第 7 章 向量代数与空间解析几何

本章分为向量代数与空间解析几何两部分，通过数量积、向量积和混合积建立空间几何问题的代数化解题框架。

讲义对本章的定位很清楚：本章分成“向量代数”和“空间解析几何”两大部分。前者重点是数量积、向量积、混合积；后者重点是平面与直线方程、位置关系、距离，以及柱面、旋转面、二次曲面和空间曲线投影。它既会单独以选择、填空形式出现，也会与后面的多元函数微分学、重积分、曲面积分综合。

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一、第7章到底在学什么？

这章看起来公式很多，其实可以压缩成三个核心对象：

向量 → 直线/平面 → 曲面/曲线。

其中最重要的思维是：

空间几何问题，不要直接凭空间想象硬做，而要把它翻译成“向量之间的关系”。

例如：

两条直线垂直，本质上是两个方向向量垂直；

两个平面平行，本质上是两个法向量平行；

直线垂直平面，本质上是直线的方向向量平行于平面的法向量。

所以本章最核心的三句话是：

点积管垂直、夹角；叉积管共同垂直方向、面积；混合积管共面、体积。

这三句话几乎能覆盖本章一半以上题目。讲义也把这三种运算作为向量几何应用的主线。

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二、空间直角坐标系与空间曲线

空间中的一个点记为

$$P(x,y,z).$$

如果一个曲面上的点恰好满足

$$F(x,y,z)=0,$$

那么它就是这个曲面的方程。

例如球面：

$$x^2+y^2+z^2=R^2.$$

这是一个曲面，因为它只给一个约束，三个变量还剩下两个自由度。

而空间曲线通常需要两个约束：

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0.\end{array}$$

本质上就是：

两个曲面的交线。

比如：

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=1,\\ z=x.\end{array}$$

第一式是圆柱面，第二式是平面，两者相交得到一条空间曲线。

空间曲线还经常写成参数形式：

$$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t).\end{array}$$

以后学空间曲线切线时，这种形式尤其重要。

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三、向量的基本概念

设

$$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3).$$

其模为

$$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}.$$

如果要得到与 $\mathbf{a}$ 同方向的单位向量，就做单位化：

$${\mathbf{a}}^0=\frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}.$$

注意，如果题目问：

与某个方向平行的所有单位向量

往往有正反两个：

$$\pm \frac{\mathbf{a}}{|\mathbf{a}|}.$$

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1. 方向角与方向余弦

设非零向量

$$\mathbf{a}=(x,y,z),$$

与 $x,y,z$ 三个正坐标轴的夹角分别为

$$\alpha ,\beta ,\gamma .$$

那么

$$\cos \alpha =\frac{x}{|\mathbf{a}|},$$ $$\cos \beta =\frac{y}{|\mathbf{a}|},$$ $$\cos \gamma =\frac{z}{|\mathbf{a}|}.$$

因此必有

$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1.$$

实际上

$$(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )$$

就是 $\mathbf{a}$ 的单位方向向量。

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四、向量三大核心运算

这是整章的第一核心。

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五、数量积：专门处理“夹角、垂直”

设

$$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3),\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3).$$

数量积：

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3.$$

其几何定义是

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta .$$

因此

$$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}||\mathbf{b}|}.$$

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最重要结论：判断垂直

$$\boxed{\mathbf{a}\perp \mathbf{b}⟺\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0}$$

例如

$$\mathbf{a}=(1,2,-3),\mathbf{b}=(2,-3,x).$$

若二者垂直，则

$$1\cdot 2+2(-3)-3x=0.$$

所以

$$2-6-3x=0,$$

得到

$$x=-\frac{4}{3}.$$

这就是非常典型的参数型选择、填空题。

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六、向量积：专门寻找“同时垂直于两个方向的向量”

设

$$\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3),\mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3).$$

定义

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|.$$

计算出来仍然是一个向量。

它最大的几何性质是

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}\perp \mathbf{a},$$

同时

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}\perp \mathbf{b}.$$

所以只要看到题目说：

求一个同时垂直于 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 的向量

第一反应就是

$$\boxed{\mathbf{a}\times \mathbf{b}}.$$

例如

$$\mathbf{a}=(1,2,3),\mathbf{b}=(1,-3,-2).$$

则

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 2& 3\\ 1& -3& -2\end{array}\right|=(5,5,-5).$$

因此共同垂直方向可取

$$(1,1,-1).$$

如果要求单位向量：

$$\boxed{\pm \frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,-1)}.$$

这是讲义中的典型题型。

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1. 向量积判断平行

$$\boxed{\mathbf{a}\parallel \mathbf{b}⟺\mathbf{a}\times \mathbf{b}=0}$$

也就是坐标成比例：

$$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}.$$

但遇到某个坐标为 $0$ 时，不要机械写比例式，直接用

$$\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}$$

更安全。

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2. 向量积的面积意义

因为

$$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin \theta ,$$

所以它等于以 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 为邻边的平行四边形面积。

三角形面积就是

$$S_{△}=\frac{1}{2}|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|.$$

这个结论还能推出点到直线距离。

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七、混合积：专门处理“共面、体积、异面直线”

三个向量

$$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$$

的混合积：

$$(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c}.$$

坐标形式就是行列式：

$$(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|.$$

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1. 判断三个向量是否共面

最重要结论：

$$\boxed{\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}\text{ 共面}⟺(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=0}$$

为什么？

因为

$$|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|$$

是底面积，而再点乘 $\mathbf{c}$ 得到的是“底面积 $\times$ 高”，也就是平行六面体的有向体积。

如果体积为零，说明第三个向量没有离开前两个向量所在的平面。

所以：

$$(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})=0$$

就是共面。

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2. 四点共面

给四点

$$A,B,C,D,$$

可以构造

$$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}.$$

那么

$$A,B,C,D\text{ 共面}$$

等价于

$$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD})=0.$$

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3. 平行六面体与四面体体积

平行六面体：

$$V=|(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})|.$$

对应四面体体积：

$$V_{\text{四面体}}=\frac{1}{6}|(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})|.$$

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八、一定要掌握的“向量—几何翻译表”

以后看到题目先翻译，而不是直接计算。

把这张表记住，第7章会简单很多。

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九、平面方程

这是本章第二核心。

平面最重要的概念不是方程，而是：

法向量。

若平面

$$Ax+By+Cz+D=0,$$

那么

$$\boxed{\mathbf{n}=(A,B,C)}$$

就是平面的法向量。

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1. 点法式

如果知道平面经过

$$P_0(x_0,y_0,z_0)$$

且法向量

$$\mathbf{n}=(A,B,C),$$

那么

$$\boxed{A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0}.$$

为什么？

因为平面上任一点 $P(x,y,z)$ 满足

$$\overrightarrow{P_{0}P}=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)$$

一定垂直于法向量：

$$\mathbf{n}\cdot \overrightarrow{P_{0}P}=0.$$

所以求平面的最重要套路就是：

第一步找一点，第二步找法向量。

讲义也把“一点+法向量”列为建立平面方程最基本的方法。

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十、已知平面内两个方向，怎么求平面？

若平面经过

$$P_0$$

并且平行于两个不共线向量

$$\mathbf{u},\mathbf{v},$$

那么平面的法向量可以直接取

$$\boxed{\mathbf{n}=\mathbf{u}\times \mathbf{v}}.$$

然后回到点法式即可。

也可以直接写混合积：

$$(\overrightarrow{P_{0}P},\mathbf{u},\mathbf{v})=0.$$

也就是

$$\left|\begin{array}{ccc}x-x_0& y-y_0& z-z_0\\ u_1& u_2& u_3\\ v_1& v_2& v_3\end{array}\right|=0.$$

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十一、经过三个点的平面

已知

$$A,B,C$$

三点不共线。

构造两个平面内向量：

$$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}.$$

于是法向量

$$\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}.$$

然后写过点 $A$ 的点法式。

所以“三点定平面”的本质仍是：

$$\boxed{\text{一点}+\text{法向量}}.$$

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十二、直线方程

直线最重要的量不是一般方程，而是：

方向向量。

若直线经过

$$P_0(x_0,y_0,z_0)$$

方向向量为

$$\mathbf{s}=(l,m,n),$$

参数式：

$$\boxed{\{\begin{array}{l}x=x_0+lt,\\ y=y_0+mt,\\ z=z_0+nt.\end{array}}$$

对称式：

$$\boxed{\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}}.$$

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特别注意方向分量为零

比如方向向量

$$(0,2,-3),$$

绝不能写成

$$\frac{x-x_0}{0}.$$

应该写：

$$x=x_0,$$

以及

$$\frac{y-y_0}{2}=\frac{z-z_0}{-3}.$$

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十三、直线的一般式：两个平面的交线

空间直线也可以写成

$$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0.\end{array}$$

这其实就是：

两平面的交线。

对应两个法向量：

$${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1),$$ $${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2).$$

交线同时垂直于两个法向量，所以交线方向向量可以直接取

$$\boxed{\mathbf{s}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2}.$$

这是本章极高频技巧。

例如

$$\{\begin{array}{l}x-2y+z-1=0,\\ 2x+y-2z+2=0.\end{array}$$

有

$${\mathbf{n}}_1=(1,-2,1),$$ $${\mathbf{n}}_2=(2,1,-2).$$

于是

$$\mathbf{s}={\mathbf{n}}_1\times {\mathbf{n}}_2=(3,4,5).$$

讲义专门将这种“交面式 $\to$ 方向向量”的方法作为求直线的重要题型。

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十四、平面与平面的关系

设

$${\Pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0,$$ $${\Pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0.$$

对应法向量：

$${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1),{\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2).$$

因此空间关系全部转化为两个法向量的关系。

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1. 两平面平行

$$\boxed{{\Pi }_1\parallel {\Pi }_2⟺{\mathbf{n}}_1\parallel {\mathbf{n}}_2}$$

即

$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}.$$

但这里只能说明“平行方向”。

还必须继续判断：

• 如果常数项比例也相同：两个平面重合；
• 如果常数项比例不同：平行但不重合。

这是一个很常见的陷阱。

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2. 两平面垂直

$$\boxed{{\Pi }_1\perp {\Pi }_2⟺{\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0}$$

即

$$A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2=0.$$

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3. 两平面的夹角

两平面的夹角，就是两个法向量的锐角。

所以

$$\boxed{\cos \theta =\frac{|A_1{A}_2+B_1{B}_2+C_1{C}_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}}.$$

为什么有绝对值？

因为平面没有固定“正方向”，通常取锐角。

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十五、两条直线的位置关系

直线的关系看方向向量。

设

$$L_1:{\mathbf{s}}_1,L_2:{\mathbf{s}}_2.$$

平行：

$${\mathbf{s}}_1\parallel {\mathbf{s}}_2.$$

垂直：

$${\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{s}}_2=0.$$

夹角：

$$\boxed{\cos \theta =\frac{|{\mathbf{s}}_1\cdot {\mathbf{s}}_2|}{|{\mathbf{s}}_1||{\mathbf{s}}_2|}}.$$

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十六、空间里最容易漏掉的情况：异面直线

二维平面中两条不平行直线一定相交。

但三维空间中：

两条直线即使不平行，也可能根本不相交。

这就是异面直线。

设

$$P_1\in L_1,P_2\in L_2,$$

方向向量为

$${\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2.$$

两条直线共面，需要

$$\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2$$

三个向量共面，因此：

$$(\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)=0.$$

所以在两方向不平行时：

$$\boxed{(\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)=0\Rightarrow \text{相交}}$$

而

$$\boxed{(\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)\ne 0\Rightarrow \text{异面}}.$$

讲义中的异面直线题正是采用这一判定。

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十七、直线和平面的关系

设直线方向向量

$$\mathbf{s}=(l,m,n)$$

以及平面

$$Ax+By+Cz+D=0,$$

其法向量为

$$\mathbf{n}=(A,B,C).$$

这时特别容易弄反。

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1. 直线平行于平面

直线方向位于平面方向中，所以：

$$\boxed{L\parallel \Pi ⟺\mathbf{s}\perp \mathbf{n}}$$

即

$$Al+Bm+Cn=0.$$

注意还要判断直线是不是整个落在平面内。

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2. 直线垂直于平面

如果直线就是朝着法向量方向：

$$\boxed{L\perp \Pi ⟺\mathbf{s}\parallel \mathbf{n}}.$$

也就是

$$(l,m,n)=\lambda (A,B,C).$$

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十八、直线和平面的夹角——为什么用正弦？

这是第7章极易错的一点。

设直线与平面的夹角为 $\theta$。

直线方向向量 $\mathbf{s}$ 与平面法向量 $\mathbf{n}$ 的夹角记为 $\phi$。

显然

$$\theta +\phi =\frac{\pi }{2}.$$

所以

$$\sin \theta =\cos \phi .$$

因此公式是：

$$\boxed{\sin \theta =\frac{|\mathbf{s}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{s}||\mathbf{n}|}}.$$

记忆：

线线夹角：cos。

面面夹角：cos。

线面夹角：sin。

讲义中的线面关系也是按这一公式整理的。

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十九、距离问题

距离问题最好理解几何来源，而不是死背。

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1. 两点距离

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}.$$

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2. 点到平面的距离

点

$$P_0(x_0,y_0,z_0)$$

到平面

$$Ax+By+Cz+D=0$$

的距离：

$$\boxed{d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}}.$$

本质是把

$$\overrightarrow{P_1{P}_0}$$

投影到法向量方向。

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3. 点到直线距离

直线过点 $P_1$，方向向量 $\mathbf{s}$。

点 $P_0$ 到直线距离：

$$\boxed{d=\frac{|\overrightarrow{P_1{P}_0}\times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}}.$$

为什么？

因为

$$|\overrightarrow{P_1{P}_0}\times \mathbf{s}|$$

是平行四边形面积：

$$S=|\mathbf{s}|\cdot d.$$

所以

$$d=\frac{S}{|\mathbf{s}|}.$$

讲义中的点线、点面距离公式正是利用这一几何关系得到的。

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二十、两条异面直线的距离

这是混合积的经典应用。

设

$$P_1\in L_1,P_2\in L_2,$$

方向向量分别为

$${\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2.$$

则

$$|{\mathbf{s}}_1\times {\mathbf{s}}_2|$$

表示底面积。

而

$$|(\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)|$$

表示平行六面体体积。

所以：

$$V=S_{\text{底}}d.$$

于是

$$\boxed{d=\frac{|(\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)|}{|{\mathbf{s}}_1\times {\mathbf{s}}_2|}}.$$

这个公式不要孤立背。

记成一句话：

异面直线距离 = 体积 ÷ 底面积。

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二十一、异面直线公垂线

若 $L_1,L_2$ 是异面直线，其方向向量分别为

$${\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2,$$

那么公垂线方向必须同时垂直于两者，因此：

$$\boxed{\mathbf{s}={\mathbf{s}}_1\times {\mathbf{s}}_2}.$$

接下来最稳定的方法不是暴力求两个垂足，而是构造两个平面：

经过 $L_1$ 且平行于 $\mathbf{s}$ 的平面；

经过 $L_2$ 且平行于 $\mathbf{s}$ 的平面。

这两个平面的交线就是公垂线。讲义把这作为异面直线题的标准构造方法。

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二十二、平面束——考研非常好用

若直线是两个平面的交线：

$$\{\begin{array}{l}{F}_1(x,y,z)=0,\\ F_2(x,y,z)=0,\end{array}$$

那么所有经过这条交线的平面，可以统一表示为

$$\boxed{\lambda F_1+\mu F_2=0}$$

其中 $\lambda ,\mu$ 不同时为 $0$。

常简写为

$$F_1+\lambda F_2=0.$$

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典型题型

如果题目说：

求经过两个已知平面的交线，并且垂直于第三个平面的平面。

不要先求交线。

直接设：

$$F_1+\lambda F_2=0.$$

得到所求平面的法向量 $\mathbf{n}(\lambda )$。

然后利用

$$\mathbf{n}(\lambda )\cdot {\mathbf{n}}_3=0$$

求 $\lambda$。

这通常比先算交线方便很多，典型例题就用了这种核心思路。

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二十三、曲面方程

这一部分是本章与后面重积分、曲面积分联系最强的地方。

主要要会：

球面、柱面、旋转曲面、二次曲面。

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二十四、球面

球心

$$P_0(x_0,y_0,z_0)$$

半径 $R$：

$$\boxed{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2+(z-z_0{)}^2=R^2}.$$

如果给出一般式

$$x^2+y^2+z^2+Dx+Ey+Fz+G=0,$$

就通过配方化标准式。

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二十五、柱面究竟是什么？

很多人一看到“柱面”就只想到圆柱。

实际上柱面定义更一般：

一条直线沿着某条曲线保持方向不变地平移形成的曲面。

这条曲线叫准线；

这些平行直线叫母线。

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最实用判断法：缺哪个变量

例如

$$x^2+y^2=1.$$

这里完全没有 $z$。

意味着只要 $(x,y)$ 满足圆

$$x^2+y^2=1,$$

$z$ 可以任取。

于是这条圆沿着 $z$ 轴方向无限延伸，得到圆柱面。

所以：

方程缺 $z$ → 母线平行 $z$ 轴。

方程缺 $x$ → 母线平行 $x$ 轴。

方程缺 $y$ → 母线平行 $y$ 轴。

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一般方向柱面

如果准线位于 $z=0$：

$$F(x,y)=0$$

母线方向为

$$(l,m,n),n\ne 0,$$

则柱面方程可以写成

$$\boxed{F\left(x-\frac{l}{n}z,y-\frac{m}{n}z\right)=0}.$$

讲义专门给出了这一一般柱面公式。

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二十六、圆柱面也可以用“点到直线距离”建立

如果圆柱轴线 $L$ 已知，半径 $R$。

圆柱面上任意一点 $P$ 满足：

点 $P$ 到轴线 $L$ 的距离恒等于 $R$。

若轴线过 $P_1$，方向向量为 $\mathbf{s}$，则

$$\frac{|\overrightarrow{P_{1}P}\times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}=R.$$

即

$$\boxed{|\overrightarrow{P_{1}P}\times \mathbf{s}{|}^2=R^2|\mathbf{s}{|}^2}.$$

这类题讲义中也给出了完整例题。

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二十七、旋转曲面——本章高频难点

设平面曲线位于 $xOz$ 平面：

$$\{\begin{array}{l}f(x,z)=0,\\ y=0.\end{array}$$

现在绕 $z$ 轴旋转。

一个点原来是

$$(x_0,0,z_0).$$

旋转之后：

$z$ 坐标不变；

到 $z$ 轴的距离不变。

原来的距离为

$$|x_0|.$$

旋转后的距离为

$$\sqrt{x^2+y^2}.$$

所以：

$$x_0⟶\pm \sqrt{x^2+y^2}.$$

因此旋转面：

$$\boxed{f\left(\pm \sqrt{x^2+y^2},z\right)=0}.$$

讲义中的旋转面公式也是这样建立的。

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二十八、旋转曲面最重要的理解：绕谁转，谁保持不变

例如曲线

$$z=x^2$$

在 $xOz$ 平面内绕 $z$ 轴旋转。

原来有

$$z=x^2.$$

绕 $z$ 轴后，$x^2$ 不再表示单独的 $x$ 坐标，而表示“到 $z$ 轴距离的平方”：

$$x^2+y^2.$$

所以：

$$\boxed{z=x^2+y^2}.$$

这就是旋转抛物面。

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如果绕 $y$ 轴

到 $y$ 轴的距离是

$$\sqrt{x^2+z^2}.$$

所以看到绕 $y$ 轴：

$$x^2⟶x^2+z^2$$

这种思路通常比死背旋转曲面公式可靠。

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二十九、常见二次曲面

讲义列出的重点二次曲面包括椭球面、椭圆抛物面、双曲抛物面、单叶双曲面、双叶双曲面、锥面以及几类柱面。

这里不要纯背名字，要会看符号+截痕。

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1. 椭球面

$$\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1}.$$

特点：

三个平方项全为正；

曲面有界；

与三个坐标平面的截线都是椭圆。

若

$$a=b=c=R,$$

就是球面。

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三十、椭圆抛物面

$$\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z}.$$

因为左边

$$\ge 0,$$

所以

$$z\ge 0.$$

因此沿 $z$ 轴正方向开口。

取

$$z=h>0,$$

得到

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=h,$$

是椭圆。

所以它可以想象成不断扩大的椭圆叠起来。

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三十一、双曲抛物面

$$\boxed{\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=z}.$$

这是著名的马鞍面。

为什么？

令 $y=0$：

$$z=\frac{x^2}{a^2},$$

是向上抛物线。

而令 $x=0$：

$$z=-\frac{y^2}{b^2},$$

是向下抛物线。

于是一个方向向上，一个方向向下，形成马鞍。

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三十二、单叶双曲面

标准式：

$$\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1}.$$

记忆：

两正一负，右边 $=1$ → 单叶双曲面。

负号是 $z$，所以轴向沿 $z$ 轴。

令 $z=0$：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$

中间有一个椭圆“腰”。

随着 $|z|$ 增大，椭圆越来越大。

所以是一整片连起来的曲面。

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三十三、双叶双曲面

一种标准形式：

$$\boxed{\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1}.$$

记忆：

一正两负，右边 $=1$ → 双叶双曲面。

因为

$$\frac{z^2}{c^2}\ge 1,$$

所以

$$|z|\ge c.$$

中间一段根本没有点，所以分成上下两叶。

正号对应哪个变量，就沿哪个坐标轴展开。

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三十四、二次锥面

$$\boxed{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0}.$$

移项：

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\frac{z^2}{c^2}.$$

显然 $z$ 有正负两边。

所以是上下两个锥面。

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三十五、二次曲面如何判断最快？

不要硬背一张图。

遇到一个陌生二次曲面，按这个顺序：

先配方 → 化标准式 → 看有没有缺变量 → 看平方项正负号 → 看右边是 $1$、$0$ 还是某变量 → 必要时作截痕。

例如：

$$x^2+y^2-z^2=1$$

两正一负：

单叶双曲面。

而

$$z^2-x^2-y^2=1$$

一正两负：

双叶双曲面。

讲义同样强调通过符号、缺项和截痕判断二次曲面。

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三十六、空间曲线在坐标平面上的投影

设空间曲线

$$\Gamma :\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0.\end{array}$$

要投影到 $xOy$ 平面。

投影时 $z$ 不重要，所以：

消去 $z$。

如果消去后得到

$$\phi (x,y)=0,$$

那么

$$\phi (x,y)=0$$

首先表示的是一个母线平行于 $z$ 轴的投影柱面。

真正位于 $xOy$ 平面上的投影曲线应该写：

$$\boxed{\{\begin{array}{l}\phi (x,y)=0,\\ z=0.\end{array}}$$

同理：

投影到 $yOz$ 平面：

消去 $x$，最后加 $x=0$。

投影到 $xOz$ 平面：

消去 $y$，最后加 $y=0$。

讲义特别区分了“投影柱面”和“真正的投影曲线”，这是考试中非常容易写漏的一步。

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三十七、一个典型投影例子

设

$$\Gamma :\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2+z^2=4,\\ z=x.\end{array}$$

求在 $xOy$ 平面上的投影。

因为

$$z=x,$$

代入球面：

$$x^2+y^2+x^2=4.$$

于是

$$2x^2+y^2=4.$$

所以投影柱面是

$$2x^2+y^2=4.$$

而真正的 $xOy$ 平面投影曲线是

$$\boxed{\{\begin{array}{l}2x^2+y^2=4,\\ z=0.\end{array}}$$

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三十八、这一章最常见的六类题

结合讲义里的“常考题型”，本章做题时可以把题目快速归入以下六类。

1. 向量关系题：看到垂直用点积，平行或共同垂直方向用叉积，共面用混合积。

2. 求平面方程：核心永远是“一点 + 法向量”；经过两平面交线并附加条件时，优先考虑平面束。

3. 求直线方程：核心是“一点 + 方向向量”；两平面交线的方向向量优先用两个法向量的叉积。

4. 位置关系、距离题：统一转成法向量和方向向量；异面问题记得用混合积。

5. 空间曲线投影题：投影到哪个坐标平面，就消掉与该平面垂直的坐标。

6. 曲面方程题：重点掌握柱面、圆柱面、旋转曲面，以及二次曲面识别。

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三十九、综合例题：经过两平面交线的平面

设

$${\Pi }_1:x+y+1=0,$$ $${\Pi }_2:x+2y+2z=0.$$

求经过 ${\Pi }_1,{\Pi }_2$ 交线且垂直于

$${\Pi }_3:2x-y-z=0$$

的平面。

最优方法：平面束。

设所求平面：

$$(x+y+1)+\lambda (x+2y+2z)=0.$$

整理：

$$(1+\lambda )x+(1+2\lambda )y+2\lambda z+1=0.$$

于是法向量：

$$\mathbf{n}=(1+\lambda ,1+2\lambda ,2\lambda ).$$

而

$${\Pi }_3$$

法向量：

$${\mathbf{n}}_3=(2,-1,-1).$$

两平面垂直：

$$\mathbf{n}\cdot {\mathbf{n}}_3=0.$$

所以

$$2(1+\lambda )-(1+2\lambda )-2\lambda =0.$$

即

$$1-2\lambda =0.$$

所以

$$\lambda =\frac{1}{2}.$$

代回去：

$$x+y+1+\frac{1}{2}(x+2y+2z)=0.$$

乘 $2$：

$$2x+2y+2+x+2y+2z=0.$$

得到

$$\boxed{3x+4y+2z+2=0}.$$

这正是讲义重点强调的“经过交线 + 附加条件 $\Rightarrow$ 平面束”的典型结构。

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四十、本章最容易混淆的几个地方

第一，法向量和平面方向正好相反。直线平行平面时，是

$$\mathbf{s}\perp \mathbf{n},$$

不是 $\mathbf{s}\parallel \mathbf{n}$。

直线垂直平面才是

$$\mathbf{s}\parallel \mathbf{n}.$$

第二，两直线不平行不一定相交，空间中还可能异面。

第三，叉积没有交换律：

$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-\mathbf{b}\times \mathbf{a}.$$

更不能写所谓的结合律：

$$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times \mathbf{c}\ne \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})$$

一般并不成立。

第四，求夹角时：

$$\text{线线：cos},$$ $$\text{面面：cos},$$ $$\text{线面：sin}.$$

第五，柱面不一定是圆柱。

例如

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$

是双曲柱面，因为没有 $z$。

第六，空间曲线投影时：

$$\phi (x,y)=0$$

只是投影柱面。

投影曲线应该写成

$$\{\begin{array}{l}\phi (x,y)=0,\\ z=0.\end{array}$$

这些也是讲义总结中反复提醒的高频失分点。

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四十一、最后把整章压缩成一张“做题决策图”

以后做第7章，先不要算，先问自己：

题目要的是平面？ 先找一个点，再找法向量。

题目要的是直线？ 先找一个点，再找方向向量。

出现“垂直”？ 优先想到点积为 $0$。

出现“同时垂直两个方向”？ 优先想到叉积。

出现“平行”？ 方向向量或法向量成比例，或者叉积为 $0$。

出现“三向量共面、四点共面、异面直线”？ 优先想到混合积。

出现“点到直线”？

$$\boxed{\text{面积}÷\text{底}}$$

即

$$d=\frac{|\overrightarrow{P_1{P}_0}\times \mathbf{s}|}{|\mathbf{s}|}.$$

出现“异面直线距离”？

$$\boxed{\text{体积}÷\text{底面积}}$$

即

$$d=\frac{|(\overrightarrow{P_1{P}_2},{\mathbf{s}}_1,{\mathbf{s}}_2)|}{|{\mathbf{s}}_1\times {\mathbf{s}}_2|}.$$

出现“经过两平面交线的平面”？ 优先平面束：

$$F_1+\lambda F_2=0.$$

出现“绕某轴旋转”？ 保留轴向坐标，把“离轴距离”替换成另外两个坐标平方和的平方根。

出现“方程缺一个变量”？ 高度怀疑柱面。

出现“空间曲线投影”？ 投影到哪个面，就消掉垂直于哪个面的坐标。

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本章最核心的记忆口令

点积管垂直和夹角；叉积管共同垂直方向和面积；混合积管共面和体积。

平面找法向量，直线找方向向量。

两平面交线方向 = 两法向量叉积。

线线、面面用 $\cos$，线面用 $\sin$。

点线距离 = 面积 ÷ 底；异面距离 = 体积 ÷ 底面积。

旋转面看“到旋转轴的距离”；柱面看“缺哪个变量”；投影看“消哪个变量”。

如果把这些关系真正理解，第7章就不再是一堆独立公式，而会变成一套非常统一的**“空间几何 → 向量 → 方程”解题系统**。