第 3 章 一元函数积分学

本章从原函数与不定积分出发，串联定积分、微积分基本定理、积分计算、反常积分和积分应用，重点训练结构识别与方法选择。

$$\boxed{\text{原函数}\to \text{不定积分}\to \text{定积分}\to \text{微积分基本定理}\to \text{积分计算}\to \text{反常积分}\to \text{积分应用}}$$

讲义特别强调，积分计算的总原则是：先识别结构，再选择变形；先寻找“导数痕迹”，再决定换元还是分部。

下面按考研做题的思路完整讲这一章。

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一、第3章到底在研究什么？

导数解决的问题是：

已知函数，求它的变化率。

积分有两个基本方向。

第一种是“反求导数”：

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

已知 $f(x)$，反过来寻找 $F(x)$。

这就是不定积分。

第二种是“无限累加”：

把一个区间切成很多很小的部分，把每一小部分的量相加，再让分割无限细。

这就是定积分。

因此：

$$\boxed{\text{不定积分的本质是求原函数}}$$

而

$$\boxed{\text{定积分的本质是连续累加}}$$

二者最后由牛顿—莱布尼茨公式统一：

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$$

其中

$$F^{\prime }(x)=f(x).$$

这就是微积分里最重要的桥梁之一。

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二、原函数与不定积分

1. 原函数

如果在某区间 $I$ 上有

$$F^{\prime }(x)=f(x),$$

则称 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $I$ 上的一个原函数。

例如：

$$(x^2{)}^{\prime }=2x,$$

所以 $x^2$ 是 $2x$ 的一个原函数。

但是

$$(x^2+5{)}^{\prime }=2x,$$

所以 $x^2+5$ 也是。

甚至

$$(x^2+C{)}^{\prime }=2x.$$

因此一个函数一旦有一个原函数，就会有无穷多个原函数，而且它们之间只相差一个常数。

于是：

$$\boxed{\int f(x)dx=F(x)+C}$$

其中 $C$ 是任意常数。

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2. 为什么一定要写 $+C$？

这是非常高频的基础错误。

例如：

$$\int 2xdx=x^2+C.$$

不能只写

$$x^2.$$

因为不定积分表示的是所有原函数组成的函数族。

但定积分：

$${\int }_0^{1}2xdx$$

是一个确定的数，所以没有 $+C$。

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三、必须熟记的基本积分公式

这一部分一定要达到“看到立即反应”的程度。

1. 幂函数

当 $\alpha \ne -1$：

$$\boxed{\int x^{\alpha }dx=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}+C}$$

特别地：

$$\int 1dx=x+C,$$ $$\int xdx=\frac{x^2}{2}+C,$$ $$\int \frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C.$$

而 $\alpha =-1$ 是特殊情况：

$$\boxed{\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C}$$

这里必须有绝对值。

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2. 指数函数

$$\boxed{\int e^{x}dx=e^x+C}$$ $$\boxed{\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C}(a>0,a\ne 1)$$

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3. 三角函数

$$\int \sin xdx=-\cos x+C,$$ $$\int \cos xdx=\sin x+C,$$ $$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C,$$ $$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C,$$ $$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C,$$ $$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C.$$

还有两个经常出现：

$$\int \tan xdx=-\ln |\cos x|+C,$$ $$\int \cot xdx=\ln |\sin x|+C.$$

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4. 反三角函数型

$$\boxed{\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C}$$ $$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C}$$

推广为：

$$\boxed{\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C}$$

以及

$$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C}.$$

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四、积分计算的第一核心：凑微分与换元法

讲义把换元积分法列为最基本的方法之一。

它本质上就是把复合函数求导反过来。

如果

$$u=\phi (x),$$

那么

$$du={\phi }^{\prime }(x)dx.$$

所以

$$\boxed{\int f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)dx=\int f(u)du}$$

1. 最典型结构：分母导数在分子

例如：

$$\int \frac{2x}{x^2+1}dx.$$

因为

$$d(x^2+1)=2xdx,$$

所以令

$$u=x^2+1,$$

得到

$$\int \frac{du}{u}=\ln u+C.$$

于是

$$\boxed{\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\ln (x^2+1)+C}$$

这类题的核心不是“正式换元”，而是看到导数痕迹。

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2. 指数复合型

例如：

$$\int x{e}^{x^2}dx.$$

因为

$$d(x^2)=2xdx,$$

所以

$$\int x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int e^{x^2}d(x^2)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C.$$

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3. 三角复合型

例如：

$$\int \frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}dx.$$

令

$$u=\sin x,du=\cos xdx,$$

则

$$\int \frac{du}{1+u^2}=\arctan u+C.$$

所以

$$\boxed{\int \frac{\cos x}{1+{\sin }^{2}x}dx=\arctan (\sin x)+C}$$

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五、第二类换元：主动换掉 $x$

有时不是“凑 $du$”，而是主动设

$$x=\phi (t).$$

最典型的是根式。

例如：

$$\int \sqrt{a^2-x^2}dx.$$

因为出现

$$\sqrt{a^2-x^2},$$

令

$$x=a\sin t.$$

于是：

$$dx=a\cos tdt,$$

并且

$$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t.$$

原积分化为三角函数积分。

经典三类根式可以这样记：

$$\sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin t,$$ $$\sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow x=a\tan t,$$ $$\sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec t.$$

但讲义特别强调：不要机械背代换；最终目的是消根号，把结构化简。

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六、定积分换元为什么一定要“换限”？

例如：

$$I={\int }_0^1\frac{2x}{1+x^2}dx.$$

令

$$u=1+x^2.$$

原来：

$$x=0\Rightarrow u=1,$$ $$x=1\Rightarrow u=2.$$

所以直接写：

$$I={\int }_1^2\frac{du}{u}=\ln 2.$$

注意：

不定积分换元后最后通常要换回 $x$； 定积分换元则最好直接把积分限换成新变量的积分限。

这是考研积分计算最常见的操作错误之一。

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七、第二核心：分部积分法

讲义把分部积分作为另一条计算主线，并强调：

$$\boxed{\int udv=uv-\int vdu}$$

它来自：

$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }.$$

定积分形式为：

$$\boxed{{\int }_a^{b}udv={uv|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu}$$

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1. 什么时候想到分部积分？

典型关键词是：乘积，而且其中一个函数求导后明显变简单。

最典型的是：

$$x{e}^x,x\sin x,x^2{e}^x,$$ $$\ln x,\arctan x,$$ $$e^x\sin x,e^x\cos x.$$

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2. $x{e}^x$

$$I=\int x{e}^{x}dx.$$

取

$$u=x,dv=e^{x}dx.$$

则

$$du=dx,v=e^x.$$

于是：

$$I=x{e}^x-\int e^{x}dx,$$

因此

$$\boxed{I=e^x(x-1)+C.}$$

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3. $\ln x$

这里只有一个函数，也可以人为看成乘积：

$$\ln x=1\cdot \ln x.$$

取：

$$u=\ln x,dv=dx.$$

于是：

$$du=\frac{1}{x}dx,v=x.$$

得到：

$$\boxed{\int \ln xdx=x\ln x-x+C.}$$

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4. 怎样选 $u$？

讲义给出的经验顺序是：

反三角 → 对数 → 代数 → 三角 → 指数。

靠前的通常选作 $u$。

但千万不要把它当绝对规则。

真正的判断标准是：

$$\boxed{u\text{ 求导后更简单，}dv\text{ 容易积分}}$$

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八、循环型分部积分

非常典型：

$$I=\int e^x\sin xdx.$$

连续分部两次以后会再次出现 $I$。

最后形成：

$$2I=e^x(\sin x-\cos x),$$

于是

$$\boxed{\int e^x\sin xdx=\frac{1}{2}{e}^x(\sin x-\cos x)+C}$$

这种题不要慌：

原积分重新出现不是失败，而是提示你“移项解方程”。

讲义专门总结了这种结构。

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九、Wallis 型递推积分

讲义举出的经典递推是：

$$I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx.$$

通过分部积分：

$$\boxed{I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}}$$

其中

$$I_0=\frac{\pi }{2},I_1=1.$$

因此

$$I_n=\{\begin{array}{ll}\frac{(n-1)!!}{n!!}\frac{\pi }{2},& n\text{ 为偶数},\\ \frac{(n-1)!!}{n!!},& n\text{ 为奇数}.\end{array}$$

同时：

$${\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}xdx.$$

这是典型的：

$$\boxed{\text{分部积分}\to \text{建立递推关系}}$$

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十、有理函数积分——非常重要的套路题

所谓有理函数：

$$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.$$

讲义给出的标准处理流程非常清楚：

$$\boxed{\text{多项式除法}\to \text{因式分解}\to \text{部分分式}\to \text{逐项积分}}$$

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1. 先判断真假分式

如果

$$\mathrm{deg}P\ge \mathrm{deg}Q,$$

先做多项式除法。

例如：

$$\frac{x^2+1}{x+1}=x-1+\frac{2}{x+1}.$$

所以：

$$\int \frac{x^2+1}{x+1}dx=\frac{x^2}{2}-x+2\ln |x+1|+C.$$

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2. 一次因子

若分母含：

$$(x-a{)}^m,$$

部分分式必须写：

$$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a{)}^2}+\cdots +\frac{A_m}{(x-a{)}^m}.$$

例如：

$$\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.$$

于是：

$$\int \frac{1}{x(x+1)}dx=\ln |x|-\ln |x+1|+C.$$

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3. 不可约二次因子

如果分母含：

$$x^2+px+q,$$

且

$$p^2-4q<0,$$

分子不能只写常数，而应写：

$$Ax+B.$$

例如：

$$\int \frac{Ax+B}{x^2+px+q}dx.$$

讲义的标准方法是把分子拆成：

$$Ax+B=\frac{A}{2}(2x+p)+\left(B-\frac{Ap}{2}\right).$$

于是第一部分产生：

$$\ln (x^2+px+q),$$

第二部分配平方后产生：

$$\arctan .$$

所以看到不可约二次式，要形成条件反射：

$$\boxed{\text{凑分母导数}+\text{配平方}}$$

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十一、三角有理式积分

考虑：

$$\int R(\sin x,\cos x)dx.$$

理论上万能方法是：

$$\boxed{t=\tan \frac{x}{2}}$$

因为：

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},$$ $$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},$$ $$dx=\frac{2}{1+t^2}dt.$$

于是所有 $\sin x,\cos x$ 都变成 $t$ 的有理函数。

但讲义明确提醒：

万能代换虽然总能用，但通常不是最快的。

做题时先检查：

若 $\sin x$ 出现奇次

留一个 $\sin x,dx$，其余利用

$${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x,$$

令：

$$t=\cos x.$$

若 $\cos x$ 出现奇次

留一个 $\cos x,dx$，令：

$$t=\sin x.$$

若整体可以化成 $\tan x$

利用：

$${\sin }^{2}x=\frac{{\tan }^{2}x}{1+{\tan }^{2}x},{\cos }^{2}x=\frac{1}{1+{\tan }^{2}x},$$

再令

$$t=\tan x.$$

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十二、定积分的定义与几何意义

定积分定义为黎曼和极限。

将：

$$[a,b]$$

分割成许多小区间：

$$\Delta x_i,$$

在每个小区间取一点 ${\xi }_i$，形成：

$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i.$$

当最大分割长度趋于 $0$ 时，如果极限存在，则：

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i}$$

这很重要，因为很多数列极限可以反过来识别成定积分：

$$\frac{b-a}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(a+\frac{k(b-a)}{n}\right)\to {\int }_a^{b}f(x)dx.$$

这就是高频的黎曼和极限题。

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十三、定积分 ≠ 面积

这是非常重要的概念。

如果

$$f(x)\ge 0,$$

那么：

$${\int }_a^{b}f(x)dx$$

才等于曲线与 $x$ 轴围成的面积。

如果 $f(x)$ 有正有负：

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\text{x轴上方面积}-\text{x轴下方面积}.$$

真正的几何面积是：

$$\boxed{S={\int }_a^b|f(x)|dx}$$

因此：

$$\boxed{\text{定积分有符号，面积永远非负}}$$

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十四、定积分的基本性质

必须熟悉：

1. 线性

$${\int }_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx.$$

2. 交换上下限

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx}$$

3. 区间可加性

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx}$$

4. 保序性

如果：

$$f(x)\le g(x),$$

那么：

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx}$$

这也是证明积分不等式的基本武器。

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十五、积分中值思想

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在：

$$\xi \in [a,b],$$

使：

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)}$$

从平均值角度：

$$\boxed{f(\xi )=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx}$$

右边叫函数在区间上的平均值。

直观上：

曲线下面积等于某个高度 $f(\xi )$ 乘区间长度。

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十六、微积分基本定理：整章核心

定义：

$$\Phi (x)={\int }_a^{x}f(t)dt.$$

若 $f$ 连续，则：

$$\boxed{{\Phi }^{\prime }(x)=f(x)}$$

也就是说：

$$\boxed{\frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)}$$

这是“积分”和“求导”互相逆运算最直接的体现。

讲义特别强调这一点，并进一步给出上下限均变化的公式。

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十七、变上限积分求导——超级高频

如果：

$$F(x)={\int }_a^{\phi (x)}f(t)dt,$$

那么：

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)}$$

例如：

$$F(x)={\int }_0^{x^2}\sin tdt.$$

则：

$$F^{\prime }(x)=\sin (x^2)\cdot 2x.$$

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上下限都变化

如果：

$$F(x)={\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt,$$

则：

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x)}$$

记忆：

上限代入乘上限导数，减下限代入乘下限导数。

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十八、牛顿—莱布尼茨公式

若：

$$F^{\prime }(x)=f(x),$$

则：

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$$

例如：

$${\int }_0^1{x}^{2}dx={\frac{x^3}{3}|}_0^1=\frac{1}{3}.$$

这一公式本质上完成了：

$$\boxed{\text{无限求和问题}\to \text{原函数求值问题}}$$

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十九、一个很隐蔽的坑：原函数必须覆盖整个积分区间

讲义特意提醒：

即使某个表达式求导等于被积函数，也必须检查它是否真的是整个积分区间上的同一个原函数。

尤其像：

$$\arctan (\tan x),$$ $$\arctan \frac{1}{x}$$

这类带分支的函数，跨过某些点后可能发生跳跃。

所以如果积分区间跨越间断点，应：

$$\boxed{\text{分段积分}}$$

不能强行使用一个原函数表达式。

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二十、定积分对称性——考研非常爱考

1. 奇函数

若 $f$ 为奇函数：

$$f(-x)=-f(x),$$

则：

$$\boxed{{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0}$$

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2. 偶函数

若：

$$f(-x)=f(x),$$

则：

$$\boxed{{\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx}$$

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3. 更一般的公式

$$\boxed{{\int }_{-a}^{a}f(x)dx={\int }_0^a[f(x)+f(-x)]dx}$$

所以遇到对称区间，第一件事不是求原函数，而是看奇偶性。

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二十一、区间反射：$x\to a+b-x$

这一技巧特别重要。

令：

$$I={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

作换元：

$$x=a+b-t,$$

得到：

$$I={\int }_a^{b}f(a+b-x)dx.$$

因此：

$$2I={\int }_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx.$$

所以：

$$\boxed{I=\frac{1}{2}{\int }_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx}$$

如果：

$$f(x)+f(a+b-x)=C,$$

则立即：

$$\boxed{I=\frac{C(b-a)}{2}}$$

这是很多“看上去根本积不出来”的定积分的核心技巧。

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二十二、反常积分

讲义把反常积分总结为一条非常明确的主线：

$$\boxed{\text{找异常点}\to \text{拆区间}\to \text{写极限}\to \text{计算或比较}\to \text{判敛散}}$$

有两大类型。

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1. 无穷区间

$$\boxed{{\int }_a^{+\infty }f(x)dx=\underset{b\to +\infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx}$$

极限存在且有限，才叫收敛。

例如：

$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x^2}dx=\underset{b\to \infty }{\lim }{\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^b=1.$$

所以收敛。

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2. 无界函数产生的瑕积分

例如：

$${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx.$$

$x=0$ 处被积函数无界，所以不是普通定积分。

必须写：

$${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{\epsilon }^1{x}^{-1/2}dx.$$

算得：

$$2.$$

因此收敛。

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二十三、内部有瑕点必须拆开

如果 $c\in (a,b)$ 是瑕点：

$$\boxed{{\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx}$$

但这里的两项都必须分别作为反常积分定义。

只有：

$$\boxed{\text{左右两边都收敛}}$$

原积分才收敛。

任何一边发散：

$$\boxed{\text{整体发散}}$$

不能利用正负抵消。

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二十四、柯西主值不等于反常积分

例如：

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx$$

必须分别判断：

$${\int }_{-\infty }^{c}f(x)dx,$$

和

$${\int }_c^{+\infty }f(x)dx.$$

不能只算：

$$\underset{R\to +\infty }{\lim }{\int }_{-R}^{R}f(x)dx.$$

后者是柯西主值。

讲义把“把柯西主值当作反常积分”列为本章高频错误之一。

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二十五、两个最重要的 $p$ 型积分

一定背熟。

无穷远处：

$$\boxed{{\int }_1^{+\infty }\frac{dx}{x^p}\{\begin{array}{ll}\text{收敛},& p>1,\\ \text{发散},& p\le 1.\end{array}}$$

零点附近：

$$\boxed{{\int }_0^1\frac{dx}{x^p}\{\begin{array}{ll}\text{收敛},& p<1,\\ \text{发散},& p\ge 1.\end{array}}$$

要特别注意二者方向完全不同。

一句话记忆

无穷远处：

衰减必须快于 $1/x$。

零点附近：

爆炸不能达到 $1/x$ 那么严重。

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二十六、比较判别法

对于非负函数，如果：

$$0\le f(x)\le g(x),$$

则：

• $g$ 收敛 $\Rightarrow f$ 收敛；
• $f$ 发散 $\Rightarrow g$ 发散。

讲义给出的口令非常好：

收敛看上界，发散看下界。

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极限比较

如果：

$$f(x),g(x)\ge 0,$$

且：

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=L,0<L<\infty ,$$

那么：

$$\boxed{\int f\text{和}\int g\text{同敛散}}$$

所以考研中通常不是硬算反常积分，而是找等价主项。

例如：

$$f(x)\sim \frac{C}{x^p},$$

直接看 $p$。

讲义也明确把“提取主导阶”作为反常积分判敛散的主要手段。

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二十七、积分应用的真正核心：微元法

讲义把所有积分应用统一为：

$$\boxed{dQ=\text{局部密度或强度}\times \text{局部几何微元}}$$

再积分：

$$\boxed{Q=\int dQ}$$

做应用题时不要先背公式，而是问：

“这一小条、这一小片、这一小层贡献多少？”

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二十八、平面图形面积

1. 竖条

若：

$$f(x)\ge g(x),$$

则：

$$\boxed{dS=[f(x)-g(x)]dx}$$

所以：

$$\boxed{S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx}$$

即：

上减下。

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2. 横条

若：

$$x_{\text{右}}=\phi (y),x_{\text{左}}=\psi (y),$$

则：

$$\boxed{S={\int }_{\alpha }^{\beta }[\phi (y)-\psi (y)]dy}$$

即：

右减左。

选择 $dx$ 还是 $dy$ 的核心标准不是习惯，而是：

$$\boxed{\text{哪一种少分段、表达式更简单，就选哪一种}}$$

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二十九、极坐标面积

极坐标中一个微小扇形：

$$dS=\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta .$$

所以：

$$\boxed{S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta }$$

若是两曲线之间：

$$\boxed{S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }[r_2^2(\theta )-r_1^2(\theta )]d\theta }$$

高频错误：

忘记 $\frac{1}{2}$。

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三十、弧长

这是积分几何应用中的另一大题型。

1. 直角坐标

若：

$$y=f(x),$$

则：

$$ds=\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx,$$

所以：

$$\boxed{s={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx}$$

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2. 参数方程

若：

$$x=x(t),y=y(t),$$

则：

$$\boxed{ds=\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt}$$

所以：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt.$$

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3. 极坐标

若：

$$r=r(\theta ),$$

则：

$$\boxed{ds=\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2}d\theta }$$

所以：

$$s={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta .$$

讲义指出，弧长题最难的地方往往不是公式，而是把根号中的式子化成完全平方。

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三十一、旋转体体积

统一本质：

$$\boxed{dV=(\text{截面面积})dx}$$

所以如果截面积：

$$A(x),$$

则：

$$\boxed{V={\int }_a^{b}A(x)dx}$$

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1. 圆盘法

绕 $x$ 轴旋转：

$$\boxed{V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx}$$

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2. 圆环法

有外半径 $R(x)$，内半径 $r(x)$：

$$\boxed{V=\pi {\int }_a^b[R^2(x)-r^2(x)]dx}$$

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3. 柱壳法

绕 $y$ 轴时若使用竖条：

半径：

$$x,$$

高度：

$$h(x),$$

厚度：

$$dx.$$

则：

$$dV=2\pi xh(x)dx.$$

所以：

$$\boxed{V=2\pi {\int }_a^{b}xh(x)dx}$$

选择原则：

• 垂直于旋转轴切：圆盘/圆环；
• 平行于旋转轴切：柱壳。

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三十二、旋转曲面面积

千万不要与体积混淆。

基本微元：

$$\boxed{dS=2\pi (\text{旋转半径})ds}$$

若：

$$y=f(x)\ge 0$$

绕 $x$ 轴旋转，则：

$$\boxed{S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx}$$

讲义特别把这个区别列为易错点：

• 体积：半径平方；
• 侧面积：$2\pi r\times ds$。

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三十三、物理应用题

讲义将这类题统一成：

$$\boxed{\text{总量}=\int \text{密度或强度}\times \text{几何微元}}$$

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1. 变力做功

如果力：

$$F(x),$$

物体从 $a$ 移到 $b$：

$$\boxed{dW=F(x)dx}$$

所以：

$$\boxed{W={\int }_a^{b}F(x)dx}$$

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2. 液体静压力

深度为 $h$ 时：

$$p=\gamma h.$$

若水平窄条长度：

$$L(h),$$

则：

$$dP=\gamma hL(h)dh.$$

所以：

$$\boxed{P=\int \gamma hL(h)dh}$$

注意：

$$\boxed{\text{压强}\ne \text{压力}}$$

压强是单位面积受力，压力是积分后的总力。

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3. 质心

基本思想：

$$\boxed{\bar{x}=\frac{\text{关于 }y\text{ 轴的静力矩}}{\text{总质量}}}$$ $$\boxed{\bar{y}=\frac{\text{关于 }x\text{ 轴的静力矩}}{\text{总质量}}}$$

这些题本质完全相同：

写出一个小质量 $dm$，再乘对应坐标形成静力矩。

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三十四、结合讲义归纳出的15类核心题型

讲义最终把第3章的做题内容总结成一套比较完整的题型体系。可以浓缩成下面这张表。

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三十五、几个特别重要的综合题思想

题型1：变限积分 + 单调性

例如：

$$F(x)={\int }_0^{x}f(t)dt.$$

题目问 $F(x)$ 单调性。

不要想着把积分算出来。

直接：

$$F^{\prime }(x)=f(x).$$

因此：

$$f(x)>0\Rightarrow F(x)\text{ 递增},$$ $$f(x)<0\Rightarrow F(x)\text{ 递减}.$$

这类题本质是：

$$\boxed{\text{积分函数问题}\to \text{导数问题}}$$

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题型2：积分中又出现变限积分

例如：

$$I={\int }_a^{b}f(x)\left({\int }_a^{x}f(t)dt\right)dx.$$

令：

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt.$$

那么：

$$F^{\prime }(x)=f(x).$$

所以：

$$I={\int }_a^{b}F(x)F^{\prime }(x)dx.$$

于是：

$$I=\frac{1}{2}{F}^2(x){|}_a^b.$$

由于：

$$F(a)=0,$$

所以：

$$\boxed{I=\frac{1}{2}{\left({\int }_a^{b}f(x)dx\right)}^2}$$

这是讲义专门归纳的一类经典结构。

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三十六、如何证明积分不等式？

讲义归纳的思路主要有：

1. 被积函数直接比较；
2. 最大最小值估计；
3. 把目标化为非负函数的积分；
4. 必要时使用其他不等式工具。

最基础的是：

如果：

$$f(x)\ge g(x),$$

则：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\ge {\int }_a^{b}g(x)dx.$$

所以证明：

$${\int }_a^{b}f(x)dx\ge 0$$

时，经常先证明：

$$f(x)\ge 0.$$

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三十七、考场上看到一个积分，到底应该怎么选方法？

可以用下面这棵“决策树”。

第一步：先别急着积分

观察：

$$\boxed{\text{能否化简？}}$$

先做：

• 因式分解；
• 约分；
• 拆项；
• 配凑；
• 三角恒等变形。

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第二步：是否有“内函数导数”？

看到：

$$f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)$$

优先：

$$\boxed{\text{换元/凑微分}}$$

例如：

$$\frac{x}{1+x^2},x{e}^{x^2},\cos x{e}^{\sin x}.$$

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第三步：是否是两个不同类型函数相乘？

例如：

$$x{e}^x,$$ $$x\sin x,$$ $$x^2\ln x.$$

考虑：

$$\boxed{\text{分部积分}}$$

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第四步：是不是有理函数？

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

考虑：

$$\boxed{\text{除法}\to \text{因式分解}\to \text{部分分式}}$$

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第五步：是不是根式？

考虑：

$$\boxed{\text{换元消根号}}$$

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第六步：是不是三角有理式？

先看：

$$t=\sin x,t=\cos x,t=\tan x.$$

实在不行再：

$$t=\tan \frac{x}{2}.$$

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第七步：如果是定积分

在计算前再问：

区间是否对称？ 函数是否奇偶？ 是否周期？ 能否 $x\to a+b-x$？ 能否利用几何意义？

这一步常常能把一道复杂题变成几行。

这正是讲义给出的积分计算主线。

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三十八、本章最常见的易错点

结合讲义，最值得专门记住的是这些。

1. 不定积分忘记 $+C$

$$\int f(x)dx=F(x)+C.$$

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2. $\int 1/x,dx$ 忘绝对值

正确：

$$\ln |x|+C.$$

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3. 换元只换函数，不换 $dx$

换元必须整体进行。

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4. 定积分换元忘记换积分限

这是最典型计算错误。

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5. 分部积分选错 $u$

导致新积分比原积分更复杂。

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6. 部分分式漏项

特别是：

$$(x-a{)}^m$$

对应从一次一直写到 $m$ 次。

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7. 不可约二次因子的分子只写常数

应该写：

$$Ax+B.$$

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8. 看到对称定积分直接硬算

必须先看：

$$f(-x),f(a+b-x).$$

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9. 反常积分不写极限

反常积分首先是极限，不是普通代入。

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10. 内部瑕点不拆区间

必须左右分别判断。

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11. 柯西主值当成普通反常积分

两者不是一个概念。

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12. 面积忘记绝对值或上下关系

面积不能是负数。

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13. 极坐标面积漏 $\frac{1}{2}$

$$S=\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta .$$

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14. 弧长忘根号

$$ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx.$$

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15. 体积和旋转面面积混淆

体积：

$$\pi r^{2}dx.$$

侧面积：

$$2\pi rds.$$

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三十九、整章最值得记住的8句话

如果最后只压缩成考研复习口令，建议记这8条：

① 不定积分是反求导数，定积分是连续累加。

$$\int f(x)dx=F(x)+C.$$

② 牛顿—莱布尼茨公式是整章核心。

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a).$$

③ 看见复合结构，先找内函数导数。

$$f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x)\Rightarrow u=\phi (x).$$

④ 看见“两个不同类型函数相乘”，考虑分部积分。

$$\int udv=uv-\int vdu.$$

⑤ 定积分先看对称性，再考虑求原函数。

$$x\to -x,x\to a+b-x.$$

⑥ 变限积分先求导。

$${\left({\int }_a^{x}f(t)dt\right)}^{\prime }=f(x).$$

⑦ 反常积分先找异常点，再拆、再写极限。

$$\text{异常点}\to \text{拆区间}\to \text{极限}.$$

⑧ 应用题全部统一成微元法。

$$\boxed{dQ=\text{局部量},Q=\int dQ}$$

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四十、第3章知识地图

最终可以把整章压缩成下面这个框架：

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{一元积分学}\\ \downarrow \\ \text{原函数、不定积分}\\ \downarrow \\ \text{基本积分公式}\\ \downarrow \\ \text{换元、分部}\\ \downarrow \\ \text{有理、无理、三角有理式}\\ \downarrow \\ \text{定积分定义与性质}\\ \downarrow \\ \text{微积分基本定理}\\ \downarrow \\ \text{对称、周期、区间反射}\\ \downarrow \\ \text{变限积分}\\ \downarrow \\ \text{反常积分及敛散性}\\ \downarrow \\ \text{微元法}\\ \downarrow \\ \text{面积、弧长、体积、旋转面}\\ \downarrow \\ \text{功、压力、质量、质心等应用}\end{array}}$$

从考研做题角度，第3章真正要练到熟练的并不是几十条孤立公式，而是三个“自动反应”：

$$\boxed{\text{看到积分结构}\to \text{知道选什么方法}}$$ $$\boxed{\text{看到变限积分}\to \text{先求导}}$$ $$\boxed{\text{看到面积/体积/物理量}\to \text{先写微元}}$$

讲义最后给出的完整复习框架也正是“积分理论主线、计算主线、反常积分主线、几何微元主线、物理微元主线”这五条。

如果按考研重要性排序，最值得优先刷题的是：换元积分、分部积分、有理函数积分、定积分对称性、变限积分、反常积分敛散性、面积与旋转体体积。这些掌握之后，第3章绝大部分题目的主方法就基本确定了。