高等数学模块 1：极限的概念、性质及计算

本章围绕极限的概念、性质及计算展开，以考研数学真题为主线，并参考高质量练习题进行补充，按照“题型识别 → 核心方法 → 代表题 → 易错点 → 变式拓展”的方式组织。

一、先建立整个极限模块的解题地图

遇到一道极限，最忌讳的是看到式子就开始洛必达。

真正应该形成下面这个判断流程：

$$\boxed{\text{趋向点}\to \text{代入}\to \text{判断未定式}\to \text{判断主导阶}\to \text{选择变形}\to \text{计算}}$$

具体来说：

第一步：先代入

如果直接得到有限值，就结束。

只有出现下面这些形式时才需要进一步处理：

$$\frac{0}{0},\frac{\infty }{\infty },0\cdot \infty ,\infty -\infty ,$$

以及

$$1^{\infty },0^0,{\infty }^0.$$

注意：

$$\frac{1}{0},\infty +\infty ,0^{\infty }$$

一般不是未定式。

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二、极限计算真正的核心：找“第一非零主部”

考研极限大量题目表面变化很大，本质都是：

找出分子和分母最低阶不为零的项。

例如

$$f(x)=a_m{x}^m+o(x^m),$$ $$g(x)=b_n{x}^n+o(x^n),$$

则

$$\frac{f(x)}{g(x)}\sim \frac{a_m}{b_n}{x}^{m-n}.$$

于是：

• $m=n$：趋于非零常数；
• $m>n$：趋于 $0$；
• $m<n$：一般趋于无穷或不存在。

所以整个模块1最重要的能力不是“洛必达”，而是：

$$\boxed{\text{判断阶数}}$$

这也解释了为什么近几年的考研题越来越喜欢考等价无穷小、高阶展开、积分型无穷小和参数消项。例如站内 2024 数三真题直接考积分型无穷小阶数，2025 又连续考等价无穷小与抽象 $o(\cdot )$ 关系。

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三、必须熟练到条件反射的等价无穷小

当 $x\to 0$：

$$\sin x\sim x,$$ $$\tan x\sim x,$$ $$\arcsin x\sim x,$$ $$\arctan x\sim x,$$ $$e^x-1\sim x,$$ $$\ln (1+x)\sim x,$$ $$(1+x{)}^{\alpha }-1\sim \alpha x,$$ $$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}.$$

还要进一步掌握组合版：

若

$$u(x)\to 0,$$

则

$$\sin u\sim u,\tan u\sim u,$$ $$e^u-1\sim u,\ln (1+u)\sim u,$$ $$1-\cos u\sim \frac{u^2}{2},$$ $$(1+u{)}^{\alpha }-1\sim \alpha u.$$

例如：

$$1-\cos \sqrt{2x}\sim \frac{(\sqrt{2x}{)}^2}{2}=x.$$

这正是站内 2025 数三真题考查的核心，其中正确选项就是利用这一层复合等价。

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四、题型1：最基本的 $\frac{0}{0}$ 型极限

考频

★★★★★

这是整个模块的绝对核心。

真题数量非常多，而且后面大量综合题本质也是它。

---

方法1：直接等价无穷小

适用于：

• 乘除结构；
• 不发生高阶相消；
• 只需要最低阶。

例如

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{\sin x}=1.$$

直接：

$$\ln (1+x)\sim x,\sin x\sim x.$$

所以极限为

$$1.$$

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真题：1987年

站内收录：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}{\mathrm{arccot}x}.$$

令

$$t=\frac{1}{x}\to 0^{+}.$$

此时

$$\mathrm{arccot}x=\arctan \frac{1}{x}=\arctan t.$$

因此

$$\ln (1+t)\sim t,\arctan t\sim t.$$

于是

$$\boxed{1}.$$

这道题价值不在计算，而在一个重要思想：

$$\boxed{x\to \infty \text{ 的问题经常令 }t=\frac{1}{x}\to 0}$$

从而把无穷远极限统一转化成零点极限。

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五、题型2：发生高阶相消——必须泰勒展开

考频

★★★★★

这是现在考研极限里最重要的能力之一。

典型信号：

$$\sin x-x,$$ $$\tan x-x,$$ $$e^x-1-x,$$ $$\ln (1+x)-x,$$ $$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2.$$

为什么不能只用

$$\sin x\sim x?$$

因为

$$x-\sin x$$

里面两个一阶项完全抵消。

必须多展开一阶：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

因此

$$x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}.$$

---

必背高阶主部

$$x-\sin x\sim \frac{x^3}{6},$$ $$\tan x-x\sim \frac{x^3}{3},$$ $$\arcsin x-x\sim \frac{x^3}{6},$$ $$x-\arctan x\sim \frac{x^3}{3},$$ $$e^x-1-x\sim \frac{x^2}{2},$$ $$\ln (1+x)-x\sim -\frac{x^2}{2}.$$

还应掌握

$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2),$$ $$\frac{x}{\sin x}=1+\frac{x^2}{6}+o(x^2).$$

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六、代表真题：1991年高阶相消

站内收录：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^2(e^x-1)}.$$

利用

$$x-\sin x=\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$

同时

$$e^x-1=x+o(x).$$

于是

$$x^2(e^x-1)=x^3+o(x^3).$$

所以

$$\boxed{\frac{1}{6}}.$$

这道题应该总结成母题：

如果

$$f(x)=a{x}^m+o(x^m),$$ $$g(x)=b{x}^m+o(x^m),$$

那么

$$\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{a}{b}.$$

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七、题型3：未知参数 + 极限——本质是“强制消项”

考频

★★★★★

这是考研非常喜欢的题。

看到：

$$a,b,c$$

加上

$$\lim \frac{F(x)}{x^n}=A,$$

基本就应该想到：

低于 $n$ 阶的项全部必须消失。

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代表真题：1994年

站内题：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)-(ax+b{x}^2)}{x^2}=2.$$

展开：

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2).$$

因此

$$\ln (1+x)-ax-b{x}^2=(1-a)x+\left(-\frac{1}{2}-b\right)x^2+o(x^2).$$

因为除以 $x^2$ 后必须有有限极限，所以一次项必须消失：

$$1-a=0.$$

所以

$$a=1.$$

然后

$$-\frac{1}{2}-b=2,$$

得到

$$b=-\frac{5}{2}.$$

因此

$$\boxed{a=1,b=-\frac{5}{2}}.$$

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八、这类参数题的统一模板

若

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-P_n(x)}{x^m}=C,$$

其中

$$P_n(x)=a_0+a_{1}x+\cdots ,$$

那么直接：

第一步

展开 $f(x)$。

第二步

把所有低于 $x^m$ 的系数设为 $0$。

第三步

$x^m$ 项系数等于 $C$。

所以这种题本质就是：

$$\boxed{\text{系数匹配}}$$

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九、代表真题：2015 参数消项升级版

站内 2015 真题：

$$f(x)=x+a\ln (1+x)+bx\sin x,$$ $$g(x)=k{x}^3.$$

若

$$f(x)\sim g(x),$$

求 $a,b,k$。

展开：

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3),$$ $$x\sin x=x^2+o(x^3).$$

所以

$$f(x)=(1+a)x+\left(-\frac{a}{2}+b\right)x^2+\frac{a}{3}{x}^3+o(x^3).$$

因为它必须等价于

$$k{x}^3,$$

所以前两阶必须消失：

$$1+a=0,$$ $$-\frac{a}{2}+b=0.$$

于是

$$a=-1,b=-\frac{1}{2}.$$

三阶系数：

$$k=\frac{a}{3}=-\frac{1}{3}.$$

因此

$$\boxed{a=-1,b=-\frac{1}{2},k=-\frac{1}{3}}.$$

这就是参数型极限最典型的“连续消项”。

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十、题型4：根式极限——先想有理化

考频

★★★★☆

典型：

$$\sqrt{1+x}-1,$$ $$\sqrt{x^2+a}-x,$$ $$\sqrt{f(x)}-\sqrt{g(x)}.$$

基本操作：

$$\sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}.$$

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真题：1993年

站内题：

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }x\left(\sqrt{x^2+100}+x\right).$$

注意此处：

$$x\to -\infty .$$

有理化：

$$\sqrt{x^2+100}+x=\frac{100}{\sqrt{x^2+100}-x}.$$

于是

$$x(\sqrt{x^2+100}+x)=\frac{100x}{\sqrt{x^2+100}-x}.$$

最关键：

$$\sqrt{x^2}=|x|,$$

不是 $x$。

而

$$x\to -\infty$$

时

$$|x|=-x.$$

所以

$$\boxed{-50}.$$

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十一、一个非常容易丢分的原则

永远记住：

$$\boxed{\sqrt{x^2}=|x|}$$

因此：

$$x\to +\infty :|x|=x,$$

而

$$x\to -\infty :|x|=-x.$$

大量无穷远根式题就是在这里设陷阱。

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十二、题型5：$\infty -\infty$ 型

考频

★★★★☆

处理原则不是直接洛必达，而是先变成：

$$\frac{0}{0}$$

或

$$\frac{\infty }{\infty }.$$

常见手段：

• 通分；
• 有理化；
• 提取主项；
• $t=1/x$；
• 泰勒展开。

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真题：2020年

站内题：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\left[\frac{1}{e^x-1}-\frac{1}{\ln (1+x)}\right].$$

这是典型

$$\infty -\infty .$$

最适合直接展开倒数。

由于

$$e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+o(x^2),$$

故

$$\frac{1}{e^x-1}=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}+o(1).$$

而

$$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2),$$

于是

$$\frac{1}{\ln (1+x)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{2}+o(1).$$

相减：

$$-1+o(1).$$

因此

$$\boxed{-1}.$$

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十三、倒数差的万能公式

如果

$$f(x)=x+a{x}^2+o(x^2),$$

则

$$\frac{1}{f(x)}=\frac{1}{x}-a+o(1).$$

因此如果

$$f(x)=x+a{x}^2+o(x^2),$$ $$g(x)=x+b{x}^2+o(x^2),$$

那么

$$\frac{1}{f(x)}-\frac{1}{g(x)}\to b-a.$$

这类题其实根本不需要每次重新算。

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十四、题型6：$0\cdot \infty$ 型

考频

★★★★☆

典型：

$$x\ln x,$$ $$x\cot x,$$ $$(1-x^2)\tan \frac{\pi x}{2}.$$

第一原则：

$$\boxed{\text{先改写成商}}$$

例如

$$x\ln x=\frac{\ln x}{1/x}.$$

然后变成

$$\frac{-\infty }{+\infty }.$$

---

真题：$x\ln x$

站内 1993 真题：

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x.$$

写成

$$\frac{\ln x}{1/x}.$$

洛必达：

$$\lim \frac{1/x}{-1/x^2}=\lim (-x)=0.$$

所以

$$\boxed{0}.$$

但更重要的是记住增长阶：

当

$$x\to 0^{+},$$

对任意

$$\alpha >0,$$

都有

$$x^{\alpha }|\ln x|\to 0.$$

也就是：

$$\boxed{\text{幂函数战胜对数}}$$

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十五、无穷远增长速度必须掌握

当

$$x\to +\infty ,$$

一般有：

$${\ln }^{\alpha }x\ll x^{\beta }\ll a^x(a>1,\alpha ,\beta >0).$$

即：

$$\boxed{\text{对数}<\text{幂函数}<\text{指数}}$$

这是大量

$$\frac{\infty }{\infty }$$

和

$$0\cdot \infty$$

题判断主导项的基础。

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十六、题型7：幂指函数极限

包括：

$$1^{\infty },0^0,{\infty }^0.$$

考频

★★★★★

这些题形式很多，但统一解法只有一个：

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十七、万能对数法

若

$$y=f(x{)}^{g(x)},$$

且底数为正，则

$$\ln y=g(x)\ln f(x).$$

设

$$g(x)\ln f(x)\to A,$$

则

$$\boxed{y\to e^A}.$$

于是根本不用死记三种幂指型分别怎么做。

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十八、最重要的 $1^{\infty }$ 公式

若

$$u(x)\to 0,v(x)\to \infty ,$$

则

$$(1+u(x){)}^{v(x)}.$$

取对数：

$$v(x)\ln (1+u(x))\sim u(x)v(x).$$

因此只要

$$u(x)v(x)\to A,$$

就有

$$\boxed{(1+u(x){)}^{v(x)}\to e^A}.$$

这是模块1最重要的公式之一。

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十九、经典数列形式

$${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\to e.$$

更一般地：

$${\left(1+\frac{a}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)}^n\to e^a.$$

再推广：

若

$$u_n\to 0,$$

并且

$$u_n{v}_n\to A,$$

则

$$(1+u_n{)}^{v_n}\to e^A.$$

---

二十、代表真题：1987 数列 $1^{\infty }$

站内：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{n-2}{n+1}\right)}^n.$$

改写：

$$\frac{n-2}{n+1}=1-\frac{3}{n+1}.$$

所以

$$n\left(-\frac{3}{n+1}\right)\to -3.$$

因此

$$\boxed{e^{-3}}.$$

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二十一、练习题里的优秀变式

李正元题库中有：

$$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/x^2}.$$

因为

$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+o(x^2),$$

所以

$$\ln L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\ln \left(1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)\right)=-\frac{1}{6}.$$

故

$$\boxed{e^{-1/6}}.$$

这道题非常有价值，因为它说明：

对于 $1^{\infty }$，如果

$$f(x)-1$$

本身是二阶无穷小，就必须找到它的准确二阶主部。

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二十二、张宇1000题优秀变式

站内有：

$$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{\arctan x}{x}\right)}^{1/{\tan }^{2}x}.$$

因为

$$\frac{\arctan x}{x}=1-\frac{x^2}{3}+o(x^2),$$

而

$${\tan }^{2}x\sim x^2.$$

因此

$$\ln L=-\frac{1}{3},$$

得到

$$\boxed{e^{-1/3}}.$$

这是一类非常好的预测模板：

$$\boxed{{\left(\frac{\text{某函数}}{x}\right)}^{1/x^2}}$$

真正考的是这个函数三阶泰勒项。

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二十三、题型8：无穷远极限——先令 $t=1/x$

考频

★★★★☆

比如站内 2023 数三：

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^2\left(2-\frac{x}{\sin (1/x)}-\cos \frac{1}{x}\right).$$

这类题看起来很怪。

第一反应应该：

$$t=\frac{1}{x}.$$

则

$$t\to 0^{+}.$$

原式化成零点极限。

利用

$$\frac{t}{\sin t}=1+\frac{t^2}{6}+o(t^2),$$

以及

$$\cos t=1-\frac{t^2}{2}+o(t^2).$$

于是括号中最低阶就是 $t^2$。

最终得到

$$\boxed{\frac{2}{3}}.$$

这类题揭示：

$$\boxed{x\to \infty \text{ 时优先考虑 }t=\frac{1}{x}}$$

然后重新回到熟悉的 $t\to 0$ 泰勒世界。

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二十四、题型9：积分型极限

考频

★★★★☆

近年非常值得注意。

典型结构：

$${\int }_0^{x}f(t)dt.$$

如果

$$f(t)\sim C{t}^m,$$

那么

$${\int }_0^{x}f(t)dt\sim \frac{C}{m+1}{x}^{m+1}.$$

这条公式非常重要：

$$\boxed{f(t)\sim C{t}^m⟹{\int }_0^{x}f(t)dt\sim \frac{C}{m+1}{x}^{m+1}}$$

也就是说：

积分通常让无穷小阶数提高一阶。

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二十五、2024 数三真题：积分型无穷小

站内收录的题本质为：

求

$${\int }_0^x\frac{(1+t^2)\sin t^2}{1+{\cos }^{2}t}dt$$

与 $x^k$ 的阶数关系。

当

$$t\to 0$$

时：

$$1+t^2\sim 1,$$ $$\sin t^2\sim t^2,$$ $$1+{\cos }^{2}t\to 2.$$

所以被积函数

$$\sim \frac{1}{2}{t}^2.$$

于是

$${\int }_0^x\frac{1}{2}{t}^{2}dt=\frac{x^3}{6}.$$

因此：

$$\boxed{k=3}.$$

这个题型近年很重要。

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二十六、积分型极限的统一升级

如果

$$f(t)\sim C{t}^{\alpha },\alpha >-1,$$

那么

$$\boxed{{\int }_0^{x}f(t)dt\sim \frac{C}{\alpha +1}{x}^{\alpha +1}}$$

所以以后看到变限积分，不一定需要真算积分。

先找被积函数的主部。

例如：

$$\sin (t^3)\sim t^3,$$

则

$${\int }_0^x\sin (t^3)dt\sim \frac{x^4}{4}.$$

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二十七、题型10：无穷小的阶数、同阶、等价

考频

★★★★★

近年明显强化。

定义必须彻底弄清。

设

$$\alpha (x)\to 0,\beta (x)\to 0.$$

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1. 高阶无穷小

若

$$\frac{\alpha }{\beta }\to 0,$$

则

$$\alpha =o(\beta ).$$

称：

$$\alpha$$

是

$$\beta$$

的高阶无穷小。

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2. 同阶无穷小

若

$$\frac{\alpha }{\beta }\to C,0<|C|<\infty ,$$

则二者同阶。

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3. 等价无穷小

若

$$\frac{\alpha }{\beta }\to 1,$$

则

$$\alpha \sim \beta .$$

所以逻辑关系是：

$$\boxed{\text{等价}⟹\text{同阶}}$$

但反过来不成立。

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二十八、代表真题：1993

站内：

$$f(x)={\int }_0^{\sin x}\sin (t^2)dt,$$ $$g(x)=x^3+x^4.$$

因为

$$\sin (t^2)\sim t^2,$$

所以

$$f(x)\sim {\int }_0^{\sin x}{t}^{2}dt=\frac{{\sin }^{3}x}{3}\sim \frac{x^3}{3}.$$

而

$$g(x)=x^3(1+x)\sim x^3.$$

所以

$$\frac{f(x)}{g(x)}\to \frac{1}{3}.$$

不是 $1$，但非零有限。

因此：

$$\boxed{\text{同阶但不等价}}$$

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二十九、2022 真题：等价无穷小的逻辑性质

站内考查：

若

$$\alpha \sim \beta ,$$

那么：

$$\frac{\alpha }{\beta }\to 1.$$

于是立即得到

$${\left(\frac{\alpha }{\beta }\right)}^2\to 1,$$

所以

$${\alpha }^2\sim {\beta }^2.$$

同时

$$\frac{\alpha -\beta }{\alpha }=1-\frac{\beta }{\alpha }\to 0.$$

所以

$$\boxed{\alpha -\beta =o(\alpha )}$$

反之亦成立。

因此一个非常重要的等价关系是：

$$\boxed{\alpha \sim \beta ⟺\alpha -\beta =o(\alpha )}$$

也等价于

$$\boxed{\beta =\alpha +o(\alpha )}.$$

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三十、2025 数二真题：抽象 $o(\cdot )$ 关系

设

$$f=o(g).$$

又因为

$$g\to 0,$$

所以

$$e^g-1\sim g.$$

因此

$$\frac{f}{e^g-1}=\frac{f}{g}\frac{g}{e^g-1}\to 0.$$

故

$$\boxed{f=o(e^g-1)}.$$

这就是 2025 数二题的重要思想。

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三十一、但是一个大坑

由

$$f=o(g)$$

不能推出

$$f=o(g^2).$$

例如取

$$g=x,f=x^{3/2}.$$

则

$$\frac{f}{g}=\sqrt{x}\to 0,$$

所以

$$f=o(g).$$

但是

$$\frac{f}{g^2}=\frac{1}{\sqrt{x}}\to \infty .$$

因此不要乱比较阶数。

张宇1000题中也专门设计了这种抽象 $o(\cdot )$ 判断题，非常适合作为近年真题的强化。

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三十二、题型11：数列极限——普通显式数列

考频

★★★★☆

主要有：

① 根式差

有理化。

② $1^{\infty }$

取对数。

③ 多项式或指数最大项

提取最大项。

④ $n$ 次方根

夹逼或最大项原则。

---

三十三、$n$ 次方根的最大项原则

若

$$a_1,\dots ,a_m\ge 0,$$

则

$$\sqrt[n]{a_1^n+\cdots +a_m^n}\to \max \{a_1,\dots ,a_m\}.$$

因为若

$$M=\max a_i,$$

则

$$M^n\le \sum a_i^n\le m{M}^n.$$

开 $n$ 次方：

$$M\le \sqrt[n]{\sum a_i^n}\le m^{1/n}M.$$

而

$$m^{1/n}\to 1.$$

所以夹逼得

$$\boxed{M}.$$

张宇1000题专门通过

$$\sqrt[n]{{\sin }^{n}x+{\cos }^{n}x}$$

以及

$$\sqrt[n]{1+|x{|}^{3n}}$$

强化这一结论。

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三十四、题型12：数列求和极限

考频

★★★★☆

常见：

$$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right),$$

此时要立即想到：

$$\boxed{\text{定积分定义}}$$

即

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)={\int }_0^{1}f(x)dx.$$

这是数列和式极限最经典的母题。

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三十五、其他和式极限：先夹逼

例如：

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{n^2+k^2}.$$

可以估计：

$$\frac{n}{2n^2}\le \sum _{k=1}^n\frac{1}{n^2+k^2}\le \frac{n}{n^2}.$$

得到数量级

$$O\left(\frac{1}{n}\right).$$

考研不一定要求把所有和式硬变成积分。

核心依旧是：

$$\boxed{\text{找数量级}}$$

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三十六、题型13：递推数列极限

考频

★★★★★

这是一类非常重要的大题。

站内数列真题明确单独分成：

数列极限的证明与讨论。

并收录了 2013、2018 等代表大题。

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三十七、递推数列万能四步法

已知

$$x_{n+1}=f(x_n).$$

目标：

证明

$$x_n\to L.$$

标准流程：

第一步：证明有界

第二步：证明单调

得到：

$$\boxed{\text{单调有界}\Rightarrow \text{收敛}}$$

第三步：设

$$x_n\to L.$$

第四步：递推式两边取极限

得到：

$$L=f(L).$$

求不动点。

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三十八、张宇1000题典型例子：牛顿型递推

题目：

$$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right),a>0.$$

由 AM-GM：

$$x_{n+1}\ge \sqrt{a}.$$

所以有下界。

当

$$x_n\ge \sqrt{a}$$

时：

$$x_{n+1}-x_n=\frac{a-x_n^2}{2x_n}\le 0.$$

所以从某项起单调递减。

因此收敛。

设极限为 $L>0$：

$$L=\frac{1}{2}\left(L+\frac{a}{L}\right).$$

得：

$$L^2=a.$$

因此

$$\boxed{L=\sqrt{a}}.$$

这其实就是平方根迭代法。

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三十九、2018 真题：隐式递推数列

站内题：

$$x_1>0,$$

且

$$x_n{e}^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1.$$

要求证明收敛并求极限。

这类题不要急着求显式通项。

第一目标：

$$\boxed{\text{证明正性 + 单调性}}$$

站内解答利用

$$e^x>1+x$$

证明

$$x_n>0.$$

再由

$$1-e^{-x}<x$$

得到

$$x_{n+1}<x_n.$$

因此：

$$0<x_{n+1}<x_n.$$

单调有下界，所以收敛。

设

$$x_n\to A\ge 0.$$

递推式取极限：

$$A{e}^A=e^A-1.$$

即

$$1-A=e^{-A}.$$

利用

$$e^{-A}>1-A(A>0)$$

排除所有 $A>0$。

所以

$$\boxed{A=0}.$$

这是递推数列非常典型的高质量真题。

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四十、递推数列第二套方法：压缩映射思想

如果可以证明：

$$|x_{n+1}-a|\le q|x_n-a|,0<q<1,$$

那么递推：

$$|x_n-a|\le q^{n-1}|x_1-a|.$$

因为

$$q^{n-1}\to 0,$$

所以

$$\boxed{x_n\to a}.$$

张宇1000题专门给出了这一类型，并进一步推广到

$$x_{n+1}=f(x_n),$$

若

$$|f^{\prime }(x)|\le q<1,$$

则利用拉格朗日中值定理得到压缩估计。

这是一类很值得预测的新考法。

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四十一、题型14：左右极限、绝对值、$e^{1/x}$、$\arctan (1/x)$

考频

★★★★☆

一看到：

$$|x|,e^{1/x},\arctan \frac{1}{x},$$

就必须警觉：

$$\boxed{\text{检查左右极限}}$$

因为：

$$x\to 0^{+}\Rightarrow \frac{1}{x}\to +\infty ,$$

而

$$x\to 0^{-}\Rightarrow \frac{1}{x}\to -\infty .$$

所以：

$$e^{1/x}\to \{\begin{array}{ll}+\infty ,& x\to 0^{+},\\ 0,& x\to 0^{-},\end{array}$$

而

$$\arctan \frac{1}{x}\to \{\begin{array}{ll}\frac{\pi }{2},& x\to 0^{+},\\ -\frac{\pi }{2},& x\to 0^{-}.\end{array}$$

因此二侧极限往往不存在。

---

四十二、2021 大题是非常好的综合母题

站内 2021 真题：

若

$$\underset{x\to 0}{\lim }\left[\alpha \arctan \frac{1}{x}+(1+|x|{)}^{1/x}\right]$$

存在，求 $\alpha$。

右极限：

$$\arctan \frac{1}{x}\to \frac{\pi }{2},$$

同时

$$(1+x{)}^{1/x}\to e.$$

所以：

$$L_{+}=\frac{\alpha \pi }{2}+e.$$

左侧令

$$t=-x>0.$$

则

$$\arctan \frac{1}{x}\to -\frac{\pi }{2},$$

并且

$$(1+|x|{)}^{1/x}=(1+t{)}^{-1/t}\to e^{-1}.$$

所以

$$L_{-}=-\frac{\alpha \pi }{2}+e^{-1}.$$

极限存在要求：

$$L_{+}=L_{-}.$$

所以

$$\alpha \pi =e^{-1}-e.$$

即

$$\boxed{\alpha =\frac{e^{-1}-e}{\pi }}.$$

这题把：

• 左右极限；
• 绝对值；
• $\arctan \infty$；
• $1^{\infty }$

四个知识点融合到一起，非常值得重点掌握。

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四十三、题型15：函数或数列是否有极限——子列法

考频

★★★★☆

有时候问题不是“求极限”，而是：

极限到底存不存在？

判断不存在最有力的方法之一：

$$\boxed{\text{找两个子列}}$$

如果

$$x_{n_k}\to A,$$

而

$$x_{m_k}\to B,A\ne B,$$

则原数列必发散。

函数同理，可以取两条趋向同一点的路径或两组点列。

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四十四、经典真题：$x\sin x$

站内题：

$$f(x)=x\sin x.$$

当

$$x_n=\frac{\pi }{2}+2n\pi$$

时，

$$f(x_n)=x_n\to +\infty .$$

而取

$$y_n=n\pi ,$$

则

$$f(y_n)=0.$$

因此它：

• 无界；
• 但不是无穷大量；
• 也不存在有限极限。

所以：

$$\boxed{\text{无界}\nRightarrow \text{无穷大}}$$

这是极限概念中的重要陷阱。

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四十五、“无穷大”与“无界”一定要区分

无穷大要求：

对任意

$$M>0,$$

最终都有

$$|f(x)|>M.$$

而无界只要求：

能找到任意大的函数值。

比如

$$x\sin x$$

无界，但不断回到 $0$。

所以不是无穷大量。

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四十六、题型16：极限性质与逻辑判断

考频

★★★★☆

常见选择题：

如果

$$f(x)\to A,$$ $$f(x)g(x)\to B,$$

能否推出 $g(x)$ 有极限？

只有

$$A\ne 0$$

时才可以。

因为：

$$g(x)=\frac{f(x)g(x)}{f(x)}.$$

若

$$A=0,$$

结论完全可能失败。

站内 1988 真题就专门考了这一点。

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四十七、极限存在必然推出什么？

若

$$a_n\to A,$$

则：

$$\boxed{\{a_n\}\text{一定有界}}$$

但反过来：

$$\text{有界}\nRightarrow \text{收敛}.$$

例如：

$$a_n=(-1{)}^n.$$

有界但发散。

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四十八、2024 真题：发散数列的函数变换

站内 2024 数二题非常有意思。

已知

$$a_n\ne 0$$

且

$$\{a_n\}$$

发散，判断某些变换后的数列是否必发散。

关键选项涉及：

$$e^{a_n}-e^{-a_n}.$$

设

$$\phi (x)=e^x-e^{-x}=2\sinh x.$$

它在 $\mathbb{R}$ 上：

• 连续；
• 严格单调；
• 一一对应。

因此具有连续反函数。

若

$$\phi (a_n)$$

收敛，则

$$a_n={\phi }^{-1}(\phi (a_n))$$

也应收敛。

与题设矛盾。

所以

$$\boxed{e^{a_n}-e^{-a_n}\text{ 必发散}}.$$

这题说明现代真题越来越喜欢考：

$$\boxed{\text{极限性质 + 函数单调性 + 反函数}}$$

而不是单纯机械计算。

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四十九、题型17：函数性质与复合函数

模块1开头还有一小类：

• 奇偶性；
• 周期性；
• 有界性；
• 单调性；
• 复合函数；
• 反函数；
• 分段函数。

考频不如极限计算高，但小题仍会出现。

例如站内 1987 真题考：

$$f(x)=|x\sin x|e^{\cos x}.$$

利用：

$$f(-x)=f(x),$$

判断其为偶函数。

而用特殊点列还能证明其无界。

这一部分建议掌握原则，不需要像极限计算投入那么大量练习。

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五十、三种方法到底什么时候用？

这是做极限最重要的策略问题。

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第一优先：代数变形 + 等价无穷小

适合：

$$\frac{\sin x}{e^x-1},$$

这种低阶不抵消题。

最快。

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第二优先：泰勒展开

出现：

• 相减；
• 参数；
• 要判断高阶；
• $1^{\infty }$ 需要高阶；
• 多个低阶项抵消。

例如：

$$e^x-1-x,$$

就应立刻展开。

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第三优先：洛必达

适合已经化成：

$$\frac{0}{0}$$

或

$$\frac{\infty }{\infty }.$$

并且求导后明显更简单。

但洛必达不是万能的。

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五十一、什么时候不推荐洛必达？

比如：

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\sin x}{x^3}.$$

虽然能连续三次洛必达，但泰勒直接：

$$x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}.$$

秒得：

$$\frac{1}{6}.$$

又比如参数题：

$$\lim \frac{\ln (1+x)-ax-b{x}^2}{x^2}.$$

泰勒比洛必达清晰得多。

所以：

$$\boxed{\text{高阶相消题优先泰勒}}$$

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五十二、最值得背熟的泰勒展开

至少熟练到三阶：

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+o(x^4),$$ $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+o(x^4),$$ $$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}+o(x^5),$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4),$$ $$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+o(x^5),$$ $$\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}+o(x^5),$$ $$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{2}{x}^2+\frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}{x}^3+o(x^3).$$

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五十三、泰勒应该展开到几阶？

不要机械展开五六项。

核心原则：

$$\boxed{\text{展开到第一个不会被消掉的非零项}}$$

例如：

$$e^x-1-x$$

一次项被减掉，因此到二阶：

$$\frac{x^2}{2}.$$

而

$$e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$$

则必须到三阶：

$$\frac{x^3}{6}.$$

---

五十四、李正元题库中值得保留的训练类型

对照站内李正元第一章，可以认为真正值得加入模块1强化训练的是以下几类，而不是把所有题同等刷：

① 高阶 $1^{\infty }$

例如

$${\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{1/x^2}.$$

② 已知一个极限反推 $f(x)$

例如由

$$\lim \frac{\sqrt{1+f(x)\tan x}-1}{e^{2x}-1}=3$$

反求

$$\lim f(x).$$

核心仍然是主部匹配。

③ 积分 + 参数消项

④ 数列 $n$ 次根

$$\sqrt[n]{1+2^n+3^n}.$$

⑤ 分段函数左右极限。

这些都与真题方向一致。

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五十五、张宇1000题里最有价值的补充

张宇题库这部分最值得做的是：

A. 高阶无穷小嵌套

例如：

$$\ln \frac{2+\sin x}{2+x}.$$

需要先发现

$$x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}.$$

B. 抽象 $o(\cdot )$

与 2025 真题方向高度吻合。

C. 复杂 $1^{\infty }$

D. 递推数列压缩法

E. $n$ 次根最大项法。

这些比重复做几十道普通

$$\frac{\sin x}{x}$$

价值高得多。

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五十六、可以认为未来特别值得防的预测题型

结合 2022—2025 真题趋势，可以认为下面几种组合非常值得训练。

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预测1：抽象无穷小 + 复合函数

已知

$$f=o(g),g\to 0.$$

判断：

$$e^{f(x)}-1$$

与

$$g(x)$$

的关系。

因为

$$e^f-1\sim f,$$

所以

$$e^f-1=o(g).$$

这种题很容易从 2025 数二继续变化。

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五十七、预测2：变限积分 + 等价无穷小 + 参数

例如：

设

$$F(x)={\int }_0^x\ln (1+a{t}^2)\sin (bt)dt.$$

若

$$F(x)\sim x^4,$$

求 $a,b$ 的关系。

由于

$$\ln (1+a{t}^2)\sim a{t}^2,$$ $$\sin bt\sim bt,$$

所以

$$F(x)\sim ab{\int }_0^x{t}^{3}dt=\frac{ab}{4}{x}^4.$$

要等价：

$$\frac{ab}{4}=1.$$

所以：

$$\boxed{ab=4}.$$

这是非常典型的“2024 积分型 + 参数消项”组合。

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五十八、预测3：递推数列 + 无穷小阶数

设

$$x_{n+1}=\sin x_n,x_1>0.$$

除了证明

$$x_n\to 0,$$

还可能继续问：

$$x_{n+1}-x_n$$

与 $x_n^3$ 的关系。

因为：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),$$

所以

$$x_{n+1}-x_n=-\frac{x_n^3}{6}+o(x_n^3).$$

因此

$$\boxed{x_{n+1}-x_n\sim -\frac{1}{6}{x}_n^3}.$$

这就是“递推数列 + 泰勒”的进一步综合。

而 2023 真题已经出现了不同递推数列之间无穷小阶数的比较，所以这种升级非常自然。

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五十九、预测4：$1^{\infty }$ + 参数连续消项

例如：

$$\underset{x\to 0}{\lim }{\left[\frac{\sin x}{x+a{x}^3}\right]}^{1/x^2}=e.$$

先：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3).$$

所以：

$$\frac{\sin x}{x+a{x}^3}=\frac{1-\frac{x^2}{6}+o(x^2)}{1+a{x}^2}$$ $$=1-\left(a+\frac{1}{6}\right)x^2+o(x^2).$$

于是

$$L=\exp \left[-\left(a+\frac{1}{6}\right)\right].$$

要求

$$L=e,$$

所以：

$$-\left(a+\frac{1}{6}\right)=1.$$

因此

$$\boxed{a=-\frac{7}{6}}.$$

这种题一次考：

• 泰勒；
• 分式展开；
• $1^{\infty }$；
• 参数反求。

很符合强化阶段命题风格。

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六十、模块1最终应该形成的“十条条件反射”

如果把下面十条真正练熟，这一模块绝大部分题都可以迅速归类。

1

看到

$$x\to \infty$$

且含

$$\frac{1}{x}$$

先考虑：

$$t=\frac{1}{x}.$$

2

看到

$$\sqrt{A}-\sqrt{B}$$

先有理化。

3

看到

$$\infty -\infty$$

先通分/有理化，不要直接洛必达。

4

看到

$$1^{\infty },0^0,{\infty }^0$$

立即取对数。

5

看到：

$$x-\sin x,\tan x-x,e^x-1-x$$

立即想到高阶泰勒。

6

看到参数

$$a,b,c$$

和有限非零极限，立即想到：

$$\boxed{\text{低阶项必须消失}}$$

7

看到

$${\int }_0^{x}f(t)dt$$

先求 $f(t)$ 主部。

8

看到递推：

$$x_{n+1}=f(x_n)$$

先做：

$$\boxed{\text{有界}+\text{单调}+\text{不动点}}$$

9

看到

$$|x|,e^{1/x},\arctan (1/x)$$

先检查左右极限。

10

看到“等价、同阶、高阶”，立即转成：

$$\boxed{\text{比值极限}}$$

---

六十一、按照真实考研价值给模块1排优先级

综合站内历年真题和近年趋势，建议：

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六十二、模块1最重要的“统一思想”

最后把这一大章压缩成一句话：

$$\boxed{\text{极限问题的本质，就是比较两个量趋近目标的速度。}}$$

泰勒展开是在找速度：

$$f(x)=C{x}^m+o(x^m).$$

等价无穷小是在比较速度：

$$\frac{f(x)}{g(x)}\to 1.$$

高阶无穷小是在比较速度：

$$\frac{f(x)}{g(x)}\to 0.$$

积分型极限是在研究积分后的速度：

$$C{t}^m⟶\frac{C}{m+1}{x}^{m+1}.$$

幂指函数是在研究指数里的速度：

$$(1+u{)}^v⟶e^{\lim uv}.$$

递推数列是在研究：

$$x_n$$

如何一步步靠近固定点。

所以真正学会模块1之后，不应该脑子里是几十种零散技巧，而应该形成：

$$\boxed{\text{先找主部}\to \text{判断阶数}\to \text{处理相消}\to \text{求首个非零项}}$$

这就是整个考研极限模块最统一、最有迁移价值的解题框架。

站内资料也明显体现出这个方向：真题从早期的基础等价、根式和未定式，逐步发展到 2015 参数消项、2018 递推与差分、2021 左右极限综合、2022 抽象等价、2023 高阶展开与递推阶数、2024 积分阶数、2025 抽象 $o(\cdot )$ 与复合等价。

因此模块1复习的最高优先级不是刷大量重复极限，而是把“泰勒主部—阶数—消项—等价—递推”这条主线彻底打通。