高等数学模块 7：定积分的应用

本章围绕定积分的应用展开，以考研数学真题为主线，并参考高质量练习题进行补充，按照“题型识别 → 核心方法 → 代表题 → 易错点 → 变式拓展”的方式组织。

一、模块7的总体地位与复习优先级

建议按下面的优先级复习。

一个非常重要的认识是：

模块7不是“积分计算”章节。

真正困难的步骤通常发生在积分号出现之前：

$$\boxed{\text{画区域}\to \text{选积分变量}\to \text{确定微元}\to \text{写积分式}\to \text{最后才算积分}}$$

所以看到一道应用题，第一反应绝对不能是“怎么积分”，而应该问：

应当横着切还是竖着切？

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二、第一大类：平面图形面积 ★★★★★

这是模块7第一核心。

本站真题中既有最普通的两曲线围面积，也有极坐标、参数曲线、切线、参数最值、反常积分、积分几何意义甚至速度图像。

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1. 最基本模型：上下型区域

若

$$f(x)\ge g(x),a\le x\le b,$$

则面积

$$\boxed{S={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx}$$

记忆方法不是“上减下”，而是：

$$dS=\text{竖条高度}\times dx.$$

竖条高度就是

$$f(x)-g(x).$$

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题型1：两条显函数直接围面积

真题：1990-45-3分

曲线

$$y=x^2$$

与直线

$$y=x+2$$

围成面积。

本站真题先求交点

$$x^2=x+2$$

得到

$$x=-1,x=2.$$

在

$$[-1,2]$$

内直线在上，因此

$$S={\int }_{-1}^2(x+2-x^2)dx=\frac{9}{2}.$$

这一题真正训练什么？

不是积分。

而是标准四步：

$$\boxed{\text{求交点}\to \text{判断上下}\to \text{写面积差}\to \text{积分}}$$

以后所有直角坐标面积题，都先执行这四步。

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题型2：函数跨过 $x$ 轴——必须分段

真题：1995-3-3分

曲线

$$y=x(x-1)(2-x)$$

与 $x$ 轴围面积。

零点：

$$x=0,1,2.$$

在

$$(0,1)$$

上函数为负，而在

$$(1,2)$$

上为正，因此

$$\boxed{S=-{\int }_0^{1}x(x-1)(2-x)dx+{\int }_1^{2}x(x-1)(2-x)dx}$$

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这类题的统一原则

面积永远非负，因此

$$\boxed{S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx}$$

但考试中一般不要真的带绝对值积分。

应该：

1. 找所有交点；
2. 判断每一区间谁在上；
3. 分段积分。

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题型3：换成对 $y$ 积分

这是非常容易被忽略、但特别重要的一类。

如果区域写成

$${\phi }_1(y)\le x\le {\phi }_2(y),c\le y\le d,$$

那么

$$\boxed{S={\int }_c^d[{\phi }_2(y)-{\phi }_1(y)]dy}$$

此时叫：

$$\boxed{\text{右减左}}$$

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真题：2014-3-4分

区域由

$$xy+1=0,x+y=0,y=2$$

围成。

写成 $x$ 关于 $y$：

$$x=-\frac{1}{y},x=-y.$$

两者交于

$$y=1.$$

所以 $1\le y\le 2$。

右边界

$$x=-\frac{1}{y}$$

左边界

$$x=-y.$$

于是

$$S={\int }_1^2\left(-\frac{1}{y}+y\right)dy$$

得到

$$\boxed{S=\frac{3}{2}-\ln 2}$$

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非常重要的做题经验

遇到区域时不要默认对 $x$ 积分。

永远比较：

竖着切：

$$S=\int (\text{上}-\text{下})dx$$

横着切：

$$S=\int (\text{右}-\text{左})dy$$

哪个：

• 分段少；
• 边界简单；
• 积分好算；

就选哪个。

这是模块7最重要的优化能力之一。

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题型4：三条以上曲线，边界发生变化

真题：2012-3-4分

第一象限由

$$y=\frac{4}{x},y=x,y=4x$$

围成面积。

关键不是积分，而是发现上边界改变。

交点：

$$\frac{4}{x}=4x\Rightarrow x=1,$$

以及

$$\frac{4}{x}=x\Rightarrow x=2.$$

于是必须分：

$$[0,1],[1,2].$$

面积

$$S={\int }_0^1(4x-x)dx+{\int }_1^2\left(\frac{4}{x}-x\right)dx.$$

最后

$$\boxed{S=4\ln 2}$$

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高频陷阱：什么时候必须分段？

只要发生以下任何一种情况，都应该警惕：

• 上下函数交换；
• 左右边界交换；
• 函数过 $x$ 轴；
• 绝对值函数换表达式；
• 参数曲线方向改变；
• 旋转后截面结构改变。

所以模块7的核心之一实际上是：

$$\boxed{\text{正确寻找分界点}}$$

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三、面积最重要的升级题：面积 + 参数 + 最值 ★★★★★

这一类非常值得重视。

因为它把：

• 定积分；
• 导数；
• 切线；
• 参数；
• 最值

全部串起来。

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题型5：参数控制区域，求面积最值

真题：1987-5-10分

以

$$y=x^2$$

上的参数点为基础构造两个阴影区域，求面积和关于参数 $t$ 的最大、最小值。

本站把面积化成

$$S(t)=\frac{1}{3}-t^2+\frac{4}{3}{t}^3.$$

于是

$$S^{\prime }(t)=2t(2t-1).$$

从而得到极值点

$$t=\frac{1}{2}.$$

再比较端点。

这题最后：

$$t=\frac{1}{2}$$

时面积最小；

$$t=1$$

时取得最大值。

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统一模型

以后凡是看到：

“动点”“参数 $a$”“使面积最大/最小”

都执行：

第一步

设参数

$$t.$$

第二步

建立面积函数

$$S=S(t).$$

第三步

求

$$S^{\prime }(t).$$

第四步

求驻点。

第五步

一定比较：

$$\boxed{\text{驻点 + 区间端点}}$$

这一点经常被忘记。

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题型6：切线围面积最值

真题：1990-3-9分

在椭圆

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

第一象限上取一点 $P$，过 $P$ 作切线，使切线、椭圆和两坐标轴围成区域面积最小。

若

$$P=(x_0,y_0),$$

切线为

$$\frac{x_{0}x}{a^2}+\frac{y_{0}y}{b^2}=1.$$

两轴截距分别为

$$\frac{a^2}{x_0},\frac{b^2}{y_0}.$$

三角形面积为

$$\frac{a^2{b}^2}{2x_0{y}_0}.$$

椭圆第一象限面积固定，所以最终相当于最大化

$$x_0{y}_0.$$

令

$$x_0=a\cos \theta ,y_0=b\sin \theta ,$$

则

$$x_0{y}_0=\frac{ab}{2}\sin 2\theta .$$

最大值在

$$\theta =\frac{\pi }{4}.$$

所以

$$\boxed{P=\left(\frac{a}{\sqrt{2}},\frac{b}{\sqrt{2}}\right)}$$

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这类题的高级通法

当区域中有一部分是恒定的时：

不要把整个面积积分一遍。

尽量写成

$$S(t)=A(t)-C$$

或

$$S(t)=C-A(t).$$

其中 $C$ 与参数无关。

那么极值问题直接化成 $A(t)$ 的极值。

这是非常典型的考研化简技巧。

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四、极坐标面积 ★★★★☆

极坐标是模块7必会。

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基本公式为什么是 $\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$？

角度从

$$\theta$$

增加

$$d\theta$$

形成一个极小扇形。

扇形面积近似

$$dS=\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta .$$

所以

$$\boxed{S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^2(\theta )d\theta }$$

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题型7：极坐标花瓣面积

真题：2022-2-5分

$$r=\sin 3\theta ,0\le \theta \le \frac{\pi }{3}.$$

这段恰好形成一个完整花瓣。

所以

$$S=\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /3}{\sin }^{2}3\theta d\theta$$

得到

$$\boxed{S=\frac{\pi }{12}}$$

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真题：2013-2-4分

$$r=\cos 3\theta ,-\frac{\pi }{6}\le \theta \le \frac{\pi }{6}.$$

同样是一瓣面积：

$$S=\frac{1}{2}{\int }_{-\pi /6}^{\pi /6}{\cos }^{2}3\theta d\theta =\boxed{\frac{\pi }{12}}.$$

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极坐标最容易错在哪里？

不是积分。

而是：

$$\boxed{\text{角度范围}}$$

一定先判断：

1. $r=0$ 在哪里？
2. 一瓣从哪里开始？
3. 在哪里回到极点？
4. 是否可以利用对称性？

例如

$$r=\cos 3\theta$$

满足

$$\cos 3\theta =0$$

即

$$\theta =\frac{\pi }{6}+k\frac{\pi }{3}.$$

这些角就是花瓣边界。

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题型8：直角坐标转极坐标

真题：1993-12-3分

双纽线

$$(x^2+y^2{)}^2=x^2-y^2.$$

极坐标下：

$$x^2+y^2=r^2,$$

而

$$x^2-y^2=r^2\cos 2\theta .$$

因此

$$r^4=r^2\cos 2\theta ,$$

所以

$$r^2=\cos 2\theta .$$

然后再用

$$S=\frac{1}{2}\int r^{2}d\theta .$$

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五、无界图形面积——反常积分 ★★★☆☆

真题：2002-2-3分

曲线

$$y=x{e}^{-x},x\ge 0$$

下面的无界区域面积。

形式上：

$$S={\int }_0^{+\infty }x{e}^{-x}dx.$$

这是反常积分。

分部积分可得

$$\boxed{S=1}.$$

张宇1000题还专门训练了

$${\int }_0^{+\infty }\frac{1}{x^2+4x+5}dx$$

这类“无限延伸但面积有限”的题。

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一个重要认识

“图形无界”不等于“面积无穷”。

要看

$${\int }_a^{+\infty }f(x)dx$$

是否收敛。

所以：

$$\boxed{\text{无界区域面积问题}⟺\text{反常积分敛散性}}$$

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六、面积的物理意义和积分几何意义 ★★★☆☆

真题：2017-12-4分

甲乙赛跑，给出两条速度曲线。

路程就是速度积分：

$$s(t)=\int v(t)dt.$$

所以两人的相对路程：

$${\int }_0^t[v_2(s)-v_1(s)]ds.$$

而这个积分就是速度图像之间的有向面积。

题中利用三块阴影面积判断首次追上时刻，最终得到

$$\boxed{t_0=25}.$$

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以后看到这些图像，第一时间想到积分

速度：

$$v(t)$$

则位移：

$$\Delta s=\int v(t)dt.$$

加速度：

$$a(t)$$

则速度变化：

$$\Delta v=\int a(t)dt.$$

流量：

$$q(t)$$

则总量：

$$V=\int q(t)dt.$$

边际成本：

$$C^{\prime }(x)$$

则成本变化：

$$C(b)-C(a)={\int }_a^b{C}^{\prime }(x)dx.$$

因此“图像面积”本身就是考研很喜欢的建模思想。

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七、第二大类：体积 ★★★★★

这是模块7另一核心。

体积最根本公式其实只有一个：

$$\boxed{V=\int A(x)dx}$$

其中

$$A(x)$$

表示与 $x$ 轴垂直的截面积。

所有圆盘法、圆环法，本质都是截面法的特殊情况。

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题型9：已知截面积求体积

若物体在位置 $x$ 的截面积为

$$A(x),$$

那么

$$\boxed{V={\int }_a^{b}A(x)dx}$$

这实际上是体积定义的核心。

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真题：1996-3-5分

椭圆柱被斜平面截成楔形体。

本站通过固定 $x$，先得到截线长度

$$2b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}},$$

再乘以截平面高度

$$x\tan \alpha ,$$

得到截面积

$$A(x)=2bx\tan \alpha \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}.$$

然后

$$V={\int }_0^{a}A(x)dx.$$

最终

$$\boxed{V=\frac{2}{3}{a}^{2}b\tan \alpha }$$

这道题的价值在于：

不规则立体完全不需要背公式，只需要搞清楚“这一刀切下去是什么形状”。

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八、旋转体：圆盘法、圆环法 ★★★★★

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1. 绕 $x$ 轴

区域

$$0\le y\le f(x)$$

绕 $x$ 轴旋转。

位置 $x$ 的截面是圆盘：

$$A(x)=\pi f^2(x).$$

因此

$$\boxed{V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx}$$

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真题：1988-3-4分

$$y={\sin }^{3/2}x,0\le x\le \pi$$

绕 $x$ 轴。

所以

$$V=\pi {\int }_0^{\pi }{\sin }^{3}xdx$$

得到

$$\boxed{V=\frac{4\pi }{3}}$$

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2. 两条曲线之间绕轴：圆环法

如果

$$0\le g(x)\le f(x),$$

绕 $x$ 轴旋转，

外半径

$$R=f(x),$$

内半径

$$r=g(x).$$

所以

$$\boxed{V=\pi {\int }_a^b\left[R^2(x)-r^2(x)\right]dx}$$

注意：

$$\boxed{\text{平方差，不是函数差的平方}}$$

即

$$R^2-r^2$$

而不是

$$(R-r{)}^2.$$

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题型10：旋转轴不是 $x$ 轴

例如绕

$$y=c$$

旋转。

旋转半径不是 $y$，而是：

$$\boxed{|y-c|}$$

例如区域

$$0\le y\le f(x),$$

且旋转轴在图形上方：

$$y=c.$$

则

$$R=c,r=c-f(x).$$

所以

$$V=\pi {\int }_a^b\left[c^2-(c-f(x){)}^2\right]dx.$$

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真题：1994-3-9分

$$y=3-|x^2-1|$$

与 $x$ 轴围成区域，绕

$$y=3$$

旋转。

外半径恒为

$$R=3,$$

内半径为

$$r=3-y=|x^2-1|.$$

因此

$$r^2=(x^2-1{)}^2.$$

所以反而不需要因为绝对值分段。

本站得到

$$\boxed{V=\frac{448\pi }{15}}$$

这是很漂亮的一种简化。

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九、圆柱壳法 ★★★★★

如果区域由

$$g(x)\le y\le f(x)$$

描述，而绕 $y$ 轴旋转。

竖条宽 $dx$ 旋转以后形成薄圆柱壳。

半径：

$$x.$$

高度：

$$f(x)-g(x).$$

圆柱壳体积：

$$dV=2\pi x[f(x)-g(x)]dx.$$

因此

$$\boxed{V=2\pi {\int }_a^{b}x[f(x)-g(x)]dx}$$

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真题：2020-3-4分

区域

$$D=\left\{(x,y):\frac{x}{2}\le y\le \frac{1}{1+x^2},0\le x\le 1\right\}$$

绕 $y$ 轴旋转。

直接用壳层：

$$V=2\pi {\int }_0^{1}x\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{x}{2}\right)dx.$$

得到

$$\boxed{V=\pi \left(\ln 2-\frac{1}{3}\right)}$$

本站还特别指出：如果改用圆环法，就要反解曲线并分段，明显麻烦。

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圆环法与壳层法到底怎么选？

这是模块7必须真正掌握的判断。

记一句：

$$\boxed{\text{切片垂直旋转轴}\Rightarrow \text{圆盘/圆环}}$$ $$\boxed{\text{切片平行旋转轴}\Rightarrow \text{圆柱壳}}$$

但考试中真正的原则是：

谁不需要反函数、谁少分段，就用谁。

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十、体积综合题：切线 + 面积 + 旋转 ★★★★★

真题：1988-45-8分

曲线

$$y=x^2$$

上作切线，使切线、曲线和 $x$ 轴所围面积为给定值。

先根据面积确定切点：

$$A=(1,1).$$

切线：

$$y=2x-1.$$

再把区域绕 $x$ 轴旋转求体积。

这一题明显不是单独考体积，而是：

$$\boxed{\text{导数求切线}\to \text{定积分求面积}\to \text{反求参数}\to \text{旋转体体积}}$$

这就是模块7大题最典型的命题方式。

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十一、体积 + 参数最值：重点预测方向

张宇1000题有一道非常值得做的强化题：

曲线

$$y=a{x}^2$$

与

$$y=1-x^2$$

相交，通过交点与原点作直线，形成区域 $D$。

求：

$$V(a)$$

并求使体积最大的 $a$。

计算以后：

$$V(a)=\frac{2\pi a^2}{15(a+1{)}^{5/2}}.$$

再求

$$V^{\prime }(a)=0$$

得到

$$\boxed{a=4}.$$

这类题可以认为非常有预测价值：

$$\boxed{\text{参数确定区域}+\text{积分建立体积}+\text{导数求最值}}$$

它同时复习模块4、模块6、模块7。

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十二、曲线弧长 ★★★★☆

网站标注数三不做。

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1. 直角坐标弧长

曲线

$$y=f(x),a\le x\le b.$$

局部小弧

$$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}.$$

由于

$$dy=f^{\prime }(x)dx,$$

所以

$$ds=\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx.$$

故

$$\boxed{L={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx}$$

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题型11：变上限积分给曲线

这是近年特别典型。

真题：2011-12-4分

$$y={\int }_0^x\tan tdt.$$

先求导：

$$y^{\prime }=\tan x.$$

所以

$$\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\sqrt{1+{\tan }^{2}x}=|\sec x|.$$

给定区间上

$$\sec x>0,$$

所以化成

$$L=\int \sec xdx.$$

最终

$$\boxed{L=\ln (1+\sqrt{2})}$$

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真题：2023-2-5分

$$y={\int }_{-\sqrt{3}}^x\sqrt{3-t^2}dt.$$

因此

$$y^{\prime }=\sqrt{3-x^2}.$$

于是

$$1+(y^{\prime }{)}^2=4-x^2.$$

从而

$$L={\int }_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\sqrt{4-x^2}dx.$$

最终

$$\boxed{L=\sqrt{3}+\frac{4\pi }{3}}$$

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这一类最重要的识别

看到

$$y={\int }_a^x\phi (t)dt$$

不要先求 $y$。

直接：

$$\boxed{y^{\prime }=\phi (x)}$$

弧长需要的是 $y^{\prime }$，根本不需要把原积分算出来。

这是典型的：

$$\boxed{\text{不要做多余计算}}$$

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十三、参数方程弧长 ★★★☆☆

若

$$x=x(t),y=y(t),$$

则

$$dx=x^{\prime }(t)dt,dy=y^{\prime }(t)dt.$$

因此

$$\boxed{L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt}$$

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真题：1995-3-5分——摆线

$$x=1-\cos t,y=t-\sin t,$$

一拱

$$0\le t\le 2\pi .$$

于是

$$x^{\prime }=\sin t,y^{\prime }=1-\cos t.$$

所以

$$\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}=\sqrt{{\sin }^{2}t+(1-\cos t{)}^2}.$$

化简：

$$=\sqrt{2-2\cos t}=2\left|\sin \frac{t}{2}\right|.$$

在

$$0\le t\le 2\pi$$

时

$$\sin \frac{t}{2}\ge 0.$$

于是

$$L=2{\int }_0^{2\pi }\sin \frac{t}{2}dt=8.$$

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十四、极坐标弧长

若

$$r=r(\theta ),$$

利用

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

可以推导：

$$\boxed{ds=\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2}d\theta }$$

所以

$$\boxed{L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}d\theta }$$

张宇1000题有：

$$r=e^{\theta },0\le \theta \le 1.$$

因为

$$r^{\prime }=e^{\theta }=r,$$

所以

$$L=\sqrt{2}{\int }_0^1{e}^{\theta }d\theta =\boxed{\sqrt{2}(e-1)}.$$

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十五、弧长题真正的难点

不是记公式。

而是把

$$1+(y^{\prime }{)}^2$$

凑成一个完全平方。

常见结构：

$$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x,$$ $$1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x,$$

或者构造成

$$1+\frac{1}{4}{\left(u-\frac{1}{u}\right)}^2=\frac{1}{4}{\left(u+\frac{1}{u}\right)}^2.$$

所以看到弧长题，应形成一个条件反射：

$$\boxed{\text{先算 }1+(y^{\prime }{)}^2\text{，然后拼平方}}$$

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十六、旋转曲面面积 ★★★☆☆

网站同样标注数三不做。

这个公式非常适合从微元理解。

一小段弧长

$$ds$$

绕轴旋转，近似形成一个圆台侧面。

周长约为

$$2\pi r.$$

所以

$$dS=2\pi rds.$$

因此总公式只有一句：

$$\boxed{S=2\pi \int rds}$$

其中

$$r=\text{曲线到旋转轴的距离}.$$

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绕 $x$ 轴

如果

$$y=f(x)\ge 0,$$

则

$$r=y.$$

所以

$$\boxed{S=2\pi {\int }_a^{b}f(x)\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx}$$

---

绕 $y$ 轴

半径为

$$r=|x|.$$

若 $x\ge 0$：

$$\boxed{S=2\pi {\int }_a^{b}x\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx}$$

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题型12：参数曲线旋转表面积

若

$$x=x(t),y=y(t)$$

绕 $x$ 轴，

$$ds=\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt.$$

所以

$$\boxed{S=2\pi \int |y(t)|\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt}$$

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真题：2016-2-11分

区域由一段圆弧和参数曲线

$$x={\cos }^{3}t,y={\sin }^{3}t$$

等围成，绕 $x$ 轴旋转，要求同时求：

• 旋转体体积；
• 旋转体表面积。

本站结果为

$$\boxed{V=\frac{18\pi }{35}}$$

以及

$$\boxed{S=\frac{16\pi }{5}}$$

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这一题的重要性

它揭示一个非常重要的综合套路：

$$\boxed{\text{同一个区域}\to \{\begin{array}{l}\text{体积：截面积积分}\\ \text{表面积：弧长微元积分}\end{array}}$$

千万别混公式。

体积的微元是

$$dV=\pi R^{2}dx.$$

表面积的微元是

$$dS=2\pi Rds.$$

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十七、旋转体表面积最大陷阱：表面由几部分组成？

真题：1998-2-8分

曲线

$$y=\sqrt{x-1}$$

过原点作切线，曲线、切线、$x$ 轴围成图形，然后绕 $x$ 轴旋转求表面积。

先确定切点与切线。

切点为

$$(2,1),$$

切线

$$y=\frac{x}{2}.$$

旋转后的表面不是只算曲线！

而包括：

1. 切线旋转形成的圆锥侧面；
2. 曲线旋转形成的曲面。

因此

$$\boxed{S=S_{\text{切线}}+S_{\text{曲线}}}$$

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高频错误

题目说：

“区域旋转所得旋转体的表面积”

必须先问：

$$\boxed{\text{这个立体的边界由哪些曲线旋转形成？}}$$

不能机械地只代一条曲线。

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十八、功 ★★★☆☆

这是最典型的“微元法物理建模”。

核心公式：

$$\boxed{W={\int }_a^{b}F(x)dx}$$

为什么？

位置 $x$ 附近移动

$$dx,$$

做微小功

$$dW=F(x)dx.$$

积分即可。

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题型13：力本身随位置变化

2025-2-5分真题

两个单位质点 $P,Q$。

其中

$$Q=(0,1),$$

而 $P$ 沿 $x$ 轴从

$$(0,0)$$

运动到

$$(l,0).$$

两点距离

$$r=\sqrt{x^2+1}.$$

万有引力大小

$$F=\frac{G}{x^2+1}.$$

但这里有一个经典坑：

不能直接把 $F$ 积掉。

因为 $P$ 的位移沿 $x$ 轴，而万有引力是斜的。

真正需要的是力在位移方向上的分量。

方向余弦产生因子

$$\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}.$$

所以克服引力需要的外力横向分量大小为

$$\frac{Gx}{(x^2+1{)}^{3/2}}.$$

因此

$$\boxed{W={\int }_0^l\frac{Gx}{(x^2+1{)}^{3/2}}dx}$$

对应本站选项 C。

---

这道新真题透露了什么？

可以认为这是模块7很值得关注的命题趋势：

以前“功”经常直接给一维变力。

现在可以要求：

$$\boxed{\text{先做向量/几何分解}\to \text{得到运动方向上的力}\to \text{积分}}$$

所以以后功的问题，一定问：

力和位移方向一致吗？

真正积分的是

$$F_{\parallel }.$$

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十九、题型14：绳索、重量同时变化

1999-12-7分真题

30 m 深井，用缆绳提升抓斗。

同时：

• 抓斗有固定重量；
• 污泥不断漏掉；
• 剩余缆绳越来越短。

设上升距离为

$$x.$$

提升速度

$$3\text{ m/s},$$

所以经过时间

$$t=\frac{x}{3}.$$

污泥重量变成

$$2000-\frac{20}{3}x.$$

悬挂绳长

$$30-x,$$

所以绳重

$$50(30-x).$$

总作用力

$$F(x)=400+2000-\frac{20}{3}x+50(30-x).$$

即

$$F(x)=3900-\frac{170}{3}x.$$

所以

$$W={\int }_0^{30}F(x)dx.$$

得到

$$\boxed{W=91500\text{ J}}$$

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这类题统一模板

凡是绳、链、泥沙、水等“重量会变”的问题：

$$\boxed{\text{设移动距离 }x}$$

然后分别写：

$$\text{固定重量}+\text{剩余物重量}+\text{剩余绳重量}.$$

最终得到

$$F=F(x)$$

再积分。

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二十、题型15：抽水做功 ★★★☆☆

这是功最重要的模型之一。

取高度为

$$y$$

的一层水。

截面积

$$A(y).$$

厚度

$$dy.$$

体积

$$dV=A(y)dy.$$

质量

$$dm=\rho A(y)dy.$$

重量

$$dG=\rho gA(y)dy.$$

若这一层需要提升距离

$$h(y),$$

那么

$$dW=\rho gA(y)h(y)dy.$$

因此

$$\boxed{W=\rho g\int A(y)h(y)dy}$$

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2011-2-11分真题

容器由两段圆弧旋转构成。

先按高度 $y$ 求水平截面积

$$A(y),$$

再根据每层水到容器顶部的距离

$$2-y$$

建立

$$W=\rho g\int A(y)(2-y)dy.$$

网站给出的最终结果：

$$\boxed{W=3375\pi g\text{ J}}$$

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张宇强化：旋转抛物面水缸

水缸深 $a$，口半径 $a$。

抛物面满足

$$r^2=az.$$

水平截面积：

$$A(z)=\pi az.$$

一层水提升到顶部的距离：

$$a-z.$$

所以

$$dW=\rho g\pi az(a-z)dz.$$

最终

$$\boxed{W=\frac{\pi \rho g{a}^4}{6}}$$

这正是非常标准的“抽水微元模型”。

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二十一、质心与形心 ★★☆☆☆

网站标注数三不做。

先理解什么叫“加权平均”。

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1. 一维细棒质心

密度

$$\rho (x).$$

微元质量：

$$dm=\rho (x)dx.$$

总质量：

$$m={\int }_a^b\rho (x)dx.$$

质量矩：

$$M={\int }_a^{b}x\rho (x)dx.$$

于是

$$\boxed{\bar{x}=\frac{{\int }_a^{b}x\rho (x)dx}{{\int }_a^b\rho (x)dx}}$$

本质就是：

$$\boxed{\text{位置的加权平均}}$$

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真题：2014-2-4分

细棒位于

$$[0,1]$$

密度

$$\rho (x)=-x^2+2x+1.$$

质量：

$$m={\int }_0^1(-x^2+2x+1)dx.$$

一阶矩：

$$M={\int }_0^{1}x(-x^2+2x+1)dx.$$

所以

$$\bar{x}=\frac{M}{m}.$$

最终

$$\boxed{\bar{x}=\frac{11}{20}}$$

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二十二、平面区域形心

若区域为

$$g(x)\le y\le f(x),a\le x\le b$$

且密度均匀。

面积：

$$A={\int }_a^b[f(x)-g(x)]dx.$$

形心横坐标：

$$\boxed{\bar{x}=\frac{{\int }_a^{b}x[f(x)-g(x)]dx}{A}}$$

为什么？

竖条面积

$$dA=[f(x)-g(x)]dx$$

它的横坐标就是 $x$。

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纵坐标公式

竖条自身的形心纵坐标是：

$$\frac{f(x)+g(x)}{2}.$$

所以

$$\bar{y}=\frac{1}{A}{\int }_a^b\frac{f(x)+g(x)}{2}[f(x)-g(x)]dx.$$

即

$$\boxed{\bar{y}=\frac{1}{2A}{\int }_a^b[f^2(x)-g^2(x)]dx}$$

这套公式最好理解，不要死背。

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真题：2013-2-11分

曲线

$$y=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{1}{2}\ln x,1\le x\le e.$$

题目先求弧长，再求曲线与：

$$x=1,x=e,y=0$$

围成区域的形心横坐标。

因此

$$A={\int }_1^{e}y(x)dx,$$

而

$$M_y={\int }_1^{e}xy(x)dx.$$

所以

$$\bar{x}=\frac{M_y}{A}.$$

这题体现得非常典型：

$$\boxed{\text{同一函数}\to \text{先弧长}\to \text{再形心}}$$

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二十三、液体静压力 ★★☆☆☆

网站同样标注数三不做。

这是公式不难但模型容易混的一类。

液体深度为

$$h$$

处的压强：

$$p=\rho gh.$$

注意：

$$\boxed{\text{压强}\ne \text{压力}}$$

压强单位是“单位面积上的力”。

面积微元

$$dA$$

受到的压力：

$$dF=pdA.$$

因此

$$\boxed{dF=\rho ghdA}$$

总压力：

$$\boxed{F=\int \rho ghdA}$$

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题型16：水平窄条法

2020-2-5分真题

斜边长

$$2a$$

的等腰直角三角板，斜边与水面平齐，竖直沉入水中。

最大深度为

$$a.$$

深度 $y$ 处水平宽度：

$$w(y)=2(a-y).$$

窄条面积：

$$dA=2(a-y)dy.$$

压强：

$$p(y)=\rho gy.$$

因此

$$dF=2\rho gy(a-y)dy.$$

于是

$$F=2\rho g{\int }_0^{a}y(a-y)dy.$$

最后

$$\boxed{F=\frac{1}{3}\rho g{a}^3}$$

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静水压力一个极有用的快捷公式

对于竖直平面薄板，密度均匀液体：

$$F=\rho g{\int }_{D}hdA.$$

而形心深度

$$\bar{h}=\frac{1}{A}{\int }_{D}hdA.$$

所以

$$\boxed{F=\rho gA\bar{h}}$$

也就是：

总压力 = 液体重度 × 平板面积 × 平板形心深度。

张宇1000题中的正方形板静压力就直接利用了这一关系。

非常适合选择、填空。

但如果平板形状复杂、形心不好求，那么还是老老实实：

$$F=\rho g\int hdA.$$

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二十四、一个极其重要的统一框架：七类应用其实只有一个模板

现在把模块7全部放在一起看。

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面积

$$dS=(\text{高度})dx.$$

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体积

$$dV=(\text{截面积})dx.$$

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弧长

$$ds=\sqrt{d{x}^2+d{y}^2}.$$

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旋转曲面面积

$$dA=2\pi (\text{旋转半径})ds.$$

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功

$$dW=(\text{运动方向上的力})dx.$$

---

质心

$$dM=(\text{位置})(\text{质量微元}).$$

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静水压力

$$dF=(\text{压强})(\text{面积微元}).$$

所以真正需要学的是：

$$\boxed{\text{选微元}\to \text{求微元量}\to \text{积分}}$$

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二十五、“模块7万能六步法”

以后几乎所有题都可以强制走这套流程。

第一步：画图或脑中画图

至少明确：

• 谁和谁相交；
• 区域在哪里；
• 旋转轴在哪里；
• 水面在哪里；
• 运动方向在哪里。

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第二步：找关键分界点

包括：

$$\boxed{\text{交点、零点、绝对值分界点、旋转截面变化点}}$$

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第三步：选积分变量

比较：

$$dx$$

和

$$dy.$$

原则：

$$\boxed{\text{少分段、边界简单、无需反函数}}$$

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第四步：取一个微元

例如面积：

$$dS=(\text{上}-\text{下})dx.$$

体积：

$$dV=A(x)dx.$$

抽水：

$$dW=\rho gA(y)h(y)dy.$$

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第五步：积分

$$\text{总量}=\int \text{微元}.$$

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第六步：最后才计算积分

这一步才涉及：

• 换元；
• 分部积分；
• 三角恒等式；
• 对称性；
• 反常积分。

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二十六、模块7最常见的十大错误

1. 面积不分正负

错误：

$$S={\int }_a^{b}f(x)dx.$$

若跨过 $x$ 轴，这只是有向面积。

正确：

$$S={\int }_a^b|f(x)|dx.$$

考试中分段。

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2. 找到交点但没判断上下

必须检查：

$$f(x)-g(x)$$

的符号。

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3. 明明对 $y$ 积分更简单，却强行对 $x$

这是大量几何题算复杂的原因。

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4. 圆环体积写成

$$\pi (R-r{)}^2.$$

错。

正确：

$$\boxed{\pi (R^2-r^2)}$$

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5. 绕平移轴仍把 $y$ 当半径

绕

$$y=c$$

时半径是：

$$\boxed{|y-c|}$$

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6. 绕 $y$ 轴一律去求反函数

很多时候直接壳层：

$$V=2\pi \int xh(x)dx$$

更简单。

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7. 弧长忘记绝对值

例如

$$\sqrt{{\sec }^{2}x}=|\sec x|$$

而不是永远等于

$$\sec x.$$

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8. 旋转曲面面积只算一条边界

必须先确定最终立体有哪些边界曲面。

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9. 功直接积分力的大小

若力和位移不同方向，应先取：

$$F_{\parallel }.$$

2025真题就是很典型的提醒。

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10. 静压力把压强直接积分

压强

$$p=\rho gh$$

还要乘面积：

$$dF=pdA.$$

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二十七、张宇1000题中最值得做的几道强化题

从站内的练习题来看，可以认为下面几道特别有考研价值。

① 微分方程 + 面积 + 旋转体

先从微分方程得到

$$y=x{e}^{-x},$$

再求无界区域面积和绕 $y$ 轴旋转体体积。

其结构是：

$$\boxed{\text{微分方程}\to \text{反常积分面积}\to \text{壳层体积}}$$

本站给出：

$$S=1,V=4\pi .$$

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② 参数 $a$ 控制旋转体体积，求最大值

前面讲过：

$$V=V(a)$$

后求

$$V^{\prime }(a)=0.$$

答案

$$a=4.$$

这是极好的模块4+模块7综合题。

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③ 摆线：体积 + 表面积

参数方程

$$x=a(t-\sin t),y=a(1-\cos t).$$

一题同时要求：

$$V=\pi \int y^{2}dx$$

以及

$$S=2\pi \int yds.$$

本站练习结果：

$$V=5{\pi }^2{a}^3,$$ $$S=\frac{64}{3}\pi a^2.$$

这是参数曲线综合应用里非常好的强化题。

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④ 平面图形形心不等式

张宇强化题还要求证明：

$$\bar{x}>\frac{2}{3}a$$

涉及：

$$\bar{x}=\frac{{\int }_0^{a}xf(x)dx}{{\int }_0^{a}f(x)dx}$$

以及凸性条件

$$f^{\prime \prime }(x)>0.$$

这就把：

$$\boxed{\text{积分应用}+\text{凸性}+\text{积分不等式}}$$

串了起来。

这类属于较高层次预测题。

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二十八、可以认为值得重点准备的“新考法”

结合真题和网站练习题，可重点关注下面几种综合化。

预测1：变上限积分 + 弧长/表面积

给

$$F(x)={\int }_a^{\phi (x)}f(t)dt$$

然后求曲线

$$y=F(x)$$

弧长。

核心：

$$F^{\prime }(x)=f(\phi (x)){\phi }^{\prime }(x).$$

再代

$$L=\int \sqrt{1+[F^{\prime }(x){]}^2}dx.$$

近年真题已经多次出现这种思想。

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预测2：微分方程 + 区域 + 旋转体

先给

$$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)$$

求 $y$。

再用其图像与坐标轴围区域。

然后求：

$$S$$

或者

$$V.$$

张宇已经有相当接近的强化题。

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预测3：旋转轴不是坐标轴

例如绕：

$$y=1,x=-2$$

甚至绕给定直线。

核心永远是：

$$\boxed{r=\text{点到旋转轴的距离}}$$

比如绕

$$y=c$$

则

$$r=|y-c|.$$

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预测4：参数 + 面积/体积 + 最值

例如：

$$D_a$$

由含参数曲线围成，

求

$$V(a)$$

最值。

完整链条：

$$\boxed{\text{求交点}\to \text{写区域}\to \text{建立积分}\to V(a)\to V^{\prime }(a)}$$

这是可以认为最值得强化的一种模块7综合题。

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预测5：功 + 分力

2025真题已经出现。

以后很可能继续考：

• 万有引力；
• 弹力；
• 斜方向力；
• 距离变化；
• 变密度杆。

真正模型：

$$\boxed{dW=\vec{F}\cdot d\vec{r}}$$

一元情况下就是

$$dW=F_{\parallel }(x)dx.$$

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预测6：静压力 + 最值

张宇已经有：

斜边固定的直角三角板，怎样选择两直角边才能使水压力最大？

这需要先建立

$$F=F(x)$$

再求最值。

因此：

$$\boxed{\text{物理积分模型}+\text{导数最值}}$$

同样值得准备。

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二十九、最后一张“模块7公式地图”

面积

直角坐标：

$$\boxed{S={\int }_a^b(\text{上}-\text{下})dx}$$

或

$$\boxed{S={\int }_c^d(\text{右}-\text{左})dy}$$

极坐标：

$$\boxed{S=\frac{1}{2}{\int }_{\alpha }^{\beta }{r}^{2}d\theta }$$

---

体积

一般截面：

$$\boxed{V={\int }_a^{b}A(x)dx}$$

圆盘/圆环：

$$\boxed{V=\pi {\int }_a^b(R^2-r^2)dx}$$

圆柱壳：

$$\boxed{V=2\pi {\int }_a^b(\text{半径})(\text{高度})dx}$$

---

弧长

显函数：

$$\boxed{L={\int }_a^b\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx}$$

参数曲线：

$$\boxed{L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{x^{\prime 2}+y^{\prime 2}}dt}$$

极坐标：

$$\boxed{L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}d\theta }$$

---

旋转曲面

统一公式：

$$\boxed{S=2\pi \int (\text{到轴距离})ds}$$

---

功

$$\boxed{W=\int F_{\parallel }(x)dx}$$

抽水：

$$\boxed{W=\rho g\int A(y)(\text{提升距离})dy}$$

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质心

一维：

$$\boxed{\bar{x}=\frac{\int x\rho (x)dx}{\int \rho (x)dx}}$$

均匀平面区域：

$$\boxed{\bar{x}=\frac{\int x[f(x)-g(x)]dx}{\int [f(x)-g(x)]dx}}$$ $$\boxed{\bar{y}=\frac{\frac{1}{2}\int [f^2(x)-g^2(x)]dx}{\int [f(x)-g(x)]dx}}$$

---

静压力

$$\boxed{F=\rho g\int hdA}$$

水平窄条：

$$\boxed{F=\rho g\int h(y)w(y)dy}$$

平面薄板快捷公式：

$$\boxed{F=\rho gA\bar{h}}$$

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三十、模块7真正要达到的水平

如果只是背住上面公式，还没有真正掌握模块7。

复习时应形成下面的自动反应：

看到面积：

$$\boxed{\text{上减下还是右减左？要不要分段？}}$$

看到旋转体：

$$\boxed{\text{圆环还是圆柱壳？旋转半径是多少？}}$$

看到弧长：

$$\boxed{1+(y^{\prime }{)}^2\text{能不能化成平方？}}$$

看到曲面面积：

$$\boxed{2\pi rds}$$

看到做功：

$$\boxed{\text{力随什么变量变化？真正沿运动方向的分力是多少？}}$$

看到质心：

$$\boxed{\text{位置的质量加权平均}}$$

看到静压力：

$$\boxed{\text{深度}\times \text{窄条面积}}$$

这时模块7就不再是七种零散题型，而只剩下一条主线：

$$\boxed{\text{建立微元}⟶\text{表达微元量}⟶\text{积分累加}}$$

其中最值得优先刷透的是 直角坐标面积、极坐标面积、圆环法与壳层法、面积/体积参数最值、弧长特殊平方化简、变上限积分弧长，以及2025年这种“先求力的分量再做功”的新真题考法。这些题型一旦真正掌握，模块7绝大多数题都会变成同一个“微元建模”问题。