第 2 章 导数与微分

本章围绕导数与微分展开，重点掌握可导性判断、复合与隐函数求导、高阶导数，以及切线、法线和变化率等基础应用。

本章讲义的第2章范围主要是：

导数与微分的概念 → 可导性判断 → 各类函数求导 → 高阶导数 → 分段函数 → 切线、法线与变化率等简单应用。

微分中值定理、单调性、极值、凹凸性等在本章讲义中属于后续章节，因此这里不混在一起讲。

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一、第2章到底在研究什么？

第1章研究的是：

$$\boxed{\text{函数值趋向哪里}}$$

也就是极限。

第2章开始研究：

$$\boxed{\text{函数在某一点附近变化得有多快}}$$

例如函数

$$y=f(x)$$

当 $x$ 从 $x_0$ 变成 $x_0+\Delta x$ 时，函数值发生变化

$$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0).$$

我们希望研究

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

当 $\Delta x\to 0$ 时趋向什么。

于是导数出现：

$$\boxed{f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}}$$

所以非常重要的一句话是：

导数本质上是一个特殊的极限。

讲义也特别强调，导数对应的是一种特殊的 $0/0$ 型极限；它同时有切线斜率、瞬时速度、瞬时变化率等意义。

整章可以压缩成一条主线：

$$\boxed{\text{极限}\to \text{导数}\to \text{微分}\to \text{求导法}\to \text{高阶导数}\to \text{几何与变化率应用}}$$

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二、导数的概念

1. 导数定义

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 附近有定义。

如果极限

$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

存在且为有限数，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。

记作

$$f^{\prime }(x_0).$$

也可以写成

$$\boxed{f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}$$

这两个公式必须非常熟。

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2. 如何真正理解导数？

把

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

看成两点

$$A(x_0,f(x_0)),B(x,f(x))$$

之间割线的斜率。

当

$$x\to x_0$$

时，点 $B$ 向 $A$ 靠近。

割线逐渐趋向切线，因此

$$\boxed{f^{\prime }(x_0)=\text{切线斜率}}$$

这就是导数最直观的几何意义。

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三、左右导数——分段函数的核心

定义：

$$f_{-}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},$$ $$f_{+}^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.$$

函数在 $x_0$ 可导的充要条件是

$$\boxed{f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0)}$$

并且两者都是有限数。

所以以后看到：

• 分段函数；
• $|x|$；
• $|f(x)|$；
• 分界点；
• 尖点；

脑子里首先应该出现：

$$\boxed{\text{左右导数}}$$

讲义把这一点作为分段函数可导性的标准处理流程。

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四、经典例子：为什么 $|x|$ 在 $0$ 不可导？

设

$$f(x)=|x|.$$

首先连续：

$$\underset{x\to 0}{\lim }|x|=0=f(0).$$

但是右导数

$$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{|x|}{x}=1.$$

左导数

$$f_{-}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{|x|}{x}=-1.$$

所以

$$f_{-}^{\prime }(0)\ne f_{+}^{\prime }(0).$$

因此

$$\boxed{|x|\text{ 在 }0\text{ 连续但不可导}}$$

这就是最典型的：

连续不一定可导。

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五、可导、可微、连续三者的关系

这是考研选择题非常喜欢考的知识点。

对于一元函数：

$$\boxed{\text{可微}⟺\text{可导}⟹\text{连续}}$$

但是

$$\boxed{\text{连续}/⟹\text{可导}}$$

讲义把这个逻辑关系作为第2章最核心的概念判断之一。

例如：

$$f(x)=|x|$$

在 $0$ 连续，但不可导。

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六、为什么“可导一定连续”？

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 可导，则

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\to f^{\prime }(x_0).$$

于是

$$f(x)-f(x_0)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}(x-x_0).$$

当 $x\to x_0$ 时：

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\to f^{\prime }(x_0),$$

而

$$x-x_0\to 0.$$

所以

$$f(x)-f(x_0)\to 0.$$

即

$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0).$$

因此连续。

于是判断一点可导时，可以先用：

$$\boxed{\text{不连续}\Rightarrow \text{一定不可导}}$$

快速排除。

但连续之后还不能直接说可导。

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七、微分是什么？

这是本章第二个核心概念。

设

$$y=f(x).$$

令

$$\Delta x\to 0.$$

则

$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).$$

如果可以写成

$$\boxed{\Delta y=A\Delta x+o(\Delta x)}$$

则称函数在该点可微。

而一元函数中

$$A=f^{\prime }(x).$$

所以：

$$\boxed{\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+o(\Delta x)}$$

定义微分：

$$\boxed{dy=f^{\prime }(x)dx}$$

其中

$$dx=\Delta x.$$

讲义对此的核心表述就是：

微分是函数增量的线性主部。

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八、$\Delta y$ 和 $dy$ 到底有什么区别？

这是很多人容易混淆的地方。

真实函数增量是

$$\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).$$

微分是

$$dy=f^{\prime }(x)\Delta x.$$

两者满足

$$\boxed{\Delta y=dy+o(\Delta x)}$$

因此在 $\Delta x$ 很小时：

$$\boxed{\Delta y\approx dy}$$

也就是

$$f(x+\Delta x)-f(x)\approx f^{\prime }(x)\Delta x.$$

于是：

$$\boxed{f(x+\Delta x)\approx f(x)+f^{\prime }(x)\Delta x}$$

这就是微分近似。

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九、“以直代曲”的本质

微分为什么重要？

因为在足够小的局部范围内：

$$f(x+\Delta x)\approx f(x)+f^{\prime }(x)\Delta x.$$

右边是关于 $\Delta x$ 的一次函数。

也就是说：

在一个非常小的局部，曲线可以近似看成切线。

这就是所谓：

$$\boxed{\text{以直代曲}}$$

讲义中特别指出，微分比单纯的导数数值更清楚地表达了这种线性近似思想。

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十、微分近似的简单例子

估算

$$\sqrt{1.02}.$$

设

$$f(x)=\sqrt{x}.$$

在 $x_0=1$ 附近：

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}},$$

所以

$$f^{\prime }(1)=\frac{1}{2}.$$

令

$$\Delta x=\mathrm{0.02.}$$

于是

$$\Delta y\approx dy=\frac{1}{2}(0.02)=\mathrm{0.01.}$$

所以

$$\boxed{\sqrt{1.02}\approx 1.01}$$

这就是一阶近似。

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十一、导数定义型题目——考研非常重要

如果题目没有直接要求求一个普通初等函数的导数，而是出现：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h},$$

立刻识别：

$$\boxed{f^{\prime }(a)}$$

更复杂一点：

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+\lambda h)-f(a)}{h}.$$

令

$$t=\lambda h,$$

则

$$\frac{f(a+\lambda h)-f(a)}{h}=\lambda \frac{f(a+t)-f(a)}{t}.$$

所以

$$\boxed{\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+\lambda h)-f(a)}{h}=\lambda f^{\prime }(a)}$$

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十二、典型题：由极限反求导数

设 $f(x)$ 在 $a$ 处可导，并且

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}=9.$$

求 $f^{\prime }(a)$。

拆开：

$$\frac{f(a+2h)-f(a-h)}{h}$$ $$=\frac{f(a+2h)-f(a)}{h}+\frac{f(a)-f(a-h)}{h}.$$

第一项：

$$\frac{f(a+2h)-f(a)}{h}=2\frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}\to 2f^{\prime }(a).$$

第二项：

$$\frac{f(a)-f(a-h)}{h}=\frac{f(a-h)-f(a)}{-h}\to f^{\prime }(a).$$

因此：

$$3f^{\prime }(a)=9.$$

得到

$$\boxed{f^{\prime }(a)=3}$$

讲义中的导数模块也把这一类“极限反求导数”作为高频题型。

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十三、绝对值函数可导性的高级结论

一个很实用的结论：

若 $f(x_0)=0$，且 $f$ 在 $x_0$ 可导，那么

$$|f(x)|$$

在 $x_0$ 可导的一个核心判断是

$$\boxed{f^{\prime }(x_0)=0}$$

直观解释：

如果

$$f^{\prime }(x_0)\ne 0,$$

那么 $f(x)$ 是“斜着穿过” $x$ 轴。

取绝对值以后，下面的部分被折上去，于是产生尖角。

而如果

$$f^{\prime }(x_0)=0,$$

曲线与横轴接触得足够平缓，就可能仍然可导。

这是讲义中特别总结的绝对值可导性规律。

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十四、基本导数公式必须熟练

1. 幂函数

$$\boxed{(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1}}$$

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2. 指数函数

$$\boxed{(e^x{)}^{\prime }=e^x}$$ $$\boxed{(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a}$$

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3. 对数函数

$$\boxed{(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}}$$ $$\boxed{({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}}$$

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4. 三角函数

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,$$ $$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,$$ $$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x,$$ $$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x.$$

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5. 反三角函数

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$ $$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$ $$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}.$$

这些不应该每次重新推导。

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十五、四则运算求导

设 $u=u(x)$，$v=v(x)$。

和差

$$\boxed{(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }}$$

乘积

$$\boxed{(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }}$$

商

$$\boxed{{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}$$

其中 $v\ne 0$。

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十六、链式法则——整个求导体系的核心

设

$$y=f(u),u=g(x).$$

则

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}}$$

即：

$$\boxed{[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)}$$

讲义给出的记忆原则很好：

由外向内逐层求导，每求一层都乘以内层导数。

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十七、典型复合函数

例如

$$y=\sin (e^{x^2}).$$

结构是

$$x\to x^2\to e^{x^2}\to \sin (e^{x^2}).$$

逐层求：

$$y^{\prime }=\cos (e^{x^2})\cdot e^{x^2}\cdot 2x.$$

所以

$$\boxed{y^{\prime }=2x{e}^{x^2}\cos (e^{x^2})}$$

很多求导错误的本质，就是少乘了一层导数。

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十八、一阶微分形式不变性

若

$$y=f(u),$$

则：

$$dy=f^{\prime }(u)du.$$

无论 $u$ 是独立变量，还是

$$u=u(x),$$

这个形式都保持不变。

例如

$$y=\sin u.$$

永远可以写成：

$$dy=\cos udu.$$

若

$$u=x^2,$$

则

$$du=2xdx.$$

所以：

$$dy=\cos (x^2)\cdot 2xdx.$$

这叫：

$$\boxed{\text{一阶微分形式不变性}}$$

讲义也专门强调了这一点。

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十九、对数求导法

当函数是：

• 多个因子连乘；
• 多个因子连除；
• 幂指函数；

往往适合先取对数。

例如

$$y=x^x,x>0.$$

取对数：

$$\ln y=x\ln x.$$

求导：

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln x+1.$$

所以：

$$\boxed{y^{\prime }=x^x(\ln x+1)}$$

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二十、一般幂指函数

若

$$y=u(x{)}^{v(x)},u(x)>0,$$

取对数：

$$\ln y=v\ln u.$$

于是：

$$\frac{y^{\prime }}{y}=v^{\prime }\ln u+v\frac{u^{\prime }}{u}.$$

所以：

$$\boxed{y^{\prime }=u^v\left(v^{\prime }\ln u+v\frac{u^{\prime }}{u}\right)}$$

讲义建议：

多因子连乘和幂指函数优先考虑对数求导；如果函数可能为负，多因子情形可考虑 $\ln |y|$。

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二十一、反函数求导

若

$$y=f(x)$$

存在反函数

$$x=\phi (y),$$

且

$$f^{\prime }(x)\ne 0,$$

则：

$$\boxed{\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}}$$

也就是：

$$\boxed{{\phi }^{\prime }(y)=\frac{1}{f^{\prime }(x)}}$$

注意是在对应点取值。

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二十二、反函数二阶导数

这个公式容易考：

$$\boxed{\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}}$$

为什么？

因为

$$\frac{dx}{dy}=\frac{1}{y^{\prime }}.$$

注意再求导时是对 $y$ 求导：

$$\frac{d}{dy}=\frac{d}{dx}\frac{dx}{dy}.$$

所以：

$$\frac{d^{2}x}{d{y}^2}=\left(-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^2}\right)\frac{1}{y^{\prime }}=-\frac{y^{\prime \prime }}{(y^{\prime }{)}^3}.$$

讲义把“二阶导数时明确自变量是谁”作为非常重要的易错点。

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二十三、参数方程求导

设

$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t).\end{array}$$

则：

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{{\psi }^{\prime }(t)}{{\phi }^{\prime }(t)}}$$

要求相应位置

$${\phi }^{\prime }(t)\ne 0.$$

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二十四、参数方程二阶导数

先求

$$\frac{dy}{dx}.$$

然后再对 $x$ 求导。

但因为当前所有东西仍写成 $t$，所以：

$$\frac{d}{dx}=\frac{1}{dx/dt}\frac{d}{dt}.$$

于是：

$$\boxed{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{1}{x_t^{\prime }}\frac{d}{dt}\left(\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}\right)}$$

这是参数函数最容易漏的一步。

讲义特别提醒：

求二阶导数时不要只是对 $\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}$ 关于 $t$ 求导，还必须再除以 $x_t^{\prime }$。

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二十五、隐函数求导

例如：

$$x^2+y^2=1.$$

虽然没有写成

$$y=f(x),$$

但可以两边对 $x$ 求导。

得到：

$$2x+2y{y}^{\prime }=0.$$

所以：

$$\boxed{y^{\prime }=-\frac{x}{y}}$$

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二十六、隐函数最容易错在哪里？

对 $y$ 求导时，不能把 $y$ 当常数。

例如：

$$\frac{d}{dx}{y}^2$$

不是 $0$，而是

$$2y{y}^{\prime }.$$

又例如

$$\frac{d}{dx}\sin y=\cos y\cdot y^{\prime }.$$

本质还是链式法则。

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二十七、隐函数统一公式

若

$$F(x,y)=0,$$

且

$$F_y\ne 0,$$

则：

$$\boxed{y^{\prime }=-\frac{F_x}{F_y}}$$

讲义将这个公式列为本章必须掌握的核心公式。

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二十八、变限积分函数求导

讲义把变限积分作为一种典型求导结构提前放入本章的求导体系中，其理论依据会在积分章节系统讲。

基本公式：

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

则

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(x)}$$

如果上限是

$$u(x),$$

则

$$\boxed{\frac{d}{dx}{\int }_a^{u(x)}f(t)dt=f(u(x))u^{\prime }(x)}$$

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二十九、上下限都变化

$$F(x)={\int }_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt.$$

则：

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(v(x))v^{\prime }(x)-f(u(x))u^{\prime }(x)}$$

口诀：

上限代入乘上限导数，减去下限代入乘下限导数。

例如：

$$F(x)={\int }_0^{x^2}{e}^{-t^2}dt.$$

那么：

$$F^{\prime }(x)=e^{-(x^2{)}^2}\cdot 2x.$$

所以：

$$\boxed{F^{\prime }(x)=2x{e}^{-x^4}}$$

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三十、分段函数求导

这是第2章最重要题型之一。

标准步骤是：

1. 先求每个开区间里的导数；
2. 找所有分界点；
3. 检查分界点连续性；
4. 求左导数；
5. 求右导数；
6. 判断是否相等；
7. 最后写完整的 $f^{\prime }(x)$。

讲义明确给出了这一套流程。

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三十一、典型分段函数参数题

设

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& x<0,\\ x^2+1,& x\ge 0.\end{array}$$

问 $a,b$ 取什么值时函数在 $x=0$ 可导。

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第一步：可导必须连续

左极限：

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=b.$$

右侧函数值：

$$f(0)=1.$$

因此：

$$b=1.$$

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第二步：左右导数相等

左导数：

$$f_{-}^{\prime }(0)=a.$$

右导数：

$$f_{+}^{\prime }(0)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2+1-1}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x=0.$$

因此：

$$a=0.$$

最终：

$$\boxed{a=0,b=1}$$

这就是分段函数可导题最典型的结构：

$$\boxed{\text{连续条件}+\text{左右导数相等}}$$

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三十二、一定要区分三个概念

在分界点 $x_0$：

原函数连续

要求

$$f(x_0^{-})=f(x_0)=f(x_0^{+}).$$

原函数可导

要求

$$f_{-}^{\prime }(x_0)=f_{+}^{\prime }(x_0).$$

导函数连续

要求

$$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x_0).$$

强弱关系：

$$\boxed{f^{\prime }\text{ 连续}\Rightarrow f\text{ 可导}\Rightarrow f\text{ 连续}}$$

反向一般不成立。

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三十三、高阶导数

若 $f^{\prime }(x)$ 还能继续求导，就定义：

$$f^{\prime \prime }(x),$$ $$f^{\prime \prime \prime }(x),$$

一直到：

$$\boxed{f^{(n)}(x)}$$

高阶导数题不要机械一阶一阶算。

讲义的核心策略是：

先变形、找规律、利用周期性和莱布尼兹公式。

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三十四、常见 $n$ 阶导数公式

指数

$$\boxed{(e^{ax+b}{)}^{(n)}=a^n{e}^{ax+b}}$$

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正弦

$$\boxed{[\sin (ax+b){]}^{(n)}=a^n\sin \left(ax+b+\frac{n\pi }{2}\right)}$$

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余弦

$$\boxed{[\cos (ax+b){]}^{(n)}=a^n\cos \left(ax+b+\frac{n\pi }{2}\right)}$$

所以三角函数高阶导数本质就是：

$$\boxed{\text{四阶一个周期}}$$

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三十五、幂函数的 $n$ 阶导数

对于

$$f(x)=(ax+b{)}^{\alpha },$$

有

$$\boxed{f^{(n)}(x)=a^n\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)(ax+b{)}^{\alpha -n}}$$

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三十六、对数函数高阶导数

$n\ge 1$：

$$\boxed{[\ln (ax+b){]}^{(n)}=(-1{)}^{n-1}(n-1)!\frac{a^n}{(ax+b{)}^n}}$$

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三十七、莱布尼兹公式

乘积的 $n$ 阶导数：

$$\boxed{(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}}$$

这是高阶导数核心公式。

特别适合：

$$\boxed{\text{低次多项式}\times \text{指数或三角函数}}$$

因为多项式求若干次导以后就变成 $0$。

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三十八、典型高阶导数

求

$$y=x^2{e}^{2x}$$

的 $n$ 阶导数。

由莱布尼兹公式：

$$y^{(n)}=\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)(x^2{)}^{(k)}(e^{2x}{)}^{(n-k)}.$$

因为

$$(x^2{)}^{(k)}=0,k\ge 3,$$

所以只剩三项：

$$y^{(n)}=x^2(2^n{e}^{2x})+n(2x)(2^{n-1}{e}^{2x})+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)(2)(2^{n-2}{e}^{2x}).$$

整理：

$$\boxed{y^{(n)}=2^n{e}^{2x}\left[x^2+nx+\frac{n(n-1)}{4}\right]}$$

这正是讲义中特别总结的莱布尼兹典型模型。

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三十九、求指定点的高阶导数

以后学泰勒公式、幂级数后，会有一个极其重要的方法：

若

$$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a}_k(x-x_0{)}^k,$$

那么：

$$\boxed{f^{(n)}(x_0)=n!a_n}$$

所以：

求 $f^{(n)}(0)$ 有时根本不用连续求 $n$ 次导数，只需要找到 $x^n$ 的系数。

讲义也将其列为高阶导数的重要方法，不过系统理论会在后续泰勒公式章节展开。

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四十、切线方程

对于显函数

$$y=f(x),$$

曲线过点

$$M_0(x_0,y_0),y_0=f(x_0).$$

切线斜率：

$$k=f^{\prime }(x_0).$$

因此：

$$\boxed{y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)}$$

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四十一、法线方程

法线与切线垂直。

若

$$f^{\prime }(x_0)\ne 0,$$

那么法线斜率：

$$k_n=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}.$$

所以：

$$\boxed{y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)}$$

如果

$$f^{\prime }(x_0)=0,$$

切线水平：

$$y=y_0,$$

法线竖直：

$$\boxed{x=x_0}$$

讲义将切线、法线列为导数概念的直接几何应用。

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四十二、隐式曲线的切线

若

$$F(x,y)=0,$$

在点

$$(x_0,y_0)$$

处有：

$$F_x(x_0,y_0),F_y(x_0,y_0).$$

曲线切线可以直接写成：

$$\boxed{F_x(x_0,y_0)(x-x_0)+F_y(x_0,y_0)(y-y_0)=0}$$

其中

$$(F_x,F_y)$$

实际上就是法向量。

若 $F_y\ne 0$，切线斜率：

$$\boxed{y^{\prime }=-\frac{F_x}{F_y}}$$

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四十三、两条曲线相切

这类参数题不要只写“导数相等”。

必须同时满足：

$$\boxed{\text{有公共点}}$$

以及

$$\boxed{\text{该点切线相同}}$$

一般就是：

$$\{\begin{array}{l}f(x_0)=g(x_0),\\ f^{\prime }(x_0)=g^{\prime }(x_0).\end{array}$$

如果忽略第一条，只比较导数，可能只是两条平行曲线。

讲义特别把“只比较斜率而不验证公共点”列为高频错误。

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四十四、导数的物理意义——瞬时变化率

如果

$$s=s(t)$$

表示位移，那么平均速度：

$$\frac{\Delta s}{\Delta t}.$$

令

$$\Delta t\to 0,$$

得到瞬时速度：

$$\boxed{v(t)=s^{\prime }(t)}$$

再求导：

$$\boxed{a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)}$$

同样：

质量函数

$$m(x)$$

对长度求导：

$$\boxed{\rho (x)=m^{\prime }(x)}$$

表示线密度。

电量函数：

$$Q(t)$$

则：

$$\boxed{I(t)=Q^{\prime }(t)}$$

表示电流。

功：

$$W(t)$$

则：

$$\boxed{P(t)=W^{\prime }(t)}$$

表示功率。

讲义对此的统一思想就是：

先找累计量/总量，再对相应变量求导得到瞬时量。

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四十五、考研第2章最常见的七类题

结合讲义，可以把这一章压成下面七大题型。

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四十六、求导方法总决策树

以后拿到一道求导题，推荐按这个顺序判断：

第一步：是不是特殊点？

如果出现：

• 分段点；
• 绝对值零点；
• 定义域端点；
• 只告诉某一点可导；

优先：

$$\boxed{\text{定义法}}$$

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第二步：是不是普通复合函数？

例如：

$$\sin (e^{x^2})$$

使用：

$$\boxed{\text{链式法则}}$$

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第三步：是不是连乘、连除或幂指？

例如：

$$x^x,$$ $$(\sin x{)}^x,$$

多个因子乘积。

优先：

$$\boxed{\text{对数求导}}$$

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第四步：是不是隐函数？

$$F(x,y)=0$$

使用：

$$\boxed{\text{两边对 }x\text{ 求导}}$$

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第五步：是不是参数方程？

$$x=x(t),y=y(t)$$

使用：

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{y_t^{\prime }}{x_t^{\prime }}}$$

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第六步：是不是反函数？

一阶：

$$\boxed{\frac{dx}{dy}=\frac{1}{dy/dx}}$$

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第七步：是不是变限积分？

使用：

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(v)v^{\prime }-f(u)u^{\prime }}$$

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第八步：是不是 $n$ 阶导数？

不要急着一阶一阶求。

先看：

• 能不能拆分；
• 有没有周期；
• 能不能部分分式；
• 是否是多项式乘指数；
• 能不能用莱布尼兹；
• 是否只要求某一点。

讲义的求导决策逻辑正是“先识别结构，再选择方法”。

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四十七、本章最容易犯的十个错误

结合讲义，建议直接背这一组。

1. 以为连续就一定可导。

   错。

   $|x|$

   在 $0$ 连续但不可导。

2. 分段点不算左右导数。

3. 复合函数漏乘内层导数。

4. 幂指函数直接套幂函数公式。

   如 $x^x$ 必须单独处理。

5. 隐函数求导时把 $y$ 当常数。

6. 参数函数二阶导数少除一次 $x_t^{\prime }$。

7. 反函数二阶导数仍直接按 $x$ 求导。

8. 只求分段函数各段导数，不检查连接点。

9. 两曲线相切只验证导数相等，不验证公共点。

10. 高阶导数暴力逐阶求导，不先变形找规律。

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四十八、这一章真正要形成的思维

如果只背导数公式，第2章是不够的。

真正需要形成三层能力。

第一层：理解导数

$$\boxed{\text{导数}=\text{差商极限}=\text{切线斜率}=\text{瞬时变化率}}$$

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第二层：理解微分

$$\boxed{\Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+o(\Delta x)}$$

即

$$\boxed{\text{真实变化}=\text{线性主要部分}+\text{高阶误差}}$$

这就是局部“以直代曲”。

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第三层：会识别函数结构

看到函数以后，不要立刻写公式，而是先判断：

$$\boxed{\text{显式？复合？幂指？隐式？参数？反函数？分段？高阶？}}$$

然后再决定方法。

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四十九、第2章考研复习优先级

如果按重要程度复习，建议：

第一梯队：必须完全掌握

• 导数定义；
• 左右导数；
• 可导、可微、连续关系；
• 复合函数链式法则；
• 分段函数可导性；
• 隐函数求导；
• 参数方程求导；
• 高阶导数与莱布尼兹公式。

第二梯队：必须熟练

• 对数求导；
• 幂指函数；
• 反函数求导；
• 切线与法线；
• $n$ 阶导数常见公式。

第三梯队：理解并会使用

• 微分与线性近似；
• 变限积分求导；
• 变化率应用。

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五十、一页式知识网络

最后把整章压缩成这张“脑图”：

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{导数定义}\\ \downarrow \\ f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ \downarrow \\ \text{左右导数}\to \text{分段点可导性}\\ \downarrow \\ \text{可导}⟺\text{可微}\Rightarrow \text{连续}\\ \downarrow \\ \Delta y=f^{\prime }(x)\Delta x+o(\Delta x)\\ \downarrow \\ dy=f^{\prime }(x)dx\\ \downarrow \\ \text{基本公式}+\text{四则}+\text{链式法则}\\ \downarrow \\ \{\begin{array}{l}\text{对数求导}\\ \text{幂指函数}\\ \text{反函数}\\ \text{参数函数}\\ \text{隐函数}\\ \text{变限积分}\end{array}\\ \downarrow \\ \text{高阶导数}+\text{莱布尼兹公式}\\ \downarrow \\ \text{切线、法线、变化率}\end{array}}$$

如果只记一句做题口诀，可以记：

普通点看结构，特殊点回定义；分段先连续再左右导；一阶逐层链式，高阶先变形找规律。

这基本抓住了这套本章的解题核心。