第 6 章常微分方程

掌握常见一阶与高阶微分方程的识别、求解和简单建模方法。

本章的核心是“先识别结构，再选择方法”，系统整理可分离变量、一阶线性、齐次、伯努利、全微分以及可降阶和常系数线性微分方程。

整章最重要的一句话可以先记住：

先识别结构，再选择方法。

一、本章到底在研究什么？

前面学导数时，通常是：

已知函数 $y = f (x)$ ，求

y^{'}, y^{''}, \dots

而微分方程反过来了：

已知 $y, y^{'}, y^{''}$ 等之间满足某种关系，反过来求 $y$ 。

例如

y^{'} = 2 x

实际上就是问：

什么函数的导数等于 $2 x$ ？

显然

y = x^{2} + C .

再比如

y^{''} + y = 0

是在找所有满足这个关系的函数。

我们知道

cos x, sin x

都满足，于是通解为

y = C_{1} cos x + C_{2} sin x .

所以微分方程的本质就是：

已知函数与导数的关系，反求函数

讲义中将第 6 章分成：

基本概念；
一阶微分方程；
可降阶高阶方程；
含变限积分的方程；
线性微分方程解的结构；
常系数线性微分方程；
欧拉方程；
微分方程应用。

二、先建立一个“识别题型”的总框架

考研遇到一个微分方程，建议按下面顺序扫描。

一阶方程

看到

F (x, y, y^{'}) = 0

依次想：

能否分离变量？ ↓ 是否一阶线性？ ↓ 是否只含 y / x ？ ↓ 是否伯努利方程？ ↓ 是否全微分方程？ ↓ 交换 x, y 后能否变简单？

这也正是讲义推荐的一阶方程识别顺序。

二阶及高阶方程

先看：

常系数线性？ \to 欧拉方程？ \to 是否缺少 x 或 y ？

三、微分方程的基本概念

1. 阶数

微分方程中出现的最高阶导数的阶数叫方程的阶。

例如

(y^{''})^{3} + y^{'} = x

虽然 $y^{''}$ 有三次方，但最高导数仍然只是二阶导数，因此这是：

二阶微分方程

不是六阶。

四、什么叫线性微分方程？

这一概念非常重要。

一般 $n$ 阶线性方程写成

a_{n} (x) y^{(n)} + a_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (x) y^{'} + a_{0} (x) y = f (x) .

线性的核心要求：

$y$ 只出现一次；
$y^{'}$ 只出现一次；
$y^{''}$ 只出现一次；
它们不能彼此相乘；
系数只能依赖 $x$ 。

例如

y^{''} + x y^{'} + x^{2} y = sin x

是线性的。

但是

y y^{'} + y = 0

不是，因为出现了

y y^{'} .

下面也不是：

(y^{'})^{2} + y = 0,

sin y + y^{'} = 0,

y^{''} + e^{y} = 0.

讲义中特别强调，像 $y^{2}, (y^{'})^{2}, y y^{'}, sin y, e^{y}$ 等结构都会破坏线性。

五、解、通解、特解、初值问题

1. 解

如果

y = φ (x)

代入微分方程后恒成立，就称其为方程的解。

例如

y^{'} = y .

取

y = e^{x},

因为

y^{'} = e^{x} = y,

所以它是一个解。

实际上

y = C e^{x}

都满足。

2. 通解

通常一个 $n$ 阶微分方程的通解中含 $n$ 个相互独立的任意常数。

例如

y^{''} = 0.

积分一次：

y^{'} = C_{1} .

再积分：

y = C_{1} x + C_{2} .

所以

y = C_{1} x + C_{2}

是通解。

3. 特解

如果任意常数已经被确定，例如

y = 2 x + 3,

就是特解。

4. 初值问题

例如

⎩ ⎨ ⎧ y^{''} + y = 0, y (0) = 1, y^{'} (0) = 2.

先求通解：

y = C_{1} cos x + C_{2} sin x .

于是

y (0) = C_{1} = 1.

再求导：

y^{'} = - C_{1} sin x + C_{2} cos x .

所以

y^{'} (0) = C_{2} = 2.

最终

y = cos x + 2 sin x .

初值问题的标准套路就是：

求通解 \to 代初值 \to 确定常数

六、一阶微分方程：本章第一大核心

讲义把一阶方程的三个基本类型概括为：

变量可分离；
一阶线性；
全微分方程；

齐次方程可以化成变量可分离方程，伯努利方程可以化成一阶线性方程。

七、题型一：变量可分离方程

这是最基础、也最应该第一眼检查的题型。

1. 标准形式

若

y^{'} = f (x) g (y),

就可以写成

\frac{d y}{g ( y )} = f (x) d x .

然后两边积分：

\int \frac{d y}{g ( y )} = \int f (x) d x + C

2. 例题

求

y^{'} = x y .

因为

\frac{d y}{d x} = x y,

分离：

\frac{d y}{y} = x d x .

积分：

ln ∣ y ∣ = \frac{x ^{2}}{2} + C .

指数化：

∣ y ∣ = C e^{x^{2} /2} .

把正负号并入常数：

y = C e^{x^{2} /2}

八、分离变量最大的陷阱：漏解

假设

y^{'} = x (y - 1) .

若直接除以 $y - 1$ ：

\frac{d y}{y - 1} = x d x,

其实隐含了

y - 1 \neq = 0.

但是原方程中若

y = 1,

则

y^{'} = 0

右边也等于

x (1 - 1) = 0.

所以

y = 1

本身也是一个解。

因此讲义反复提醒：

分离变量过程中，如果除掉了一个含未知函数的因子，一定检查该因子等于零时是否产生常值解。

这是考研非常喜欢设置的坑。

九、题型二：一阶线性微分方程

1. 标准形式

必须先化成

y^{'} + p (x) y = q (x)

注意：

$y^{'}$ 前面的系数必须先化为 $1$ 。

例如

x y^{'} + 2 y = x^{2}

不能直接套公式。

先除以 $x$ ：

y^{'} + \frac{2}{x} y = x .

这才是标准形式。

十、一阶线性方程为什么要用积分因子？

这是理解比背公式更重要。

考虑

y^{'} + p (x) y = q (x) .

我们希望左边能变成：

(μ y)^{'} .

因为

(μ y)^{'} = μ y^{'} + μ^{'} y .

如果令

μ^{'} = p (x) μ,

则

\frac{μ ^{'}}{μ} = p (x) .

积分：

ln μ = \int p (x) d x .

所以

μ = e^{\int p (x) d x}

这就是积分因子。

于是

(μ y)^{'} = μ q .

积分：

μ y = \int μ q d x + C .

所以

y = e^{- \int p (x) d x} [C + \int q (x) e^{\int p (x) d x} d x]

讲义实际上建议记核心关系，而不是死背最终式：

(μ y)^{'} = μ q

其中

μ = e^{\int p (x) d x}

这样几乎不会写错。

十一、一阶线性方程例题

求

y^{'} - 2 y = e^{3 x} .

这里

p (x) = - 2.

因此积分因子

μ = e^{\int - 2 d x} = e^{- 2 x} .

方程乘以 $e^{- 2 x}$ ：

e^{- 2 x} y^{'} - 2 e^{- 2 x} y = e^{x} .

左边就是

(e^{- 2 x} y)^{'} .

因此

(e^{- 2 x} y)^{'} = e^{x} .

积分：

e^{- 2 x} y = e^{x} + C .

所以

y = e^{3 x} + C e^{2 x}

可以看到结果天然分成：

非齐次特解 + 对应齐次通解

后面高阶线性微分方程也是完全相同的思想。

十二、题型三：全微分方程

1. 标准形式

写成

P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0.

如果存在函数

u (x, y)

使

d u = P d x + Q d y,

则

u_{x} = P, u_{y} = Q .

于是沿解曲线

d u = 0,

所以

u (x, y) = C

2. 如何判断是不是全微分？

在适当区域内检查：

P_{y} = Q_{x}

若成立，则通常为全微分方程。

十三、全微分方程怎么求 $u$ ？

最重要的是不定积分法。

已知

u_{x} = P (x, y) .

对 $x$ 积分：

u = \int P (x, y) d x + φ (y) .

这里千万别只写 $+ C$ 。

为什么？

因为对 $x$ 求偏导时，任何只依赖 $y$ 的函数都会消失。

所以必须写

φ (y) .

然后求

u_{y}

与 $Q$ 比较。

例题

求

(2 x y + 1) d x + (x^{2} + 2 y) d y = 0.

这里

P = 2 x y + 1, Q = x^{2} + 2 y .

检查：

P_{y} = 2 x,

Q_{x} = 2 x .

成立。

由

u_{x} = 2 x y + 1

对 $x$ 积分：

u = x^{2} y + x + φ (y) .

于是

u_{y} = x^{2} + φ^{'} (y) .

与

Q = x^{2} + 2 y

比较：

φ^{'} (y) = 2 y .

所以

φ (y) = y^{2} .

最终：

x^{2} y + x + y^{2} = C

十四、全微分方程里的“凑微分”

常见结构值得直接识别：

x d x + y d y = \frac{1}{2} d (x^{2} + y^{2}),

y d x + x d y = d (x y),

以及

\frac{x d x + y d y}{x ^{2} + y ^{2}} = \frac{1}{2} d ln (x^{2} + y^{2}) .

复杂题有时直接凑微分比按 $u_{x}, u_{y}$ 求更快。讲义也把“凑微分法”列为全微分方程的重要方法。

十五、题型四：齐次方程

这里的“齐次”千万不要和“线性齐次方程”混淆。

这里特指一阶方程：

y^{'} = f (\frac{y}{x})

看到右边只依赖

\frac{y}{x}

立刻令

u = \frac{y}{x}

也就是

y = ux .

求导：

y^{'} = u + x u^{'} .

代入：

u + x u^{'} = f (u) .

所以

x u^{'} = f (u) - u .

分离：

\frac{d u}{f ( u ) - u} = \frac{d x}{x}

于是问题变成变量可分离方程。

十六、齐次方程的漏解

如果

f (u) - u = 0

有根

u = u_{0},

那么在分离时若除以 $f (u) - u$ ，可能漏掉：

u = u_{0} .

即

y = u_{0} x

所以：

齐次方程也要检查分母为零产生的直线解

这一点讲义也专门提示。

十七、题型五：伯努利方程

这是考试非常重要的一种“伪线性”。

标准形式：

y^{'} + p (x) y = q (x) y^{α}

其中

α \neq = 0, 1.

如果 $α = 0$ ，本身就是线性；

如果 $α = 1$ ，整理后仍然是线性。

核心代换

两边除以

y^{α},

得到

y^{- α} y^{'} + p (x) y^{1 - α} = q (x) .

令

z = y^{1 - α}

那么

z^{'} = (1 - α) y^{- α} y^{'} .

于是就变成一个关于 $z$ 的一阶线性方程：

z^{'} + (1 - α) p (x) z = (1 - α) q (x)

所以伯努利方程并不需要背新解法。

本质就是：

伯努利 z = y^{1 - α} 一阶线性

讲义也把这个代换视为伯努利方程最核心的记忆点。

十八、一阶方程还有一个重要技巧：交换 $x, y$

有些方程如果硬把 $y$ 看成 $x$ 的函数，非常难。

但是利用

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{d y / d x},

把 $x$ 看成 $y$ 的函数后，可能立刻变成一阶线性方程。

例如如果能整理成

\frac{d y}{d x} = \frac{h ( y )}{p ( y ) x + q ( y )},

取倒数：

\frac{d x}{d y} = \frac{p ( y )}{h ( y )} x + \frac{q ( y )}{h ( y )} .

这已经是关于 $x (y)$ 的线性方程。

所以以后看到：

x

在方程里是一次的，而 $y$ 的结构比较复杂，可以尝试：

把 x 当未知函数

十九、高阶方程：可降阶问题

讲义把可降阶高阶方程归纳成三个核心类型。

二十、类型一：直接积分型

若

y^{(n)} = f (x),

那就直接连续积分 $n$ 次。

例如

y^{''} = 6 x .

积分：

y^{'} = 3 x^{2} + C_{1} .

继续积分：

y = x^{3} + C_{1} x + C_{2}

注意：

每积分一次，就要出现一个新的独立常数。

二十一、类型二：不显含 $y$

形如

y^{''} = f (x, y^{'})

方程里有：

$x$
$y^{'}$
$y^{''}$

但没有 $y$ 。

令

p = y^{'}

于是

p^{'} = y^{''} .

原二阶方程降低成：

p^{'} = f (x, p) .

先解 $p$ ，再解

y^{'} = p (x) .

口诀：

不含 y \Rightarrow p = y^{'} \Rightarrow p = p (x)

二十二、类型三：不显含 $x$

如果方程是

y^{''} = f (y, y^{'})

里面没有 $x$ 。

仍令

p = y^{'},

但关键区别是：

p = p (y)

而不是 $p = p (x)$ 。

由链式法则：

y^{''} = \frac{d p}{d x} = \frac{d p}{d y} \frac{d y}{d x} .

因为

\frac{d y}{d x} = p,

所以

y^{''} = p \frac{d p}{d y}

于是方程变成

p \frac{d p}{d y} = f (y, p) .

解出 $p (y)$ ，再利用

y^{'} = p (y)

分离变量。

这一公式是第 6 章必须烂熟的：

不显含 x ⟹ y^{''} = p \frac{d p}{d y}

二十三、为什么不含 $x$ 时会出现这个公式？

这是很多人只是背公式而没真正理解的地方。

因为

p = y^{'} .

如果把 $p$ 看成 $y$ 的函数：

p = p (y) .

而 $y = y (x)$ 。

那么实际上：

p = p (y (x)) .

于是对 $x$ 求导：

\frac{d p}{d x} = \frac{d p}{d y} \frac{d y}{d x} .

而

\frac{d y}{d x} = p .

因此

y^{''} = \frac{d p}{d x} = p \frac{d p}{d y}

这样就不用死记了。

二十四、含变限积分的方程

这一类题本质上是：

积分关系 求导 微分方程

讲义对此专门列为一类重要问题。

典型例题

讲义中有：

f (t) = cos 2 t + \int_{0}^{t} f (s) sin s d s .

对两边求导：

f^{'} (t) = - 2 sin 2 t + f (t) sin t .

整理：

f^{'} (t) - f (t) sin t = - 2 sin 2 t .

于是就变成一阶线性微分方程。

但还有一件极其重要的事：

从原方程令

t = 0,

得到

f (0) = 1.

所以其实转化成：

一阶线性微分方程 + 初始条件

最后得到讲义中的结果：

f (t) = e^{1 - c o s t} + 4 (cos t - 1)

二十五、含变限积分方程为什么一定要找初值？

因为：

求导

可能会丢掉常数信息。

例如

F (x) = G (x) .

求导后得到

F^{'} (x) = G^{'} (x) .

但反过来只能推出

F (x) = G (x) + C .

所以只解求导之后的微分方程，可能得到一个比原问题更大的解集。

因此标准套路一定是：

原积分方程 \to 求导 \to 微分方程 \to 从原式找初值 \to 求特解 \to 必要时代回检查

讲义把“求导后丢失初始条件”和“没有代回原式检查”列为该题型的重要易错点。

二十六、线性微分方程解的结构：选择题高频

下面进入本章非常重要的理论部分。

考虑二阶线性方程

L [y] = y^{''} + p (x) y^{'} + q (x) y .

齐次方程

L [y] = 0.

非齐次方程

L [y] = f (x) .

最重要的特点是：

L [α y_{1} + β y_{2}] = α L [y_{1}] + β L [y_{2}]

这叫线性。

二十七、齐次方程的叠加原理

若

L [y_{1}] = 0,

L [y_{2}] = 0,

那么

L [C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}] = 0.

所以

C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}

仍然是解。

若 $y_{1}, y_{2}$ 线性无关，则：

y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2}

就是二阶齐次方程通解。

二十八、两个非齐次解相减，会发生什么？

如果

L [y_{1}] = f (x),

L [y_{2}] = f (x),

那么

L [y_{1} - y_{2}] = f (x) - f (x) = 0.

所以：

同一个非齐次方程的两个解之差，是对应齐次方程的解

这是考研选择填空题极高频性质。

二十九、非齐次方程通解结构

如果

y_{h}

是齐次方程通解，

y_{p}

是非齐次方程的任意一个特解，

则非齐次方程通解：

y = y_{h} + y_{p}

所以做非齐次线性微分方程的思想永远是：

非齐次通解 = 对应齐次通解 + 一个非齐次特解

三十、一个非常典型的结构题

讲义中给出：

如果

y_{1}, y_{2}, y_{3}

都是同一个二阶非齐次线性微分方程的解，而且三者线性无关。

那么

y_{1} - y_{3}

和

y_{2} - y_{3}

都是对应齐次方程的解。

所以通解可以写为

y = y_{3} + C_{1} (y_{1} - y_{3}) + C_{2} (y_{2} - y_{3})

整理：

y = C_{1} y_{1} + C_{2} y_{2} + (1 - C_{1} - C_{2}) y_{3}

这正是讲义中的高频选择题结构。

由此还能看出一个非常好用的规律：

对于同一非齐次方程的解

y_{1}, \dots, y_{k},

线性组合

a_{1} y_{1} + \dots + a_{k} y_{k}

若系数满足

a_{1} + \dots + a_{k} = 1

则它仍然满足同一个非齐次方程。

若

a_{1} + \dots + a_{k} = 0,

则组合满足对应齐次方程。

三十一、二阶常系数齐次线性方程

标准形式：

y^{''} + p y^{'} + q y = 0

其中 $p, q$ 是常数。

令试探解

y = e^{λ x} .

则

y^{'} = λ e^{λ x},

y^{''} = λ^{2} e^{λ x} .

代入：

(λ^{2} + p λ + q) e^{λ x} = 0.

因为

e^{λ x} \neq = 0,

于是得到：

λ^{2} + p λ + q = 0

这叫特征方程。

三十二、三种特征根必须直接背熟

情形一：两个不同实根

若

λ_{1} \neq = λ_{2},

则

y = C_{1} e^{λ_{1} x} + C_{2} e^{λ_{2} x}

情形二：二重实根

若

λ_{1} = λ_{2} = λ,

则

y = (C_{1} + C_{2} x) e^{λ x}

为什么多一个 $x$ ？

因为只有

e^{λ x}

一个解不够构成二阶方程的两个线性无关解，于是第二个变成

x e^{λ x} .

情形三：一对共轭复根

若

λ = α \pm i β,

则

y = e^{α x} (C_{1} cos β x + C_{2} sin β x)

例如

y^{''} + y = 0.

特征方程：

λ^{2} + 1 = 0.

所以

λ = \pm i .

因此

y = C_{1} cos x + C_{2} sin x

三十三、高阶常系数齐次方程

一般形式：

y^{(n)} + p_{1} y^{(n - 1)} + \dots + p_{n} y = 0.

建立特征方程：

λ^{n} + p_{1} λ^{n - 1} + \dots + p_{n} = 0.

如果实根 $λ_{0}$ 是 $k$ 重根，则对应部分：

e^{λ_{0} x} (C_{1} + C_{2} x + \dots + C_{k} x^{k - 1})

讲义中的典型例子是：

y^{'''} + y^{''} + y^{'} + y = 0.

特征方程：

λ^{3} + λ^{2} + λ + 1 = 0.

因式分解：

(λ + 1) (λ^{2} + 1) = 0.

根：

λ_{1} = - 1,

λ_{2, 3} = \pm i .

所以

y = C_{1} e^{- x} + C_{2} cos x + C_{3} sin x

三十四、常系数非齐次线性方程

形式为

y^{''} + p y^{'} + q y = f (x) .

标准战略：

y = y_{h} + y_{p}

第一步求齐次解

y_{h} .

第二步找一个特解

y_{p} .

三十五、待定系数法：先看右端长什么样

考研最常见：

f (x) = e^{α x} P_{m} (x)

或

f (x) = e^{α x} [P_{m} (x) cos β x + Q_{n} (x) sin β x] .

核心思想：

右边什么形状，特解就猜什么形状。

三十六、指数多项式型

例如：

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{4 x} .

齐次特征方程：

λ^{2} - 3 λ + 2 = 0.

即

(λ - 1) (λ - 2) = 0.

齐次通解：

y_{h} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{2 x} .

右端为

e^{4 x},

所以猜：

y_{p} = A e^{4 x} .

代入确定 $A$ 。

三十七、什么叫“共振”？

这是非齐次常系数方程最大的考点之一。

例如：

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = e^{x} .

特征根为

1, 2.

但右边恰好有

e^{x} .

如果仍猜

y_{p} = A e^{x},

会发现它本身就是齐次方程的解。

所以不行。

必须乘一个 $x$ ：

y_{p} = A x e^{x}

如果 $λ = 1$ 是二重特征根，则需要乘

x^{2} .

一般规律：

试探特解与齐次解重复 s 次 ⟹ 乘 x^{s}

这就是讲义里所说的共振修正。

三十八、三角型非齐次项

如果

f (x) = A cos b x + B sin b x,

通常猜

y_{p} = M cos b x + N sin b x .

但若齐次方程本来就含：

cos b x, sin b x,

就必须乘 $x$ 。

讲义中给出典型结论：对类似

y^{''} + a^{2} y = 8 cos b x,

当

a \neq = b

时特解可取

A cos b x + B sin b x .

而当

a = b

发生共振，需要取

A x cos a x + B x sin a x .

最终出现

x sin a x

型特解。

三十九、欧拉方程

欧拉方程是很特殊的变系数线性方程。

典型形式：

x^{n} y^{(n)} + a_{1} x^{n - 1} y^{(n - 1)} + \dots + a_{n - 1} x y^{'} + a_{n} y = f (x)

最明显的特征：

x^{n} y^{(n)}, x^{n - 1} y^{(n - 1)}, \dots, x y^{'}, y .

也就是：

x 的次数与导数阶数相匹配

四十、欧拉方程的核心代换

令

x = e^{t}

更完整地说，在固定符号区间上可取

t = ln ∣ x ∣.

把

y (x)

看作

Y (t) .

那么

\frac{d t}{d x} = \frac{1}{x} .

因此

y^{'} = \frac{1}{x} Y^{'} .

也就是

x y^{'} = Y^{'}

再求一次：

y^{''} = \frac{1}{x ^{2}} (Y^{''} - Y^{'}) .

于是

x^{2} y^{''} = Y^{''} - Y^{'}

更高阶也会类似地变成常系数表达式。

所以：

欧拉方程 t = l n ∣ x ∣ 常系数线性方程

这才是欧拉方程真正的本质。

四十一、同一道欧拉方程有时还有更短方法

讲义给出例题：

x y^{''} - y^{'} = x^{2} .

乘 $x$ ：

x^{2} y^{''} - x y^{'} = x^{3} .

可以看成欧拉方程。

但原方程：

x y^{''} - y^{'} = x^{2}

根本没有 $y$ 。

所以还可以直接令

p = y^{'} .

得到

x p^{'} - p = x^{2} .

即

p^{'} - \frac{1}{x} p = x .

这只是一阶线性方程。

因此通常降阶法比欧拉代换更短。

讲义也专门用这个例子强调：

同一个方程可能属于多种类型，应选择计算量更小的方法。

这是第 6 章真正重要的解题思想。

四十二、微分方程应用题怎么列方程？

应用题核心不是“解”，而是：

把文字翻译成导数关系

讲义总结的主要建模依据有：

导数表示瞬时变化率；
二阶导数表示变化率的变化；
定积分表示累积量；
几何关系；
牛顿第二定律；
守恒关系；
微元分析。

四十三、几何应用

若曲线

y = y (x),

那么切线斜率：

y^{'}

法线斜率：

- \frac{1}{y ^{'}}

若题目给出：

曲线上任一点处的切线斜率等于该点横纵坐标某个函数，

例如

k = \frac{x}{y},

立即得到微分方程：

y^{'} = \frac{x}{y}

然后分离：

y d y = x d x .

所以几何题关键是识别：

切线 \Rightarrow y^{'}

四十四、运动学模型

如果位置为

s = s (t),

则速度：

v = s^{'} (t)

加速度：

a = s^{''} (t)

所以题目若说：

加速度与速度成正比

就是：

s^{''} = k s^{'} .

若令

v = s^{'},

马上降为：

v^{'} = k v .

四十五、牛顿第二定律

核心：

m \frac{d v}{d t} = F

如果

F = F (t, v),

直接建立关于 $v (t)$ 的一阶微分方程：

m \frac{d v}{d t} = F (t, v)

先求速度，再由

\frac{d s}{d t} = v

求位移。

四十六、力只依赖位置时的高级技巧

假设

v = \frac{d y}{d t} .

加速度：

\frac{d v}{d t} .

若题目希望消掉 $t$ ，把 $v$ 看成 $y$ 的函数：

v = v (y) .

则

\frac{d v}{d t} = \frac{d v}{d y} \frac{d y}{d t} = v \frac{d v}{d y} .

所以：

y^{''} = v \frac{d v}{d y}

于是牛顿第二定律变成：

m v \frac{d v}{d y} = F (y, v)

这实际上和前面“不显含 $x$ ”的二阶方程降阶是完全同一个数学原理。讲义也把这两个部分直接联系起来。

四十七、微元法建立微分方程

如果题目给：

Δ y = f (x, y) Δ x + o (Δ x),

两边除以

Δ x,

得到

\frac{Δ y}{Δ x} = f (x, y) + \frac{o ( Δ x )}{Δ x} .

令

Δ x \to 0,

由于

\frac{o ( Δ x )}{Δ x} \to 0,

得到

y^{'} = f (x, y)

这就是很多“增量关系题”的标准转化。

四十八、第6章最常考的题型总结

结合讲义，建议把本章真正压缩成下面这些题型。

题型	看到什么	立即想到什么
变量可分离	$y^{'} = f (x) g (y)$	分开 $x, y$ 后积分
一阶线性	$y^{'} + p y = q$	积分因子
全微分	$P d x + Q d y = 0$	检查 $P_{y} = Q_{x}$
齐次方程	$y^{'} = f (y / x)$	$y = ux$
伯努利	$y^{'} + p y = q y^{α}$	$z = y^{1 - α}$
可交换变量	对 $y$ 非线性、对 $x$ 线性	把 $x = x (y)$
不含 $y$	$F (x, y^{'}, y^{''}) = 0$	$p = y^{'}$
不含 $x$	$F (y, y^{'}, y^{''}) = 0$	$y^{''} = p d p / d y$
含变限积分	$\int_{a}^{x} f (t) d t$	求导 + 找初值
二阶常系数齐次	$y^{''} + p y^{'} + q y = 0$	特征方程
常系数非齐次	右端指数/多项式/三角	齐次解 + 待定系数
共振	特解形式与齐次解重复	乘 $x^{s}$
欧拉方程	$x^{2} y^{''}, x y^{'}, y$	(t=\ln	x	)
解的结构	多个齐次/非齐次解	使用线性叠加
应用题	变化率、切线、力	先列微分方程

讲义自己的方法总表也特别强调：可分离方程最易“除法漏常值解”，一阶线性最易“未化标准形式”，齐次方程最易“漏直线解”，伯努利最易“指数写错”，不显含 $x$ 的二阶方程最易把链式法则写错。

四十九、考研做题时最实用的“识别口令”

建议把下面几句真正记牢。

一阶

能分就分

y^{'} + p y = q \Rightarrow μ = e^{\int p d x}

y^{'} = f (y / x) \Rightarrow y = ux

y^{'} + p y = q y^{α} \Rightarrow z = y^{1 - α}

P d x + Q d y = 0 \Rightarrow P_{y} = ? Q_{x}

高阶

不含 y \Rightarrow p = y^{'}, p = p (x)

不含 x \Rightarrow p = y^{'}, y^{''} = p \frac{d p}{d y}

线性高阶

齐次常系数 \Rightarrow 特征方程

非齐次 = 齐次通解 + 一个特解

共振 \Rightarrow \times x^{s}

欧拉

x = e^{t}

并记：

x y^{'} = Y^{'}

x^{2} y^{''} = Y^{''} - Y^{'}

五十、本章最容易丢分的 10 个地方

分离变量时除掉 $g (y)$ ，漏掉 $g (y) = 0$ 的常值解。
一阶线性方程没有先化成
$y^{'} + p (x) y = q (x) .$
积分因子错误写成
$e^{p (x)}$
而不是
$e^{\int p (x) d x} .$
全微分方程没检查
$P_{y} = Q_{x} .$
齐次方程看到
$y / x$
却没有令
$y = ux .$
伯努利代换指数写错：
$z = y^{1 - α} .$
不显含 $x$ 时错误写成
$y^{''} = p^{'}$
而不是
$y^{''} = p d p / d y .$
含积分方程求导后忘记从原式恢复初值。
非齐次常系数方程发生共振后忘记乘 $x^{s}$ 。
应用题求出数学解之后，没有用初始条件和实际意义筛选。

五十一、最后把整章压缩成一张“思维导图”

常微分方程

可以理解为：

一阶 ↓ 可分离、线性、全微分 齐次、伯努利、换元

以及

高阶 ↓ 可降阶 + 线性方程 + 欧拉方程

再加上：

积分关系 ↓ 求导 ↓ 微分方程

和

实际问题 ↓ 变化率 / 几何 / 力学 ↓ 建立微分方程

所以第 6 章真正的主线其实只有：

识别 \to 变形 \to 降阶 / 代换 \to 化成会解的标准方程

这也是讲义贯穿整章最核心的解题思想。

如果从考研应试优先级看，建议重点掌握顺序是：

一阶线性 ≈ 可分离 > 常系数线性方程 > 可降阶 > 解的结构 > 含变限积分 > 齐次/伯努利 > 欧拉方程 > 应用建模。

其中真正需要做到“看到就条件反射”的，是：

y^{'} + p y = q,

y^{'} = f (y / x),

y^{'} + p y = q y^{α},

F (x, y^{'}, y^{''}) = 0,

F (y, y^{'}, y^{''}) = 0,

以及常系数方程的特征根—通解对应关系。

第 6 章 常微分方程

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第 6 章常微分方程