1{)}^2+y^2\le 1.$$

于是：

$$A=\sqrt{2}\cdot \pi .$$

即

$$\boxed{A=\sqrt{2}\pi }$$

这类题的关键不是积分，而是先求交线投影。

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三十二、物理应用之一：质量

这是最统一的公式。

线密度 $\rho$

$$\boxed{m={\int }_L\rho ds}$$

面密度 $\rho$

$$\boxed{m={\iint }_{\Sigma }\rho dS}$$

体密度 $\rho$

$$\boxed{m={\iiint }_{\Omega }\rho dV}$$

一句话：

质量 = 密度 × 对应的几何微元，再积分。

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三十三、质心

原则：

$$\boxed{\text{质心坐标}=\frac{\text{关于该坐标的一次矩}}{\text{总质量}}}$$

空间物体：

$$m={\iiint }_{\Omega }\rho dV.$$

则

$$\boxed{\bar{x}=\frac{1}{m}{\iiint }_{\Omega }x\rho dV}$$ $$\boxed{\bar{y}=\frac{1}{m}{\iiint }_{\Omega }y\rho dV}$$ $$\boxed{\bar{z}=\frac{1}{m}{\iiint }_{\Omega }z\rho dV}$$

线和面的公式完全类似，只需把 $dV$ 换成 $ds$ 或 $dS$。

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对称性在质心题中极重要

例如物体关于 $Oyz$ 平面对称：

$$\boxed{\bar{x}=0}$$

关于三个坐标面对称：

$$\boxed{\bar{x}=\bar{y}=\bar{z}=0}$$

很多时候三重积分一个都不用算。

讲义中的八分之一球面边界曲线质心题，先利用

$$\bar{x}=\bar{y}=\bar{z}$$

的对称性，只计算一个坐标即可，大幅减少计算量。

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三十四、转动惯量

本质：

$$\boxed{I=\int r^{2}dm}$$

这里 $r$ 是质点到转轴的距离。

一定注意是：

$$r^2,$$

不是 $r$。

比如空间物体密度为 $\rho$，到直线 $L$ 的距离为 $d(x,y,z)$：

$$\boxed{I_L={\iiint }_{\Omega }{d}^2(x,y,z)\rho (x,y,z)dV}$$

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三十五、物理应用之二：功

变力

$$\mathbf{F}=(P,Q,R)$$

沿有向曲线 $L$ 移动质点，功：

$$\boxed{W={\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz}$$

因此只要题目看到：

• 变力；
• 沿某条曲线运动；
• 求功；

基本就是第二类曲线积分。

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三十六、物理应用之三：流量

速度场：

$$\mathbf{v}=(P,Q,R).$$

穿过有向曲面 $\Sigma$ 的体积流量：

$$\boxed{Q={\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy}$$

也就是：

$$Q={\iint }_{\Sigma }\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}dS.$$

所以：

• 顺着法向量流出：正；
• 逆着法向量流：负。

典型例题就是典型的圆锥面流量问题，通过第二类曲面积分计算。

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三十七、第9章最重要的“简化计算体系”

这是考研真正拉开差距的部分。

不要上来就列积分。

先判断下面几件事。

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技巧1：看区域对称性

遇到：

$$x,y,z,xy,xyz$$

这些奇次项，立即检查区域是否关于相应坐标面/坐标轴对称。

例如球体：

$$x^2+y^2+z^2\le R^2.$$

则

$${\iiint }_{\Omega }xdV=0,$$ $${\iiint }_{\Omega }xyzdV=0.$$

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三十八、技巧2：看轮换对称

如果区域关于 $x,y,z$ 完全对称：

$${\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dV={\iiint }_{\Omega }{y}^{2}dV={\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dV.$$

所以：

$$\boxed{{\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dV=\frac{1}{3}{\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dV}$$

接着球坐标一次搞定。

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三十九、技巧3：看到圆就想极坐标

出现：

$$x^2+y^2,$$ $$x^2+y^2\le R^2,$$ $$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2\le R^2$$

时：

• 原点圆：直接极坐标；
• 偏心圆：先平移，再极坐标。

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四十、技巧4：看到旋转体就想柱坐标

例如：

$$x^2+y^2=z,$$ $$x^2+y^2\le a^2,$$ $$z^2=x^2+y^2.$$

全部都天然含 $r$。

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四十一、技巧5：看到球+锥就想球坐标

例如：

$$x^2+y^2+z^2\le R^2$$

与

$$z\ge \sqrt{x^2+y^2}.$$

球：

$$0\le \rho \le R.$$

锥：

$$0\le \phi \le \frac{\pi }{4}.$$

于是区域几乎直接变成长方体式参数范围：

$$0\le \theta \le 2\pi ,$$ $$0\le \phi \le \frac{\pi }{4},$$ $$0\le \rho \le R.$$

这就是为什么球坐标厉害。

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四十二、技巧6：先用曲线/曲面方程化简

若积分在

$$x^2+y^2=R^2$$

上，

那么

$$x^2+y^2$$

直接换成

$$R^2.$$

若在

$$x+y+z=1$$

上，

那么

$$x+y+z$$

直接等于 $1$。

不要急着参数化。

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四十三、技巧7：绝对值意味着分区域

例如：

$${\iint }_D|x-y|dxdy.$$

必须根据

$$x-y=0$$

即

$$y=x$$

把区域分成：

$$x\ge y$$

和

$$x<y.$$

然后：

$$|x-y|=\{\begin{array}{ll}x-y,& x\ge y,\\ y-x,& x<y.\end{array}$$

类似地：

• 上下曲面交换；
• 两个径向上界取最小值；
• 绝对值变号；

都是强烈的分块信号。

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四十四、第9章十二类常考题型

结合讲义，可以把整章考试题压缩成下面12类。

题型1：概念与性质判断

重点考：

• 积分是否存在；
• 第一类/第二类是否与方向有关；
• 区域扩大后积分大小如何；
• 对称性是否能使用。

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题型2：积分估值

若

$$m\le f(x,y)\le M$$

在 $D$ 上成立，则

$$\boxed{m{S}_D\le {\iint }_{D}f(x,y)d\sigma \le M{S}_D}$$

若

$$f\ge 0,$$

且

$$D_1\subset D_2,$$

则

$$\boxed{{\iint }_{D_1}fd\sigma \le {\iint }_{D_2}fd\sigma }$$

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题型3：对称性

做题顺序：

1. 看区域；
2. 找对称变换；
3. 看被积函数如何变化；
4. 奇项归零；
5. 偶项乘2；
6. 再算剩余部分。

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题型4：交换积分顺序

$$\boxed{\text{原积分}\to \text{画区域}\to \text{重新扫描}}$$

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题型5：直角坐标与极坐标互换

重点考：

• 从 $r,\theta$ 范围识别圆；
• 从圆方程写出 $r$；
• 判断 $\theta$ 范围；
• 不忘 $r$。

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题型6：二重积分计算

优先检查：

1. 对称性；
2. 顺序；
3. 极坐标；
4. 平移；
5. 分块。

不要直接硬算。

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题型7：三重积分

优先判断：

$$\boxed{\text{直角坐标 / 柱坐标 / 球坐标}}$$

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题型8：曲线积分

第一类：

$$fds.$$

第二类：

$$Pdx+Qdy+Rdz.$$

核心：

$$\boxed{\text{参数化}}$$

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题型9：曲面积分

第一类：

$$fdS.$$

第二类：

$$Pdydz+Qdzdx+Rdxdy.$$

固定思路：

$$\boxed{\text{投影}\to \text{代曲面}\to \text{换微元}}$$

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题型10：几何应用

主要是：

• 面积；
• 体积；
• 曲面面积。

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题型11：物理应用

主要是：

• 质量；
• 质心；
• 转动惯量；
• 功；
• 流量。

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题型12：综合题

包括：

• 积分与极限；
• 积分与参数；
• 定积分乘积转二重积分；
• 高斯积分；
• 不等式证明；
• 与偏导数、极值、几何问题结合。

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四十五、第9章和第10章是什么关系？

这点非常重要。

第9章主要教你：

直接计算六类积分。

而第10章开始学：

• 格林公式；
• 高斯公式；
• 斯托克斯公式。

它们会把：

$$\text{曲线积分}\leftrightarrow \text{二重积分},$$ $$\text{曲面积分}\leftrightarrow \text{三重积分},$$ $$\text{空间曲线积分}\leftrightarrow \text{曲面积分}.$$

所以第9章如果遇到非常复杂的闭曲线、闭曲面积分，很多时候并不是希望你死算到底。

真正高效的方法会在第10章出现。

讲义也明确提示：复杂第二类积分要为格林、高斯和斯托克斯公式“留接口”。

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四十六、六类积分公式最终总表

这个建议重点记。

二重积分

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)dxdy}$$

极坐标：

$$\boxed{dxdy=rdrd\theta }$$

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三重积分

$$\boxed{{\iiint }_{\Omega }fdV}$$

柱坐标：

$$\boxed{dV=rdrd\theta dz}$$

球坐标：

$$\boxed{dV={\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta }$$

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第一类曲线积分

$$\boxed{{\int }_{L}fds}$$

参数：

$$\boxed{ds=\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}dt}$$

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第二类曲线积分

$$\boxed{{\int }_{L}Pdx+Qdy+Rdz}$$

参数法：

$$\boxed{\int (P{x}^{\prime }+Q{y}^{\prime }+R{z}^{\prime })dt}$$

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第一类曲面积分

$$\boxed{{\iint }_{\Sigma }fdS}$$

若

$$z=z(x,y),$$

则

$$\boxed{dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy}$$

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第二类曲面积分

$$\boxed{{\iint }_{\Sigma }Pdydz+Qdzdx+Rdxdy}$$

若

$$z=z(x,y)$$

且取上侧：

$$\boxed{{\iint }_D(-P{z}_x-Q{z}_y+R)dxdy}$$

下侧整体取负。

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四十七、考研做第9章题目的“决策树”

以后拿到题，可以直接这样判断。

第一步：积分对象是什么？

$$D?\Omega ?L?\Sigma ?$$

先确定是：

• 区域；
• 空间区域；
• 曲线；
• 曲面。

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第二步：第一类还是第二类？

看到：

$$ds,dS$$

→ 第一类。

看到：

$$dx,dy,dz,$$ $$dydz,dzdx,dxdy$$

→ 第二类。

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第三步：能不能先用对称性？

先找：

• 关于坐标轴；
• 关于坐标面；
• 关于原点；
• $x,y,z$ 轮换。

能消项就先消。

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第四步：坐标系

看到

$$x^2+y^2$$

→ 极坐标/柱坐标。

看到

$$x^2+y^2+z^2$$

→ 球坐标。

看到偏心圆/球

→ 先平移。

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第五步：如果是曲线

$$\boxed{\text{参数化}}$$

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第六步：如果是曲面

$$\boxed{\text{选投影面}}$$

第一类：

$$dS.$$

第二类：

$$\text{还要判断方向}.$$

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四十八、本章最容易丢分的17个问题

讲义把易错点总结得非常完整，其中最值得警惕的是：

1. 交换积分次序时只把 $dxdy$ 改成 $dydx$，没有重新写区域。
2. 外层积分限里出现内层变量。
3. 内层积分明显积不出来，却不换序。
4. 区域没有对称，却直接用奇偶性。
5. 第二类曲线积分错误套用第一类的对称规则。
6. 用轮换对称性时只换函数，不检查区域。
7. 平移区域后忘了平移被积函数。
8. 极坐标漏乘 $r$。
9. 柱坐标漏乘 $r$。
10. 球坐标漏乘 ${\rho }^2\sin \phi$。
11. 只代入曲面方程，忘了变换 $dS$。
12. 第二类曲面积分选错正负号。
13. 求体积时直接积分会取负值的“高度”。
14. “表面积”漏算底面。
15. 质心公式忘记除总质量。
16. 转动惯量使用距离 $r$ 而非 $r^2$。
17. 功、流量没有判断方向。

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四十九、最后把第9章压缩成12句

如果后期冲刺复习，只需要牢牢记住下面这些：

1. 六种积分本质都是“函数值 × 几何微元”的累加。
2. 第一类不看方向，第二类一定看方向。
3. 二重积分第一步永远先看区域。
4. 竖扫是下到上，横扫是左到右。
5. 内层不好积就换顺序。
6. 圆、圆环、扇形优先极坐标。
7. 旋转体优先柱坐标。
8. 球、球冠、球锥交域优先球坐标。
9. 曲线积分核心是参数化。
10. 曲面积分核心是投影。
11. 质量是一阶密度积分，质心是一次矩除质量，转动惯量是距离平方加权。
12. 功用第二类曲线积分，流量用第二类曲面积分。

其中最值得形成条件反射的一句话就是讲义中的：

$$\boxed{\text{先画区域，再写积分限}}$$

因为第9章大量所谓“难题”，真正难的并不是积分，而是把几何区域翻译成正确的积分范围，并选择一种最简单的计算方式。

如果按照考研复习的重要程度排序，建议第9章优先吃透：

$$\boxed{\text{二重积分}>\text{三重积分}>\text{对称性与坐标变换}>\text{曲线积分}>\text{曲面积分}>\text{几何/物理综合应用}}$$

尤其要把二重积分换序、极坐标、三重积分柱/球坐标、两类曲线积分、两类曲面积分的区别练到看到题目就能立即判断方法。