第 4 章微分中值定理及其应用

掌握费马、罗尔、拉格朗日与柯西中值定理，并用于函数性态、最值、不等式和零点问题。

本章把导数转化为研究函数性质的工具，重点掌握四类中值定理及其在单调性、极值、凹凸性、不等式、零点与证明题中的应用。

一、第4章到底在研究什么？

第2章学导数时，我们主要解决：

一个函数怎么求导？

第4章则变成：

知道导数以后，怎么反过来研究函数？

核心逻辑可以浓缩成：

局部导数信息 ⟹ 整个区间上的函数性质

这里最关键的桥梁就是微分中值定理。

例如拉格朗日中值定理：

f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a), ξ \in (a, b)

它把：

两端函数值之差 $f (b) - f (a)$ ；
区间长度 $b - a$ ；
内部某一点的导数 $f^{'} (ξ)$

联系了起来。

所以可以发现，第4章几乎所有题目都在做一件事情：

把函数值问题转化成导数问题

讲义中的完整主线是：

费马 \to 罗尔 \to 拉格朗日 \to 柯西

然后：

定义域 \to f^{'} (x) \to 单调性、极值 \to f^{''} (x) \to 凹凸性、拐点 \to 渐近线、函数图形

最后进一步解决：

不等式、零点、最值、存在性证明

二、四个最核心的中值定理

这一部分是全章理论基础。

1. 费马定理

若函数 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处：

可导；
取得极值；

那么必有

f^{'} (x_{0}) = 0

这就是费马定理。

本质

假设 $x_{0}$ 是一个光滑的山顶：

      ●
     / \
    /   \

那么山顶处切线应该是水平的，因此斜率为零。

2. 极值点和驻点一定要区分

如果

f^{'} (x_{0}) = 0

那么 $x_{0}$ 称为驻点。

于是费马定理告诉我们：

可导极值点 ⟹ 驻点

但反过来不成立。

例如

f (x) = x^{3}

有

f^{'} (0) = 0

所以 $x = 0$ 是驻点。

但是：

x < 0 \Rightarrow x^{3} < 0, x > 0 \Rightarrow x^{3} > 0

函数一直递增，所以 $0$ 不是极值点。

因此：

f^{'} (x_{0}) = 0 \neq \Rightarrow x_{0} 是极值点

3. 极值点还可能不可导

例如

f (x) = ∣ x ∣

$x = 0$ 是明显的极小值点：

f (x) \geq f (0) = 0

但

f^{'} (0)

不存在。

所以求极值候选点时千万不能只解

f^{'} (x) = 0

而应该同时找：

f^{'} (x) = 0 的点 + f^{'} (x) 不存在但 f (x) 有定义的点

这是第4章非常高频的陷阱。

三、罗尔定理

如果 $f (x)$ 满足：

在 $[a, b]$ 上连续；
在 $(a, b)$ 内可导；
$f (a) = f (b)$ ；

那么至少存在

ξ \in (a, b)

使

f^{'} (ξ) = 0

1. 几何意义

如果曲线从 $A$ 出发，最后回到同样高度的 $B$ ：

A ●             ● B
   \           /
    \____●____/

中间至少应该有一处切线水平。

2. 罗尔定理最典型的题目特征

看到：

证明存在 $ξ$ ，使 $f^{'} (ξ) = 0$

第一反应应该是：

罗尔定理

然后找一个辅助函数 $F (x)$ ，使：

F (a) = F (b)

于是：

F^{'} (ξ) = 0

3. 罗尔定理是证明题核心工具

例如已知：

f (a) = f (b) = 0

那么直接有某个 $ξ$ ：

f^{'} (ξ) = 0

如果还有：

f (c) = 0, a < c < b

则：

在 $[a, c]$ 使用一次罗尔：

\exists ξ_{1} \in (a, c), f^{'} (ξ_{1}) = 0

在 $[c, b]$ 再用：

\exists ξ_{2} \in (c, b), f^{'} (ξ_{2}) = 0

然后对 $f^{'}$ 在 $[ξ_{1}, ξ_{2}]$ 再用罗尔：

\exists η \in (ξ_{1}, ξ_{2}), f^{''} (η) = 0

于是产生经典的：

f 有三个零点 \Rightarrow f^{'} 至少两个零点 \Rightarrow f^{''} 至少一个零点

更一般地：

如果一个足够光滑的函数具有至少 $n + 1$ 个不同零点，则：

f^{(n)} (x)

至少存在一个零点。

这就是多次罗尔定理。

四、拉格朗日中值定理——本章最重要的定理

条件只有：

$f (x)$ 在 $[a, b]$ 连续；
$f (x)$ 在 $(a, b)$ 可导。

那么存在

ξ \in (a, b)

使

f (b) - f (a) = f^{'} (ξ) (b - a)

或者：

f^{'} (ξ) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

右边是割线斜率。

左边是某点的切线斜率。

所以含义就是：

一段光滑曲线上的某条切线必然平行于两端点连成的割线。

五、拉格朗日中值定理的三个超级重要变形

1. 两点形式

对于 $x \neq = x_{0}$ ：

f (x) - f (x_{0}) = f^{'} (ξ) (x - x_{0})

其中 $ξ$ 位于 $x$ 和 $x_{0}$ 之间。

这是证明不等式最常用的形式。

2. 有限增量形式

f (x + Δ x) - f (x) = f^{'} (x + θ Δ x) Δ x

其中

0 < θ < 1

也就是：

Δ y = f^{'} (x + θ Δ x) Δ x

3. 导数有界推出函数增量有界

如果

∣ f^{'} (x) ∣ \leq M

那么由中值定理：

∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ = ∣ f^{'} (ξ) ∣∣ x - x_{0} ∣

因此

∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ \leq M ∣ x - x_{0} ∣

这是考研证明题非常常见的估计形式。

六、罗尔和拉格朗日有什么关系？

如果拉格朗日中值定理中：

f (a) = f (b)

那么：

f (b) - f (a) = 0

于是：

f^{'} (ξ) (b - a) = 0

由于

b - a \neq = 0

所以：

f^{'} (ξ) = 0

因此：

罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形

七、柯西中值定理

对于两个函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 。

若它们：

在 $[a, b]$ 连续；
在 $(a, b)$ 可导；
$g^{'} (x) \neq = 0$ ；

则存在

ξ \in (a, b)

使：

\frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} = \frac{f ^{'} ( ξ )}{g ^{'} ( ξ )}

怎么理解？

拉格朗日中值定理研究：

\frac{Δ f}{Δ x}

柯西研究：

\frac{Δ f}{Δ g}

所以只要题目出现：

\frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )}

或者目标中出现：

\frac{f ^{'} ( ξ )}{g ^{'} ( ξ )}

就应该想到柯西中值定理。

八、四个定理怎么选？

这个表非常重要：

目标	第一反应
已知可导极值点	费马
要证 $F^{'} (ξ) = 0$	罗尔
要证 $F^{'} (ξ) = k$	拉格朗日
出现函数增量	拉格朗日
出现两个函数增量之比	柯西
出现 $\frac{F ^{'} ( ξ )}{G ^{'} ( ξ )}$	柯西
出现高阶导数零点	多次罗尔

统一关系：

费马 \to 罗尔 \to 拉格朗日 \to 柯西

讲义也特别强调了这套选用逻辑。

九、为什么中值定理可以判断单调性？

设：

x_{1} < x_{2}

根据拉格朗日中值定理：

f (x_{2}) - f (x_{1}) = f^{'} (ξ) (x_{2} - x_{1})

由于：

x_{2} - x_{1} > 0

所以 $f (x_{2}) - f (x_{1})$ 的符号完全由

f^{'} (ξ)

决定。

于是：

若

f^{'} (x) \geq 0

则：

f (x_{2}) \geq f (x_{1})

因此函数单调不减。

类似：

f^{'} (x) \leq 0 \Rightarrow f (x) 单调不增

十、严格单调的一个重要细节

很多人直接背：

f^{'} (x) > 0 \Rightarrow f (x) 严格递增

这当然正确。

但讲义给出的更完整结论是：

$f (x)$ 严格递增的充要条件可以表述为：

f^{'} (x) \geq 0

并且：

f^{'} (x)

不能在任意一个子区间上恒等于零。

为什么？

例如：

f (x) = x^{3}

有：

f^{'} (x) = 3 x^{2} \geq 0

虽然：

f^{'} (0) = 0

但 $f (x)$ 仍然严格递增。

所以：

严格递增并不要求每个点都满足 $f^{'} (x) > 0$ 。

十一、单调区间怎么标准求？

对于一个具体函数，标准流程：

第一步：求定义域

先找：

分母不能为零；
根号；
对数；
反三角函数等。

第二步：求

f^{'} (x)

第三步：找两类分界点

f^{'} (x) = 0

以及：

f^{'} (x) 不存在

但注意第二种点必须仍在函数定义域内。

第四步：划分区间

例如候选点：

x_{1} < x_{2}

则分成：

(- \infty, x_{1}), (x_{1}, x_{2}), (x_{2}, + \infty)

第五步：判断 $f^{'} (x)$ 符号

$f^{'} > 0$ ：递增；
$f^{'} < 0$ ：递减。

十二、极值——本章超级高频

1. 极值第一判别法

看 $f^{'} (x)$ 在 $x_{0}$ 左右是否变号。

若：

f^{'} (x) : + \to -

即：

{f^{'} (x) > 0, f^{'} (x) < 0, x < x_{0} x > x_{0}

那么：

x_{0} 是极大值点

因为：

先增后减

若：

f^{'} (x) : - \to +

则：

x_{0} 是极小值点

如果：

+ \to +

或

- \to -

那么通常不是极值点。

所以记忆：

+ \to - : 极大 - \to + : 极小

十三、极值第二判别法

如果：

f^{'} (x_{0}) = 0

并且：

f^{''} (x_{0}) \neq = 0

则：

若

f^{''} (x_{0}) > 0

则：

x_{0} 是极小值点

因为曲线在附近“开口向上”。

若

f^{''} (x_{0}) < 0

则：

x_{0} 是极大值点

特别注意

如果：

f^{'} (x_{0}) = 0, f^{''} (x_{0}) = 0

那么：

不能判断

例如：

f (x) = x^{4}

$x = 0$ 是极小值。

但：

f (x) = x^{3}

$x = 0$ 没有极值。

两者都满足：

f^{'} (0) = f^{''} (0) = 0

十四、极值和最值完全不是一个概念

极值

局部概念。

只和 $x_{0}$ 附近比较。

最大值、最小值

全局概念。

必须和整个指定区间比较。

例如一个函数可能有：

两个极小值；
一个极大值；

但是整个区间上只能对应某个最大值 $M$ 和最小值 $m$ 。

十五、闭区间上的最值怎么求？

如果 $f (x)$ 在：

[a, b]

上连续，那么根据最值定理一定取得最大值、最小值。

实际计算时：

候选位置共有三类

驻点 + 不可导点 + 端点

即：

解 $f^{'} (x) = 0$ ；
找不可导点；
加上 $a, b$ ；
全部代入 $f (x)$ ；
比大小。

这是闭区间最值的最稳算法。

十六、开区间或无穷区间的最值

这时不能简单比较端点，因为端点可能不属于定义域。

需要考察：

x \to a^{+} lim f (x), x \to b^{-} lim f (x)

甚至：

x \to \pm \infty lim f (x)

例如：

f (x) \to + \infty

在区间两端都成立，而且内部只有一个极小点，那么这个极小值就是全局最小值。

讲义专门把最值题分成闭区间、两段单调、端点趋于无穷、唯一极值点等几种情形。

十七、凹凸性——本章第二阶导数的核心

不同教材对“凹/凸”的中文命名可能存在差异。为避免歧义，做题时优先依据二阶导数符号和弯曲方向判断：

f^{''} (x) > 0

表示 $f^{'} (x)$ 递增，曲线凹向上；

f^{''} (x) < 0

表示 $f^{'} (x)$ 递减，曲线凹向下。若教材对“凹、凸”术语另有定义，应以题目或所用教材的定义为准。

十八、凹凸性的几何本质

如果：

f^{'} (x)

逐渐增加，那么切线斜率越来越大。

典型如：

y = x^{2}

因为：

f^{''} (x) = 2 > 0

曲线向上弯。

而：

y = - x^{2}

有：

f^{''} (x) = - 2 < 0

曲线向下弯。

讲义用切线位置定义凹凸，并进一步给出了通过 $f^{'}$ 单调性和 $f^{''}$ 符号判断凹凸性的结论。

十九、拐点是什么？

拐点不是：

$f^{''} (x) = 0$ 的点。

真正的定义是：

曲线在该点两侧的凹凸性发生改变。

即如果：

x < x_{0}

和

x > x_{0}

时 $f^{''}$ 异号，那么：

(x_{0}, f (x_{0}))

才是拐点。

拐点最重要结论

若 $x_{0}$ 是拐点，则通常候选条件为：

f^{''} (x_{0}) = 0

或者：

f^{''} (x_{0}) 不存在

但反过来不一定成立。

例如：

f (x) = x^{4}

有：

f^{''} (x) = 12 x^{2}

所以：

f^{''} (0) = 0

但左右两侧：

f^{''} (x) > 0

不变号，所以 $0$ 不是拐点。

因此：

f^{''} (x_{0}) = 0 只是拐点候选条件

二十、三阶导数判别拐点

若：

f^{''} (x_{0}) = 0

且：

f^{'''} (x_{0}) \neq = 0

那么：

(x_{0}, f (x_{0})) 是拐点

这是很方便的快速判别。

二十一、渐近线——考试很喜欢和函数图形综合

共有三类。

1. 垂直渐近线

如果：

x \to a^{+} lim f (x) = \infty

或者：

x \to a^{-} lim f (x) = \infty

那么：

x = a

是垂直渐近线。

注意：

$x = a$ 往往是间断点，但：

间断点不一定是垂直渐近线。

必须出现：

f (x) \to \pm \infty

才行。

二十二、水平渐近线

如果：

x \to + \infty lim f (x) = A

那么：

y = A

是 $x \to + \infty$ 时的水平渐近线。

同理：

x \to - \infty lim f (x) = B

则：

y = B

是负无穷方向的渐近线。

特别注意：

+ \infty

和

- \infty

必须分别研究。

二十三、斜渐近线

假设：

y = k x + b

则先求：

k = x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x}

要求：

0 < ∣ k ∣ < \infty

然后：

b = x \to \infty lim [f (x) - k x]

如果 $b$ 也是有限值，则：

y = k x + b

就是斜渐近线。

所以口诀：

斜率先除 $x$ ，截距再减 $k x$ 。

讲义中特别强调 $+ \infty$ 和 $- \infty$ 两个方向可能出现完全不同的渐近线。

二十四、完整函数图形题怎么做？

这是一个必须形成肌肉记忆的流程：

1. 定义域 2. 奇偶性、周期性 3. f^{'} (x) \to 单调性、极值 4. f^{''} (x) \to 凹凸性、拐点 5. 间断点 6. 渐近线 7. 与坐标轴交点 8. 变化表 9. 作图

关键点统一排到数轴上：

x_{1} < x_{2} < x_{3} < \dots

然后同时填：

区间	$f^{'}$	$f^{''}$	单调性	极值	凹凸性
$I_{1}$	$+$	$-$	↑
$I_{2}$	$-$	$+$	↓	极值

这种表格比你分别讨论所有性质安全得多。

二十五、洛必达法则和本章的关系

讲义的第4章知识结构将洛必达列为微分中值定理的重要应用之一；它的理论基础正是柯西中值定理。不过本章讲义在前面的极限章节已经系统使用了洛必达，因此这里理解其理论来源更重要。

基本形式：

如果：

x \to a lim f (x) = x \to a lim g (x) = 0

或者二者都趋于无穷，并满足相应可导条件，且：

x \to a lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = L

则：

x \to a lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = L

最重要的考试纪律：

使用洛必达前必须先判断 \frac{0}{0} 或 \frac{\infty}{\infty}

二十六、本章考研题型一：证明函数恒等式

例如要证明：

f (x) = g (x)

一个非常经典的方法：

定义：

F (x) = f (x) - g (x)

然后证明：

F^{'} (x) = 0

因此：

F (x) = C

最后选一个方便的点 $x_{0}$ ：

F (x_{0}) = 0

于是：

C = 0

所以：

f (x) \equiv g (x)

为什么只证明导数相等还不够？

因为：

f^{'} (x) = g^{'} (x)

只能推出：

f (x) = g (x) + C

例如：

(x)^{'} = (x + 1)^{'} = 1

但：

x \neq = x + 1

所以必须再找一点校正常数。

这是讲义明确强调的高频错误之一。

二十七、题型二：利用导数研究函数性态

这一类题其实就是：

f^{'} (x) \to 单调性

f^{''} (x) \to 凹凸性

常出现一些难点：

1. 导数符号不能直接判断

比如：

f^{'} (x) = A (x) B (x)

其中 $A (x) > 0$ ，只需研究 $B (x)$ 。

如果 $B (x)$ 符号仍然不会判断，再研究：

B^{'} (x)

甚至：

B^{''} (x)

这就是：

降阶判断符号。

很多考研函数性态题实际上是在考这个。

二十八、题型三：函数最值问题

最常见流程：

定义域 \to 候选点 \to 单调性 \to 比较

如果是实际应用题，必须先建立目标函数。

例如椭圆：

\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1

内接轴平行矩形。

设第一象限顶点：

(x, y)

则：

S = 4 x y

由椭圆方程：

y = b 1 - \frac{x ^{2}}{a ^{2}}

所以：

S (x) = \frac{4 b}{a} x a^{2} - x^{2}

定义域：

0 \leq x \leq a

求导得到：

x = \frac{a}{2}

于是：

y = \frac{b}{2}

最大面积：

S_{m a x} = 2 ab

这就是本章中的标准最值模型。

二十九、应用型最值题真正的难点

往往不是求导，而是：

建立目标函数

统一步骤：

第一步

确定要求什么：

面积；
体积；
距离；
成本；
时间；
利润等。

记成：

Q

第二步

建立：

Q = Q (x, y, \dots)

第三步

利用约束消元，使其变成：

Q = f (x)

第四步

写出实际定义域。

第五步

求最值。

三十、题型四：最值综合题

综合题经常是：

前半部分求出未知函数，后半部分再对参数求最值。

例如题设可能给：

x f^{'} (x) = f (x) + \frac{3}{2} a x^{2}

先整理：

f^{'} (x) - \frac{1}{x} f (x) = \frac{3}{2} a x

利用积分因子：

μ (x) = \frac{1}{x}

得：

(\frac{f ( x )}{x})^{'} = \frac{3}{2} a

于是求出：

f (x) = \frac{3}{2} a x^{2} + C x

再用面积条件确定 $C$ ；

之后把旋转体体积写成：

V (a)

最后求：

V^{'} (a) = 0

这种题实际上连接了：

微分方程思想 + 积分 + 参数 + 最值

是很典型的综合题。

三十一、题型五：证明不等式——本章最重要的大题类型之一

这是第4章真正需要练熟的地方。

讲义把微分学证明不等式归纳成多种方法，包括单调性、最值、中值定理、辅助函数、凹凸性等。

方法1：构造差函数 + 单调性

要证明：

g (x) > h (x)

令：

F (x) = g (x) - h (x)

问题变成：

F (x) > 0

然后研究：

F^{'} (x)

一个经典模板

要证明：

ln x \leq x - 1, x > 0

令：

F (x) = x - 1 - ln x

求导：

F^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}

所以：

⎩ ⎨ ⎧ F^{'} (x) < 0, F^{'} (x) = 0, F^{'} (x) > 0, 0 < x < 1 x = 1 x > 1

因此：

x = 1

是全局最小值点。

而：

F (1) = 0

所以：

F (x) \geq 0

于是：

ln x \leq x - 1

三十二、不等式方法2：利用最值

目标：

F (x) \geq 0

你不一定需要直接证明 $F$ 单调。

只要证明：

min F (x) \geq 0

即可。

所以不等式题可以统一理解成：

证明 F (x) \geq 0 ⟺ 证明 F_{m i n} \geq 0

三十三、不等式方法3：直接用拉格朗日中值定理

若：

f (b) - f (a)

可以写成：

f^{'} (ξ) (b - a)

而已知：

m \leq f^{'} (x) \leq M

那么：

m (b - a) \leq f (b) - f (a) \leq M (b - a)

也就是：

m \leq \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} \leq M

这是“导数有界 $\Rightarrow$ 函数增量有界”的标准套路。

三十四、不等式方法4：柯西中值定理

如果待证式中天然出现：

\frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )}

那么：

\frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} = \frac{f ^{'} ( ξ )}{g ^{'} ( ξ )}

将整个问题化成导数比的估计。

三十五、不等式方法5：凹凸性

若 $f$ 是讲义定义下的“凹函数”（这里即 $f^{''} > 0$ 的这一类），就可以利用弦、切线与曲线的位置关系。

最经典的 Jensen 型关系：

对于适当方向的凹凸函数：

f (\frac{x _{1} + x _{2}}{2}) ≶ \frac{f ( x _{1} ) + f ( x _{2} )}{2}

例如考虑：

f (x) = x^{p}

有：

f^{''} (x) = p (p - 1) x^{p - 2}

若：

p > 1

则：

f^{''} (x) > 0

于是得到：

\frac{a ^{p} + b ^{p}}{2} > (\frac{a + b}{2})^{p}

即：

a^{p} + b^{p} > 2^{1 - p} (a + b)^{p}

三十六、题型六：讨论函数零点

这类题一定要分成两个问题：

第一问：存在吗？

第二问：有几个？

千万别混。

三十七、证明零点存在

如果 $f$ 连续，找：

a, b

使：

f (a) f (b) < 0

根据零点定理：

\exists ξ \in (a, b), f (ξ) = 0

所以：

连续 + 异号 = 至少一个

三十八、证明零点唯一

通常证明：

f^{'} (x) > 0

或者：

f^{'} (x) < 0

于是 $f$ 严格单调。

严格单调函数最多与 $x$ 轴交一次。

因此：

介值定理：至少一个 + 单调性：至多一个 = 恰好一个

这是零点题的第一核心套路。

三十九、利用罗尔定理控制零点个数

假设：

f^{'} (x)

只有一个零点。

那么 $f (x)$ 最多几个零点？

如果 $f$ 有三个零点：

x_{1} < x_{2} < x_{3}

在：

[x_{1}, x_{2}]

与：

[x_{2}, x_{3}]

分别使用罗尔定理：

f^{'} (ξ_{1}) = 0, f^{'} (ξ_{2}) = 0

且：

ξ_{1} \neq = ξ_{2}

与“ $f^{'}$ 只有一个零点”矛盾。

所以：

f^{'} 至多 1 个零点 \Rightarrow f 至多 2 个零点

更一般：

f^{(n)} 无零点 \Rightarrow f 至多 n 个零点

这是考试证明零点个数非常经典的方法。

四十、参数型零点问题怎么做？

例如：

F (x, a) = 0

要求讨论不同 $a$ 时根的数量。

核心套路：

先把它变成：

f (x) = a

或者：

F_{a} (x) = 0

再研究函数：

F_{a}^{'} (x)

找到最大值或最小值。

假设 $F_{a} (x)$ ：

- \infty ↗ M ↘ - \infty

那么：

$M < 0$ ：无零点；
$M = 0$ ：一个零点；
$M > 0$ ：两个零点。

因此：

参数根个数问题 ⟹ 参数极值问题

这是非常重要的转化。

四十一、题型七：证明存在某个“神秘的 $ξ$ ”

这是考研中值定理证明题的核心。

典型题：

证明存在 $ξ \in (a, b)$ ，使

$F (ξ, f (ξ), f^{'} (ξ), f^{''} (ξ)) = 0$

这类题一开始往往看起来非常莫名其妙。

真正的方法是：

从结论反推辅助函数

讲义明确把这种方法作为本章核心技巧。

四十二、构造辅助函数的第一原则

如果目标能够整理成：

F^{'} (ξ) = 0

那就构造 $F (x)$ ，然后用：

罗尔定理

所以看到：

f^{'} (ξ) + f (ξ) = 0

就想：

有没有函数求导等于：

f^{'} (x) + f (x)?

注意：

[e^{x} f (x)]^{'} = e^{x} [f^{'} (x) + f (x)]

于是：

f^{'} (ξ) + f (ξ) = 0

等价于：

[e^{x} f (x)]_{x = ξ}^{'} = 0

辅助函数自然出现：

F (x) = e^{x} f (x)

这就是所谓的：

积分因子型辅助函数。

四十三、目标是 $F^{'} (ξ) = k$ 怎么办？

可以令：

H (x) = F (x) - k x

则：

H^{'} (x) = F^{'} (x) - k

所以：

F^{'} (ξ) = k

等价于：

H^{'} (ξ) = 0

于是又转成罗尔定理。

当然也可以直接考虑拉格朗日中值定理。

四十四、目标出现导数比怎么办？

如果目标是：

\frac{F ^{'} ( ξ )}{G ^{'} ( ξ )} = C

优先考虑：

柯西中值定理

因为：

\frac{F ( b ) - F ( a )}{G ( b ) - G ( a )} = \frac{F ^{'} ( ξ )}{G ^{'} ( ξ )}

所以应该反过来寻找：

F, G

使端点增量之比恰好等于 $C$ 。

四十五、讲义中的典型双中值点结构

讲义给了一个很典型的例子：证明存在 $ξ, η \in (a, b)$ ，使

f^{'} (ξ) = η f^{'} (η) \frac{ln ( b / a )}{b - a}

观察目标：

f^{'} (ξ)

一边适合拉格朗日：

f^{'} (ξ) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

而：

η f^{'} (η)

可以看成：

\frac{f ^{'} ( η )}{1/ η}

这就对应柯西中值定理：

\frac{f ( b ) - f ( a )}{ln b - ln a} = \frac{f ^{'} ( η )}{1/ η} = η f^{'} (η)

两个公式相乘即可。

这里非常能体现：

看目标式结构 \to 反推中值定理

四十六、多次罗尔定理怎么系统理解？

如果目标是：

F^{''} (ξ) = 0

若希望先得到：

F^{'} (ξ_{1}) = F^{'} (ξ_{2}) = 0

再罗尔一次。

所以需要：

F

至少拥有三个相同值点。

因此：

F 有 3 个零点 \Rightarrow F^{''} 有零点

类似：

F 有 n + 1 个零点

反复罗尔：

F^{'} 至少 n 个

F^{''} 至少 n - 1 个

……

最终：

F^{(n)}

至少有一个零点。

四十七、补定义 + 罗尔定理也是常见套路

有时候构造的辅助函数：

F (x)

在端点 $a$ 本来没有定义。

但是：

x \to a^{+} lim F (x) = L

存在。

可以定义：

F (a) = L

于是把 $F$ 补成连续函数。

之后再检查：

F (a) = F (b)

就可以使用罗尔定理。

这种题必须写：

补定义后 $F (x)$ 在 $[a, b]$ 连续，在 $(a, b)$ 可导……

不能直接跳过条件。

四十八、本章三条最重要的证明链

第一条：证明不等式

g (x) \geq h (x)

变成：

F (x) = g (x) - h (x)

再研究：

F^{'} (x), F^{''} (x)

最终证明：

F (x) \geq 0

第二条：证明零点

连续性保证存在 + 单调性保证唯一

第三条：证明特征点

目标式 \to F^{'} (ξ) = 0 \to 构造 F \to 罗尔

或者：

目标导数比 \to 柯西

四十九、第4章最容易混淆的几个概念

概念	判断方法
驻点	$f^{'} (x_{0}) = 0$
极值点	附近函数值比较
最大值点	整个区间比较
不可导点	$f^{'} (x_{0})$ 不存在
拐点	左右凹凸性改变
$f^{''} (x_{0}) = 0$	只是拐点候选
垂直渐近线	$f (x) \to \infty$
水平渐近线	$f (x) \to A$
斜渐近线	$f (x) - k x - b \to 0$