高等数学模块 3：导数的计算

本章围绕导数的计算展开，以考研数学真题为主线，并参考高质量练习题进行补充，按照“题型识别 → 核心方法 → 代表题 → 易错点 → 变式拓展”的方式组织。

一、先看整个模块到底考什么

从站内收录的历年真题看，这一模块可以压缩成下面 10 个核心母题。

其中真正需要重点强化的是：

隐函数 + 参数方程 + 变限积分 + 多元复合/隐函数。

最近几年仍然不断出现，例如 2022 年一元隐函数二阶导数，2024 年多元隐函数二阶偏导、变量代换后的二阶偏导，2025 年又把隐函数、变限积分、二阶偏导组合起来考。

---

二、所有求导题的底层框架

真正需要掌握的不是几十个零散公式，而是以下五层。

第一层：基本公式

最基础的必须做到条件反射，例如

$$(x^{\alpha }{)}^{\prime }=\alpha x^{\alpha -1},$$ $$(e^x{)}^{\prime }=e^x,$$ $$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a,$$ $$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x},$$ $$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,$$ $$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x,$$

以及常见反三角函数。

但考研现在极少只是问一个纯公式。

真正的题一般长成

$$f(g(h(x))).$$

因此核心始终是链式法则

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dv}\frac{dv}{dx}.$$

---

三、题型一：复杂显函数、复合函数

母题识别

看到

$$\sin (e^{x^2}),e^{\tan (1/x)},\ln \sqrt{1+x^2},$$

这类东西，本质只有一句话：

从外向内求导，最后乘上所有内层导数。

---

真题：2021 数三

网站收录：

若

$$y=\cos \sqrt{e^{-x}},$$

求指定点处导数。

这类题不要“整体硬背”。

令

$$u=\sqrt{e^{-x}}=e^{-x/2}.$$

于是

$$y=\cos u.$$

因此

$$y^{\prime }=-\sin u\cdot u^{\prime }.$$

又

$$u^{\prime }=-\frac{1}{2}{e}^{-x/2}.$$

所以

$$\boxed{y^{\prime }=\frac{1}{2}{e}^{-x/2}\sin (e^{-x/2})}.$$

这道题真正训练什么？

不是这一个导数，而是一个非常通用的“洋葱模型”：

$$x\to e^{-x}\to \sqrt{e^{-x}}\to \cos \sqrt{e^{-x}}.$$

每经过一层，就乘一次导数。

---

四、题型二：幂指函数——优先对数求导

这是非常容易计算爆炸的一类。

如果

$$y=u(x{)}^{v(x)},$$

不要直接套一个巨大公式。

先写

$$\ln y=v(x)\ln u(x).$$

然后求导：

$$\frac{y^{\prime }}{y}=v^{\prime }\ln u+v\frac{u^{\prime }}{u}.$$

因此

$$\boxed{y^{\prime }=u^v\left(v^{\prime }\ln u+v\frac{u^{\prime }}{u}\right)}.$$

---

真题：2005 数二

网站题目：

$$y=(1+\sin x{)}^x,$$

求 $x=\pi$ 时的微分。

取对数：

$$\ln y=x\ln (1+\sin x).$$

于是

$$\frac{y^{\prime }}{y}=\ln (1+\sin x)+\frac{x\cos x}{1+\sin x}.$$

所以

$$y^{\prime }=(1+\sin x{)}^x\left[\ln (1+\sin x)+\frac{x\cos x}{1+\sin x}\right].$$

在 $x=\pi$ 时：

$$(1+\sin \pi {)}^{\pi }=1,$$ $$\ln (1+\sin \pi )=0,$$ $$\frac{\pi \cos \pi }{1+\sin \pi }=-\pi .$$

因此

$$\boxed{y^{\prime }(\pi )=-\pi }$$

从而

$$\boxed{dy=-\pi dx}.$$

---

一句话判断

只要看到

$$f(x{)}^{g(x)}$$

第一反应就是：

$$\boxed{\text{取对数}}$$

而不是硬求导。

---

五、题型三：一元隐函数求导——超级高频母题

这是模块3最重要的一类之一。

若题目不给

$$y=f(x),$$

而是给

$$F(x,y)=0,$$

那么 $y$ 是 $x$ 的函数。

最核心公式：

$$F_x+F_y{y}^{\prime }=0.$$

所以

$$\boxed{y^{\prime }=-\frac{F_x}{F_y}}.$$

但考研时往往直接对原方程求导反而最快。

---

六、隐函数一阶导数的核心规则

例如

$$e^{xy}+y^2=\cos x.$$

千万不能把 $y$ 当常数。

因为

$$(xy{)}^{\prime }=y+x{y}^{\prime }.$$

所以

$$(e^{xy}{)}^{\prime }=e^{xy}(y+x{y}^{\prime }).$$

同时

$$(y^2{)}^{\prime }=2y{y}^{\prime }.$$

于是

$$e^{xy}(y+x{y}^{\prime })+2y{y}^{\prime }=-\sin x.$$

把所有 $y^{\prime }$ 放一起：

$$(x{e}^{xy}+2y)y^{\prime }=-\sin x-y{e}^{xy}.$$

因此

$$\boxed{y^{\prime }=-\frac{\sin x+y{e}^{xy}}{x{e}^{xy}+2y}}.$$

这正是网站收录的 1994 年真题类型。

---

七、隐函数求某点导数：第一步永远不是求导

这是一类非常重要的考试习惯。

若题目问

$$y^{\prime }(0),y^{\prime \prime }(0),$$

正确顺序：

$$\boxed{\text{先代 }x=0\text{ 求 }y(0)}$$

然后才求导。

---

真题：2022 数二

网站题目：

$$x^2+xy+y^3=3$$

确定 $y=y(x)$，求

$$y^{\prime \prime }(1).$$

网站给出的结果为

$$-\frac{31}{32}.$$

完整推导如下。

第一步：求 $y(1)$

代入 $x=1$：

$$1+y+y^3=3.$$

所以

$$y^3+y-2=0.$$

显然

$$y=1.$$

因此

$$y(1)=1.$$

---

第二步：第一次求导

原式

$$x^2+xy+y^3=3.$$

求导：

$$2x+y+x{y}^{\prime }+3y^2{y}^{\prime }=0.$$

整理：

$$(x+3y^2)y^{\prime }=-(2x+y).$$

所以

$$y^{\prime }=-\frac{2x+y}{x+3y^2}.$$

代入

$$x=1,y=1,$$

得到

$$y^{\prime }(1)=-\frac{3}{4}.$$

---

第三步：再次求导

对

$$2x+y+x{y}^{\prime }+3y^2{y}^{\prime }=0$$

再求导：

$$2+y^{\prime }+(y^{\prime }+x{y}^{\prime \prime })+6y(y^{\prime }{)}^2+3y^2{y}^{\prime \prime }=0.$$

即

$$2+2y^{\prime }+6y(y^{\prime }{)}^2+(x+3y^2)y^{\prime \prime }=0.$$

所以

$$y^{\prime \prime }=-\frac{2+2y^{\prime }+6y(y^{\prime }{)}^2}{x+3y^2}.$$

代入

$$x=1,y=1,y^{\prime }=-\frac{3}{4}$$

得到

$$y^{\prime \prime }(1)=-\frac{2-\frac{3}{2}+6\cdot \frac{9}{16}}{4}.$$

由于

$$2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2},$$ $$6\cdot \frac{9}{16}=\frac{27}{8},$$

所以

$$\frac{1}{2}+\frac{27}{8}=\frac{31}{8}.$$

最终

$$\boxed{y^{\prime \prime }(1)=-\frac{31}{32}}.$$

---

八、隐函数二阶导数通法

遇到

$$F(x,y)=0,$$

理论上有

$$y^{\prime }=-\frac{F_x}{F_y}.$$

继续求导可以得到

$$\boxed{y^{\prime \prime }=-\frac{F_{xx}+2F_{xy}{y}^{\prime }+F_{yy}(y^{\prime }{)}^2}{F_y}}.$$

这是一个非常好的检查公式。

但考试中如果 $F(x,y)$ 很具体：

第一次隐式求导得到关系式，再直接对那个关系式求一次导数，通常更稳。

---

九、题型四：参数方程求导

网站专门把参数方程单独列了一大类，并标注为数一、数二重要题型。历年包括 1989、1991、1994、1996、2010、2013、2015、2017、2020、2021、2023 等多次真题。

若

$$\{\begin{array}{l}x=\phi (t),\\ y=\psi (t),\end{array}$$

那么

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}}.$$

---

十、参数方程二阶导数——最容易错

不要写成

$$\frac{y^{\prime \prime }(t)}{x^{\prime \prime }(t)}.$$

这是错的。

正确公式：

$$\boxed{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}}.$$

记忆：

先求 $dy/dx$，再对 $t$ 求导，最后再除一次 $dx/dt$。

---

真题：2015 数二

网站题目：

$$\{\begin{array}{l}x=\arctan t,\\ y=3t+t^3,\end{array}$$

求

$${\frac{d^{2}y}{d{x}^2}|}_{t=1}.$$

先有

$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^2},$$ $$\frac{dy}{dt}=3+3t^2=3(1+t^2).$$

因此

$$\frac{dy}{dx}=3(1+t^2{)}^2.$$

对 $t$ 求导：

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=12t(1+t^2).$$

再除以

$$\frac{dx}{dt}=\frac{1}{1+t^2},$$

得到

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=12t(1+t^2{)}^2.$$

令 $t=1$：

$$\boxed{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=48}.$$

---

十一、参数方程的新趋势：分段、绝对值、可导性

2023 数一/数二真题已经不满足于要求机械求导，而是给

$$x=2t+|t|,y=|t|\sin t$$

要求判断由此定义的函数的连续性、一阶导和二阶导情况。

这代表一个很值得注意的趋势：

参数方程 + 分段函数 + 导数定义。

处理原则不是直接套参数公式，而是：

1. $t>0$ 分一段；
2. $t<0$ 分一段；
3. 反解 $t=t(x)$；
4. 得到 $f(x)$ 的分段表达式；
5. 在分界点用导数定义检查。

这种题可以作为未来继续变式的重要方向。

---

十二、题型五：反函数的导数

如果

$$y=f(x)$$

存在反函数

$$x=f^{-1}(y),$$

那么

$$\boxed{(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}}$$

其中

$$y_0=f(x_0).$$

注意最重要的一步：

先找 $y_0$ 对应的 $x_0$。

---

真题：2013 数二

网站题目构造

$$f(x)={\int }_{-1}^x\sqrt{1-e^t}dt,$$

再求其反函数在 $y=0$ 处的导数。

因为

$$f(-1)=0,$$

所以

$$y_0=0$$

对应

$$x_0=-1.$$

微积分基本定理：

$$f^{\prime }(x)=\sqrt{1-e^x}.$$

因此

$$\boxed{(f^{-1}{)}^{\prime }(0)=\frac{1}{f^{\prime }(-1)}}.$$

这类题本质是：

$$\boxed{\text{反函数公式}+\text{变限积分求导}}$$

考研特别喜欢把两个简单知识点组合起来。

---

十三、题型六：变限积分求导——模块3的大重点

网站真题把这一类进一步划成三种，非常合理：

A 类：被积函数不含外变量

$$F(x)={\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(t)dt.$$

直接：

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(\beta (x)){\beta }^{\prime }(x)-f(\alpha (x)){\alpha }^{\prime }(x)}.$$

口诀：

上限正，下限负，再乘各自导数。

---

十四、B 类：被积函数含 $x$，但可以拆出来

例如网站 2015 真题类型：

$$\phi (x)={\int }_0^{x^2}xf(t)dt.$$

因为积分变量是 $t$，所以外面的 $x$ 是常量：

$$\phi (x)=x{\int }_0^{x^2}f(t)dt.$$

于是

$${\phi }^{\prime }(x)={\int }_0^{x^2}f(t)dt+2x^{2}f(x^2).$$

网站进一步给

$$\phi (1)=1,{\phi }^{\prime }(1)=5,$$

即可推出

$$f(1)=2.$$

---

十五、C 类：被积函数含 $x$，而且拆不出来

这类是真正有区分度的。

典型结构：

$$F(x)={\int }_0^{x}tf(x^2-t^2)dt.$$

网站 1998 真题正是这一结构。

如果直接对 $x$ 求导，会出现

$$f^{\prime }$$

但题目只说明 $f$ 连续。

这是一个非常明显的信号：

题目不允许直接对 integrand 求导，必须先换元。

令

$$u=x^2-t^2.$$

则

$$du=-2tdt.$$

于是

$$F(x)=\frac{1}{2}{\int }_0^{x^2}f(u)du.$$

现在再求导：

$$F^{\prime }(x)=\frac{1}{2}f(x^2)\cdot 2x.$$

所以

$$\boxed{F^{\prime }(x)=xf(x^2)}.$$

---

十六、变限积分的最高级通法：Leibniz 公式

若条件允许，

$$F(x)={\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,t)dt,$$

则

$$\boxed{F^{\prime }(x)=f(x,\beta (x)){\beta }^{\prime }(x)-f(x,\alpha (x)){\alpha }^{\prime }(x)+{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt}.$$

这是所有变限积分求导问题的总公式。

但是考试中一定先判断：

如果题目只说 $f$ 连续

而 Leibniz 公式会产生

$$f^{\prime },$$

那么通常意味着：

$$\boxed{\text{先换元、化简}}$$

而不是强行 Leibniz。

这是非常重要的“条件反推解法”。

---

十七、卷积型变限积分

网站还收录了典型结构

$${\int }_0^{x}tf(x-t)dt$$

以及

$${\int }_0^{x}tf(2x-t)dt$$

一类大题。

这类看到

$$x-t,2x-t$$

首先考虑换元：

$$u=x-t$$

或

$$u=2x-t.$$

目的不是为了“求积分”，而是：

把未知函数的自变量改成单纯的 $u$，让外面的 $x$ 变成多项式系数。

然后再使用 Leibniz 公式。

这是一个非常典型的考研母题。

---

十八、题型七：高阶导数

网站专门汇总了高阶导数真题，例如：

• 1990：由 $f^{\prime }=f^2$ 求 $f^{(n)}$
• 1991：$x{e}^x$ 的 $n$ 阶导数
• 1995：有理函数的 $n$ 阶导数。

高阶导数主要只有四种通法。

---

方法1：先化成标准幂函数

比如

$$f(x)=\frac{1-x}{1+x}.$$

不要连续商法则。

化成

$$f(x)=-1+\frac{2}{1+x}.$$

即

$$f(x)=-1+2(1+x{)}^{-1}.$$

于是对于 $n\ge 1$，

$$\boxed{f^{(n)}(x)=2(-1{)}^{n}n!(1+x{)}^{-n-1}}.$$

---

十九、方法2：Leibniz 高阶乘积公式

$$\boxed{(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}}.$$

尤其适合

$$x^m{e}^{ax},$$

因为

$$(x^m{)}^{(k)}=0$$

当 $k>m$。

比如

$$f(x)=x{e}^x.$$

只有两项留下：

$$f^{(n)}=x{e}^x+n{e}^x.$$

因此

$$\boxed{f^{(n)}(x)=(x+n)e^x}.$$

---

二十、方法3：递推 → 猜公式 → 归纳

网站 1990 真题：

$$f^{\prime }(x)=f^2(x).$$

计算：

$$f^{\prime }=f^2,$$ $$f^{\prime \prime }=2f{f}^{\prime }=2f^3,$$ $$f^{\prime \prime \prime }=6f^4.$$

发现规律

$$f^{(n)}=n!f^{n+1}.$$

再归纳验证：

若

$$f^{(n)}=n!f^{n+1},$$

则

$$f^{(n+1)}=n!(n+1)f^n{f}^{\prime }$$

而

$$f^{\prime }=f^2,$$

于是

$$f^{(n+1)}=(n+1)!f^{n+2}.$$

所以

$$\boxed{f^{(n)}(x)=n![f(x){]}^{n+1}}.$$

---

二十一、高阶导数的快速判断

看到以下结构分别想到：

$$\frac{1}{a+bx}$$

→ 化成

$$(a+bx{)}^{-1}.$$

---

$$e^{ax}\sin bx$$

→ 可以考虑复数法或递推。

---

$$x^m{e}^{ax}$$

→ Leibniz。

---

$$f^{\prime }=P(f)$$

→ 连续求几阶寻找规律。

---

二十二、进入多元函数：最核心观念

多元求导难点不在公式，而在：

谁是变量，谁暂时当常数。

若

$$z=f(x,y),$$

求

$$\frac{\partial z}{\partial x}$$

时，

$$y$$

全部视为常数。

例如

$$z=e^{xy}.$$

则

$$z_x=y{e}^{xy},$$

而

$$z_y=x{e}^{xy}.$$

---

二十三、题型八：全微分

若

$$z=f(x,y),$$

可微，则

$$\boxed{dz=f_{x}dx+f_{y}dy}.$$

网站从早期真题到 2023、2024 都持续出现这类形式。

例如

$$z=e^{\sin (xy)}.$$

令

$$u=xy.$$

则

$$dz=e^{\sin u}\cos udu.$$

而

$$du=ydx+xdy.$$

于是

$$\boxed{dz=e^{\sin (xy)}\cos (xy)(ydx+xdy)}.$$

这个“微分链”在复杂题里往往比一项项求偏导更漂亮。

---

二十四、题型九：多元复合函数偏导——超级重点

这是整个模块3里最值得建立统一框架的一类。

若

$$z=f(u,v),$$

且

$$u=u(x,y),v=v(x,y),$$

那么

$$\boxed{z_x=f_u{u}_x+f_v{v}_x}$$

以及

$$\boxed{z_y=f_u{u}_y+f_v{v}_y}.$$

---

二十五、千万不要把 $f_x$ 和 $f_u$ 混淆

比如网站早年真题：

$$u=f(x,xy).$$

最好重新命名：

$$\xi =x,\eta =xy.$$

于是

$$u=f(\xi ,\eta ).$$

求 $x$ 偏导：

$$u_x=f_{\xi }{\xi }_x+f_{\eta }{\eta }_x.$$

其中

$${\xi }_x=1,{\eta }_x=y.$$

所以

$$\boxed{u_x=f_1(x,xy)+y{f}_2(x,xy)}.$$

---

二十六、真正通用的“路径法”

对于

$$z=f(u_1,u_2,\dots ,u_n),$$

可以把变量依赖画成图：

$$x\to u_1\to z,$$ $$x\to u_2\to z.$$

那么

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial x}=\sum _i\frac{\partial z}{\partial u_i}\frac{\partial u_i}{\partial x}}.$$

一句话：

所有从 $x$ 通向 $z$ 的路径，沿路径乘导数，最后相加。

以后遇到三层、四层抽象复合函数都可以这样做。

---

二十七、多元二阶复合偏导——重点中的难点

例如

$$z=f(u,v),$$

求

$$z_{xy}.$$

先求

$$z_x=f_u{u}_x+f_v{v}_x.$$

然后整个式子再对 $y$ 求导。

关键问题：

$$f_u$$

本身也是 $u,v$ 的函数。

所以

$$\frac{\partial f_u}{\partial y}=f_{uu}{u}_y+f_{uv}{v}_y.$$

最终

$$\boxed{\begin{array}{rl}{z}_{xy}=& f_{uu}{u}_x{u}_y+f_{uv}{v}_y{u}_x\\ & +f_u{u}_{xy}\\ & +f_{vu}{u}_y{v}_x+f_{vv}{v}_x{v}_y\\ & +f_v{v}_{xy}.\end{array}}$$

若二阶偏导连续：

$$f_{uv}=f_{vu}.$$

---

二十八、网站经典真题：1992

题目类型：

$$z=f(e^x\sin y,x^2+y^2),$$

求

$$z_{xy}.$$

设

$$u=e^x\sin y,v=x^2+y^2.$$

那么

$$u_x=e^x\sin y,$$ $$u_y=e^x\cos y,$$ $$u_{xy}=e^x\cos y,$$

以及

$$v_x=2x,v_y=2y.$$

先写

$$z_x=f_u{u}_x+f_v{v}_x.$$

再对 $y$ 求。

这种题最好的做法不是背最后公式，而是：

$$\boxed{\text{一阶链式法则}\to \text{把所得结果整体再求一次}}$$

这样最不容易漏项。

---

二十九、多元抽象题的进阶视角：Jacobian

如果

$$\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}u(x,y)\\ v(x,y)\end{array}\right),$$

那么梯度满足

$$\boxed{{\nabla }_{x,y}z=J^T{\nabla }_{u,v}f}$$

其中

$$J=\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right).$$

虽然考研不要求必须用矩阵写，但这个理解非常有帮助：

链式法则本质上就是 Jacobian 相乘。

这样以后遇到变量代换就不会觉得是新题。

---

三十、题型十：齐次函数和结构型求导

网站有真题：

$$z=xyf\left(\frac{x}{y}\right).$$

观察缩放：

$$z(tx,ty)=(tx)(ty)f\left(\frac{tx}{ty}\right).$$

所以

$$z(tx,ty)=t^{2}z(x,y).$$

这是二次齐次函数。

Euler 定理：

$$\boxed{x{z}_x+y{z}_y=2z}.$$

因此

$$\boxed{x{z}_x+y{z}_y=2xyf\left(\frac{x}{y}\right)}.$$

---

重要识别规律

出现

$$\frac{x}{y},\frac{y}{x},xy$$

组合时，先观察齐次性。

很多题不用真的展开偏导。

---

三十一、题型十一：多元隐函数——近年超级重点

若

$$F(x,y,z)=0$$

确定

$$z=z(x,y),$$

那么

$$F_x+F_z{z}_x=0,$$

于是

$$\boxed{z_x=-\frac{F_x}{F_z}}.$$

同理

$$\boxed{z_y=-\frac{F_y}{F_z}}.$$

这就是多元版隐函数求导。

---

三十二、最好理解为全微分

$$F(x,y,z)=0.$$

全微分：

$$F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz=0.$$

所以

$$dz=-\frac{F_x}{F_z}dx-\frac{F_y}{F_z}dy.$$

于是立刻读出：

$$z_x=-\frac{F_x}{F_z},$$ $$z_y=-\frac{F_y}{F_z}.$$

---

三十三、多元隐函数二阶偏导

这是最近几年重要度明显很高的题型。

若

$$F(x,y,z(x,y))=0,$$

第一次：

$$F_x+F_z{z}_x=0.$$

对 $x$ 再求一次：

$$F_{xx}+F_{xz}{z}_x+(F_{zx}+F_{zz}{z}_x)z_x+F_z{z}_{xx}=0.$$

若二阶连续：

$$F_{xz}=F_{zx},$$

则

$$\boxed{F_{xx}+2F_{xz}{z}_x+F_{zz}{z}_x^2+F_z{z}_{xx}=0}.$$

所以

$$\boxed{z_{xx}=-\frac{F_{xx}+2F_{xz}{z}_x+F_{zz}{z}_x^2}{F_z}}.$$

---

三十四、真题：2024 数三

网站题目：

$$z+e^x-y\ln (1+z^2)=0,$$

求原点对应的

$$z_{xx}+z_{yy}.$$

第一步永远先求点对应的 $z$。

当

$$x=y=0,$$

方程变成

$$z+1=0.$$

所以

$$z=-1.$$

设

$$F(x,y,z)=z+e^x-y\ln (1+z^2).$$

然后依次计算

$$F_x,F_y,F_z$$

得到

$$z_x,z_y,$$

最后再使用上面的二阶公式。

这道题非常典型，因为考的是：

$$\boxed{\text{确定隐函数值}\to \text{一阶偏导}\to \text{二阶偏导}}$$

这种三层套路。

---

三十五、2025 真题进一步升级：隐函数 + 变限积分

网站 2025 数二题给出类似

$$z+\ln z-{\int }_y^x{e}^{-t^2}dt=0,$$

要求

$$z_x+z_y.$$

设

$$F(x,y,z)=z+\ln z-{\int }_y^x{e}^{-t^2}dt.$$

则

$$F_x=-e^{-x^2},$$ $$F_y=e^{-y^2},$$ $$F_z=1+\frac{1}{z}=\frac{z+1}{z}.$$

所以

$$z_x=-\frac{F_x}{F_z}=\frac{z}{z+1}{e}^{-x^2},$$ $$z_y=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{z}{z+1}{e}^{-y^2}.$$

于是

$$\boxed{z_x+z_y=\frac{z}{z+1}\left(e^{-x^2}-e^{-y^2}\right)}.$$

这道题非常值得重视。

因为它证明了现在模块3不是“单纯求导”。

而是：

$$\boxed{\text{隐函数}+\text{变限积分}+\text{多元偏导}}$$

三个知识点组合。

---

三十六、2025 数三：二阶隐函数继续考

网站又有

$$z+\ln z-x{\int }_y^x{e}^{-t^2}dt=1$$

求指定点的

$$z_{xx}.$$

这体现一个非常明显的命题方向：

一阶公式已经太基础，因此题目会加入一个积分、乘积或抽象函数，再问二阶偏导。

所以未来复习多元隐函数时，不能只练

$$z_x=-\frac{F_x}{F_z}.$$

至少要练到：

$$z_{xx},z_{xy},z_{yy}.$$

---

三十七、题型十二：变量代换后的二阶偏导

这是数一、数二、数三尤其值得拉开差距的一类综合题。

网站 2024 数二大题：

$$g(x,y)=f(2x+y,3x-y),$$

且满足某个

$$g_{xx}+g_{xy}-6g_{yy}$$

关系，要求反推出

$$f_{uv}.$$

令

$$u=2x+y,v=3x-y.$$

那么最漂亮的方法是写微分算子：

$$\boxed{\frac{\partial }{\partial x}=2\frac{\partial }{\partial u}+3\frac{\partial }{\partial v}}$$

以及

$$\boxed{\frac{\partial }{\partial y}=\frac{\partial }{\partial u}-\frac{\partial }{\partial v}}.$$

---

二阶直接平方

$$\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}={\left(2{\partial }_u+3{\partial }_v\right)}^2.$$

所以

$$g_{xx}=4f_{uu}+12f_{uv}+9f_{vv}.$$

类似地：

$$g_{xy}=2f_{uu}+f_{uv}-3f_{vv},$$ $$g_{yy}=f_{uu}-2f_{uv}+f_{vv}.$$

代入题目组合后，大量项自动消掉。

这种题如果一阶一阶展开，也能做，但很容易漏项。

---

三十八、微分算子法什么时候特别好用？

只要变量代换是线性的：

$$u=ax+by,v=cx+dy,$$

那么优先写

$${\partial }_x=a{\partial }_u+c{\partial }_v,$$ $${\partial }_y=b{\partial }_u+d{\partial }_v.$$

这是一个非常值得形成条件反射的技巧。

---

三十九、2025 数一：把偏微分方程降成常微分方程

网站 2025 数一大题：

$$g(x,y)=f\left(\frac{x}{y}\right)$$

满足由

$$g_{xx},g_{xy},g_{yy}$$

组成的偏微分方程，再要求求 $f$。

核心替换：

$$u=\frac{x}{y}.$$

然后所有偏导最终都会变成

$$f^{\prime }(u),f^{\prime \prime }(u).$$

原本的二元 PDE 最终化为一元 ODE：

$$u^2{f}^{\prime \prime }(u)+u{f}^{\prime }(u)=1.$$

而

$$u^2{f}^{\prime \prime }+u{f}^{\prime }=u(u{f}^{\prime }{)}^{\prime }.$$

所以

$$(u{f}^{\prime }{)}^{\prime }=\frac{1}{u}.$$

于是问题瞬间变成微分方程。

这是一类非常典型的“综合升级”：

$$\boxed{多元链式法则\to 降维\to 常微分方程}$$

这很可能继续成为未来数一大题的重要变式。

---

四十、练习题里特别值得做的几类

站内的李正元和张宇1000题，对模块3的价值不是增加“题量”，而是补足真题没完全覆盖的结构。

---

1. 李正元：导数定义的反例题

例如给一个极限条件，要求判断 $f(a)$ 是否可导。

这类题价值非常高，因为它避免形成错误习惯：

“看到一个长得像差商的极限，就认为导数存在。”

实际上必须严格变形成

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

或左右导数。

李正元中就有题专门说明：某个涉及

$$f(a-t)-f(a+t)$$

的极限存在，仍不足以推出 $f$ 在 $a$ 可导。

---

四十一、2. 张宇1000题：嵌套复合函数

网站第4章有题：

$$h(x)=f(1+g(x)),$$

已知一些函数值和导数值，反求 $g(1)$。

这种题不难，但非常适合训练：

$$h^{\prime }=f^{\prime }(1+g)g^{\prime }.$$

真正考的是：

导数值也是方程条件。

以后看到

$$f^{\prime }(a),g^{\prime }(a),h^{\prime }(a)$$

不要只想着“求导”，还要想到：

$$\boxed{\text{代入以后解未知量}}$$

---

四十二、3. 李正元：多元嵌套函数

网站有一道很有价值的题：

$$\Phi (x)=f(x,2f(x,2f(x,2x)))$$

给定

$$f(1,2),f_x(1,2),f_y(1,2),$$

求

$${\Phi }^{\prime }(1).$$

这种题最好的方法绝不是一口气求。

定义

$$u(x)=f(x,2x),$$ $$v(x)=f(x,2u(x)),$$ $$\Phi (x)=f(x,2v(x)).$$

逐层求：

$$u^{\prime }\to v^{\prime }\to {\Phi }^{\prime }.$$

这就是复杂链式法则的标准处理方式：

$$\boxed{\text{主动引入中间变量，降低层数}}$$

---

四十三、4. 李正元：多元隐函数经典结论

网站练习题给：

同一个方程

$$F(x,y,z)=0$$

分别把

$$x=x(y,z),y=y(z,x),z=z(x,y)$$

看成隐函数，要求某些偏导乘积。

利用

$$\frac{\partial x}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_x},$$ $$\frac{\partial y}{\partial z}=-\frac{F_z}{F_y},$$ $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}.$$

相乘：

$$\boxed{\frac{\partial x}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}=-1}.$$

这个公式值得直接记住，但更应该理解它为什么成立。

---

四十四、建议形成的“模块3万能做题流程”

以后碰到任何求导题，可以按这棵决策树判断。

第一步：函数怎么给的？

显式

$$y=f(x)$$

→ 基本公式 + 链式法则。

幂指

$$y=u(x{)}^{v(x)}$$

→ 对数求导。

隐式

$$F(x,y)=0$$

→ 隐函数求导。

参数式

$$x=x(t),y=y(t)$$

→

$$\frac{dy}{dx}=\frac{y_t}{x_t}.$$

积分式

$$F(x)=\int \cdots$$

→ 先看能否直接 FTC，再看换元，再考虑 Leibniz。

多元复合

$$z=f(u(x,y),v(x,y))$$

→ 链式法则路径法。

多元隐式

$$F(x,y,z)=0$$

→

$$z_x=-\frac{F_x}{F_z}.$$

---

四十五、第二步：题目只问某一点吗？

如果只问

$$y^{\prime }(x_0),y^{\prime \prime }(x_0),z_x(x_0,y_0),$$

千万不要过度展开。

优先：

$$\boxed{\text{先求对应函数值}\to \text{建立导数关系}\to \text{立即代点}}$$

很多隐函数题这样可以减少一半计算。

---

四十六、第三步：有没有更好的化简？

求导以前至少扫描一次：

对数可以拆吗？

$$\ln \frac{A}{B}=\ln A-\ln B.$$

根式能写成幂吗？

$$\sqrt{u}=u^{1/2}.$$

分式能拆吗？

$$\frac{1-x}{1+x}=-1+\frac{2}{1+x}.$$

幂指能取对数吗？

$$u^v.$$

积分能换元吗？

特别是

$$x-t,x^2-t^2,2x-t.$$

多元函数有没有齐次性？

特别是

$$f(x/y),f(y/x).$$

最好的求导往往发生在求导之前。

---

四十七、最常见的 10 个失分点

① 忘记链式法则

例如

$$(\sin y{)}^{\prime }$$

不是

$$\cos y,$$

而是

$$\boxed{\cos y{y}^{\prime }}.$$

---

② 隐函数中把 $y$ 当常数

例如

$$(xy{)}^{\prime }=y+x{y}^{\prime }.$$

---

③ 参数方程二阶导数写错

错误：

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{y^{\prime \prime }(t)}{x^{\prime \prime }(t)}.$$

正确：

$$\boxed{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}}.$$

---

④ 变下限积分忘负号

$$\frac{d}{dx}{\int }_{g(x)}^{a}f(t)dt=-f(g(x))g^{\prime }(x).$$

---

⑤ 被积函数里的 $x$ 和积分变量 $t$ 混淆

例如

$${\int }_0^{x^2}xf(t)dt.$$

对 $t$ 积分时，$x$ 是常数。

---

⑥ 题目只给 $f$ 连续，却强行出现 $f^{\prime }$

这是一个危险信号。

大概率应：

$$\boxed{\text{先换元}}$$

---

⑦ 多元偏导忘记固定其他变量

求

$${\partial }_x$$

时，独立变量 $y$ 视作常数。

---

⑧ 抽象函数偏导下标混乱

写

$$f(u,v)$$

以后最好明确：

$$f_1=f_u,f_2=f_v.$$

---

⑨ 混合偏导随意交换

只有在适当条件，例如二阶偏导连续时，才能直接使用

$$f_{xy}=f_{yx}.$$

李正元练习题中专门安排了混合偏导不相等的反例，非常值得做。

---

⑩ 求某点隐函数导数前忘了求函数值

这是最常见的低级失误之一。

---

四十八、可以认为值得预测的几类新考法

结合近年真题，可以认为下面几种组合非常值得提前练。

预测1：参数方程 + 高阶可导性

例如

$$x=t+|t{|}^{\alpha },y=t^2+|t{|}^{\beta }$$

问

$$f^{\prime }(0),f^{\prime \prime }(0)$$

是否存在。

2023 已经出现“参数方程 + 绝对值 + 二阶可导性”，继续变式非常自然。

---

预测2：隐函数 + 变限积分 + 二阶导数

例如

$$y+\ln y=x{\int }_0^{x}f(t)dt$$

给某点信息，求

$$y^{\prime \prime }(x_0).$$

2025 的多元隐函数已经用了这一组合，因此完全可以迁移到一元。

---

预测3：多元复合函数 + 已知全微分

例如给

$$df(1,1)=3du+4dv,$$

然后定义

$$z=f(\varphi (x,y),\psi (x,y))$$

要求

$$z_x,z_{xy}.$$

网站 2024 真题已经出现“一阶全微分信息 + 复合函数”的基础版本。

进一步问二阶导数是非常自然的升级。

---

四十九、预测4：变量代换消去某些二阶偏导

给

$$g(x,y)=f(ax+by,cx+dy),$$

然后构造

$$A{g}_{xx}+B{g}_{xy}+C{g}_{yy}.$$

要求证明它只剩

$$f_{uv}.$$

2024 数二已经出现这种高质量考法。

真正需要掌握的是：

$$\boxed{{\partial }_x=a{\partial }_u+c{\partial }_v,{\partial }_y=b{\partial }_u+d{\partial }_v}$$

而不是背那道题。

---

五十、预测5：齐次结构 + 微分方程

例如

$$z=f\left(\frac{x}{y}\right)$$

满足某个

$$x^2{z}_{xx}+axy{z}_{xy}+b{y}^2{z}_{yy}=h\left(\frac{x}{y}\right).$$

最终全部化成

$$u=\frac{x}{y}$$

的一元 ODE。

2025 数一已经非常接近这一母题。

---

五十一、模块3最值得背下来的公式清单

这些内容不仅需要理解，还要达到考试时可快速调用的熟练度。

一元复合

$$\boxed{(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)}$$

幂指函数

$$\boxed{(u^v{)}^{\prime }=u^v\left(v^{\prime }\ln u+v\frac{u^{\prime }}{u}\right)}$$

一元隐函数

$$\boxed{y^{\prime }=-\frac{F_x}{F_y}}$$

参数方程

$$\boxed{\frac{dy}{dx}=\frac{y_t}{x_t}}$$ $$\boxed{\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{y_t}{x_t}\right)}{x_t}}$$

反函数

$$\boxed{(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}}$$

变限积分

$$\boxed{\frac{d}{dx}{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(t)dt=f(\beta ){\beta }^{\prime }-f(\alpha ){\alpha }^{\prime }}$$

Leibniz

$$\boxed{\frac{d}{dx}{\int }_{\alpha (x)}^{\beta (x)}f(x,t)dt=f(x,\beta ){\beta }^{\prime }-f(x,\alpha ){\alpha }^{\prime }+{\int }_{\alpha }^{\beta }{f}_x(x,t)dt}$$

高阶乘积

$$\boxed{(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})u^{(k)}{v}^{(n-k)}}$$

多元全微分

$$\boxed{dz=f_{x}dx+f_{y}dy}$$

二元复合

$$\boxed{z_x=f_u{u}_x+f_v{v}_x}$$

多元隐函数

$$\boxed{z_x=-\frac{F_x}{F_z},z_y=-\frac{F_y}{F_z}}$$

多元隐函数二阶

$$\boxed{z_{xx}=-\frac{F_{xx}+2F_{xz}{z}_x+F_{zz}{z}_x^2}{F_z}}$$

---

五十二、最后一套真正适合考研的“熟练度标准”

如果模块3学完，不应只达到“会求导”。

应至少达到下面五层。

第一层

看到复杂函数，能迅速画出复合层次。

第二层

看到

$$F(x,y)=0$$

自动想到隐函数。

第三层

看到

$$x=x(t),y=y(t)$$

自动想到

$$\frac{1}{x_t}\frac{d}{dt}.$$

第四层

看到

$$\int f(x,t)dt$$

先判断：

$$\text{直接 FTC？拆分？换元？Leibniz？}$$

第五层

看到

$$f(u(x,y),v(x,y))$$

脑中直接形成变量依赖图。

达到这一步以后，多元链式求导、隐函数、参数方程、变限积分其实已经不是四套知识，而是同一件事情：

$$\boxed{\text{一个变量变化，会沿着所有依赖路径向外传播。}}$$

这才是模块3最核心的统一思想。

---

推荐按这个优先级刷题

结合站内真题密度、近年命题和练习题质量，建议：

第一梯队必须熟练：

$$\boxed{\text{一元隐函数}\to \text{参数方程}\to \text{变限积分}\to \text{多元复合函数}\to \text{多元隐函数}}$$

第二梯队：

$$\boxed{\text{高阶导数}+\text{抽象函数}+\text{变量代换二阶偏导}}$$

第三梯队作为基础自动化：

$$\boxed{\text{普通显函数}+\text{对数求导}+\text{反函数}+\text{全微分}}$$

特别值得反复做的真题，可优先选择：2022 数二隐函数二阶导数、2015 数二参数方程二阶导、1998 变限积分换元、2021/2024 多元复合函数、2024 数二变量代换、2024 数三多元隐函数二阶偏导、2025 数二/数三“隐函数+积分”组合、2025 数一“二元偏微分降为一元微分方程”。这几道基本能覆盖模块3从基础计算到综合大题的主干。