高等数学模块 5：不定积分的计算

本章围绕不定积分的计算展开，以考研数学真题为主线，并参考高质量练习题进行补充，按照“题型识别 → 核心方法 → 代表题 → 易错点 → 变式拓展”的方式组织。

一、先看真题分布：到底什么最重要？

站内把模块 5 分成：

1. 不定积分的概念及性质；
2. 有理函数积分；
3. 三角有理式积分；
4. 指数有理式积分；
5. 含根式积分；
6. 两类函数相乘的积分。

其中“指数有理式”目前已经注明合并到分部积分相关内容。

按当前网站页面中的真题编号粗略统计：

这里的“28 道”不能机械理解成“分部积分考频就是其他题型的七倍”，因为站内最后一类本身收录得比较宽；但至少可以非常明确地看出：综合换元 + 分部积分 + 结构变形是真题的主战场。

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二、不定积分最底层的三个知识点

1. 原函数与不定积分

若

$$F^{\prime }(x)=f(x),$$

则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数。

全部原函数为

$$\boxed{\int f(x)dx=F(x)+C.}$$

1987 真题直接考过

$$\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C.$$

1990 真题还专门考过

$$d\left[\int f(x)dx\right]=f(x)dx.$$

这看似简单，但后面大量抽象积分题都建立在这个概念上。

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2. “有原函数”不等于“连续”

这是考研容易埋坑的地方。

连续函数一定存在原函数：

$$f\text{ 连续}⟹F(x)={\int }_{x_0}^{x}f(t)dt$$

就是一个原函数。

但是反过来不成立：

$$f\text{ 有原函数}/⟹f\text{ 连续}.$$

因为导函数可以不连续。

然而，任何导函数都具有介值性，也就是 Darboux 性质。

所以：

如果一个函数出现真正的跳跃间断，它绝不可能是导函数，因此不可能在包含该跳跃点的区间上存在原函数。

李正元第三章就安排了一道很有价值的选择题：给出四个函数，判断哪个在区间上没有原函数。关键选项在零点左右极限分别为不同常数，形成跳跃，因此利用导函数的介值性直接否定。这个题比单纯计算积分更值得掌握。

以后看到“是否存在原函数”

按这个顺序判断：

$$\boxed{\text{连续}\Rightarrow \text{肯定有原函数}}$$

若不连续，再问：

$$\boxed{\text{是不是跳跃间断？}}$$

若是，则：

$$\boxed{\text{一定不存在原函数}}$$

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三、题型一：分段函数的原函数——近年非常值得重视

这是模块 5 里非常典型的概念 + 计算结合题。

站内收录了 2016、2024 等相关真题。2016 真题给出分段函数，要求在若干个分段候选 $F(x)$ 中判断哪个才是原函数；关键不仅要各段求导正确，而且原函数自身必须在连接点连续。

统一方法

设

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{f}_1(x),& x<a,\\ f_2(x),& x\ge a.\end{array}$$

先分别积分：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}{F}_1(x)+C_1,& x<a,\\ F_2(x)+C_2,& x\ge a.\end{array}$$

但这还没有结束。

因为原函数必须可导，可导首先意味着连续，所以必须满足

$$\boxed{\underset{x\to a^{-}}{\lim }F(x)=F(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }F(x)}$$

于是得到 $C_1,C_2$ 的关系。

这就是这种题真正考的东西

不是“会不会分别积分”，而是：

$$\boxed{\text{局部积分常数不能随便取，要靠整体连续性粘起来。}}$$

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真题：2016-12，4 分

题目给出一个以 $x=1$ 为分界点的分段函数，其中两段分别涉及一次函数和 $\ln x$，要求判断一个原函数。

分别积分后右支必然出现

$$x\ln x-x+C.$$

左、右两段求导都正确之后，还必须令它们在 $x=1$ 接起来。

这道题的核心就是：

$$\boxed{\text{求导检查}+\text{连接点连续性检查}.}$$

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真题：2024-2，5 分

2024 又考了同类思想：分段给出 $f(x)$，选择它的一个原函数。

这进一步说明：

“分段原函数”不是上世纪留下来的过时知识点，而是近年仍然会考的结构。

解这种选择题甚至不一定真的完整积分。

最快策略是：

$$\boxed{\text{先对四个选项求导排错}}$$

然后只对剩余选项检查连接点连续。

通常可以很快做掉。

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四、题型二：由 $f^{\prime }$ 的复合形式反求 $f$

这是非常容易被“自变量”绕晕的一类题。

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真题：2004-1，4 分

题目给出

$$f^{\prime }(e^x)=x{e}^{-x},f(1)=0,$$

求 $f(x)$。

关键不是直接对 $x$ 积分。

令

$$t=e^x,$$

则

$$x=\ln t,e^{-x}=\frac{1}{t}.$$

于是

$$f^{\prime }(t)=\frac{\ln t}{t}.$$

积分：

$$f(t)=\frac{1}{2}(\ln t{)}^2+C.$$

再利用

$$f(1)=0$$

得

$$C=0.$$

所以

$$\boxed{f(x)=\frac{1}{2}(\ln x{)}^2,x>0.}$$

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这种题统一成一句话

看到

$$f^{\prime }(\phi (x))=g(x),$$

不要直接写

$$f(x)=\int g(x)dx.$$

而是先设

$$t=\phi (x),$$

把右边全部转换成 $t$：

$$\boxed{f^{\prime }(t)=G(t)}$$

最后再积分。

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张宇 1000 题补充题

张宇第 9 章还有一道：

$$f^{\prime }(e^x)=\sin x,$$

求 $f(x)$。

令

$$t=e^x,x=\ln t,$$

得

$$f^{\prime }(t)=\sin (\ln t).$$

于是

$$f(t)=\int \sin (\ln t)dt.$$

再令

$$u=\ln t,dt=e^{u}du,$$

变成

$$\int e^u\sin udu.$$

最终

$$\boxed{f(x)=\frac{x}{2}(\sin \ln x-\cos \ln x)+C.}$$

这一题非常适合训练“连续两次换元”。

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五、整个模块最重要的方法：先识别“微分结构”

在真正分类之前，任何积分都应该先做一次“反求导扫描”。

重点寻找：

$$\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)},$$ $$\frac{g^{\prime }(x)}{1+g^2(x)},$$ $$\frac{g^{\prime }(x)}{\sqrt{1-g^2(x)}},$$ $$g^{\prime }(x)e^{g(x)},$$ $$g^{\alpha }(x)g^{\prime }(x).$$

对应：

$$\int \frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}dx=\ln |g(x)|+C,$$ $$\int \frac{g^{\prime }(x)}{1+g^2(x)}dx=\arctan g(x)+C,$$ $$\int \frac{g^{\prime }(x)}{\sqrt{1-g^2(x)}}dx=\arcsin g(x)+C,$$ $$\int g^{\prime }(x)e^{g(x)}dx=e^{g(x)}+C.$$

为什么放在有理函数之前？

因为考研很多题表面看起来很复杂，实际上连“换元”都不需要正式写。

例如李正元有题：

$$\int \frac{x{e}^x}{(1+x{)}^2}dx.$$

一眼识别：

$${\left(\frac{e^x}{1+x}\right)}^{\prime }=\frac{x{e}^x}{(1+x{)}^2}.$$

于是直接得到

$$\boxed{\frac{e^x}{1+x}+C.}$$

这类“反向识别乘积/商的导数”的能力非常重要。

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六、题型三：有理函数积分

所谓有理函数就是

$$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)},$$

其中 $P,Q$ 都是多项式。

这一类方法是最固定的。

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第一层：先看分子是不是分母导数

例如 1999-2 真题：

$$\int \frac{x+5}{x^2-6x+13}dx.$$

分母导数：

$$2x-6.$$

主动把分子拆成

$$x+5=\frac{1}{2}(2x-6)+8.$$

因此

$$I=\frac{1}{2}\int \frac{2x-6}{x^2-6x+13}dx+8\int \frac{dx}{x^2-6x+13}.$$

第一部分直接：

$$\frac{1}{2}\ln (x^2-6x+13).$$

第二部分配方：

$$x^2-6x+13=(x-3{)}^2+4,$$

所以

$$8\int \frac{dx}{(x-3{)}^2+2^2}=4\arctan \frac{x-3}{2}.$$

于是

$$\boxed{I=\frac{1}{2}\ln (x^2-6x+13)+4\arctan \frac{x-3}{2}+C.}$$

这类题不要上来做部分分式。

核心是：

$$\boxed{\text{分子}=A\cdot \text{分母导数}+\text{剩余项}}$$

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第二层：真分式才考虑部分分式

如果

$$\mathrm{deg}P\ge \mathrm{deg}Q,$$

必须先多项式除法。

变成

$$\text{多项式}+\frac{\text{低次多项式}}{Q(x)}.$$

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第三层：分母因式分解

线性重复因子：

$$(x-a{)}^m$$

对应

$$\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a{)}^2}+\cdots +\frac{A_m}{(x-a{)}^m}.$$

不可约二次因子

$$x^2+px+q$$

对应分子一次式：

$$\frac{Bx+C}{x^2+px+q}.$$

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真题核心：2019-2，10 分

2019 数二大题：

$$\int \frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}dx.$$

这是模块 5 里非常标准、质量很高的一道“大题级有理函数积分”。

分解：

$$\frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1{)}^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}.$$

解出

$$A=-2,B=3,C=2,D=1.$$

于是

$$\frac{3x+6}{(x-1{)}^2(x^2+x+1)}=-\frac{2}{x-1}+\frac{3}{(x-1{)}^2}+\frac{2x+1}{x^2+x+1}.$$

逐项积分：

$$\boxed{I=-2\ln |x-1|-\frac{3}{x-1}+\ln (x^2+x+1)+C.}$$

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有理函数的通法

以后看到

$$\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx$$

机械执行：

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{先约分}\\ \downarrow \\ \text{假分式先除法}\\ \downarrow \\ \text{看分子是否含 }{Q}^{\prime }(x)\\ \downarrow \\ \text{Q 因式分解}\\ \downarrow \\ \text{部分分式}\\ \downarrow \\ \ln ,\arctan ,\frac{1}{(x-a{)}^k}\end{array}}$$

张宇强化题中也专门设计了带一个线性因子和一个不可约二次因子的部分分式题，非常适合作为 2019 真题之后的强化。

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七、题型四：三角有理式

这一类最重要的不是万能代换，而是：

万能代换永远能做，但不一定应该做。

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第一类：${\sin }^{m}x{\cos }^{n}x$

如果 $\sin$ 次数为奇数：

保留一个

$$\sin xdx,$$

其余利用

$${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x,$$

再令

$$u=\cos x.$$

如果 $\cos$ 次数为奇数，则反过来。

如果两者都是偶数，使用降幂公式：

$${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2},$$ $${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$

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第二类：$\tan ,\sec$

常见策略：

若有

$${\sec }^{2}xdx,$$

优先令

$$u=\tan x.$$

若有

$$\sec x\tan xdx,$$

优先令

$$u=\sec x.$$

并牢记

$${\tan }^{2}x={\sec }^{2}x-1.$$

类似地：

$${\cot }^{2}x={\csc }^{2}x-1.$$

张宇基础题一次性整理了 ${\sec }^{3}x,{\csc }^{3}x,{\tan }^{2}x,{\tan }^{3}x,{\tan }^{4}x,{\cot }^{3}x$ 等一系列基本积分，非常适合把这一套训练成条件反射。

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第三类：可以“有理化”的 $1\pm \sin x$

真题：1996-3，5 分

$$\int \frac{dx}{1+\sin x}.$$

不要直接万能代换。

乘共轭：

$$\frac{1}{1+\sin x}=\frac{1-\sin x}{1-{\sin }^{2}x}=\frac{1-\sin x}{{\cos }^{2}x}.$$

所以

$$={\sec }^{2}x-\sec x\tan x.$$

于是

$$\boxed{\int \frac{dx}{1+\sin x}=\tan x-\sec x+C.}$$

这就是非常典型的：

$$\boxed{\text{先化简，后积分}}$$

而不是

$$\boxed{\text{看到三角函数就万能代换}.}$$

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第四类：$a^2{\sin }^{2}x+b^2{\cos }^{2}x$

1987-3，大题 10 分

$$\int \frac{dx}{a^2{\sin }^{2}x+b^2{\cos }^{2}x}.$$

这里最自然的是

$$t=\tan x.$$

因为

$${\sin }^{2}x=\frac{t^2}{1+t^2},$$ $${\cos }^{2}x=\frac{1}{1+t^2},$$ $$dx=\frac{dt}{1+t^2}.$$

直接得到

$$\int \frac{dt}{a^2{t}^2+b^2}.$$

若

$$a>0,b>0,$$

则

$$\boxed{I=\frac{1}{ab}\arctan \left(\frac{a}{b}t\right)+C}$$

再代回 $t=\tan x$。

更重要的是，原题允许 $a,b$ 中一个为零，因此还必须分类讨论。这道题考的是：

$$\boxed{\text{换元}+\text{参数分类讨论}.}$$

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第五类：真正的三角有理函数万能代换

当

$$R(\sin x,\cos x)$$

既没有明显奇偶结构，又不好直接化简时，再用：

$$\boxed{t=\tan \frac{x}{2}}$$

此时

$$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},$$ $$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},$$ $$dx=\frac{2dt}{1+t^2}.$$

于是任何

$$R(\sin x,\cos x)dx$$

都变成 $t$ 的有理函数积分。

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真题：1994-123，5 分

网站中的题目

$$\int \frac{dx}{\sin 2x+2\sin x}$$

就采用了

$$t=\tan \frac{x}{2}$$

处理，最后化成一个非常简单的有理函数。

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八、题型五：含根式积分

这类题不要看到根号就只想到三角代换。

先问：

能不能直接把整个根式设成新变量？

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1. 一次根式：直接令根式为 $t$

若出现

$$\sqrt{ax+b},$$

通常优先设

$$t=\sqrt{ax+b}.$$

则

$$ax+b=t^2,$$

原来的根式彻底消失。

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真题：1987-4，4 分

$$\int e^{\sqrt{2x-1}}dx.$$

令

$$t=\sqrt{2x-1}.$$

则

$$2x-1=t^2,$$ $$dx=tdt.$$

所以

$$I=\int t{e}^{t}dt.$$

分部积分：

$$\int t{e}^{t}dt=t{e}^t-e^t.$$

于是

$$\boxed{I=(\sqrt{2x-1}-1)e^{\sqrt{2x-1}}+C.}$$

这是一道非常重要的混合模型：

$$\boxed{\text{根式换元}\to \text{分部积分}.}$$

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2. 二次根式的三个标准模型

必须熟悉：

$$\sqrt{a^2-x^2},$$ $$\sqrt{x^2+a^2},$$ $$\sqrt{x^2-a^2}.$$

常用换元分别是

$$x=a\sin t,$$ $$x=a\tan t,$$ $$x=a\sec t.$$

对应必须熟练的基本积分：

$$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C}$$

以及

$$\boxed{\int \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln \left|x+\sqrt{x^2+a^2}\right|+C.}$$

张宇第 9 章基础部分把这批标准根式积分集中列出，建议这里直接练到不需要推导。

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3. 有时应该创造一个“更聪明的变量”

真题：2001-2，6 分

网站收录了一道很漂亮的根式大题，其结构适合令

$$t=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

这是非常值得学习的换元思想。

因为

$$t^{\prime }=\frac{1}{(1+x^2{)}^{3/2}},$$

同时

$$1+t^2=\frac{1+2x^2}{1+x^2}.$$

这样原来复杂的根式与二次式可以同时被整理成

$$\frac{dt}{1+t^2},$$

最后得到 $\arctan t$。

这一题的真正价值

换元变量并不一定等于“题目里最显眼的根号”。

好的换元是：

$$\boxed{\text{既能简化根号，又能同时简化其余因子。}}$$

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九、题型六：分部积分——整个模块最高优先级

公式只有一个：

$$\boxed{\int udv=uv-\int vdu.}$$

真正难的是：

$$\boxed{u\text{ 选谁？}dv\text{ 选谁？}}$$

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1. “反对幂指三”只能当参考

常见口诀：

反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数。

一般把靠前的选为 $u$。

例如

$$\int x{e}^{x}dx$$

取

$$u=x,dv=e^{x}dx.$$

但不能机械背口诀。

真正原则是：

$$\boxed{u\text{ 求导以后要更简单，}dv\text{ 必须容易积分。}}$$

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2. 对数和反三角函数单独出现，也默认看成乘了 $1$

例如：

$$\int \ln xdx=\int \ln x\cdot 1dx.$$

所以

$$u=\ln x,dv=dx.$$

得

$$\boxed{\int \ln xdx=x\ln x-x+C.}$$

同理：

$$\boxed{\int \arctan xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C}$$

以及

$$\boxed{\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C.}$$

这三个几乎可以直接记。

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十、真题重点：反三角函数与其他函数相乘

真题：1995-5，7 分

$$I=\int (\arcsin x{)}^{2}dx.$$

第一次分部积分：

$$u=(\arcsin x{)}^2,dv=dx.$$

于是

$$I=x(\arcsin x{)}^2-2\int \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx.$$

记

$$J=\int \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}dx.$$

因为

$$\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}=-d\sqrt{1-x^2},$$

再次分部积分：

$$J=-\sqrt{1-x^2}\arcsin x+x.$$

所以

$$\boxed{I=x(\arcsin x{)}^2+2\sqrt{1-x^2}\arcsin x-2x+C.}$$

这是一道极好的“连续两次分部积分”真题。

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十一、换元后再分部——高阶题的标准套路

以后看到这种：

$$\text{复合函数}\times \text{反三角函数},$$

不要急着直接分部。

经常应该：

$$\boxed{\text{先换元把反三角函数自变量变简单}\to \text{再分部}.}$$

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真题：2018-3，4 分

$$\int e^x\arcsin (e^x)dx.$$

先令

$$t=e^x,dt=e^{x}dx.$$

得到

$$\int \arcsin tdt.$$

直接使用前面的基本结果：

$$=t\arcsin t+\sqrt{1-t^2}+C.$$

所以

$$\boxed{e^x\arcsin (e^x)+\sqrt{1-e^{2x}}+C.}$$

同时由于

$$e^x\le 1,$$

实数范围内要求

$$x\le 0.$$

这类题非常典型地说明：

复合函数不是困难，困难的是是否把它拆回基本模型。

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十二、最值得反复研究的综合真题：2018 大题

2018-12，10 分有一道：

$$\int e^{2x}\arctan \sqrt{e^x-1}dx.$$

这几乎就是模块 5 综合能力的模板题。

先看到：

$$\sqrt{e^x-1}.$$

最自然令

$$t=\sqrt{e^x-1}.$$

于是

$$e^x=1+t^2,$$

并且

$$dx=\frac{2t}{1+t^2}dt.$$

所以

$$e^{2x}dx=(1+t^2{)}^2\frac{2t}{1+t^2}dt=2t(1+t^2)dt.$$

原积分化成

$$I=\int 2t(1+t^2)\arctan tdt.$$

现在才适合分部积分。

取

$$u=\arctan t,$$ $$dv=2t(1+t^2)dt.$$

于是

$$du=\frac{dt}{1+t^2},$$ $$v=t^2+\frac{1}{2}{t}^4.$$

得到

$$I=\left(t^2+\frac{1}{2}{t}^4\right)\arctan t-\int \frac{t^2+\frac{1}{2}{t}^4}{1+t^2}dt.$$

剩下变成纯有理函数。

所以完整思维路线是：

$$\boxed{\text{根式}\to \text{换元}\to \text{反三角乘多项式}\to \text{分部}\to \text{有理函数}}$$

这正是“学会一道题，就会一类题”最典型的例子。

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十三、题型七：指数函数 × 三角函数

必须熟悉

$$\int e^{ax}\sin bxdx$$

和

$$\int e^{ax}\cos bxdx.$$

两次分部后原积分重新出现，解一个代数方程即可。

结果建议直接记住：

$$\boxed{\int e^{ax}\sin bxdx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\left(a\sin bx-b\cos bx\right)+C}$$

以及

$$\boxed{\int e^{ax}\cos bxdx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}\left(a\cos bx+b\sin bx\right)+C.}$$

2003 真题的一道大题就是先令

$$t=\arctan x,$$

最终把原积分变成

$$\int e^t\sin tdt.$$

因此这两个公式并不是孤立公式，而经常是复杂换元的最终落脚点。

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十四、题型八：不要积分——直接识别“某个乘积的导数”

真题：1997-2，5 分

$$\int e^{2x}(\tan x+1{)}^{2}dx.$$

先化：

$$(\tan x+1{)}^2={\tan }^{2}x+2\tan x+1={\sec }^{2}x+2\tan x.$$

于是

$$e^{2x}(\tan x+1{)}^2=e^{2x}\left({\sec }^{2}x+2\tan x\right).$$

注意

$${\left(e^{2x}\tan x\right)}^{\prime }=e^{2x}\left(2\tan x+{\sec }^{2}x\right).$$

因此

$$\boxed{\int e^{2x}(\tan x+1{)}^{2}dx=e^{2x}\tan x+C.}$$

这类题如果硬分部，会明显绕远。

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十五、看到 $e^{g(x)}$ 时，专门尝试这种模式

考虑：

$${\left[P(x)e^{g(x)}\right]}^{\prime }=e^{g(x)}\left[P^{\prime }(x)+P(x)g^{\prime }(x)\right].$$

所以当被积函数是

$$e^{g(x)}Q(x)$$

时，可以反过来问：

是否存在一个简单 $P(x)$，使

$$P^{\prime }+P{g}^{\prime }=Q?$$

若有，就能一步得到原函数。

这是比机械分部更高一级的思维。

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十六、题型九：抽象函数与原函数关系

这种题非常有考研味。

基本符号转换：

若 $F$ 为 $f$ 的原函数，则

$$\boxed{F^{\prime }=f.}$$

任何题出现 $f,F$ 同时存在，第一反应就是把 $f$ 换成 $F^{\prime }$。

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真题：1999-4，6 分

题目给出 $F$ 是 $f$ 的原函数，并且

$$f(x)F(x)=\frac{x{e}^x}{2(1+x{)}^2},$$

还给出初值和 $F(x)>0$ 等条件。

由于

$$f=F^{\prime },$$

所以

$$F{F}^{\prime }=\frac{x{e}^x}{2(1+x{)}^2}.$$

而

$$(F^2{)}^{\prime }=2F{F}^{\prime }.$$

所以直接得到

$$(F^2{)}^{\prime }=\frac{x{e}^x}{(1+x{)}^2}.$$

右边又恰好是

$${\left(\frac{e^x}{1+x}\right)}^{\prime }.$$

于是

$$F^2=\frac{e^x}{1+x}+C.$$

后面再利用初值和正负条件求 $F$，最后

$$f=F^{\prime }.$$

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这类题统一抽象成

若

$$A(F)f=g(x),$$

因为

$$f=F^{\prime },$$

所以

$$A(F)F^{\prime }=g(x).$$

如果找到

$$H^{\prime }(F)=A(F),$$

那么

$$\frac{d}{dx}H(F(x))=A(F)F^{\prime }.$$

于是

$$\boxed{H(F)=\int g(x)dx.}$$

这是非常值得未来继续出题的模型。

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十七、分部积分还有一种抽象考法

真题：2002-4，3 分

已知 $f(x)$ 的一个原函数为

$$(\ln x{)}^2,$$

求

$$\int x{f}^{\prime }(x)dx.$$

因为

$$f(x)={\left[(\ln x{)}^2\right]}^{\prime }=\frac{2\ln x}{x}.$$

然后分部积分：

$$\int x{f}^{\prime }(x)dx=xf(x)-\int f(x)dx.$$

而已知

$$\int f(x)dx=(\ln x{)}^2+C.$$

所以

$$\boxed{\int x{f}^{\prime }(x)dx=2\ln x-(\ln x{)}^2+C.}$$

这种题的精髓

它根本不要求求 $f^{\prime }(x)$。

利用

$$\boxed{\int udv=uv-\int vdu}$$

直接把“未知导数”降阶。

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十八、一个极其重要的技巧：积分前先拆

很多积分难不是因为方法高级，而是题目故意没有整理。

例如：

$$\frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}.$$

又例如：

$$\frac{x^2}{x^2(1+x^2)}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{1+x^2}.$$

网站 1991、1996 等涉及 $\arctan x$ 的真题就频繁使用了这种方法：

$$\boxed{\text{先拆有理因子}\to \text{再分别换元或分部}.}$$

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十九、不定积分必须注意定义域和绝对值

这是模块 5 最常见的失分细节之一。

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1. 对数

$$\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C.$$

不能无条件写成

$$\ln x+C.$$

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2. 不同连续区间上的常数可以不同

例如

$$\frac{1}{x}$$

定义域为

$$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty ).$$

严格来说两个区间的原函数可以写成

$$\ln |x|+C_1,$$

和

$$\ln |x|+C_2.$$

考研通常统一写

$$\ln |x|+C.$$

但遇到参数、反三角函数分支、分段函数时，必须知道背后的区间问题。

站内 1987 含参数三角积分的解析也特别提醒了：反正切表达式受分支影响，应在被积函数的各个连续区间内理解。

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二十、哪些积分公式值得真正背？

建议只把下面这些训练成直接反应。

第一组：复合型

$$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\ln |f(x)|+C.$$ $$\int \frac{f^{\prime }(x)}{1+f^2(x)}dx=\arctan f(x)+C.$$ $$\int \frac{f^{\prime }(x)}{\sqrt{1-f^2(x)}}dx=\arcsin f(x)+C.$$

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第二组：三角

$$\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C,$$ $$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C,$$ $$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C,$$ $$\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C.$$

以及

$$\int \sec xdx=\ln |\sec x+\tan x|+C.$$

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第三组：根式

$$\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C.$$ $$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C.$$

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第四组：分部积分结果

$$\int \ln xdx=x\ln x-x+C.$$ $$\int \arctan xdx=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C.$$ $$\int \arcsin xdx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C.$$ $$\int e^{ax}\sin bxdx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)+C.$$ $$\int e^{ax}\cos bxdx=\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)+C.$$

张宇基础部分集中覆盖了大量这些标准模型；这部分更适合当作“基本功题库”，而不是用来判断真实考频。

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二十一、考场上看到一个不定积分，到底怎么判断？

这是最建议真正形成条件反射的流程。

第 1 步：先整理，不要立刻积分

检查：

$$\boxed{\text{约分、拆项、配方、三角恒等变形、提公因式}}$$

很多题这一步做完已经结束一半。

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第 2 步：扫一遍“里面的导数在不在外面”

寻找：

$$g^{\prime }(x)\Phi (g(x)).$$

若存在：

$$\boxed{u=g(x)}$$

优先级最高。

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第 3 步：尝试直接反求导

特别检查：

$$\frac{g^{\prime }}{g},\frac{g^{\prime }}{1+g^2},\frac{g^{\prime }}{\sqrt{1-g^2}},$$

以及

$$(P{e}^g{)}^{\prime },$$ $$(P\sin x+Q\cos x{)}^{\prime }.$$

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第 4 步：如果是有理函数

$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$

执行：

$$\boxed{\text{除法}\to Q^{\prime }\text{ 拆分}\to \text{部分分式}.}$$

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第 5 步：如果是三角函数

判断：

$${\sin }^{m}x{\cos }^{n}x$$

还是

$${\tan }^{m}x{\sec }^{n}x$$

还是一般

$$R(\sin x,\cos x).$$

最后一种才考虑

$$t=\tan \frac{x}{2}.$$

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第 6 步：看到根式

先问：

$$\boxed{\text{能否直接设根式为 }t?}$$

不行再考虑：

$$x=a\sin t,x=a\tan t,x=a\sec t.$$

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第 7 步：看到 $\ln ,\arctan ,\arcsin$ 与别的东西相乘

高度怀疑：

$$\boxed{\text{分部积分}}$$

但如果它们的自变量复杂：

$$\boxed{\text{先换元，再分部}.}$$

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二十二、最值得精做的模块 5 真题

按价值而不是简单年份排列：

这些题基本覆盖了模块 5 的主干。

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二十三、练习题里可以认为特别值得补的内容

真题虽然决定重点，但有些“工具型积分”真题覆盖不连续，练习题更适合系统补齐。

张宇基础部分那一整组

$${\sec }^{3}x,{\csc }^{3}x,{\tan }^{3}x,{\tan }^{4}x,$$

以及

$$\frac{1}{a^2-x^2},\frac{1}{x^2-a^2},\frac{1}{a^2+x^2},$$

和三个经典二次根式积分，非常适合打基本功。

李正元第三章则有两类题特别值得补：

一类是原函数存在性的理论判断，尤其是利用导函数 Darboux 性质；另一类是直接识别复杂复合表达式是某个商或乘积的导数。这些能避免把所有题都做成机械换元。

另外，站内练习题解析中确实存在少数题面录入或选项异常，例如张宇第 9 章某道分段原函数题，页面已经明确指出“原题选项中的右支有明显排版或抄录错误”，并重新给出了满足求导和连接条件的原函数。这也说明：练习题答案只能作为参考，最终应以独立求导验证为准。

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二十四、基于真题规律，可以认为以后很值得防的四种新考法

预测 1：分段函数 + 原函数存在性

例如给

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}ax+b,& x<0,\\ \sin x,& x\ge 0,\end{array}$$

问什么条件下 $f$ 在整个实轴上存在原函数。

这里不能只想到连续。

如果题目设计成跳跃，就要想到：

$$\boxed{\text{导函数不能发生跳跃}}$$

这种题非常适合选择题。

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预测 2：给出一个分段原函数候选，两个区间分别允许不同常数

未来可以结合：

$$(-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$$

这种非连通定义域考察。

例如

$$f(x)=\frac{1}{x}.$$

其原函数在两个区间分别可以为

$$\ln |x|+C_1,$$ $$\ln |x|+C_2.$$

这种题能把“积分常数”考得比传统题更深。

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预测 3：抽象 $F^{\prime }=f$ 与复合函数一起考

例如：

$$F^{\prime }(x)=f(x),$$

且

$$(1+F^2(x))f(x)=e^x.$$

此时直接：

$$(1+F^2)F^{\prime }=e^x.$$

于是

$${\left(F+\frac{1}{3}{F}^3\right)}^{\prime }=e^x.$$

得到

$$\boxed{F+\frac{1}{3}{F}^3=e^x+C.}$$

这就是 1999 真题 $F{F}^{\prime }$ 模型非常自然的升级。

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预测 4：复杂复合函数，第一步必须换元，第二步才能看出分部

例如自拟：

$$I=\int x{e}^{x^2}\arctan (e^{x^2})dx.$$

先设

$$t=e^{x^2}.$$

因为

$$dt=2x{e}^{x^2}dx,$$

所以

$$I=\frac{1}{2}\int \arctan tdt.$$

再分部：

$$\int \arctan tdt=t\arctan t-\frac{1}{2}\ln (1+t^2).$$

最终

$$\boxed{I=\frac{1}{2}{e}^{x^2}\arctan (e^{x^2})-\frac{1}{4}\ln (1+e^{2x^2})+C.}$$

这就是近年综合积分最应该训练的“二层识别”。

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二十五、最后把模块 5 压缩成一张真正能做题的知识图

以后拿到任何不定积分，脑中应该出现的是：

$$\boxed{\begin{array}{c}\text{先整理被积函数}\\ \downarrow \\ \text{有没有 }{g}^{\prime }(x)\Phi (g(x))?\\ \text{有：换元}\\ \downarrow \\ \text{能否直接认成某个函数的导数？}\\ \text{能：直接写原函数}\\ \downarrow \\ \text{有理函数？}\\ \text{除法 + 导数拆分 + 部分分式}\\ \downarrow \\ \text{三角函数？}\\ \text{奇偶次数 → 恒等变形 → }\tan x\text{ → 万能代换}\\ \downarrow \\ \text{根式？}\\ \text{根式整体换元 → 三角换元}\\ \downarrow \\ \ln ,\arctan ,\arcsin \text{ 与其他函数相乘？}\\ \text{换元后分部积分}\\ \downarrow \\ F^{\prime }=f\text{？}\\ \text{把抽象函数关系变成某个复合函数的导数}\end{array}}$$

而在这套系统中，最重要的三个能力是：

$$\boxed{\text{第一：看见内层函数及其导数}}$$ $$\boxed{\text{第二：主动整理出标准结构}}$$ $$\boxed{\text{第三：知道什么时候“先换元，再分部”}}$$

如果这三件事真正练熟，模块 5 就不会再是一堆杂乱的积分技巧，而会变成一套非常稳定的结构识别系统。

从站内真题来看，最值得作为这套体系“母题”的是 2019 有理函数大题、1995 $(\arcsin x{)}^2$、1999 抽象 $F,f$ 原函数题、2003 换元后 $e^t\sin t$、2018 根式 + 反三角综合题，以及 2016/2024 分段原函数题。把这几类真正吃透，比机械刷几十个相似积分有效得多。