第 5 章 泰勒公式及其应用

本章研究如何用多项式局部逼近复杂函数，重点掌握皮亚诺余项、拉格朗日余项、常用展开式及泰勒公式的直接与间接应用。

这一章在考研高数中非常重要，因为它本质上解决一个问题：

复杂函数在某一点附近，到底“像什么”？

答案是：在局部范围内，可以把复杂函数替换成一个多项式，而且可以精确控制误差。

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一、本章整体知识框架

可以先把整章压缩成这一张逻辑图：

$$\boxed{\text{函数}⟶\text{泰勒展开}⟶\text{多项式+余项}}$$

然后分为两条路线。

路线一：皮亚诺余项

$$f(x)=P_n(x)+o((x-x_0{)}^n)$$

主要解决：

• 求极限；
• 比较无穷小阶；
• 判断某表达式是几阶无穷小；
• 反求参数；
• 求高阶导数；
• 复合函数展开。

路线二：拉格朗日余项

$$f(x)=P_n(x)+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$$

主要解决：

• 证明不等式；
• 估计误差；
• 证明某个高阶导数在某点满足条件；
• 中值型证明题。

所以一定先建立一个意识：

算极限，优先想到皮亚诺；证明不等式、控制误差，优先想到拉格朗日。

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二、泰勒公式究竟是什么？

假设我们研究函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 附近的行为。

最粗略的近似当然是

$$f(x)\approx f(x_0).$$

如果加入一阶导数的信息，就变成切线近似：

$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0).$$

这其实就是微分：

$$\Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x).$$

但如果要求更精确，就继续加入二阶、三阶导数：

$$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots .$$

这就是泰勒公式。

换句话说：

一阶泰勒公式就是“切线近似”，高阶泰勒公式就是“高阶多项式近似”。

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三、泰勒多项式

$f(x)$ 在 $x_0$ 处的 $n$ 次泰勒多项式为

$$T_n(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n.$$

也可以写成

$$T_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k.$$

它有一个非常重要的特点：

$$T_n^{(k)}(x_0)=f^{(k)}(x_0),k=0,1,\dots ,n.$$

也就是说，$T_n(x)$ 与 $f(x)$ 不仅函数值相同，而且前 $n$ 阶导数全部相同。

这就是为什么它能在 $x_0$ 附近很好地逼近 $f(x)$。

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四、带皮亚诺余项的泰勒公式

这是考研求极限最重要的版本。

如果 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处具有相应阶导数，则

$$\boxed{f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n)}$$

这里

$$o((x-x_0{)}^n)$$

表示比 $(x-x_0{)}^n$ 更高阶的无穷小。

即

$$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{o((x-x_0{)}^n)}{(x-x_0{)}^n}=0.$$

因此展开到 $n$ 阶之后，剩余误差相比于 $(x-x_0{)}^n$ 已经可以忽略。

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五、带拉格朗日余项的泰勒公式

如果 $f(x)$ 在 $x_0$ 与 $x$ 之间有足够阶数的连续导数，则存在介于 $x_0$ 与 $x$ 之间的 $\xi$，使

$$\boxed{f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}}$$

其中

$$\xi =x_0+\theta (x-x_0),0<\theta <1.$$

余项为

$$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}.$$

这里和皮亚诺余项最大的区别是：

皮亚诺余项

表明：

$$R_n=o((x-x_0{)}^n).$$

强调阶数。

拉格朗日余项

直接表明：

$$R_n=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}.$$

强调误差具体是多少。

因此讲义中特别强调，局部极限、无穷小阶使用皮亚诺余项，而误差、不等式和存在性问题更适合拉格朗日余项。

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六、拉格朗日中值定理其实是泰勒公式的特殊情况

令 $n=0$。

泰勒公式变为

$$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(\xi )(x-x_0).$$

即

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f^{\prime }(\xi ).$$

这正是拉格朗日中值定理。

所以可以理解为：

$$\boxed{\text{拉格朗日中值定理}=\text{0阶泰勒公式}}$$

泰勒公式其实是中值定理向高阶导数的自然推广。

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七、麦克劳林公式

当展开点为

$$x_0=0$$

时，泰勒公式称为麦克劳林公式。

皮亚诺形式：

$$\boxed{f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)}$$

考研绝大部分泰勒极限题，其实都发生在

$$x\to 0.$$

因此麦克劳林公式是本章最重要的计算工具。

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八、必须熟练掌握的五大基本展开式

这部分属于必须背熟到能直接写出来的程度。

1. $e^x$

$$\boxed{e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}+o(x^n)}$$

常用：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4).$$

尤其：

$$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots .$$

所以

$$e^x-1\sim x.$$

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九、$\sin x$

$$\boxed{\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots }$$

常用：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5).$$

因此

$$\sin x-x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$

从而

$$\sin x-x\sim -\frac{x^3}{6}.$$

这就是高阶无穷小分析的典型思想。

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十、$\cos x$

$$\boxed{\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots }$$

常用：

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+o(x^6).$$

所以

$$1-\cos x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{24}+\cdots .$$

于是

$$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}.$$

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十一、$\ln (1+x)$

$$\boxed{\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)}$$

常见：

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4).$$

所以

$$\ln (1+x)-x=-\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$

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十二、$(1+x{)}^{\alpha }$

这是非常重要的广义二项式展开：

$$\boxed{(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}{x}^2+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{3!}{x}^3+\cdots }$$

例如 $\alpha =\frac{1}{2}$：

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\cdots .$$

因此

$$\sqrt{1+x}-1\sim \frac{x}{2}.$$

再例如

$$\frac{1}{1+x}=(1+x{)}^{-1}=1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots .$$

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十三、几个非常实用的派生展开

虽然讲义把核心放在上面五个基本函数，但考试中最好额外熟练掌握：

$\arctan x$

由

$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-\cdots$$

逐项积分：

$$\boxed{\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots }$$

讲义正是利用这种方法得到 $\arctan x$ 的展开。

$e^{-x^2}$

直接把

$$t=-x^2$$

代入 $e^t$：

$$\boxed{e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\cdots }$$

这也是讲义中的典型复合展开方法。

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十四、奇函数、偶函数能帮助你少展开一半

如果 $f(x)$ 是奇函数，那么麦克劳林展开只有奇次幂：

$$f(x)=a_{1}x+a_3{x}^3+a_5{x}^5+\cdots .$$

如果 $f(x)$ 是偶函数，那么只有偶次幂：

$$f(x)=a_0+a_2{x}^2+a_4{x}^4+\cdots .$$

例如：

$$\sin x$$

是奇函数，所以不可能出现 $x^2,x^4$。

而

$$\cos x$$

是偶函数，所以不可能出现 $x,x^3,x^5$。

在选择题里这一点有时可以直接秒杀。

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十五、泰勒公式的唯一性

这是本章一个非常关键但容易被忽视的理论。

如果

$$f(x)=A_0+A_1(x-x_0)+\cdots +A_n(x-x_0{)}^n+o((x-x_0{)}^n),$$

那么一定有

$$A_k=\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}.$$

也就是：

$$\boxed{f^{(k)}(x_0)=k!A_k}$$

讲义把这一性质作为泰勒公式“间接求法”和高阶导数计算的重要依据。

例如

$$f(x)=e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\cdots .$$

所以：

$$f^{\prime }(0)=0,$$ $$\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}=-1,$$

因此

$$f^{\prime \prime }(0)=-2!.$$

一般地，

$$f^{(2m)}(0)=(2m)!\frac{(-1{)}^m}{m!},$$

而

$$f^{(2m-1)}(0)=0.$$

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十六、泰勒展开的直接求法

如果题目要求求一个函数在 $x_0$ 处展开，而函数导数非常规律，就直接求：

$$f(x_0),f^{\prime }(x_0),f^{\prime \prime }(x_0),\dots$$

再代入

$$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0{)}^k+o((x-x_0{)}^n).$$

这种方法理论上最直接。

但考研中大量函数直接求四五阶导数会很麻烦，所以更重要的是间接展开。

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十七、间接展开法——本章计算的核心

讲义重点总结了几种操作：四则运算、复合变量替换、逐项求导与逐项积分。

方法1：两个展开式相乘

例如求

$$\sqrt{1+x}\cos x$$

到三阶。

有

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}{x}^2+\frac{1}{16}{x}^3+o(x^3),$$ $$\cos x=1-\frac{1}{2}{x}^2+o(x^3).$$

于是相乘：

$$\sqrt{1+x}\cos x=1+\frac{1}{2}x-\frac{5}{8}{x}^2-\frac{3}{16}{x}^3+o(x^3).$$

这正是讲义中的典型例题。

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十八、复合函数展开

例如求

$$e^{-x^2}.$$

不要真的连续求导。

直接利用

$$e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\cdots$$

令

$$t=-x^2.$$

得到

$$e^{-x^2}=1-x^2+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\cdots .$$

这类题的关键是：

先展开外层函数，再把内层变量代进去。

例如

$$\sin (x^2)=x^2-\frac{x^6}{6}+\frac{x^{10}}{120}+\cdots .$$

注意阶数会发生变化。

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十九、积分会使无穷小阶“升一阶”

如果

$$f(t)=A{t}^n+o(t^n),$$

那么

$${\int }_0^{x}f(t)dt=\frac{A}{n+1}{x}^{n+1}+o(x^{n+1}).$$

所以记住：

$$\boxed{\text{积分通常让阶数增加1}}$$

讲义中的重要例子：

$$e^t-1-t=\frac{t^2}{2}+o(t^2).$$

平方：

$$(e^t-1-t{)}^2=\frac{1}{4}{t}^4+o(t^4).$$

积分：

$${\int }_0^x(e^t-1-t{)}^{2}dt=\frac{1}{20}{x}^5+o(x^5).$$

所以

$$\boxed{{\int }_0^x(e^t-1-t{)}^{2}dt}$$

是 $x$ 的五阶无穷小。这是典型例题。

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二十、$o(x^n)$ 的运算法则

泰勒运算非常依赖小 $o$。

例如：

$$o(x^n)+o(x^m)=o(x^{\min (n,m)}).$$

若 $n\le m$：

$$o(x^n)+o(x^m)=o(x^n).$$

以及

$$x^{m}o(x^n)=o(x^{m+n}),$$ $$o(x^m)o(x^n)=o(x^{m+n}).$$

例如

$${\left(\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)}^2.$$

展开：

$$\frac{x^4}{4}+x^{2}o(x^2)+[o(x^2){]}^2.$$

于是

$$=\frac{x^4}{4}+o(x^4).$$

讲义特别提醒，在间接展开中要熟练使用这些无穷小运算法则。

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二十一、考研最重要题型一：泰勒公式求极限

这是整章最重要的计算题型。

核心不是“展开得越多越好”，而是：

刚好展开到第一个不能被消掉的非零项。

设

$$f(x)=A{x}^m+o(x^m),$$ $$g(x)=B{x}^n+o(x^n),B\ne 0.$$

那么

$$\frac{f(x)}{g(x)}\sim \frac{A}{B}{x}^{m-n}.$$

所以：

• $m=n$：极限为 $\frac{A}{B}$；
• $m>n$：极限为 $0$；
• $m<n$：通常发散到无穷或需判断符号。

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二十二、典型例题：高阶消项极限

典型例题：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x^2}{2}+1-\sqrt{1+x^2}}{(\cos x-e^{x^2})\sin (x^2)}.$$

先看分子。

$$\sqrt{1+x^2}=1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^4).$$

于是

$$1+\frac{x^2}{2}-\sqrt{1+x^2}=\frac{x^4}{8}+o(x^4).$$

再看分母第一部分：

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2),$$ $$e^{x^2}=1+x^2+o(x^2).$$

所以

$$\cos x-e^{x^2}=-\frac{3}{2}{x}^2+o(x^2).$$

同时

$$\sin (x^2)\sim x^2.$$

因此分母：

$$(\cos x-e^{x^2})\sin (x^2)\sim -\frac{3}{2}{x}^4.$$

最终：

$$\boxed{\lim =\frac{1/8}{-3/2}=-\frac{1}{12}}.$$

这道题非常典型，因为它表明：

极限真正比的不是完整函数，而是双方第一个非零项的系数与阶数。

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二十三、怎样判断“到底展开到几阶”？

这是泰勒题最重要的解题技巧之一。

例如

$$e^x-1-x.$$

如果只展开

$$e^x=1+x+o(x),$$

那么代回去：

$$e^x-1-x=o(x).$$

这没有告诉我们主项是什么。

继续展开：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$

于是

$$e^x-1-x=\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$

找到第一个非零项，可以停。

所以做题原则是：

$$\boxed{\text{消掉几阶，就至少再往后展开一阶}}$$

但严格说，更准确的是：

一直展开到最终第一个非零项明确出现为止。

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二十四、题型二：确定无穷小阶

如果

$$f(x)=A{x}^n+o(x^n),A\ne 0,$$

那么

$$\boxed{f(x)\text{ 是 }x\text{ 的 }n\text{ 阶无穷小}}$$

因为

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x^n}=A\ne 0.$$

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二十五、从导数判断无穷小阶

假设

$$f(0)=f^{\prime }(0)=\cdots =f^{(n-1)}(0)=0,$$

但

$$f^{(n)}(0)\ne 0.$$

那么

$$f(x)=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n).$$

所以：

$$\boxed{\text{最先不为0的导数是第几阶，函数就是几阶无穷小}}$$

这是非常好用的结论。

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二十六、题型三：利用“几阶无穷小”反求参数

讲义中一个非常典型的例子：

设

$$f(x)=x-(a+b{e}^{x^2})\sin x,$$

要求 $f(x)$ 当 $x\to 0$ 时为 $x$ 的五阶无穷小。

展开：

$$e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2}+o(x^5),$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5).$$

首先

$$a+b{e}^{x^2}=a+b+b{x}^2+\frac{b}{2}{x}^4+o(x^5).$$

相乘得到

$$(a+b{e}^{x^2})\sin x=(a+b)x+\left[b-\frac{a+b}{6}\right]x^3+\left[\frac{b}{3}+\frac{a+b}{120}\right]x^5+o(x^5).$$

于是

$$f(x)=[1-a-b]x-\left[b-\frac{a+b}{6}\right]x^3-\left[\frac{b}{3}+\frac{a+b}{120}\right]x^5+o(x^5).$$

要使它是五阶无穷小，首先必须消掉低阶项：

$$1-a-b=0,$$ $$b-\frac{a+b}{6}=0.$$

第一式：

$$a+b=1.$$

代入第二式：

$$b=\frac{1}{6}.$$

因此

$$a=\frac{5}{6}.$$

而此时五次项系数为非零数，因此确实是五阶。

最终

$$\boxed{a=\frac{5}{6},b=\frac{1}{6}}$$

这类题的统一思维就是：

$$\boxed{\text{目标是 }n\text{ 阶}\Rightarrow \text{让所有低于 }n\text{ 阶的项全部消失}}$$

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二十七、题型四：利用展开式求高阶导数

如果已经得到

$$f(x)=A_0+A_{1}x+A_2{x}^2+\cdots +A_n{x}^n+o(x^n),$$

直接利用唯一性：

$$A_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}.$$

因此

$$\boxed{f^{(n)}(0)=n!A_n}$$

比如若

$$f(x)=1+2x-3x^2+5x^3+o(x^3),$$

那么

$$f^{\prime \prime \prime }(0)=3!\cdot 5=30.$$

这比连续求三次导数快得多。

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二十八、非零点展开怎么办？

例如要求 $x\to 1$。

最方便的方法一般是令

$$h=x-1.$$

于是

$$h\to 0,x=1+h.$$

将原问题全部改写成 $h$。

例如

$$\ln x=\ln (1+h).$$

于是

$$\ln x=h-\frac{h^2}{2}+\frac{h^3}{3}+o(h^3).$$

即

$$\boxed{\ln x=(x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}+o((x-1{)}^3)}$$

所以非零点展开的本质就是：

$$\boxed{h=x-x_0}$$

再把问题化成 $h\to 0$。

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二十九、题型五：幂指型极限 + 泰勒

例如

$$\underset{x\to 0}{\lim }[1+f(x){]}^{1/x^n}.$$

这种题一般先取对数。

令极限为 $L$，则

$$\ln L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+f(x))}{x^n}.$$

若

$$f(x)\to 0,$$

则

$$\ln (1+f(x))=f(x)-\frac{f^2(x)}{2}+\cdots .$$

特别地，如果

$$f(x)=A{x}^n+o(x^n),$$

那么通常

$$\ln (1+f(x))=A{x}^n+o(x^n),$$

所以

$$\ln L=A,$$ $$\boxed{L=e^A}.$$

这也是泰勒、重要极限和 $1^{\infty }$ 型极限之间的统一关系。

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三十、题型六：利用拉格朗日余项证明不等式

这类题和求极限完全不同。

例如证明

$$e^x\ge 1+x.$$

在 $0$ 处使用一阶泰勒公式：

$$e^x=1+x+\frac{e^{\xi }}{2}{x}^2.$$

因为

$$e^{\xi }>0,x^2\ge 0,$$

所以

$$\frac{e^{\xi }}{2}{x}^2\ge 0.$$

因此

$$\boxed{e^x\ge 1+x}$$

等号仅在 $x=0$ 时成立。

这就是拉格朗日余项证明不等式的核心：

$$\boxed{f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}}$$

然后判断右侧符号。

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三十一、证明题最关键的是“展开点选哪里”

这是拉格朗日余项题真正的难点。

可以发现题目往往给：

• $f(a)$；
• $f^{\prime }(a)$；
• $f(b)$；
• 某些导数为 $0$；
• 某些导数有界。

为什么给这些？

因为它是在提示你：

在这些信息最丰富的点展开。

如果知道

$$f(a),f^{\prime }(a),f^{\prime \prime }(a),$$

自然优先在 $a$ 点展开：

$$f(x)=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2}(x-a{)}^2+\cdots .$$

不要随便全部在 $0$ 展开。

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三十二、对称展开技巧

如果要求估计 $f^{\prime \prime }(x)$，有时可以同时写：

$$f(x+h)$$

与

$$f(x-h).$$

例如：

$$f(x+h)=f(x)+h{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2}{f}^{\prime \prime }(x)+\frac{h^3}{6}{f}^{\prime \prime \prime }({\xi }_1),$$ $$f(x-h)=f(x)-h{f}^{\prime }(x)+\frac{h^2}{2}{f}^{\prime \prime }(x)-\frac{h^3}{6}{f}^{\prime \prime \prime }({\xi }_2).$$

两式相加：

$$f(x+h)+f(x-h)=2f(x)+h^2{f}^{\prime \prime }(x)+\text{余项}.$$

一阶导数项自动消掉。

这就是一种非常重要的对称消项思想。

典型例题正是利用 $x+1$ 和 $x-1$ 两个方向的泰勒公式来估计 $f^{\prime \prime }(x)$。

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三十三、泰勒公式和洛必达法则是什么关系？

很多极限两种方法都可以做。

例如

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-x}{x^2}.$$

洛必达

连续两次求导。

泰勒

直接：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$

于是

$$e^x-1-x=\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$

所以

$$\boxed{\lim =\frac{1}{2}}$$

泰勒的优势主要出现在：

1. 高阶消项

例如

$$e^x-1-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{6}.$$

泰勒直接看到主项。

2. 多个复杂函数混合

如

$$\sin x,e^{x^2},\sqrt{1+x^2}$$

同时出现。

3. 需要知道无穷小阶

洛必达可能算出极限，但泰勒能直接表明到底是几阶。

因此：

泰勒不是简单替代洛必达，而是能够直接揭示函数的局部结构。

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三十四、泰勒与等价无穷小的关系

我们以前背：

$$\sin x\sim x,$$ $$\tan x\sim x,$$ $$e^x-1\sim x,$$ $$\ln (1+x)\sim x,$$ $$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}.$$

其实这些全部来自泰勒公式。

例如

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$

所以

$$\sin x=x+o(x),$$

于是

$$\sin x\sim x.$$

但泰勒比等价无穷小更强。

例如：

$$\sin x-x.$$

如果只知道

$$\sin x\sim x,$$

无法处理，因为两个主项相减消掉。

泰勒则直接得到：

$$\sin x-x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

所以

$$\boxed{\sin x-x\sim -\frac{x^3}{6}}$$

这就是泰勒公式在高阶极限中极其强大的原因。

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三十五、什么时候不能简单使用等价无穷小？

非常重要。

等价无穷小一般安全用于乘除结构：

$$\frac{\sin x}{e^x-1}\sim \frac{x}{x}=1.$$

但对加减法，例如

$$\sin x-x,$$

不能写

$$\sin x-x\sim x-x=0.$$

这是错误的。

遇到

$$f(x)-g(x)$$

而 $f(x),g(x)$ 的低阶主项会抵消时，应当：

$$\boxed{\text{用泰勒展开继续往高阶找}}$$

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三十六、泰勒题最重要的“主项思想”

假设最后化成

$$f(x)=3x^5-2x^7+o(x^7).$$

那么在 $x\to 0$ 时，

$$3x^5$$

决定主要行为。

所以

$$f(x)\sim 3x^5.$$

我们称

$$3x^5$$

为主项。

因此这一章做极限实际上不断做一件事情：

$$\boxed{\text{找最低次非零项}}$$

一旦找到，就可以停止。

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三十七、考研泰勒极限标准解题流程

以后看到 $x\to 0$ 的复杂未定式，可以按这个流程：

第一步：判断能否直接等价

如果是简单乘除：

$$\sin x,e^x-1,\ln (1+x)$$

通常先考虑等价无穷小。

第二步：检查是否有加减消项

例如：

$$e^x-1-x,$$ $$\sin x-x,$$ $$1-\cos x-\frac{x^2}{2}.$$

一旦有消项，优先泰勒。

第三步：预判需要展开多少阶

看分母阶数、题目消掉的项和不同函数之间的抵消。

第四步：每个函数只展开到必要阶数

不要无限展开。

第五步：找到分子、分母最低次非零项

写成

$$f(x)=A{x}^m+o(x^m),$$ $$g(x)=B{x}^n+o(x^n).$$

第六步：比较阶数和系数

结束。

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三十八、本章特别容易犯的错误

错误1：展开阶数不够

例如

$$e^x-1-x.$$

只展开到一阶没有意义。

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错误2：展开过多

如果分母是 $x^4$，且此时已经发现分子：

$$f(x)=\frac{1}{3}{x}^4+o(x^4),$$

继续展开 $x^5,x^6$ 一般没有意义。

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错误3：忽视低阶项消掉

例如

$$\cos x-e^{-x^2/2}.$$

两者前两项可能相同，需要继续展开。

所以不要分别看到

$$\cos x\sim 1,e^{-x^2/2}\sim 1$$

就停止。

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错误4：把 $o(x^3)$ 当成 $O(x^3)$

二者不同。

$$o(x^3)$$

表示严格比 $x^3$ 高阶：

$$\frac{o(x^3)}{x^3}\to 0.$$

而

$$O(x^3)$$

只是说明“不超过 $x^3$ 的数量级”。

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错误5：求“恰为五阶无穷小”只把低阶项消掉

还必须检查：

$$x^5$$

系数确实不等于0。

否则有可能其实是六阶、七阶甚至更高阶。

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错误6：非零点展开仍写 $x^n$

如果展开点为 $x_0$，正确的小量是

$$x-x_0.$$

应该写

$$o((x-x_0{)}^n),$$

而不是机械写成 $o(x^n)$。

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三十九、本章题型总结

按照讲义的内容，可以把考试中的第5章问题压缩成几类。讲义本身重点覆盖极限、无穷小阶、高阶导数、不等式以及高阶导数特征点等应用。

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四十、五个核心公式必须达到“脱口而出”

建议最终至少熟练到这一组：

$$\boxed{e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\cdots }$$ $$\boxed{\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+\cdots }$$ $$\boxed{\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^6}{720}+\cdots }$$ $$\boxed{\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots }$$ $$\boxed{(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}{x}^3+\cdots }$$

再额外掌握：

$$\boxed{\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots }$$

基本就能覆盖绝大多数考研泰勒计算题。

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四十一、整章最核心的三个思想

如果最后只记三件事情，就记这三个。

第一：泰勒公式的本质是“局部多项式化”

$$\boxed{\text{复杂函数}\approx \text{简单多项式}}$$

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第二：极限的本质是找最低次非零项

例如：

$$f(x)=A{x}^m+\text{更高阶项}.$$

则

$$f(x)\sim A{x}^m.$$

所以大量泰勒极限，本质不是“展开”，而是：

$$\boxed{\text{消项}\to \text{继续展开}\to \text{找到第一个非零项}}$$

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第三：两种余项用途一定分清

皮亚诺

$$o(x^n)$$

解决：

$$\boxed{\text{极限、无穷小阶、高阶导数}}$$

拉格朗日

$$\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}{x}^{n+1}$$

解决：

$$\boxed{\text{不等式、误差、中间点、导数估计}}$$

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四十二、第5章最终解题框架

可以把整章最终压缩为：

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{看到 }x\to 0\text{ 的复杂极限}\\ \downarrow \\ \text{判断是否存在加减消项}\\ \downarrow \\ \text{调用五个基本展开式}\\ \downarrow \\ \text{根据消项决定展开阶数}\\ \downarrow \\ f(x)=A{x}^m+o(x^m)\\ g(x)=B{x}^n+o(x^n)\\ \downarrow \\ \text{比较 }m,n\text{ 与 }A,B\end{array}}$$

而证明题则是：

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{看题目给了哪些函数值、导数值}\\ \downarrow \\ \text{选择最合适的展开点}\\ \downarrow \\ \text{写带拉格朗日余项的泰勒公式}\\ \downarrow \\ \text{利用已知条件大量消项}\\ \downarrow \\ \text{控制余项符号或大小}\\ \downarrow \\ \text{得到不等式或中间点结论}\end{array}}$$

这也是第5章真正需要形成的做题反射。讲义中的典型例题从复合展开、积分型无穷小，到高阶极限和拉格朗日余项证明，基本都围绕这两条主线展开。

如果按考研重要性排序，第5章最值得重点训练的是：**① 五大展开式 → ② 展开阶数判断 → ③ 高阶极限 → ④ 参数消项与无穷小阶 → ⑤ 由系数求高阶导数 → ⑥ 拉格朗日余项证明题。**掌握这六块，第5章的主体题型就基本建立起来了。