第 11 章无穷级数

掌握常数项级数判敛、幂级数收敛域与和函数、函数展开及傅里叶级数。

本章围绕常数项级数、幂级数和傅里叶级数三条主线展开，重点训练判敛、收敛域、和函数、展开与端点取值。

常数项级数：判断敛散性、绝对收敛与条件收敛、求和；
幂级数：收敛域、和函数、函数展开、利用幂级数求数项级数；
傅里叶级数：求系数、奇偶延拓、判断傅里叶级数在某点的和。

其中最核心的做题思想可以概括成三句话：

常数项级数：先看通项，再分类判敛。 幂级数：先求半径，再判两个端点。 傅里叶级数：先看周期和奇偶，再算系数；间断点取左右平均。

这与讲义中的知识结构和题型总结一致。

一、什么叫无穷级数？

无穷级数最基本的形式是

n = 1 \sum \infty u_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} + \dots

看起来是在“把无限多个数相加”。

但数学上不能真的做完无限次加法，所以我们真正研究的是它的部分和：

S_{n} = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} = k = 1 \sum n u_{k} .

如果

n \to \infty lim S_{n} = S

存在且是有限数，则称级数

n = 1 \sum \infty u_{n}

收敛，并称 $S$ 为级数的和。

如果这个极限不存在或者为无穷大，则称级数发散。

所以一定要建立一个核心认识：

级数的收敛，本质上是部分和数列的收敛。

这也是为什么“数列极限”是无穷级数的基础。

二、级数收敛最重要的必要条件

如果

n = 1 \sum \infty u_{n}

收敛，那么一定有

n \to \infty lim u_{n} = 0 .

因为

u_{n} = S_{n} - S_{n - 1},

如果

S_{n} \to S, S_{n - 1} \to S,

那么

u_{n} \to 0.

但是要特别注意：

u_{n} \to 0

只是必要条件，不是充分条件。

例如调和级数

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n}

虽然

\frac{1}{n} \to 0,

但它仍然发散。

因此做任何级数题的第一步都应该是：

先看 u_{n} \to 0 吗？

如果

n \to \infty lim u_{n} \neq = 0

或者极限根本不存在，那么立即判定：

级数发散

无需再使用任何判别法。

三、两个必须背熟的基准级数

以后绝大多数比较判别，实际上都在往下面两个级数上靠。

1. 几何级数

n = 0 \sum \infty q^{n} = 1 + q + q^{2} + \dots

有结论

n = 0 \sum \infty q^{n} {收敛, 发散, ∣ q ∣ < 1, ∣ q ∣ \geq 1.

当 $∣ q ∣ < 1$ 时，

n = 0 \sum \infty q^{n} = \frac{1}{1 - q} .

2. $p$ 级数

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{p}} .

结论必须熟记：

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ^{p}} {收敛, 发散, p > 1, p \leq 1.

尤其：

\sum \frac{1}{n}

发散，而

\sum \frac{1}{n ^{2}}, \sum \frac{1}{n ^{3/2}}

收敛。

四、正项级数——本章最重要的判敛部分

若从某一项开始有

u_{n} \geq 0,

就可以按正项级数处理。

讲义强调：正项级数的核心不是机械背判别法，而是判断

u_{n}

到底相当于什么数量级。

五、比较判别法

假设

0 \leq u_{n} \leq v_{n} .

那么：

如果

\sum v_{n}

收敛，则

\sum u_{n}

也收敛。

反过来，如果

u_{n} \geq v_{n} \geq 0

而

\sum v_{n}

发散，则

\sum u_{n}

也发散。

可以记成：

小于收敛的 → 收敛；大于发散的 → 发散。

最容易犯错的就是把比较方向写反。

六、极限比较判别法——考研更常用

若

u_{n} > 0, v_{n} > 0

且

n \to \infty lim \frac{u _{n}}{v _{n}} = c, 0 < c < + \infty,

则

\sum u_{n} 与 \sum v_{n} 同敛散 .

因此我们真正要干的事情经常就是：

u_{n} \sim \frac{C}{n ^{p}} .

一旦得到这种形式，立刻归结为 $p$ 级数：

p > 1 \Rightarrow 收敛; p \leq 1 \Rightarrow 发散 .

七、为什么泰勒展开在级数里这么重要？

例如

u_{n} = 1 - cos \frac{1}{n} .

当 $n \to \infty$ 时，

\frac{1}{n} \to 0.

利用

1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2},

得到

1 - cos \frac{1}{n} \sim \frac{1}{2 n ^{2}} .

于是

n = 1 \sum \infty (1 - cos \frac{1}{n})

与

\sum \frac{1}{n ^{2}}

同敛散，因此收敛。

同理要熟悉：

ln (1 + x) \sim x,

e^{x} - 1 \sim x,

sin x \sim x,

1 - cos x \sim \frac{x ^{2}}{2} .

代入 $x = 1/ n$ 后：

ln (1 + \frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n},

e^{1/ n} - 1 \sim \frac{1}{n},

1 - cos \frac{1}{n} \sim \frac{1}{2 n ^{2}} .

所以本章和第一章极限中的“等价无穷小、泰勒展开”联系非常紧密。

八、比值判别法

对于正项级数

\sum u_{n},

考察

ρ = n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} .

若极限存在，则：

⎩ ⎨ ⎧ ρ < 1, ρ > 1, ρ = 1, 收敛, 发散, 无法判断 .

特别适合出现：

$n!$ ；
$a^{n}$ ；
连乘；
相邻项容易相除。

例如

n = 1 \sum \infty \frac{n !}{n ^{n}} .

令

u_{n} = \frac{n !}{n ^{n}} .

则

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = \frac{( n + 1 )!}{( n + 1 ) ^{n + 1}} \frac{n ^{n}}{n !} = (\frac{n}{n + 1})^{n} .

于是

n \to \infty lim \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = e^{- 1} < 1.

因此级数收敛。

最重要的陷阱

若

ρ = 1,

绝不能说收敛或者发散。

例如

\sum \frac{1}{n}

和

\sum \frac{1}{n ^{2}}

用比值法得到的极限都是 $1$ ，但一个发散、一个收敛。

讲义对此专门强调。

九、根值判别法

考察

ρ = n \to \infty lim n u_{n} .

同样有

⎩ ⎨ ⎧ ρ < 1, ρ > 1, ρ = 1, 收敛, 发散, 无法判断 .

特别适合：

u_{n} = [f (n)]^{n}

或者整体带 $n$ 次幂的形式。

因此：

有阶乘 → 优先想到比值法；整体 $n$ 次方 → 优先想到根值法。

十、正项级数判别方法如何选？

这是第 11 章最重要的“做题技巧”。

看到

\sum u_{n}

以后，可以形成下面这个流程：

先算 lim u_n
       ↓
不为 0 → 直接发散
       ↓
    u_n → 0
       ↓
能裂项？────→ 裂项求部分和
       ↓
能看出 ~ C/n^p？ → 极限比较
       ↓
有 n!、a^n、连乘？ → 比值法
       ↓
整体 n 次幂？ → 根值法
       ↓
形如复杂 f(n) → 泰勒 / 等价无穷小 / 有理化

这比死记很多孤立定理重要得多。

十一、交错级数

标准形式：

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} u_{n}, u_{n} \geq 0.

例如

1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots .

十二、莱布尼茨判别法

如果从某一项开始：

u_{n + 1} \leq u_{n}

并且

n \to \infty lim u_{n} = 0,

则

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} u_{n} 收敛 .

因此莱布尼茨有两个关键词：

单调下降 + 趋于零

而且只要求“最终单调”，不要求从第一项就单调。

十三、交错级数的余项估计

若满足莱布尼茨条件，记

S = S_{n} + r_{n},

则

∣ r_{n} ∣ \leq u_{n + 1} .

因此若要求近似误差小于 $ε$ ，只需找 $n$ 使

u_{n + 1} < ε .

这类题通常直接送分。

讲义也特别列出了这一结论。

十四、绝对收敛和条件收敛

这是任意项级数的核心。

对于

\sum u_{n},

先研究

\sum ∣ u_{n} ∣.

如果

\sum ∣ u_{n} ∣

收敛，则称原级数绝对收敛。

并且一定有

绝对收敛 ⟹ 收敛 .

如果

\sum u_{n}

本身收敛，但是

\sum ∣ u_{n} ∣

发散，则称原级数条件收敛。

经典例子：

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} .

原级数由莱布尼茨判别法收敛。

但

\sum \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n} = \sum \frac{1}{n}

发散。

所以它是：

条件收敛

十五、含参数交错级数——非常高频

研究

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{n ^{p}} .

先看通项：

若

p \leq 0,

则

\frac{1}{n ^{p}} \neq \to 0

或甚至增大，所以发散。

若

p > 0,

则

\frac{1}{n ^{p}} ↓ 0,

莱布尼茨判别法说明原级数收敛。

再看绝对值：

\sum \frac{1}{n ^{p}} .

只有

p > 1

时收敛。

所以最终：

⎩ ⎨ ⎧ p > 1, 0 < p \leq 1, p \leq 0, 绝对收敛, 条件收敛, 发散 .

这套“先绝对值、再原级数”的方法是所有含参数变号级数的标准解法。

十六、裂项相消——级数求和的重要方法

例如

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )} .

先裂项：

\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} .

注意不能直接写“无限相消”。

必须先写部分和：

S_{N} = n = 1 \sum N (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) .

于是

S_{N} = 1 - \frac{1}{N + 1} .

再令

N \to \infty,

得到

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1.

因此做裂项题一定遵循：

先有限项相消，再取极限

讲义也特别把裂项相消列为常考题型。

十七、级数性质类选择题的常见陷阱

例如典型练习中有：

若

\sum u_{n}^{2}

和

\sum v_{n}^{2}

都收敛，判断

\sum (u_{n} + v_{n})^{2}

是否收敛。

利用

(u_{n} + v_{n})^{2} \leq 2 u_{n}^{2} + 2 v_{n}^{2},

因此

\sum (u_{n} + v_{n})^{2}

收敛。

这类选择题特别喜欢考“级数结论能不能反推”。

要特别注意：

\sum (u_{n} + v_{n}) 收敛

不能推出

\sum u_{n}, \sum v_{n}

分别收敛。

例如完全可能发生两个发散级数互相抵消。

十八、进入第二部分：幂级数

标准幂级数：

n = 0 \sum \infty a_{n} (x - x_{0})^{n} .

当 $x_{0} = 0$ 时：

n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n} .

它与普通常数项级数最大的区别在于：

是否收敛取决于 $x$ 。

所有使级数收敛的 $x$ 构成它的收敛域。

十九、幂级数的收敛半径

幂级数存在一个数 $R$ ，使：

⎩ ⎨ ⎧ ∣ x - x_{0} ∣ < R, ∣ x - x_{0} ∣ > R, ∣ x - x_{0} ∣ = R, 绝对收敛, 发散, 必须单独判断 .

这里 $R$ 称为收敛半径。

讲义特别强调：

幂级数首先得到的是一个以中心为对称中心的开区间，但两个端点敛散性完全可能不同。

二十、收敛半径怎么求？

对于

\sum a_{n} (x - x_{0})^{n},

若

L = n \to \infty lim \frac{a _{n + 1}}{a _{n}}

存在，则

R = \frac{1}{L} .

相应规定：

L = 0 \Rightarrow R = + \infty,

L = + \infty \Rightarrow R = 0.

也可以直接对完整通项使用比值法。

二十一、求收敛域的标准五步法

看到幂级数以后，固定写：

第一步：求 $R$

第二步：写开区间

x_{0} - R < x < x_{0} + R .

第三步：代左端点

第四步：代右端点

第五步：写最终收敛域

这个流程几乎不能省。

二十二、典型例题：收敛域

求

n = 1 \sum \infty \frac{( x - 1 ) ^{n}}{n}

的收敛域。

令

u_{n} = \frac{( x - 1 ) ^{n}}{n} .

比值法：

\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = ∣ x - 1∣ \frac{n}{n + 1} \to ∣ x - 1∣.

所以

∣ x - 1∣ < 1.

即开区间

0 < x < 2.

现在判断端点。

左端点 $x = 0$

得到

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n},

条件收敛。

因此 $x = 0$ 取。

右端点 $x = 2$

得到

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n},

发散。

因此 $x = 2$ 不取。

最终：

[0, 2)

这就是为什么不能只写 $R = 1$ 。

二十三、幂级数逐项求导和积分

这是幂级数最重要的性质之一。

若

S (x) = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n}

在收敛区间内部，那么可以逐项求导：

S^{'} (x) = n = 1 \sum \infty n a_{n} x^{n - 1} .

也可以逐项积分：

\int_{0}^{x} S (t) d t = n = 0 \sum \infty \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1} .

而且：

逐项求导、逐项积分不改变收敛半径

但是：

可能改变两个端点的敛散性

这是高频选择题陷阱。讲义中的对应练习明确强调了这一点。

二十四、幂级数求和：看到 $n$ 就想到求导

最基本的几何级数：

n = 0 \sum \infty x^{n} = \frac{1}{1 - x}, ∣ x ∣ < 1.

逐项求导：

n = 1 \sum \infty n x^{n - 1} = \frac{1}{( 1 - x ) ^{2}} .

乘上 $x$ ：

n = 1 \sum \infty n x^{n} = \frac{x}{( 1 - x ) ^{2}}

其中

∣ x ∣ < 1.

因此看到：

n, n^{2}, n (n - 1)

通常应该想到：

S^{'} (x), S^{''} (x), x S^{'} (x) .

讲义也将这一点作为幂级数求和的重要技巧。

二十五、看到 $1/ n$ 就想到积分

由

\frac{1}{1 - x} = n = 0 \sum \infty x^{n}

两边从 $0$ 到 $x$ 积分：

\int_{0}^{x} \frac{1}{1 - t} d t = n = 0 \sum \infty \int_{0}^{x} t^{n} d t .

得到

- ln (1 - x) = n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n} .

因此：

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n} = - ln (1 - x)

其中首先在

∣ x ∣ < 1

成立。

所以记忆：

系数出现 $n$ → 求导；系数出现 $1/ n$ → 积分。

二十六、必须熟记的基本幂级数展开式

1. 指数函数

e^{x} = n = 0 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n !}

对所有实数 $x$ 成立。

2. 正弦函数

sin x = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!}

即

sin x = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots .

3. 余弦函数

cos x = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!}

即

cos x = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots .

4. 对数函数

ln (1 + x) = n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} \frac{x ^{n}}{n}

即

ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots .

其收敛范围为

- 1 < x \leq 1.

5. 二项式展开

(1 + x)^{α} = n = 0 \sum \infty (n α) x^{n}

其中

(n α) = \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} .

基本收敛区间为

∣ x ∣ < 1.

特别重要的是

\frac{1}{1 - x} = n = 0 \sum \infty x^{n}

以及

\frac{1}{1 + x} = n = 0 \sum \infty (- 1)^{n} x^{n} .

这些都是讲义明确要求掌握的基本展开式。

二十七、函数展开成幂级数——不要上来就求 $n$ 阶导数

讲义的做题优先级非常值得记住：

基本展开式 → 变量替换 → 部分分式 → 求导/积分 → 最后才考虑直接求 $n$ 阶导数。

例如求

f (x) = \frac{x - 1}{4 - x}

在 $x = 1$ 处的幂级数。

令

t = x - 1.

那么

x = t + 1,

所以

f (x) = \frac{t}{3 - t} = \frac{t}{3} \frac{1}{1 - \frac{t}{3}} .

利用几何级数：

\frac{1}{1 - \frac{t}{3}} = n = 0 \sum \infty (\frac{t}{3})^{n} .

于是

f (x) = n = 1 \sum \infty \frac{( x - 1 ) ^{n}}{3 ^{n}},

条件为

∣ x - 1∣ < 3.

现在和泰勒展开

f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( 1 )}{n !} (x - 1)^{n}

比较系数，立即得到

f^{(n)} (1) = \frac{n !}{3 ^{n}}, n \geq 1.

这类题在讲义练习中也直接出现。

二十八、求 $f^{(n)} (0)$ 的最高效方法

如果此时已经得到

f (x) = n = 0 \sum \infty a_{n} x^{n},

而泰勒级数又是

f (x) = n = 0 \sum \infty \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} x^{n},

比较系数：

a_{n} = \frac{f ^{(n)} ( 0 )}{n !} .

所以

f^{(n)} (0) = n! a_{n} .

千万不要真的求 $n$ 次导数。

二十九、利用幂级数求数项级数

这是考研很典型的综合题。

例如我们知道

n = 1 \sum \infty \frac{x ^{n}}{n} = - ln (1 - x) .

取

x = \frac{1}{2},

得到

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n 2 ^{n}} = - ln (1 - \frac{1}{2}) .

于是

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n 2 ^{n}} = ln 2.

因此数项级数求和的一般套路就是：

数项级数 \to 构造 S (x) \to 求和函数 \to 代特殊 x

但有一个非常重要的前提：

代入的点必须属于收敛域。

三十、第三部分：傅里叶级数

傅里叶级数的思想与幂级数不同。

幂级数把函数写成：

1, x, x^{2}, x^{3}, \dots

的组合。

傅里叶级数则把函数写成：

1, cos \frac{nπ x}{l}, sin \frac{nπ x}{l}

的组合。

它的本质可以理解成：

用不同频率的正弦波和余弦波叠加表示函数。

三十一、傅里叶级数基本公式

设函数定义在

[- l, l]

上，对应周期为

2 l .

傅里叶级数形式为

\frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos \frac{nπ x}{l} + b_{n} sin \frac{nπ x}{l})

其中

a_{n} = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) cos \frac{nπ x}{l} d x

以及

b_{n} = \frac{1}{l} \int_{- l}^{l} f (x) sin \frac{nπ x}{l} d x .

其中 $a_{0}$ 也按 $a_{n}$ 的公式计算。

当周期为

2 π

时，

l = π,

所以傅里叶级数变成

\frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty (a_{n} cos n x + b_{n} sin n x) .

这些就是本章傅里叶部分最核心的公式。

三十二、求傅里叶级数之前第一件事：看奇偶性

这一步能砍掉一半计算量。

如果 $f (x)$ 是奇函数：

f (- x) = - f (x) .

因为

cos \frac{nπ x}{l}

是偶函数，所以

f (x) cos \frac{nπ x}{l}

是奇函数。

因此

a_{n} = 0.

于是奇函数只有正弦项：

f (x) \sim n = 1 \sum \infty b_{n} sin \frac{nπ x}{l} .

而

b_{n} = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f (x) sin \frac{nπ x}{l} d x .

如果 $f (x)$ 是偶函数：

f (- x) = f (x) .

则

b_{n} = 0.

于是

f (x) \sim \frac{a _{0}}{2} + n = 1 \sum \infty a_{n} cos \frac{nπ x}{l} .

且

a_{n} = \frac{2}{l} \int_{0}^{l} f (x) cos \frac{nπ x}{l} d x .

所以最实用的口诀是：

奇函数留正弦，偶函数留余弦

三十三、只定义在 $[0, l]$ 怎么办？

这是傅里叶级数最容易绕的地方。

如果函数只定义在

[0, l],

需要把它延拓到

[- l, l] .

要展开成正弦级数

作奇延拓：

F (- x) = - F (x) .

于是只剩

sin \frac{nπ x}{l} .

所以：

正弦级数 ⟺ 奇延拓

要展开成余弦级数

作偶延拓：

F (- x) = F (x) .

于是只剩余弦项。

所以：

余弦级数 ⟺ 偶延拓

这是傅里叶部分必须形成条件反射的对应关系。

三十四、狄利克雷收敛定理——傅里叶题真正的灵魂

讲义明确强调：傅里叶级数最容易考的并不只是求 $a_{n}, b_{n}$ ，还会问：

“这个傅里叶级数在某一点等于多少？”

对于满足相应条件的函数，在点 $x_{0}$ ：

S (x_{0}) = \frac{f ( x _{0} - 0 ) + f ( x _{0} + 0 )}{2} .

所以：

如果 $f$ 在 $x_{0}$ 连续

f (x_{0} - 0) = f (x_{0} + 0) = f (x_{0}),

于是

S (x_{0}) = f (x_{0}) .

如果 $x_{0}$ 是跳跃间断点

则

S (x_{0}) = \frac{f ( x _{0} - 0 ) + f ( x _{0} + 0 )}{2}

注意：

S (x_{0})

不一定等于题目人为规定的 $f (x_{0})$ 。

三十五、周期端点是最容易出错的地方

在

[- l, l]

的两个端点，

- l, l

因为傅里叶级数对应周期延拓，所以这两个端点实际上是“粘起来”的。

因此

S (\pm l) = \frac{f ( - l + 0 ) + f ( l - 0 )}{2} .

而不是单纯代入

f (l)

或者

f (- l) .

讲义把这一点列为傅里叶题最典型的错误之一。

三十六、典型例题： $f (x) = x$

设

f (x) = x, - π < x < π .

它是奇函数，所以：

a_{n} = 0.

只计算

b_{n} = \frac{2}{π} \int_{0}^{π} x sin n x d x .

分部积分：

\int_{0}^{π} x sin n x d x = - \frac{π ( - 1 ) ^{n}}{n} .

因此

b_{n} = \frac{2 ( - 1 ) ^{n + 1}}{n} .

所以

x = 2 n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin n x, - π < x < π .

但是在

x = π

处，不是等于 $π$ 。

因为周期延拓后：

f (π - 0) = π, f (- π + 0) = - π .

于是

S (π) = \frac{π + ( - π )}{2} = 0.

这很好地说明了：

傅里叶级数的和函数与原函数在间断点可能不同。

三十七、傅里叶级数还可以反过来求数项级数

继续利用

x = 2 n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n + 1}}{n} sin n x .

取

x = \frac{π}{2} .

得到

\frac{π}{2} = 2 (1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots) .

所以

1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \dots = \frac{π}{4} .

这就是傅里叶级数求数项级数的基本思想：

求傅里叶展开 \to 选择特殊点 \to 三角函数大量化简 \to 得到数项级数和

讲义练习中也有利用傅里叶展开推出

n = 1 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} = - \frac{π ^{2}}{12}

的典型题。

三十八、本章三大部分的本质联系

把第 11 章整体串起来看：

内容	本质问题	最核心方法
常数项级数	一个无限和是否存在	判敛
幂级数	对哪些 $x$ 无限和存在	收敛半径 + 端点
幂级数展开	用多项式逼近函数	Taylor
傅里叶级数	用三角函数逼近函数	正交性
数项级数求和	无限和具体是多少	转化为函数值

所以其实只有两个问题：

这个无限和存在吗？

以及

如果存在，它是多少？

前半章偏重第一个问题，后半章偏重第二个问题。

三十九、考研常数项级数判敛“万能流程”

遇到

\sum u_{n}

建议严格按照这个顺序：

① 先检查

n \to \infty lim u_{n} .

不为 $0$ ：

立即发散

② 看符号

若最终同号：

\to 正项级数

若

(- 1)^{n}

规律交错：

\to 莱布尼茨

一般变号：

\to 先看 \sum ∣ u_{n} ∣.

③ 正项级数找结构

若

u_{n} \sim \frac{C}{n ^{p}}

用 $p$ 级数。

有 $n!$ ：

\to 比值法

有整体 $n$ 次幂：

\to 根值法

含

sin \frac{1}{n}, ln (1 + \frac{1}{n}), e^{1/ n} - 1

等：

\to 泰勒 / 等价无穷小 .

④ 变号级数

先判断

\sum ∣ u_{n} ∣.

如果收敛：

绝对收敛

如果发散，再判断原级数：

原级数收敛：

条件收敛

原级数也发散：

发散

四十、幂级数“万能流程”

遇到

\sum a_{n} (x - x_{0})^{n}

永远写：

R \to (x_{0} - R, x_{0} + R) \to 左端点 \to 右端点 \to 收敛域

而求和函数时：

\frac{1}{1 - x} 作为母式

然后观察系数：

n \to 求导,

\frac{1}{n} \to 积分,

n (n - 1) \to 二阶求导,

奇偶次幂：

\to x^{2} 换元 .

四十一、傅里叶级数“万能流程”

先问：

周期是多少？

若周期

T,

则

l = \frac{T}{2} .

然后问：

函数奇还是偶？

奇：

a_{n} = 0.

偶：

b_{n} = 0.

再判断：

是完整区间 $[- l, l]$ ？
还是只给 $[0, l]$ ？
若只给半区间，是要求正弦还是余弦？

最后：

连续点取函数值

间断点取左右平均

端点按周期延拓取平均

讲义把这个复习口诀概括得非常好：先周期、后系数；先奇偶、后积分；正弦对应奇延拓，余弦对应偶延拓。

四十二、第 11 章最容易犯的错误

建议重点防下面这些，因为基本覆盖考研选择填空里的陷阱。

错误	正确结论
$u_{n} \to 0$ ，所以级数收敛	错，只是必要条件
比值法极限 $= 1$ ，所以收敛	错，判别法失效
(\sum	u_n	) 发散，所以 $\sum u_{n}$ 发散	错，可能条件收敛
交错级数只看 $u_{n} \to 0$	还要检查最终单调下降
裂项后直接“无限相消”	必须先写 $S_{N}$
求出幂级数 $R$ 就结束	必须检查两个端点
求导积分后端点不变	半径不变，端点可能变
求 $f^{(n)} (0)$ 真的求 $n$ 次导	应比较幂级数系数
傅里叶级数间断点等于 $f (x_{0})$	应取左右极限平均
端点直接代原函数	应按周期延拓处理
正弦级数做偶延拓	错，正弦对应奇延拓
余弦级数做奇延拓	错，余弦对应偶延拓

这些也基本对应讲义给出的本章易错点汇总。

四十三、最后给出一张“第 11 章做题地图”

可以把整章压缩成：

无穷级数 ↓ 常数项级数 幂级数 傅里叶级数

常数项级数：

u_{n} \to 0 ? \to 正项 / 交错 / 任意项 \to 选判别法 \to 绝对 / 条件 / 发散

幂级数：

R \to 开区间 \to 两端点 \to 收敛域 \to 求导 / 积分求和

傅里叶级数：

周期 \to 奇偶 \to a_{n}, b_{n} \to 周期延拓 \to 左右极限平均

如果从考研做题优先级来说，建议第 11 章重点依次掌握：

第一梯队：

正项级数判敛 + 绝对 / 条件收敛 + 幂级数收敛域

第二梯队：

幂级数求和 + 函数幂级数展开 + f^{(n)} (0)

第三梯队：

傅里叶奇偶性 + 正弦 / 余弦展开 + 间断点和端点收敛值

把这三层掌握之后，第 11 章绝大多数选择、填空和计算题的思路都会比较固定。

第 11 章 无穷级数

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