第 8 章 多元函数微分学

本章把一元微分学推广到多元函数，重点处理多元函数连续与可微的关系、复合与隐函数求导、极值及梯度等应用。

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一、先建立整章知识框架

这一章本质上是在把一元函数的“导数”推广到多元函数。

一元函数：

$$y=f(x)$$

只有一个自变量，所以问“函数怎么变化”，只需要研究 $x$ 变化时 $y$ 的变化率。

二元函数：

$$z=f(x,y)$$

有两个自变量，所以问题马上多起来：

• 只改变 $x$，函数怎么变？$\to f_x$
• 只改变 $y$，函数怎么变？$\to f_y$
• $x,y$ 同时改变，函数整体怎么变？$\to$ 全微分、可微
• 沿任意方向走，函数怎么变？$\to$ 方向导数
• 哪个方向增长最快？$\to$ 梯度
• $z$ 通过很多中间变量依赖于 $x,y$，怎么求导？$\to$ 复合函数链式法则
• $z$ 没有显式写出来怎么办？$\to$ 隐函数求导
• 哪里最大、哪里最小？$\to$ 极值与条件极值
• 曲面的切平面、曲线的切线怎么求？$\to$ 偏导数、梯度的几何应用

所以整章可以压缩成：

先研究“局部变化”，再研究“沿方向变化”，最后利用导数解决极值和空间几何问题。

讲义特别强调的总策略是：

先辨认函数结构，再决定求导路线。

具体函数直接偏导；函数记号复杂就画依赖关系；隐函数直接对方程求导；极值先分清无约束、闭区域还是条件极值；空间几何先找法向量或切向量。

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二、多元函数、二重极限与连续性

1. 二元函数是什么

设 $D$ 是平面上的一个点集，如果对于每一个

$$(x,y)\in D$$

都有唯一的 $z$ 与之对应，就称

$$z=f(x,y)$$

为二元函数。

它的图像一般是三维空间中的一个曲面。

例如：

$$z=x^2+y^2$$

图像是旋转抛物面。

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2. 等值线

令

$$f(x,y)=C$$

这里 $C$ 固定，就在 $xy$ 平面上得到一条曲线，叫做等值线。

例如：

$$f(x,y)=x^2+y^2$$

则

$$x^2+y^2=C$$

是一族同心圆。

以后讲梯度时会发现：

梯度永远垂直于等值线，并且指向函数增长最快的方向。

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三、二重极限——第一大概念难点

1. 一元极限与二重极限的根本区别

一元函数中

$$x\to x_0$$

主要只有左右两个方向。

但二元函数：

$$(x,y)\to (x_0,y_0)$$

可以从无数条路径趋近。

可以沿：

$$y=0$$

也可以沿：

$$x=0$$

还可以沿：

$$y=kx$$

或者

$$y=x^2,y=x^3$$

甚至任意曲线。

因此：

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=A$$

的含义是：

无论沿什么路径趋近 $(x_0,y_0)$，函数都必须趋向同一个 $A$。

讲义特别提醒：

找到两条路径极限不同，可以证明二重极限不存在；但验证很多条直线极限都一样，一般不能证明二重极限存在。

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四、二重极限常见题型

题型1：证明极限不存在

最常用方法：

找两条不同路径

比如：

$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$$

考察

$$(x,y)\to (0,0)$$

沿 $y=x$：

$$f(x,x)=\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}$$

沿 $y=-x$：

$$f(x,-x)=-\frac{1}{2}$$

两个结果不同，因此：

$$\boxed{\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}\text{ 不存在}}$$

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题型2：证明极限存在

这时候不能只取路径，通常要统一控制。

常用：

方法一：放缩

例如：

$$\left|\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}\right|$$

利用

$$|y|\le \sqrt{x^2+y^2}$$

可得

$$\left|\frac{x^{2}y}{x^2+y^2}\right|\le |y|\to 0$$

因此极限为 $0$。

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方法二：极坐标

令

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

于是：

$$x^2+y^2=r^2$$

当

$$(x,y)\to (0,0)$$

时就是

$$r\to 0$$

如果最后能够得到：

$$|f(x,y)|\le C{r}^{\alpha },\alpha >0$$

那么直接有：

$$f(x,y)\to 0$$

这是一类非常稳定的做法。

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五、多元函数连续

函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续，要求：

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }f(x,y)=f(x_0,y_0)$$

本质和一元函数一样，只不过极限变成了二重极限。

因此分段函数特殊点问题通常按：

1. 求函数值；
2. 求二重极限；
3. 比较。

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六、偏导数——“只沿坐标方向看变化”

设

$$z=f(x,y)$$

对 $x$ 的偏导数定义为：

$$f_x(x_0,y_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}$$

注意这里：

$$y=y_0$$

固定不动。

所以偏导数的本质就是：

把另一个变量暂时看成常数，再按照一元函数求导。

例如：

$$z=x^{2}y+e^{xy}$$

则

$$z_x=2xy+y{e}^{xy}$$

因为求 $x$ 偏导时，$y$ 当常数。

而

$$z_y=x^2+x{e}^{xy}$$

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七、偏导数的几何意义

曲面

$$z=f(x,y)$$

与平面

$$y=y_0$$

相交得到一条曲线。

$f_x(x_0,y_0)$ 就是这条曲线在对应点处的切线斜率。

类似：

$$f_y(x_0,y_0)$$

表示曲面沿 $y$ 方向切出来的截面曲线的切线斜率。

所以：

偏导数只描述两个特殊方向——$x$ 方向和 $y$ 方向。

这也是为什么：

$$f_x,f_y$$

存在，并不足以说明函数整体表现良好。

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八、特殊点求偏导：必须用定义

这是考研非常喜欢考的地方。

例如：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^{3}y}{x^6+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0).\end{array}$$

求：

$$f_x(0,0)$$

必须固定 $y=0$：

$$f_x(0,0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$$

而

$$f(h,0)=0$$

所以：

$$f_x(0,0)=0$$

同理：

$$f_y(0,0)=0$$

但沿

$$y=x^3$$

有：

$$f(x,x^3)=\frac{x^6}{2x^6}=\frac{1}{2}$$

因此函数在原点甚至不连续。

于是我们得到一个极重要事实：

$$\boxed{\text{偏导数存在}\nRightarrow \text{连续}}$$

更不能推出可微。这个反例也是讲义专门强调的。

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九、全微分与可微——整章最重要概念之一

1. 一元函数回顾

一元函数可微意味着：

$$\Delta y=f^{\prime }(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$$

也就是说：

函数的增量主要就是一个线性量 $f^{\prime }(x_0)\Delta x$。

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2. 二元函数可微

设：

$$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$$

以及：

$$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$$

如果：

$$\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho )$$

就说 $f$ 在 $(x_0,y_0)$ 可微。

而且：

$$A=f_x(x_0,y_0),B=f_y(x_0,y_0)$$

因此：

$$\boxed{\Delta z=f_x\Delta x+f_y\Delta y+o(\rho )}$$

线性主部：

$$\boxed{dz=f_{x}dx+f_{y}dy}$$

称为全微分。讲义给出的定义和判别正是这一形式。

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十、如何真正理解“可微”

可微不是单纯地说偏导数存在。

它意味着：

当 $(x,y)$ 从任意方向产生一个很小的变化时，函数增量都可以用同一个线性平面近似。

即：

$$\Delta z\approx f_x\Delta x+f_y\Delta y$$

因此，可微实际上是一种比偏导存在强得多的“整体局部规则性”。

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十一、连续、偏导存在、可微之间的关系

这是选择题最爱考的逻辑链。

牢记：

$$\boxed{\text{一阶偏导数连续}\Rightarrow \text{可微}\Rightarrow \text{连续}}$$

而且：

$$\boxed{\text{可微}\Rightarrow \text{一阶偏导数存在}}$$

所以整体关系：

$$\boxed{\text{一阶偏导连续}\Rightarrow \text{可微}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\text{连续}\\ \text{偏导存在}\end{array}}$$

但是逆命题一般都不成立。讲义将这一逻辑链列为本章最重要关系之一。

特别注意：

$$\text{连续}\nRightarrow \text{偏导存在}$$ $$\text{偏导存在}\nRightarrow \text{连续}$$ $$\text{偏导存在}\nRightarrow \text{可微}$$

甚至：

$$\text{可微}\nRightarrow f_x,f_y\text{ 在邻域连续}$$

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十二、怎样判断可微

讲义给出的稳定做题顺序是：

1. 特殊点先按定义求偏导；
2. 判断连续性；
3. 看偏导数是否连续；
4. 若无法使用充分条件，再按可微定义判断。

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方法1：一阶偏导连续

如果在点的某邻域内 $f_x,f_y$ 存在，并且在该点连续，则：

$$\boxed{f\text{ 可微}}$$

普通初等函数通常直接使用这个结论。

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方法2：按定义

计算：

$$R=\Delta z-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y$$

然后判断：

$$\boxed{\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}{\lim }\frac{R}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0}$$

成立就可微。

讲义中的典型函数：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2{y}^2}{x^2+y^2},& (x,y)\ne (0,0),\\ 0,& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

在原点：

$$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$$

于是只需要判断：

$$\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

由于：

$$x^2{y}^2\le \frac{(x^2+y^2{)}^2}{4}$$

因此：

$$|f(x,y)|\le \frac{1}{4}(x^2+y^2)$$

所以：

$$\frac{|f(x,y)|}{\sqrt{x^2+y^2}}\le \frac{1}{4}\sqrt{x^2+y^2}\to 0$$

故可微。

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十三、高阶偏导数

对于：

$$z=f(x,y)$$

二阶偏导有：

$$f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}$$

例如：

$$f_{xy}=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$$

即先对 $x$ 求导，再对 $y$ 求导。

如果混合偏导数满足适当连续条件，则：

$$\boxed{f_{xy}=f_{yx}}$$

但不要误认为永远可以换顺序。讲义特别提醒：分段函数特殊点必须具体判断。

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十四、由偏导数反求函数

这是非常实用的一类题。

若：

$$f_x=g(x,y)$$

则对 $x$ 积分：

$$f(x,y)=\int g(x,y)dx+\phi (y)$$

为什么不是 $+C$？

因为对 $x$ 求偏导时：

$$\phi (y)$$

也会被看成常数。

例如已知：

$$f_x=2x+y$$

积分：

$$f=x^2+xy+\phi (y)$$

再给：

$$f_y=x+2y$$

则：

$$x+{\phi }^{\prime }(y)=x+2y$$

所以：

$${\phi }^{\prime }(y)=2y$$

进而：

$$\phi (y)=y^2+C$$

因此：

$$f=x^2+xy+y^2+C$$

这里“积分常数应写成另一变量的函数”是讲义特别强调的易错点。

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十五、复合函数求导——本章计算核心

讲义把这一部分视为全章计算重点。

核心口令：

有几条依赖路径，就加几项；一条路径经过几层，就把这些导数相乘。

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1. 多元函数复合一元函数

设：

$$u=f(x,y,z)$$

其中：

$$x=x(t),y=y(t),z=z(t)$$

则：

$$\boxed{\frac{du}{dt}=f_x\frac{dx}{dt}+f_y\frac{dy}{dt}+f_z\frac{dz}{dt}}$$

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2. 二元复合二元

若：

$$z=f(u,v)$$

其中：

$$u=\phi (x,y),v=\psi (x,y)$$

则：

$$\boxed{z_x=f_u{u}_x+f_v{v}_x}$$ $$\boxed{z_y=f_u{u}_y+f_v{v}_y}$$

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十六、最容易漏项的一类复合函数

例如：

$$z=f(u,v,x)$$

其中：

$$u=\phi (x,y),v=\psi (y)$$

求 $z_x$。

从 $z$ 到 $x$ 有两条路径：

$$z\to u\to x$$

以及：

$$z\to x$$

所以：

$$\boxed{z_x=f_u{\phi }_x+f_x}$$

千万别漏掉那个直接出现的 $x$。

而：

$$z_y=f_u{\phi }_y+f_v{\psi }^{\prime }(y)$$

这正是讲义指出的复合函数常见失分点。

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十七、一阶全微分形式不变性

若：

$$z=f(u,v)$$

不管 $u,v$ 是不是独立变量，都有：

$$\boxed{dz=f_{u}du+f_{v}dv}$$

而：

$$du=u_{x}dx+u_{y}dy$$ $$dv=v_{x}dx+v_{y}dy$$

代入：

$$dz=(f_u{u}_x+f_v{v}_x)dx+(f_u{u}_y+f_v{v}_y)dy$$

所以自然得到链式法则。

这也是复杂题中很稳的一种写法。

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十八、复合函数二阶偏导——高频难点

仍设：

$$z=f(u,v)$$ $$u=u(x,y),v=v(x,y)$$

一阶：

$$z_x=f_u{u}_x+f_v{v}_x$$

再求一次：

$$\boxed{z_{xx}=f_{uu}{u}_x^2+2f_{uv}{u}_x{v}_x+f_{vv}{v}_x^2+f_u{u}_{xx}+f_v{v}_{xx}}$$

混合偏导：

$$\boxed{\begin{array}{rl}{z}_{xy}=& f_{uu}{u}_x{u}_y+f_{uv}(u_x{v}_y+u_y{v}_x)\\ & +f_{vv}{v}_x{v}_y+f_u{u}_{xy}+f_v{v}_{xy}\end{array}}$$

讲义强调的最大错误就是：

求完 $z_x$ 后，把 $f_u$ 当常数。

实际上：

$$f_u=f_u(u,v)$$

自己也是复合函数！所以第二次求导必须再做一遍链式法则。

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十九、隐函数求导

1. 一元隐函数

若：

$$F(x,y)=0$$

确定：

$$y=y(x)$$

不要急着解出 $y$。

直接对 $x$ 求导：

$$F_x+F_y{y}^{\prime }=0$$

所以：

$$\boxed{y^{\prime }=-\frac{F_x}{F_y}}$$

前提：

$$F_y\ne 0$$

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二十、二元隐函数

若：

$$F(x,y,z)=0$$

确定：

$$z=z(x,y)$$

对 $x$ 求偏导：

$$F_x+F_z{z}_x=0$$

于是：

$$\boxed{z_x=-\frac{F_x}{F_z}}$$

对 $y$：

$$F_y+F_z{z}_y=0$$

所以：

$$\boxed{z_y=-\frac{F_y}{F_z}}$$

其中：

$$F_z\ne 0$$

也可直接写全微分：

$$F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz=0$$

所以：

$$\boxed{dz=-\frac{F_x}{F_z}dx-\frac{F_y}{F_z}dy}$$

讲义对这一方法的总结就是：

隐函数不必先解出来，对原方程直接求导。

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二十一、隐函数二阶导数为什么容易错

例如：

$$F_x+F_z{z}_x=0$$

继续对 $x$ 求导。

不要把 $F_x,F_z$ 看成只关于 $x$ 的普通函数。

因为：

$$z=z(x,y)$$

所以：

$$F_x=F_x(x,y,z(x,y))$$

本身也是复合函数。

例如：

$$\frac{\partial F_x}{\partial x}=F_{xx}+F_{xz}{z}_x$$

因此二阶隐函数求导的原则是：

从一阶关系继续求导，然后再次完整应用链式法则。

不要死背特别长的二阶公式。

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二十二、隐函数组

若两个方程：

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,u,v)=0,\\ G(x,y,u,v)=0\end{array}$$

确定：

$$u=u(x,y),v=v(x,y)$$

要求 $u_x,v_x$。

两式都对 $x$ 求导，得到关于：

$$u_x,v_x$$

的二元一次方程组。

再解这个线性方程组即可。

所以本质是：

对原方程组求导，把未知导数当作新的未知量。

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二十三、变量替换与偏微分方程

这类题通常给：

$$x=x(u,v),y=y(u,v)$$

或者使用极坐标：

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

要求把：

$$u_{xx}+u_{yy}$$

变成关于 $r,\theta$ 的表达式。

标准步骤：

1. 明确新旧变量关系；
2. 先求一阶偏导；
3. 再求二阶；
4. 代回原方程；
5. 化简。

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极坐标下的重要结论

讲义列出的高频公式：

$$\boxed{u_{xx}+u_{yy}=u_{rr}+\frac{1}{r}{u}_r+\frac{1}{r^2}{u}_{\theta \theta }}$$

所以二维拉普拉斯方程：

$$u_{xx}+u_{yy}=0$$

变成：

$$\boxed{u_{rr}+\frac{1}{r}{u}_r+\frac{1}{r^2}{u}_{\theta \theta }=0}$$

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二十四、二元函数泰勒公式

讲义还利用“沿直线把多元问题化为一元问题”的思想导出了二阶泰勒展开。

设：

$$x=x_0+\Delta x,y=y_0+\Delta y$$

则：

$$\boxed{\begin{array}{rl}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=& f(x_0,y_0)+f_x\Delta x+f_y\Delta y\\ & +\frac{1}{2}\left[f_{xx}\Delta x^2+2f_{xy}\Delta x\Delta y+f_{yy}\Delta y^2\right]+R\end{array}}$$

这其实就是后面二元函数极值判别公式的理论来源。

因为在驻点：

$$f_x=f_y=0$$

函数增量主要由二次项决定：

$$\Delta f\approx \frac{1}{2}\left(A\Delta x^2+2B\Delta x\Delta y+C\Delta y^2\right)$$

于是极值问题就转化成了一个二次型正负性问题。

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二十五、多元函数极值

这是考研大题的重要部分。

先区分两个概念。

极值

局部概念。

如果 $(x_0,y_0)$ 附近：

$$f(x,y)\ge f(x_0,y_0)$$

那么 $(x_0,y_0)$ 是极小值点。

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最值

是在整个区域 $D$ 上比较：

$$f_{\max },f_{\min }$$

所以：

极小值未必是最小值，极大值也未必是最大值。

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二十六、无条件极值

如果 $f$ 在极值点可偏导，则必要条件：

$$\boxed{f_x=0,f_y=0}$$

满足这两个方程的点叫驻点。

但是：

$$\boxed{\text{驻点}\nRightarrow \text{极值点}}$$

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二十七、二元函数极值判别公式

在驻点 $(x_0,y_0)$：

$$A=f_{xx}(x_0,y_0)$$ $$B=f_{xy}(x_0,y_0)$$ $$C=f_{yy}(x_0,y_0)$$

令：

$$\boxed{D=AC-B^2}$$

则：

情形1

$$D>0,A>0$$

则：

$$\boxed{\text{极小值}}$$

情形2

$$D>0,A<0$$

则：

$$\boxed{\text{极大值}}$$

情形3

$$D<0$$

则：

$$\boxed{\text{不是极值点}}$$

通常称为鞍点。

情形4

$$D=0$$

则：

$$\boxed{\text{判别法失效}}$$

需要回定义、配方、比较路径或看更高阶项。

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二十八、讲义中的代表性极值题

设：

$$f(x,y)=x^3+y^3-3xy$$

先求：

$$f_x=3x^2-3y$$ $$f_y=3y^2-3x$$

驻点方程：

$$\{\begin{array}{l}{x}^2=y,\\ y^2=x\end{array}$$

得到：

$$(0,0),(1,1)$$

二阶导：

$$f_{xx}=6x$$ $$f_{xy}=-3$$ $$f_{yy}=6y$$

在 $(0,0)$：

$$D=0\cdot 0-(-3{)}^2=-9<0$$

所以不是极值点。

在 $(1,1)$：

$$D=6\cdot 6-(-3{)}^2=27>0$$

而：

$$A=6>0$$

所以是极小值点。

极小值：

$$f(1,1)=1+1-3=-1$$

因此：

$$\boxed{f_{\min ,\text{局部}}=-1}$$

这个例子正好把“驻点不一定是极值点”说明清楚。

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二十九、有界闭区域上的最大值、最小值

若 $f$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，则最大值和最小值一定存在。

但找它们不能只看内部驻点。

讲义给出的标准流程非常重要：

第一步：区域内部

求：

$$f_x=0,f_y=0$$

找内部驻点。

还要检查：

一阶偏导数不存在的内部点。

第二步：所有边界

把函数限制到每条边界。

例如边界：

$$y=\phi (x)$$

代入：

$$g(x)=f(x,\phi (x))$$

化为一元函数求最值。

第三步：角点、端点

全部检查。

第四步：比较所有函数值

最大者就是最大值，最小者就是最小值。

所以闭区域最值题最重要的口诀：

$$\boxed{\text{内部 + 边界 + 角点，全部比较}}$$

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三十、条件极值与拉格朗日乘数法

例如求：

$$z=f(x,y)$$

在约束：

$$\phi (x,y)=0$$

下的极值。

不能直接只解：

$$f_x=f_y=0$$

因为 $(x,y)$ 不能随便移动，只能沿约束曲线运动。

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1. 几何原理

函数：

$$f(x,y)=C$$

表示等值线。

约束：

$$\phi (x,y)=0$$

也是一条曲线。

达到条件极值时，两条曲线相切。

因此两条曲线的法向量平行：

$$\nabla f\parallel \nabla \phi$$

于是：

$$\boxed{\nabla f+\lambda \nabla \phi =0}$$

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2. 拉格朗日函数

构造：

$$L(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$$

解：

$$\boxed{\{\begin{array}{l}{L}_x=0,\\ L_y=0,\\ L_{\lambda }=0\end{array}}$$

即：

$$\{\begin{array}{l}{f}_x+\lambda {\phi }_x=0,\\ f_y+\lambda {\phi }_y=0,\\ \phi (x,y)=0\end{array}$$

所得是候选点，之后再结合题意比较。

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三十一、条件极值简单例子

求：

$$f(x,y)=x^2+y^2$$

在：

$$x+y=1$$

条件下的最小值。

设：

$$\phi =x+y-1$$

构造：

$$L=x^2+y^2+\lambda (x+y-1)$$

则：

$$\{\begin{array}{l}2x+\lambda =0,\\ 2y+\lambda =0,\\ x+y=1\end{array}$$

由前两式：

$$x=y$$

所以：

$$x=y=\frac{1}{2}$$

于是：

$$f_{\min }=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\boxed{\frac{1}{2}}$$

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三十二、方向导数

偏导数只研究：

$$x\text{ 方向},y\text{ 方向}$$

但我们还想知道：

往东北走、往西南走、沿任意方向走，函数变化多快？

这就是方向导数。

设单位方向：

$$\mathbf{l}=(\cos \alpha ,\cos \beta )$$

其中：

$${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta =1$$

沿方向 $\mathbf{l}$：

$$x=x_0+t\cos \alpha$$ $$y=y_0+t\cos \beta$$

方向导数定义为：

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial l}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}}$$

本章直接以“把二元函数限制到一条直线上，转化成一元函数”解释方向导数。

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三十三、方向导数计算公式

如果 $f$ 在点处可微：

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial l}=f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta }$$

三元函数：

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial l}=f_x\cos \alpha +f_y\cos \beta +f_z\cos \gamma }$$

注意：

公式里的方向向量必须是单位向量。

如果给：

$$\mathbf{a}=(a,b)$$

要先变成：

$$\boxed{\mathbf{l}=\frac{(a,b)}{\sqrt{a^2+b^2}}}$$

这是非常常见的失分点。

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三十四、梯度

定义：

$$\boxed{\nabla f=(f_x,f_y)}$$

三元函数：

$$\boxed{\nabla f=(f_x,f_y,f_z)}$$

于是方向导数：

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f\cdot \mathbf{l}}$$

即：

$$\frac{\partial f}{\partial l}=|\nabla f||\mathbf{l}|\cos \theta$$

因为 $\mathbf{l}$ 是单位向量：

$$|\mathbf{l}|=1$$

所以：

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial l}=|\nabla f|\cos \theta }$$

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三十五、梯度的核心几何意义

由：

$$\frac{\partial f}{\partial l}=|\nabla f|\cos \theta$$

马上得到：

最大方向导数

当：

$$\theta =0$$

即：

$$\mathbf{l}\parallel \nabla f$$

有：

$$\boxed{{\left(\frac{\partial f}{\partial l}\right)}_{\max }=|\nabla f|}$$

所以：

梯度方向就是函数增长最快的方向。

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最小方向导数

沿：

$$-\nabla f$$

方向：

$$\boxed{{\left(\frac{\partial f}{\partial l}\right)}_{\min }=-|\nabla f|}$$

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方向导数为0

若：

$$\mathbf{l}\perp \nabla f$$

则：

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial l}=0}$$

同时梯度垂直于等值线、等值面。

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三十六、方向导数标准题型

例如：

$$f(x,y)=x^2+xy+y^2$$

求在 $(1,2)$ 沿向量：

$$\mathbf{a}=(3,4)$$

方向的方向导数。

先单位化：

$$\mathbf{l}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$$

梯度：

$$\nabla f=(2x+y,x+2y)$$

在 $(1,2)$：

$$\nabla f(1,2)=(4,5)$$

所以：

$$\frac{\partial f}{\partial l}=(4,5)\cdot \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$$ $$=\frac{12}{5}+\frac{20}{5}$$ $$\boxed{\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{32}{5}}$$

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三十七、曲面的切平面与法线

这是第7章空间解析几何和第8章多元微分学的结合。

若曲面：

$$F(x,y,z)=0$$

点：

$$M_0(x_0,y_0,z_0)$$

在曲面上。

则：

$$\boxed{\nabla F(M_0)=(F_x,F_y,F_z)}$$

就是曲面在该点的法向量。

因此切平面：

$$\boxed{F_x(M_0)(x-x_0)+F_y(M_0)(y-y_0)+F_z(M_0)(z-z_0)=0}$$

法线：

$$\boxed{\frac{x-x_0}{F_x(M_0)}=\frac{y-y_0}{F_y(M_0)}=\frac{z-z_0}{F_z(M_0)}}$$

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三十八、显式曲面怎么办

若：

$$z=f(x,y)$$

改写成：

$$F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$$

于是：

$$\nabla F=(f_x,f_y,-1)$$

所以可以直接取法向量：

$$\boxed{(f_x,f_y,-1)}$$

或者相反向量：

$$(-f_x,-f_y,1)$$

都可以。

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三十九、切平面例题

曲面：

$$z=x^2+y^2$$

求点：

$$(1,2,5)$$

处切平面。

改写：

$$F=x^2+y^2-z=0$$

于是：

$$\nabla F=(2x,2y,-1)$$

在 $(1,2,5)$：

$$\mathbf{n}=(2,4,-1)$$

所以：

$$2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0$$

整理：

$$\boxed{2x+4y-z-5=0}$$

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四十、空间曲线切线与法平面

若空间曲线参数方程：

$$\{\begin{array}{l}x=x(t),\\ y=y(t),\\ z=z(t)\end{array}$$

在 $t=t_0$：

$$\boxed{\mathbf{\tau }=(x^{\prime }(t_0),y^{\prime }(t_0),z^{\prime }(t_0))}$$

就是切向量。

切线：

$$\boxed{\frac{x-x_0}{x^{\prime }(t_0)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime }(t_0)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime }(t_0)}}$$

法平面以切向量为法向量：

$$\boxed{x^{\prime }(t_0)(x-x_0)+y^{\prime }(t_0)(y-y_0)+z^{\prime }(t_0)(z-z_0)=0}$$

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四十一、两曲面交线的切线

若曲线由：

$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0,\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$

确定。

那么曲线的切向量既要垂直于：

$$\nabla F$$

又要垂直于：

$$\nabla G$$

所以：

$$\boxed{\mathbf{\tau }=\nabla F\times \nabla G}$$

这是一条必须记住的公式。

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四十二、本章空间几何统一思维

讲义总结得非常好：

曲面找法向量，曲线找切向量。

进一步：

曲面

$$F=0\Rightarrow \boxed{\nabla F=\text{法向量}}$$

参数曲线

$$(x(t),y(t),z(t))\Rightarrow \boxed{(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })=\text{切向量}}$$

两曲面交线

$$F=0,G=0$$

则：

$$\boxed{\nabla F\times \nabla G=\text{交线切向量}}$$

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四十三、本章九大考研题型

结合讲义中的题型总结，可以把第8章压缩成九类。

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四十四、考试中最重要的概念关系

建议直接记成下面这张图：

$$\boxed{\text{一阶偏导连续}⟹\text{可微}⟹\text{连续}}$$

并且：

$$\boxed{\text{可微}⟹\text{偏导存在}}$$

但：

$$\boxed{\text{偏导存在}\nRightarrow \text{连续}}$$ $$\boxed{\text{偏导存在}\nRightarrow \text{可微}}$$ $$\boxed{\text{连续}\nRightarrow \text{可微}}$$

这是第8章选择题、填空题最容易设计陷阱的地方。

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四十五、全章最容易出错的地方

讲义总结的错误非常值得直接当成检查清单。

1. 二重极限

错误：

沿所有直线 $y=kx$ 都一样，所以极限存在。

不对。

只能说明这些直线路径没有找到反例。

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2. 分段函数特殊点

不能把 $(x,y)\ne (0,0)$ 的偏导公式直接代入 $(0,0)$。

特殊点：

$$\boxed{\text{按偏导定义}}$$

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3. 把“偏导存在”误认为“可微”

这是最典型概念错误。

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4. 判断可微时只证明

$$\Delta z\to 0$$

不够。

必须证明：

$$\boxed{\frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}\to 0}$$

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5. 复合函数漏路径

画依赖图。

例如：

$$z=f(u,v,x)$$

$x$ 直接进入 $z$，就还有一个直接项。

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6. 二阶复合求导漏混合项

尤其：

$$2f_{uv}{u}_x{v}_x$$

非常容易漏。

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7. 隐函数二阶求导时把 $F_x$ 当常数

实际上 $F_x$ 本身通常也是复合函数。

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8. 驻点直接等于极值点

错误。

还要使用：

$$AC-B^2$$

判别。

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9. 闭区域只求内部驻点

必须：

$$\boxed{\text{内部 + 边界 + 角点}}$$

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10. 方向向量忘记单位化

方向导数公式必须用单位方向。

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11. 两曲面交线切向量取错

不是：

$$\nabla F$$

也不是：

$$\nabla G$$

而是：

$$\boxed{\nabla F\times \nabla G}$$

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四十六、整章最终解题框架

以后看到第8章题目，可以先用下面这套判断。

第一类：题目出现分段函数、$(0,0)$

立刻想到：

$$\boxed{\text{定义}}$$

检查：

$$\text{极限}\to \text{连续}\to \text{偏导}\to \text{可微}$$

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第二类：出现 $f(u,v)$

立刻想：

$$\boxed{\text{复合函数链式法则}}$$

画路径：

有几条路加几项，每条路上的导数相乘。

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第三类：出现 $F(x,y,z)=0$

若问 $z_x,z_y$：

$$\boxed{z_x=-\frac{F_x}{F_z},z_y=-\frac{F_y}{F_z}}$$

若问切平面：

$$\boxed{\nabla F=\text{法向量}}$$

同一个 $F$，用途完全不同，但核心都是偏导数。

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第四类：问极值

无约束：

$$f_x=f_y=0$$

然后：

$$D=AC-B^2$$

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第五类：问闭区域最值

直接：

$$\boxed{\text{内部 + 边界 + 角点 + 比较}}$$

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第六类：带约束

想到：

$$\boxed{\text{消元或拉格朗日乘数法}}$$

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第七类：问某方向变化率

想到：

$$\boxed{D_{\mathbf{l}}f=\nabla f\cdot \mathbf{l}}$$

先单位化。

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第八类：问增长最快

直接：

$$\boxed{\text{梯度方向}}$$

最大变化率：

$$\boxed{|\nabla f|}$$

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第九类：空间几何

曲面：

$$\boxed{\text{法向量}}$$

曲线：

$$\boxed{\text{切向量}}$$

两曲面交线：

$$\boxed{\nabla F\times \nabla G}$$

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四十七、最后把第8章压缩成10句话

这十句非常适合考前快速回忆：

1. 二重极限必须对所有路径一致；两条路径不同即可判不存在。
2. 偏导数只是沿坐标轴方向的一元导数。
3. 偏导存在不能推出连续，更不能推出可微。
4. 一阶偏导连续 $\Rightarrow$ 可微 $\Rightarrow$ 连续且偏导存在。
5. 可微的本质是函数增量存在统一的线性主部。
6. 复合求导：所有依赖路径的导数乘积相加。
7. 隐函数不用解出来，直接对原方程求导。
8. 驻点只是极值候选点；闭区域最值必须查边界。
9. 方向导数是梯度与单位方向向量的点积，梯度是增长最快方向。
10. 曲面找法向量，曲线找切向量，两曲面交线用两个梯度叉积。

如果从考研得分效率来说，第8章最值得重点练的是四组题：**①分段函数在特殊点的连续/偏导/可微判定；②复合函数、隐函数的一二阶偏导；③无条件极值、闭区域最值、拉格朗日条件极值；④方向导数、梯度、切平面与空间曲线切线。**这四组基本覆盖了本章最核心的计算和综合应用。