高等数学模块 13：重积分

本章围绕重积分展开，以考研数学真题为主线，并参考高质量练习题进行补充，按照“题型识别 → 核心方法 → 代表题 → 易错点 → 变式拓展”的方式组织。

一、模块13到底重要在哪里？

这是高数里非常典型的“会不会做，主要取决于第一步选得对不对”的章节。

很多题真正困难的地方根本不是积分本身，而是：

1. 积分区域怎么表示；
2. 先积 $x$ 还是先积 $y$；
3. 是否应该换极坐标；
4. 是否应该先用对称性；
5. 是否存在特殊变量代换；
6. 三重积分该选直角、柱坐标还是球坐标；
7. 是否根本不用直接积分，而应用形心、轮换对称或积分性质。

尤其近年真题非常明显：

• 2021 数二、数三：极坐标大题；
• 2022：复杂区域极坐标；
• 2023：连续两年出现复杂极坐标定限；
• 2024：一题复杂极坐标、一题非线性变量代换；
• 2025：继续考区域关于 $y=x$ 的对称性，而且数三大题也是“先对称，再计算”。

所以模块13绝对不能只学成：

“画图 → 写二次积分 → 算。”

真正应该形成的是：

看结构 → 选方法 → 化简区域/被积函数 → 最后才积分。

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二、整个模块的解题总决策树

以后碰到任意二重积分，建议按下面顺序看。

第一步：先看对称性，别急着积分

检查：

• 关于 $x$ 轴；
• 关于 $y$ 轴；
• 关于原点；
• 关于 $y=x$；
• 关于 $y=-x$；
• $x,y$ 是否可以轮换。

如果对称性存在，很多积分直接变成 $0$、一半、两倍或四倍。

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第二步：看被积函数最喜欢哪个变量

例如

$$f(x,y)=e^{x^2}$$

显然应该尽可能先对 $y$ 积分，因为 $e^{x^2}$ 对 $x$ 没有初等原函数。

而

$$f(x,y)=x{e}^{-y^2}$$

通常想先积 $x$，因为

$$\int xdx$$

简单，而

$$\int e^{-y^2}dy$$

不能初等表示。

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第三步：看到圆、圆环、扇形、$x^2+y^2$，立即考虑极坐标

尤其出现

$$x^2+y^2,\sqrt{x^2+y^2},\frac{x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

或者边界为

$$x^2+y^2=ax+by$$

时，极坐标优先级很高。

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第四步：看到“成组结构”，考虑一般变量代换

例如区域边界出现：

$$xy=C,\frac{x}{y}=C$$

就应高度怀疑

$$u=xy,v=\frac{x}{y}.$$

出现

$$x+y=C,x-y=C$$

则考虑

$$u=x+y,v=x-y.$$

2024 真题已经直接考过这一类思想。

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三、题型一：二重积分概念、性质与比较

考频：★★★★☆

主要作为选择填空出现，不一定要求真正算积分。

必须掌握四大性质。

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1. 线性性

$${\iint }_D[\alpha f+\beta g]d\sigma =\alpha {\iint }_{D}fd\sigma +\beta {\iint }_{D}gd\sigma .$$

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2. 保序性

如果在 $D$ 上

$$f(x,y)\le g(x,y),$$

则

$${\iint }_{D}fd\sigma \le {\iint }_{D}gd\sigma .$$

如果除零面积集合外严格小于，则通常可以推出严格积分不等式。

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真题：2005-34

单位圆

$$D:x^2+y^2\le 1$$

比较三个积分，它们的被积函数分别相当于

$$\cos r,\cos r^2,\cos r^4,$$

其中

$$r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

因为

$$0\le r\le 1,$$

所以

$$r^4\le r^2\le r.$$

又因为 $\cos t$ 在该区间递减，因此

$$\cos r^4\ge \cos r^2\ge \cos r.$$

于是直接由保序性判断积分大小，不需要真正积分。

方法总结

看到“比较若干重积分”，优先判断：

区域相同 → 比被积函数。

不要第一反应全算出来。

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3. 区域包含 + 被积函数非负

若

$$D_1\subset D_2,f\ge 0,$$

则

$${\iint }_{D_1}fd\sigma \le {\iint }_{D_2}fd\sigma .$$

张宇1000题第14章就有非常典型的圆盘—正方形—大圆盘比较问题：

$$D_1\subset D_3\subset D_2$$

且

$$e^{-(x^2+y^2)}>0,$$

于是积分顺序完全由区域包含关系决定。

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四、题型二：奇偶对称性——本章第一核心技巧

考频：★★★★★

这是模块13最值得形成条件反射的技巧之一。

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1. 关于 $y$ 轴对称

若 $D$ 满足：

$$(x,y)\in D⟺(-x,y)\in D,$$

并且

$$f(-x,y)=-f(x,y),$$

则

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy=0.$$

若为偶函数：

$$f(-x,y)=f(x,y),$$

则可以取右半区域乘 $2$。

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2. 关于 $x$ 轴对称

同理，如果

$$f(x,-y)=-f(x,y),$$

则积分为 $0$。

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李正元练习题

两个圆公共区域关于 $x$ 轴对称，计算

$${\iint }_{D}yd\sigma .$$

由于 $y$ 关于 $y$ 为奇函数，因此直接

$$\boxed{0}.$$

这道题最大的价值就是：

根本不必求两个圆交点。

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五、题型三：关于 $y=x$ 的轮换对称——近年尤其重要

考频：★★★★★

如果区域满足

$$(x,y)\in D⟺(y,x)\in D,$$

那么

$${\iint }_{D}f(x,y)d\sigma ={\iint }_{D}f(y,x)d\sigma .$$

这是一个极其强大的公式。

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1. 反对称函数直接为零

若

$$f(y,x)=-f(x,y),$$

则

$$I=-I$$

所以

$$\boxed{I=0}.$$

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真题：2025 数二

区域

$$D:\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2\le 4x,\\ x^2+y^2\le 4y.\end{array}$$

求

$$I={\iint }_D(x-y)dxdy.$$

交换 $x,y$ 后，两条区域条件正好互换，因此 $D$ 关于 $y=x$ 对称。

而

$$x-y$$

交换后成为

$$y-x=-(x-y).$$

因此

$$I=-I,$$

所以

$$\boxed{I=0}.$$

这道 2025 真题非常典型：表面上是圆域交集，实际上几乎不用计算。

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2. 交换后两式相加

如果

$$I={\iint }_D\frac{F(x)}{F(x)+F(y)}dxdy,$$

且区域关于 $y=x$ 对称，则交换变量：

$$I={\iint }_D\frac{F(y)}{F(x)+F(y)}dxdy.$$

两式相加：

$$2I={\iint }_{D}1dxdy=S_D.$$

所以

$$\boxed{I=\frac{1}{2}{S}_D}.$$

李正元题库中就有

$${\iint }_{[0,1{]}^2}\frac{e^{x^2}}{e^{x^2}+e^{y^2}}d\sigma =\frac{1}{2}.$$

这是一类非常值得记住的结构。

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真题：2014 数二、数三大题

第一象限圆环

$$1\le x^2+y^2\le 4$$

中出现

$$\frac{x}{x+y}\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2}).$$

设积分为 $I$。

交换 $x,y$ 后得到

$$I={\iint }_D\frac{y}{x+y}\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})dxdy.$$

两式相加：

$$2I={\iint }_D\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})dxdy.$$

原本麻烦的分式直接消失，然后再转极坐标。

这类题的统一套路

看到

$$\frac{x}{x+y},\frac{F(x)}{F(x)+F(y)},x-y,F(x,y)-F(y,x)$$

先检查 $D$ 是否关于 $y=x$ 对称。

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六、2025 数三真题揭示的新命题方向

2025 数三给出

$$D=\{(x,y):y^2\le x,x^2\le y\},$$

计算

$${\iint }_D(x-y+1{)}^{2}dxdy.$$

区域由

$$y=x^2,y=\sqrt{x}$$

围成，并关于 $y=x$ 对称。

展开：

$$(x-y+1{)}^2=(x-y{)}^2+2(x-y)+1.$$

其中

$${\iint }_D(x-y)d\sigma =0.$$

于是只需要算

$${\iint }_D[(x-y{)}^2+1]d\sigma .$$

最终结果为

$$\boxed{\frac{71}{210}}.$$

这题特别重要

命题人不再只要求识别“整个被积函数是奇的”，而是：

先展开 → 把反对称部分消掉 → 剩余部分再计算。

所以以后应该养成：

$$f(x,y)=\frac{f(x,y)+f(y,x)}{2}+\frac{f(x,y)-f(y,x)}{2}.$$

在交换对称区域上，后半部分积分必为 $0$。

因此实际上：

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\frac{1}{2}{\iint }_D[f(x,y)+f(y,x)]d\sigma }$$

这是非常强的统一公式。

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七、题型四：直角坐标直接计算——关键不是算，而是选次序

考频：★★★★★

如果

$$D=\{(x,y):a\le x\le b,{\phi }_1(x)\le y\le {\phi }_2(x)\},$$

则

$${\iint }_{D}f(x,y)dxdy={\int }_a^b\left[{\int }_{{\phi }_1(x)}^{{\phi }_2(x)}f(x,y)dy\right]dx.$$

但不要机械按区域给出的形式积分。

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真题：1987

第一象限中

$$y=x,y=x^3$$

围成区域，求

$${\iint }_D{e}^{x^2}dxdy.$$

因为

$$e^{x^2}$$

对 $x$ 不好积，所以必须先对 $y$：

$$0\le x\le 1,x^3\le y\le x.$$

于是

$$I={\int }_0^1(x-x^3)e^{x^2}dx.$$

此时出现

$$x{e}^{x^2},x^3{e}^{x^2},$$

都可换元。

最终

$$\boxed{I=\frac{e-2}{2}}.$$

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核心经验

出现

$$e^{x^2},\sin x^2,\cos x^2$$

这类不可直接积分结构时：

让包含它的变量尽量成为外层变量。

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八、题型五：交换积分次序

考频：★★★★★

交换次序其实不是“技巧题”，它本质就是：

同一个区域换一种扫描方法。

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标准四步

给定

$${\int }_a^{b}dy{\int }_{{\phi }_1(y)}^{{\phi }_2(y)}f(x,y)dx.$$

第一步：写不等式

$$a\le y\le b,{\phi }_1(y)\le x\le {\phi }_2(y).$$

第二步：画区域

必须搞清楚边界。

第三步：投影到 $x$ 轴

求

$$x_{\min },x_{\max }.$$

第四步：固定 $x$，从下到上找 $y$

必要时分段。

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真题：1990

$${\int }_0^{\sqrt{2}}dx{\int }_x^2{e}^{-y^2}dy.$$

如果直接算，内层

$$\int e^{-y^2}dy$$

不可初等计算。

区域：

$$0\le x\le \sqrt{2},x\le y\le 2.$$

换顺序：

$$0\le y\le 2,0\le x\le y.$$

所以

$$I={\int }_0^{2}dy{\int }_0^y{e}^{-y^2}dx={\int }_0^{2}y{e}^{-y^2}dy.$$

结果

$$\boxed{\frac{1-e^{-4}}{2}}.$$

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九、什么时候必须交换积分次序？

看到下面几种情况尤其敏感：

情况1

内层出现

$$e^{-x^2},\sin x^2,\frac{\sin x}{x}$$

之类无法直接积。

情况2

原区域需要分两段，而换次序后只需一段。

情况3

交换后产生恰好可换元的因子。

比如

$$\int e^{-y^2}dx$$

会产生一个区域长度 $y$，变成

$$y{e}^{-y^2}.$$

这就是考研特别喜欢设计的结构。

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十、题型六：极坐标——模块13最核心计算法

考频：★★★★★

基本变换：

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta ,$$ $$x^2+y^2=r^2,$$ $$dxdy=rdrd\theta .$$

最后这个 $r$ 极其重要。

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什么时候强烈考虑极坐标？

1. 区域出现圆或圆环

例如

$$x^2+y^2\le R^2.$$

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2. 被积函数只依赖

$$x^2+y^2.$$

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3. 有大量

$$x^2-y^2,xy,x\pm y$$

与圆结构组合。

因为：

$$x^2-y^2=r^2\cos 2\theta ,$$ $$2xy=r^2\sin 2\theta .$$

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十一、极坐标定限：真正的难点

最简单的圆：

$$x^2+y^2\le R^2$$

就是

$$0\le r\le R,0\le \theta \le 2\pi .$$

但是考研更爱偏心圆。

例如

$$x^2+y^2\le ax.$$

变换：

$$r^2\le ar\cos \theta .$$

所以

$$0\le r\le a\cos \theta .$$

角度需要保证

$$\cos \theta \ge 0,$$

因此

$$-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}.$$

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十二、真题：2021 数二——标准极坐标大题

第一象限曲线

$$(x^2+y^2{)}^2=x^2-y^2$$

与 $x$ 轴围成 $D$，求

$$I={\iint }_{D}xydxdy.$$

变极坐标：

$$r^4=r^2\cos 2\theta ,$$

所以

$$r^2=\cos 2\theta .$$

第一象限且 $\cos 2\theta \ge 0$，因此

$$0\le \theta \le \frac{\pi }{4},$$ $$0\le r\le \sqrt{\cos 2\theta }.$$

又

$$xy=r^2\cos \theta \sin \theta =\frac{1}{2}{r}^2\sin 2\theta .$$

加上面积元：

$$I={\int }_0^{\pi /4}{\int }_0^{\sqrt{\cos 2\theta }}\frac{1}{2}{r}^3\sin 2\theta drd\theta .$$

径向积分以后：

$$I=\frac{1}{8}{\int }_0^{\pi /4}\sin 2\theta {\cos }^{2}2\theta d\theta .$$

令

$$u=\cos 2\theta ,$$

最终

$$\boxed{I=\frac{1}{48}}.$$

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十三、极坐标真正高级的地方：不仅化圆，还要制造微分结构

2021 数三真题：

$$I={\iint }_D{e}^{(x+y{)}^2}(x^2-y^2)dxdy,$$

区域是单位圆第一象限中

$$0\le y\le x.$$

极坐标下

$$x^2-y^2=r^2\cos 2\theta ,$$

同时

$$(x+y{)}^2=r^2(\cos \theta +\sin \theta {)}^2.$$

关键观察：

$$d[(\cos \theta +\sin \theta {)}^2]=2\cos 2\theta d\theta .$$

于是角积分直接换元。

最终：

$$\boxed{I=\frac{(e-1{)}^2}{8}}.$$

这说明

做极坐标题不能只会：

“把 $x,y$ 换成 $r,\theta$。”

还应该进一步找：

$$\sin 2\theta ,\cos 2\theta$$

是不是另一个复合函数的导数。

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十四、2023 真题：极坐标“径向上下限都是函数”

第一象限区域由

$$x^2+y^2-xy=1,$$ $$x^2+y^2-xy=2$$

以及两条射线围成。

令

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta .$$

则

$$x^2+y^2-xy=r^2(1-\sin \theta \cos \theta ).$$

记

$$A(\theta )=1-\sin \theta \cos \theta .$$

那么两条曲线就是

$$r^{2}A(\theta )=1,r^{2}A(\theta )=2.$$

所以

$$\frac{1}{\sqrt{A(\theta )}}\le r\le \sqrt{\frac{2}{A(\theta )}}.$$

这种题最重要的思想是：

曲线虽然不是圆，但它们拥有相同角向因子，所以极坐标仍然把区域变成“广义圆环”。

2023 真题最终求得

$$\boxed{\frac{3\pi \ln 2}{8}}.$$

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十五、题型七：绝对值、max、min——必须先分区域

考频：★★★★☆

例如

$$\max \{x,y\},\min \{x,y\},|x-y|,|r-1|.$$

核心原则：

先找表达式发生变化的分界曲线。

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真题：2002 数一

单位正方形上

$${\iint }_D{e}^{\max (x^2,y^2)}dxdy.$$

分界线是

$$x=y.$$

由于正方形关于 $y=x$ 对称，只计算

$$0\le y\le x\le 1$$

再乘 $2$。

在该区域

$$\max (x^2,y^2)=x^2.$$

因此

$$I=2{\int }_0^1{\int }_0^x{e}^{x^2}dydx.$$

即

$$I=2{\int }_0^{1}x{e}^{x^2}dx=\boxed{e-1}.$$

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十六、2023 数三：极坐标 + 绝对值 + 分段

区域：

$$(x-1{)}^2+y^2\le 1.$$

即

$$0\le r\le 2\cos \theta ,-\frac{\pi }{2}\le \theta \le \frac{\pi }{2}.$$

被积函数为

$$\left|\sqrt{x^2+y^2}-1\right|=|r-1|.$$

于是必须判断什么时候

$$2\cos \theta \ge 1.$$

即

$$|\theta |\le \frac{\pi }{3}.$$

因此极坐标还要再按

$$r=1$$

进行分段。

这是真正的高质量极坐标题：

先按角度分，再按半径分。

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十七、题型八：一般变量代换与 Jacobian

考频：★★★★☆，但近年值得重点提高优先级

一般变换

$$u=u(x,y),v=v(x,y).$$

则

$$dxdy=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv.$$

或者先算：

$$J=\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)},$$

则

$$dxdy=\frac{1}{|J|}dudv.$$

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十八、什么时候应该主动找变量代换？

区域边界如果成组出现：

$$F(x,y)=a,F(x,y)=b,$$ $$G(x,y)=c,G(x,y)=d,$$

几乎就是在提示：

$$u=F(x,y),v=G(x,y).$$

这比死算重要得多。

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十九、2024 真题：变量代换的标准模板

第一象限区域由

$$xy=\frac{1}{3},xy=3,$$

以及

$$\frac{x}{y}=\frac{1}{3},\frac{x}{y}=3$$

所围。

直接令

$$u=xy,v=\frac{x}{y}.$$

原来的四条曲线直接变成矩形：

$$\frac{1}{3}\le u\le 3,$$ $$\frac{1}{3}\le v\le 3.$$

计算 Jacobian：

$$\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}=\left|\begin{array}{cc}y& x\\ 1/y& -x/y^2\end{array}\right|.$$

得到绝对值

$$\left|\frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)}\right|=2v.$$

因此

$$dxdy=\frac{1}{2v}dudv.$$

原题又利用区域关于 $y=x$ 对称，先把 $x-y$ 项消掉，最后只算区域面积，结果

$$\boxed{\frac{8}{3}\ln 3}.$$

这道题是模块13里非常值得反复研究的近年真题。

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二十、线性代换：$x+y,x-y$ 型

李正元练习题：

$$D:|x|+|y|\le 1,$$

求含

$$(x+y{)}^2$$

的积分。

令

$$u=x+y,v=x-y.$$

则

$$x=\frac{u+v}{2},y=\frac{u-v}{2}.$$

并且

$$\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|=\frac{1}{2}.$$

漂亮之处在于菱形区域变成矩形：

$$|u|\le 1,|v|\le 1.$$

而被积函数直接变为

$$u^2.$$

于是问题大幅简化。

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二十一、变量代换的“反向设计法”

不要问：

“应该使用什么代换？”

而要问：

“题目的哪两组表达式重复出现？”

比如：

看到

$$x+y,x-y$$

考虑

$$u=x+y,v=x-y.$$

看到

$$xy,\frac{x}{y}$$

考虑

$$u=xy,v=\frac{x}{y}.$$

看到椭圆

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1$$

考虑先伸缩：

$$x=au,y=bv,$$

再在 $uv$ 平面用极坐标。

张宇1000题第14章就有“椭圆先伸缩成单位圆再转极坐标”的典型强化题。

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二十二、题型九：积分方程——把未知积分整体设成常数

考频：★★★☆☆，但非常适合作为综合题

典型形式：

$$f(x,y)=g(x,y)+h(x,y){\iint }_{D}f(x,y)dxdy.$$

不要纠结 $f$。

直接设

$$A={\iint }_{D}f(x,y)dxdy.$$

于是

$$f(x,y)=g(x,y)+Ah(x,y).$$

再对整个区域积分：

$$A={\iint }_{D}gd\sigma +A{\iint }_{D}hd\sigma .$$

这样就是一元方程。

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真题：1999

题目形式为

$$f(x,y)=xy+{\iint }_{D}f(u,v)dudv.$$

设

$$C={\iint }_{D}f(u,v)dudv.$$

那么

$$f(x,y)=xy+C.$$

把它代回 $C$ 的定义得到：

$$C={\iint }_D(uv+C)dudv.$$

最后解出

$$C=\frac{1}{8}.$$

所以

$$\boxed{f(x,y)=xy+\frac{1}{8}}.$$

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二十三、真题：2020 数三——积分方程 + 对称性

设半圆域

$$D:x^2+y^2\le 1,y\ge 0,$$

且

$$f(x,y)=y\sqrt{1-x^2}+x{\iint }_{D}fdxdy.$$

令

$$A={\iint }_{D}fdxdy.$$

则

$$f(x,y)=y\sqrt{1-x^2}+xA.$$

积分时因为 $D$ 关于 $y$ 轴对称，

$${\iint }_{D}xdxdy=0.$$

所以很容易先求出 $A$。

再计算目标

$${\iint }_{D}xf(x,y)dxdy.$$

其中

$$xy\sqrt{1-x^2}$$

关于 $x$ 为奇函数，因此再次为 $0$。

最终只剩

$$A{\iint }_D{x}^{2}dxdy.$$

答案为

$$\boxed{\frac{3{\pi }^2}{128}}.$$

这题非常典型：

设整体积分常数 + 连续两次对称性。

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二十四、题型十：二重积分与极限

练习题中非常值得掌握。

如果区域 $D(t)$ 随 $t\to 0$ 收缩到点

$$(x_0,y_0),$$

且 $f$ 连续，则

$$f(x,y)=f(x_0,y_0)+o(1).$$

于是

$${\iint }_{D(t)}f(x,y)d\sigma \sim f(x_0,y_0)S_{D(t)}.$$

李正元第九章有一道题：

$$f(0,0)=6$$

且区域随 $t\to 0$ 收缩，通过先算

$$S_{D(t)}$$

的主阶，最终得到极限。

通用公式

若

$$D_{\epsilon }\to (x_0,y_0),$$

通常

$$\boxed{\frac{{\iint }_{D_{\epsilon }}f(x,y)d\sigma }{S_{D_{\epsilon }}}\to f(x_0,y_0)}$$

本质就是二维版本的积分平均值思想。

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二十五、题型十一：二重积分的几何应用

至少掌握：

面积

$$S_D={\iint }_{D}1dxdy.$$

薄片质量

密度为 $\rho (x,y)$：

$$M={\iint }_D\rho (x,y)dxdy.$$

形心

$$\bar{x}=\frac{{\iint }_{D}x\rho dxdy}{{\iint }_D\rho dxdy},$$ $$\bar{y}=\frac{{\iint }_{D}y\rho dxdy}{{\iint }_D\rho dxdy}.$$

均匀薄片时 $\rho$ 消掉。

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二十六、形心题的最大技巧仍然是对称性

如果区域关于 $y$ 轴对称：

$$\boxed{\bar{x}=0}.$$

关于 $x$ 轴对称：

$$\boxed{\bar{y}=0}.$$

关于 $y=x$ 对称：

$$\boxed{\bar{x}=\bar{y}}.$$

所以形心问题千万不要三个坐标全部硬算。

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二十七、三重积分：数一专项

站内模块13将三重积分专门分成：

1. 直角/柱坐标类；
2. 球面坐标；
3. 奇偶对称；
4. 轮换对称；
5. 形心等应用。

这一部分数一需要重点掌握。

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二十八、三重积分的基本形式

$${\iiint }_{\Omega }f(x,y,z)dV.$$

真正困难的还是：

空间区域怎么描述。

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二十九、柱坐标

定义：

$$x=r\cos \theta ,$$ $$y=r\sin \theta ,$$ $$z=z,$$ $$dV=rdrd\theta dz.$$

适合：

• 绕 $z$ 轴旋转；
• $x^2+y^2$ 大量出现；
• 圆柱面；
• 抛物面；
• 圆锥与水平面组合。

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真题：1991 数一

曲线

$$y^2=2z,x=0$$

绕 $z$ 轴旋转。

得到旋转抛物面：

$$x^2+y^2=2z.$$

柱坐标下：

$$r^2=2z.$$

若上方被

$$z=4$$

截住，那么可以写：

$$0\le z\le 4,$$ $$0\le r\le \sqrt{2z},$$ $$0\le \theta \le 2\pi .$$

于是空间几何瞬间变成普通积分区间。

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三十、三重积分：先投影法

如果空间区域可以表示为：

$$(x,y)\in D,$$ $$z_1(x,y)\le z\le z_2(x,y),$$

则

$${\iiint }_{\Omega }fdV={\iint }_D\left[{\int }_{z_1}^{z_2}fdz\right]dxdy.$$

这实际上就是：

三维问题先压到二维，再处理高度。

对于上下表面很清楚的区域，这往往是最稳方法。

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三十一、球坐标

数一必须熟练：

$$x=\rho \sin \phi \cos \theta ,$$ $$y=\rho \sin \phi \sin \theta ,$$ $$z=\rho \cos \phi ,$$ $$dV={\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta .$$

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三十二、球坐标最重要的曲面识别

球面：

$$x^2+y^2+z^2=R^2$$

变成

$$\rho =R.$$

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圆锥：

$$z=k\sqrt{x^2+y^2}$$

变成

$$\rho \cos \phi =k\rho \sin \phi .$$

即

$$\tan \phi =\frac{1}{k}.$$

所以圆锥本质上就是：

$$\boxed{\phi =\text{常数}}.$$

这是球坐标题的核心。

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三十三、真题：1989 数一——球面 + 圆锥

区域由

$$z=\sqrt{x^2+y^2}$$

和单位上半球面围成。

圆锥给出：

$$\rho \cos \phi =\rho \sin \phi .$$

所以

$$\phi =\frac{\pi }{4}.$$

球面给：

$$0\le \rho \le 1.$$

完整范围：

$$0\le \rho \le 1,$$ $$0\le \phi \le \frac{\pi }{4},$$ $$0\le \theta \le 2\pi .$$

原被积函数中还有 $x+z$，由于区域关于 $x=0$ 对称，

$${\iiint }_{\Omega }xdV=0.$$

只剩 $z$。

最终

$$\boxed{\frac{\pi }{8}}.$$

一题同时体现：

球坐标 + 奇偶性。

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三十四、三维轮换对称

如果区域关于 $x,y,z$ 完全对称，例如球：

$$x^2+y^2+z^2\le R^2,$$

那么

$${\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dV={\iiint }_{\Omega }{y}^{2}dV={\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dV.$$

于是

$$3{\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dV={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dV.$$

右侧球坐标极易计算。

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真题：2009 数一

单位球中求

$${\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dV.$$

利用轮换：

$$3I={\iiint }_{\Omega }(x^2+y^2+z^2)dV.$$

球坐标：

$$3I={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{\pi }{\int }_0^1{\rho }^4\sin \phi d\rho d\phi d\theta .$$

得到

$$3I=\frac{4\pi }{5},$$

因此

$$\boxed{I=\frac{4\pi }{15}}.$$

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三十五、四面体的轮换对称也特别重要

真题 2015：

$$x+y+z\le 1,x,y,z\ge 0.$$

这是三个变量完全轮换对称的区域。

因此：

$${\iiint }_{\Omega }xdV={\iiint }_{\Omega }ydV={\iiint }_{\Omega }zdV.$$

若求

$${\iiint }_{\Omega }(x+2y+3z)dV,$$

设共同积分为 $J$，则

$$I=(1+2+3)J=6J.$$

根本不需要分别算三项。

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三十六、三维形心

均匀立体：

$$\bar{x}=\frac{{\iiint }_{\Omega }xdV}{V},$$ $$\bar{y}=\frac{{\iiint }_{\Omega }ydV}{V},$$ $$\bar{z}=\frac{{\iiint }_{\Omega }zdV}{V}.$$

其中

$$V={\iiint }_{\Omega }dV.$$

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三十七、真题：2013 数一——旋转曲面 + 截面积求形心

直线绕 $z$ 轴旋转后得到

$$x^2+y^2=2z^2-2z+1.$$

这时未必必须写三重积分。

在高度 $z$ 处的截面积：

$$A(z)=\pi (2z^2-2z+1).$$

于是

$$V=\int A(z)dz,$$

而

$${\iiint }_{\Omega }zdV=\int zA(z)dz.$$

所以

$$\bar{z}=\frac{\int zA(z)dz}{\int A(z)dz}.$$

最后

$$\boxed{(\bar{x},\bar{y},\bar{z})=\left(0,0,\frac{7}{5}\right)}$$

注意这里应按照站内原题上下界计算；核心不是答案数字，而是**“截面积法”代替完整三重积分**。站内给出了由旋转对称先确定 $\bar{x}=\bar{y}=0$，再计算截面积矩的完整过程。

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三十八、三重积分形心的一个超级方法：截面法

如果高度为 $z$ 时截面积为 $A(z)$，那么：

$$dV=A(z)dz.$$

因此

$$V=\int A(z)dz,$$ $$\bar{z}=\frac{\int zA(z)dz}{\int A(z)dz}.$$

这类题实际上已经退化成一元积分。

2021以后类似空间几何题仍然非常有命题价值。

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三十九、题型十二：综合计算——重积分和别的章节联合

考频：★★★☆☆

数量未必最多，但区分度高。

常见联合：

• 重积分 + 导数；
• 重积分 + 参数函数；
• 重积分 + 柯西不等式；
• 重积分 + 分部积分；
• 重积分 + 积分方程；
• 重积分 + 形心；
• 重积分 + 参数曲线。

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四十、真题：2003 数一——球、圆盘、一维积分一起比较

定义球域和圆域：

$$\Omega (t):x^2+y^2+z^2\le t^2,$$ $$D(t):x^2+y^2\le t^2.$$

因为被积函数都是径向函数，分别转球坐标和极坐标。

设：

$$A(t)={\int }_0^t{r}^{2}f(r^2)dr,$$ $$B(t)={\int }_0^{t}rf(r^2)dr,$$ $$C(t)={\int }_0^{t}f(r^2)dr.$$

则原来复杂的三维、二维、一维积分全部被压缩成这三个量。

进一步：

$$F(t)=\frac{2A(t)}{B(t)}.$$

求导：

$$F^{\prime }(t)$$

最终转化成判断

$$tB(t)-A(t).$$

而

$$tB(t)-A(t)={\int }_0^{t}r(t-r)f(r^2)dr>0.$$

因此得到单调性。

第二问使用 Cauchy：

$$B^2(t)<A(t)C(t).$$

这类综合题真正要学的东西

不是死记答案，而是：

遇到高度对称的参数重积分，先用坐标系把维度降下来，再讨论函数性质。

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四十一、重积分最应该掌握的七个“秒杀公式”

公式1：轴对称奇函数

若 $D$ 关于 $y$ 轴对称：

$$f(-x,y)=-f(x,y)$$

则

$$\boxed{{\iint }_{D}fd\sigma =0}.$$

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公式2：交换反对称

若 $D$ 关于 $y=x$ 对称：

$$f(y,x)=-f(x,y),$$

则

$$\boxed{{\iint }_{D}fd\sigma =0}.$$

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公式3：交换平均化

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x,y)d\sigma =\frac{1}{2}{\iint }_D[f(x,y)+f(y,x)]d\sigma }$$

前提是 $D$ 关于 $y=x$ 对称。

这个公式对 2014、2024、2025 真题尤其有启发。

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公式4：轮换对称

若 $D$ 关于 $x,y$ 轮换对称：

$$\boxed{{\iint }_D{x}^{2}d\sigma ={\iint }_D{y}^{2}d\sigma }.$$

从而

$$\boxed{{\iint }_D{x}^{2}d\sigma =\frac{1}{2}{\iint }_D(x^2+y^2)d\sigma }.$$

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公式5：三维轮换

球体或完全轮换区域：

$$\boxed{{\iiint }_{\Omega }{x}^{2}dV={\iiint }_{\Omega }{y}^{2}dV={\iiint }_{\Omega }{z}^{2}dV}.$$

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公式6：径向函数圆盘积分

若

$$D:x^2+y^2\le R^2,$$

则

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x^2+y^2)dxdy=2\pi {\int }_0^{R}f(r^2)rdr}.$$

令

$$u=r^2$$

还可以进一步变成：

$$\boxed{{\iint }_{D}f(x^2+y^2)dxdy=\pi {\int }_0^{R^2}f(u)du}.$$

这个公式相当实用。

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公式7：球体径向函数

$$\boxed{{\iiint }_{x^2+y^2+z^2\le R^2}f(x^2+y^2+z^2)dV=4\pi {\int }_0^{R}f({\rho }^2){\rho }^{2}d\rho }.$$

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四十二、考场如何选择直角坐标还是极坐标？

给出一个很实用的判断标准。

更倾向直角坐标

区域边界是：

• $y=f(x)$；
• $x=g(y)$；
• 直线；
• 抛物线；
• 第一层积分明显能消掉一个变量。

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更倾向极坐标

同时出现以下任意两项：

• 圆；
• 圆环；
• 扇形；
• $x^2+y^2$；
• $\sqrt{x^2+y^2}$；
• $x^2-y^2$；
• $xy$；
• 过原点直线。

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四十三、一个极容易被忽视的原则

不要因为区域是圆，就一定用极坐标。

例如圆心不在原点，而被积函数在平移后极其简单，可以先：

$$u=x-a,v=y-b.$$

张宇题库就有圆心平移后利用一次项积分为零的题，例如区域

$$(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 1.$$

令

$$u=x-1,v=y-1.$$

那么

$$x^2+y^2=u^2+v^2+2u+2v+2.$$

圆盘上：

$${\iint }_{D}ududv={\iint }_{D}vdudv=0.$$

只剩径向部分和面积。

所以真正原则是：

哪个变换能同时简化“区域”和“被积函数”，就选哪个。

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四十四、练习题中非常有价值的扩展题型：二重积分和

张宇强化题里出现二维 Riemann 和：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\frac{\cdots }{n^2}.$$

核心识别：

$$\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{n}f\left(\frac{i}{n},\frac{j}{n}\right)$$

本质上趋于：

$$\boxed{{\int }_0^1{\int }_0^{1}f(x,y)dxdy}.$$

张宇1000题强化部分就有这一类二维积分和极限。

这非常值得作为未来选择填空的预测方向。

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四十五、可以认为未来非常值得防的4种新组合考法

下面是基于真题演化自己做的预测。

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预测1：轮换对称 + 非线性变量代换

例如：

$$D:\{\begin{array}{l}1\le xy\le 4,\\ 1\le x/y\le 4,\end{array}x,y>0,$$

求

$${\iint }_D\left[(x-y{)}^3+\frac{1}{xy}\right]dxdy.$$

第一步不是代换。

区域关于 $y=x$ 对称，因此

$${\iint }_D(x-y{)}^{3}dxdy=0.$$

然后再令

$$u=xy,v=\frac{x}{y}.$$

这就是 2024变量代换 + 2025交换对称 的自然组合。

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四十六、预测2：极坐标 + 绝对值分段

例如：

$$D:x^2+y^2\le 4x,$$

求

$${\iint }_D\left|\sqrt{x^2+y^2}-1\right|dxdy.$$

先变：

$$0\le r\le 4\cos \theta .$$

然后必须按照

$$r=1$$

以及

$$4\cos \theta =1$$

同时分段。

这是 2023 数三真题的自然延伸。

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四十七、预测3：收缩区域 + 极坐标平均值

例如

$$D_t:x^2+y^2\le t^2,$$

连续函数 $f$ 满足

$$f(0,0)=a.$$

研究：

$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{\pi t^2}{\iint }_{D_t}f(x,y)dxdy.$$

直接得到：

$$\boxed{a}.$$

若再把分母改成

$$1-\cos t^2$$

就要同时用：

$$1-\cos t^2\sim \frac{t^4}{2},$$

此时必须重新比较阶数。

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四十八、预测4：数一三重积分 + 轮换对称 + 非均匀密度

例如单位球：

$$x^2+y^2+z^2\le 1$$

密度

$$\rho (x,y,z)=1+x^2+2y^2+3z^2.$$

求质量。

轮换性给：

$$\iiint x^{2}dV=\iiint y^{2}dV=\iiint z^{2}dV.$$

因此：

$$M=V+(1+2+3)\iiint z^{2}dV.$$

不用分别计算三个积分。

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四十九、本章最容易犯的错误

错误1：极坐标忘记 Jacobian

错误：

$$dxdy=drd\theta .$$

正确：

$$\boxed{dxdy=rdrd\theta }.$$

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错误2：球坐标忘记

$${\rho }^2\sin \phi .$$

正确：

$$\boxed{dV={\rho }^2\sin \phi d\rho d\phi d\theta }.$$

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错误3：看到对称区域就说积分为零

区域对称不够。

还必须：

被积函数对相应变量为奇函数或交换反对称。

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错误4：只看被积函数奇偶，不看区域

例如 $x$ 是奇函数，但如果区域不关于 $y$ 轴对称：

$${\iint }_{D}xd\sigma$$

当然不一定为零。

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错误5：交换积分次序只“交换两个积分号”

绝对错误。

交换次序必须重新确定整个区域。

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错误6：极坐标 $r$ 默认从 $0$ 开始

圆环：

$$1\le x^2+y^2\le 4$$

显然是

$$1\le r\le 2,$$

而不是

$$0\le r\le 2.$$

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错误7：一般变量变换忘绝对值

应为

$$dxdy=\left|\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\right|dudv.$$

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错误8：有平方根时忘记取正

例如

$$r^2=\cos 2\theta$$

所以

$$r=\sqrt{\cos 2\theta },$$

而不是

$$r=\cos 2\theta .$$

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五十、模块13的最终做题模板

以后任何二重积分，强制自己按这个顺序。

第1问

区域有没有对称性？

检查：

$$x\leftrightarrow -x,y\leftrightarrow -y,x\leftrightarrow y.$$

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第2问

被积函数有没有奇偶/轮换结构？

检查：

$$f(-x,y),f(x,-y),f(y,x).$$

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第3问

直接累次积分哪一个次序更好？

目标是：

内层积分必须简单。

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第4问

有没有无法初等积分的结构？

例如：

$$e^{-x^2}.$$

有的话考虑交换次序。

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第5问

有没有 $x^2+y^2$ 或圆？

有的话试极坐标。

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第6问

区域边界是否由两组重复表达式组成？

例如：

$$xy=C,x/y=C.$$

有的话找一般变量代换。

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第7问

有没有绝对值、max、min？

先找分界曲线，再分区域。

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五十一、三重积分的最终模板

数一看到三重积分，按：

① 先对称

有没有奇函数项？

有没有轮换对称？

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② 观察旋转轴

出现

$$x^2+y^2$$

以及绕 $z$ 轴结构：

柱坐标。

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③ 出现球面 + 圆锥

球坐标。

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④ 上下表面明显

优先：

$${\iint }_D{\int }_{z_1}^{z_2}fdzdxdy.$$

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⑤ 求形心

先用对称性消坐标。

再考虑截面积法：

$$\bar{z}=\frac{\int zA(z)dz}{\int A(z)dz}.$$

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五十二、按考研价值给模块13排优先级

如果当前复习时间有限，建议：

第一梯队，必须非常熟：

1. 二重积分直角坐标定限；
2. 交换积分次序；
3. 极坐标；
4. 奇偶对称；
5. $x,y$ 轮换对称。

这些几乎构成了模块13的大多数真题基础。站内从早期真题一直到 2025 真题都持续出现。

第二梯队，强化高分：

6. 一般变量代换 + Jacobian；
7. 绝对值/max/min 分区；
8. 积分方程；
9. 形心、质量、面积；
10. 参数重积分与极限。

尤其 2024 真题已经再次说明，一般变量代换不能当冷门知识处理。

数一专项：

11. 柱坐标；
12. 球坐标；
13. 空间区域定限；
14. 三维对称/轮换；
15. 立体形心。

站内三重积分真题已经覆盖旋转抛物面、球面+圆锥、球体轮换、四面体轮换、旋转体形心以及非均匀球体重心等典型模型。

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最后压缩成一句“模块13心法”

这章真正应该练出来的不是“会二重积分”，而是看到题目后马上判断：

$$\boxed{\text{对称}\to \text{选积分次序}\to \text{选坐标系}\to \text{必要时换元}\to \text{最后才计算}}$$

近几年尤其明显的是：

$$\boxed{\text{极坐标}+\text{轮换对称}+\text{区域分割}+\text{一般变量代换}}$$

正在成为高质量大题的重要组合。2024 的 $xy,x/y$ 变换和 2025 连续出现的 $x\leftrightarrow y$ 对称，特别值得作为下一阶段训练重点。

如果按照“学会一道题就覆盖一类题”的目标来复习，可以认为本模块最值得反复吃透的代表题是：1990交换积分次序、2002 max 对称分区、2014轮换对称、2021极坐标、2023复杂极坐标分段、2024一般变量代换、2025交换反对称，以及数一的1989球坐标、2009三维轮换、2013形心题。这些题基本把模块13最核心的解题思想串起来了。